1. Расчет ARC-фильтра

1
1. АНАЛИЗ ARC-ЦЕПИ
Задание
Вариант
Параметры
фильтра
Схема ARC-фильтра
R0= 0,1 Ом
R = 40 кОм
С = 5 нФ
К = 62
20
Для заданного фильтра требуется:
1) найти операторную передаточную функцию фильтра, составив и решив систему узловых уравнений;
2) Получить комплексную передаточную функцию H(jω) путём замены
переменной p = jω в H(p). Записать выражения для амплитудно-частотной
H(ω) = |H(jω)| и фазочастотной ϴ(ω) = argH(jω) характеристики. Построить
графики АЧХ и ФЧХ в диапазоне частот 0…∞
3) найти переходную характеристику фильтра и построить её график (0 ≤
t ≤ ∞);
4) Получить выражения для комплексных спектральных плотностей
напряжения на входе U1(jω) и выходе U2(jω) цепи, если на вход поступает прямоугольный видеоимпульс напряжения с амплитудой U и длительностью tи;
5) определить значение коэффициента усиления усилителя первого звена
фильтра, при котором цепь будет находиться строго на границе устойчивости. Указать, чему при этом равна частота свободных колебаний в каскаде.
6) Найти реакцию цепи u2(t) при воздействии на ARC-цепь периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов
Наименование
элемента
Инверсный усилитель
с конечным усилением
Схемное изображение
в стандартных программах для ПК
Схема замещения
2
Составим схему замещения фильтра, заменив ОУ источником напряжения, управляемый напряжением.
Рис. 1.1 Схема замещения
Уравнения узловых потенциалов для узла 3
Y3U 3 ( p)  Y13U1 ( p)  Y23U 2 ( p)  Y43U 4 ( p)  0
(1)
1

где Y23   pC ; Y3    3 pC  ; Y13  Y43   pC – проводимости узR

лов и ветвей
Уравнения узловых потенциалов для узла 4
Y34U 3 ( p)  Y4U 4 ( p)  0
(2)
1

где Y4    pC  ; Y34   pC – проводимости узлов и ветвей
R

U 2 ( p)   KU 4 ( p)
(3)
Откуда
U 4 ( p)  
U 2 ( p)
К
Заменим в (2) U 4 ( p) на 
U 2 ( p)
К
 U ( p) 
Y34U 3 ( p)  Y4   2
0

К 
Y U ( p)
U 3 ( p)  4 2
КY34
Полученное выражение подставляем в (1)
3
Y3
Y4U 2 ( p)
U ( p)
 Y13U1 ( p)  Y23U 2 ( p)  Y43 2

КY34
К
 YY K

 Y13U1 ( p)    3 4 1  Y23  Y43 K1 U 2 ( p)  0
 KY34

Теперь найдём отношение
U 2 ( p)
Y13
KY13Y34


U1 ( p)  Y3Y4  Y  Y43 Y34Y43  KY23Y34  Y3Y4
23
KY34
K
Заменяем проводимости их значениями
K   pC   pC 

1
 1

  pC ·  pC   K   pC   pC     3 pC ·  pC 
R
R

2
2
Kp C


1 4 pC
2
2
2
2
2
2
p C  Kp C  2 
 3p C
R
R
U 2 ( p)

U1 ( p)
Операторную передаточную функцию получим, разделив числитель и
знаменатель на  64C 2  и подставляя численные значения R и С
62
 p2
62 p 2C 2
64
H ( p)


4
1
p
1
2
2
2
64 p C  pC  2 p 

R
R
16 RC 64 R 2C 2
0,97 p 2
 2
p  313 p  3,9·105
Порядок полинома знаменателя N характеризует порядок самого фильтра. Порядок числителя m зависит от порядка фильтра и его типа.
Полученная функция соответствует ФВЧ Чебышёва второго порядка в
общем виде
 A0 sn2
H ( sn )  2
sn  Bsn  C
Находим комплексную передаточную функцию, заменив p  j
0,97 2
H  j  
 2  j 313  390000
4
Выражение для АЧХ примет вид
H  j  
0,97 2
 390000   2 2   313 2
Выражение для ФЧХ примет вид
      arctg
313
390000   2
Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышёва наиболее
круто переходит от полосы пропускания к полосе непрозрачности. Фильтр
Чебышёва 1-го рода имеет неравномерности амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания.
Для получения АЧХ и ФЧХ в программе-симуляторе NI Multisim построим схему заданного фильтра.
Рис.1.2 Схема фильтра для снятия АЧХ и ФЧХ
На вход звена подключён источник синусоидального напряжения V1 c
U = 1 B, частотой 0,1 кГц. К схеме подключены плоттер Боде (XBP1) для
снятия АЧХ и ФЧХ. В схеме установлен операционный
K = 62
усилитель U1 c
5
Результат выведен на скриншоты
Рис. 1.3 АЧХ фильтра ВЧ
Квазирезонансная частота
fкрез = 0,063 кГц на рис. 1.3 показывает
АЧХ(fкрез) = 10,04 дБ.
Рис. 1.4 АЧХ – полоса пропускания на уровне 3 дБ
6
Рис. 1.5 АЧХ – полоса пропускания на уровне 3 дБ (√2)
Таким образом, полоса пропускания фильтра при заданных условиях составляет f пп  108,4  49,7  58,7  60 Гц
Рис. 1.6 ФЧХ фильтра
7
Переходную характеристику h(t) цепи находим из соответствия:
ht  
H  p
0,97 p
 2
p
p  313 p  3,9·105
Оригинал для получившейся функции находим, пользуясь теоремой
разложения
 A1
H  p
0,97 p
A2 
 2

0,97



p
p  313 p  3,9·105
 p  p1 p  p2 
где p1 и p2 – нули полинома знаменателя, которые определяются как корни
уравнения
p2  313 p  3,910
· 5 0
Определяем значения p1 и p2:
2
313
 313 
5
p1,2  
 
  3,9·10
 2 
2
p1,2  157  j 605
Корни p1 и p2 являются комплексно-сопряжёнными числами, значит коэффициенты А1 и А2 тоже будут комплексно-сопряжёнными, т. е. достаточно рассчитать коэффициент А1
A1  lim
p  p1
p
 p  p1  p  p2 
 p  p1  
p1
p1  p2
157  j605
157  j605 625e j1,82
A1 


 0,516e j 0,25
j1,57
157  j605   157  j605 
j1210
1210e
здесь и далее аргумент в радианах
Переходная характеристика цепи
h  t   0,97·2Re  A1·e p1t   1,94Re 0,516e j 0,25e 157 j 605t  
 e157t cos  605t  0,25
Найдем граничные значения переходной характеристики
t  0, h  0   e0 cos  605·0  0,25  cos  0,25  0,97
t = ∞, h(∞) = 0.
8
Строим график функции h  t   e157t cos  605t  0,25
Рис. 1.6 График функции h(t)
На графике h(t) определяем период свободных колебаний равен Tсв =
|t1 – t2| = 0,0030 – 0,0133 = 0,0103 с. Частота свободных колебаний равна
fсв = 1/Tсв = 0,097 кГц или св  2 f св  610 с1
Спектр частот гармоник получаем переключением плоттера Боде в режим «Анализ Фурье»
9
Полученные диаграммы Боде с достаточной достоверностью повторяют
теоретические диаграммы
10
Расчёт LC-фильтра
2.
Задано:
22
Первая цифра кода – тип фильтра:
f 0 , кГц
10
2 – фильтр верхних частот (ФВЧ);
f k , кГц
6,8
Вторая цифра – аппроксимация характеристики
a 0 , дБ
32,5
ослабления:
Δа, дБ
R1
1,25
400 Ом
Д
2 – по Чебышёву.
2.1 Определяем порядок ФВЧ.
n
a0  6  10lg 100,1a  1

20lg ˆ k  ˆ k2  1


32,5  6  10lg 100,1·1,25  1

20lg 1,47  1,47 2  1


32,5  6   4,77 
 5,32
8,13
для фильтров с характеристиками Чебышёва при а = 1,25 дБ, где нормированная граничная частота полосы задерживания ФВЧ
k 
f 0 10

 1,47 ;
f к 6,8
(2.2)
Рассчитанное значение округляем до n  6 .
Схемы ФВЧ и нумерация их нормированных элементов в зависимости
от порядка фильтра-прототипа и режима работы
Значения параметров элементов ФВЧ для фильтров с характеристиками Чебышёва при а = 1,25 дБ рассчитанные по формулам табл. 2.10 [1] сводим в табл. 2.1. Указанные параметры рассчитаны в предположении, что по-
11
тери в элементах фильтра пренебрежимо малы и граничная частота полосы
ˆ 0  1.
пропускания ФВЧ 
Табл. 2.1 Элементы двусторонне нагружённого ФВЧ с характеристиками Чебышёва при а = 1,25 дБ
n
6
L  
400
  ·0,00637
2 ·10000
C   
L2  0,0264 Гн
C3  23,0110
· 6 Ф
α3 3,267
α4 1,089
L4  0,0278 Гн
C5  22,1110
· 6 Ф
α5 3,140
α6 0,780
R
C1  16,4110
· 6 Ф
α1 2,339
α2 1,046
1
   ·3,9810
· 8
2 ·10000·400
L6  0,0197 Гн
1200 Ом
r2 3,000
При работе фильтра в режиме двусторонней нагрузки величину нагрузочного
сопротивления определена по формуле R 2  r2  R 0.
2.2 Определение передаточной функции фильтра
Передаточная функция полиноминального ФВЧ определяется выражением
H ( pˆ ) 
B
,
V ( pˆ )
где V ( pˆ ) – полином Гурвица степени n.
(2.3)
12
Коэффициент B в (2.3) определяет величину ослабления фильтра
ˆ  0 . Для ФВЧ с характеристикой Чебышёва при а = 1,25 дБ
на частоте 
равен B7  0,02706 .
H ( pˆ ) 

B

V ( pˆ )
0,02706
 pˆ  0,1892   pˆ  0,341 pˆ  0,224  pˆ 2  0,236 pˆ  0,647  pˆ 2  0,0842 pˆ  0,9862 
2
Передаточную функцию проектируемого фильтра H ( p) находим частотным преобразованием передаточной функции H ( pˆ ) фильтра-прототипа
нижних частот по формулы преобразования из табл. 2.13[1].
Таблица 2.13
Передаточная
функция
ФПНЧ H ( pˆ )
Формула
преобразования
Тип
фильтра
2f 0
p  2f0
1
p̂  
1
2
pˆ  1 pˆ  0
Передаточная функция
фильтра H ( p)
pˆ 
p
2f0
 2f0 2
2
p 2  2f 01 p   2f 0  0
ФВЧ
23880
570·106
570·106
570·106
H ( p) 
·
·
·
p  4517 p 2  8141 p  127·106 p 2  5635 p  369·106 p 2  2010 p  562·106
13
2.3 Расчет характеристики ослабления проектируемого фильтра
Характеристику ослабления проектируемого фильтра получаем частотным преобразованием характеристики ослабления ФВЧ, которая определяется видом аппроксимации.
При аппроксимации по Чебышёву


ˆ )  10lg  100,1a  1 Pn2  
ˆ   1 .
a (


(2.4)
где n – порядок ФВЧ;
̂ – нормированная частота ФВЧ;
ˆ ) – полином Чебышёва n-го порядка.
Pn (
Воспользуемся выражениями полиномов Чебышёва, приведёнными в
табл. 2.14[1]
n
ˆ)
Pn (
7
ˆ 7  112
ˆ 5  56
ˆ 3  7
ˆ
64
2
7
5
3




f
f
f
f








0,1·1,25
0
0
0
0
a( f )  10lg 10
 1 64    112    56    7     1 .


 f 
 f 
 f 
  f 


Расчет выполняем в программе Mathcad (demo) в частотном диапазоне
f min  f  f max для ФВЧ f min  0, f max  1, 2 f k .
14
450
400
350
300
a(f)
250
a(f)
200
150
100
50
0
0,0000
1,0000
2,0000
3,0000
4,0000
5,0000
f, кГц
6,0000
7,0000
8,0000
9,0000
15
2.4 Моделирование LC-фильтра на ПК
Моделирование LC-фильтра выполняем с помощью программы Multisim.
Строим на рабочем поле ПК схему рассчитанного фильтра с указанием
параметров элементов с точностью до четырех значащих цифр.
Заземляем узел 0 и пронумеруем узлы.
Для построения графика характеристики ослабления проектируемого
фильтра назначаем частотный диапазон f min  0  f  f max  10 кГц
16
17
Рис. 2.3 Спектр частот гармоник, АЧХ и ФЧХ фильтра
18
Литература
1. Анализ ARC-цепи и расчёт LC-фильтра: методические указания к
курсовой работе для студентов-бакалавров заочного факультета по
дисциплине «Теория электрических цепей» / В.Я. Павлов, Н.К. Логвинова, Ю.К. Черных, В.В. Сергеев, Д.В. Шушпанов; – СПб, 2013.
2. Бакалов В.П.и др. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред.
В.П. Бакалова. – 3-е изд. Телеком, 2007.
3. Хернитер М.Е. Multisim: Современная система компьютерного моделирования и анализа схем электронных устройств, 2006г.