Розділ 11. Основи теорії цифрової фільтрації

1
Розділ 11. Основи теорії цифрової фільтрації
Лекція 41 Алгоритми лінійної фільтрації.
1. Фільтри нижніх частот та їх синтез.
2. Фільтр нижних частот Батерворта.
3. Розрахунок електричної схемы ФНЧ Батерворта другого порядку.
4. Фільтр високої частоти (ФВЧ) Батерворта другого порядку (аналоговий).
5. Схемотехнічна реалізація аналогового ФВЧ.
Література: Л1, с. 444-452, Л2, с. 407-411, 415-419
Введение
При использовании на практике различных фильтров, а именно фильтров
низкой частоты (ФНЧ), фильтров высокой частоты (ФВЧ), полосовых фильтров
нередко возникает необходимость формирования амплитудно – частотних характеристик с прямоугольной формой. Однако, как было показано в предыдущих лекциях, амплитудно – частотные характеристики таких фильтров физически нереализуемы. В то же время возможна реализация фильтров с АЧХ, достаточно близкой по форме к прямоугольной. Реализация возможна как в аналоговой, так и в цифровой форме.
В этой и следующей лекциях мы рассмотрим принципы построения таких
фильтров. Вначале коснемся аналогових фильтров. А на их основе перейдем к
рассмотрению цифрових фильтров.
1. Фильтры нижних частот и их синтез.
Синтез частотно - избирательных цепей делится на несколько этапов.
1. Синтез частотных фильтров обычно начинают с того, что выбирают некоторую идеализированную функцию, которая описывает зависимость частотного
коэффициента передачи применительно для решения данной задачи. Такой метод называется синтезом фильтра по заданной АЧХ.
2. Как правило, формулы, аппроксимирующие АЧХ фильтров идеальные и на
практике физически не реализуемы. Поэтому второй этап заключается в подборе такой аппроксимирующей функции, которая на практике была бы реализуема в реальных цепях.
3. Далее по аппроксимированной АЧХ находят коэффициент передачи цепи
или передаточную функцию фильтра. Зная координаты нулей и полюсов этой
цепи данный коэффициент передачи реализуется или применяется в реальной
цепи.
Назначение ФНЧ- с максимальным ослаблением передать на выход колебания, частоты которых превосходят границы заданной граничной частоты. Такая
граничная частота называется частотой среза фильтра
 СР .
 
СР
Одновременно колебания, с частотой входящей в интервал
должны передаваться без искажений. Для ФНЧ идеальная характеристика АЧХ
выглядит следующим образом.
2
K ( j )
1 0     СР
K ( j )  
   СР
0
1
0

 СР
По теореме Винера-Хинчена данный вид характеристики идеализирован и физически нереализуем. Возникает необходимость в подборе такого аналитиче-
K ( j )
ского выражения для
, которая привела бы к возможности схемотехнической реализации.
1. На основе полученной формулы для аппроксимации идеализированной
АЧХ необходимо рассчитать частотные коэффициент передачи фильтра прототипа для аналоговой цепи.
K ( j )
2. На основании полученного коэффициента передачи
фильтра
прототипа рассчитывается импульсная переходная характеристика для аналогового фильтра прототипа. Для построения трансверсального цифрового фильтра используется метод инвариантных импульсных характеристик на основе
h(t )
дискретизации полученной
аналогового фильтра.
3. Построение рекурсивного цифрового фильтра осуществляется методом
инвариантных частотных характеристик, основанных на использовании полученного коэффициента передачи аналоговой цепи.
2. Фильтр нижних частот Батерворта.
Т.к. идеальная характеристика коэффициента передачи физически не реализуема, то одиним из возможных видов аппроксимации данного идеального
фильтра является вариант коэффициента передачи
тервортом.
K ( H ) 
1
1
H 
2n
H

 СР
K ( j ) , предложенный Ба-
где
-нормированная частота.
Фильтры, использующие такой коэффициент передачи, называются фильтрами
с максимально плоской вершиной или фильтрами Батерворта.
Число
n  1,2,3,4,... -является порядком фильтра.
K ( )
n6
n2
1
2

 СР
3
0  1
H
В полосе пропускания фильтра , где
характеристика должна
плавно уменьшаться и на частоте и на частоте среза ослабление фильтром
должно составлять 10 lg 0.5  3дБ не зависимо от порядка системы. Однако
видно, что чем больше порядок фильтра, тем точнее предложенный коэффициент перехода приближается к идеальной характеристике. Для дальнейшего син-
K ( H )
теза фильтра необходимо перейти от коэффициента перехода
фициенту передачи системы в операторном виде.
к коэф-
1
K( pH ) 
1  ( 1) n p H2 n
Отсюда видно, что на комплексной плоскости
p H   H  j H
функция
K ( p H ) , отвечающая ФНЧ с характеристикой Батерворта n-ого, имеет 2n полюсов, которые являются корнями уравнения.
1  ( 1) n p H2 n  0
Важная особенность: Если порядок фильтра нечетное число, то первый корень
p H 1  1 т.е. показатель степени
же
e
при решении уравнения равен нулю, если
-четное, то первый корень начинается с
n  нечетное
Примечание.
n  четное
pH1  e
pH 1  e
j
k
2n
pH 1  e
j
k
2n
j

2n
.
k 0
k 1
Рассчитаем аналоговый фильтр Батерворта для порядка фильтра
операторный коэффициент передачи будет.
n  2 . Тогда
1
K ( pH ) 
1  ( 1)2 pH4
Найдем корни уравнения, стоящего в знаменателе и рассмотрим их на комплексной плоскости.
Im
1  p H4  0
p H4  1
pH 2
p H1
Re
pH 3
pH 4
4
p H1  e
pH 2  e
pH 4  e
1
j
2 2
3
j
22
j
7
22
 0.707  j0.707 


1
1
j
2
2
1
2
 j
pH 3  e
5
j
22
1
2

1
1
j
2
2
1
1
j
2
2
Из рассмотренной комплексной плоскости видно, что полюса располагаются
симметрично на комплексной окружности
коэффициенты передачи можно записать.
k( pH ) 
p H 1  p H 4 . Тогда, казалось бы,
1
( p H  p H 1 )( p H  p H 2 )( p H  p H 3 )( p H  p H 4 )
Однако данное решение не целесообразно и по той же теореме Винера-Хинчена
физически нереализуема. Для физической реализации ФНЧ берутся полюса левой полуплоскости. Таким образом, решением уравнения будут
pH 3
и
pH 2  
pH 2
.
1
1
j
2
2
pH 3  
1
1
j
2
2
K( p )
H
Найдем операторный коэффициент передачи
физически реализуемого ФНЧ Батерворта аналогового типа.
Тогда.
1
1
K( pH ) 

 ... 
1
1
1
1
( p H  p H 2 )( p H  p H 3 )
( p H  (
 j
))( p H  ( 
 j
))
2
2
2
2
1
 2
pH  2 pH  1
Перейдем от нормированной лаплассовской частоты к ненормируемой. При
этом полюса.
p 2  p H 2   СР  ( 
p 3  p H 3   СР  ( 
1
2
1
2
 j
 j
Тогда K ( p ) будет записана, как.
1
2
1
2
)   СР
)   СР
5
1
K ( p) 
(
p
)  2(
2
 СР
p
 СР

 ... 
2
СР
p 2  2 СР p   СР
) 1
Операторный коэффициент передачи ФНЧ Батерворта второго порядка.
Построение АЧХ аналогового ФНЧ Батерворта второго порядка.
Для построения АЧХ перейдем от операторного коэффициента передачи к частотному ( K ( j )) .
K ( j ) 

 CP 2
( j )  2 СР ( j )  
2
2
 СР
2
( СР
  2 )  j( 2 СР )

2
CP

2
 СР
j 2 СР    
2
2
СР
2
 СР
Re 2 ( K ( j ))  Im 2 ( K ( j ))


Im
 jarctg
Re

e
ФЧХ
K ( j )  АЧХ
2
ReK ( j )   СР
2
ImK ( j )  2 СР
K ( j )

 СР
3. Расчет принципиальной схемы ФНЧ Батерворта второго порядка.
K ( p)
K ( j )
Рассчитав коэффициент передачи
и
аналогового фильтра прототипа ФНЧ Батерворта необходимо найти принципиальную аналоговую схему
, такую, которая могла бы реализовать полученные коэффициенты передачи.
Найдем операторный коэффициент передачи данной цепи.
L
R
U ВХ (t )
C
U ВЫХ (t )
6
R
pC
R 1
Z ВЫХ ( p )
pC
K ( p) 


R
Z ВХ ( p )
pC
( pL 
)
1
pC
1
 02
LC
 ... 
 2
1
1
p  2p   02
2
p 2
p
2 RC
LC
После нахождения операторного коэффициента передачи цепи необходимо поставить ему в соответствие операторный коэффициент передачи Батерворта
второго порядка.
2
 02
 СР
K ( p)  2
 2
 K ( p)
2
2
p  2p   0
p  2 CP p   CP
Чтоб заставить работать RLC цепочку, как фильтр Батерворта (с характеристикой фильтра Батерворта второго порядка.) необходимо выполнение следующих
условий.
Дано
 СР
 02 
и
R , тогда
1
1
2
  СР
L
2
LC
C СР
.
2
1
 2 СР  С 
2RC
2 R CP
4. ФВЧ Батерворта второго порядка.(аналоговый)
ФВЧ предназначен для того, чтоб с минимальным ослаблением пропускать колебания, частоты которых превышают частоту среза. Колебания с частотами, находящимися в пределах от 0 до ωср должны подавляться максимально.
Синтез ФВЧ получают путем предварительного расчета ФНЧ с той же частотой
p
среза. При этом используют метод преобразования частоты
этом точка, соответствующая
бесконечность по оси частот
для синтеза ФВЧ.
2
 СР
p' . При
p  0 будет соответствовать точке, удаленной в
p ' -новая операторная частота, предназначенная
7
2
 CP
K ( p' ) 
(
2
 CP
) 2  2 CP
p'
2
 CP
p'
2
  CP
Или операторный коэффициент передачи можно получить путем подстановки в
операторный коэффициент передачи полюсов ФВЧ полученный из полюсов
фильтра нижних частот путем изменения знака на противоположный.
Т. е. следуя теореме Винера-Хинчена для реализации ФВЧ используются полюса правой полуплоскости
при нахождении вычетов, когда ФНЧ становится
неаналитической функцией.
Примечание. Полюса ФВЧ:
p H! 
pH 4 
1
2
1
2
K ( p) 
Тогда.
1
i
i
p1  p H 1   CP
2
1
p 4  p H 4   CP
2
1
 ... 
( p  p1 )( p  p 4 )
K ( p)
 СР

5. Схемотехническая реализация аналогового ФВЧ.
Схема ФВЧ рассчитывается на основании расчета схемы ФНЧ путем замены емкости на индуктивность, а индуктивности на емкость.
ФНЧ
ФВЧ
L
C
R
C
C
1
2
 CP
L
L
1
 C
2
CP
L
R