Лабораторная работа № 1. Закон Ома для цепи переменного тока. Исследование пассивного двухполюсника. Цель работы: экспериментальное изучение закона Ома для линейных электрических цепей синусоидального тока и определение векторных соотношений между действующими значениями токов и напряжений в этих цепях. 1. Теоретическая часть. 1.1. Закон Ома для цепи переменного тока. Расчеты цепей переменного тока, состоящих из активных (R) и реактивных (L, C) элементов, можно свести к простой геометрической задаче построения векторных диаграмм напряжений и токов этих цепей. Параметры основных элементов цепей – резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности задаются их комплексными сопротивлениями (импедансами). Импеданс идеального резистора является действительной величиной и равен его сопротивлению R, комплексные сопротивления идеальных емкости и индуктивности – величины мнимые и равны соответственно: X L = jωL X C = 1 / jωC где ω=2πf – круговая частота переменного тока. Рис. 1. Для последовательного соединения, содержащего индуктивность, активное сопротивление и ёмкость (рис. 1), вектор общего напряжения цепи U можно получить как сумму векторов падения напряжений на этих элементах. Исходным вектором диаграммы должен служить вектор тока I . По второму закону Кирхгофа: U = U R + U L + UC , где все величины комплексные. Напряжение UR на сопротивлении R совпадает по фазе с током I, напряжение UL на индуктивности L опережает, а UC на ёмкости C отстаёт от тока I на угол π/2 (четверть периода). Тогда вектор общего напряжения U ,можно рассматривать как сумму трёх векторов UR, UL, и UC (рис. 2а). Полная векторная диаграмма приведена на рис. 2б. Рис. 2 Из неё следует, что общее напряжение равно: U = ( IR ) 2 + ( IωL − I / ωC ) 2 = I R 2 + ( ωL − 1 / ωC ) 2 3 Отсюда величина тока в цепи: I = U / R 2 + ( X L − X C )2 Данное выражение представляет собой закон Ома для последовательной цепи переменного тока, который можно выразить: I =U /Z , где Z = R2 + ( X L − X C )2 . Следовательно, комплексное сопротивление электрической цепи равно отношению комплексного напряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи. Напряжения и ток выражены комплексными числами. Рис. 3 Фазы комплексных напряжений соответствуют сдвигу фаз относительно комплексного тока, который при построении векторной диаграммы используется в качестве опорного. Используя рассуждения, аналогичные приведённым выше, получим закон Ома в общем виде для параллельного соединения приёмников переменного тока (рис. 3): I = U ( ∑ q )2 + ( ∑ bC − ∑ bL )2 где ∑ q – сумма активных проводимостей ветвей, а ∑ b – сумма реактивных проводимостей ветвей. Векторная диаграмма строится аналогично предыдущей, при этом исходным опорным вектором является U. 1.2. Характеристики двухполюсников. Любая электрическая цепь, рассматриваемая относительно каких-либо двух её зажимов, называется двухполюсником. На рис.4 приведено условное изображение двухполюсника в общем случае, когда внутренняя схема соединений известна или её раскрытие необязательно. Рис. 4 Двухполюсники классифицируются по различным признакам. Активным называется двухполюсник, содержащий источники электрической энергии, которые не компенсируются взаимно внутри двухполюсника. Пассивным называется двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии или содержащий источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых зажимах равно нулю. Зависимости сопротивлений или проводимостей двухполюсников от частоты называются частотными характеристиками. Индуктивность и ёмкость представляют собой одноэлементные двухполюсники. На рис.5 приведены их частотные характеристики. Частотные характеристики сложных цепей, включающих индуктивности и ёмкости, как правило, имеют точки экстремумов. 4 Рис. 5 2. Экспериментальная часть. 2.1. Задача эксперимента. В экспериментальную часть работы входит: 1. Сборка на панели мнемосхем заданных преподавателем схем двухполюсников. 2. Измерения напряжений на входе и на элементах цепей двухполюсников в зависимости от частоты и напряжения генератора. В таблице приведены схемы двухполюсников из элементов R, L, C. 2.2. Экспериментальная установка. Электрическая схема стенда приведена на рис. 6. В качестве источника питания схем используется звуковой генератор (3Г), к которому подключается двухполюсник (Д/П). Рис. 6. 5 Измерение падения напряжения проводится цифровым или стрелочным вольтметром (ЦВ), или же электронным осциллографом (ЭО) 2.3. Порядок выполнения работы. 1. Преподавателем задаются схемы двухполюсников, которые должны быть исследованы из (табл. 1), а также частоты звукового генератора и уровень входного напряжения. 2. Студент поочередно на мнемосхеме производит сборку двухполюсников и при заданных частотах производит измерения напряжений на входе схемы и элементах двухполюсника. Например, схема №10 (таблица 1). Студент зарисовывает схему, обозначает узлы, преподавателем частотах и заносит результаты в таблицу: производит измерения на заданных Рис.7. F UA-C UA-B UB-C F2 F1 Внимание, следует помнить, что индуктивность сопротивление и эквивалентируется цепочкой: в данной работе имеет собственное Рис.8. Такая работа проводится со всеми заданными преподавателем схемами. 2.4. Обработка и представление результатов работы. 1. Для каждой из заданных схем по измеренным значениям напряжений на элементах цепи двухполюсника на заданных частотах рассчитать токи в ветвях и построить полные векторные диаграммы. Входное напряжение принять равным измеренному. Например, рассмотрим схему №5 из таблицы. Рис.9. Пусть заданы UВХ = 2 В; f = 103 Гц; R = 20 Ом; RL = 10 Ом; L = 10-3 Гн (данные параметры не соответствуют параметрам стенда и взяты для примера) 6 Расчетная часть 1. Расчет токов в ветвях. U вх 2 = = 0,1А; R 20 U U ВХ 2 I 2 = ВХ = = = 1,7 А 2 3 Z ( 2π ⋅ 10 ⋅ 10 − 3 ) 2 + 10 2 (ωL ) + R L2 I1 = 2. Расчет падений напряжений на элементах L и RL. U L = I 2 ⋅ ωL = 0,17 ⋅ 2π ⋅ 10 3 ⋅ 10 −3 = 1,06 В; U RL = I 2 ⋅ R L = 0,17 ⋅ 10 = 1,7 В 3. Ток I3 может быть найден при построении векторной диаграммы в масштабе или расчетно. Векторная диаграмма: Рис. 10. 4. Расчет тока I3: он может быть найден с использованием теоремы косинусов (см. векторную диаграмму). I 3 = I 12 + I 22 − 2 I 1 ⋅ I 2 ⋅ cos(180 − ϕ ) ; где tg ϕ = тогда: U L 1,06 = = 0,62; U RL 1,7 ϕ = 31,9 0 ; I 3 = 0,12 + 0,172 − 2 ⋅ 0,1⋅ 0,17⋅ cos(180− 31,9) = 0,26А 5. Построить расчетные векторные диаграммы. Векторные диаграммы должны быть построены на миллиметровке, в заданном масштабе. Обработка экспериментальных данных 1. По измеренным значениям напряжений на входе и элементах цепи двухполюсника построить полные экспериментальные векторные диаграммы в тех же масштабах. 2. Сравнить теоретические и экспериментальные векторные диаграммы, объяснить расхождение. Отчет каждого студента должен содержать: 1. Схемы двухполюсников и таблицы с измеренными данными на частотах, заданных преподавателем. 2. Расчеты токов в ветвях схем по измеренным данным с приведением расчетных формул. 3. Векторные диаграммы по экспериментальным данным. 4. Теоретические расчеты схем с приведением расчетных формул. Входное напряжение принимать равным измеренному. 5. Теоретические векторные диаграммы, выполненные в том же масштабе, что и экспериментальные. 6. При защите лабораторной работы студент кроме хорошего владения представленными в отчете сведениями и ответами на контрольные вопросы должен показать умение построения векторных диаграмм (в общем виде) для схем любой сложности. Контрольные вопросы: 1. Какие двухполюсники называются активными, и какие – пассивными? 2. Что такое амплитудное, мгновенное и действующее значение тока и напряжения? 3. В каких элементах схемы ток по фазе опережает напряжение и насколько? В каких элементах схемы ток по фазе отстает от напряжения? 7 ПРИЛОЖЕНИЕ Порядок расчета пассивных двухполюсников показан на примере схемы рис. 11. При расчете студент подставляет заданные параметры элементов стенда, напряжение и частоту. Рис. 11. 1. Привести схему А к виду Б, где: Z1 = R1 + jωL1 , Z 2 = R2 + 1 , Z 3 = R3 + jωL2 jω C 2 R12 + (ωL ) напомним, что модуль, например Z1: Z 1 = 2. Привести схему Б в виду В, где 1 ) ⋅ ( R3 + jωL2 ) Z2 ⋅ Z3 jω C = ZЭ = 1 Z2 + Z3 + jωL2 R 2 + R3 + jω C ( R2 + Раскрыть скобки и умножить числитель и знаменатель на j, производим преобразования, получаем: R3 L − R2ωL2 ) + j ( R2 ⋅ R3 + 2 ) C Z Э = ωC 2 1 − ω L2 C + j ( R2 + R3 ) ωC ( Умножив числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное со знаменателем, получим: R3 1 − ω 2 L2 C L − R2ωL2 ) + j ( R2 ⋅ R3 + 2 )] ⋅ [ − j ( R2 + R3 )] ωC C Подставив значения Z Э = ωC 1 − ω 2 L2 C 2 ( ) + ( R2 + R3 ) 2 ωC R2 , R 3 , С , L2 и выполнив преобразования, приводим Z Э к виду: Z Э = a + jb [( Модуль ZЭ : ZЭ = a2 + b2 3. Определить входной ток: I вх = U вх , где Z 1 + Z Э = R1 + jωL1 + a + jb = A + jB Z1 + Z Э Z1 + Z Э = A2 + B 2 4. Определить падение напряжения на параллельной цепочке: U БВ = I вх ⋅ Z Э 5. Определить токи в ветвях между точками б и в: I1 = 8 U БВ U ; I 2 = БВ Z2 Z3 6. Определить падение напряжения на всех элементах ветвей: U L 2 = I 2 ⋅ ωL2 ; U R 3 = I 2 ⋅ R3 ; U R 2 = I 1 ⋅ R2 ; U C = I 1 ⋅ 1 ωC U R1 = I вх ⋅ R1 ; U L1 = I вх ⋅ ωL1 7. По полученным значениям построить расчетную векторную диаграмму. Ее построение должно быть выполнено в выбранных масштабах напряжения и тока. Порядок построения: – можно начать построение с тока I1; выберем произвольно его направление и отложим его длину в выбранном масштабе (см. векторную диаграмму); – к вектору I1 достраиваем векторы UR2 и UC – напряжения на С и R2; их сумма даст напряжение UБВ между точками б и в, которое приложено также и к ветви R3 - L2 , т. е. UБВ является также падением напряжения на R3 - L2; – построим векторы UR3 и UL2: очевидно, что в этой цепи ток отстает от UБВ из-за наличия индуктивности; циркулем от точки б откладываем траекторию вектора UR3, а от точки в откладываем UL2 , их пересечение есть место соединения векторов UR3 UL2 (точка С), угол между ними должен составлять 900 , их сумма равна UБВ, а ток I2 направлен по вектору UR3. Входной ток Iвх равен сумме векторов I1 и I2; – векторы падения напряжений на элементах цепи а-б UR1 и UL1 строятся относительно входного тока Iвх, протекающего по этой ветви; их сумма дает падение напряжения на этой ветви UАБ ; – сумма векторов UАБ и UБВ дает вектор входного напряжения Uвх. Векторная диаграмма (здесь в общем виде) приведена на рис. 12. Рис.12 9
