Олимпиада - 7 класс (гимназии и лицеи)

ВАРИАНТ 1. Задания для гимназий и лицеев.
1. Найдите остаток от деления на 13 числа 32015+52015 .
2. Найдите все целые значения a, при которых дробь
3.
4.
5.
6.
7.
𝑎2 −8
𝑎+2
принимает
целые значения.
Дана таблица 10x10, в которой записаны числа от 1 до 100.
Закрашивается 10 клеток так, что в каждой горизонтали и в каждой
вертикали ровно одна закрашенная клетка. После закрашивания
находится сумма чисел, записанных в этих закрашенных клетках.
Каждый из 5 человек привел свои варианты закрашивания. Чему равна
общая сумма полученных 5 чисел?
Указание: пронумеровать строки:0;10;…90
Пронумеровать столбцы: 1,2,3..10
Средний возраст 15 хоккеистов 25 лет. В ходе игры два хоккеиста
получили травму и выбыли из состава игроков, причем один из них был
старше другого на 3 года. Средний возраст оставшихся составил 24 года.
Сколько лет каждому, выбывшему из игры, хоккеисту?
Вычислить сумму: 7+5+10+15+20+…+1000 .
Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5*5 клеток,
так чтобы каждый из них бил ровно двух других? (Приведите пример и
объясните, почему больше коней расставить нельзя.)
В некотором институте преподаватели Жукова, Комарова и Цветкова
ведут занятия по алгебре, физике, астрономии, информатике,
программированию, теории вероятностей. Каждая из них преподает по
два предмета. Преподаватель по программированию и преподаватель по
физике работают на одной кафедре. Комарова - самая младшая из них.
Все трое - Цветкова, преподаватель по теории вероятностей и
преподаватель программирования-кандидаты наук. Преподаватель по
теории вероятностей младше преподавателя астрономии. В свободное
время, преподаватель алгебры, преподаватель астрономии и
преподаватель Комарова обычно принимают пересдачу. Кто какие
предметы преподает?