Загрузил i-lightly

210504 stroitelmaya mehanika lek1.1

Реклама
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
Обобщенные силы и перемещения
Начало возможных перемещений и закон сохранения энергии позволили
получить другие методы определения перемещений в стержневых системах.
Как известно из теоретической механики, работа постоянной силы Р на
перемещении  по ее направлению равна произведению величины силы на
указанное перемещение:
А  Р
В задачах сопротивления материалов и строительной механики внешняя
нагрузка отличается большим разнообразием и обычно представляет собой
группы сил. Выражение для работы группы постоянных сил также можно
представить в виде произведения двух величин
(1)
А  Р  Р,
в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется
обобщенной силой, а  Р зависит от перемещений и называется обобщенным
перемещением.
Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку
(сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную нагрузку), а
под обобщенным перемещением - тот вид перемещения, на котором
обобщенная сила производит работу.
Рассмотрим некоторые примеры часто встречающихся обобщенных сил
и обобщенных перемещений.
1. На рис. 1 показана обобщенная сила, состоящая из двух равных по
величине противоположных сил Р , приложенных в точках А и В и
направленных по одной прямой. Предположим. Что точки приложения сил А
и В переместились в направлении ВА на отрезки 1 и  2 . Очевидно, работа
системы постоянных сил на этих перемещениях
А  Р  1  Р   2  Р  1   2   Р   Р , (2)
где  Р  1   2  l – изменение расстояния l между точками
приложения сил.
Рис. 1
Следовательно, P в данном случае – обобщенная сила, а изменение l
длины отрезка АВ - обобщенное перемещение.
2. Пусть группа сил состоит из двух пар сил, момент каждой из которых
M  P  a (рис. 2). Допустим, что элемент АВ повернулся на угол d1 , а
элемент CD на угол d 2 .
Рис. 2.
Легко убедиться, что обобщенной силой является момент пары М , а
обобщенным перемещением – изменение угла  между элементами АВ и
CD :
 Р  d1  d 2
Рассматривая достаточно жесткие конструкции, деформации которых
следуют закону Гука, можно на основании принципа независимости действия
сил определить полные перемещения точек как сумму перемещений,
вызванных отдельными нагрузками.
Рис. 2
Для показанной на рис. 3 балки прогиб и угол поворота сечения В
можно записать в виде
 Р   РР   РQ   PM
Р;
(3)
 M   MР   MQ   MM
где  Р - полное перемещение сечения В в направлении действия силы
 РР - перемещение сечения В в направлении действия силы Р от
действия силы Р ;
 РQ - перемещение сечения В в направлении действия силы Р от
действия силы Q ;
 РM - перемещение сечения В в направлении действия силы Р от
действия момента М ;
 M - полное перемещение сечения B по направлению пары М (угол
поворота).
 MР - перемещение сечения В в направлении действия пары М от
действия силы Р ;
 МQ
- перемещение сечения В в направлении действия пары М от
действия силы Q ;
 МM - перемещение сечения В в направлении действия пары М от
действия пары М ;
Перемещение, вызванное единичной силой ( P  1 ) или единичной парой
( М  1 ), будем обозначать буквой  и называть удельным. При этом условимся
считать единичные силы и единичные пары, вызывающие перемещения  ,
безразмерными.
Если единичная сила P  1 вызвала удельное перемещение  Р , то на
основании принципа независимости действия сил полное перемещение,
вызванное силой Р ,
(4)
Р  Р  Р
Работа внешних сил
При деформации конструкций происходит перемещение точек
приложения внешних сил, при этом внешние силы на заданных перемещениях
совершают работу.
Вычислим работу некоторой обобщенной силы Р (рис. 4), которая
возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы можно
было пренебречь силами инерции перемещаемых масс. Такую нагрузку
принято называть статической.
Рис. 3
Пусть в произвольный момент деформации силе Р соответствует
обобщенное перемещение  . Бесконечно малое приращение силы на величину
dP вызовет бесконечно малое приращение перемещения d . Очевидно, что
элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми
величинами второго порядка,
dA  ( P  dP )  d  P  d
Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной
силой Р , вызвавшей обобщенное перемещение  ,
(5)
A   P  d

Полученный интеграл представляет собой площадь диаграммы P   ,
которая для линейно деформированных систем является площадью
треугольника с основанием окончательного значения перемещения  и
высотой окончательного значения силы Р
А
Р
(6)
2
Рис. 4
Таким образом, действительная работа при статическом действии
обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения
окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего
ей обобщенного перемещения (теорема Клапейрона).
В случае статического действия на упругую систему нескольких
обобщенных сил работа деформаций равна полусумме произведений
окончательного значения каждой силы на окончательное значение
соответствующего суммарного перемещения
1
А   Pi   i
2
(7)
и не зависит от порядка нагружения системы.
Работа внутренних сил
Внутренние силы, возникающие при деформировании упругих систем,
также совершают работу.
Рассмотрим элемент стержня длиной dl (рис. 6). В общем случае для
плоского изгиба действие удаленных частей стержня на оставленный элемент
выражается равнодействующими осевыми силами N , поперечными силами Q
и изгибающими моментами M . Эти усилия, показанные на рис. 6 сплошными
линиями, по отношению к выделенному элементу являются внешними.
Рис. 5
Внутренние силы, показанные штриховыми линиями, препятствуют
деформации, вызываемой внешними силами, равны им по величине и обратны
по направлению.
Вычислим работу, совершенную отдельно каждым внутренним силовым
фактором.
Пусть элемент испытывает только действие осевых усилий, равномерно
распределенных по сечению (рис. 6).
Рис. 6
Удлинение элемента в результате этого
ds 
N  ds
,
EF
Работа, постепенно возрастающих от нуля до величины N внутренних
сил на этом перемещении.
1
N 2  ds
dW N    N  ds  
2
2 E  F
(8)
Работа внутренних сил отрицательна, поэтому в полученной формуле
стоит знак «минус».
Рассмотрим теперь элемент, находящийся под действием изгибающих
моментов (рис. 8).
Взаимный угол поворота сечений элемента
d  ds 
1

 ds 
M
.
EJ
Работа изгибающих моментов
1
M 2  ds
dW N    M  d  
2
2 E  J
(9)
Рис. 7
Работу постепенно возрастающих внутренних поперечных сил с учетом
распределения касательных напряжений по поперечному сечению и на
основании закона Гука можно записать в следующем виде
1
Q 2  ds
dWQ    k y 
,
2
GF
(10)
где k y - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.
Если стержень подвергается кручению, элементарная работа постепенно
возрастающих крутящих моментов
2
M КР
 ds
1
dW   M КР  d  
2
G  JK
(11)
Наконец в общем случае действия на брус в сечениях имеем шесть
внутренних силовых факторов, работу которых можно определить по формуле
M y2  ds
2
M z2  ds
M KP
 ds
W  
 


S 2 E  J y
S 2 E  Jz
S 2G  JK
N  ds
2

S
2 E  F
  ky 
S
Q 2y
 ds
2G  F
  kz 
S
(12)
 ds
2G  F
Q 2z
Начало возможных перемещений
Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики,
имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним
этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система
находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ
внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях
системы равна нулю.
 Pi   im  Wim  0 , (13)
где Pi - внешние силы;  im - возможные перемещения этих сил; Wim работа внутренних сил.
Заметим, что в процессе совершения системой возможного
перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются
неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а
полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.
Рассмотрим два состояния какой-либо системы, находящейся в
равновесии (рис. 9). В состоянии а система деформируется обобщенной силой
Ра
(рис. 9, а), в состоянии b - силой Pb (рис. 9, б).
Работа сил состояния а на перемещениях состояния b , как и работа
сил состояния b на перемещениях состояния а , будет возможной.
Aab  Pa   ab
Aba  Pb   ba
(14)
Вычислим теперь возможную работу внутренних сил состояния а на
перемещениях, вызванных нагрузкой состояния b . Для этого рассмотрим
произвольный элемент стержня длиной ds в обоих случаях. Для плоского
изгиба действие удаленных частей на элемент выражается системой усилий
Na
, Q a , M a (рис. 10, а). Внутренние усилия имеют направления,
противоположные внешним (показаны штриховыми линиями). На рис. 10, б
показаны внешние усилия N b , Q b , M b , действующие на элемент ds в
состоянии b . Определим деформации, вызванные этими усилиями.
Очевидно удлинение элемента ds , вызванное силами N b
ds b

N b  ds
.
EF
Работа внутренних осевых сил N a на этом возможном перемещении
 N a  ds b  
N a  N b  ds
.
EF
(15)
Взаимный угол поворота граней элемента, вызванный парами M b ,
d b

M b  ds
.
EJ
Работа внутренних изгибающих моментов M a на этом перемещении
 M a  d b  
M a  M b  ds
.
EJ
(16)
Аналогично определяем работу поперечных сил Q a на перемещениях,
вызванных силами Q b
Q a    ds b   k 
Q a  Q b  ds
. (17)
GF
Суммируя полученные работы, получаем возможную работу
внутренних сил, приложенных к элементу ds стержня, на перемещениях,
вызванной другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом b
dWab  
M a  M b  ds N a  N b  ds
Q  Q b  ds

k a
(18)
EJ
EF
GF
Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим
полное значение возможной работы внутренних сил:
M a  M b  ds
N  N  ds
 a b

EJ
EF
s
s
(19)
Q  Q  ds
k  a b
GF
s
Wab   
Применим начало возможных перемещений, суммируя работу
внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим
общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой
стержневой системы:
N  N  ds
 M  M b  ds
  a b

 Pa   ab    a
E

J
E

F
s
s

Q  Q  ds 
 k  a b
0
G  F 
s
(20)
Т. е., если упругая система находится в равновесии, то работа внешних
и внутренних сил в состоянии а на возможных перемещениях, вызванных
другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом b , равна нулю.
Теоремы о взаимности работ и перемещений
Запишем выражения начала возможных перемещений для балки,
показанной на рис. 2.2.9, приняв для состояния а в качестве возможных
перемещения, вызванные состоянием b , а для состояния b - перемещения,
вызванные состоянием а .
N  N  ds
 M  M b  ds
Pa   ab    a
  a b

EJ
EF
s
 s
Q  Q  ds 
 k  a b
0

GF 
s
(21)
N  N  ds
 M  M a  ds
Pb   ba    b
  b a

E

J
E

F
s
 s
Q  Q  ds 
 k  b a
0

G

F
s

(22)
Так как выражения работ внутренних сил одинаковы, то очевидно, что
(23)
Pa   ab  Pb   ba
Полученное выражение носит название теоремы о взаимности работ
(теоремы Бетти). Она формулируется следующим образом: возможная работа
внешних (или внутренних) сил состояния а на перемещениях состояния b
равна возможной работе внешних (или внутренних) сил состояния b на
перемещениях состояния а .
Применим теорему о взаимности работ к частному случаю нагружения,
когда в обоих состояниях системы приложено по одной единичной
обобщенной силе Р1  1 и Р2  1 .
Рис. 11
На основании теоремы о взаимности работ получаем равенство
 ab   ba , (24)
которое носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы
Максвелла). Формулируется она так: перемещение точки приложения первой
силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно
перемещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному
действием первой единичной силы.
Теоремы о взаимности работ и перемещений существенно упрощают
решение многих задач при определении перемещений.
Пользуясь теоремой о взаимности работ, определим прогиб  21 балки
посредине пролета при действии на опоре момента М (рис. 12, а).
Используем второе состояние балки – действие в точке 2
сосредоточенной силы Р . Угол поворота опорного сечения 12   0 определим
из условия закрепления балки в точке В:
 
3


l
3

1 P l
2
v x  l    0  l 
   P 
0
EJ  2 6
6 


Рис. 12
P l2
0  
 12
16  E  J
Согласно теореме о взаимности работ
M  12  P   21 ,
откуда
 21
M  12
M l2


P
16  E  J
(25)
Скачать