пособие по решению задач. часть 4, магнетизм (ВолгГТУ)

Сухова Т.А., Суркаев А.Л.,
Кумыш М.М., Зубович С.О.
ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ФИЗИКА
ЧАСТЬ IV
МАГНЕТИЗМ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕГНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Т.А. Сухова, А.Л. Суркаев,
М.М. Кумыш, С.О. Зубович
ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ФИЗИКА
ЧАСТЬ IV
МАГНЕТИЗМ
Учебное пособие
(для студентов технических вузов)
Волгоград 2013
УДК 53 (075.5)
Рецензенты:
зав. каф. “Общая физика ”филиала
ФГБОУ ВПО “Национальный исследовательский
университет (МЭИ)” в г. Волжском
д.ф-м.н., профессор, В.Г. Кульков
доц. каф. “Общая физика ”филиала
ФГБОУ ВПО “Национальный исследовательский
университет (МЭИ)” в г. Волжском
к.ф-м.н. Поляков А.С.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Сухова Т.А., Суркаев А. Л., Кумыш М. М., Зубович С.О.
Пособие по решению задач. Физика. Часть IV. Магнетизм: учебное пособие
/ Сухова Т.А., Суркаев А.Л., Кумыш М.М., Зубович С.О. / ФГБОУ ВПО
ВПИ (филиал) ВолгГТУ. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2013. – 81 с.
ISBN 978-5-9948-0420-9
Учебное пособие написано в соответствии с государственным образовательным
стандартом для высшего специального образования.
Пособие содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюстрирующие основные понятия раздела «Молекулярная физика и термодинамика» курса
«Общая физика». Подробно рассмотрены типовые задачи. В начале каждого раздела
приводятся основные формулы и определения. В приложении даны необходимые справочные данные. Пособие может использоваться при проведении аудиторных практических занятий среди студентов технических специальностей вузов.
Пособие может быть полезно для студентов всех специальностей.
ISBN 978-5-9948-0420-9
Илл. – 21, библиогр. - 15 назв, таблиц - 5
 Волгоградский
государственный технический
университет, 2013
 Волжский политехнический
институт, 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие авторов……………………………………………………….
4
Глава 1. Магнитное поле…………………………………………………..
5
1.1. Основные определения и формулы…………………………….
5
1.2. Примеры решения задач………………………………………..
7
1.3. Задачи для самостоятельного решения………………………..
20
Глава 2. Электромагнитная индукция…………………………………..
26
2.1. Основные определения и формулы…………………………….
26
2.2. Примеры решения задач………………………………………..
27
2.3. Задачи для самостоятельного решения………………………..
40
Глава 3. Магнитные свойства вещества………………………………...
47
3.1. Основные определения и формулы…………………………….
47
3.2. Примеры решения задач………………………………………..
48
3.3. Задачи для самостоятельного решения………………………..
50
Глава 4. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля……….
53
4.1. Основные определения и формулы……………………………
53
4.2. Примеры решения задач………………………………………..
54
4.3. Задачи для самостоятельного решения………………………..
56
Глава 5. Электромагнитные колебания…………………………………
58
5.1. Основные определения и формулы……………………………
58
5.2. Примеры решения задач………………………………………..
60
5.3. Задачи для самостоятельного решения………………………..
65
Глава 6. Электромагнитные волны………………………………………
72
6.1. Основные определения и формулы…………………………….
72
6.2. Примеры решения задач………………………………………..
73
6.3. Задачи для самостоятельного решения………………………..
75
Приложение………………………………………………………………….
77
Литература…………………………………………………………………...
79
Предисловие авторов
Роль физики в современном естествознании и ее значение в технике
общеизвестны. Физика является основополагающей дисциплиной в техническом вузе и составляет в настоящее время основу техники будущего.
Известно, что процесс изучения физики включает три основных компонента: освоение теории, овладение методом физического эксперимента,
приобретение навыков решения задач. Последняя компонента является
наиболее эффективной в изучении и понимании физических процессов и
явлений, что определяет качество подготовки студентов технического вуза.
Пособие является итогом длительной работы коллектива авторов
кафедры “Прикладная физика” Волжского политехнического института
(филиала) Волгоградского государственного технического университета и
предназначается для студентов всех форм обучения. Также, оно может
быть использовано студентами и других инженерно-технических специальностей, обучающихся по программе курса общей физики, так как сделанный выбор ни коем образом не сказывается на полноте охвата вузовской программы по физике.
Данное пособие посвящено разделу «Магнетизм». Представление о
содержании пособия в целом, его структуре и порядке изложения материала описано в оглавлении. Многие задачи являются авторскими. В пособие также включены наиболее удачные, в рамках поставленной цели,
задачи других авторов. Все пособие разделено на главы по тематике решаемых задач. Каждая глава пособия состоит из трех частей. В первой
части излагаются основные определения, формулы, законы в удобном для
использования виде. Во второй части соответствующей главы приводятся
примеры полного решения задач, а нумерация формул производится в
пределах задач, так как носит вспомогательный характер. В третьей части
каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения. Нумерация рисунков производится по главам. Задачи для самостоятельного решения имеют единую в пределах всего пособия нумерацию. Для решения
некоторых задач, включенных в данное пособие, потребуются знания
дифференциального и интегрального исчисления.
4
ГЛАВА 1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1.1. Основные определения и формулы
По закону Био-Савара-Лапласа элемент контура d , по которому течет
ток I , создает
 в некоторой точке А пространства магнитное поле индукция
которого dB равна

 0  I d  , r
dB 
,
4
r3
где  0  4  10 7 Гн/м - магнитная постоянная;  - магнитная проницае
мость среды; r - радиус-вектор, проведенный от элемента тока d до точки А, r - расстояние отэлемента тока d до точки А.
Модуль вектора dB
  I sin  dl
dB  0
,
4
r2


где  - угол между радиусом-вектором r и элементом тока dl . Применяя
закон Био-Савара-Лапласа к контурам различного вида, можно найти:
1) магнитную индукцию магнитного поля в центре кругового тока
I
B  0
,
2R
где R - радиус кривизны проводника.
2) магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,
  2I
B 0
,
4 R
где R - расстояние от оси проводника.
Механический момент, действующий на контур с током, помещенный
в однородное магнитное поле,

 
М  рm В ,

где В - магнитная индукция; pm - магнитный момент конура с током:


pm  ISn ,

где S - площадь контура с током; n единичный
вектор нормали к поверх
ности контура. Связь магнитной индукции В и напряженности H магнитного поля


B  0  H .
Магнитное поле оказывает силовое действие на заряженную частицу,
движущуюся в этом поле.
Лоренца:
 Сила

F  q [  B ], или F  qB sin  ,

 
где  - скорость заряженной частицы;  - угол между векторами  и B .


5



Отношение магнитного момента pm к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся no круговой орбите:
pm 1 q

,
L 2m
где q - заряд частицы; m - масса частицы.
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь площадку dS
 
dФB  B dS  Bn dS
а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности:
ФB  BS cos  , или Ф  Bn S ,
где S - площадь контура;  - угол между нормалью к плоскости контура и
вектором магнитной индукции;
б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности:
ФB   Bn dS ,
S
интегрирование ведется по всей поверхности.
Потокосцепление (полный поток):
  NФ.
Эта формула верна для соленоида и тороида c равномерной намоткой
плотно прилегающих друг к другу N витков.
Элементарная работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
dA  I dФ ,
где dФ - магнитный поток, пересекаемый движущимся проводником
Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле:
A  I Ф ,
где Ф - изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.
6
1.2. Примеры решения задач
1.1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым
текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены нарасстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 1.1),
отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r1 = 5 см, от другого
- r2 = 12 см.
Дано:
Решение:
Для нахождения магнитной индукции В в точке А
I 1  I 2  I  60 A;
воспользуемся принципом суперпозиции магнитных
d  10 см  10 -1 м;
полей. Для этого
 определим направления магнитной
r1  5 см  5  10 -2 м ;
индукции B1 и B 2 полей, создаваемых каждым провод-2
r2  12 см  12  10 м . ником с током в отдельности, и сложим их геометриче  
B  B1  B2 .
__________________ ски:
B ?

Абсолютное значение магнитной
B
индукции В может быть найдено по

теореме косинусов для параллелоB2

грамма:
B
1
A
B  B12  B22  2 B1 B2 cos  , (1)

где  - угол между векторами B1 и
r2


B2 .
r1
C
Значения магнитных индукций
d
(здесь и далее, если не указанна среI
I
да, имеется в виду, что проводник
D
находится в вакууме и, следовательРис. 1.1
но,  = 1) В1 и В2 выражаются соответственно через силу тока и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А:
I
I
B1  0 ; B2  0 .
2r1
2r2
I
Подставляя выражения B1 и В2 в формулу (1) и вынося 0 за знак кор2
ня, получим
I 1 1
2
B 0


cos  .
(2)
2 r12 r22 r1 r2
Вычислим cos  . Заметив, что  =  DAC (как углы с соответственно
перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов (для треугольника)
7
запишем d 2  r12  r22  2 r1 r2 cos  , где d - расстояние между проводами.
Отсюда
r 2  r22  d 2
cos   1
.
2 r1 r2
После подстановки числовых значений получим
5 2  12 2  10 2 23
cos  

.
2  5  12
40
Подставляя в формулу (2) значения I, r1, r2 и cos, определяем искомую
индукцию:
4  3 ,14  10 7  60
1
1
2
23
B


 Тл 
2
2
2  3 ,14
( 0 ,05 ) ( 0 ,12 )
0 ,05  0 ,12 40
 3,08  10 4 Тл  308 мкТл
.
Ответ: B  308 мкТл .
1.2. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой I  20 А .

Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого проводником в
точке, удаленной от него на расстояние r = 4 см.
Дано:
I  20 A
r  4 см  0,04 м
Решение:
Магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно
длинным проводником ничтожно малого сечения, обладает осевой симметрией. Это значит, что абсолют__________ ___
ная величина магнитной индукции B в данной точке
B -?
будет зависеть
только от ее расстояния до проводника.
Поэтому все точки на окружности радиуI
са r (рис. 1.2), лежащей в плоскости, перпендикулярной проводнику, будут иметь

одинаковое значение магнитной индукB
ции:
1
B  0
,
(1)
2 r
По току
где 0 - магнитная постоянная.
Направление вектора В зависит от положения точки на окружности и направления тока в проводнике.
Этот вектор направлен по касательной
к проведенной нами окружности (это
Рис. 1.2
следует из закона Био-Савара-Лапласа,
записанного в векторной форме). Линия, касательная к которой в каждой
точке совпадает с направлением вектора магнитной индукции, называется
8
магнитной силовой линией. Окружность на рисунке удовлетворяет этому
условию, а, следовательно, является магнитной силовой
линией. Направ
ление магнитной силовой линии, а значит, и вектора B определено по правилу правого винта.
В формулу (1) подставим числовые значения величин и произведем вычисления:
20
B  4  10  7
 10  4 Тл  0 ,1 мТл .
2  4  10  2
Ответ: B  0 ,1 мТл .
1.3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной
 a = 10 см, течет ток силой I = 100 А. Найти магнитную индукцию B в точке пересечения диагоналей квадрата.
Дано:
a  10 см  0 ,1 м
I  100 A
Решение.
Расположим квадратный виток в плоскости чертежа (рис. 1.3). Согласно принципу суперпозиции
магнитных полей, магнитная индукция поля квадратного витка будет равна геометрической сумме
__________ ____
B ?
магнитных индукции полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:
  
 
B  B1  B2  B3  B4 .
(1)
В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут
направлены перпендикулярно плоскости витка.
Кроме того, из соображений симметрии следует, что абсолютные значения
этих векторов одинаковы:
B1 = B2 = B3 = B4.
Это позволяет векторное равенство (1)

заменить скалярным равенством
B
B  4 B1 .
(2) I
I
O
Магнитная индукция B1 поля, создаваемого отрезком прямолинейного
1 r0
провода с током, выражается форму2
лой:
I
a
B1  0 (cos  1  cos  2 ) .
(3)
4r0
Рис. 1.3
Учитывая, что 2 =  - 1 и cos2 =
- cos1 (см. рис. 1.3), формулу (3) можно переписать в виде
I
B1  0 cos 1 .
2r0
9
Подставив это выражение в формулу (2), найдем
2 I
B  0 cos  1 .
r0
2
(так как 1 = /4), получим
2
2 2 0 I
B
.
a
Подставим в эту формулу числовые значения физических величин и
произведем вычисления:
2 2  4  10 7  10 2
B
Тл  1,13  10 3 Тë  1,13 ìÒë
 0 ,1
Ответ: B  1,13 мТл .
Заметив, что r0 = а/2 и cosa1 =
1.4. Определить магнитную индукцию  поля в точке  , если по бесконечно длинному проводнику, имеющему конфигурацию, изображенную
на рис. 1.4 течет ток   3 , длина a  20 см. Относительную максимальную проницаемость  считать равной 1.
Дано:
a  20 см  0 ,2 м
  3
______________
В=?
Решение:
Индукция в точке  является суперпозиций индукций, создаваемых каждым из элементов проводника. Индукция, создаваемая двумя лучами с вершинами в точке  и  , уходящими в бесконечность,
равна индукции прямолинейного бесконечно длинного проводника В за исключением индукции, создаваемой отрезком  .
Кроме того, индукции, создаваемые отрезками С и ДЕ в точке 
равны между собой. На основании этого
(1)
 а     ВВЕ  2 В ДЕ  ВСД
Запишем выражения для каC
2a
ждого из слагаемых в (1):
В 
BBE 
0 I
2 a
0 I E
cos OEA
2 a
a
2a
I

B
A
Рис.1.4
10
0 I
cos  АДМ   cos  АЕМ  ВСД  0 I cosСДА
2 a
2 a
Рассматривая соответствующие треугольники, находим косинусы углов
a
1
2а
а


cosOEA 

cos

АДМ


2
5
2a 2
4а 2  а 2
a
1
à
1
cosAEM  

cos


ÑÄÀ



2
5
2a 2
4à 2  à 2
B ДЕ 
Подставляя эти значения в (2) и (1), получим:
  
2
3 
6
Ва  0  1 

  2 ,79  10 Тл.
2 а 
2
5
6
Ответ: Ba  2.79  10 Тл .
1.5. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому
течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами
при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его
противоположных сторон, на угол: 1)  1  90 0 ; 2)  2  3 0 .При повороте
контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
Дано:
a  10 см
Решение:
На контур с током магнитном поле действует момент
сил (рис. 1.5).
I  100 A
M  pm B sin  ,
(1)
B  1Тл
где pm - магнитный момент контура; B - магнитная индук
1 ) 1  90 0
ция;  - угол между вектором pm , направленным по нор
2 ) 2  3 0
мали к контуру, и вектором B . По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в
__________
магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (M = 0),
A ?


а значит,  = 0, т.e. вектора pm и B совпадают по направлению. Если
внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший
момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить
контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться
работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA  M d . Подставив сюда выражение M по формуле (1) и учтя, что pm  I S  I a 2 , где I - сила тока в контуре; S = a2 площадь контура, получим, dA  I B a 2 sin  d . Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол;
11

A  I B a 2  sin  d .
(2)
0
1) Работа при повороте на угол 1  90 0 :
 2
A1  I B a
2

 2
sin  d  I B a 2 (  cos  ) 0  I Ba 2 .
(3)
0
Выразим числовые значения величин в единицах СИ: I = 100 А,
B = 1 Тл, a = 10 см = 0,1 м, и подставим в (3):
A1  100  1  ( 0 ,1 )2 Äæ  1 Äæ .
a
2) Работа при повороте на угол
 2  3 0 . В этом случае, учитывая, что
I
угол 2 мал, заменим в выражении (2)

p
sin    :
m
2

1

A2  I B a 2   d  I B a 2 22 .
(4) a
B
2
0
Выразим угол 2 в радианах. После
подстановки числовых значений вели
чин в (4) найдем
M
Рис. 1.5
A2  100  1  ( 0 ,1 )2  ( 0 ,0523 )2 Дж  1,37  10 3 Дж  1,37 мДж .
Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы
тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:
A   I   I (  1   2 ) ,
где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 то же, после перемещения.
Если 1 = 90°, то Ф1 = BS, Ф2 = 0. Следовательно, A  I B S  I B a 2 ,
что совпадает с полученным выше результатом (3).
Ответ: 1) A  1 Дж ; 2) А  1,37 мДж .
1.6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U  400 В ,
попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 103 А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона
в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.
12
Дано:
U  400 В
H  10 3 A м
___________
R ?
n ?
Решение:
Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на
движущийся в магнитном
поле электрон дейст
вует сила Лоренца Fл (действием силы тяжести
можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сооб-
щает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона можно записать Fл  m a n , где аn - нормальное ускорение, или
m 2
e B sin  
,
(1)
R
где e - заряд электрона;  - скорость электрона; В - магнитная индукция; m
- масса электрона; R - радиус кривизны траектории;
 - угол между на

 
правлением вектора скорости  и вектором B (в данном случае   B
  90 0 , sin   1 ).
Из формулы (1) найдем
m
R
.
(2)
eB
Входящий в равенство (2) импульс m может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона:
m  2mT .
(3)
Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством
T eU.
Подставив это выражение для Т в формулу (3), получим
m  2 m e U .
Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность Н
магнитного поля в вакууме:
B  0 H ,
где 0 - магнитная постоянная.
Подставив найденные выражения В и m в формулу (2), определим
2m eU
R
.
(4)
0 e H
Выразим все величины, входящие в формулу (4), в единицах СИ:
m = 9,l∙10-31 кг, |е| = 1,60∙10-19Кл, U = 400 В,
0 = 4∙I0-7 Гн/м, H = 103 А/м. Подставим эти значения в формулу (4) и
произведем вычисления:
13
2  9  11  10 31  1,60  10 19  400
R
м  5 ,37  10 2 м  5 ,37 см.
7
19
3
4  3 ,14  10  1,60  10  10
Для определения частоты обращения n воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом:

n
.
(5)
2 R
Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим
1 e
 e
n
 B , или n  0  H .
2 m
2 m
Все величины, входящие в эту формулу, ранее были выражены, в единицах СИ. Подставим их и произведем вычисления:
4  3 ,14  10 7  1,60  10 19
n
 10 3 c 1  3 ,52  10 7 c 1 .
 31
2  3 ,14  9 ,11  10
Ответ: R  5 ,37 см , n  3 ,52  107 c 1 .
1.7. Электрон влетает в однородное магнитное поле напряженностью 160 А/м перпендикулярно линиям индукции поля со скоростью 10 6 м / с. Вычислить радиус окружности, по которой будет двигаться электрон.
Дано:
å  1,6  10 -19 Êë;
H  160 А / м;
  10 6 м / с;
m  9,1  10 -31 кг;
Решение:
Пусть магнитная индукция поля направлена,
как показано на рис.1.6, перпендикулярно плоскости чертежа.
На заряженную частицу, влетевщую в магнитное
поле, действует сила Лоренца
F  Be sin  .
B
__________________
R ?
Так как sin   1, то F  Be , где B - индукция магнитного поля; e – заряд
электрона.
Сила Лоренца всегда перпендикулярна к скорости, поэтому эта сила
не может изменить величины скорости, а меняет только ее направление.
Следовательно, сила Лоренца является центростремительной силой, т.е.
m 2
F  Fц.с , а Fц.с. 
.
R
Тогда можно записать:
14
m 2
Be 
, но B   0 H ,
R



B

F
поэтому
m 2
 0 He 
,
R

F
откуда
m
.
 0 He
Подставив числовые значения, получим:
9 ,1  10 31  10 6  4
R
м  2,84  10 -2 м.
-7
3
19
1  4  10  2  10  1,6  10
Ответ: R  2 ,84  10 2 м.
О


R
Рис.1.6.
1.8. Электрон в нормальном состоянии атома водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом R  5 ,3  10 11 м . Вычислить силу эквивалентного кругового тока I и напряженность H в центре окружности.
Дано:
R  5 ,3  10 11 м
____________
 , = ?
Решение:
При движении электрона вокруг ядра центробежная сила инерции компенсируется электрической силой притяжения его к ядру. По второму закону Ньютона можно записать Fл  m a n , где аn нормальное ускорение. По закону Кулона сила
e2
взаимодействия точечных зарядов F 
.
4 0 R 2
Тогда можно записать
e2
2
m  R
,
(1)
4 0 R 2
где m- масса энергии m  9 ,1  10 31 кг  ,  - угловая частота вращения, e заряд электрона, равный заряду ядра по величине.
За одну секунду электрон совершит n  1 T оборотов. Здесь Т- период
(длительность одного оборота). При этом через фиксированную точку окружности пройдет заряд равный en . Это эквивалентно тому, что по окружности течет ток
I  en  e T   e 2
(2)
Выражая из (1)  и подставляя в (2), получим
e2
I
(3)
2 4 0 R 3 m
Ток I, текущий по окружности, создает напряженность H
15
H  I 2R
Подставляя в (3) и (4) численные значения величин, получим
I  1,05  10 3 A; H  10 7 A м .
Ответ: I  1,05  10 3 A; H  10 7 A м .
(4)
1.9. Диск радиусом R=40 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд q=0,1 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой
n=60 с 1 относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить: 1) магнитный момент  m кругового
тока, создаваемого диском; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса,  m / L , если масса m диска равна 600 гр.
Дано:
R  40 cм  0,4м,
Решение:
Выделим в диске круговой слой диаметром x
-7
и шириной dx (рис.1.7). После поворота диска на
q  0,1м,1м  1  10 Кл
угол  через поперечное сечение этого слоя
n  60 c 1 ;
пройдет заряд
m  600 г  0,6 кг
q  S n  
(1)
____________________ где
S n - площадь сечения слоя толщины D:
 m ;  m / L -?
S n  Ddx ,
(2)
где  - объемная плотность заряда. Угол
поворота  связан со временем поворота
  2n t
(3)
Подставляя (3) и (2) в (1), и деля на t ,
найдем силу тока dI, создаваемого этим
x  x
x
слоем:
q
dI 
 D 2n dx
(4)
R
t
Магнитный
момент
этого
тока
d m  S  x dI , где
S  x  - площадь
S  x   x 2
Рис.1.7
d m  2 2 nD  x 3 dx
(5)
Интегрируя (5) по x в пределах от 0 до R
получаем:
R
R4
2
3
2
(6)
 m   2 n D  x dx   n D 
2
0
Полный заряд диска равен q, поэтому R 2   q . Подставляя это в (6)
получим:
16
 2
R nq
2
Момент импульса L диска связан с моментом инерции I и частотой n
1
L  2 I n , где I  mR 2
2
Деля (7) на (8), получаем
m
q

L 2m
После подстановки численных значений найдем

 m  1,5  10 6 А  м 2 , m  0 ,83  10 7 Êë/êã
L

Ответ:  m  1,5  10 6 А  м 2 , m  0 ,83  10 7 Êë/êã .
L
m 
(7)
(8)
1.10 Рамка из тонкого провода в виде квадрата массой m=4 гр. свободно подвешена на не упругой нити в однородном магнитном поле. По
рамке течет ток силой I  5 А . Период малых крутильных колебаний Т
относительно оси рамки равен 2 c. Найти магнитную индукцию В.
Дано:
m  4 г  0,004 кг
Решение:
Обозначим длину стороны квадрата а
(рис.1.8). Магнитный момент рамки с током
I 5A
 m  Ia 2 . Во внешнем магнитном поле на
T  2c
рамку действует механический момент М
______________
(1)
M  Ia 2 B sin 
B -?
При малых углах sin    можно записать
уравнение колебаний, являющееся уравнением моментов.
d 2
I м  2  Ia 2 B
(2)
C
B
dt
где I м - момент инерции рамки. Из геометриI

ческих соображений находим I м .
B
 m  a 2 1 m 2  1 2
I м  2I AB  I BC   2   
a   ma (3)
4
2
12
4


D
A

 6
a
После подстановки (3) в (2) запишем уравнение колебаний в виде
d 2 Ia 2 B
6 IB



   2
(4)
2
dt
Iм
m
17
Рис. 1.8
где   2 /  - циклическая частота колебаний. Учитывая связь  с Т, получаем
4 2 m

 1,32  10 3 Тл.
2
6T I
Ответ: B  1,32 мТл .
1.11. В однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,4 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции с постоянной скоростью влетает заряженная частица. В течении 6 мкс включается электрическое
поле напряженностью 300 В / м в направлении, параллельном магнитному
полю. Определить шаг винтовой траектории частицы.
Дано:
B  0 ,4 Тл
t1  6 мкс  6  10 -6 с
Е  300 В/м
________________
h -?
Решение:
На частицу действует
сила Лоренца. Направим

ось x вдоль вектора  (рис.1.9). Под действием индукции магнитного поля частица будет совершать
движение по траектории, проекция
которой на

плоскость YOZ, нормальную к  , является окружностью.
По второму закону Ньютона
ma  q 1 B
(1)

E

B
Z

2
O



1
X
Рис. 1.9.
Y
где a- центростремительное ускорение, q- заряд частицы, 1 - перпендикулярная оси x составляющая скорости. Учтем, что а    1 , тогда
qB

m
18
Кроме того   2 /  . Значит, период обращения
2m
(2)
 
qB
Под действием электрического поля частица ускорялась в течение времени
t1 вдоль оси x. При этом на нее действовала сила F  qE . По истечении
времени t1 x - компонента скорости оказалась равной
qE
 x  at1 
t1
(3)
m
Умножая (3) на (2), найдем шаг винтовой линии, по которой движется частица после выключения электрического поля:
2E
h   xT 
t1
B
Подставляя численные значения, находим h  2 ,8  10 2 м .
Ответ: h  2 ,8 см .
1.12. Два одинаковых отрицательных заряда, имеющие различные
массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый начал двигаться по
окружности радиусом 7 см, второй - по окружности радиусом 3,5 см.
Найти отношение масс зарядов, если они прошли одинаковую ускоряющую
разность потенциалов.
Дано:
R1  0 ,07 м
Решение.
На заряд, движущийся в магнитном поле, действует
 
сила
Лоренца
F

q

B
sin


q

B
(т.к.

 B см.
R2  0,035 м
рис.1.10). Согласно второму закону Ньютона
q1  q2
ma  F  qB
(1)
U1  U 2
2

где a 
- центростремительное ускорение заряда.
___________
R
m1
Тогда (1) можно переписать в виде
-?
m2
qB  2

(2)
m
R
Выразим из (2) скорость заряда
qBR

(3)
m
Согласно закону сохранения энергии заряд, пройдя ускоряющую разность
потенциалов U, приобретает кинетическую энергию
m 2
 qU
(4)
2
где q – величина заряда,  - его скорость. Выразим скорость заряда из (4)
19

2 qU
.
m
Приравнивая (3) и (5), получаем
2 qU / m  qBR / m
откуда
q 2 2
m
B R
(6)
2U
Присвоив величинам в (3) индексы 1 и 2, возьмем отношение масс m1 / m2 с учетом того, что
заряд потенциалов и индукция поля одинаковы
получим
2
m1 qBR12 2U R1

 2  4.
m2 2UqBR22 R2
Ответ: m1 m2  4 .
(5)

1

F1

B
F

1

1
О

2

F2

O F
2

2
Рис.1.10
1.3. Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, отстоящей на
расстоянии, а=2м от бесконечно
длинного прямолинейного проводника, по которому течет ток I=5A.(Ответ:
H=39,8 а/м)
2. Найти напряженность H магнитного в центре кругового проволочного витка радиусом R=1см, по которому течет ток I=1A. (Ответ: H=50a/м)
3. На рисунке 1 изображены
сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. расстояние между проводниками
AB=10см, токи I1=20A и I2=30A. Найти напряженности H магнитного поля, вызванного токами I1 и I2 в точках
M1, M2 и M3. Расстояния M1A=2см, AM2=4см и BM3=3см. (Ответ:
H1=120a/м, H2=159 a/м, Н3=135 а/м)
4. На рисунке 2 изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников с токами. Расстояния AB=BC=5см, токи I1=I2=I,
I3=2I. Найти точку на прямой AC, в которой напряженность магнитного
поля, вызванного токами I1,I2,I3 равна нулю. (Ответ: H1 =199 a/м, H2 =0 a/м,
Н3 = 183а/м)
20
5. Решить предыдущую задачу при условии, что токи текут в одном
направлении. (Ответ: Точка, в которой напряженность магнитного поля
равна нулю, находится между точками I и I на расстоянии 3,3 см от А.)
6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся в одной плоскости (см. рисунок 3).
Найти напряженности H1 и H2 магнитного
поля в точках M1 и M2, если токи I1=2A и
I2=3A.
Расстояния
AM1=AM2=1см
и
BM1=CM2=2см.(Ответ: Точки, в которых
напряженность магнитного поля равна нулю, расположены правее точки А на расстояниях 1,8 см и 6,96 см от нее.)
7. Два прямолинейных бесконечно
длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рисунок 4). Найти
напряженности H1 и H2 магнитного поля в точках M1 и M2, если токи I1=2A
и I2=3A. Расстояния AM1=AM2=1см и
BM1=CM2=2см.(Ответ: H1 =8 a/м, H2 =55,8 a/м)
8. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии
d=10см друг от друга. По проводникам текут
токи I1=I2=5A в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности
Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии a=10см от каждого проводника. (Ответ:
H1 =35,6 a/м, H2 =57,4 a/м)
9. По длинному вертикальному проводнику сверху вниз идет ток
I=8A. На каком расстоянии a от него напряженность поля, получающегося
от сложения земного магнитного поля и поля тока, направлена вертикально вверх? Горизонтальная составляющая напряженности земного поля
Hг=16А/м.(Ответ: Н=8 а/м. Напряженность магнитного поля направлена
перпендикулярно плоскости, проходящей через оба провода)
10. Найти напряженность H магнитного поля, создаваемого отрезком
AB прямолинейного проводника с током, в точке С, расположенной на
перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии a=5см от него. По
проводнику течет ток I=20A. Отрезок AB проводника виден из точки С под
углом 60 0.
11. Отрезок прямолинейного проводника с током имеет длину
l=30см. При каком предельном расстоянии а от него для точек, лежащих
на перпендикуляре к его середине, магнитное поле можно рассматривать
как поле бесконечно длинного прямолинейного тока? Ошибка при таком
допущении не должна превышать 5 %. Указание: допускаемая ошибка
21
( H 2  H1 )
, где H1 - напряженность поля от отрезка проводника с током
H2
и H2 - напряженность поля от бесконечно длинного прямолинейного тока.
(Ответ: а≤5 см)
12. Ток I=20A идет по длинному проводнику, согнутому под прямым
углом. Найти напряженность H магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии
a=10см.(Ответ: Н=77,3 а/м)
13. По проволочной рамке, имеющей форму правильного шестиугольника, идет ток I=2A. При этом в центре рамки образуется магнитное
поле H=33A/м. Найти длину проволоки, из которой сделана рамка.(Ответ:
L= 0,2 м)
14. В магнитном поле, индукция которого В=0,05 Тл, вращается стержень длиной l=1м. Ось вращения, проходящая через один из концов
стержня, параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный
поток Ф, пресекаемый стержнем при каждом обороте.(Ответ: Ф=0,157 вб.)
15. Магнитный поток сквозь соленоид (без сердечника) Ф=5мкВб.
Найти магнитный момент р соленоида, если его длина l=25см.
16. Железный сердечник длиной l1=50,2см с воздушным зазором длиной l2=0,1см имеет обмотку из N=20 витков. Какой ток должен протекать
по этой обмотке, чтобы в зазоре получить индукцию B2=1,2Тл? (Ответ:
I=60a)
17. Из проволоки длиной l=20см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил M1 и M2, действующие на каждый
контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией B=0,1Tл.
По контурам течет ток I=2A. Плоскость каждого контура составляет угол 
= 45 с направление поля. (Ответ: 1) 3,53·10-4 н·м; 2)4,5·10-4 н·м)
18. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что
Напряженность магнитного поля H=150кА/м. По контуру течет ток I=2A,
радиус контура R=2см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть контур на угол
φ=900 вокруг оси, совпадающей с диаметром
контура? (Ответ: А= 5·10-4 дж)
19. Однородный медный диск А (см. рисунок 5) массой m=0,35кг помещен в однородное магнитное поле с индукцией B=24мТл
так, что плоскость диска перпендикулярна к
направлению магнитного поля. При замыкании цепи диск начинает вращаться и через
время t=30c после начала вращения достигает
частоты n=5c-1. Найти ток I в цепи.(Ответ: I=15,3 a)

22
20. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=300B, движется
параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии a=4мм от
него. Какая сила действует на электрон, если по проводнику пропустить
ток I=5A (Ответ: F=4·10-16 н.)
21. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в
однородное магнитное поле, перпендикулярное к скорости. Во сколько раз
радиус кривизны R1 траектории протона больше радиуса кривизны R2 траR1 m1
ектории электрона? (Ответ:

 1840 )
R 2 m2
22. Альфа-частица движется по окружности в однородном магнитном
поле с индукцией B=25мТл. Момент импульса частицы относительно центра окружности L  1,33 10 22 êã  ì 2 / ñ . Найти кинетическую энергию Wk
альфа-частицы.
23. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U=6кB, влетает в
однородное магнитное поле под углом  = 30 к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B=13мТл. Найти радиус R и шаг h винтовой линии.(Ответ: Скорость электрона, влетаю2eU
щего в магнитное поле υ=
. Разложим скорость υ на две
m
составляющие: υ1-составляющую скорости, направленную вдоль силовых
линий поля, и υn –составляющую, направленную перпендикулярно к силовым линиям.. Проекция пути электрона на плоскость, перпендикулярную к
В, представляет собой окружность, радиус которой, равный искомому раmv mv sin a
диусу витка спирали, определится формулой R=

, где а-угол
eB
eB
между направлением скорости электрона v и направлением поля. Так как
2пR 2пm
период обращения электрона Т=

, то отсюда шаг винтовой
v sin a
eB
2пmv cos a
траектории электрона будет равен l=υT=
. Подставляя числовые
eB
данные в формулы, получим 1)R=10-2 м = 1 см, 2) l=11·10-2 м = 11 см)
24. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между которыми d = 5 см, текут одинаковые токи I = 10 А. Определить индукцию B
и напряженность H магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на расстояние r = 5 см, если токи текут: а) в одинаковом, б) в противоположном направлениях.
25. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи силой I1 = 100 А и I2 = 50 А. Расстояние между проводниками d = 20 см. Определить индукцию B магнитного поля в точке, лежащей на середине общего перпендикуляра к
проводникам.(Ответ:В=2,24·10-4 Тл.)
23
26. Ток силой I = 50 А течет по проводнику, согнутому под прямым
углом. Найти напряженность H магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии b = 20 см.
Считать, что оба конца проводника находятся очень далеко от вершины
угла.
27. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напряженность магнитного поля в центре окружности H1 = 50 А/м. Не изменяя
силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Определить напряженность Н2 магнитного поля в точке пересечения диагоналей этого квадрата.(Ответ: Н=57,32 А/м.)
28. По контуру в виде равностороннего треугольника течет ток силой
I= 50А. Сторона треугольника a = 20 см. Определить магнитную индукцию B в точке пересечения высот.(Ответ: В=4,50·10-4 Тл.)
29. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами
a=8см и b = 12 cм, течет ток силой I = 50 А. Определить напряженность H
и индукцию B магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника.(Ответ: В=6,00·10-4 Тл; Н=478,20 А/м.)
30. По двум параллельным проводам длиной l= 3 мм каждый текут
одинаковые токи силой I = 500 А. Расстояние между проводниками d = 10
см. Определить силу F взаимодействия проводников.
31. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии d = 20 см друг от друга, текут токи одинаковой силы
I=400 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу
F, действующую на единицу длины каждого провода.(Ответ:F=6,93·10-4
Н.)
32. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное
магнитное поле c индукцией B = 0,2 Тл под углом  = 30 к направлению
линий индукции. Определить силу Лоренца Fл, если скорость частицы
υ=10,5м/c.(Ответ: Fл=1,60·10-13 Н)
33. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное
магнитное поле c индукцией B = 0,01 Тл. Определить момент импульса L,
которым обладала частица при движении в магнитном поле, если радиус
траектории частицы равен R = 0,5 мм.(Ответ: L=4,00·10-28 кг·м2/с.)
34. Электрон движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со
стороны поля, если индукция поля B=0,2Тл, а радиус кривизны траектории
R=0,2cм.
35. Заряженная частица c кинетической энергией Т = 2 кэВ движется
в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 4 мм. Определить силу Лоренца Fл, действующую на частицу со стороны поля.
36. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле
c напряженностью H=5103 А/м. Определить частоту обращения n электрона.
24
37. Электрон движется в магнитном поле c индукцией B = 4 мТл по
окружности радиусом R=0,8 см. Какова кинетическая энергия Т электрона?
38. Протон влетел в однородное магнитное поле под углом  = 60° к
направлению линий поля и движется по спирали, радиус которой R = 2,5
см. Индукция магнитного поля B = 0,05 Тл. Найти кинетическую энергию
Т протона.(Ответ: Т=1,60·10-17Дж)
39. Два иона c одинаковыми зарядами, пройдя одну и ту же ускоряющую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Один ион, масса которого m1 = 12 а.е.м.,
описал дугу окружности радиусом R1 = 2 см. Определить массу m2 (в
а.е.м.) другого иона, который описал дугу окружности радиусом R2 = 2,31
см. (Ответ:m2=16,01 а.е.м.)
40. Электрон движется в однородном магнитном поле c индукцией
B=10мТл по винтовой линии, радиус которой R = 1,5см и шаг h = 10 см.
Определить период Т обращения электрона и его скорость . (Ответ:
Т=3,57·10-9 с; υ=3,85·107 м/с)
41. В однородном магнитном поле c индукцией B=2Тл движется частица. Траектория ее движения представляет собой винтовую линию c
радиусом R = 1 см и шагом h = 6 см. Определить кинетическую энергию Т
α-частицы.
42. Плоский контур площадью S = 20 см2 находится в однородном
магнитном поле c индукцией B = 0,03 Тл. Определить магнитный поток Ф,
пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол  = 60° c направлением линий индукций.
43. Магнитный поток Ф через сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида l= 50 см. Найти магнитный момент pm соленоида, если его
витки плотно прилегают друг к другу.
44. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков/см, помещен круговой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена
под углом  = 60° к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток силой I = 1 А.
45. На длинный картонный каркас диаметром d = 5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока I=0,5A.
46. Квадратный контур со стороной a = 10 см, в котором течет ток
силой I= 6 А, находится в магнитном поле c индукцией B = 0,8 Тл под углом  =50 к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы
при неизменной силе тока в контуре изменить его форму c квадрата на окружность?
47. Плоский контур c током силой I = 5 А свободно установился в однородном магнитном поле c индукцией B=0,4Тл. Площадь контура
25
S=200см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол  = 40. Определить совершенную при этом работу А.
48. Виток, в котором постоянная сила тока I = 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B = 20 мТл). Диаметр витка d = 10
см. Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей c диаметром, на угол  = /3?
49. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью S = 100 см2. Поддерживая в
контуре постоянную силу тока I = 50 А, его переместили из поля в область
где поле отсутствует. Определить индукцию В магнитного поля, если при
перемещении контура была совершена работа A = 0,4 Дж.
50. Электрон, разогнанный в электрическом поле напряжением 20 кВ,
влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Вектор скорости
образует угол 750 с направлением вектора индукции. Написать уравнение
движения электрона.
ГЛАВА 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
2.1.Основные определения и формулы
Закон Фарадея: ЭДС индукции, возникающая в замкнутом проводящем контуре равна модулю скорости изменения магнитного потока сквозь
этот контур
d
i  
.
dt
ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S при ее вращении с
угловой скоростью  в однородном магнитном поле с индукцией B ,
 i  BS sin  t 

где t - мгновенное значение угла между вектором B и вектором нормали

n к плоскости рамки.
Магнитный поток, создаваемый током I в контуре с индуктивностью L ,
  LI .
ЭДС самоиндукции
dI
 is   L ,
dt
где L - индуктивность контура.
Индуктивность соленоида (тороида)
N 2S
L  0 
,
l
где N - число витков соленоида, l - его длина.
26
При замыкании (размыкании) цепи ток возрастает (убывает) не
мгновенно, а по экспоненциальному закону:
а) замыкание цепи I  I 0 1  e t 


б) размыкание цепи I  I 0 e t  ,
где   L R - время релаксации – минимальный промежуток времени, за
которое ток в цепи достигает максимального значения (обращается в
ноль); L - индуктивность контура, R - его сопротивление.
ЭДС взаимной индукции (ЭДС, индуцируемая изменением силы тока
в соседнем контуре)
dI
   L12 ,
dt
где L12 - взаимная индуктивность контуров. Взаимная индуктивность двух
катушек (с числом витков N1 и N 2 ), намотанных на общий тороидальный
сердечник,
NN
L12  L21   0  1 2 S ,
l
где  - магнитная проницаемость сердечника, l - длина сердечника по
средней линии, S - площадь сердечника.
Коэффициент трансформации
N 2  1 I1

 ,
N1  2 I 2
где N ,  , I - соответственно число витков, ЭДС и сила тока в обмотках
трансформатора.
Энергия магнитного поля, создаваемого током I , протекающим в
замкнутом контуре
W  LI 2 2 .
Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида
 0 H 2 BH
B2
w


.
2 0 
2
2
2.2 Примеры решения задач
2.1. В однородном магнитном поле с индукцией В  0 ,4Тл равномерно
вращается рамка, делая n  480 об/мин. Площадь рамки S  200см 2 , она
содержит N  1000 витков . Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки   30  .
27
Дано:
B  0 ,4 Тл
n  480 об/мин
Решение:
Мгновенное значение э.д.с. индукции определяется основным законом электромагнитной индукции
S  200см 2  2  10  2 м
dФ



N
,
0
i
  30
dt
где N – число витков, пронизываемых магнитным
_________________
потоком Ф .
 ?
i
При вращении рамки магнитный поток Ф , пронизывающий ее в момент времени t, изменяется по закону
Ф  ВS cos t ,
где  - круговая частота.
В закон электромагнитной индукции подставим выражение Ф и продифференцируем по времени.
Получим:
 i  NBS sin t ,
но   2 n , тогда
 i  2òNBS sin t .
Подставив числовые значения, получим:
 i  2  3,14  8  1000  0 ,4  2  10 2  0 ,5 В  201В
Ответ :  i  201В.
2.2. Соленоид содержит N  200 витков. Индуктивность соленоида
L  10 2 Гн, площадь его сечения S  8 см 2 . Определить индукцию магнитного поля в соленоиде при токе в 2 А.
Дано:
N  2000
Решение:
Магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную одним витком, равен
L  10  2 Гн
Ф1  ВS ,
S  8 см 2  8  10 4 м 2
где В - магнитная индукция, а S – площадь сечения
I 2А
соленоида.
____________________ Полный магнитный поток, сцепленный со всеми N
витками соленоида будет в N раз больше:
B -?
Ф  NФ  ВSN
(1)
С другой стороны, полный магнитный поток Ф пропорционален силе
тока I:
Ф  LI1 ,
(2)
28
где L- индуктивность соленоида.
Из формул (1) и (2) находим:
LI
.
SN
Подставив числовые значения, получим:
10 2  2
B
Tл  0 ,125 Tл
200  8  10 4
Ответ: В  0 ,125 Тл .
В
2.3. Соленоид индуктивностью L  0 ,1 Гн и сопротивлением
R  0 ,02 Ом замыкается на источник ЭДС  0  2 В , внутреннее сопротивление которого пренебрежимо мало. Какое количество электричества
пройдет через соленоид за первые 5 с после замыкания?
Дано:
L  0,1 Гн
R  0,02 Ом
0  2 В
Решение:
При замыкании соленоида на ЭДС возникает ток
I  I 0 1  e   R L t ,
где I 0   0 R - установившееся значение тока в цепи,
т.е. в момент времени t   .
t  5с
q ?
Разделим промежуток времени t на столь малые отрезки времени dt ,
чтобы в переделах каждого отрезка времени силу тока можно было считать
постоянной. Тогда элементарное количество электричества dq , которое
пройдет через соленоид за промежуток времени dt будет равно

dq  Idt  0 1  e  R L t dt .
R
после интегрирования находим
5
5
0
 0  L  R L  t 
  R L t
q   1  e
dt   t  e  .
R
R
0 R
0
Подставляя численные значения, q  181 Кл .
Ответ: q  181 Кл .
2.4. В плоскости квадратной рамки с омическим сопротивлением 7
Ом и стороной a  20 см расположен на расстоянии r0 =20 см от рамки
прямой бесконечный проводник. Сила тока в проводнике изменяется по
закону I=  t 3 , где  = 2 A / с3. Проводник параллелен одной из сторон
рамки. Определить силу тока в рамке в момент времени t=10 c.
Дано:
Решение:
29
R  7 Ом
a  0,2 м
r0  0 ,2 м
I  t 3
  2 A c3
t  10 c
__________
I ?
Вследствие изменения силы тока в проводнике магнитный поток через рамку изменяется, и в ней возникает индукционный ток. Рамка находится в неоднородном магнитном поле. Мысленно разделим площадь
рамки (рис.2.1) на столь узкие полоски, чтобы в пределах каждой полоски магнитное поле можно было считать однородным.
Магнитный поток определяется как:
 
d B  B dS .
Тогда, элементарный магнитный поток сквозь узкую полоску
 Iadx
d   Badx  0
(1)
2 x


Интегрируя (1) по x в пределах от r0 до r0 +a, находим
r a
  r 0
0
0 Iadx 0 a ln1  a / r0  3

t
2x
2
x
dx
Из закона Фарадея определяем
э.д.с. индукции
n  
d
3  a ln1  a / r0  2
 0
t
dt
2
I
и силу тока

3  a ln( 1  a / r0 ) 2
I n  0
t ;
R
2R
I  2.4  10 6 A .
Ответ: I  2.4  10 6 A .
a
a
r0
Рис.2.1
2.5. По двум гладким медным шинам, установленным под углом  к
горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка
массой m. Сверху шины замкнуты на конденсатор емкостью С. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном магнитном поле с
индукцией В, перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а так
же самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти ускорение перемычки.
Дано:
Решение:
Изменение магнитного потока через контур
30
 , m, C , B
_________
a ?
обусловлено движением перемычки (рис.2.2). По
закону Ома для неоднородного участка э.д.с. индукции  n в любой момент времени равна разности потенциалов 

на обкладках конденсатора
B
 n = 
Но   q C . Следовательно, сила индукC
ционного тока в контуре
d
dq
d (  )
I
C
C n
dt
dt
dt
m
l
Так как магнитное поле однородно, то
dS
dx
n  B
 B1  B1

dt
dt
где S- площадь контура. Таким образом,
Рис.2.2.
d
I  CB l
 CB1a
dt
где а - искомое ускорение перемычки.
На перемычку действуют две силы: сила тяжести mg и сила Ампера
I lB  CB 2 l 2 a . По второму закону Ньютона
ma  mg sin - CB 2 l 2 a
Отсюда
mq sin
a
m  CB 2 l 2
Если бы на перемычку действовала сила трения, то легко показать, что
mq sin - fmq cos
a
m  CB 2 l 2
где f - коэффициент трения.
mq sin
Ответ: a 
.
m  CB 2 l 2
2.6. Заряженная частица движения по окружности радиусом R=1 см
в однородном магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл. Параллельно магнитному полю включено электрическое поле с напряженностью, зависящей от
времени Е=  t2 , где  = 50 В / мс 2 . В какой момент времени после включения поля кинетическая энергия частицы возрастает вдвое?
Дано:
Решение:
В отсутствие электрического поля частица двигалась по окружности под действием силы Лоренца с ускорением
31
R  0 ,01 м
В  0,1Тл
Е(t)  t 2
Fë B 1 q

(1)
m
m
где m и q - масса и заряд частицы, 1 - скорость. В данной ситуации сила действует перпендикулярно скорости.
a1 
  50 В мс 2
___________
t0  ?
Поэтому ускорение частицы является центростремительным
2
1
a1 
(2)
R
Приравниванием (1) и (2), находим скорость частицы
RqB
1 
(3)
m
Кинетическая энергия частицы зависит от ее массы и скорости
2
m1
E1 
.
2
После включения электрического поля в момент времени
t=0 частица на
чинает ускоряться в направлении, параллельном Е . Ускорение ее в этом
qE( t )
направлении определяется из второго закона Ньютона a( t ) 
. По
m
истечении времени t0 скорость ее станет равной
t
q 3
(4)
 2   a (t )dt 
t0
3m
0
2
2
Результирующий квадрат скорости примет значение  2  1   2 , кинетиm 2
2
ческая энергия, соответственно, станет равной E 2   1   2  .
2
Поскольку эта величина вдвое превышает первоначальную энергию, то
1   2 .
С учетом выражений (3) и (4) получаем
RqB q 3

t0
m
3m
0
После сокращения на q и m получаем значение t0:
t0  3 3R B /   0 ,039c .
Ответ: t0  0,039 c .
2.7. Определить индуктивность фрагмента длиною  бесконечно
длинного соленоида, если его сопротивление R, а проволока имеет массу m.
Дано:
Решение:
32
, R, m
Индуктивность соленоида дается выражением
N 2S
______
L  0
,
(1)

L ?
где N - число витков в фрагменте, S - площадь сечения соленоида.
Приняв, что длина проволоки равна b , можно записать следующее соотношение
b
2 r 
(2)
N
где r - радиус сечения соленоида. В последнем соотношении длина одного
витка приравнивается к полной длине провода, деленной на число витков.
Выражая из (2) r и используя для S выражение S   r 2 , получим
b2
S
(3)
4N 2
Для нахождения b 2 запишем соотношение для сопротивления и массы
проволоки:
b
R ;
m  Sb
(4)
S
где  - удельное сопротивление материала проволоки,  - его плотность,
V  S  - объем цилиндрической проволоки.
Перемножая левые и правые части выражений (4) находим
m R    b2
(5)
Выражая из (5) b 2 , подставляя затем в (3), а далее в (1), получаем окончательно
 mR
L 0
(6)
4  
 mR
Ответ: L  0
.
4 
2.8. Через соленоид, индуктивность которого L  0 ,4 мГн и площадь
поперечного сечения S  10 см 2 , проходит ток I  0,5 A . Какова индукция
магнитного поля внутри соленоида, если он содержит N  100 витков?
Дано:
Решение:
Пусть угол между нормалью к плоскости
 витка
соленоида и вектором магнитной индукции В равен
нулю. Поток магнитной индукции через один виток
равен
Ф1  BS cos 0 0  BS .
Тогда магнитный поток через соленоид Ф  NФ1 ра33
L  0 ,4 мГн
S  10 см 2
вен
Ф  NBS .
I  0 ,5 A
N  100
_________
B ?
С другой стороны, магнитный поток Ф  LI , поэтому
NBS  LI ,
откуда
LI
B
.
NS
Подставляя численные значения, получаем B  2  10 3 Тл .
Ответ: B  2 мТл .
2.9. В однородном магнитном поле с индукцией B  0 ,1 Тл расположен
плоский проволочный виток, площадь которого S  10 2 м 2 , а сопротивление R  2 Ом . Первоначально плоскость витка перпендикулярна линиям
магнитной индукции. Виток замкнут на гальванометр. Полный заряд,
протекающий через гальванометр при повороте витка q  7 ,5  10 4 Кл . На
какой угол повернули виток?
Дано:
B  0 ,1 Тл
S  10 2 м 2
R  2 Ом
q  7 ,5  10 4 Кл
__________
Решение:
Пусть нормаль к плоскости витка совпадает с
направлением вектора магнитной индукции.
Начальный магнитный поток через площадь,
ограниченную витком,
 1  BS cos 0 0  BS
(1)
При повороте плоскости витка на угол  нор ?
маль, связанная с витком также поворачивается
на угол  , поэтому магнитный поток становится равным
 2  BS cos 
(2)
Так как магнитный поток изменился, то в витке возникла ЭДС индукции.
Однако закон изменения магнитного потока во времени не задан. Нельзя
утверждать также, что поток изменялся равномерно с течением времени.
Поэтому для вычисления ЭДС индукции воспользуемся формулой
 i   ( t )
(3)
По витку протекает индукционный ток

 ( t )
i( t )  i  
.
(4)
R
R
34
Заряд, протекающий по витку и регистрируемый гальванометром
t2
q   i( t )dt ,
(5)
t1
где t1 - начальный, t2 - конечный моменты времени. После подстановки (4)
в (5) получаем
t2
 ( t )
1 t2 
1
1
q  
dt    ( t )dt    ( t 2 )   ( t1 )    .
(6)
R
R t1
R
R
t1
Таким образом, независимо от того, как поворачивается виток, протекающий через замкнутый контур заряд определяется по формуле

q
.
(7)
R
Формула (7) получена в предположении, что индуктивность контура (витка) пренебрежимо мала ( L  0 ).
В нашей задаче
   2   1  BS cos   BS  BS (cos   1 ) .
(8)
После подстановки (8) в (7) находим
BS (cos   1 )
q
(9)
R
Откуда
qR
cos   1 
 0 ,5 ,
BS
3
следовательно,   arccos( 0 ,5 ) 
 120 0 .
2
0
Ответ:   120 .
2.10. Проводящий плоский контур площадью S  200 см 2 , в который
включен конденсатор емкостью С  10 мкФ , расположен в однородном
магнитном поле так, что вектор нормали к контуру образует с вектором
магнитной индукции угол   60 0 . Изменение магнитной индукции со вре
менем описывается уравнением В  2  10  2 cos t ( Тл ) . Определить энер4
гию конденсатора в момент времени t  2c . Индуктивностью контура
пренебречь.
35
Дано:
S  200 см 2  2  10 4 м 2
С  10 мкФ  10 -5 Ф
Решение:
По определению магнитный поток,
пронизывающий контур,
Ф( t )  B( t )S cos  .
  60 0
В данном случае изменение магнитного

2
В  2  10 cos t ( Тл )
потока вызвано изменением магнитной ин4
дукции. ЭДС индукции в этом контуре соt  2c
гласно закону Фарадея
_______________________
 i  Ô (t)   B ( t )S cos
W ?
Подстановка заданного по условию изменения магнитной индукции приводит к следующему результату
1

    
 i  2  10 2  sin t  S cos  S cos sin t
(1)
4  4 
2
4

Поскольку в плоском конденсаторе расстояние между пластинами мало, то
ЭДС индукции, возникающая в контуре и равномерно в нем распределенная, представляет собой напряжение на конденсаторе. Энергия конденсатора в любой момент времени равна
CU 2 C i2
W

(2)
2
2
Подставляя (1) в (2) получим
2
1 
 
W  C  ( S cos  )(sin t )  .
8 
4 


В момент времени t  2c sin t  sin  1 и энергия конденсатора соот4
2
ветственно равна
1
2
W  C S cos    1,23  10 9 Дж .
8
Ответ: W  1,23 нДж .
2.11. В однородном магнитном поле с индукцией   6  10 2 Тл находится соленоид диаметром d  8 см, имеющий n=80 витков медной проволоки сечением   1 мм 2 . Соленоид поворачивают на угол   180  за
время t  0 ,2 с так, что его ось остается направленной вдоль поля. Определите среднее значение электродвижущей силы, возникающей в соленоиде, и индукционный заряд. Удельное сопротивление меди
  0 ,017  10 6 Ом  м .
36
Дано:
  6  10 2 Тл
d  8 см
n  80
Решение:
Изменить магнитный поток, пронизывающий
контур, и возбудить в нем э.д.с. индукции можно
различными способами. Наиболее просто это сделать, повернув контур в магнитном поле так, что  1 мм 2
бы изменился угол между нормалью к плоскости

контура и направлением поля. Этот случай и раз  180
t  0 ,2 с
бирается в данной задаче.
6
При изменении магнитного потока, пронизы  0 ,017  10 Ом  м
__________________ вающего соленоид, состоящий из n витков, на 
за время t в нем индуцируется э.д.с.
i  ?

 i  n
(1)
q ?
t
Если в исходном положении катушка была расположена так, что ось ее составляла с направлением поля угол 1 , то при повороте оси на угол  2
магнитный поток, пронизывающий соленоид, изменится на величину
   2  1  BS cos1   2   BS cos 1
(2)
где S-площадь поперечного сечения соленоида. По условию задачи ось катушки в исходном положении совпадала с направлением поля  1  0  , а
угол поворота  2  180  . Изменение магнитного потока в этом случае будет максимальное и равное
  2 BS
Подставляя выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что сечение соленоиd 2
да S 
, получим ответ на первый вопрос задачи:
4
d 2 nB
i 
;  i  0 ,24 В
2 t
При изменении магнитного потока на  в соленоиде индуцируется заряд

q
(3)
R
Сопротивление обмотки соленоида
nd
R
(4)

Из соотношений (2)-(4) после подстановки числовых значений заданных
величин находим:
 dB
; q  1,4 Кл
q
2
Индуцированный заряд не зависит от скорости изменения магнитного потока и количества витков соленоида.
Ответ:  i  0 ,24 В , q  1,4 Кл .
37
2.12. В магнитном поле с индукцией B  10 2 Тл вращается стержень
длиной l  0 ,2 м с постоянной угловой скоростью   100 сек -1 . Найдите
э.д.с. индукции, возникающей в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно силовым линиям магнитного поля.
Дано:
Решение:
2
Появление сторонних сил внутри стержня и
B  10 Тл
возникновение разности потенциалов на его конl  0 ,2 м
-1
цах вызвано действием силы Лоренца на заряды,
  100 сек
находящиеся в проводнике, пересекающие маг___________
нитные силовые линии.
i  ?

Если стержень вращается в однородном магH
нитном поле с постоянной угловой скоростью


-  и пересекает линии индукции под прямым
углом (рис.2.3), то под действие силы Лорен

F
ца электроны начнут смещаться вдоль стержня к одному из его концов. При том направO
лении поля и вращения, какое указано на
чертеже, F л направлена к оси вращения и туда же смещаются электроны. Движение электронов происходит до тех пор, пока возниРис. 2.3.
кающее внутри проводника электрическое
поле не достигнет величины, при которой силы электрического отталкивания уравновешивают силу Лоренца.
В результате перемещения электронов
на одном конце стержня оказывается их избыток, на другом – недостаток и
между концами стержня возникает постоянная разность.

i 
(1)
t
где  - величина магнитного потока, пересекаемого стержнем за время
 t . При вращении стержня под прямым углом к силовым линиям магнитного поля   BS , где S площадь сектора, описываемого стержнем.
За время t стержень поворачивается на угол  и площадь сектора
получается равной:
 l 2  l 2 t
S 

2
2
Учитывая это, для изменения магнитного потока найдем:
B l 2
 
(2)
2
38
Из формул (1)-(2) получим:
B l 2
2
или, после подстановки числовых значений,  i  2  10 2 В .
Ответ:  i  2  10 2 В
i 
2.13. Две параллельные шины, подключенные к аккумулятору с э.д.с.
 0 и внутренним сопротивлением r, находятся в однородном магнитном
поле с индукцией В. Шины замкнуты проводником длинной l и сопротивлением R, который перемещается по шинам без нарушения контакта перпендикулярно полю со скоростью  . Пренебрегая сопротивлением шин,
определите напряжение на зажимах источника, мощность тепловых потерь в проводнике, а так же механическую мощность, подводимую к проводнику.
Дано:
 0 , r , B , l , R, 
Решение:
Допустим, что при том подключении аккумулятора к шинам и направлении магнит____________
ного поля, какое показано на рисунке 2.4,
U ?
проводник перемещают равномерно слева
P ?
направо. При своем движении проводник
пересекает линии индукции поля и в нем
N ?
возникает э.д.с. индукции  i - источник тока,
включенный последовательно с аккумулятором. В зависимости от направления поля и направления движения проводника  0 и  i действуют или в
одну, или в противоположные стороны. В первом случае ток цепи аккумулятора усилится, во втором - ослабнет. В нашем примере, используя правило правой руки, нетрудно установить, что индукционный ток шел бы от
b к a, уменьшая ток аккумулятора, т.е. э.д.с.  0 и  i направлены навстречу
друг другу.
Поскольку проводник ab движется перпендикулярно полю   90   ,
величина э.д.с. индукции равна:
 i  eB
(1)
Дальнейшее решение сводится к рас
B
чету цепи постоянного тока, содержащей
I
два последовательно включенных элеa
мента с разными э.д.с.
Пользуясь общими правилами такого

0 , r

расчета, находим общую э.д.с. контура
(предполагая, что  0  i ):
  0  i
(2)
b
I
i
39
Рис. 2.4
и ток в контуре:

(3)
Rr
Поскольку аккумулятор разряжается и ток через него идет в естественном направлении, для напряжения на его зажимах получаем:
U   0  Ir
(4)
Мощность тепловых потерь, выделяемая на проводнике, равна:
P  I 2R
(5)
Так как по проводнику ab, движущемуся в магнитном поле, идет ток, то со
стороны поля на него действует сила Ампера FA , направленная (согласно
правилу левой руки) вправо. По закону Ампера
FA  I lB
(6)
Чтобы проводник двигался равномерно, к нему должна быть приложена
сила F, равная по величине силе FA, но направленная в противоположную
сторону. Механическая мощность в этом случае будет равна:
N  FA
(7)
Исключая из уравнений (1)-(7) неизвестные  i , , I и FA , получим для
искомых величин окончательные выражения:
 0 R  lBr
 0  lB 2 R
 0  l l
U
; P
;
N

.
Rr
Rr
R  r 2
 0 R  lBr
 0  lB 2 R
 0  l l
Ответ: U 
; P
;
N

.
Rr
Rr
R  r 2
I
2.3. Задачи для самостоятельного решения
51. Самолет с размахом крыльев 18м движется горизонтально со скоростью 800км/ч. Вертикальная составляющая напряженности магнитного поля Земли – около 40А/м. Определить разность потенциалов между концами
крыльев. Будет ли гореть маломощная лампочка, если с помощью проводов подключить ее к концам крыльев? (Ответ: 0,2 В; не будет)
52. В однородном магнитном поле с индукцией В перпендикулярно силовым линиям расположен стержень длиной l. Стержень вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через конец стержня и параллельной силовым линиям поля. Найти разность потенциалов между
концами стержня. (Ответ: ∆φ=Bωl2/2)
53. Переменное магнитное поле, сосредоточенное в близи оси кольца и
имеющее ось симметрии, проходящую через центр кольца, создает в кольце э.д.с. индукции ε. На кольце выбран участок, равный трети длины кольца, и к нему параллельно подключен проводник сопротивлением R, расположенный вне магнитного поля. Чему равен ток в этом проводнике, если
40
сопротивление провода, из которого сделано кольцо, равно 2R? (Ответ: 0
А)
54. Из изолированной проволоки сделана петля в форме восьмерки, радиусы колец равны r и R. Определите разность потенциалов между точками
соприкосновения провода, если перпендикулярно плоскости петли наложено магнитное поле, индукция которого меняется с течением времени по
закону B=kt, где k – постоянный коэффициент. (Ответ: U=πkr1r2)
55. Проволочная рамка с током I=2A расположена в однородном магнитном поле перпендикулярно его силовым линиям. Какую работу против сил
поля надо совершить, чтобы повернуть рамку на 900 вокруг оси, проходящей через диаметр рамки? Площадь рамки 200 см2, индукция магнитного
поля 10-2 Тл. Каков будет ответ, если рамку повернуть на 1800?
(Ответ: A=4∙10-4Дж; A1=8∙10-4Дж)
56. Катушка с немагнитным сердечником имеет 1000 винтиков, длина катушки 40 см, сечение 10см2. С какой скоростью нужно менять ток в катушке, чтобы в ней возникала э.д.с. самоиндукции εis=1B? (Ответ:
∆I/∆t=318A/c)
57. Катушка диаметром D=10см, состоящая из N=500 витков проволоки,
находится в магнитном поле. Найти среднюю ЭДС индукции, возникающую в этой катушке, если индукция магнитного поля В увеличивается в
течение времени t=0,1с от 0 до 2 Тл.
58. На картонный цилиндр длиной 60 см с диаметром 5 см навито 1200
витков медного провода. Какова индуктивность катушки? (Ответ:
L=5,9мГн).
59. В катушке предыдущей задачи течет ток силой 500 мА. При выключении он падает до нуля за 10-4 с. Предполагая, что сила тока убывает линейно, найти ЭДС самоиндукции. (Ответ: εis =29,5B).
60. Соленоид длиной l=50см и площадью поперечного сечения S=2см2
имеет индуктивность L=0,2мкГн. При каком токе I объемная плотность
энергии магнитного поля внутри соленоида ω0=1мДж/м3?
61. Круговой контур радиусом r=2см помещен в однородное магнитное
поле, индукция которого B=0,2Тл. Плоскость контура перпендикулярна к
направлению магнитного поля. Сопротивление контура R=10м. Какое количество электричества q пройдет через контур при повороте его на угол
α=900?
62. Круглая плоская катушка радиусом 10 см содержит 200 витков провода. Катушка подключена к конденсатору с емкостью 20 мкФ и помещена в
однородное магнитное поле, индукция которого равномерно убывает со
скоростью 10-2Тл/c. Найти заряд конденсатора. Плоскость катушки перпендикулярна силовым линиям поля. (Ответ: q=1,25мкКл)
63. По однослойной катушке с индуктивностью 50 мГн течет ток 5 А. Какое количество электричества индуцируется в катушке при выключение
тока, если длина ее 100 см, а диаметр медной проволоки обмотки 0,6 мм?
41
64. Катушку с ничтожно малым сопротивлением и индуктивностью 3 Гн
подключают к источнику постоянного напряжения с э.д.с. 1,5 В. Через какой промежуток времени ток в катушке достигнет 50 А?
65. Катушка имеет индуктивность L=0,2Гн и сопротивление R=1,64Ом. Во
сколько раз уменьшится ток в катушке через время t=0,05c после того, как
ЭДС выключена и катушка замкнута накоротко?
66. Через сколько времени сила тока в цепи с катушкой и резистором станет равна 0,9 от установившегося тока? (Ответ: t=2,3 L/R).
67. Э.д.с. самоиндукции, возникающая в цепи с индуктивностью 2 Гн, изменяется с течением времени по закону εis=10+4t. По какому закону изменяется ток в цепи?
68. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, разряжается
на катушку с индуктивностью L. Сколько тепла выделится в катушке к тому моменту, когда ток в ней достигнет наибольшего значения I?
69. Легкая пружина длиной l и радиусом r имеет n витков. Коэффициент
упругости пружины k. К пружине подвешивают груз массой m. На какое
максимальное расстояние может сместиться груз, если по пружине пропустить ток I? Нагреванием пружины пренебречь.
70. Две катушки имеют взаимную индуктивность L12=5мГн. В первой катушке ток изменяется по закону I=I0sinωt, где I0=10A, ω=2π/T и T=0,02c.
Найти зависимость от времени ЭДС, индуцируемой во второй катушке, и
наибольшее значение этой ЭДС.
71. Соленоид сечением S=5 см2 содержит N=1200 витков. Индукция магнитного поля внутри соленоида при токе I=2A равна В=0,01 Тл. Определить индуктивность соленоида. (Ответ : L=3∙10-3 Гн).
72. Какова индуктивность реостата, имеющего N=500 витков проволоки
диаметром d=0,4 мм, вплотную прилегающих друг другу? Диаметр обмотки реостата d=0,05 м. Толщиной изоляции пренебречь. (Ответ: L=3∙10-3Гн).
73. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой.
Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой 5А/с, во второй
катушке возникает э.д.с. индукции 0,1 В. Определить коэффициент взаимной индукции катушек. (Ответ : L12=0,02 Гн).
74. Соленоид содержит N=1000 витков. Сила тока в обмотке соленоида
I=1A, магнитный поток Ф=0,01 Вб. Вычислить энергию магнитного поля.
(Ответ: Wm=5Дж).
75. В соленоиде объемом V = 500 см3 с плотностью обмотки n = 104 витков на метр (м-1) при увеличении силы тока наблюдалась ЭДС самоиндукции εis=1B. Каковы скорость изменения силы тока и магнитного потока в
соленоиде, если общее число витков N = 1000? Сердечник соленоида немагнитный.
76. Прямой проводник длиной 1,5 м, движущийся равноускоренно в однородном магнитном поле с начальной скоростью 3 м/с и ускорением
10 м/с2, переместился на расстояние 0,5 м. Найти среднюю ЭДС индукции
42
в проводнике. Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл и направлена перпендикулярно скорости движения проводника. Найти также мгновенное
значение ЭДС индукции в проводнике в конце перемещения.
77. Алюминиевое кольцо расположено в однородном магнитном поле
так, что его плоскость перпендикулярна вектору магнитной индукции поля. Диаметр кольца 25 см, толщина провода кольца 2 мм. Определить скорость изменения магнитной индукции поля со временем, если при этом в
кольце возникает индукционный ток 12 А.
78. Рамка площадью S = 100 см2 равномерно вращается c частотой
n = 5 c - 1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл). Определить среднее значение ЭДС индукции < i > за время, в течение которого
магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения.
79. Рамка, содержащая N = 1000 витков площадью S = 100 см 2, равномерно вращается c частотой n = 10 c–1 в магнитном поле напряженностью
Н = 104 А/м. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна
линиям напряженности. Определить максимальную ЭДС индукции max,
возникающую в рамке.
80. Соленоид диаметром 10 см и длиной 60 см имеет 1000 витков. Сила
тока в нем равномерно возрастает на 0,2 А за 1 с. На соленоид надето
кольцо из медной проволоки, имеющей площадь поперечного сечения
2 мм2. Найти силу индукционного тока, возникающего в кольце.
81. В однородном магнитном поле находится плоский виток площадью
10 см2, расположенный перпендикулярно линиям индукции. Найти силу
тока, текущего по витку, если поле убывает с постоянной скоростью
0,1 Тл/с. Сопротивление витка 10 Ом.
82. В однородном магнитном поле c индукцией B = 0,5 Тл вращается c
частотой n = 10 c–1 стержень длиной ℓ = 20 см. Ось вращения параллельна
линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня.
83. Круговой проволочный виток площадью S = 0,01 м2 находится в однородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл. Плоскость витка
перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найти среднюю ЭДС
индукции < ε >, возникающую в витке при выключении поля в течение
времени t = 10 мс.
84. Рамка, имеющая 30 витков, вращается около горизонтальной оси, лежащей в ее плоскости и перпендикулярной плоскости магнитного меридиана, с частотой 10 с–1. Напряженность магнитного поля Земли 40 А/м. В
рамке индуцируется максимальная ЭДС =0,001 В. Найти площадь рамки.
85. Рамка, площадь которой S = 16 см2, вращается в однородном магнитном поле с частотой n = 2 с-1. Ось вращения находится в плоскости рамки и
перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность маг43
нитного поля H = 79,6 кА/м. Найти зависимость магнитного потока Ф,
пронизывающего рамку, от времени t и наибольшего значения Фmax магнитного потока.
86. Между полюсами динамо-машины создано поле с индукцией 0,7 Тл,
Якорь машины состоит из 100 витков площадью 500 см2 каждый. Найти
частоту вращения якоря, если в нем индуцируется максимальная ЭДС
200 В.
87. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд
Q = 50 мкКл. Определить изменение магнитного потока Ф через кольцо,
если сопротивление цепи гальванометра r = 10 Ом.
88. Тонкий медный провод массой m = 5 г согнут в виде квадрата и концы
его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (B = 0,2 Тл),
так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд q,
который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.
89. Рамка из провода сопротивлением r = 0,04 Ом равномерно вращается
в однородном магнитном поле (B = 0,6 Тл). Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки
S = 200 см2. Определить заряд q, который потечет по рамке при изменении
угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 45°; 2) от 45
до 90°.
90. Проволочный виток радиусом R = 5 см и сопротивлением r = 0,02 Ом
находится в однородном магнитном поле (B = 0,3 Тл). Плоскость витка составляет угол  = 40° c линиями индукции. Kaкой заряд q потечет по витку
при выключении магнитного поля?
91. Соленоид сечением S = 10 см2 содержит N = 1000 витков. Индукция
магнитного поля внутри соленоида при силе тока I = 5 А равна В = 0,1 Тл.
Определить индуктивность L соленоида.(Ответ:L=0,02 Гн.)
92. На картонный каркас длиной ℓ = 0,8 м и диаметром D = 4 см намотан
в один слой провод диаметром d = 0,25 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.(Ответ: L=0,02 Гн.)
93. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет
N = 250 витков и индуктивность L1 = 36 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L2 = 100 мГн, обмотку катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки c таким расчетом, чтобы длина катушки
осталась прежней. Сколько витков оказалось в катушке после перемотки?
(Ответ:N2=750.)
94. Индуктивность соленоида, намотанного в один слои на немагнитный
каркас, L = 0,5 мГн. Длина соленоида ℓ = 0,6 м, диаметр D = 2 см. Определить число витков n, приходящихся на единицу длины соленоида.(Ответ:n=1452,88 м-1.)
44
95. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,4 мм с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром
D = 2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью
L = l мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.(Ответ:N=1013.)
96. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет
N1 = 750 витков и индуктивность L1 = 25 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L2 = 50 мГн, обмотку с катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки уменьшилась в 2 раза. Определить число N2 витков катушки после
перемотки.(Ответ:N=750.)
97. Соленоид, площадь сечения которого равна S = 5 см2, содержит
N = 1200 витков. Индукция магнитного поля внутри соленоида при силе
тока I = 2 А равна В = 0,01 Тл. Определить индуктивность L соленоида.(Ответ: L=3,00·10-3 Гн.)
98. Соленоид имеет стальной полностью размагниченный сердечник объемом V = 500 см3. Напряженность магнитного поля соленоида при силе тока I = 0,6 А равна H = 1000 А/м. Определить индуктивность L соленоида.(Ответ:L=1,53 Гн.)
99. Обмотка
соленоида
c
железным
сердечником
содержит
N = 600 витков. Длина сердечника ℓ = 40 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастает от I1 = 0,2 А до I2 = 1 А?(Ответ:L1/L2=0,28. Индуктивность уменьшается в L1/L2=3,54 раз.)
100. На железный, полностью размагниченный сердечник диаметром
D = 5 см и длиной ℓ = 80 см, намотано в один слой N = 240 витков провода.
Вычислить индуктивность L получившегося соленоида при силе тока
I = 0,6 А.(Ответ: L=0,63 Гн.)
101. Если сила тока, проходящего в соленоиде, изменяется на 50 А в секунду, то на концах обмотки соленоида возникает ЭДС самоиндукции
0,08 В. Определить индуктивность соленоида.(Ответ:L=1,60·10-3 Гн.)
102. Силу тока в катушке равномерно увеличивают при помощи реостата
на ΔI = 0,6 А в секунду. Найти среднее значение ЭДС <εis> самоиндукции,
если индуктивность катушки L = 5 мГн.(Ответ:L=3,00·10-3 Гн.)
103. Соленоид содержит N = 800 витков. Сечение сердечника (из немагнитного материала) S = 10 см2. По обмотке течет ток, создающий поле c
индукцией B = 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС <εis> самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если ток уменьшается практически до нуля за время Δt = 0,8 мс.(Ответ: <εsi>= 8,00 В.)
104. В электрической цепи, содержащей сопротивление r = 20 Ом и индуктивность L = 0,06 Гн, течет ток силой I = 20 А. Определить силу тока в цепи через Δt = 0,2 мс после ее размыкания.(Ответ: I = 18,71 A)
105. По замкнутой цепи c сопротивлением r = 20 Ом течет ток. Через 8 мс
после размыкания цепи сила тока в ней уменьшилась в 20 раз. Определить
45
индуктивность цепи.(Ответ:L=5,34 ·10-3Гн.)
106. Цепь состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и источника тока. Источник тока отключили, не разрывая цепь. Время, по истечении которого сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения, равно
t = 0,07 c. Определить сопротивление r катушки.(Ответ: R =9,87 Ом.)
107. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением r = 10 Ом и индуктивностью L = 0,2 Гн. Через сколько времени сила тока в цепи достигнет 50% максимального значения?(Ответ: ∆t = 1,38·10-2 с.)
108. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением r = 20 Ом. По
истечении времени t = 0,1 c сила тока I замыкания достигла 0,95 предельного значения. Определить индуктивность L катушки.(Ответ:L=0,67 Гн.)
109. В соленоиде сечением S = 5 см 2 создан магнитный поток
Ф = 20 мкВб. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля
соленоида. Сердечник отсутствует. Магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.(Ответ:ω=636,62 Дж/м3.)
110. Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20000 витков медного провода и находится под постоянным напряжением. Определить время, в течение которого в обмотке соленоида выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в соленоиде.(Ответ: t=1,45·10-6 с.)
111. Магнитный поток в соленоиде, содержащем N = 1000 витков, равен
Ф = 0,2 мВб. Определить энергию W магнитного поля соленоида, если сила
тока, протекающего по виткам соленоида, равна I = 1 А. Сердечник отсутствует. Магнитное поле во всем объеме соленоида считать однородным.(Ответ: W= 0,10 Дж.)
112. Диаметр тороида (по средней линии) D = 50 см. Тороид содержит
N = 2000 витков и имеет площадь сечения S = 20 см2. Вычислить энергию
W магнитного поля тороида при силе тока I = 5 А. Считать магнитное поле
тороида однородным. Сердечник выполнен из немагнитного материала.(Ответ: W= 0,08 Дж.)
113. По проводнику, изогнутому в виде кольца радиусом R = 20 см, содержащему N = 500 витков, течет ток силой I = 1 А. Определить объемную
плотность ω энергии магнитного поля в центре кольца.(Ответ: ω=0,98
Дж/м3.)
114. При какой силе тока I в прямолинейном проводе бесконечной длины
на расстоянии r = 5 см от него объемная плотность энергии магнитного
поля будет равна ω = 1 мДж/м3?(Ответ:I=12,53 A.)
115. Магнитное поле создается протекающим по катушке постоянным током. Магнитный поток этого поля через катушку равен 0,1 Вб, индуктивность катушки 0,01 Гн. Чему равна энергия магнитного поля катушки?(Ответ: W= 0,50 Дж.)
116. Обмотка тороида имеет n = 10 витков на каждый сантиметр длины (по
средней линии тороида). Вычислить объемную плотность энергии ω магнитного поля при силе тока I = 10 А. Сердечник выполнен из немагнитного
46
материала, и магнитное поле во всем объеме однородно.(Ответ: ω=62,83
Дж/м3 .)
117. Обмотка соленоида содержит n = 20 витков на каждый сантиметр
длины. При какой силе тока I объемная плотность энергии магнитного поля будет ω = 0,1 Дж/м3? Сердечник выполнен из немагнитного материала,
и магнитное поле во всем объеме однородно.(Ответ: I=0,20 A.)
118. При индукции В поля, равной 1 Тл, плотность энергии ω магнитного
поля в железе равна 200 Дж/м3. Определить магнитную проницаемость μ
железа в этих условиях. (Ответ: μ=1389.)
119. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от B1 = 0,5 Тл до B2 = 1 Тл. Найти, во сколько раз изменилась объемная плотность энергии ω магнитного поля. Для определения магнитной
проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой в
справочниках. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: ω1/ω2=6,36.)
120. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет n = 10 витков на
каждый сантиметр длины. Определить плотность энергии ω поля, если по
обмотке течет ток I = 16 А.(Ответ: ω=160,85 Дж/м3 .)
121. Индуктивность соленоида при длине 1 м и площади поперечного сечения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определить силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна
0,1 Дж/м3.(Ответ: Ответ: I= 1,00 А.)
122. Соленоид имеет длину ℓ = 0,5 м и сечение S = 10 см2. При некоторой
силе тока, протекающего по обмотке, в соленоиде создается магнитный
поток Ф = 0,1 мВб. Чему равна энергия W магнитного поля соленоида?
(Сердечник – немагнетик, магнитное поле во всем объеме однородно).(Ответ:W=1,99 Дж.)
47
ГЛАВА 3. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
3.1. Основные определения и формулы


Связь орбитального магнитного pm и орбитального механического L e
моментов электрона


e 
pm   gLe  
Le ,
2m
где g  e 2m - гиромагнитное отношение орбитальных моментов.
Намагниченность
 

J  Pm V   pa V ,


где Pm   pa - магнитный момент магнетика, равный векторной сумме
магнитных моментов отдельных молекул.
Связь между намагниченностью и напряженностью
магнитного поля

J  H ,
где  - магнитная восприимчивость вещества.
  
Связь между векторами B , H , J

 
B  0 H  J ,
где  0 - магнитная постоянная.
Связь между магнитной проницаемостью и магнитной восприимчивостью вещества
 1  
Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора B )
 

B
d


B
d
L
L l   0 I  I  ,

где d  - вектор элементарной длины контура,
направленный вдоль обхода

контура; Bl - составляющая вектора B в направлении касательной контура
L произвольной формы; I и I  - соответственно алгебраические суммы
макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов),
охватываемых заданным контуром.
Теорема о циркуляции вектора напряженности
магнитного поля
 
 Hd   I ,


L
где I - алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром L .
48
3.2. Примеры решения задач
3.1. Считая, что электрон в атоме водорода обращается по круговой
орбите радиуса r  0 ,53  10 8 см со скоростью   22  10 7 см / с , вычислить его орбитальный магнитный момент.
Дано:
r  0 ,53  10 8 см  0,53  10 -10 м
Решение:
Движение электрона по орбите можно
  22  107 см / с  22  10 5 м / с рассматривать как круговой ток I, обладающий магнитным моментом:
e  1,6  10 19 Кл
Рm  IS ,
________________________ где S  r 2 - площадь, ограниченная орбитой электрона.
Pm  ?
Если электрон за одну секунду делает n оборотов, то I  en , а
  2 r n , откуда

e
n
иI
.
2 r
2 r
Тогда магнитный момент электрона будет равен:
e
e r
Pm  I S 
 r2 
.
2 r
2
Подставив числовые значения, получим:
1,6  10 19  22  10 5  0 ,53  10 10
Pm 
A  м 2  9 ,3  10  24 А  м 2 .
2
24
2
Ответ : Pm  10 А  м .
3.2. Соленоид длиной l  20см, площадью поперечного сечения
S  10см 2 и общим числом витков N  400 находится в диамагнитной
среде. Определить силу тока в обмотке соленоида, если его индуктивность L  1мГн и намагниченность J внутри соленоида равна 20 A / м .
Дано:
l  20 см  0,2 м,
Решение:
Намагниченность внутри соленоида
J  H ,
S  10 см 2  10 3 м 2 ,
где  - магнитная восприимчивость вещества; H - наN  400 ,
пряженность магнитного поля.
L  1 мГн  10 -3 Гн ,
Так как магнитная проницаемость вещества
  1   , то
J  20 A/м
J  (   1) H .
(1)
________________
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля
I -?
49
 

H
d


H
d


I
 k,

 1
L
k
L
т.е. равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуров. Для соленоида Hl  NI , откуда
H  NI / l.
Ll
Индуктивность соленоида L   0 N 2 S / l , тогда  
. Под0 N 2 S
ставив значения  и H в формулу (1), получим
 Ll
 NI
J  
 1 
,
2

N
S
l
 0

откуда искомая сила тока
Jl
I
.
 Ll

N 
 1 
2

N
S
 0

Вычисляя и учитывая, что для диамагнетиков   0 , получаем I  2 ,09 A.
Ответ: I  2 ,09 A.
3.3. Cоленоид, находящийся в диамагнитной среде, имеет длину l=50
см, площадь поперечного сечения 10 см2 и число витков N=1200. Индуктивность соленоида L=36 мГн, а сила тока, протекающего по нему I=0,8
А. Определить: 1) Магнитную индукцию внутри соленоида; 2) Намагниченность внутри соленоида.
Дано:
l  50 см  0,5 м
S  10 см 2  10 3 м 2
N  1200
L  3 ,6  10  2 Гн
I  0,8 A
Решение:
Индуктивность соленоида связана с числом витков
и геометрическими размерами посредством формулы
 0 N 2 S
L
(1)
l
где  - магнитная проницаемость среды. Поскольку
среда является диамагнитной, то  не зависит от характеристик магнитного поля, создаваемого соленоидом.
________________
B -? J -?
Применяя к соленоиду теорему о циркуляции вектора напряженности
магнитного поля, получим 
(2)
 Hd   NI , откуда H  NI l
L
где контур L охватывает витки соленоида, проходя частично через него.
При этом учитывается только та его часть, которая располагается внутри
соленоида; где поле приблизительно однородно. Учитывая связь намагни50
ченности с напряженностью, J    1H , используя выражения (1) и (2),
получим
 L1
 NI

J  

1
(3)
2
 1

N
S
0


Cвязь индукции с напряженностью B   0 H . После подстановки значения  и Н из (1) и (2), находим
LI
B
(4)
NS
Подстановка в (3) и (4) численных значений величин дает
J  10 ,1 А/м; В  0,7 Тл .
Ответ: J  10 ,1 А/м; В  0,7 Тл
3.3. Задачи для самостоятельного решения
123. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите
некоторого радиуса. Чему равно отношение магнитного момента эквивалентного кругового тока к величине момента импульса орбитального движения электрона. (Ответ : pm/L=8,8∙1010A∙c/кг).
124. В магнитном поле с индукцией 2∙10-5Тл помещен шарик из висмута
(χ=-1,76∙10-4) радиусом 5 мм. Каков магнитный момент шарика? Куда он
направлен? (Ответ: pm=1,5∙10-9A∙м2, против поля).
125. Решить предыдущую задачу для шарика из вольфрама (χ=1,76∙10-4).
(Ответ: pm=1,5∙10-9A∙м2, вдоль поля).
126. В соответствии с законом Кюри магнитная восприимчивость парамагнитного вещества обратно пропорциональна его абсолютной температуре. Для некоторого парамагнетика магнитная восприимчивость опредеB, Тл
1.5
1.0
0.5
0
500
Рис.3.1
51
1000
1500 H, А/м
лена при 0˚С. Определить, как должна измениться температура, чтобы магнитная восприимчивость возросла на 10%. (Ответ : T2=248K)
127. Алюминиевый стержень (μ=1,000023) внесен в однородное магнитное поле. Сколько процентов суммарного поля в этом стержне приходится
на долю внутреннего магнитного поля. (Ответ : Х=0,0023%)
128. Зная, что напряженность однородного магнитного поля в вольфраме
Н=10А/м, определить магнитную индукцию поля, обусловленную намагничиванием. Магнитная восприимчивость для вольфрама χm=1,75∙10-4.
(Ответ : B   2 ,2  10 9 Tл ).
129. Кривая первоначального намагничивания технически чистого железа
показана на рисунке 3.1. Пользуясь графиком, найти значение магнитной
проницаемости этого материала при напряженностях магнитного поля:
50A/м ; 75А/м ; 100A/м ; 200A/м; 500A/м ; 1000A/м ; 1500A/м.
130. В условиях предыдущей задачи построить график зависимости магнитной проницаемости от напряженности поля. По графику оценить, при
какой напряженности достигается максимальная магнитная проницаемость
и чему она ориентировочно равна. (Ответ: μmax=9,6∙103 при H=75A/м).
131. Железный сердечник находится в однородном магнитном поле напряженностью H = 1 кА/м. Определить индукцию В магнитного поля в
сердечнике и магнитную проницаемость  железа. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: μ=1034,51.)
132. На железное кольцо намотано в один слой N = 500 витков провода.
Средний диаметр d кольца равен 25 см. Определить магнитную индукцию
В в железе и магнитную проницаемость  железа, если сила тока I в обмотке: 1) 0,5 А; 2) 2,5 А. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление
гистерезиса не учитывать.(Ответ: В1=1,00 Тл; μ1=2500; В2=1,38 Тл;
μ2=690.)
133. Замкнутый соленоид (тороид) с железным сердечником имеет п = 10
витков на каждый сантиметр длины. По соленоиду течет ток I = 2 А. Вычислить магнитный поток Ф в сердечнике, если его сечение S = 4 см2. Для
определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: Ф=5,20·10-4 Вб; μ=517.)
134. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 витков. Длина ℓ сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от I1 = 0,2 А до I2 = 1 А. Для определения магнитной проницаемости
воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: μ1=3382; μ2=676; Индуктивность
уменьшается в L1/l2=3,269 раз.)
135. Соленоид намотан на железное кольцо сечением S = 5 см2. При силе
52
тока I = 1 А магнитный поток Ф = 250 мкВб. Определить число п витков
соленоида, приходящихся на отрезок длиной 1 см средней линии кольца.
Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической
зависимостью, приводимой на рис. 3.1. Явление гистерезиса не учитывать.(Ответ: μ=249; т=16м-1.)
136. В железном сердечнике соленоида индукция В = 1,3 Тл. Железный
сердечник заменили стальным. Определить, во сколько раз следует изменить силу тока в обмотке соленоида, чтобы индукция в сердечнике осталась неизменной. Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление
гистерезиса не учитывать.(Ответ:I1/I2=2.)
137. Железный сердечник тороида, длина ℓ которого по средней линии
равна 1 м, имеет вакуумный зазор длиной ℓ0 = 4 мм. Обмотка содержит
п = 8 витков на 1 см. При какой силе тока I индукция В в зазоре будет равна 1 Тл? Для определения магнитной проницаемости воспользоваться графической зависимостью, приводимой на рис.3.1. Явление гистерезиса не
учитывать.
138. Рассчитать отклонение пучка от оси в опытах Штерна и Герлаха при
следующих данных установки: длина магнитных полюсов 3,5 см, градиент
магнитного поля порядка 102Тл/м. В опыте отклонялись атомы серебра,
вылетавшие из «молекулярной печи» при температуре 7300С; проекция
магнитного момента атома серебра на направление вектора индукции магнитного поля равна магнетрону Бора.
139. Определить намагниченность J тела при насыщении, если магнитный
момент каждого атома равен магнетону Бора μB и концентрация атомов
6∙1028 м-3.
140. Магнитная восприимчивость χ марганца равна 1,21∙10-4. Вычислить
намагниченность J, удельную намагниченность Jуд и молярную намагниченность Jm марганца в магнитном поле напряженностью H = 100 кА/м.
Плотность марганца считать известной.
141. Найти магнитную восприимчивость χ AgBr, если его молярная магнитная восприимчивость χm = 7,5∙10-10 м3/моль.
142. Определить магнитную восприимчивость χ и молярную магнитную
восприимчивость χm платины, если удельная магнитная восприимчивость
χуд = 1,30∙10-9 м3/кг.
143. Магнитная восприимчивость χ алюминия равна 2,1∙10-5. Определить
его удельную магнитную χуд и молярную χm восприимчивости.
144. Напряженность Н магнитного поля в меди равна 1 МА/м. Определить
намагниченность J меди и магнитную индукцию В, если известно, что
удельная магнитная восприимчивость χуд = -1,1∙10-9 м3/кг.
145. Висмутовый шарик радиусом R = 1 см помещен в однородное магнитное поле (В0 = 0,5 Тл). Определить магнитный момент pm приобретенный шариком, если магнитная восприимчивость χ висмута равна –1,5∙10-4.
53
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
4.1. Основные определения и формулы

Циркуляция вектора напряженности E B поля, создаваемого переменным магнитным полем,

 
B 
 E B d      t dS .
L
S
Плотность тока смещения




D
E P
jñì 
 0

,
t
t t


E
где D - вектор электрического смещения;  0
- плотность тока смещеt

P
ния в вакууме;
- плотность тока поляризации.
t
Обобщенная теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного
поля

 
  D  
 H d     j   t dS ,
L
S
 

D
j - плотность тока проводимости;
- плотность тока смещения; S - поt
верхность, ограниченная контуром L.
Полная система уравнений Максвелла:
- в интегральной форме
 
 
B 
E
d



d
S
;
D

 t
 dS    dV ;
L
S
S
V

 
 
  D  


H
d


j

d
S
;
B

 t 
 dS  0 ;
L
S
S

- в дифференциальной форме



B
rotE  
;
divD   ;
t

  D

rotH  j 
;
divB  0 ,
t
54

 
 

где D   0 E , B  0 H , j   E (  0 и  0 - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости;  - удельная проводимость вещества).
55
4.2. Примеры решения задач
4.1. Площадь пластин конденсатора S  60см 2 , первоначальное расстояние между ними d  0 ,43 см , заряд на каждой пластине конденсатора q  10 9 Кл . Пластины конденсатора стали раздвигаться со скоростью
  3 мм/мин . Определить плотность тока смещения в конденсаторе через 20 с после начала движения пластин, если разность потенциалов между пластинами конденсатора остается постоянной.
Дано:
S  60 см 2  6  10 3 м 2 ;
d  0 ,43 мм  4 ,3  10  3 м ;
q  10 -9 Кл
Решение:
Плотность тока смещения в конденсаторе
равна скорости изменения вектора электрической индукции:

D
J
(1)
  3 мм/мин.  5  10 -5 м / с;
t
t  20 c;
Для случая электрического поля конденсатоU  const .
ра
q C (t )U
______________________
D 
(2)
S
S
J cм  ?
При раздвижении пластин конденсатора его емкость изменяется со
временем:
 S
C (t )  0
(3)
d  t
Соответственно будет изменяться и электрическая индукция
 U
D 0
(4)
d  t
Тогда величина плотности тока смещения будет равна:
D
 0U
 0USd
C0Ud
qd
J cì 



.
2 
2
2
t d  t 
d d  t  S
d  t  S d  t 2 S

Учли, что в момент времени t  0 : C (0 )  C0   0 S d .
Подставив числовые значения, получим:
10 9  4 ,3  10 3  5  10 5
J см 
А/м 2  1,2  10 9 А/м 2 .
2
3
5
3
4 ,3  10  5  10  20  6  10
Ответ : J cм  1,2  10 9 А/м 2 .
56
4.2.Точечный заряд движется с постоянной скоростью  . Найти
плотность тока смещения j см в точке, находящейся на расстоянии r от
заряда на прямой: а) совпадающей с траекторией заряда; б) перпендикулярной к траектории заряда.
Дано:
, r
_________
jñì  ?
Решение:
Плотность тока смещения по определению
D
jñì 
(1)
t
а) пусть интересующая нас точка есть центр системы координат, а координаты заряда меняются со временем по закону:
x(t)  -r   t
(2)
y(t)  0
Электрическое смещение, создаваемое зарядом в центре координат
1 q
Dx (t ) 
4  x (t ) 2
(3)
D y (t )  0
Подставляя (3) в (1)
d
1 q d
1
q
jcì.x (t )  Dx (t )  
x(t )  

3
dt
2  x(t ) dt
2  (r   t ) 3
.
d
jñì.y (t )  D y (t )  0
dt
4.3. Пространство между двумя концентрическими металлическими
сферами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопротивлением ρ и диэлектрической проницаемостью ε. В момент t = 0
внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:
а) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент;
б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю сферу, если заряд
этой сферы в данный момент равен q0 .
Дано:
,  , q
________
jñì.  ?
j ?
Решение:
Плотность тока смещения по определению
D
jñì 
t
2
Т.к. D   0 E  q 4 r , то (1) можно переписать в виде
57
(1)
jñì.
 q 4 r 2 
1 q


t
2 r 2 t
(2)
dq
, для плотности тока проводимости получим
dt
I
1 dq
j


  jñì .
4 r 2
4 r 2 dt
Сопротивление материала цилиндров и его емкость соответственно равны
 ba
ab
R
;
C  4 0
,
(3)
4 ab
ba
где a и b - внутренний и внешний радиусы соответственно.
Согласно закону Ома сила тока через цилиндр
U
q
dq
I 

(4)
R CR dt
После подстановки (3) в (4) получим уравнение вида
dq
dt

,
q  0 
решением которого является функция
Учитывая, что I  
t
 0 
q  q0 e
(5)
Подстановка (5) в (2) приводит к результату для плотности тока смещения
t
q0
 
jñì 
e .
4 0  r 2
Для тока смещения соответственно
t
q0  
q
2
I ñì  4 r jñì 
e  0 .
 0 
 0 
q
Ответ: jñì   j ; I ñì  0 .
 0 
0
0
4.3. Задачи для самостоятельного решения
146. Определить значения напряженностей электрического и магнитного
полей, если плотность энергии электромагнитной волны в воздухе
11∙10-6Дж/м3. (Ответ : Е=336,7 В/м , Н=0,89 А/м).
147. Скорость распространения электромагнитных волн в кабеле уменьшилась на 20 % после того, как пространство между внешним и внутренним проводниками заполнили диэлектриком. Определить электрическую
восприимчивость диэлектрика. (Ответ : χе=14,6).
58
148. Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника
ЭДС. Пренебрегая краевыми эффектами, доказать, что ток смещения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора,
равен току в цепи источника ЭДС.
149. Записать полную систему уравнений Максвелла для стационарных
полей (E=const, B=const) в интегральной и дифференциальной формах и
объяснить физический смысл каждого.



B
150. Доказать, что уравнения Максвелла rotE  
и divB  0 совместиt
мы, т.е. первое из них не противоречит второму.
151. Ток, проходящий по обмотке длинного прямого соленоида радиусом
R изменяют так, что магнитное поле внутри соленоида растет со временем
по закону B=At2, где А – некоторая постоянная. Определить плотность тока
смещения как функцию расстояния r от оси соленоида. Построить график
зависимости jсм(r).
152. В физике известно так называемое уравнение непрерывности
 
 j dS   q  t , выражающее закон сохранения заряда. Доказать, что
S
уравнения Максвелла содержат это уравнение. Вывести дифференциальную форму уравнения непрерывности.
153. Определить силу тока смещения между квадратными пластинами
конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля
изменяется со скоростью 4,25МВ/(м∙с).
59
ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
5.1. Основные определения и формулы
Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом T собственных колебаний в контуре без активного сопротивления и индуктивностью L контура и его емкостью C :
T  2 LC .
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний
заряда в контуре и его решение:
1
q 
q  0; q  q m cos 0t    ,
LC
где q m - амплитуда колебаний заряда; 0  1 LC - собственная частота
контура.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
линейной системы и его решение:
d 2s
ds

2

 02 s  0; s  A0e  t cost    ,
2
dt
dt
где s - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс,
  r 2m - коэффициент затухания, 0 - циклическая частота свободных
незатухающих колебаний той же колебательной системы;    02   2 частота затухающих колебаний; Ae  t - амплитуда затухающих колебаний.
Декремент затухания
At 
 e T ,
At  T 
где At  и At  T  - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.
Логарифмический декремент затухания
A t 
T
1
  ln
 T  
,
A t  T 
 Nе
где   1  - время релаксации; N e – число колебаний, совершаемых за
время уменьшения амплитуды в e раз.
Добротность колебательной системы
 
Q  0 .
 2
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний:
60
d 2s
ds
 2  02 s  x0 cost ;
2
dt
dt
s  A0 cost   
где s - колеблющаяся величина, описывающая физический процесс,
x0  U m L ;
x0
x0
A
;   arctg
.
2
2
2
2 2
2 2
2




0    4 
0
Полное сопротивление Z цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С, на концы которой подается переменное напряжение U  U m cos  t  :


2
1 

2
2
Z  R   L 
  R  RL  RC  ,
C 

где RL   L - реактивное индуктивное сопротивление; RC  1  C - реактивное емкостное сопротивление.
Сдвиг фаз между напряжением и силой тока
L  1 C
tg 
.
R
Действующие значения силы тока и напряжения
I  Im 2 ; U Um 2 ,
где I m и U m - амплитудные значения силы тока и напряжения.
Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,
1
P  I mU m cos  ,
2
где
R
.
cos  
2
2
R   L  1  C 
2
61
5.2. Примеры решения задач
5.1. Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора с
двумя пластинами по 100 см 2 каждая и катушки с индуктивностью
L  10 5 Ãí . Период колебаний в контуре равен 10-7 с. Определить расстояние между пластинами конденсатора. Сопротивление ничтожно
мало.
Дано:
S  100 ñì 2  10 2 ì 2 ;
L  10 5 Гн;
Решение:
Расстояние между пластинами конденсатора
можно найти из формулы емкости плоского конT  10 7 с;
 S
денсатора С  0 , где S - площадь пластины
  1;
d
12
__________
Ф/м.
конденсатора,  - относительная диэлектриче0  8 ,85  10_______
ская проницаемость среды, заполняющей конd ?
денсатор, d - расстояние между пластинами Отсюда:
 S
d 0 .
C
Период колебаний в колебательном контуре определяется формулой
Томсона:
T  2 LC ,
где L- индуктивность контура. Отсюда,
T2
C
.
4 2 d
4 2  0 SL
Тогда
d
.
T2
Подставив числовые значения, получим:
4  9 ,87  1  8 ,85  10 12  10 2  10 5
d
м  3,49  10 -3 м.
7
7
10  10
Ответ : d  3 ,49  10 3 м .
5.2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью
L  25 мГн , конденсатора емкостью С  10 мкФ и резистора. Определить сопротивление резистора, если известно, что амплитуда тока в
контуре уменьшилась в е раз за 16 полных колебаний.
62
Дано:
L  25 мГн  25  10 -3 Гн
С  10 мкФ  10 5 Ф
N e  16
Решение:
Число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды силы тока в е раз,
Ne   T ,
где   1  - время релаксации; T  2 02   2
____________________
- условный период затухания колебаний
R ?
( 0  1 LC - собственная частота контура;
  R 2 L - коэффициент затухания).
Подставив эти выражения в (1), получим
2L 1
R2
 2
1
4L
N e  R LC 4 L 
1,
2
2 R 2C
откуда искомое сопротивление
L
R2
.
C 1  4 2 N e2 
Подставляя числовые значения, получим
2 ,5  10 2
R2
Ом  0 ,99Ом .
10 5 1  4  9 ,86  256 
Ответ: R  0 ,99 Ом .
5.3. Сколько времени будет гореть неоновая лампочка в течение 1
мин при подключении ее в сеть переменного синусоидального тока с действующим значением напряжения U Д  120 В и частотой f  50 Гц , если
лампочка зажигается и гаснет при напряжении U=84 В?
Дано:
t0  1 мин
U Д  120 В
f  50 Гц
U  84 Гц
__________
tx  ?
Решение:
При включении лампочки в сеть переменного тока
напряжение на ее электродах меняется с течением
времени по закону
U  U 0 sin( 2 f t )
(1)
где U 0 - максимальное значение напряжения.
Максимальное значение синусоидального напряжения связано с действующим равенством
U0  Uä 2
(2)
Так как лампочка зажигается и гаснет при напряжении U 1 U 0 , то в течение
одного полупериода она будет гореть в течение времени
t  t 2  t1
(3)
63
где t1 и t 2 - интервалы времени, прошедшего от начала периода Т до момента вспышки и гашения. Всего за время t 0  1 мин лампочка горит в течение времени
t x  2 f t0  t
(4)
t
поскольку в интервале t 0 будет содержаться 2 0  2 f t 0 промежутков t .
T
В уравнении (1) после подстановки выражения (2) все величины, кроме t,
будут известны, и из полученного уравнения можно определить значение
t1 и t 2 . Подставляя числовые значения U  U заж  U гаш и U д , найдем:
T
 2  1
sin t   , откуда в пределах :
2
T  2
2

T 2
5
5
t1  ; t1  ;
t2   ; t2  T
T
6
12 T
6
3
T
1
Следовательно, t  t 2  t1  ; t 
с
3
150
Подставляя после этого числовые значения в уравнение (4), найдем время
горения неоновой лампочки за 1 мин: t x  40 с .
Ответ: t x  40 с
5.4. В сеть переменного синусоидального тока включены последовательно конденсатор емкостью С=100 мкФ и катушка индуктивности
диаметром d=10 см, состоящая из n=1000 витков медной проволоки сечением S=1мм2, вплотную прилегающих друг к другу. Какая средняя тепловая мощность выделяется на активном сопротивлении катушки индуктивности за 1 период колебания тока в цепи, если амплитудное значение
напряжения в сети равно U 0  120 В ? При какой частоте тока эта мощность будет максимальной? Сопротивлением подводящих проводов пренебречь. Удельное сопротивление меди   0 ,017  10 6 Ом  м .
Дано:
Решение:
4
Если в сеть синусоидального напряжения
С  100 мкФ  10 Ф
включены емкость, индуктивность и активное
d  10 c м  0,1 м
сопротивление, то рассеивание мощности P
n  1000
происходит на активном сопротивлении, где
2
она выделяется в виде тепла. В нашем примере
S  1 мм
активным сопротивлением R является сопроU 0  120 В
тивление проводов катушки индуктивности.
  0,017  10 -6 Ом  м
Поскольку напряжение на этом сопротивлении
совпадает по фазе с током и   0 , то
__________ _________
IU
P ?
P 0 0,
(1)
2
f ?
64
где I 0 - амплитудное значение тока в цепи.
По закону Ома
U
I0  0
(2)
Z
где Z- полное сопротивление цепи переменного тока. Поскольку сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, Z состоит из активного
сопротивления катушки R, сопротивления конденсатора Rc и сопротивления индуктивности RL :
2

1 
Z  R   2fL 

(3)
2

fC


где f - частота тока в городской сети, равна 50 Гц.
Активное сопротивление обмотки из медной проволоки удельным
сопротивлением  и сечением S равно:
l  n D
R 
(4)
S
S
где n- число витков; D- средний диаметр катушки. Учитывая, что длина каS
тушки l  nd  2n
и витки вплотную прилегают друг к другу, для ее

индуктивности получим:
 0 n D 2 
L
(5)
8
S
Последовательно подставляя числовые значения в формулы (5), (4) и (3),
находим:
L  9  10 3 Гн ; R  5 ,34 Ом ; Z  5 ,36 Ом
После этого из соотношений (1) и (2) найдем:
U 02 R
P
; P  1,34 кВт
2Z 2
Из последней формулы видно, что мощность тепловых потерь максимальна в том случае, когда полное сопротивление цепи минимально. Согласно выражению (3) Z  Z мин  R , если выражение, стоящее в скобках,
1
равно нулю. Это возможно при частоте f 
; f  5 ,6 кКц .
2 LC
Мощность, выделяемая на активном сопротивлении при такой частоте,
равна:
U 02
P0 
; P0  1,35 кВт .
2R
Ответ: P  1,34 кВт , f  5 ,6 кГц .
2
65
5.5. Конденсатор емкостью С  50 пФ сначала подключили к источнику тока с ЭДС   3 В , а затем к катушке с индуктивностью
L  5 ,1 мкГн . Найти частоту колебаний, возникающих в контуре, максимальное значение силы тока в контуре и его действующее значение.
Дано:
С  50 пФ  50  10 -12 Ф
  3В
L  5 ,1 мкГн
__________________
 ?
Im  ?
I ?
Решение:
На рис. 4.5 ключ К, при помощи которого конденсатор С подключается к источнику ЭДС. При этом
конденсатор заряжается до напряжения U   и
его заряд q m  C . Затем при помощи ключа заряженный конденсатор подключают к катушке. В
колебательном контуре возникают колебания заряда, тока и напряжения на конденсаторе. Собственная частота колебаний
1
(1)
 6 ,3  10 7 рад/с
LC
Определить максимальное значение силы
тока в контуре можно двумя способами:
1)
т.к. в контуре возникают гармонические колебания заряда, то заряд изменяется с течением времени по закону
q (t )  qm cos0 t 
(2)
Ток в контуре определяется скоростью
изменения заряда, т.е.
0 
К
С

L
Рис.4.1

I  q( t )   qm0 sin0 t   qm0 cos 0 t  

(3)
2
Из (3) следует, что амплитуда силы тока в колебательном контуре
1
C
I m  qm0  C

(4)
L
LC
2. Начальная энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора и равна
C 2
W1 
(5)
2
В тот момент времени, когда сила тока достигнет своего максимального
значения, заряд конденсатора станет равен нулю, вся энергия контура будет сосредоточена в катушке и равна
LI m2
W2 
(6)
2
По закону сохранения энергии W1  W2 , тогда из (5) и (6) следует
66
C 2 LI m2

,
2
2
(7)
откуда
C
(8)
L
Как видно при различных способах решения получен одинаковый результат (см. (4) и (8)).
Подстановка численных значений приводит к следующему значению амплитуды силы тока в контуре I m  9,4  10 3 A .
I
Действующее значение тока соответственно равно I  m  8,6  10 3 A .
2
Ответ: I m  9 ,4 мА; I  8,6 мА .
Im  
5.3. Задачи для самостоятельного решения
154. Колебательный контур с ничтожно малым сопротивлением имеет индуктивность
155. L=1,6∙10-4Гн, а емкость С=0,04мкФ. Максимальное напряжение на
зажимах U=300B. Определить максимальную силу тока в контуре. (Ответ :
Imax=1,5A).
156. В цепь, индуктивность которой L=0,01Гн, а активное сопротивление
R=400Ом, включается батарея из двух заряженных конденсаторов емкостью С=1,5∙10-5Ф и С=0,5∙10-5Ф. Определить период возникших в цепи
электромагнитных колебаний, если конденсаторы соединены параллельно.
(Ответ: T=6,28∙10-3c).
157. Емкость колебательно контура C=7мкФ, индуктивность L=0,23Гн и
сопротивление R  40 Îì . Заряд на обкладках конденсатора q=5,6∙10-4Кл.
Чему равен логарифмический декремент затухания колебаний? Какая разность потенциалов будет на обкладках конденсатора в момент времени,
равный двум периодам. Время отсчитывать от момента, соответствующего
наибольшей разности потенциалов на обкладках конденсатора. (Ответ:
δ=0,7; U=20B)
158. Вывести выражение для индуктивного сопротивления и сдвига фаз в
цепи переменного тока с катушкой, полагая ее активное сопротивление
равным нулю.
159. Вывести выражение для емкостного сопротивления и сдвига фаз в
цепи переменного тока с конденсатором.
160. Тонкий провод в виде кольца массой m = 5 г свободно подвешен на
неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток силой
67
I = 6 А. Период малых крутильных колебаний относительно вертикальной
оси равен Т = 2,2 c. Найти индукцию В магнитного поля.
161. Из тонкой проволоки массой m = 4 г изготовлена квадратная рамка.
Рамка свободно подвешена на неупругой нити и по ней пропущен ток силой I = 8 А. Определить частоту  малых колебаний рамки в магнитном поле c индукцией B = 20 мТл.
162. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси,
перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении
индукции поля период колебаний стрелки уменьшился в 5 раз. Во сколько
раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо
мало.
163. Квадратная рамка из тонкого провода массой m = 40 г свободно подвешена на неупругой нити за один из углов в однородном магнитном поле
c индукцией B = 20 мТл. Период малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен Т = 2,09 c. Найти силу тока, текущего в
рамке.
164. Через катушку, индуктивность которой равна L=0,021Ãi, течет ток,
изменяющийся со временем по закону I = I0 sin ωt, где I0 = 5 A, ω = 2π/T и
Т = 0,02 с. Найти зависимость от времени: 1) ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке, 2) энергии магнитного поля.
165. В сеть переменного тока с действующим напряжением 110 В включены последовательно конденсатор емкостью 50 мкФ, катушка индуктивностью 200 мГн и активным сопротивлением 4 Ом. Определить амплитуду
силы тока в цепи, если частота переменного тока 100 Гц, а также частоту
переменного тока, при которой в данном контуре наступит резонанс напряжений.
166. В электрической цепи с малым активным сопротивлением, содержащей последовательно соединенные конденсатор емкостью 0,2 мкФ и катушку индуктивностью 1 мГн, сила тока при резонансе изменяется по закону I = 0,02 sin ωt. Найти мгновенное значение силы тока, а также
мгновенные значения напряжений на конденсаторе и катушке через 1/3 периода от начала возникновения колебаний.
167. В электрической цепи, содержащей последовательно соединенные
конденсатор емкостью 0,02 мкФ и катушку индуктивностью 10 мГн, напряжение на конденсаторе изменяется по закону UC = 0,01 sin ωt. Найти
мгновенное значение силы тока, а также мгновенные значения напряжения
на конденсаторе и катушке через 1/6 периода.
168. В сеть переменного тока с напряжением 120 В последовательно включены проводник с активным сопротивлением 15 Ом и катушка индуктивностью 50 мГн. Найти частоту тока, если амплитуда тока в цепи
7 А.(Ответ:N=1013.)
169. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц последовательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом, катушка ин68
дуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатор емкостью C = 10 мкФ. Определите
силу тока в цепи, падение напряжения на конденсаторе и падение напряжения на катушке.
170. Колебательный контур имеет индуктивность 1,6 мГн и емкость
0,04 мкФ. Максимальное напряжение на зажимах конденсатора 200 В. Определить максимальную силу тока в контуре. Активным сопротивлением
контура пренебречь.
171. Найти мгновенное и действующее значения ЭДС переменного тока
через 0,002 с от начала колебаний, если амплитудное значение ЭДС 127 В,
Частота переменного тока 50 Гц, начальная фаза равна нулю.
172. Катушка с индуктивностью L = 30 мкГн присоединена к плоскому
конденсатору с площадью пластин S = 0,01 м2 и расстоянием между ними
d = 0,1 мм. Найти диэлектрическую проницаемость ε среды, заполняющей
пространство между пластинами, если контур настроен на длину волны
λ = 750 м.
173. Катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 3 см2 имеет
1000 витков и соединена параллельно с воздушным конденсатором. Конденсатор состоит из двух пластин площадью 75 см2 каждая. Расстояние
между пластинами 5 мм. Определить период колебаний полученного контура.
174. В колебательном контуре индуктивность катушки можно изменять от
50 до 500 Гн, а емкость конденсатора – от 10 до 1000 пФ. Какой диапазон
частот можно получить при настройке такого контура?
175. Колебательный контур содержит соленоид (длина ℓ = 5 см, площадь
поперечного сечения S1 = 2 см2, число витков N = 500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами d = 1 мм, площадь пластин S2 = 50 см2).
Определите частоту ω собственных колебаний контура.
176. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков
N = 200 индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор емкостью C = 1 нФ.
Максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет
Umax = 100 В. Определите максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку.(Ответ:Фmax=5,00·10-8 Вб)
177. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в 2 раза. Определите
работу, совершенную против сил электростатического поля.(Ответ:
А=6,00·10-4 Дж)
178. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 25 нФ
и катушки с индуктивностью L = 1,015 Гн. Обкладки конденсатора имеют
заряд q = 2,5 мкКл. Написать уравнение (с числовыми коэффициентами)
изменения разности потенциалов U на обкладках конденсатора и тока I в
цепи. Найти разность потенциалов на обкладках и ток в цепи в моменты
времени Т/8; T/4;T/2. Построить графики этих зависимостей в пределах од69
ного периода.(Ответ: I(t)=-1,57·10-2 · sin(6278 t); Uc(t)=100·cos(6278 t);
I(T/8)=-1,11·10-2 A; I(T/4)=-1,57·10-2 A; I(T/2)=0 A; Uc (T/8)=70,71 B; U c
(T/4)=0 B; Uc (T/2)=-100 B )
179. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде U = 50 cos 104 πt B.
Емкость
конденсатора
0,1 мкФ.
Найти:
1) период
колебаний,
2) индуктивность контура, 3) закон изменения со временем силы тока в цепи, 4) длину волны, соответствующую этому контуру.(Ответ: Т=2,00·10-4 с;
L=1,01·10-2 Гн; I(t)=157·sin(104 π t); λ=6,00·104м)
180. Конденсатор емкостью 20 мкФ и реостат, активное сопротивление
которого 150 Ом, включены последовательно в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Какую часть напряжения, приложенного к этой цепи, составляет падение напряжения: 1) на конденсаторе, 2) на реостате?(Ответ:
UR/U=0,686; UC/U=0,727)
181. Рамка площадью S = 100 см2 содержит N = 103 витков провода сопротивлением R1 = 12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R2 = 20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном
поле (B = 0,1 Тл) с частотой n = 8 с-1. Определить максимальную мощность
Pmax переменного тока в цепи.(Ответ:Pmax=39,48 Вт)
182. В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость С, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC = 2UR и падение напряжения на
индуктивности UL = 3UR.(Ответ: UR=155,56 B)
183. Найти амплитуду ЭДС, наводимой при вращении прямоугольной
рамки с частотой 50 Гц в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл,
если площадь рамки 100 см2, вектор индукции перпендикулярен оси вращения рамки, а начальная фаза равна нулю.(Ответ: εmax= 0,63 В)
184. Напряжение на концах участка цепи, по которому течет переменный
ток, изменяется с течением времени по закону U = U0 sin(ωt + π/6). В момент времени t = T/12 мгновенное напряжение равно 10 В. Определить амплитуду напряжения.(Ответ: Umax=11,55 B)
185. Электропечь, сопротивление которой 22 Ом, питается от генератора
переменного тока. Определить количество теплоты, выделяемое печью за
1 ч, если амплитуда силы тока 10 А.(Ответ: Q=3,96·106 Дж)
186. Сила тока в первичной обмотке трансформатора 0,5 А, напряжение на
ее концах 220 В. Сила тока во вторичной обмотке 11 А, напряжение на ее
концах 9,5 В. Определить КПД трансформатора.(Ответ :η=48,72%.)
187. Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом трансформации, равным 8, включена в сеть с напряжением 220 В. Сопротивление вторичной обмотки 2 Ом, сила тока во вторичной обмотке трансформатора
3 А. КПД трансформатора 99%. Определить напряжение на зажимах вторичной обмотки.(Ответ:U2=27,23 В.)
70
188. В течение какого времени будет гореть неоновая лампа, если ее подключить на 1 мин в сеть переменного тока с действующим напряжением
120 В и частотой 50 Гц? Лампа зажигается и гаснет при напряжении
84 В.(Ответ:t=40,20 с.)
189. Электрический паяльник мощностью 50 Вт рассчитан на включение
в сеть переменного тока с напряжением 127 В. Какая мощность будет выделяться в паяльнике, если его включить в сеть переменного тока с напряжением 220 В последовательно с идеальным диодом?(Ответ:P2=75,02 Вт.)
190. Найти логарифмический декремент затухания θ колебаний в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = 2,22 нФ и катушки индуктивности длиной ℓ = 20 см из медной проволоки диаметром
d = 0,5 мм.(Ответ:θ=1,81·10-2.)
191. Емкость переменного конденсатора контура приемника изменяется в
пределах от С1 до С2 = 9 С1. Определить диапазон волн контура приемника,
если емкости С1 конденсатора соответствует длина волны, равная
3 м.(Ответ:λ1=3,00м; λ2=9,00 м.)
192. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой
50 Гц. Найти активное сопротивление R и индуктивность L, если известно,
что мощность, поглощаемая в этой цепи, равна 404 Вт и сдвиг фаз между
напряжением и током равен 60º.(Ответ:R=39,92 Ом. L =7,34·10-2Гн.)
193. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включена катушка с неизвестным активным сопротивлением. Сдвиг фаз между
напряжением и током составляет π/6. Определите индуктивность катушки,
если известно, что она поглощает мощность 445 Вт.(Ответ:L=7,50·10-2Гн.)
194. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной
30 см и площадью поперечного сечения 10 см2, содержащая 1000 витков.
Определите активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фаз
между напряжением и током составляет 30º.(Ответ:R=2,28 Ом.)
195. Активное сопротивление колебательного контура R = 2 Ом. Определите среднюю мощность < P >, потребляемую колебательным контуром,
при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением силы тока Imax = 30 мА.(Ответ:P=9,00·10-4 Вт.)
196. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью C = 6·10–
9
Ф, катушки индуктивности с L = 3·10–5 Гн и омического сопротивления
R = 20 Ом. Какая мощность необходима для поддержания в контуре незатухающих колебаний с максимальным напряжением на конденсаторе
Umax = 1 В?(Ответ: P=1,96·10-3 Вт.)
197. В контуре с индуктивностью L = 0,01 Гн и емкостью C = 10 мкФ происходят свободные колебания. Максимальное значение напряжения на
конденсаторе U = 10 В. Определить максимальный ток в контуре.(Ответ:I=0,32 А.)
71
198. Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью Q = 5000 уменьшится в 2 раза, если частота колебаний
ν = 2,2 МГц.(Ответ: t =5,01·10-4 c.)
199. Колебательный контур имеет емкость С = 10 мкФ, индуктивность
L = 25 мГн и активное сопротивление R = 10 Ом. Через сколько колебаний
амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз?(Ответ: N=1,58)
200. Найти добротность контура с емкостью С = 2,0 мкФ и индуктивностью L = 5,0 мГн, если на поддержание в нем незатухающих колебаний с
амплитудой напряжения на конденсаторе Umax = 10 В необходимо подводить мощность < Р > = 0,10 мВт. Затухание колебаний в контуре достаточно мало.(Ответ: Q=104)
201. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 1,2 нФ и
катушку с индуктивностью L = 6,0 мкГн и активным сопротивлением
R = 0,50 Ом. Какую среднюю мощность нужно подводить к контуру, чтобы
поддерживать в нем незатухающие гармонические колебания с амплитудой
напряжения на конденсаторе Umax = 10 B?(Ответ: Р=5,00·10-3 Вт)
202. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления R = 110 Ом, подсоединили к переменному
напряжению с амплитудным значением Umax = 110 В. При этом амплитуда
установившегося тока в цепи Imax = 0,50 А. Найти разность фаз между током и подаваемым напряжением.(Ответ: φ=600)
203. Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости С = 22 мкФ и катушки с активным сопротивлением R = 20 Ом и индуктивностью L = 0,35 Гн, подключена к сети переменного напряжения с
амплитудой Umax = 180 В и частотой ω = 314 рад/с. Найти амплитуду тока в
цепи, разность фаз между током и внешним напряжением, амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке.(Ответ: φ=3000; Imax=4,48 A; Uc max
=648,35 B; UL max=500,30 B)
204. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости
С = 22 мкФ, сопротивления R = 20 Ом и катушки с индуктивностью
L = 0,35 Гн c пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена
к генератору синусоидального напряжении, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна
амплитуда напряжения: а) на конденсаторе; б) на катушке.(Ответ: v(Uc=Uc
max )=57,00 Гц; v(UL=UL max )=57,72 Гц)
205. Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение на конденсаторе в n = 10 раз превышает напряжение на источнике.(Ответ: Q=10)
206. Катушка с индуктивностью L = 0,70 Гн и активным сопротивлением
r = 20 Ом соединена последовательно с безындукционным сопротивлением
R, и между концами этой цепи приложено переменное напряжение с действующим значением U = 220 В и частотой ω = 314 рад/с При каком значе72
нии сопротивления R в цепи будет выделяться максимальная тепловая
мощность? Чему она равна?(Ответ: R=199,80 Ом; Р=110,10 Вт)
207. Найти эффективное значение силы тока, сдвиг фаз между напряжением и током и выделяемую тепловую мощность в последовательной RLцепочке (R = 65 Ом, L = 50 мГн), включенной в сеть 220 В частотой
50 Гц.(Ответ: Iэф=3,29 А; φ=13,590)
208. На сколько процентов отличается частота ω свободных колебаний
контура с добротностью Q = 5 от собственной частоты ω0 колебаний этого
контура?(Ответ: ((ω0-ω)/ ω0)·100%=0,50%)
209. В контуре, добротность которого Q = 50 и собственная частота колебаний ω0 = 5,5 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько
времени энергия, запасенная в контуре, уменьшится в 2 раза?(Ответ:
t=6,30·10-3 c)
210. Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость
конденсатора С = 22 мкФ, его активное сопротивление R = 20 Ом. Индуктивность катушки L = 0,70 Гн. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти частоту затухающих колебаний такого контура, и его
добротность.(Ответ: Q=8,92; v=40,49 Гц)
211. Для демонстрации опытов Герца с преломлением электромагнитных
волн иногда берут призму, изловленную из парафина. Определить показатель преломления парафина, если диэлектрическая проницаемость его 2, а
магнитная проницаемость равна единице. (Ответ : n=1,4.)
73
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
6.1. Основные определения и формулы
Электромагнитная волна (ЭМВ) – это распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле.
Фазовая скорость распространения ЭМВ в среде
1
1
c


,
 0  0 

где c  1
 0 0 - скорость распространения ЭМВ (света) в вакууме.
Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитного полей ЭМВ выражается формулой
 0 E   0 H ,
где E и H - соответственно мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей.
Уравнение
ЭМВ
 плоской

 
E  E0 cost  kx   ; H  H 0 cost  kx    ,


где E0 и H 0 - соответственно амплитуды напряженностей электрического
и магнитного полей волны;  - круговая частота; k    - волновое число;  - начальные фазы колебаний в точках с координатой x  0 .
Объемная плотность энергии электромагнитного поля
 E 2  0 H 2
w 0

.
2
2
Вектор Умова – Пойтинга
  
S  E ,H
– плотность потока энергии электромагнитной волны.


74
6.2. Примеры решения задач
6.1. Определить среднее значение напряженности магнитного поля
электромагнитной волны солнечной радиации у поверхности Земли, считая, что на каждый квадратный сантиметр поверхности Земли, перпендикулярной солнечным лучам, поступает энергия 1,54  10 6 эрг / с .
Дано:
П  1,54  10 6 эрг / см 2  с  
Решение:
Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна:
 1540 Дж /  м 2  с ;
 0 E 2 0 Í 2
8
W

С  3  10 м / с;
2
2
 0  1,26  10 6 Гн / м;
Из уравнений Максвелла следует, что:
  1.
W  0 H 2

, т.е. W  0 H 2
2
2
______________________
Известно, что вектор Умова-Пойтинга
Н ?
П  СW ,
2
тогда П  0 СН откуда
S
S
, Í 
0 C
0 C
Подставив числовые значения, получим:
1540
770
H
A
/
м

 2 А/м.
3  10 8  1,26  10 6  1
189
Н2 
Ответ : Н=2 А/м.
6.2. Плоская электромагнитная волна распространяется в однородной и изотропной среде с   2 и   1 . Амплитуда напряженности электрического поля волны E0  12 B м . Определить: 1) фазовую скорость
волны; 2) амплитуду напряженности магнитного поля волны.
Дано:
 2
 1
E0  12 B м
___________
?
H0  ?
Решение:
Фазовая скорость распространения ЭМВ определяется выражением
1
1
c


(1)
 0  0 

где c  3  10 8 м / с - скорость распространения ЭМВ в вакууме,  0  8 ,85  10 12 Ф / м ,  0  4  10 7 Гн / м
75
В бегущей ЭМВ мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением
 0 E   0 H
(2)
Тогда для амплитуд напряженностей электрического и магнитного полей
волны можно записать
 0 E0   0 H 0
(3)
откуда искомая амплитуда напряженности магнитного поля волны
 0
H0 
E0
(4)
0
Подставляя численные значения в (1) и (4), получаем для фазовой скорости
  2 ,12  10 8 м / с , для амплитуды напряженности магнитного поля
H 0  45  10 3 А / м .
Ответ:   2 ,12  10 8 м / с , H 0  45 мА / м .
6.3. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская ЭМВ. Интенсивность волны, т.е. средняя энергия, проходящая через единицу поверхности за единицу времени, составляет 21,2 мкВт / м 2 . Определить амплитуду напряженности электрического поля волны.
Дано:
 1
 1
I  21,2 мкВт / м  21,2  10 6 Вт / м 2
______________________________
Е0  ?
Решение:
Т.к. интенсивность электромагнитной волны определена как средняя энергия, проходящая через единицу поверхности за единицу
времени, то
I S
(1)
где S – модуль вектора Умова - Пойтинга
Согласно определению,
S  EH ,
(2)
где мгновенные значения напряженностей электрического Е и магнитного
Н полей описываются уравнениями
E  E0 cost  kx  ; H  H 0 cost  kx   
(3)
Подставляя (3) в (2), получаем мгновенное значение модуля вектора Умова
– Пойтинга
S  E0 H 0 cos 2 ( t  kx ) ,
а его среднее значение
1
S  E0 H 0
(4)
2
76
Т.к. H 0 
 0
E0 (см. решение задачи 6.2), то (4) можно переписать как
0
S 
E02
2
0
0
(5)
откуда
E0  2 I  0  0
Подстановка в (6) численных значений приводит к значению
E0  126  10 3 В / м .
Ответ: E0  126 мВ / м .
(6)
6.3. Задачи для самостоятельного решения
212. Каков период колебаний в открытом колебательном контуре, излучающем радиоволны с длиной волны 300 м?
213. Катушка приемного контура радиоприемника имеет индуктивность
1мкГн. Какова емкость конденсатора, если идет прием станции, работающей на длине волны 1000м?
214. При какой частоте колебаний радиопередатчик излучает электромагнитные волны длиной 49 м?
215. Какой должна быть индуктивность колебательного контура, чтобы
при емкости его С=2∙10-6 Ф собственная частота колебаний контура равнялась 1 кГц? (Ответ : L=0,0127 Гн)
216. Колебательный контур состоит из катушки, индуктивность которой
равна L=2∙10-3Г и конденсатора емкостью С=800см. На какую длину волны настроен контур? (Ответ : λ=2512 м)
217. Плотность энергии электромагнитного поля ω=0,5эрг/см3 Определить
вектор Умова - Пойтинга для этого поля. (Ответ: П=1,5∙106Дж/м2).
218. В колебательном контуре происходят свободные колебания. Зная, что
максимальный заряд конденсатора равен 10–6 Кл, а максимальная сила тока
в контуре равна 10 А, найти длину волны, на которую настроен контур.
219. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с амплитудой вектора напряженности электрического поля Eo = 0,775 В/м. На
пути волны, перпендикулярно направлению ее распространения, располагается диск радиусом r = 0,632 м полностью поглощающий излучение. Какую мощность поглощает диск?
220. Определить длину волны электромагнитного излучения частотой 10
МГц, распространяющегося в среде с диэлектрической проницаемостью,
равной 7, и магнитной проницаемостью, равной 1. Как изменятся частота
колебаний и длина волны при переходе в вакуум?(Ответ:P= 5,00·10-3 Вт.)
77
221. Излучаемая точечным источником сферическая электромагнитная
волна, уравнение которой в системе СИ имеет вид
37
1,4  10 4
E( r ,t ) 
sin6  10 6  t  0 ,02 r  , H ( r ,t ) 
sin 6  10 6  t  0 ,02 r  ,
r
r
распространяется в вакууме. Определить среднюю мощность источника
электромагнитной волны. При решении задачи следует учесть, что среднее
значение квадрата синуса за период равно 0,5.
222. Показать, что плоская ЭМВ Еу=Е0cos(ωt-kx+φ) удовлетворяет волно2
2 Ey
1  Ey
вому уравнению
 2
, где υ - фазовая скорость распространеx 2
 t 2
ния электромагнитной волны.
223. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная
волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 10
В/м. Определить амплитуду напряженности магнитного поля волны.
224. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная
волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 1 мА/м.
Определить -амплитуду напряженности электрического поля волны.(Ответ:N=1,58.)
225. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная
волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет
50 мВ/м. Определить интенсивность волны I.
226. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная
волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны составляет 5
мА/м. Определить интенсивность волны I.
227. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская монохроматическая
электромагнитная волна, описываемая уравнениями
E=E0cos(ωt-kx+φ) ; H=H0cos(ωt-kx+φ)
Эта волна отражается от плоскости, перпендикулярной оси х. Записать
уравнения, описывающие отраженную волну.
228. Длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением
контура, определить максимальный заряд на обкладках конденсатора, если
максимальная сила тока в контуре составляет 1А.(Ответ:t=6,30·10-3 с.)
229. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, погружены в трансформаторное масло. При соответствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между
двумя пучностями стоячих волн равно 20 см. Принимая магнитную проницаемость масла μ=1, определить его диэлектрическую проницаемость.
230. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, погружены в спирт. При соответствующем подборе частоты колебаний в
системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя пучностями
стоячих волн на проводах равно 40 см. Принимая магнитную проницае78
мость спирта, равной единице, определить частоту колебаний генератора.(Ответ:L=0,02 Гн.)
Приложение
Справочный материал
Таблица 1.
Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных
единиц и их обозначения
Приставка Обозначе- Множитель Пристав- Обозначение Мноние
ка
житель
18
*
экса
Э
10
деци
д
10– 1
пета
П
10 15
санти*
с
10– 2
тера
Т
10 12
милли
м
10– 3
гига
Г
10 9
микро
мк
10 – 6
мега
М
10 6
нано
н
10– 9
кило
к
10 3
пико
п
10– 12
гекто*
г
10 2
фемто
ф
10 -15
Примечания:
1. Звездочкой (*) обозначены приставки, которые допускается применять только к тем единицам, которые уже получили широкое распространение, например, гектар, декалитр, дециметр, сантиметр и т. д.
2. Выбирают приставки так, чтобы числовые значения величин находились в пределах от 0,1 до 999. Например, линейный размер 0,00036 м
удобно представить как 0,36 мм.
Таблица 2.
Буквы греческого алфавита
Аα
альфа
Nν
ню (ни)
Вβ
бетта
Ξξ
кси
Гγ
гамма
Oo
омикрон
Δδ
дельта
Пπ
пи
Еε
эпсилон
Рρ
ро
Zζ
дзетта
Σσ
сигма
79
Hη
Θθ
Iι
Kκ
Λλ
Mμ
эта (ита)
тета
йота
каппа
лямбда
мю
Тτ
Yυ
Фφ
Хχ
Ψψ
Ωω
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега
Таблица 3.
Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ
Вода
Керосин
Масло
Парафин
Слюда
Стекло
Спирт
81
2,1
2,5
2,1
6
7
26
Таблица 4.
Магнитная проницаемость пара- и диамагнетиков


диамагнетики
1,000023
висмут
0,999824
1,00000038
вода
0,999991
1,000176
водород
0,999999937
1,0000019
медь
0,999990
1,003400
стекло
0,999987
Примечание. Магнитная постоянная  0 (магнитная проницаемость вакуума) равна:
 0  4  10 7 Гн / м  1,257  10 6 Гн / м
парамагнетики
алюминий
воздух
вольфрам
кислород
Кислород жидкий
Таблица 5.
Магнитная проницаемость ферромагнетиков

ферромагнетики
железо мягкое
8000
кобальт
175
никель
1100
чугун
600-800
Примечание. Магнитная проницаемость ферромагнетиков непостоянна.
В таблице указаны максимальные значения  .
80
Литература
1. Барков Ю.А., Зверев О.М., Перминов А.В. Сборник задач по общей физике. – Пермь: Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета (бывший ПГТУ), 2011. – 457 с.
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – Изд. доп.
и перераб. – СПб.: СпецЛит, 2002. – 327 с.
3. Демков В.П., Третьякова О.Н. Физика. Теория. Методика. Задачи. – М.:
Высш. шк., 2001. – 669 с.
4. Задачи по физике: Учеб. пособие / И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Кутузова и др. Под ред. О.Я. Савченко. – 3-е изд., испр. и доп. – Новосибирск:
НГУ, 1999. – 370 с.
5. Задачник по физике. Учеб. пособие. Для подготовительных отделений
вузов. / Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. – М.:
Физматлит, 2005. – 368 с.
6. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – 13-е изд., стер. – СПб: Издательство «Лань», 2009. – 416 с.
7. Калашников Н.П. Основы физики. Упражнения и задачи: учебное пособие
для вузов / Н.П. Калашников, М.А. Смондырев. – М.: Дрофа,2004. – 464 с.
8. Решение задач по курсу общей физики: Учеб. пособие. / Завершинский
И.П., Баландина Г.Ю., Стукалина И.Л. и др.; Под ред. Рогачева Н.М. –
2-е изд. – СПб: Издательство «Лань», 2008. – 304 с.
9. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – 5-е изд. –
СПб: Издательство «Лань», 2007. – 288 с.
10. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 тт. Кн. 3. Электричество и магнетизм / Стрелков С.П., Сивухин Д.В., Хайкин С.Э. и др.; Под ред. Яковлева
И.А. – 5-е изд., перераб. – СПб: Издательство «Лань», 2006. – 232 с.
11. Трофимова Т.И. Курс физики – 18-е изд., стереотип. – М.: Академия,
2010 – 560 с.
12. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов / Т.И. Трофимова. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»:
ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. – 384 с.
13. Трофимова Т.И. Справочник по физике для студентов и абитуриентов /
Т.И. Трофимова. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2005. – 400 с.
14. Филимонова Л.Н. Методические указания для практических занятий по
общей и экспериментальной физике. Часть 2. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2005. – 103 с.
15. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики:
Учеб. пособие. – СПб: Издательство «Лань», 2009. – 352 с.
81
Учебное издание
Татьяна Александровна Сухова
Анатолий Леонидович Суркаев
Михаил Маркович Кумыш
Сергей Олегович Зубович
ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ФИЗИКА
ЧАСТЬ IV
МАГНЕТИЗМ
Учебное пособие
(для студентов технических вузов)
План выпуска электронных изданий 2011 г. Поз. №
Подписано в печать
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л.
Тираж
Заказ
.
Волгоградский государственный технический университет
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.
Отпечатано в ИУНЛ ВолгГТУ
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 7.