6639x

6639. Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной l = 1 м. Один раз его
отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном
направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с
периодом обращения T= 1,68 c. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и
отпускают его с нулевой начальной скоростью. Найдите максимальное отношение к
силе натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.
Ускорение свободного падения g = 9,8 м/c2.
Дано: l = 1 м; T= 1,68 c; g = 9,8 м/c2.
Найти: k=?
Решение. На шарик массой m, отклоненный от вертикали на некоторый угол α,
действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити N.
Рассмотрим первый случай, когда шарик вращается в горизонтальной плоскости по
окружности радиусом r=l∙sin α. Запишем для некоторого момента времени второй
закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось Z и на горизонтальную ось R,
причем ось Z направим вверх, а ось R — к центру окружности
𝑚 ∙ 𝑎𝑧 = −𝑚 ∙ 𝑔 + 𝑁1 ∙ cos 𝛼 = 0,
𝑣2
𝑚 ∙ 𝑎𝑟 = 𝑚 ∙
= 𝑁1 ∙ sin 𝛼.
𝑟
Отсюда величина ускорения шарика равна
𝑁1 ∙ sin 𝛼 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼
𝑎 = 𝑎𝑟 =
=
= 𝑔 ∙ tan 𝛼,
𝑚
𝑚 ∙ cos 𝛼
a его скорость
𝑣 = √𝑔 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 ∙ tan 𝛼.
Поскольку период обращения равен
2∙𝜋∙𝑟
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼
𝑇=
=
,
𝑣
√𝑔 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 ∙ tan 𝛼
то
𝑔 ∙ 𝑇2
cos 𝛼 =
,
4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝑙
и сила натяжения нити
𝑚 ∙ 𝑔 4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑙
𝑁1 =
=
cos 𝛼
𝑇2
- постоянная величина.
Для второго случая удобно записать второй закон Ньютона в проекциях на
касательную ось X, направленную в данный момент вдоль траектории движения
шарика, и на нормальную ось Y, направленную к точке подвеса нити
𝑚 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼,
𝑚 ∙ 𝑎𝑦 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 + 𝑁2 .
Поскольку здесь шарик движется по окружности радиусом l. То его ускорение
𝑣2
𝑎𝑦 = .
𝑙
Очевидно, что максимум отношения сил натяжения нити N1/N2 будет достигаться
тогда, когда величина
𝑣2
𝑁2 = 𝑚 ∙ ( + 𝑔 ∙ cos 𝛼)
𝑙
принимает минимальное значение, то есть при v = 0, в положении максимального
отклонения шарика
(𝑁2 )𝑚𝑖𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼.
Таким образом, максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к
силе ее натяжения во втором случае равно
𝑁1
2∙𝜋 4 𝑙 2
2∙𝜋 4
1 2
𝑘=( )
=(
) ∙ ( ) ,𝑘 = (
) ∙ ( ) = 2.
𝑁2 𝑚𝑎𝑥
𝑇
𝑔
1,68
9,8
Ответ:
𝟐∙𝝅 𝟒 𝒍 𝟐
𝒌=(
) ∙ ( ) , 𝒌 = 𝟐.
𝑻
𝒈