Загрузил Ovsanna Ohanyan

Простые Симметричные МСАР А.Уликян,О.Г. Оганян

Реклама
Технические науки/12. Автоматизированные системы управления на производстве.
К.т.н. Уликян А.Т., аспирант Оганян О.Г.
Национальный политехнический университет Армении, Армения
Проектирование простых симметричных систем
автоматического регулирования
Рассмотрим N -мерную линейную многомерную систему на рис. 1, где
W ( s ) - передаточная матрица объекта регулирования размера N  N , а K ( s) передаточная матрица регулятора того же размера.
Рис. 1. Матричная структурная схема линейной МСАР
Допустим, передаточная матрица W ( s ) является простой симметричной,
т.е. передаточные функции всех диагональных элементов одинаковы и, кроме
того, все передаточные функции недиагональных элементов также одинаковы
[1, 2]. Если обозначить через w0 ( s ) диагональные, а через w1 ( s ) все остальные
элементы, то простая симметричная матрица W ( s ) может быть записана в виде:
w1 ( s) ...... w1 ( s) 
 w0 ( s ) w1 ( s )

w1 ( s) w0 ( s)
w1 ( s) ...... w1 ( s) 

W (s) 
.
 ............................................................ 


w1 ( s)
w1 ( s) ...... w0 ( s) 
 w1 ( s )
(1)
Как известно [1,2], передаточная матрица W ( s ) (1) имеет при любом
числе каналов N только две различные одномерные характеристические
системы, имеющие вид:
q1 (s)  w0 (s)  ( N  1) w1 (s)
q2 (s)  q3 (s)  .......  qN (s)  w0 (s)  w1 (s) .
(2)
(3)
В теории многосвязного регулирования [1, 2] функции q1 ( s) (2) обычно
называют передаточными функциями усредненного движения, а все остальные
функции q i ( s) ( i  1 ) (3) – относительного движения. Подчеркнем, что все
характеристические передаточные функции (ХПФ) q i ( s) (2) и (3) являются
обычными передаточными функциями с действительными коэффициентами [4].
Известно [2], что если многомерный объект регулирования описывается
простой симметричной матрицей W ( s ) (1), то в качестве регулятора K ( s)
целесообразно использовать регулятор, передаточная матрица которого также
является простой симметричной, т.е. имеет вид (1), где передаточные функции
w0 ( s ) и w1 ( s) следут заменить на k0 ( s) и k1 ( s ) . ХПФ pi (s) матрицы K (s) при
этом будут иметь вид
p1 (s)  k0 ( s)  ( N  1)k1 ( s)
(4)
p2 (s)  p3 ( s)  .......  pN (s)  k 0 (s)  k1 ( s) ,
а ХПФ
(5)
g i ( s ) разомкнутой скорректированной системы G( s)  W ( s) K ( s)
запишутся в виде
gi ( s )  qi ( s ) pi ( s ),
i  1,2, ... , N .
(6)
Отметим, что все ХПФ pi ( s ) , qi ( s ) и g i ( s ) простой симметричной
системы имеют вид (2)-(5), т.е. для каждой из матриц K ( s) , W ( s ) и G ( s)
имеются только две различные ХПФ
с действительными коэффциентами.
Поэтому в данном случае достаточно легко определить передаточные функции
k0 ( s ) и k1 ( s ) регулятора K ( s) по найденным на основании известных методов
классической теории регулирования [4] "желаемым" ХПФ регулятора pi ( s ) в
(6). Действительно, из (4), (5), после несложных преобразований имеем
следующие простые выражения:
k0 ( s ) 
p1 ( s)  ( N  1) p 2 ( s )
k1 ( s) 
N
p1 ( s )  p 2 ( s )
N
,
(7)
.
Таким образом, проектирование матричного регулятора для простой
симметричной САР произвольной размерности фактически сводится к расчету
двух обычных одномерных систем стандартными методами.
Пример.
Рассмотрим
простой
симметричный
объект
размера
3 3
с
передаточной матрицей
 w0 ( s)

W ( s)   w1 ( s)
 w ( s)
 1
w1 ( s)
w0 ( s)
w1 ( s)
w1 ( s)
w1 ( s)
w0 ( s)


 ,


(8)
где
w0 ( s) 
1
,
s(0.2 s  1)
w1 ( s) 
0.4
.
0.1s  1
ХПФ усредненного движения (2) при этом имеет вид:
0.16 s 2  0.9 s  1
,
q 1 ( s)  w0 ( s)  2w1 ( s) 
0.02 s3  0.3 s 2  s
(9)
а обе ХПФ относительного движения одинаковы и имеют, исходя из уравнений
(3), вид:
0.08 s 2  0.3 s  1
.
q 2 ( s)  q 3 ( s)  w0 ( s)  w1 ( s) 
0.02 s3  0.3 s 2  s
(10)
Можно показать, устойчивость данной простой симметричной системы
без коррекции определяется ХПФ q 2 ( s) (10). Запасы устойчивости по
амплитуде и фазе системы, определяемые по годографу q 2 ( j ) , при этом
равны: GM  6.76 дб и PM  53.92 .
Выберем теперь такой матричный регулятор, при котором ХПФ g1 ( s )
усредненного движения скорректированной системы останется без изменения,
т.е. будет совпадать с q1 ( s ) [что соответствует p1 ( s )  1], а коррекция p2 ( s )
ХПФ относительного движения будет определяться передаточной функцией
40s  1
,
(11)
250s  1
имеющей полюс в -0.004 и нуль в -0.025. Передаточная функция p2 ( s ) (11)
p2 ( s) 
рассчитана на основе стандартных методов [4], исходя из условия повышения
запасов устойчивости по амплитуде и фазе характеристических систем
относительного движения до значений GM  22 дб и PM  77 .
Подставив p1 ( s )  1 и выражение для p2 ( s ) (11) в (7), получим
k0 ( s ) 
110s  1
,
250s  1
k1 ( s) 
70s
,
250s  1
(12)
Как видно из (12), требуемые взаимные связи k1 ( s ) компенсатора K ( s)
описываются реальным дифференцирующим звеном. Характеристические
годографы
скорректированной
системы
с
передаточными
функциями
матричного регулятора k0 ( s ) и k1 ( s ) (12) показаны на рис. 2, где более тонкие
линии соответствуют годографам q2 ( j ) и p2 ( j ) .
Рис. 2. Характеристические годографы скорректированной системы
Литература:
1. Gasparyan O.N. Linear and Nonlinear Multivariable Feedback Control: A
Classical Approach, John Wiley & Sons, UK, 2008, 356 P.
2.
Гаспарян
О.Н.
Теория
многосвязных
систем
автоматического
регулирования, ГИУА, Ереван, Изд-во «Асогик», 2010, 380 с.
3.
Хорол Д. М., Барский А. Г., Орлова М. С. Динамические системы с
одноканальными измерителями.- М.: Машиностроение, 1976.
4.
Бесекерский
В.А.,
Попов
Е.П.
регулирования, М.: Наука, 2003, 560 с.
Теория
систем
автоматического
Скачать