Технические науки/12. Автоматизированные системы управления на производстве. К.т.н. Уликян А.Т., аспирант Оганян О.Г. Национальный политехнический университет Армении, Армения Проектирование простых симметричных систем автоматического регулирования Рассмотрим N -мерную линейную многомерную систему на рис. 1, где W ( s ) - передаточная матрица объекта регулирования размера N N , а K ( s) передаточная матрица регулятора того же размера. Рис. 1. Матричная структурная схема линейной МСАР Допустим, передаточная матрица W ( s ) является простой симметричной, т.е. передаточные функции всех диагональных элементов одинаковы и, кроме того, все передаточные функции недиагональных элементов также одинаковы [1, 2]. Если обозначить через w0 ( s ) диагональные, а через w1 ( s ) все остальные элементы, то простая симметричная матрица W ( s ) может быть записана в виде: w1 ( s) ...... w1 ( s) w0 ( s ) w1 ( s ) w1 ( s) w0 ( s) w1 ( s) ...... w1 ( s) W (s) . ............................................................ w1 ( s) w1 ( s) ...... w0 ( s) w1 ( s ) (1) Как известно [1,2], передаточная матрица W ( s ) (1) имеет при любом числе каналов N только две различные одномерные характеристические системы, имеющие вид: q1 (s) w0 (s) ( N 1) w1 (s) q2 (s) q3 (s) ....... qN (s) w0 (s) w1 (s) . (2) (3) В теории многосвязного регулирования [1, 2] функции q1 ( s) (2) обычно называют передаточными функциями усредненного движения, а все остальные функции q i ( s) ( i 1 ) (3) – относительного движения. Подчеркнем, что все характеристические передаточные функции (ХПФ) q i ( s) (2) и (3) являются обычными передаточными функциями с действительными коэффициентами [4]. Известно [2], что если многомерный объект регулирования описывается простой симметричной матрицей W ( s ) (1), то в качестве регулятора K ( s) целесообразно использовать регулятор, передаточная матрица которого также является простой симметричной, т.е. имеет вид (1), где передаточные функции w0 ( s ) и w1 ( s) следут заменить на k0 ( s) и k1 ( s ) . ХПФ pi (s) матрицы K (s) при этом будут иметь вид p1 (s) k0 ( s) ( N 1)k1 ( s) (4) p2 (s) p3 ( s) ....... pN (s) k 0 (s) k1 ( s) , а ХПФ (5) g i ( s ) разомкнутой скорректированной системы G( s) W ( s) K ( s) запишутся в виде gi ( s ) qi ( s ) pi ( s ), i 1,2, ... , N . (6) Отметим, что все ХПФ pi ( s ) , qi ( s ) и g i ( s ) простой симметричной системы имеют вид (2)-(5), т.е. для каждой из матриц K ( s) , W ( s ) и G ( s) имеются только две различные ХПФ с действительными коэффциентами. Поэтому в данном случае достаточно легко определить передаточные функции k0 ( s ) и k1 ( s ) регулятора K ( s) по найденным на основании известных методов классической теории регулирования [4] "желаемым" ХПФ регулятора pi ( s ) в (6). Действительно, из (4), (5), после несложных преобразований имеем следующие простые выражения: k0 ( s ) p1 ( s) ( N 1) p 2 ( s ) k1 ( s) N p1 ( s ) p 2 ( s ) N , (7) . Таким образом, проектирование матричного регулятора для простой симметричной САР произвольной размерности фактически сводится к расчету двух обычных одномерных систем стандартными методами. Пример. Рассмотрим простой симметричный объект размера 3 3 с передаточной матрицей w0 ( s) W ( s) w1 ( s) w ( s) 1 w1 ( s) w0 ( s) w1 ( s) w1 ( s) w1 ( s) w0 ( s) , (8) где w0 ( s) 1 , s(0.2 s 1) w1 ( s) 0.4 . 0.1s 1 ХПФ усредненного движения (2) при этом имеет вид: 0.16 s 2 0.9 s 1 , q 1 ( s) w0 ( s) 2w1 ( s) 0.02 s3 0.3 s 2 s (9) а обе ХПФ относительного движения одинаковы и имеют, исходя из уравнений (3), вид: 0.08 s 2 0.3 s 1 . q 2 ( s) q 3 ( s) w0 ( s) w1 ( s) 0.02 s3 0.3 s 2 s (10) Можно показать, устойчивость данной простой симметричной системы без коррекции определяется ХПФ q 2 ( s) (10). Запасы устойчивости по амплитуде и фазе системы, определяемые по годографу q 2 ( j ) , при этом равны: GM 6.76 дб и PM 53.92 . Выберем теперь такой матричный регулятор, при котором ХПФ g1 ( s ) усредненного движения скорректированной системы останется без изменения, т.е. будет совпадать с q1 ( s ) [что соответствует p1 ( s ) 1], а коррекция p2 ( s ) ХПФ относительного движения будет определяться передаточной функцией 40s 1 , (11) 250s 1 имеющей полюс в -0.004 и нуль в -0.025. Передаточная функция p2 ( s ) (11) p2 ( s) рассчитана на основе стандартных методов [4], исходя из условия повышения запасов устойчивости по амплитуде и фазе характеристических систем относительного движения до значений GM 22 дб и PM 77 . Подставив p1 ( s ) 1 и выражение для p2 ( s ) (11) в (7), получим k0 ( s ) 110s 1 , 250s 1 k1 ( s) 70s , 250s 1 (12) Как видно из (12), требуемые взаимные связи k1 ( s ) компенсатора K ( s) описываются реальным дифференцирующим звеном. Характеристические годографы скорректированной системы с передаточными функциями матричного регулятора k0 ( s ) и k1 ( s ) (12) показаны на рис. 2, где более тонкие линии соответствуют годографам q2 ( j ) и p2 ( j ) . Рис. 2. Характеристические годографы скорректированной системы Литература: 1. Gasparyan O.N. Linear and Nonlinear Multivariable Feedback Control: A Classical Approach, John Wiley & Sons, UK, 2008, 356 P. 2. Гаспарян О.Н. Теория многосвязных систем автоматического регулирования, ГИУА, Ереван, Изд-во «Асогик», 2010, 380 с. 3. Хорол Д. М., Барский А. Г., Орлова М. С. Динамические системы с одноканальными измерителями.- М.: Машиностроение, 1976. 4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. регулирования, М.: Наука, 2003, 560 с. Теория систем автоматического
