Задание 7.
Какие методы рассматриваются при решении квадратных неравенств в школьном курсе алгебры? Разработайте уроки (технологическую карту), на которых вводится и
изучается каждый из методов решения квадратных неравенств.
В школьном курсе алгебры при решении квадратных неравенств рассматриваются два метода – графический метод и метод интервалов.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА №1 (ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ):
Тема
Решение квадратных неравенств графическим методом
Цель урока
Сформировать умение решать квадратные неравенства графическим методом
Тип урока
Урок открытия новых знаний
Основное содержание темы,
термины и понятия
Функция, квадратичная функция, область определения функции, график функции, парабола, вершина параболы, неравенство,
неравенство второй степени с одной переменной, координатная плоскость.
Планируемые результаты:
Личностные: формировать ответственное отношение к обучению, готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
Предметные: научить учащихся, решать квадратные неравенства графическим методом.
Метапредметные: понимать необходимость проверки выдвинутых предположений; умение осуществлять самооценку и самокоррекцию учебной деятельности, понимать
точку зрения другого, слушать.
Организация пространства:
Формы работы:
Фронтальная,
индивидуальная,
групповая.
Ресурсы:
Алгебра. 9 класс6 Учебник. Для общеобразоват. организаций/ А45[Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. , Нешков К.И., Суворова С.Б.]; под редакцией
С.А.Теляковского. – 21 издание. – М.:Просвещение, 2014.- 271с.
Дидактическая
структура урока
Ι. Этап мотивации
(самоопределения) к
учебной деятельности.
ΙΙ. Этап актуализации
и фиксирования
индивидуального
затруднения в
пробном действии.
ΙΙΙ. Этап выявления
места и причины
затруднения.
Решение проблемы.
Задания
Включение в деловой ритм, подготовка класса к работе.
На доске высвечиваются функции:
1. 𝑦 = 𝑥 2 + 4
2. 𝑦 = 0,3𝑥 2
3. 𝑦 = −𝑥 2 − 3𝑥 + 4
4. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥
5. 𝑦 = −𝑥 2 +4
Учитель: к какому виду относят данные функции? (квадратичные функции)
Учитель: что является графиком квадратичной функции? (Парабола)
Учащимся на этапе актуализации предлагаются следующие задания.
Задание 1: разделите данные функции на группы в соответствии с направлением их ветвей. Ответ поясните.
1 группа: ветви вверх – 1,2,4
2 группа: ветви вниз – 3,5
Если старший коэффициент уравнения квадратичной функции положителен, то ветви параболы будут направлены вверх, если отрицательный –
ветви будут направлены вниз.
Задание 2: сопоставьте функции ее график
Задание 3: Даны функции 𝑦 = 5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 и 𝑔 = 0.
1) Схематично изобразите графики в одной координатной плоскости
Для этого учащиеся ищут нули функции 𝑦 = 5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 и определяют направление ее ветвей.
5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 = 0
𝐷 = 92 − 4 ∙ 5 ∙ (−2) = 81 + 40 = 121, 𝐷 > 0, √𝐷 = 11
−9 + 11 1
𝑥1 =
=
10
5
−9 − 11
𝑥2 =
= −2
10
Старший коэффициент больше 0, значит, ветви нашей параболы направлены вверх.
2) Используя построенные функции, определите, на каких промежутках график функции 𝑦 = 5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 располагается ниже графика 𝑔 = 0.
1
Учащиеся выделяют промежуток (−2; ). Учитель обращает внимание, что использование круглых скобок правильно, так как нам нужны те
5
значения, которые строго ниже графика функции 𝑔 = 0.
IV. Этап реализации
построенного проекта.
V. Этап первичного
закрепления с
проговариванием во
внешней речи.
Учитель: мы с вами выделили тот промежуток, на котором график функции 𝑦 = 5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 располагается ниже графика 𝑔 = 0. Но что же это
означает? Как мы это определили? (если посмотреть значение функции на оси 𝑂𝑦, то именно на этом промежутке значения квадратичной
функции будут меньше 0).
Учитель: можем ли мы записать данное заключение на языке формул и символов? Как это сделать? (да, можем, при помощи неравенства).
Один из учеников на доске записывает данное неравенство:
5𝑥 2 + 9𝑥 − 2 < 0
Таким образом, мы с вами нашли решение записанного на доске неравенства, используя графический способ.
Учитель предлагает учащимся составить, а затем записать в тетради алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной графическим
методом.
1) Для заданной квадратичной функции определяем направление ветвей.
2) Ищем точки пересечения графика квадратичной функции с осью 𝑂𝑥: ищем дискриминант, выясняем, имеются ли корни.
3) На координатной плоскости схематично изображаем квадратичную функцию.
4) Определяем соответствующий условию неравенства числовой промежуток.
5) Записываем ответ.
На доске высвечиваются неравенства и схематично изображенные к ним графики парабол. Учащимся нужно определить промежуток, которые
будет являться решением данного неравенства.
Учитель обращает внимание учащихся на частные случаи, дополняется алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной
графическим способом.
Составляется следующая таблица, которая поможет учащимся намного быстрее схематично изображать график квадратичной функции при
решении квадратичных неравенств с одной переменной:
Далее учащиеся приступают к решению задач.
К доске вызывается ученик для решения №304 (в)
−𝑥 2 + 2𝑥 + 15 ≤ 0
1) Ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный.
2) Найдём точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ox
−𝑥 2 + 2𝑥 + 15 = 0
𝐷 = 22 − 4 ∙ 15 ∙ (−1) = 4 + 60 = 64 > 0,
−2 + 8
𝑥1 =
= −3
−2
−2 − 8
𝑥2 =
=5
−2
3) Изобразим на координатной плоскости схематично график квадратичной функции:
4) Определим соответствующий условию неравенства числовой промежуток
𝑥 ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞)
√𝐷 = 8
Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
VI. Этап
самостоятельной
работы с
самопроверкой по
эталону.
VII. Этап включения в
систему знаний и
повторения.
Для самостоятельного решения учащимся предлагается №304 (г, д, ж)
г) − 5𝑥 2 + 11𝑥 − 6 > 0
е) 25𝑥 2 + 30𝑥 − 9 < 0
ж) − 10𝑥 2 + 9𝑥 ≥ 0
№318. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть меньшая сторона, если площадь прямоугольника не превосходит
60 см2?
VIII. Этап рефлексии Учитель благодарит учащихся за урок.
учебной
Домашнее задание: №304(а, б, е, з).
деятельности на уроке.
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА №2 (РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ):
Тема
Решение неравенств методом интервалов
Цель урока
Сформировать умение решать неравенства методом интервалов
Тип урока
Урок открытия новых знаний
Основное содержание темы,
термины и понятия
Функция, квадратичная функция, неравенство, неравенство второй степени с одной переменной, разложение на множители.
Планируемые результаты:
Личностные: формировать ответственное отношение к обучению, готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.
Предметные: научить учащихся, решать неравенства методом интервалов.
Метапредметные: понимать необходимость проверки выдвинутых предположений; умение осуществлять самооценку и самокоррекцию учебной деятельности, понимать
точку зрения другого, слушать.
Организация пространства:
Формы работы:
Фронтальная,
индивидуальная,
групповая.
Ресурсы:
Алгебра. 9 класс6 Учебник. Для общеобразоват. организаций/ А45[Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. , Нешков К.И., Суворова С.Б.]; под редакцией
С.А.Теляковского. – 21 издание. – М.:Просвещение, 2014.- 271с.
Дидактическая
структура урока
Ι. Этап мотивации
(самоопределения) к
учебной деятельности.
ΙΙ. Этап актуализации
и фиксирования
индивидуального
затруднения в
пробном действии.
ΙΙΙ. Этап выявления
места и причины
затруднения.
Решение проблемы.
Задания
Включение в деловой ритм, подготовка класса к работе.
В качестве актуализации знаний учитель предлагает учащимся решить тестовые задания, которые высвечиваются на доске. Каждое задание
оценивается 1 баллом, для проверки работы учащиеся обмениваются тетрадями. Полученные баллы накапливаются.
1 вариант
2 вариант
2
1. Разложение квадратного трехчлена на множители 𝑥 − 14𝑥 + 49 1) Разложение на множители квадратного 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 трёхчлена
имеет вид:
имеет вид:
a. (𝑥 + 2)(𝑥 − 7)
a) (𝑥 − 5)2 ,
b. (𝑥 − 7)2
b) (𝑥 + 2)(𝑥 − 3),
c. (𝑥 + 7)2
c) (𝑥 + 5)2 .
2. Корнями уравнения (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) = 0 являются:
2) Корнями уравнения (𝑥 + 7)(𝑥 − 3) = 0 , являются:
a. 3; 7
a) 7; −3,
b. −3; 7
b) 7; 3,
c. 3; −7
3. Изображение на координатной числовой прямой корней c) −7; 3.
3) Изображение на координатной прямой корней уравнения
уравнения (𝑥 + 2)(𝑥 − 10) соответствует:
(𝑥 + 17)(𝑥 − 2) = 0:
Учитель записывает на доске неравенство: (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) > 0.
Учитель: нам требуется решить данное неравенство. Проанализируйте его: что мы видим в левой части.
Учащиеся: в левой части неравенства мы видим произведение двух скобок.
Учитель: когда произведение больше нуля?
Учащиеся: произведение положительно, когда оба множителя положительны, либо когда оба множителя отрицательны.
Учитель: получается, что решение данного неравенства распадается на решение двух систем, записывает их на доске. Вызывается к доске два
учащихся для решения двух систем.
𝑥−3>0
𝑥−3<0
1){
2) {
𝑥+1>0
𝑥+1<0
𝑥>3
𝑥<3
{
{
𝑥 > −1
𝑥 < −1
𝑥 ∈ (3; +∞)
𝑥 ∈ (−∞; −1)
В итоге решением неравенства будет: 𝑥 ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)
Учитель записывает на доске новое неравенство: (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) < 0
Учитель: удобен ли способ, который мы применили в решении предыдущего неравенства к решению данного задания?
Учащиеся: нет, так как появится гораздо больше систем неравенств.
Возникает проблемная ситуация.
Учитель говорит, что требуется найти другой способ решения неравенств данного вида.
Учитель: рассмотрим функцию 𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3). Найдем ее нули.
Учащиеся: нулями функции являются числа -1; 2 и -3.
Учитель: обозначим на числовой прямой наши нули функции, причем так как знак неравенства строгий, то точки на числовой прямой будут не
закрашены:
Учитель: определим знак функции на каждом числовом промежутке, поочередно подставляя одно какое-то значение из данного промежутка:
Учитель: обратите внимание на знак, какие значения нам требуется найти для решения заданного неравенства?
Учащиеся: нам требуется найти значение, которые будут меньше нуля.
Учитель: то есть нам нужно найти те значения, в которых наша функция будет отрицательна. Выделим на нашем чертеже те промежутки, в
которых стоит знак «минус»:
IV. Этап реализации
построенного проекта.
V. Этап первичного
закрепления с
проговариванием во
внешней речи.
Учитель: решением данного неравенства будет являться объединение выделенных числовых промежутков. Запишете в тетради то, что будет
являться множеством решений нашего неравенства.
Учащиеся записывают: 𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 2)
Учитель просит обратить внимание на то, что при переходе через ноль функции знак меняется на противоположные, то есть знаки чередуются.
Учитель предлагает составить и записать в тетрадь алгоритм решения неравенств методом интервалов:
1) Записать функцию.
2) Найти нули заданной функции.
3) На числовой прямой отметить полученные значения, в которых функция обращается в ноль.
4) Определить знак функции на каждом числовом промежутке, начинать следует с крайнего правого промежутка.
5) Выделить те промежутки, которые соответствуют знаку неравенства.
6) Записать ответ, который будет являться объединением выделенных интервалов.
Задание 1:
Далее учащимся предлагается к решению №327. К доске вызывается ученик, которые решит пункт «в» из данного номера. Он будет являться
эталоном для дальнейшего решения неравенств методом интервалов.
VI. Этап
самостоятельной
работы с
самопроверкой по
эталону.
VII. Этап включения в
систему знаний и
повторения.
Учащиеся решают №327 (а, б) самостоятельно, первые 5 человек сдают тетради на проверку:
А) (𝑥 − 2)(𝑥 − 5)(𝑥 − 12) > 0
Б) (𝑥 + 7)(𝑥 + 1)(𝑥 − 4) < 0
№332 (а). Найдите область определения функции:
VIII. Этап рефлексии Учитель благодарит учащихся за урок.
учебной
Домашнее задание: №326, 329, 333
деятельности на уроке.
𝑦 = √(5 − 𝑥)(𝑥 + 8)
