МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Методические указания к лабораторным работам Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Методические указания к лабораторным работам Издание четвёртое, исправленное и дополненное Санкт-Петербург 2012 Составители: Д.Ю. Иванов, д-р физ.-мат. наук, проф.; Л.И. Васильева, канд. техн. наук, проф.; Н.А. Иванова, доц; Т.В. Иванова, доц.; Д.Н. Ляхович, доц.; О.С. Алексеева, ст. преп.; Т.Н. Князева, ст. преп.; Ю.Н. Лазарева, ст. преп. УДК (531+539.19)(076) М55 М55 Механика и молекулярная физика: методические указания к лабораторным работам. Изд. 4-е, испр. и доп. / Сост. Д.Ю. Иванов [и др.]; под ред. Д.Ю. Иванова; Балт. гос. техн. ун-т. – СПб., 2012. – 134 с. Указания содержат 17 лабораторных работ, в каждой из которых приводятся краткие теоретические сведения, описание лабораторной установки, порядок проведения эксперимента и обработки результатов измерений, контрольные вопросы и задания. Предназначены для студентов 1-го курса всех специальностей. УДК (531+539.19)(076) Р е ц е н з е н т зав. каф. физики БГТУ, д-р физ.-мат. наук, проф. Д.Л. Фёдоров Утверждено редакционно-издательским советом университета © Составители, 2012 © БГТУ, 2012 ВВЕДЕНИЕ Физика – наука экспериментальная. Эксперимент есть источник познания и критерий истинности гипотез и теорий. В настоящее время физические методы исследования и контроля широко используются во всех без исключения отраслях техники. Поэтому очень важно ещё в процессе обучения овладеть широким спектром физических методик, приобрести опыт пользования различными приборами для измерений и компьютерными программами для обработки их результатов и, что не менее существенно, научиться правильно оценивать неизбежно возникающие при этом ошибки. Знания, умения и навыки, которые, в принципе, должны позволить решить эти задачи, призван дать студенту физический практикум. Работа в лаборатории является неотъемлемой частью процесса изучения как физических законов и явлений, так и методов познания физики. Выполнение лабораторной работы во многом аналогично проведению научного эксперимента, имеет те же цели и состоит из похожих этапов. И хотя в учебной лаборатории главным результатом эксперимента является подтверждение уже известных закономерностей, лабораторную работу, тем не менее, следует рассматривать как небольшое научное исследование. Подготовка к работе Выполнению лабораторной работы предшествует самостоятельная подготовка, которая включает в себя: 1) изучение исследуемого физического явления; 2) вывод расчётной формулы; 3) уяснение используемой в данной работе методики измерений; 4) подготовка протокола лабораторной работы. Протокол должен содержать следующую информацию, которая обычно размещается на листах бумаги формата А4: • номер и название лабораторной работы; • фамилию и группу студента, выполняющего работу; 3 • фамилии преподавателей; • цель работы; • приборы и принадлежности; • схему установки с кратким описанием её частей; • расчётные формулы (в том числе для расчёта погрешности косвенных измерений [1]1); • таблицы для занесения результатов измерений и вычислений; • ответы на вопросы, размещённые в конце каждой работы в разделе «Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе». Ответы приводятся на отдельном листе написанными от руки. Иногда соответствующая теория к моменту выполнения лабораторной работы может оказаться ещё не прочитанной на лекциях, или вообще не входить в программу лекционного курса. Поэтому, готовясь к работе, необходимо для ответов на контрольные вопросы пользоваться либо рекомендуемой литературой [1–8], либо дополнительной, найденной самостоятельно. Протокол предъявляется преподавателю непосредственно перед лабораторной работой. Его наличие является неотъемлемой частью допуска к её выполнению. Проведение эксперимента Проведение эксперимента – центральный этап выполнения лабораторной работы. Перед работой необходимо внимательно ознакомиться с установкой и приборами, изучить приложенную к ним инструкцию. Приступать к проведению измерений можно, только получив допуск к работе. В лаборатории следует строго выполнять правила техники безопасности. Для того чтобы число измерений было разумно достаточным, полезно перед проведением основного эксперимента провести серию предварительных измерений для ознакомления с работой приборов, характером изменения их показаний, необходимой Здесь и далее номера в квадратных скобках означают ссылку на библиографический список, помещённый в конце методических указаний (с. 132). 1 4 плотностью экспериментальных точек на различных участках исследуемых зависимостей и т.п. Такое предварительное исследование позволит выбрать число отдельных экспериментальных точек на различных участках исследуемой зависимости так, чтобы подробно изучить места изгибов и максимумов кривой, но не делать лишних измерений на участках её плавного хода. В ходе эксперимента необходимо следить за тем, чтобы, если это необходимо, такие параметры, как температура, давление, напряжение и т.п., оставались постоянными. Результаты опыта должны быть занесены в протокол так, чтобы эта запись была понятна не только её автору. Записи должны быть сделаны авторучкой, применения карандаша следует избегать. Одним из наиболее наглядных способов представления результатов эксперимента являются графики. При этом обычно выполняют следующие правила [1]: • используют только миллиметровую бумагу; • строят только ту область функции, которая исследована на опыте. На график наносят все полученные при измерениях значения; • значение аргумента откладывают по оси абсцисс, значение функции – по оси ординат, выбирая при этом удобный для чтения масштаб (1:2; 1:5; 1:10), а зависимость в таком виде, чтобы её графиком была прямая линия; • масштабы обеих осей выбирают так, чтобы линия графика зависимости проходила под углом (40÷50)°; • числовые значения на осях пишут только для крупных единиц масштаба, указывая их ниже оси абсцисс и левее оси ординат; • точка пересечения осей может, но не обязана быть нулём, кроме тех случаев, когда требуется проверить прохождение графика зависимости через начало координат; • кривую по экспериментальным точкам проводят плавно, избегая изломов, и так, чтобы она соответствовала усреднённым (на глаз) значениям. Строить график предпочтительнее параллельно с ходом эксперимента, а не после полного его завершения. При таком подходе все особенности кривой и достоверность отдельных экспериментальных точек могут быть выявлены и учтены немедленно. 5 Составление отчёта Отчёт, который составляется по завершении работы, по существу является продолжением протокола, а потому должен содержать: • сводные таблицы с результатами измерений и необходимые графики; • подробный расчёт искомых величин и их погрешностей; • окончательный результат с учётом оценки погрешностей измерений и вычислений; • анализ полученных результатов: сравнение экспериментального значения величины с её табличным значением или согласование, полученной в результате опыта зависимости с той, что предсказывает теория; • ответы на вопросы, помещённые в конце каждой работы в разделе «Вопросы и задания к защите лабораторной работы» Составление отчёта должно быть закончено до начала следующей лабораторной работы. Защита лабораторной работы Это последний, но не менее ответственный этап. Необходимо научиться самостоятельно представлять выполненную работу, а именно уметь: • отвечать на вопросы по теоретической части работы; • пояснять методику проведения эксперимента; • аргументировать выбор способа обработки результатов; • анализировать полученные результаты и делать соответствующие выводы. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО УДАРА ШАРОВ 6 Цель работы – изучить законы сохранения на примере центрального удара двух шаров; определить коэффициент восстановления для стали; исследовать зависимость силы и времени соударения от относительной скорости шаров. Приборы и принадлежности: экспериментальная установка для исследования столкновений шаров; стальные шары; секундомер (погрешность измерения времени ±1 мкс). Краткие сведения из теории Ударом называется совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твёрдых тел. Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень мал ( 10 −6 ÷ 10 −3 с), что позволяет пренебречь действием внешних сил и считать, что полный импульс тел при ударе сохраняется. Процесс удара обычно разделяют на две фазы. Первая фаза длится от момента соприкосновения тел до момента возникновения максимальной деформации, т.е. до тех пор, пока относительная скорость центров масс соударяющихся тел не станет равной нулю. При этом часть кинетической энергии тел тратится на работу по их деформированию. Во второй фазе удара рассматривают эволюцию возникшей деформации, переход энергии из одной формы в другую и распределение скоростей соударяющихся тел после удара. Деформация называется упругой, если после снятия вызвавшей её нагрузки она исчезает, и пластической, если её полного исчезновения не происходит. В первом случае и сам удар называется упругим, а во втором – неупругим. Все реальные твёрдые тела при деформации в большей или меньшей мере обладают пластическими свойствами, так что на практике механическая энергия соударяющихся тел к концу удара вследствие потерь на образование остаточных деформаций, нагревание тел и т.п. восстанавливается лишь частично. Для учёта этих потерь вводится так называемый коэффициент восстановления k (см. формулу (1.9)), который считается зависящим только от физических свойств материала тел. Эксперимент показывает, что при скоростях соударения порядка 3 м/с для тел из дерева k = 0,5, из стали 0,55, из слоновой кости 0,89. В предельных случаях при абсолютно упругом ударе k = 1, а при абсолютно неупругом k = 0. 7 До тех пор пока нагрузка не превышает предела упругости, любое твёрдое тело с достаточной точностью можно считать упругим, что даёт основание теоретически рассматривать два предельных случая соударения двух тел: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. В первом случае форма тел, изменённая в процессе удара, восстанавливается полностью, во втором не восстанавливается вовсе. В первом случае потенциальная энергия упругой деформации полностью переходит в кинетическую энергию разлетающихся после соударения тел, во втором такого перехода не происходит, удар заканчивается на первой фазе. Удары отличаются друг от друга не только по энергетическим признакам (упругий, неупругий), но и по геометрии. Если центры масс тел лежат на линии удара, он называется центральным, в противном случае – нецентральным (линией удара называется прямая, проходящая через точку касания тел, перпендикулярно плоскости соприкосновения). Если скорости центров масс в начале удара направлены параллельно линии удара, то удар называется прямым, в противном случае – косым. Перед тем как приступить к исследованию удара стальных шаров, для которых коэффициент восстановления k, как и для всяких реальных твёрдых тел, отличается от единицы, рассмотрим оба предельных случая. Абсолютно упругий удар. В первой фазе удара этого типа кинетическая энергия T переходит полностью или частично в потенциальную энергию U упругой деформации, во второй фазе обратный переход происходит полностью, тела снова обретают первоначальную форму. В итоге потенциальная энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую и тела, отталкивая друг друга, разлетаются. При абсолютно упругом ударе механическая энергия W не переходит в другие виды энергии, поэтому здесь выполняются оба закона сохранения: механической энергии ( W = T + U = const ) и импульса ( p01 + p02 = p1 + p2 ). Записав эти законы в явном виде, можно найти скорости шаров после удара: m101 + m2 02 = m11 + m2 2 ; (1.1) 2 m101 m 2 m 2 m 2 + 2 02 = 1 1 + 2 2 , 2 2 2 2 8 (1.2) где 01 и 02 , 1 и 2 – скорости шаров до и после удара соответственно; m1 и m2 – массы шаров. В случае прямого центрального удара скорости тел направлены вдоль одной прямой и, значит, их можно считать алгебраическими величинами. Перепишем уравнения (1.1) и (1.2) в виде m1 (01 − 1 ) = m2 (2 − 02 ) , (1.3) 2 2 m1 (01 − 12 ) = m2 (22 − 02 ). Решив совместно (1.3) и (1.4), получим 01 + 1 = 02 + 2 , или 01 − 02 = −(1 − 2 ) . (1.4) (1.5) Совместное решение (1.3) и (1.5) позволяет найти скорости обоих тел после удара: 2m2 02 + (m1 − m2 )01 m + m2 02 , (1.6) 1 = = −01 + 2 1 01 m1 + m2 m1 + m2 2 = 2m101 + (m2 − m1 )02 m + m2 02 . = −02 + 2 1 01 m1 + m2 m1 + m2 (1.7) Если m1 = m2 , то 1 = 02 , а 2 = 01 , т.е. шары одинаковой массы при соударении обмениваются скоростями. Из формулы (1.5) видно, что при абсолютно упругом ударе модули относительных скоростей шаров до и после удара одинаковы. Абсолютно неупругий удар. В этом случае из двух законов сохранения выполняется только один – закон сохранения импульса. При этом, поскольку, как уже было отмечено, возникшая в телах в первой фазе удара деформация не исчезает, шары после удара движутся вместе с одной и той же скоростью C – скоростью их общего центра масс (центра инерции). Тогда можно записать: m1 01 + m2 02 = (m1 + m2 )C . (1.1а) Кинетическая энергия системы из двух тел до (T0 ) и после (T ) удара может быть представлена следующим образом: T0 = 2 m101 m 2 (m + m2 )C2 . + 2 02 и T = 1 2 2 2 9 (1.2а) Найдём изменение кинетической энергии ( T = T0 − T ) в результате абсолютно неупругого удара. Решив совместно систему уравнений (1.1а) и (1.2а), получим T = 2 m101 m 2 (m + m2 )C2 1 mm + 2 02 − 1 = 1 2 (01 − 02 ) 2 . (1.8) 2 2 2 2 m1 + m2 Из этой формулы видно, что потеря энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе шаров зависит от их mm приведённой массы 1 2 и квадрата их относительной m1 + m2 скорости до соударения. Поскольку всякий реальный удар в той или иной степени есть удар неупругий, то он сопровождается потерей механической (кинетической) энергии и, как следствие, потерей относительной скорости. Для учёта этих потерь вводят, как уже было сказано, коэффициент восстановления относительной скорости k: k =− 1 − 2 . 01 − 02 (1.9) В предельных случаях при абсолютно неупругом ударе k = 0 (скорости тел после удара одинаковы), а при абсолютно упругом (см. формулу (1.5)) k = 1 . При не вполне упругом ударе (0 k 1) скорости шаров после удара можно найти из закона сохранения импульса (1.3) и уравнения (1.9). Решив эти уравнения совместно, получим 1 = 01 − m2 (1 + k ) m (1 + k ) (01 − 02 ), 2 = 02 + 1 (01 − 02 ). (1.10) m1 + m2 m1 + m2 С учётом (1.10) потерянная за время удара кинетическая энергия (T ) системы может быть вычислена по формуле2 1 2 2 m1 ( 01 − 12 ) + m1 ( 02 − 22 ) = 2 m1m2 (1 − k ) 2 = ( 01 − 02 ) 2 . 2 (m1 + m2 ) T = 2 Проведите вывод формул (1.10) и (1.11) самостоятельно. 10 (1.11) Если одно из тел (например, второе) до удара неподвижно (02 = 0) , то T = (1 − k ) 2 m 2 m2T0 m2 . (1.12) 1 01 = (1 − k ) 2 (m1 + m2 ) 2 (m1 + m2 ) Время соударения и ударные силы в контактной теории Герца. Время соударения и ударные силы зависят от физических свойств тел, их размеров и относительной скорости движения. Теория удара, позволяющая рассчитать эти параметры, базируется на ряде упрощающих предположений. Одна из первых моделей, принадлежащая Ньютону, исходит из предположения о пропорциональности относительных скоростей соударяющихся тел перед ударом и после удара; она широко используется при описании движения этих тел на интервале времён, по сравнению с которым удар допустимо считать мгновенным. Однако при анализе ударных систем важной является и другая задача – определение ударных сил, возникающих в процессе удара. Естественно, что эта задача не может быть решена без учёта деформирования соударяющихся тел. Исследования, посвящённые проблеме продольного удара, проведённые ещё в XIX веке в работах Навье, Буссинеска, Сен-Венана, показывают, что процесс удара тел сопровождается возбуждением в зоне контакта упругих волн. Эти волны распространяются с определённой скоростью, осуществляя перенос энергии по всему объёму соударяющихся тел. Противоположной по постановке является модель Герца, в основе которой лежат две гипотезы. Во-первых, предполагается, что при взаимодействии соударяющихся тел существенными являются лишь местные деформации в зоне контакта. Во-вторых, считается, что зависимость контактной силы от контактной деформации при ударе остается такой же, как и при статическом сжатии тел. С использованием этих гипотез модель продольного удара двух тел может быть представлена моделью удара абсолютно твердых тел, взаимодействующих между собой в общем случае через нелинейный упругий элемент. Схема такого соударения показана на рис. 1.1. 11 Рис. 1.1 Иными словами, контактная теория Герца предполагает, что эффекты, определяющие развитие процесса удара, охватывают лишь небольшие области внутри тел, примыкающие к поверхности контакта. Остальные части соударяющихся тел не деформируются при ударе, т.е. движутся как абсолютно твёрдые тела. При таких предположениях ясно, что контактная теория применима только при условии, что время прохождения упругих волн по сталкивающимся телам много меньше продолжительности удара. Однако соответствующий расчёт показывает, что для многих реальных ситуаций это ограничение несущественно. Свойства упругого элемента, моделирующего контактные деформации соударяющихся тел, проявляются лишь при сжатии. Если обозначить через ∆x сближение центров масс соударяющихся тел во время удара, то контактная (ударная) сила F по теории Герца определится выражением b(x) 3 / 2 , x 0 , F = 0, x 0 , (1.13) R1 R2 b= , 2 2 R 3 [(1 − 1 ) / E1 + (1 − 2 ) / E 2 ] 1 + R2 4 x = x1 − x2 ; x1 , x2 где – перемещения центров масс соударяющихся тел в направлении удара; b – коэффициент, зависящий от радиусов кривизны R1 , R2 поверхностей тел в ( точке ) контакта 12 и от свойств материала; 1 , 2 и E1 , E2 – коэффициенты Пуассона и модули упругости материала соударяющихся тел соответственно. Для одинаковых шаров 1 = 2 = , E1 = E2 = E, R1 = R2 = R ( ) из (1.13) следует: b= E 2 3 (1 − 2 ) R. (1.13а) Записав уравнения движения для каждого из тел, после преобразований можно перейти к дифференциальному уравнению вида m* d 2 (x) mm = − F , m* = 1 2 , 2 m dt 1 + m2 (1.14) где через m* обозначена приведённая масса. Интегрирование (1.14) с начальными условиями d (x) x t =0 = 0, = 01 − 02 0 и при учёте преобразования dt t =0 кинетической энергии относительного движения в работу ударной силы позволяет определить не только максимальные значения сближения центров масс соударяющихся тел и ударной силы: 2 3 5 m* 02 5 , Fмакс = b 5 5 m * 02 5 , xмакс = 4 b 4 но и время ударного взаимодействия τ: 2 2 1 (1.15) 5 m* 5 − 5 0 . = 2,9432 (1.16) 4b Таким образом, по контактной теории Герца, время соударения τ при центральном ударе двух одинаковых шаров в соответствии с (1.16) и (1.13а) обратно пропорционально корню пятой степени из произведения радиуса шаров R на их относительную скорость ( 01 − 02 0 ): 13 1 ~ (R 0 )− 5 . (1.17) Силы, возникающие при ударе, изменяются со временем. Средняя по времени сила Fср , действующая на одно из тел, может быть найдена из второго закона динамики Fср = p , где p – изменение импульса одного из тел за время удара . Описание и принцип работы экспериментальной установки Установка для изучения удара шаров схематически показана на рис. 1.2. В лаборатории имеются две такие установки – 1 и 2. Для измерения времени соударения шаров используется электронный секундомер. В установке 1 на передней панели прибора имеются кнопки «Сеть», «Сброс» и «Пуск». В установке 2 тумблер «Сеть» находится на задней панели прибора. На передней панели имеются кнопки «Сброс», «Пуск» и «Стоп». Кнопка «Стоп» в данной работе не используется. φ01 φ2 l h2 h01 Рис. 1.2 Один из шаров отводится из положения равновесия на угол 01 и отпускается. Из закона сохранения механической энергии следует: m1 gh01 = 14 2 m101 , 2 где 01 – скорость ударяющего шара непосредственно перед ударом. Высота шара в начальном положении 2 h01 = l (1 − cos 01) = 2l sin (01 2) . Отсюда 01 = 2 gl sin( 01 2) , (1.18) где g – ускорение свободного падения; l – расстояние от точки крепления нити до центра шара (рис. 1.2.); 01 – угол, на который шар был отведен до удара. Аналогично определяется скорость второго шара после удара: 2 = 2 gl sin( 2 2) , здесь 2 – угол, на который отклоняется второй шар после удара. При m1 = m2 = m и 02 = 0 из второго уравнения системы (1.10) 1+ k находим 2 = 01 , а затем и коэффициент восстановления: 2 2 sin( 2 2) (1.19) −1 = 2 −1. 01 sin( 01 2) Таким образом, как показывает уравнение (1.19), для определения коэффициента восстановления достаточно измерить 1+ k углы 01 и 2 . Эту же зависимость ( 2 = 01 ) можно 2 использовать и для нахождения средней силы взаимодействия шаров за время удара: p m 2 m (1 + k ) (1.20) Fср = = = 01. 2 k =2 Порядок выполнения работы 1. Включить установку в сеть. 2. Нажать кнопку «Сброс» и отвести шарик на угол 01 : установка 1: 01 = 10°, установка 2: 01 = 4°. 3. Нажать кнопку «Пуск» и отпустить шарик. 15 4. Отсчитать по шкале установки максимальный угол отклонения 2 второго шарика после соударения и записать его в табл. 1.1, время соударения шариков занести в табл. 1.2. 5. Повторить измерения для данного угла 01 пять раз. 6. Повторить измерения пп. 2–4 для всех остальных значений угла 01 : установка 1: 01 = 15°, 20°, 25°, 30°, 35°, 40°; установка 2: 01 = 6°, 8°, 10°, 12°, 14°. Таблица 1.1 2 2 , град 01 , № п/п град 1 2 3 4 ср , град 5 sin 01 2 sin 2ср 2 k 1 … kср=…... l =……мм, т =……кг Таблица 1.2 № п/п 01 , град τ, мкс 1 2 3 τср, мкс 4 υ01, м/с Fср, кН 5 1 … Обработка и анализ результатов измерений 1. Заполнив табл. 1.1, найти средние значения угла 2 для каждого из углов 01 . 2. Вычислить по формуле (1.19) коэффициент восстановления k для каждого угла 01 . Найти среднее значение k и оценить погрешность его определения по разбросу3 результатов для всего набора использованных углов 01 . Предварительно следует убедиться, что k меняется систематически. 3 16 действительно не 3. Полагая m1 = m2 = m , определить по формуле (1.12) ту часть первоначальной кинетической энергии, которая переходит в другие виды энергии: T (1 − k ) 2 . = T0 2 4. Измерить и записать расстояние l от центра шара до точки крепления нити. Вычислить по формуле (1.18) скорость первого шара до удара для каждого угла 01 , а также среднее значение времени соударения. Результаты занести в табл. 1.2. 5. Записать массу шара т. Вычислить для каждого угла 01 среднюю силу взаимодействия по формуле (1.20): m (1 + k ) 01 . 2 Результаты занести в табл. 1.2. 6. Построить графики зависимости времени соударения и средней силы взаимодействия Fср от относительной скорости Fср = шаров до удара 0 = 01 . 7. Определить показатель степени в зависимости времени соударения от относительной скорости шаров 0 : ~ 0 n (см. формулу (1.17)). Для этого построить график зависимости lg = f (lg 0 ) . В этих координатах график lg = n lg 0 + const представляет собой прямую линию, где n − тангенс угла наклона графика к оси абсцисс. 8. С помощью построенного графика определить значение n и сравнить его с показателем степени в зависимости (1.17). По всей совокупности полученных данных сделать вывод о соответствии результатов опыта контактной теории Герца. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. В чём состоит различие между абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударами? Какие физические законы используются для вывода формул скоростей шаров при прямом центральном ударе? Почему в данном эксперименте шары при ударе обмениваются скоростями? 17 2. Записать формулу второго закона Ньютона в импульсной форме. Каков физический смысл величин, входящих в эту формулу? 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента восстановления и средней силы взаимодействия шаров за время удара. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Что называется коэффициентом восстановления? От чего он зависит? Предположите возможные источники погрешности измерения коэффициента восстановления. 2. Вывести формулы (1.10) и (1.11). 3. На каких предположениях основана теория соударения Герца? От чего зависит время соударения двух одинаковых шаров при прямом центральном ударе по контактной теории? 4. В чём состоит преимущество графиков, построенных в двойном логарифмическом масштабе? Библиогр.: [1]; [2, § 8, 23, 24, 25]; [3, § 18, 26, 28, 29]; [5, § 5.1, 5.2]; [6]; [7]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ Цель работы – изучить законы сухого трения, экспериментально найти коэффициент трения качения при помощи наклонного маятника. Приборы и принадлежности: наклонный маятник FPM-07. Краткие сведения из теории Всякое движущееся тело встречает сопротивление своему движению со стороны окружающей среды и других тел, с которыми оно во время движения соприкасается. Иначе говоря, на любое движущееся тело действуют силы трения, или силы сопротивления. В результате их действия всегда происходит 18 превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся тел, т.е. в энергию теплового движения их частиц. Силы трения имеют электромагнитную природу и связаны с межмолекулярным взаимодействием тел. В механике рассматривают лишь эмпирические законы трения (в частности, закон Амонтона–Кулона); эти законы справедливы для не очень больших давлений и не слишком легко деформируемых материалов соприкасающихся тел. Остановимся кратко на классификации сил трения. Трение называют внешним, если оно действует между различными соприкасающимися телами, не образующими единого тела. Внутреннее трение проявляется между отдельными частями одного и того же тела (слоями газа или жидкости). Трение между поверхностью твердого тела и жидкой или газообразной средой, в которой оно движется, называют вязким. Трение между поверхностями твердых тел называют сухим. Оно подразделяется на трение скольжения и трение качения. Трение скольжения. Сухое трение (в отличие от вязкого) не исчезает при обращении в нуль относительных скоростей соприкасающихся тел и проявляется в виде силы трения покоя – силы, препятствующей возникновению движения одного тела по поверхности другого. Сила трения покоя равна по величине внешней силе, направленной по касательной к поверхности соприкосновения тел и стремящейся вызвать движение одного тела по поверхности другого. Эта сила направлена в сторону, противоположную возможному движению. Сила трения покоя – сила переменная: она увеличивается с возрастанием внешней силы, однако монотонное её увеличение прекращается, как только внешняя сила превысит некоторый предел. Это предельное (максимальное) значение силы трения покоя называется силой трения скольжения. Сила трения скольжения не зависит от площади поверхности контакта и пропорциональна силе нормального давления N, с которой одно тело действует на другое Fтр = N , (закон Амонтона–Кулона): здесь μ – коэффициент трения скольжения. Трение качения. В качестве модели твёрдого тела механика обычно выбирает модель абсолютно твёрдого тела. Однако в рамках такой модели трение качения не возникает. Действительно, 19 пусть абсолютно твёрдое круглое тело (шар или цилиндр, далее для краткости будем называть их катком), покоится на горизонтальной плоскости, касаясь её в точке A (рис. 2.1, a). При этом на каток действуют сила тяжести mg и нормальная составляющая силы реакции опоры – N . Чтобы качение могло происходить без скольжения, поверхности тела и плоскости должны быть шероховатыми, и, значит, на каток будет действовать ещё и сила трения покоя Fтр (точка A неподвижна). Поскольку силы mg и N не только уравновешивают друг друга, но и имеют нулевой суммарный момент относительно любой точки, то они не могут участвовать во вращении катка. а б а) б) Рис. 2.1 Это, в свою очередь, означает, что если к оси катка приложить любую, сколь угодно малую, горизонтальную силу Q , то появившийся момент пары сил Q и равной ей (!) силы трения покоя Fтр должен был бы привести каток во вращение. Опыт однако, показывает, что механика вращения катка оказывается более сложной. Для приведения его во вращение приходится прикладывать не сколь угодно малую, а вполне значительную силу Q . Дело в том, что под действием сил mg и N реальные, а не модельные (абсолютно твёрдые) тела деформируются так, что их касание происходит не в одной точке, а вдоль некоторой площадки (АС на рис. 2.1, б). 20 При попытке начать качение тела вправо точка приложения сил реакции опоры N и Fтр переместится из точки A внутрь этой площадки на некоторое расстояние ε точку В (рис. 2.1, б). В результате при качении катка по поверхности необходимо будет перед ним «передвигать волну деформации», или можно сказать иначе: за счёт деформации поверхности каток при его движении всё время придётся выкатывать из небольшого углубления. И в том и другом случае внешняя сила будет совершать дополнительную работу, которая и пойдёт на преодоление трения качения. При равновесии катка (или при его равномерном вращении) имеют место следующие уравнения: Q − Fтр = 0; N − mg = 0; N − Qr = 0 . (2.1) Из этих уравнений видно, что на каток действуют две уравновешенные пары сил: (Q, Fтр ) и N , mg . При этом первая из ( ) них стремится привести каток в движение, тогда как вторая этому движению препятствует. Момент этой пары сил N , mg называется моментом сопротивления качению. Для трения качения установлены следующие приближённые законы: 1. Максимальный момент пары сил, препятствующий качению, в широких пределах не зависит от радиуса катка. 2. Максимальный момент сопротивления качению пропорционален силе нормального давления катка на опорную плоскость и достигается в момент выхода катка из положения равновесия (условие начала качения катка): ( M max = N , где = max . ) (2.2) Коэффициент называют коэффициентом трения качения, или коэффициентом трения 2-го рода. Он имеет размерность длины. Коэффициент трения качения равен плечу пары сопротивления качению при предельном положении равновесия катка (см. рис. 2.1, б). 3. Коэффициент трения качения зависит от материала катка и опорной плоскости, а также от физического состояния их поверхностей. 21 В момент начала качения катка (выхода его из положения равновесия) из (2.1) и (2.2) следует: (2.3) N = mg = Fтр . r r Обычно r , поэтому при движении по горизонтальной плоскости для качения требуется значительно меньшая сила, чем для скольжения тела того же веса. Коэффициенты трения качения устанавливаются экспериментально. Приведём значения коэффициентов трения качения для некоторых комбинаций материалов (в см): стальной каток по стали – 0,005; деревянный каток по стали – 0,03…0,04; деревянный каток по дереву – 0,05…0,08; колесо вагона по рельсу – 0,05; резиновая шина по шоссе – 0,024. Законы трения качения, как и трения скольжения, справедливы лишь для не очень больших давлений и не слишком легко деформируемых материалов катка и плоскости. Qmin = Описание и принцип работы экспериментальной установки. Вывод расчётной формулы Прибор «Наклонный маятник FPM-07» представлен на рис. 2.2. Основания 1 и 2 оснащены четырьмя ножками с регулируемой высотой. К основаниям подсоединена труба 3, на которой смонтирован корпус 4 с червячной передачей. Посредством оси червячная передача соединена с кронштейном 5. На него крепится пластина 10 со шкалой 6, а с обратной стороны установки – шкала 7. Также на кронштейне закреплена колонка 8, к которой на нити подвешен шар 9. Для изменения угла наклона маятника используется рукоятка 11. 22 Рис. 2.2 Прибор предназначен для определения коэффициента трения качения методом наклонного маятника. В качестве маятника используется металлический шар радиусом R, подвешенный на нити длиной L, опирающийся на плоскость, наклонённую под углом β к горизонту (рис. 2.3.). Рис. 2.3 Эксперимент проводится при различных углах наклона β. Зафиксировав тот или иной угол β, следует отклонить шар от положения равновесия на угол 0 = (4÷5)º, отсчитываемый по 23 лицевой шкале. После пуска шар будет перекатываться по образцу, теряя из-за трения качения свою энергию, так что с каждым новым качанием он будет отклоняться на всё меньший и меньший угол. Окончательно измеряется угол αп, на который шар отклонится от положения равновесия после заданного числа колебаний. На шар действует сила трения качения Fтр , значение которой следует из уравнения (2.3): Fтр = N, R (2.4) однако, в отличие от (2.1), здесь N = mg cos (см. рис. 2.3). Действие силы трения качения, как уже было сказано, приводит к тому, что колебания наклонного маятника носят затухающий характер. Если за n циклов колебаний максимальная высота подъёма маятника снижается на ∆h, то его полная механическая энергия уменьшается на mg∆h. Это уменьшение происходит вследствие работы неконсервативной силы трения качения A = Fтр S (где S – полный путь, пройденный за n циклов), т.е. mgh = Fтр S = N S = mg S cos . R R (2.5) Сокращая на mg , получаем = R h . S cos (2.6) Выразим параметры, входящие в (2.6), через измеряемые величины: угол наклона плоскости качения , число полных колебаний (циклов) n и изменение угловой амплитуды в течение этих циклов ( 0 − п ) . Из рис. 2.3 следует, что h = L sin = L(cos п − cos 0 ) sin = L(cos n − cos 0 ) sin . Так как оба угла малы, то для них можно, ограничившись лишь двумя первыми членами разложения cos в ряд Тейлора, записать: cos 1 − ( 2 2) . Тогда 24 уменьшение высоты подъёма шара в процессе качаний Δh может быть выражено как L (2.7) h = ( 02 − 2n ) sin . 2 Длина дуги S, проходимая шаром за четверть периода, связана с угловой амплитудой 0 соотношением S = L . Следовательно, за n периодов, если бы не было затухания, был бы пройден путь S = 4n L 0 . При наличии затухания вместо 0 , ввиду малости 0 + n 2 следующем обоих углов, можно взять их среднюю величину = и представить виде: путь, пройденный шаром, в S = 2 n L ( 0 + n ) . (2.8) Подставляя (2.7) и (2.8) в (2.6), окончательно получаем = 0 − n R tg . 4n (2.9) Измерив αn для заданного числа полных колебаний маятника n и зная параметры экспериментальной установки (R и β) из равенства (2.9), можно определить коэффициент трения качения δ. Порядок выполнения работы 1. Установить колонку 8 прибора (см. рис. 2.2) под углом β = 30°. 2. Отклонить шар от положения равновесия на угол α0 = 5° и отпустить. Шар начнёт совершать колебания. 3. Определить по лицевой шкале угол n отклонения шара после пяти полных колебаний. Результаты занести в табл. 2.1. 4. Повторить действия пп. 2, 3 ещё четыре раза. 5. Выполнить измерения для углов β = 45°, 60°, повторяя действия пп. 2–4. 25 Таблица 2.1 Радиус шара R = …... мм Число полных колебаний шара п = 5 Угол начального отклонения шара α0 = 5° Угол наклона маятника β, град Угол, отклонения шара после п полных колебаний, n , дел4 1 2 3 4 5 Коэффициент трения качения δ 1 2 3 4 5 30º 45° 60° Обработка и анализ результатов измерений 1. Вычислить коэффициент трения качения для каждого значения угла n по формуле (2.9). Результаты вычислений занести в табл. 2.1. 2. Оценить погрешность определения коэффициентов трения качения по данным табл. 2.1, условно считая их результатами прямых измерений. 3. Построить график зависимости коэффициента трения качения от угла наклона маятника = f () . Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Какие виды трения существуют, и каким эмпирическим законам они подчиняются? 2. Что называется коэффициентом трения качения? Можно ли сравнивать между собой коэффициенты трения качения и трения скольжения? При подстановке в расчётную формулу (2.9) следует деления перевести в радианы (см. инструкцию на установке). 4 26 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента трения качения. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Почему сам факт существования трения качения не позволяет использовать модель абсолютно твёрдого тела для описания качения одного тела по поверхности другого? 2. Каковы физические причины трения? Какова природа потерь кинетической энергии телом при качении? 3. Почему коэффициент трения качения зависит от угла наклона маятника? Как эту зависимость следовало бы графически продолжить при дальнейшем увеличении угла наклона? Библиогр.: [1]; [2, § 7, 13, 15]; [3, § 11, 17, 24, 30, 32]; [5, § 2.2-2.4]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 ИЗУЧЕНИЕ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА Цель работы – изучить законы кинематики и динамики на примере равноускоренного движения системы тел. Приборы и принадлежности: лабораторная установка "машина Атвуда" и электронный секундомер для измерения времени. Краткие сведения из теории Рассмотрим движение системы двух тел (m1 и m 2 ) , соединённых нитью, перекинутой через блок, представляющий собой диск массой m и радиусом R (рис. 3.1). Если предположить, что трение между осью и подшипником блока отсутствует, а также 27 пренебречь весом нити и силой сопротивления воздуха, то такая модель представит собой идеализацию реальной экспериментальной установки, использующейся в данной работе. T1 R T2 T1 T2 х2 х1 m1 g m2 g Рис. Рис. 3.13.1 Чтобы найти ускорение движения тел, запишем законы динамики поступательного (для тел) и вращательного (для блока) движений: m1a1 = m1 g + T1 , m 2 a 2 = m 2 g + T2 , I = M1 + M 2 , где I = mR 2 2 – момент инерции блока, М 1 и М 2 – моменты сил T1 и T2 соответственно, – угловое ускорение вращения блока. Спроецируем векторы первого уравнения системы на ось х1, второго – на ось х2 и третьего – на ось z, направленную на нас перпендикулярно плоскости рисунка. Принимая во внимание равенство величин ускорений грузов, а также соотношение между силами натяжения нитей Т1 = −Т1 и Т 2 = −Т 2 (третий закон Ньютона), получаем 28 m1a = m1 g − T1 , m2 a = T2 − m2 g , (3.1) I = T1 R − T2 R . Решение (3.1) приводит к следующему выражению для ускорения: m1 − m2 (3.2) a= g. 1 m1 + m2 + m 2 Уравнение (3.2) показывает, что грузы будут двигаться с постоянным ускорением. Описываемая ниже экспериментальная установка позволяет измерять время прохождения системой тел различных фиксированных расстояний. Известно, что при равноускоренном движении без начальной скорости путь, пройденный телом за время t от начала движения, выражается формулой S = at 2 2 , (3.3) которая позволит определить величину ускорения грузов. Предварительно следует убедиться в том, что движение имеет действительно равноускоренный характер. Пусть t i – время прохождения системой тел расстояния S i . Тогда, проделав несколько таких измерений для различных расстояний, можно будет представить полученные результаты на графике в виде зависимости 2S = f t 2 . Если точки на графике достаточно хорошо будут аппроксимироваться прямой линией, то это послужит подтверждением того, что ускорение движения в соответствии с формулой (3.2) имеет постоянную величину, которую можно найти по углу наклона этой прямой: a = (2S ) t 2 . Располагая таким методом определения величины ускорения и изменяя в опытах массу тел, можно исследовать зависимость ускорения как от массы движущихся тел, так и от действующей на них силы. ( ) ( ) Описание и принцип работы экспериментальной установки 29 Общий вид прибора "машина Атвуда" приведён на рис. 3.2. В верхней части вертикальной шкалы 3 укреплён на подшипнике легкий блок 1, который с достаточно малым трением может вращаться вокруг своей оси. Через блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы 4, движение которых и будет изучаться. Электромагнит, расположенный на одной оси с 1 блоком, служит для пуска и остановки движения грузов. Действие устройства основано 3 на том, что нить, соединяющая грузы, проходит в зазоре между 4(II) якорем и сердечником 6 электромагнита и при замыкании (размыкании) электрической цепи электронного секундомера 5 и 5 4(I) электромагнита нажатием 2 кнопки «Пуск» («Сброс») соответственно нить освобождается (зажимается), а блок 1 начинает (прекращает) 7 вращение. Фотоэлемент 2 Рис. Рис.3.2 3.2 предназначен для разрыва электрической цепи секундомера, и, следовательно, прекращения отсчёта времени в тот момент, когда груз I начнёт проходить мимо него. Ограничитель 6 предназначен для облегчения начальной установки грузов. Для изменения масс движущихся грузов используется набор дополнительных грузов массами 10, 20 и 50 г. Порядок выполнения работы 1. Включить приборы в сеть. Установить груз I на столик 7 (см. рис. 3.2). Определить по вертикальной шкале 3 начальную координату l0, напротив которой находится нижний торец груза II, записать полученный результат. Снять нить с блока и установить на грузы I и II дополнительные грузы так, чтобы суммарная масса 30 грузов (с учётом их начальной массы) стала равна 100 и 70 г соответственно. Установить ограничитель 6 горизонтальным участком на отметке l1 = 35 см. Поместить систему грузов на блок так, чтобы груз II нижним торцом касался ограничителя. Придерживая его в таком положении, включить секундомер (на задней панели электронного блока), нить зафиксируется. Установка готова к работе. 2. Нажать кнопку «Пуск» электронного секундомера; при этом грузы придут в движение и одновременно начнётся отсчёт времени. В момент прохождения груза I мимо фотоэлемента секундомер остановится. Записать показания секундомера в табл. 3.1. 3. Опустить груз II на ограничитель, придерживая его, нажать кнопки «Стоп» и «Сброс». Нажать кнопку «Пуск». Записать показания секундомера. Выполнить аналогичные измерения ещё два раза. Результаты занести в табл. 3.1, в колонку, соответствующую S1 , где S1 = l1 − l0 − 4,2 , см (груз II проходит расстояние l1 − l0 , а груз I на 4,2 см меньше с учётом расстояния от столика 7 до датчика фотоэлемента 2). l 0 = ……, см; m1 = 100 г; m2 = 70 г Таблица 3.1 № п/п S1 = … , см S 2 = … , см S 3 = … , см S 4 = … , см t1 , с t2 , с t3 , с t4 , с t1ср = ……c, t2ср = ……c, t3ср = ……c, t4ср = ……c, t12ср = ……с2 t22cp = ……с2 t32cp = ……с2 t42cp = ……с2 1 … 4. Перемещая ограничитель, провести аналогичные действия для расстояний li = 30, 25 и 20 см, занести величины S i = li − l0 − 4,2 см в табл. 3.1. Эти данные позволят определить величину ускорения для данной массы грузов, а также сделать вывод о характере их движения. 31 5. Установить ограничитель на отметке l = 35 см. 6. Снять нить с блока и установить дополнительные грузы так, чтобы суммарные массы I и II грузов были равны 60 и 50 г соответственно. 7. Измерить время движения грузов пять раз. Результаты занести в табл. 3.2. 8. Провести серию измерений, повторив пп. 5 и 6, когда массы грузов составляют 70 и 60, 80 и 70, 90 и 80, 100 и 90 г. Результаты занести в табл. 3.2. S = l − l0 − 4,2 = …… см Таблица 3.2 № п/п m1 , г m2 , г 1 60 50 2 70 60 3 80 70 4 90 80 5 100 90 ti , с t i ср , с t i2cp , с 2 a, м/с 2 m1 + m 2 , г 9. Исследовать зависимость ускорения системы от действующей на грузы силы. Для этого проделать аналогичные испытания, когда массы грузов составляют 120 и 50, 110 и 60, 100 и 70, 90 и 80 г. Высоту, на которой находится ограничитель оставить прежней. Результаты занести в табл. 3.3. S = l − l0 − 4,2 = …… см Таблица 3.3 № m ,г 1 п/п m2 , г 1 120 50 2 110 60 3 100 70 ti , с t i ср , с 32 t i2cp , с 2 a, м/с 2 m1 − m 2 , г 4 90 80 Обработка и анализ результатов измерений 1. По данным табл. 3.1 рассчитать среднее время tiср прохождения системой расстояния Si, а также квадрат этого времени. 2. Результаты измерений из табл. 3.1 представить на графике 2 в виде зависимости 2S = f tср . Провести прямую линию, ( ) наилучшим образом соответствующую всем экспериментальным точкам. Убедиться в том, что указанная зависимость близка к линейной. Как следует из формулы (3.3), тангенс угла наклона полученной прямой к оси абсцисс (2S ) t 2 и будет равен ускорению системы грузов. Найти это ускорение. Соответствует ли полученная величина ускорения законам динамики (см. уравнение (3.2))? Сделать вывод о характере движения грузов. 3. Заполнить табл. 3.2 и 3.3, рассчитав среднее время движения и ускорение для каждой пары грузов по формуле (3.2). 4. Представить на графиках зависимости ускорения системы грузов от суммы и разности их масс: a = f (m1 + m2 ) и a = f (m1 − m2 ) . Сделать вывод о влиянии массы грузов и сил, действующих на них, на ускорение системы. 5. Найти абсолютную и относительную погрешности ускорения системы для одной из пар грузов (табл. 3.2 и 3.3), применяя метод расчёта погрешности косвенных измерений. 6. Сделать вывод о соответствии полученных результатов законам динамики. ( ( )) Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Представить кинематические уравнения для равноускоренного движения: a (t ), (t ), r (t ) в аналитической и графической формах. 2. Записать второй закон Ньютона для материальной точки, закон динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси. 33 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения зависимости ускорения системы от массы грузов и действующих на них сил. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Почему в лабораторной работе графически исследуется не «простая» зависимость S = f (t ) , а более «сложная»: 2S = f t 2 ? ( ) ( ) 2. Как изменился бы вид графика зависимости 2S = f t 2 , если бы значение 4,2 см при его построении заранее не учитывалось (см. табл. 3.3)? 3. Каким образом на графике зависимости a = f (m1 − m2 ) должно проявляться действие неучтённой силы трения? Можно ли её определить? Библиогр.: [1]; [2, § 9, 11, 14]; [3, § 11, 12, 32]; [5, § 1.2-1.4, 2.2-2.4]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Цель работы − экспериментально проверить основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела и определить момент инерции маятника Обербека. Приборы и принадлежности: маятник Обербека FPM-06; комплект четырёх подвижных грузов массой т; комплект четырёх грузов одинаковой массой m1, укрепляемых на стержнях крестовины маятника (значения масс m и m1 указаны на грузах); блок секундомера FPM-15 (с относительной погрешностью измерения времени 0,02%); миллиметровая шкала (погрешность определения перемещения грузов ±1мм). Краткие сведения из теории 34 Основной закон динамики вращательного движения твёрдого dL = M , где L − момент импульса тела тела отвечает уравнению dt относительно некоторой точки, M = M k − суммарный момент k всех внешних сил, действующих на тело, относительно той же точки. При вращении относительно неподвижной оси z основной dLz закон вращательного движения принимает вид = M z , где L z и dt M z − проекции момента импульса и момента силы на ось z. Учитывая, что Lz = I , где I − момент инерции тела относительно оси z, ω − угловая скорость вращения тела вокруг d этой же оси, а также то, что = − угловое ускорение, получаем dt основной закон динамики вращательного движения относительно неподвижной оси в виде I = M z . Записанный в такой форме закон аналогичен второму закону Ньютона для поступательного движения: ma = F . При этом аналогами массы, линейного ускорения и силы являются момент инерции, угловое ускорение и момент силы, соответственно. Вывод расчётной формулы для экспериментального определения момента инерции. При экспериментальном определении момента инерции используется маятник Обербека, который представляет собой крестовину с четырьмя закреплёнными на ней на одинаковых расстояниях от оси одинаковыми R грузами. На ось крестовины насажен двухступенчатый шкив в виде диска, на который намотана нить с прикреплённым к T1 ней грузом. С началом движения груза вниз начинает вращаться и крестовина. Для вывода T расчётной формулы рассмотрим упрощённую схему установки, выделив систему связанных движущихся тел: поступательно движущийся mg 35 Рис. 4.1 Рис. 4.1 груз и вращающийся шкив (рис. 4.1). Поступательное движение груза в проекциях на вертикальную ось, совпадающую с нитью, описывается уравнением: mg − T = ma. (4.1) Вращательный момент, действующий на шкив, создает сила натяжения нити Т1, которая по третьему закону Ньютона равна силе Т: M = TR . Тогда уравнение вращательного движения шкива в проекциях на ось z, совпадающую с осью вращения блока, может быть записано в виде TR = I. (4.2) Так как проскальзывание нити по поверхности шкива отсутствует, то тангенциальное ускорение элементов нити, вращающихся вместе со шкивом, равно линейному ускорению груза: a = a = R . (4.3) Решив систему уравнений (4.1) - (4.3), получим для момента g инерции выражение I = mR 2 − 1 . Линейное ускорение груза a можно вычислить по измеренным высоте и времени падения груза на основании кинематического соотношения: h = at 2 / 2 . В результате расчётная формула для экспериментального определения момента инерции маятника Обербека примет следующий вид: gt 2 I = mR 2 − 1 . 2h (4.4) Вывод формулы для теоретического вычисления момента инерции. Момент инерции системы, являясь аддитивной величиной, равен сумме моментов инерции всех входящих в систему тел. Маятник Обербека состоит из шкива (включая ось и втулку крестовины), четырёх стержней крестовины и грузов, укреплённых на ней. Момент инерции I 0 шкива указан на установке. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей 36 через его конец, равен m2lС2 / 3 , где m2 − масса стержня без груза, lС − длина стержня (обе величины указаны на установке). Грузы, укреплённые на крестовине, приближенно можно принять за точечные массы. Тогда момент инерции каждого груза равен m1l 2 , где m1 − масса груза (указана на установке), l − расстояние от оси вращения до центра массы груза (измеряется при выполнении работы). Теоретический момент инерции после суммирования вычисляется по формуле I = I 0 + 4m1l 2 + 4m2lС2 / 3. (4.5) Описание и принцип работы экспериментальной установки Внешний вид Рис. Рис.4.24.2 установки представлен на рис. 4.2. Регулировочные ножки 1 позволяют обеспечить горизонтальность основания 2, к которому крепится вертикальная колонка 3 с нанесённой на ней миллиметровой шкалой. К колонке прикреплены неподвижный 4 и подвижный 5 кронштейны для регулировки длины пути h груза 9. Через диск 6 перекинута нить 7, один конец которой прикреплён к шкиву 8, а на втором конце закреплены сменные грузы 9. Кронштейн 4 снабжён резиновым амортизатором 11 для ограничения перемещения грузов. Включение прибора производится нажатием клавиши «Сеть» 12, обнуление секундомера – клавишей «Сброс» 13, клавиша «Пуск» 14 включает секундомер. Время падения груза высвечивается на индикаторе 15. Порядок выполнения работы 37 1. Перед началом работы следует убедиться, что крестовина маятника отбалансирована. Для этого необходимо повернуть крестовину, освобождённую от влияния груза 9, на произвольный угол – она должна находиться в положении безразличного равновесия (не двигаться). В противном случае необходимо произвести балансировку крестовины: выставив одну пару стержней крестовины в горизонтальное положение, добиться её безразличного равновесия, слегка смещая грузы на стержнях относительно рисок. Затем таким же путём произвести балансировку грузов на другой паре стержней. Процесс балансировки заканчивается, когда крестовина остаётся в состоянии покоя при её повороте на любой угол относительно оси вращения. 2. Включить установку в сеть. 3. Убедиться, что к нити прикреплён только один груз. 4. Намотать нить на шкив 8, а второй конец с грузом перекинуть через диск 6. Груз поднять на высоту h. Нижний край груза должен совпадать с чертой на корпусе верхнего фотодатчика. 5. Нажать кнопку «Пуск» и отпустить груз без толчка. При этом запускается секундомер. Записать отсчёт времени в табл. 4.1. 6. Нажать кнопку «Сброс» и проверить, произошло ли обнуление измерителя. 7. Повторить измерение пять раз, следя за тем, чтобы нить наматывалась на шкив всегда в одном и том же направлении. Занести все значения времени падения в табл. 4.1. 8. Последовательно увеличивая массу падающего груза, повторить пп. 3-7. Таблица 4.1 № п/п Груз 1 m = ……, г Грузы 1, 2 m = ……, г Грузы 1, 2, 3 m = ……, г Грузы 1, 2, 3, 4 m = ……, г t1 , с … tср , с I , кг·м2 9. Измерить высоту падения 38 груза и длину стержня крестовины. Занести измеренные значения в табл. 4.2. В эту же таблицу занести значения величин, указанных на установке. Таблица 4.2 R , см m1 , г m2 , г I 0 , кг·м2 l , см h , см 10. Вычислить и занести в табл. 4.1 среднее значение времени падения для каждой массы груза. Обработка и анализ результатов измерений 1. По формуле (4.4) рассчитать значение момента инерции для каждой массы падающего груза, используя среднее время падения, и занести его в табл. 4.1. Для широты Санкт-Петербурга g = (9,82 ± 0,01) м/с2. 2. Рассчитать среднее значение момента инерции и оценить абсолютную и относительную погрешности его определения. 3. По формуле (4.5) вычислить теоретическое значение момента инерции маятника и сравнить его со значением, полученным экспериментально. 2h 4. По формуле = вычислить угловое ускорение для R t2 каждого груза. Вычисленные значения занести в табл. 4.3. Таблица 4.3 № груза 1 … , рад/с m , кг M , Н·м 2h M = mR g − 2 вычислить значение t вращающего момента для каждой массы груза. Вычисленные значения занести в табл. 4.3. 5. По формуле 39 6. По данным табл. 4.3 построить график зависимости углового ускорения от вращающего момента: = f (M ) . 7. Сделать вывод о соответствии зависимости углового ускорения от вращающего момента основному закону динамики вращательного движения. При отрицательном ответе продумать возможные причины отклонения графика от теоретической зависимости. 8. Определить по графику среднее значение момента инерции маятника как котангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. 9. Записать окончательные результаты работы: экспериментально полученное значение момента инерции с погрешностью, его теоретическое значение и величину момента инерции, вычисленную по графику зависимости = f (М ) . Обсудить возможные различия между полученными значениями момента инерции маятника Обербека. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Дать определение момента силы и момента импульса материальной точки относительно точки и оси, момента импульса и момента инерции твёрдого тела относительно оси. 2. Каков физический смысл момента инерции? Как вычислить момент инерции твёрдого тела? Записать теорему Штейнера. 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения момента инерции маятника Обербека. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Вывести формулу для момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов. 2. Провести аналогию между характеристиками поступательного и вращательного движения. 3. Указать на чертеже направление момента силы натяжения нити, действующей на шкив в данной работе. 4. Как влияет на результат измерений момента инерции маятника Обербека трение в осях подвеса? Можно ли определить момент силы трения по виду графика зависимости = f (М ) ? 40 Библиогр.: [1]; [2, § 36, 38, 39, 43]; [3, § 30, 33-36]; [5, § 4.1-4.3]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ МОНТАЖНОГО ПАТРОНА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА Цель работы − изучить законы сохранения энергии и момента импульса на примере баллистического крутильного маятника. Приборы и принадлежности: баллистический крутильный маятник, пусковое пружинное устройство и комплект монтажных патронов, блок секундомера. Краткие сведения из теории Крутильный маятник представляет собой массивный стержень, жёстко прикреплённый к вертикально висящей проволоке. На стержне имеются два неподвижных (на концах) и два подвижных груза. На один из неподвижных грузов нанесён слой пластилина. Подвижные грузы могут перемещаться вдоль стержня, что даёт возможность менять момент инерции маятника. Крутильные колебания обусловлены упругими силами, возникающими в проволоке при её кручении. При этом период колебаний маятника (5.1) T = 2 I / k , где I – момент инерции маятника относительно оси z (рис. 5.1), z р 41 х у k – модуль кручения нити, численно равный величине крутящего момента относительно оси вращения, приходящегося на единичный угол закручивания (в литературе можно встретить и другое название этой величины – «крутильная жёсткость нити»). По теории упругой деформации твёрдого тела для однородной проволоки круглого сечения радиусом R и длиной l модуль кручения определяется соотношением k = R 4G / 2l , где G – модуль сдвига материала проволоки. Рис. 5.1 После попадания монтажного патрона в толщу пластилинового слоя, нанесённого на один из неподвижных грузов маятника, последний вместе с патроном повернётся на максимальный угол вокруг вертикальной оси z . При этом момент кручения проволоки M кр определится как M кр = −k , а потенциальная энергия U упругодеформированной проволоки как U = k2 / 2 . Так как в процессе удара патрон прилипает к пластилиновому слою, удар является неупругим. В этом случае механическая энергия в процессе удара не сохраняется. Однако сразу после удара, консервативность системы «маятник–патрон» восстанавливается, и закон сохранения механической энергии вновь начинает выполняться, т.е. по мере поворота маятника кинетическая энергия вращательного движения системы превращается в потенциальную энергию упругодеформированной проволоки при её кручении: I2 k 2 = , 2 2 (5.2) здесь I – момент инерции маятника (вместе с попавшим в него патроном) относительно оси z (рис. 5.1), − начальная угловая скорость поворота маятника. Так как момент инерции патрона относительно оси z много меньше момента инерции самого маятника, то в расчётах его величиной можно пренебречь. Для определения угловой скорости, приобретённой системой сразу после удара патрона, воспользуемся законом сохранения момента импульса. Этот закон применительно к неподвижной оси 42 справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что и имеет место в данном случае: при вращении системы относительно оси z проекция момента силы тяжести на эту ось равна нулю. Следовательно, момент импульса системы «патрон–маятник» относительно этой оси сохраняется, т.е. mr = I (здесь m – масса патрона, – его скорость, r – расстояние от оси вращения маятника до места попадания в него патрона). Решив последнее уравнение совместно с (5.2), получим 2 = k2 I m2r 2 . Найдя из (5.1) модуль кручения k = 42 I / T 2 , получим для скорости патрона формулу 2 I (5.3) . T mr Таким образом, измерив угол поворота маятника и период его колебаний T , можно было бы вычислить скорость патрона, но для этого необходимо знать момент инерции маятника. Используя особенности конструкции маятника, найдём его следующим образом: определим моменты инерции маятника ( I1 и I 2 ), применяя теорему Штейнера, а периоды его колебаний ( T1 и T2 ) – по формуле (5.1) для двух предельных случаев расположения грузов относительно оси вращения ( r1 и r2 ). Если подвижные грузы максимально удалить друг от друга, разведя их на расстояние r1 , то момент инерции маятника I1 относительно оси z и период его колебаний T1 для этой конфигурации будут равны: = I1 = I 0 + 2Mr12 , T1 = 2 I1 / k , (5.4) где I 0 – момент инерции маятника без подвижных грузов, а M – масса подвижного груза. Если грузы разместить вплотную (расстояние r2 ), то уравнения для момента инерции I 2 и периода колебаний запишутся аналогично: I 2 = I 0 + 2Mr22 , T2 = 2 I 2 / k . 43 (5.5) Найдя теперь разность моментов инерции 2 2 2 I1 − I 2 = 2 M (r1 − r2 ) , а также их отношение I1 I 2 = T1 T22 из (5.4) и (5.5), придём к выражению для I1 : I1 = 2M (r12 − r22 )T12 . T12 − T22 (5.6) Подставив (5.6) в (5.3), получим окончательную формулу для скорости монтажного патрона: = 4M (r12 − r22 ) mr (T12 − T22 ) T11 , (5.7) где 1 – максимальный угол отклонения маятника (выраженный в радианах), когда оба его подвижных груза расположены на максимальном расстоянии r1 друг от друга. Описание и принцип работы экспериментальной установки Общий вид экспериментальной установки и лицевой панели секундомера показан на рис. 5.2. 44 Рис. 5.2 Рис. 5.2 Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, позволяющими выровнять прибор. В основании закреплена колонка 3, на которой размещены верхний 4, нижний 5 и средний 6 кронштейны. К среднему кронштейну прикреплены пусковое устройство 7, прозрачный экран 8 с нанесённой на него угловой шкалой и фотоэлектрический датчик 9. Кронштейны 4 и 5 имеют зажимы для жёсткого крепления стальной проволоки 10, на которой подвешен маятник, состоящий из двух стержней 13, на которых расположены два неподвижных 11 и два подвижных 12 груза. К маятнику прикреплён указатель 14, позволяющий фотоэлектричес-кому датчику 9 отсчитывать число полных колебаний маятника. Порядок выполнения работы. Обработка и анализ результатов измерений 45 1. Установить грузы 12 на расстоянии r1 от оси вращения, при котором они максимально удалены друг от друга. Расстояние измеряется между центрами грузов. 2. Прозрачный корпус установить так, чтобы маятник занял нулевое положение. 3. Вложить патрон в пружинное устройство. 4. Выпустить патрон из пружинного устройства. 5. Измерить максимальный угол отклонения 1 маятника. Записать полученное значение. 6. Включить секундомер. Нажать кнопку «Сброс». 7. Отклонить маятник на угол (4÷5)° и свободно отпустить его. Секундомер начнёт отсчёт времени колебаний маятника. 8. Нажать кнопку «Стоп», когда счётчик покажет девять колебаний, секундомер остановит отсчёт времени тогда, когда маятник завершит десятое колебание. Записать это время (десяти полных колебаний) t1 в табл. 5.1. 9. Повторить пп. 7 и 8 еще четыре раза. Результаты занести в табл. 5.1. 10. Установить грузы на расстояние r2 , при котором они максимально приближены к оси вращения. Выполнить пп.7–9. 11. Вычислить по формуле (5.7) скорость монтажного патрона для пяти измерений. 12. Оценить абсолютную погрешность вычисления скорости по разбросу пяти значений (табл. 5.1). 1 = ……; r = 0,12 м; m = 3,5 г; M = 193 г. Таблица 5.1 r1 = 0,09 м № п/п r2 t2 T1 t1 = 0,02 м с T2 с м/с 1 … Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Дать определение момента силы и момента импульса материальной точки относительно точки и оси; момента импульса 46 и момента инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси. 2. Записать уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси, законы сохранения момента импульса и сохранения энергии, теорему Штейнера. 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения скорости монтажного патрона. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Что такое крутильный маятник? Опишите принцип его действия. 2. Баллистический крутильный маятник – это крутильный маятник, работающий в баллистическом режиме. Какие условия необходимы для реализации этого режима? 3. Из формул (5.4) и (5.5) при их дальнейшей подстановке в (5.3), а затем и в (5.7) можно было получить как I1 , так и I 2 . Сравните между собой оба варианта с точки зрения влияния на погрешность определения скорости патрона. Библиогр.: [1]; [2, § 27, 31, 43]; [3, § 30, 33-36]; [5, § 1.2-1.4, 4.1-4.3]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ОБОРОТНОГО МАЯТНИКОВ Цель работы – изучить законы динамики движения материальной точки и твёрдого тела на примере математического и оборотного маятников; определить ускорение свободного падения для широты Санкт-Петербурга. Приборы и принадлежности: универсальный маятник, фотоэлектрический датчик, секундомер (рабочая погрешность измерения времени не более 0,02 %). 47 Краткие сведения из теории Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Рассмотрим свободные колебания математического маятника. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 6.1). τ Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось , касательную к траектории в данной точке и направленную в сторону возрастания Рис. 6.1 угла Учитывая, что . Рис. 6.1 2 d d d , имеем a = =l = l 2 = l dt dt dt . − mg sin = ma = ml (6.1) Для малых колебаний можно принять sin . Тогда уравнение (6.1) примет вид g (6.2) =0. l Уравнение (6.2) – каноническое уравнение гармонического осциллятора. Его решением является функция = m cos(0t + ) , где m – амплитуда колебаний, – начальная фаза, 0 – циклическая частота. Из (6.2) следует, что циклическая частота и период малых колебаний математического маятника соответственно равны: или + − g = l g , l (6.3) 2 l = 2 . 0 g (6.4) 0 = T= Физическим маятником называется твёрдое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Рассмотрим свободные незатухающие колебания 48 Рис.6.2 6.2 Рис. физического маятника под действием силы тяжести (рис. 6.2). Выберем положительное направление отсчета угла против часовой стрелки (ось z направлена на нас). Тогда проекция момента силы тяжести на ось z равна: M z = −mgL sin , где L – расстояние от точки подвеса до центра масс тела, и уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела запишется как = −mgL sin , (6.5) I где I – момент инерции маятника относительно оси вращения. При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать sin . Тогда уравнение движения (6.5) примет вид, аналогичный (6.2): mgL + (6.6) = 0. I Следовательно, физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой mgL I 0 = (6.7) и периодом Из T = 2 I . mgL сопоставления формул (6.4) (6.8) (6.8) следует, что I математический маятник с длиной lпр = имеет такой же mL период колебаний, как и данный физический маятник. Величину lпр называют приведённой длиной физического маятника. Описание метода измерения. Расчётные формулы. Определив экспериментально период колебаний математического маятника, можно рассчитать ускорение свободного падения на данной географической широте. Из формулы (6.4) получим l g = 4 2 2 , (6.9) T где l – длина математического маятника, T – период его колебаний. 49 и Для физического маятника вводят понятие центра качаний. Отложим от точки подвеса О вдоль прямой ОС (С – центр масс маятника) отрезок ОК, длина которого равна приведённой длине физического маятника. Точка К называется центром качания (рис. 6.3). lпр Точка подвеса О и центр качаний К являются взаимными, или сопряжёнными, в том смысле, что если маятник подвесить за центр качания К, то его период не изменится, а прежняя точка подвеса О станет новым центром качания. На этом свойстве основано определение Рис. 6.3 Рис. 6.3 ускорения свободного падения с помощью так называемого «оборотного» маятника. Существуют разнообразные его конструкции. В данной работе используется маятник, состоящий из стержня, на котором закреплены две параллельные друг другу опорные призмы, и двух «чечевиц»5, одна из которых может перемещаться вдоль стержня. Перемещением подвижной «чечевицы» добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм, т.е. при подвешивании в прямом и обратном положениях, период колебаний был одинаковым. Тогда расстояние между призмами l будет равно приведённой длине маятника l пр . Измерив период колебаний маятника Т и расстояние между призмами l , можно по формуле g = 4 2 l T2 (6.10) определить ускорение свободного падения. Экспериментально определить положение «чечевиц», при котором период колебаний маятника одинаков при качании его на любой из опорных призм, весьма затруднительно. Поэтому в работе снимаются кривые зависимостей периодов колебаний маятника в прямом и обратном положениях6 от координаты Чечевица (лат. Lens) – растение семейства бобовых, семена которого имеют двояковыпуклую форму. 6 Маятник называется оборотным, так как, для того чтобы поменять положение опорной призмы, его нужно повернуть на 180°. Отсюда прямое и обратное положения маятника. 5 50 подвижной чечевицы. Графики зависимостей Tпр (x ) и Tобр (x ) будут иметь вид, показанный на рис. 6.4. В этом случае период колебаний Т0 определяется как ордината точки пересечения полученных кривых. Рис. 6.4 Описание и принцип работы экспериментальной установки Общий вид маятника представлен на рис. 6.5. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, выравнивающими прибор. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксированы верхний кронштейн 4 и нижний 5 с фотоэлектрическим датчиком 6. Верхний кронштейн можно поворачивать вокруг колонки, ослабив затяжку винта 7. Затягивание винта 7 фиксирует кронштейн 4 в любом, произвольно выбранном положении. С одной стороны кронштейна находится математический маятник 8, с другой, на вмонтированных в кронштейн вкладышах – оборотный маятник 9. Длина математического маятника регулируется при помощи винта 10, а её величину можно определить по шкале на колонке 3. Оборотный маятник 9 представляет собой стальной стержень, на котором зафиксированы две опорные призмы 11 и две «чечевицы»: неподвижная 12а и подвижная 12б. На стержне через каждые 10 мм сделаны кольцевые нарезки. Координата x, определяющая положение подвижной «чечевицы», отсчитывается от ближайшей к ней 51 опорной призмы. Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольном положении. Датчик соединён разъёмом с секундомером, на лицевой панели которого находятся следующие элементы управления: выключатель сети (клавиша «Сеть»), установка нуля измерителя (клавиша «Сброс»), окончание измерения (клавиша «Стоп»). Рис. 6.5 Порядок выполнения работы 1. Включить секундомер, нажав клавишу «Сеть». 2. Повернув верхний кронштейн, поместить математический маятник над фотодатчиком. 3. Вращая регулировочный винт 10 на верхнем кронштейне, установить такую длину математического маятника, чтобы шарик пересекал оптическую ось датчика. 4. Отклонив нить маятника на угол (4÷5)° от вертикали, привести его в движение. 5. Нажать клавишу «Сброс» на секундомере. 6. Измерить время десяти колебаний маятника. Для этого дождаться появления на циферблате секундомера цифры «9» и нажать клавишу «Стоп». Секундомер остановится, отсчитав время десяти колебаний. Записать измеренное время в табл. 6.1. 7. Повторить п. 6 шесть раз. 8. Измерить длину маятника l . Длина маятника l = ……м. Таблица 6.1 52 6 № опыта 1 2 3 4 5 6 tср = t i =1 6 i , с t, с 9. Для работы с физическим маятником повернуть верхний кронштейн вокруг колонки 3 (см. рис. 6.5) на 180°. 10. Установить оборотный маятник на верхнем кронштейне, разместив опорную призму, находящуюся вблизи конца стержня, на вкладыше кронштейна. Будем считать, что это соответствует прямому положению маятника. Нижний кронштейн 5 вместе с фотодатчиком 6 переместить так, чтобы нижний конец стержня пересекал оптическую ось датчика. 11. Подвижную «чечевицу» маятника установить в положение, соответствующее значению x = 10 мм (для определения координаты воспользоваться нанесёнными на стержень кольцевыми нарезками). 12. Измерить время десяти колебаний маятника. Для этого слегка отклонить его от вертикали и отпустить. Нажать клавишу «Сброс», дождаться появления на циферблате секундомера цифры «9» и нажать клавишу «Стоп». Секундомер остановится, отсчитав время десяти колебаний. Записать измеренное время в табл. 6.2. 13. Повторить п. 12 для остальных значений координаты x, соблюдая шаг 10 мм. 14. Снять маятник и, перевернув его, установить на второй призме (обратное положение). Повторить измерения пп. 11–13 для этого положения маятника. 15. Для каждого значения координаты x определить периоды колебаний маятника в прямом и обратном положениях по t t формулам Tпр = пр и Tобр = обр . Результаты занести в табл. 6.2. 10 10 Таблица 6.2 53 x, мм t пр , с tобр , с Tпр = tпр 10 ,с Tобр = tобр 10 ,с 10 … 16. Измерить расстояние l между опорными призмами 11 маятника (см. рис. 6.5). Обработка и анализ результатов измерений 1. По данным табл. 6.1 рассчитать среднее значение времени десяти колебаний математического маятника. 2. Рассчитать среднее значение периода колебаний tср математического маятника по формуле T = , где п = 10. n 3. По формуле (6.10) вычислить значение ускорения свободного падения для широты Санкт-Петербурга. 4. Рассчитать погрешность определения ускорения свободного падения как погрешность косвенного измерения. 5. По данным табл. 6.2 построить графики зависимостей Tпр (x ) и Tобр (x ) . 6. По полученным графикам определить ординату T = T0 точки пересечения кривых Tпр (x ) и Tобр (x ) . 7. По формуле (6.10) рассчитать значение ускорения свободного падения. 8. Сравнить полученные значения ускорения свободного падения как друг с другом, так и с табличным значением для широты Санкт-Петербурга (g0 = 9,82 м/с2). Сделать выводы из проведённого сравнения. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Дать определения математического и физического маятников. 2. Что называется приведённой длиной физического маятника? 54 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Вывести формулы периода собственных колебаний математического и физического маятников. 2. Доказать, что точка подвеса и центр качаний физического маятника (см. рис. 6.3) являются взаимными, или сопряженными, точками. 3. Как зависит величина ускорения свободного падения от широты местности? Библиогр.: [1]; [2, § 3, 4, 13, 50, 53, 54]; [5, § 1.2-1.4]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА Цель работы – изучить закономерности плоского движения твёрдого тела, вычислить момент инерции маятника Максвелла по измеренным кинематическим параметрам его движения и сравнить вычисленное значение с моментом инерции, полученным теоретическим расчётом. Проверить выполнение закона сохранения энергии. Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, блок секундомера со счётчиком импульсов. Краткие сведения из теории В простейшем случае маятник Максвелла представляет собой диск, плотно насаженный на цилиндрическую ось, которая своими концами прикреплена к неподвижному штативу с помощью двух параллельных вертикальных нитей одинаковой длины (рис. 7.1). 55 Если нити намотать на ось и отпустить маятник, то под действием силы тяжести и силы натяжения нитей он начнёт двигаться вниз, одновременно вращаясь вокруг своей оси. Дойдя до крайнего нижнего положения, маятник, продолжая вращаться по T T инерции, начнёт движение вверх. При этом нити снова намотаются на ось, но теперь уже в направлении, противоположном mg первоначальному. Таким образом, маятник будет совершать Рис. Рис.7.1 7.1 колебания в вертикальной плоскости. Подробное изучение движения маятника как колебательного процесса выходит за рамки этой лабораторной работы, здесь для измерений и расчётов рассматривается лишь первая фаза колебаний – от момента отпускания маятника в верхней точке до прохождения им крайнего нижнего положения. Вывод формулы для экспериментального определения момента инерции маятника. Движение маятника Максвелла является плоским, т.е. таким, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Это движение можно представить как суперпозицию двух основных видов движения: поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращательного вокруг геометрической оси, проходящей через центр инерции. Движение маятника можно описать двумя динамическими уравнениями: m a = F и I = M , где m , I , a , и – масса, момент инерции, ускорение поступательного движения оси и угловое ускорение вращательного движения маятника, соответственно; F и M – равнодействующая и суммарный момент всех внешних сил, действующих на маятник. Величины I , M и должны быть вычислены относительно оси вращения маятника, проходящей через его центр инерции (см. рис. 7.1). Отметим, что эти уравнения предполагают невесомость и нерастяжимость нитей, а также отсутствие сопротивления воздуха. Если первое из рассмотренных векторных уравнений спроецировать на направление движения, а второе – на ось вращения, 56 получим два скалярных уравнения: ma = mg − 2T , I = 2rT , где Т – сила натяжения каждой нити, участвующая в создании вращающего момента, а r – расстояние от оси вращения до точки приложения силы натяжения. Поскольку нити накручиваются на ось маятника без проскальзывания, то линейное и угловое ускорения связаны известным кинематическим соотношением: a = r . Совместное решение этих трёх уравнений позволяет найти момент инерции маятника: g I = mr 2 − 1 . a Движение оси маятника является равноускоренным движением без начальной скорости, следовательно, a = 2 S t 2 , где S – расстояние, которое проходит центр инерции маятника за время t . В результате расчётная формула для определения момента инерции маятника примет вид gt 2 I = mr 2 − 1 . 2S (7.1) Здесь под радиусом r следует понимать r = r1 + rнити , где r1 – внешний радиус цилиндрической оси маятника (см. рис. 7.1). Поскольку одной из целей лабораторной работы является проверка выполнения закона сохранения энергии, найдём выражение для кинетической энергии ( Wк ) маятника в m2 I2 + , где и 2 2 – мгновенные значения скорости соответственно поступательного и вращательного движений маятника. Учитывая, 2S что = и = , получаем r t зависимости от времени его движения: Wк = 2S 2 I Wк = 2 2 + m . t r 57 (7.2) Потенциальная энергия U маятника имеет обычный вид: U = mgh , где h – расстояние, отсчитываемое от крайнего нижнего положения маятника. Решив совместно уравнения (7.1) и (7.2), легко убедиться, что полная энергия W маятника, равная сумме его кинетической и потенциальной энергий, в любой момент равна его потенциальной (полной) энергии в верхней точке траектории ( h = h0 ) движения: W = Wк + U = mgh0 7. Вывод теоретической формулы для расчёта момента инерции маятника. Момент инерции любого тела складывается из моментов инерции его частей. В отличие от простейшего маятника Максвелла (см. рис. 7.1) устройство, использующееся в нашей лаборатории, представляет собой более сложную конструкцию: его диск состоит из двух цилиндрических колец, насаженных друг на друга. Внешнее кольцо (масса m1 , внешний радиус R1 , внутренний R2 ) выполнено съёмным, что позволяет при желании менять момент инерции маятника. Внутреннее кольцо (масса m2 , внешний радиус R2 , внутренний r1 ) плотно насажено на ось в виде цилиндра (в одних случаях – полого, с внешним радиусом r1 , внутренним r2 и массой m3 , в других – сплошного, с радиусом r1 и массой m4 ). Момент инерции как полого, так и сплошного цилиндра относительно оси симметрии не зависит от его высоты (длины). Таким образом, можно считать, что момент инерции маятника складывается из моментов инерции либо трёх цилиндрических колец (в случае оси в виде полого цилиндра), либо двух колец и диска (в случае оси в виде сплошного цилиндра) m R2 Момент инерции диска I д = д д , где mд , Rд − масса и 2 радиус диска соответственно. Вычислим теперь момент инерции кольца с внешним радиусом R1 , внутренним радиусом R2 и массой mк . Его можно найти как разность моментов инерции дисков радиусами R1 и R2 , имеющих общую ось вращения: 7 Докажите это самостоятельно. 58 M 1R12 M 2 R22 − , где M 1 и M 2 − массы большего и меньшего 2 2 дисков соответственно. Так как эти массы неизвестны, а известна только масса кольца mк , введём её поверхностную плотность m0 . mк m0 = – масса, приходящаяся на единицу поверхности R12 − R22 кольца. Тогда массы обоих дисков могут быть найдены по m R2 m R2 формулам M1 = m0 R12 = 2 к 1 2 и M 2 = m0 R22 = 2 к 2 2 . R1 − R2 R1 − R2 После подстановки этих выражений в формулу момента инерции кольца получим Iк = ( ) Iк = ( ) mк R12 + R22 . 2 Имея в виду параметры колец и оси маятника, приведённые выше, можно записать теоретическое выражение для момента инерции маятника Максвелла в виде суммы моментов инерции отдельных его частей с учётом двух типов его осей: I= ( + 2 m1 R12 R22 )+ ( m2 R22 2 + r12 ) ( ) m3 r12 + r22 2 + . 2 m4 r1 2 (7.3) Описание и принцип работы экспериментальной установки Общий вид установки приведён на рис. 7.2, где 1 – основание установки; 2 – несущая колонка, снабжённая миллиметровой шкалой; 3 – неподвижный кронштейн, закреплённый так, чтобы в момент пуска маятник проходил отметку "0" на шкале; 4, 9 – фотодатчики; 5 – электромагнит, удерживающий маятник в верхнем положении и отключающийся в момент пуска; 6 – затяжной винт и гайка для регулировки длины нити маятника; 7 – подвижный кронштейн с указателем 8, позволяющий устанавливать и измерять высоту падения маятника; 10 – маятник 59 Максвелла; 11 – секундомер, соединённый с фотодатчиками 4 и 9 электромагнита. На лицевой панели секундомера имеются клавиши: «Сеть» – включение прибора, «Сброс» – обнуление табло, «Пуск» – отключение электромагнита. Рис. 7.2 Порядок выполнения работы 1. Включить установку в сеть, на световом табло должны высветиться нули. 2. Ось маятника должна быть параллельна основанию, а внешний край его диска должен находиться примерно на 2-3 мм ниже светового пятна фотодатчика. Если эти условия не выполнены, следует откорректировать длину нитей маятника. Для этого отпустить винт 6 и, отрегулировав длину нитей, зафиксировать маятник в нужном положении. 3. Включить электромагнит, нажав клавишу «Пуск». 60 4. Аккуратно, равномерно (!) намотать нити на ось маятника так, чтобы она перемещалась параллельно основанию всё время до момента фиксации маятника электромагнитом. 5. Удалить предыдущие показания секундомера, нажав клавишу «Сброс». 6. Нажать клавишу «Пуск». После прекращения счёта времени остановить маятник. Записать время падения маятника в табл. 7.1. Таблица 7.1 № п/п 1 2 ... 10 ti , c t ,c 7. Произвести измерение времени десять раз. 8. Отключить установку от сети. 9. Измерить расстояние h0 между положениями оси маятника в верхней и нижней точках траектории его движения по шкале на колонке прибора. Оценить погрешность этого измерения. Результат занести в табл. 7.2. 10. Занести в табл. 7.2 все остальные параметры маятника, указанные на установке. Таблица 7.2 h0 , м rнити, мм m1, г m2, г m3, г m4, г r2, мм R1, мм R2, мм r1, мм Обработка и анализ результатов измерений 1. Вычислить среднее время падения маятника и его абсолютную погрешность. 2. Вычислить момент инерции маятника Максвелла по формуле (7.1). Абсолютную погрешность момента инерции маятника рассчитать как погрешность косвенных измерений. При этом, как всегда, когда расчётную формулу можно представить в виде 61 одночлена, удобно сначала вычислить относительную погрешность. Такой способ вычислений, помимо его математической простоты по сравнению с вычислением абсолютной погрешности, удобен ещё и тем, что позволяет оценить по отдельности вклад каждой из измеряемых величин в суммарную погрешность и пренебречь теми слагаемыми, вклад которых невелик, т.е. величина которых в три-четыре раза (в квадрате это даёт разницу на порядок) меньше остальных. В частности, для формулы (7.1) относительную погрешность можно сосчитать следующим образом (попытайтесь вывести это соотношение самостоятельно): 2 2 2 2 r1 I 2t h m + . + = + 8 2 2 I m r1 + rнити t (1 − 2h / gt ) h(1 − 2h / gt ) Зная относительную погрешность измерения, теперь легко найти и абсолютную. 3. Вычислить теоретическое значение момента инерции маятника по формуле (7.3), выбрав тот её вариант, который соответствует имеющейся форме оси маятника. 4. Записать окончательный результат вычислений момента инерции с погрешностью и теоретическое значение этой величины. Сопоставить их. 5. Вычислить кинетическую энергию маятника Максвелла в момент прохождения им нижней точки по формуле (7.2), подставив в неё S = h0 . Для проверки выполнения закона сохранения энергии сравнить полученный результат с величиной потенциальной энергии: mgh 0 . 6. Оценить, как изменится величина относительной погрешности, полученной в п. 2 для формулы (7.1), если не учитывать радиус нити и пренебречь единицей по сравнению с величиной безразмерного комплекса 2h / gt 2 . По результатам оценки сделать выводы о возможности сделанных упрощений. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 62 1. Дать определения момента инерции твёрдого тела и момента силы относительно заданной оси. Как определяется направление момента силы? 2. Записать основной закон динамики для твёрдого тела. Как направлено угловое ускорение при вращательном движении твёрдого тела? 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения момента инерции маятника Максвелла. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Провести аналогию между характеристиками вращательного и поступательного движения. 2. Доказать, что W = Wк + U = mgh0 , решив совместно уравнения (7.1) и (7.2). 3. Исходя из определения момента инерции: I = r 2 dm , вывести формулу для момента инерции диска радиуса R : I = 0,5 mR 2 . 4. Вывести формулу относительной погрешности для формулы (7.1). Библиогр.: [1]; [2, § 36, 37, 39, 42, 43, 54]; [3, § 33-37]; [5, § 4.1-4.3]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы – изучить законы динамики вращательного движения твёрдого тела; экспериментально определить моменты инерции твёрдых тел относительно различных осей вращения. Приборы и принадлежности: крутильный маятник FPM-05, твёрдые тела различной формы, секундомер. Краткие сведения из теории 63 При описании вращательного движения твёрдого тела вводится понятие момента инерции – физической величины, характеризующей распределение масс в теле относительно оси вращения и являющейся мерой инертности тела при вращательном движении. Моментом инерции тела относительно некоторой оси называется величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от данной оси: I = mi ri2 . i Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление его момента инерции сводится к вычислению интеграла: I = r 2 dm, где dm – масса элемента объёма тела, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Рассмотрим в качестве примера плоскую прямоугольную пластинку со сторонами a и b и m. массой Для вычисления момента инерции пластинки разделим её на бесконечно узкие полоски шириной dx и массой m m m dm = dS = bdx = = dх S ab a каждая (рис. 8.1). Момент инерции пластинки относительно оси z , лежащей в плоскости пластины и Рис. 8.1 проходящей через её центр масс, определится как I z = x 2 dm = a2 m 1 x 2 dx = ma 2 . a −a 2 12 В ряде случаев нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси z равен моменту 64 инерции I z С относительно оси zс , проходящей через центр масс тела и параллельной данной, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния a между осями: I z = I zС + ma 2 . Найдем теперь момент инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси z , проходящей через его центр масс (рис. 8.2). Для этого разобьём параллелепипед на бесконечно тонкие пластинки, параллельные плоскости zx , толщиной dy и массой m m dm = dV = dy каждая. Согласно теореме Штейнера момент V a инерции такой пластинки относительно оси z равен: 1 1 m m dI = b 2 dm + y 2 dm = b 2 dy + y 2 dy. 12 12 a a Рис. 8.2 Для I z = dI = параллелепипеда, 1 mb 12 a 2 a2 −a 2 dy + интегрируя, получаем a2 m 1 1 y 2 dy = mb 2 + ma 2 . a −a 2 12 12 Таким образом, Iz = ( ) 1 m a 2 + b2 . 12 65 (8.1) Аналогично можно показать, что моменты инерции параллелепипеда относительно осей x и y определяются формулами ( ) 1 m a2 + c2 , 12 1 I y = m (b2 + c2 ) . 12 Ix = (8.2) (8.3) Момент инерции тела относительно произвольно ориентированной оси ν, проходящей через центр масс тела, определяется соотношением I = I x cos 2 + I y cos 2 + I z cos 2 , (8.4) где cos , cos , cos – направляющие косинусы (рис. 8.3). Рис. 8.3 Для момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси АВ (диагональ параллелепипеда) cos = b a2 + b2 + c2 , cos = 66 a a2 + b2 + c2 , cos = (8.5) c a2 + b2 + c2 . Тогда, подставив (8.1) – (8.3) в (8.4), с учётом (8.5) получим I AB = m a 2b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 . 6 a2 + b2 + c2 (8.6) Описание и принцип работы экспериментальной установки. Вывод расчётной формулы Для определения момента инерции тел используется крутильный маятник (рис. 8.4), основным элементом которого является рамка 1, подвешенная с помощью двух вертикально закреплённых проволок 3. Для регистрации её колебаний рамка снабжена флажком 2. Крутильные колебания представляют собой один из видов колебаний упругих систем, при котором отдельные элементы системы (в данном случае – проволока) испытывают деформацию кручения. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела с моментом инерции I относительно фиксированной оси под действием момента M упругих сил можно записать в виде I z = M z , где Рис. 15.1 M z = −k , – угол поворота маятника, k – модуль кручения проволоки (другое название этой величины – коэффициент крутильной жёсткости). d 2 , получаем Учитывая, что z = 2 dt d 2 = −k уравнение или I 2 I dt + k = 0 . Это уравнение гармонических I Рис. 8.4 67 I . Следовательно, определив k экспериментально период колебаний T , можно найти и момент инерции: k (8.7) I = 2 T2. 4 колебаний с периодом T = 2 Момент инерции рамки крутильного маятника определяется по аналогичной формуле: k (8.8) I 0 = 2 T02 , 4 где T0 – период колебаний рамки. Так же в работе определяются моменты инерции I i твёрдого тела, закреплённого в рамке крутильного маятника, относительно различных осей. Суммарный момент инерции рамки и закреплённого в ней тела равен: I = I i + I 0 Соответственно период крутильных колебаний I + I0 I . = 2 i k k Тогда, измерив период Ti , можно рассчитать момент инерции тела относительно i-й оси: системы относительно i-ой оси равен: Ti = 2 Ii = ( ) k 2 k T − I 0 = 2 Ti 2 − T02 . 2 i 4 4 (8.9) Согласно теории упругих деформаций для проволоки круглого сечения радиусом R и длиной L модуль кручения равен k = R 4G / 2L , где G – модуль сдвига материала проволоки. Для крутильного маятника с двумя проволоками, используемого в работе, k = k1 + k2 = G R 4 2 1 1 + , l1 l2 где l1 и l2 – длины первой и второй проволок, (8.10) R – их радиус (значения указаны на установке), G = 81010 Н/м2 – модуль сдвига для стали. Порядок выполнения работы 68 1. Нажав кнопку «Сеть», включить установку. На лицевой панели секундомера должны загореться цифровые индикаторы. Флажок рамки (позиция 2 на рис. 8.4) должен пересекать оптическую ось фотодатчика. 2. Измерить время n = 10 колебаний рамки. Для этого отклонить рамку рукой на угол (4÷5)° и отпустить. Нажать кнопку «Сброс». Дождаться появления на циферблате секундомера цифры «9» и нажать клавишу «Стоп». Секундомер остановится, отсчитав время t 0 десяти колебаний. Записать измеренное время в табл. 8.1. 3. Повторить п. 2 пять раз. R = ….. м; l1 = …… м; l2 = ….. м. Таблица 8.1 № t0, c n T0, c I0, кг∙м2 1 … 4. Отключить прибор. 5. Установить в рамку маятника образец (параллелепипед). Для этого отпустить гайки цанговых зажимов на подвижной рамке, приподнять планку и осторожно вставить образец так, чтобы острия рамки входили в углубления на образце по нужной оси (x, y, z или АB (рис.8.3)). 6. Выполнить пп. 2-3 для всех указанных осей (x, y, z, АB (см. рис.8.3)). Результаты заносить в таблицы типа табл. 8.2, каждый раз меняя только наименование исследуемой оси (x, y, АB). Таблица 8.2 Ось z № ti , c n Ti , c I i , кг∙м2 1 … Обработка и анализ экспериментальных данных 1. По формуле (8.10) вычислить модуль кручения k. 69 2. По данным табл. 8.1 для каждого измерения вычислить t период колебаний T0 = 0 и момент инерции рамки I 0 по формуле n (8.8). t 3. По данным табл. 8.2 вычислить периоды колебаний Ti = i n относительно различных осей. 4. Вычислить по формуле (8.9) моменты инерции Ii образца относительно осей x, y, z и AB. Для каждой из осей усреднить полученные значения Ii, оценить погрешность по разбросу значений и записать окончательный результат. 5. Провести оценочные расчёты моментов инерции Ii выбранного образца (параллелепипеда) без учёта скоса вершин относительно осей x, y, z и AB по формулам (8.1) – (8.4). При расчётах использовать следующие данные: a = b= 0,05 м, с = 0,1 м т = 1,94 кг. 6. Сравнить результаты п. 5 с опытными данными (результатами п. 4). Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Записать: уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси; теорему Штейнера. 2. Дать определение момента инерции твёрдого тела. 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения момента инерции твёрдых тел с помощью крутильного маятника. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Вывести формулу момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси x (см. рис. 8.3). + k = 0 приводит к 2. Доказать, что решение уравнения I выражению для периода колебаний: T = 2 I . k Библиогр.: [1]; [2, § 38, 39, 43]; [3, § 33-36, 46, 79]; [5, § 4.1-4.3, 27.2]. 70 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ КРУЧЕНИЯ НИТИ И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ, СОВЕРШАЮЩЕЙ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Цель работы – изучить законы динамики вращательного движения твёрдого тела и законы сохранения момента импульса и энергии; определить момент инерции крутильного маятника и модуль кручения нити по результатам исследования неупругого соударения математического и крутильного маятников. Приборы и принадлежности: крутильный маятник, математический маятник, секундомер. Краткие сведения из теории Крутильным маятником называется твёрдое тело, подвешенное на упругой нити, которое может совершать колебания вращательного характера под воздействием момента упругих сил, возникающих в нити. При повороте тела на угол нить, на которой подвешен маятник, закрутится, и возникнет крутящий момент Mк упругих сил, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия: M к = −k , (9.1) здесь k – модуль кручения нити, численно равный величине крутящего момента относительно оси вращения, приходящегося на единичный угол закручивания (в литературе можно встретить и другое название этой величины – «крутильная жёсткость нити»). Опыт показывает, что уравнение (9.1) выполняется для достаточно большого диапазона изменения угла закручивания, до тех пор, пока деформация сдвига остаётся упругой. Знак «–» указывает на то, что направление крутящегося момента противоположно направлению угла закручивания. Уравнение динамики вращательного движения маятника относительно неподвижной оси ОО1 с учётом (9.1) можно записать как 71 I d 2 = −k , I dt 2 (9.2) где I – момент инерции маятника относительно оси вращения; d 2 – угловое ускорение вращательного движения dt 2 относительно оси вращения. Если обозначить k I = 02 , (9.3) то уравнение движения крутильного маятника (9.2) можно + 02 = 0 . Это – дифференциальное уравнение переписать так: колебаний, решение которого можно представить в виде = 0 cos(0t + ) , где 0 – амплитудное значение угла закручивания; – начальная фаза колебаний, 0 – циклическая частота собственных колебаний маятника. Циклическая частота связана с периодом свободных колебаний маятника T0 , как обычно, формулой 0 = 2 / T0 , что с учётом (9.3) даёт для модуля кручения нити выражение 4 2 I k= . (9.4) T0 2 Принимая во внимание, что угловая скорость вращательного d , получаем = −0 0 sin( 0t + ) , откуда движения = dt видно, что максимальное значение угловой скорости вращения маятника равно: max = −0 0 = 2 0 / T0 . (9.5) В работе используется крутильный маятник с большим моментом инерции I , а значит, и с большим периодом собственных колебаний T0. Это приводит к тому, что при кратковременном воздействии внешней силы (tдейств<< T0) маятник не успевает заметно сместиться из положения равновесия, однако будет обладать ускорением. По окончании действия силы маятник 72 приобретёт скорость, пропорциональную импульсу силы. Такой режим колебаний (как и сам маятник) называется баллистическим. В качестве тела, осуществляющего кратковременное воздействие на исследуемый крутильный маятник, можно использовать массивный шарик (масса шарика m, радиус rш), подвешенный на лёгком стержне длиной l. При условии l >> rш, m >> mстержня эту систему можно считать математическим маятником. Математический маятник совершает колебания в вертикальной плоскости под действием возвращающей силы F = mg sin (рис. 9.1). Если маятник отклонить от положения равновесия на угол 0 (или поднять на высоту h0), то скорость Рис. 9.1 шарика в нижней точке траектории можно рассчитать по закону сохранения энер2 2 гии: mgh0 = m0 / 2 . С учётом h0 = l (1 − cos 0 ) = 2l sin 0 / 2 (см. рис. 9.1) получаем 0 (9.6) . 2 Исследуемый крутильный маятник представляет собой два металлических стержня, соединённых между собой под углом 90°. (рис. 9.2). На концах горизонтального стержня укреплены два диска, расположенные в вертикальной плоскости. Выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск Д2, в результате чего крутильный маятник начинает совершать колебания. Скорость шарика к после соударения с диском может быть 0 = 2 gh0 = 2 gl sin найдена по максимальному углу его отклонения к после удара: к = 2 gl sin 73 к . 2 (9.7) Рис. 9.2 Применим закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси ОО1 для системы «крутильный–математический маятники». До удара момент импульса системы равен моменту импульса математического маятника относительно оси вращения ОО1 L0 = m0 r , где r – расстояние от оси крутильного маятника до точки удара шарика о диск; 0 – скорость шарика перед ударом. После соударения момент импульса шарика относительно оси L = − m к r . Момент импульса крутильного маятника относительно оси сразу после соударения с учётом (9.5) равен: 20 . Lкр = Imax = I T0 Таким образом, закон сохранения момента импульса системы запишется как 74 m0r = −mк r + I 20 . T0 Найдем из этого равенства момент инерции крутильного маятника: mr (0 + к )T0 I= . 20 Подставив в это выражение (9.6) и (9.7), получим I= gl mr (sin 0 + sin к )T0 2 2 . 0 (9.8) Это соотношение, где угол 0 должен быть выражен, как всегда, в радианах, является расчётным для момента инерции крутильного маятника. Масса шарика m, длина подвеса l и расстояние r от оси крутильного маятника до точки соприкосновения с шариком при ударе указаны на установке. Описание и принцип работы экспериментальной установки На горизонтальном стержне, кроме дисков Д, имеются цилиндры С, положение которых можно менять, передвигая их вдоль стержня (см. рис. 9.2). Изменение положений цилиндров С относительно оси вращения крутильного маятника приводит к изменению момента инерции всей системы. К центру горизонтального стержня прикреплён указатель К1, при помощи которого можно измерять углы поворота крутильного маятника. Указатель К1 перемещается по шкале Ш1, проградуированной в градусах. Крутильный маятник, как уже было отмечено выше, состоит из двух взаимно перпендикулярных стержней. Вертикальный стержень подвешен на упругой нити, модуль кручения которой требуется определить экспериментально. Что касается теоретического значения модуля кручения, то, согласно теории упругих деформаций, для проволоки круглого сечения радиуса R и длины L модуль кручения равен: k = R 4G / 2 L , 75 (9.9) где G – модуль сдвига материала проволоки. Математический маятник представляет собой шарик известной массы m, подвешенный на лёгком стержне длиной l. С шариком скреплён указатель К2, перемещающийся по вертикальной шкале Ш2, по которой определяются углы отклонения шарика от положения равновесия: 0 и к . Крутильный и математический маятники расположены так, что выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск крутильного маятника в то момент, когда скорость шарика направлена строго горизонтально. Порядок выполнения работы 1. Убедиться, что указатели углов К1 и К2 находятся на нулевых делениях своих шкал. 2. Цилиндры С разместить вплотную к дискам Д1 и Д2 и закрепить их. 3. Отклонить математический маятник на угол 0 = (5÷10)° и отпустить его. Сразу же после удара о диск Д2 отвести горизонтальный стержень крутильного маятника в сторону для того, чтобы диск не мешал шарику совершать свободные колебания. По шкале Ш2 измерить амплитудное значение угла к . Опыт повторить пять раз с одним и тем же значением 0 . 4. Отклонить шарик математического маятника на тот же угол 0 . Сразу же после удара о диск Д2 поймать шарик и удерживать его в таком положении, чтобы теперь он уже не мешал диску совершать свободные колебания. По шкале Ш1 измерить максимальные углы отклонения крутильного маятника вправо и влево от положения равновесия ( пр и л ). Опыт повторить пять раз. Результаты измерений занести в табл. 9.1. 0 = ……. № п/п к пр л 0 = (пр + л ) / 2 град. Таблица 9.1 t T0 с 1 … 76 Ii кг м 2 Iср=……… 5. Лёгким толчком по диску Д2 привести крутильный маятник в движение. Измерить с помощью секундомера время десяти полных качаний маятника и вычислить период собственных колебаний T0 = ti 10 . 6. Цилиндры С переместить вплотную к вертикальному стержню крутильного маятника. Повторить пп. 2–5. Данные занести в таблицу, аналогичную табл. 9.1. Обработка и анализ результатов измерений Для обоих положений грузов на стержне маятника (см. пп. 2 и 6) расчеты проводятся по следующей схеме: 1. Для каждого из пяти значений к и 0 по формуле (9.8) рассчитать значение момента инерции I i . Найти среднее значение момента инерции. 2. По среднему значению момента инерции I ср , пользуясь формулой (9.4), определить модуль кручения нити k . 3. Подсчитать погрешность полученных значений моментов инерции как погрешность прямых изменений. Погрешность измерения модуля кручения подсчитать по правилам оценки погрешности косвенных измерений. 4. Сравнить значения модулей кручения, полученные для двух положений подвижных грузов. Проанализировать полученный результат. 5. Используя значения модулей кручения, полученные для двух положений подвижных грузов, рассчитать по формуле (9.9) величины модуля сдвига материала проволоки и сравнить их с табличным значением модуля сдвига для стали: G = 81010 Н/м2 (длина проволоки и её радиус приведены на установке). Обсудить полученный результат. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Дать определение момента инерции и момента импульса материальной точки и твёрдого тела. 77 2. Записать уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси, теорему Штейнера и закон сохранения момента импульса. 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения момента инерции крутильного маятника и модуля кручения нити. От каких величин зависит модуль кручения? Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Записать законы сохранения для абсолютно упругого соударения в системе «математический–крутильный маятники». + 02 = 0 является 2. Доказать, что решением уравнения выражение = 0 cos(0t + ) . 3. Могут ли синусы углов, входящие в формулу (9.8), быть заменены самими углами? Как это сказалось бы на точности расчёта момента инерции крутильного маятника. Библиогр.: [1]; [2, § 36, 38, 39, 43, 54]; [3, § 33-36, 46, 79]; [5, § 4.1-4.3, 27.1, 27.2]. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ № 10–12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПРИ ПОСТОЯННЫХ ДАВЛЕНИИ И ОБЪЁМЕ C p CV РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ ( ) Краткие сведения из теории Законом сохранения энергии для систем, в которых существенное значение имеют тепловые процессы, является первое начало термодинамики: теплота, сообщённая системе, расходуется на изменение её внутренней энергии U и на совершение этой системой работы A против внешних сил: 78 Q = U + A . Более важной является дифференциальная форма этого закона: Q = dU + A , (I) где dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, A – элементарная работа, Q – бесконечно малое количество теплоты. Различие дифференциалов ( d – полный дифференциал, – неполный дифференциал) обусловлено различием смысла функций: внутренняя энергия является функцией состояния ( dU = 0 ), а теплота и работа – функциями процесса ( Q 0; A 0 ). Теплоёмкостью называется величина, равная отношению количества теплоты δQ, сообщаемого телу при бесконечно малом изменении его состояния в каком-либо процессе, к соответствующему изменению dТ температуры этого тела: Cтела = Q dT . Если эта величина рассчитывается на единицу массы, теплоёмкость называется удельной (обозначается «c» и измеряется в Дж/кг·К). Если же расчёт ведётся на 1 моль вещества, теплоёмкость называется молярной (обозначается « C » и измеряется в Дж/моль·К). Из определения теплоёмкости видно, что она, так же как и Q , является функцией процесса и, следовательно, понятие теплоёмкости не имеет смысла, пока не задан путь, на котором система получает бесконечно малое количество теплоты. Таких путей, а значит, и теплоёмкостей существует бесчисленное множество. Наиболее часто применяемые из них (но не единственно возможные) – теплоёмкости при постоянном объёме CV и постоянном давлении C p . Однако, как только тот или иной путь подвода тепла фиксирован, теплоёмкость превращается из функции процесса в функцию состояния, что позволяет вычислять Q 8 её с помощью частных производных: C x = , где «x» – T x 8 Читается: dQ по dT при постоянном x. 79 параметр, постоянство которого определяет путь подвода тепла, в частности, им может быть объём V или давление p. Внутренняя энергия одного моля идеального газа может быть i представлена в виде U = RT , где i – число степеней свободы 2 молекул этого газа; R = 8,31 Дж/моль·К – универсальная газовая постоянная. Если учесть, что в изохорическом процессе (V=const) газ работы не совершает ( A = pdV = 0 ), то, исходя из уравнения Q U (I), получим CV = = . Но так как внутренняя энергия T V T V идеального газа зависит только от температуры, то последнюю частную производную можно заменить на обычную, и тогда молярная теплоёмкость при постоянном объёме определится как dU i (II) = R. dT 2 Для того чтобы отыскать молярную теплоёмкость идеального газа для изобарического процесса (p=const), нужно использовать кроме первого начала термодинамики, уравнение состояния, которое в этом случае, как известно, имеет вид CV = m (III) RT , M где m и M – масса и молярная масса газа соответственно. Тогда для одного моля pV = R dU Q U V Cp = + p = + p = T p T p T p dT p или C p = CV + R . (IV) Это уравнение впервые было получено Ю. Майером, немецким врачом и естествоиспытателем, и носит его имя. Майеру также принадлежит заслуга открытия первого начала термодинамики. Обратим внимание на то, что соотношение (IV) справедливо в таком виде только для молярных теплоёмкостей. С 80 учётом (II) формулу (IV) можно также представить через число степеней свободы молекулы газа: i+2 (V) R. 2 Одним из важнейших соотношений между теплоёмкостями C p и CV (не обязательно молярными) является их отношение, Cp = называемое коэффициентом Пуассона (γ): = Cp CV = i+2 . i (VI) Как видно, в случае идеального газа зависит только от числа степеней свободы молекулы, которое можно определить как число её возможных независимых движений. Поскольку материальная точка может совершать только поступательное движение вдоль трёх пространственных осей, присущее ей, а значит, и одноатомной молекуле число степеней свободы равно трём ( i = 3, = 5/3). Для двухатомной молекулы добавляются ещё вращения вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через её центр инерции, но не совпадающих с линией, соединяющей центры атомов ( i = 5, = 1,4). Наконец, при трёх и более атомах в молекуле все ограничения на возможные движения снимаются ( i = 6, = 4/3). Подчеркнём тот факт, что всё сказанное справедливо только для жёстких, движущихся как целое, молекул, т.е. молекул, атомы которых не совершают колебаний. Рассмотрим изменение состояния идеального газа при его адиабатическом расширении. Адиабатическим процессом называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой ( Q = 0). При этом первое начало термодинамики примет вид m i pdV = − RdT . M 2 Газ при адиабатическом расширении и сжатии совершает работу только за счёт своей внутренней энергии. Следовательно, при расширении он охлаждается, а при сжатии нагревается. Соотношение между давлением и объёмом идеального газа при 81 адиабатическом процессе представляет уравнение Пуассона, или уравнение адиабаты: pV = const . (VII) Так как > 1, то кривая p = f (V ) для адиабаты pV = const круче, чем для изотермы pV = const (рис. I). Более крутое падение р давления с увеличением объёма при адиабатическом процессе Адиабата объясняется тем, что в этом случае при расширении газа его давление уменьшается не только за счёт увеличения объёма, но и Изотерма вследствие происходящего при этом понижения температуры. Чем меньше коэффициент Пуассона , V тем ближе адиабата к изотерме. Рис. I Рассмотренные выше изотермический и адиабатический процессы трудноосуществимы. В частности, для обеспечения адиабатичности процесса необходима либо хорошая теплоизоляция системы, либо настолько быстрое его протекание, чтобы теплообмен между системой и окружающей средой просто не успевал произойти. Оба эти процесса можно рассматривать как частные случаи более общего процесса, называемого политропическим, при котором постоянной остаётся теплоёмкость. Уравнение политропы имеет вид pV n = const. Показатель политропы n в этом уравнении равен: C − Cp n= . C − CV В адиабатическом процессе C = 0 ( Q = 0), показатель n = C p CV = . Для изотермического процесса C = ( dT = 0 ), n = 1. В лаборатории имеются три установки для нахождения показателя адиабаты: методом звуковых стоячих волн (1) и методом Клемана и Дезорма (2). 82 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ C p CV ) ЗВУКОВЫХ СТОЯЧИХ ВОЛН МЕТОДОМ 9 Цель работы – изучить тепловые процессы в идеальном газе, определить показатель адиабаты воздуха методом звуковых стоячих волн. Приборы и принадлежности: установка для определения длины звуковой волны, генератор электромагнитных колебаний звуковых частот. Описание и принцип работы экспериментальной установки. Вывод расчётной формулы Одним из наиболее эффективных и точных методов определения коэффициента Пуассона является метод звуковых стоячих волн. В газообразных и жидких средах, не обладающих по своей природе упругостью на сдвиг, могут распространяться только продольные волны, представляющие собой чередующиеся сгущения и разрежения частиц среды. Теория показывает, что скорость распространения звука (продольных колебаний) в газе, плотность которого ρ, определяется по закону dp = . (10.1) d Ньютон считал, что распространение звука есть процесс изотермический, для которого формула (10.1) при учёте уравнения Клапейрона–Менделеева (III) переходит в формулу p = = T RT . M (10.2) Перед тем, как приступать к изучению этой работы, следует изучить «Краткие сведения из теории» на с. 76–80. 9 83 Практика показала, что формула Ньютона даёт существенно заниженные значения скорости звука (для воздуха, например, это 280 м/с вместо 330 м/с). Уточнение было предложено Лапласом, который предположил, что высокая частота звуковых волн (20÷20000) Гц10 и низкая теплопроводность газа приводят к тому, что скачки температуры, возникающие в газе из-за чередующихся изменений его плотности, не успевают выравниваться, так что процесс распространения звука происходит не изотермически, а адиабатически, т.е. без теплообмена с внешней средой (δQ=0, Q=0). Решая совместно уравнения (I) и (III) для адиабатического процесса, при учёте (VI) получим уже известное уравнение адиабаты – уравнение Пуассона (VII), которое для наших целей лучше представить в эквивалентной форме: p / = const . (10.3) Дифференцируя предварительно прологарифмированное dp соотношение (10.3), получим для в этом случае выражение d p RT = , M ад (10.3а) и формула скорости звука в газе в варианте Лапласа будет иметь вид p RT . = = M ад (10.4) Теперь коэффициент Пуассона для конкретного газа легко найти из формулы M 2 (10.5) , RT если знать его температуру и скорость звука в нём. Стоячие волны возникают в результате интерференции двух одинаковых бегущих волн, распространяющихся навстречу друг = Наименование единицы измерения частоты – герц – появилось много позднее – в 1933 г. 10 84 другу. Такие волны чаще всего образуются при наложении волн, падающих на какое-нибудь препятствие, и волн, отражённых от него. Уравнение плоской стоячей волны имеет вид 2 x y = 2 A cos sin t , где у – смещение точки, совершающей колебания, от положений равновесия; х – координата этой точки на оси, вдоль которой распространяются прямая и обратная волны. За начало отсчёта значений х принимается любая точка оси, в которой фазы колебания прямой и обратной волн одинаковы; время t отмечается от момента, при котором смещение точек от положения равновесия у = 0, ω – циклическая частота, – длина волны, А – амплитуда прямой и обратной волн. Амплитуда колебаний в случае стоячей волны оказывается функцией значения х и по абсолютной величине равна: 2 x . (10.6) Точки, в которых амплитуда максимальна, называются пучностями стоячей волны; точки, в которых амплитуда равна нулю, – узлами стоячей волны. Из выражения (10.6) видно, что значения координат х узлов стоячей волны находятся из условия 2 xmin = (2k + 1) , где k = 0, 1, 2, 3 .... Отсюда xmin = (2k + 1) и 2 4 расстояние между соседними узлами равно половине длины волны (λ/2). Значения координат пучностей стоячей волны находятся из 2 xmax условия = k , откуда xmax = k . Естественно, что 2 расстояние между соседними пучностями такое же, как и между соседними узлами: 2 . Если вдоль столба воздуха, в котором установилась стоячая волна, перемещать зонд, регистрирующий интенсивность (громкость) звука, относительно узлов и пучностей, то в случае, когда он оказывается в узле, интенсивность звука минимальна, а когда в пучности – максимальна. В работе это используется следующим образом. В трубу снизу нагнетается вода, и, таким образом, обеспечивается переменная высота столба воздуха между y A = 2 A cos 85 плоскостью, содержащей источник и приёмник звука, и верхним уровнем столба воды. Звуковая волна, идущая от источника, и звуковая волна, отраженная от поверхности воды, интерферируя, образуют стоячую волну. При этом граничные условия таковы, что на границе раздела «вода–воздух», независимо от высоты столба воздуха, всегда имеет место узел стоячей волны. Амплитуда колебаний в различных точках стоячей волны различна и достигает, как уже говорилось, максимального значения в пучностях и минимального в узлах. Нагнетая в трубу большее или меньшее количество воды и меняя тем самым высоту столба воздуха, можно зарегистрировать разность l высот столбов воздуха, соответствующих двум соседним максимумам или минимумам интенсивности звука. Эта разность равна половине длины волны. Искомая длина волны = 2l . (10.7) Зная частоту звука ν, задаваемую генератором, измерив указанным способом длину волны , определяют скорость звука : = . (10.8) –3 После этого, приняв величину М = 29·10 кг/моль в качестве молярной массы воздуха и измерив его температуру, значение можно будет рассчитать по формуле (10.5). Для определения длины волны пользуются установкой, изображенной на рис. 10.1. Источником звука является мембрана, подключённая к звуковому генератору (ЗГ), приёмником (зондом) – устройство, работающее по принципу фонендоскопа (рис. 10.2). Длинная стеклянная труба – 2, на которую нанесены деления, соединена с сосудом 1 резиновым шлангом. На верхнем конце трубы находится металлическая крышка, играющая роль мембраны, в которую вставлена резиновая трубка 3, соединённая с наушниками («фонендоскоп»). Менять уровень воды в трубе можно при помощи груши 4. 86 Рис. 10.1 Рис. 10.2 Порядок выполнения работы 1. Включить генератор и установить на нём частоту 1500 Гц. 2. Измерить температуру по термометру, укреплённому на штативе установки. 3. Надеть наушники. При помощи рукоятки «Рег. вых. напр.» добиться негромкого звучания. 4. Медленно нагнетая воду в трубу 1 с помощью резиновой груши 4, следить за громкостью звука в наушниках. Измерить hi , высоты уровня столба воды соответствующие 87 последовательным максимумам воспринимаемой громкости. По длине трубы снять пять точек максимальной громкости. (При измерениях не следует выходить за пределы интервала 70–10 см). Полученные отсчёты hi по шкале трубы при движении уровня воды снизу вверх занести в табл. 10.1. Затем, дождавшись, когда уровень воды опустится до исходного деления шкалы, повторить опыт шесть раз. 5. Найти среднее значение hi ср по каждой строке табл.10.1. 6. Вычислить значение l – расстояние между соседними пучностями l = h(i +1)ср − hiср , результаты вычислений занести в табл. 10.1. 7. Для каждого значения l найти длину волны , по формуле (10.7) и скорость распространения звука в воздухе по формуле (10.8). Полученные значения занести в табл. 10.1. 8. Повторить измерение температуры по термометру, укрепленному на штативе установки. В случае отличия результата от полученного в п. 2 принять для расчётов среднее из двух измерений температуры. 9. Вычислить по формуле (10.5) значение показателя адиабаты для каждого значения скорости звука. 10. Найти среднее значение показателя адиабаты ср . Оценить погрешность полученного результата по методу прямых измерений. Таблица 10.1 № п/п hi 1 h1 2 h2 hi , см 1 2 3 4 5 6 hiср , l = h(i +1)ср − h(i )ср , , см см м , м/с — — — — … Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 88 1. Дать определение теплоёмкости тела и объяснить, почему теплоёмкость при постоянном давлении Сp всегда больше теплоёмкости при постоянном объёме СV. 2. Дать определение молярной теплоёмкости газа и объяснить, как определяется число степеней свободы молекулы. Записать первое начало термодинамики для различных изопроцессов. 3. Сформулировать коротко суть метода звуковых стоячих волн применительно к определению коэффициента Пуассона – = C p CV . Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Дать определение политропического процесса. Чему равен показатель политропы в изотермическом, адиабатическом, изохорическом и изотермическом процессах? p RT 2. Вывести соотношение = (10.3а). M ад 3. Вывести соотношение y A = 2 A cos 2 x (10.6). Библиогр.: [1]; [2, § 53, 81-88]; [4, § 13-15, 16, 18-22]; [5, § 9.3-9.6]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11 ( ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ C p CV МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА 11 Цель работы – изучить тепловые процессы в идеальном газе, ознакомиться с методом Клемана и Дезорма и экспериментально определить отношение молярных теплоёмкостей воздуха при постоянных давлении и объёме. Приборы и принадлежности: стеклянный баллон, U-образный жидкостный манометр, ручной нагнетательный насос. Описание экспериментальной установки Перед тем, как приступать к изучению этой работы, следует изучить «Краткие сведения из теории» на с. 76–80. 11 89 и вывод расчётной формулы Для определения величины = C p CV в работе применяется метод Клемана и Дезорма. Измерительная установка (рис. 11.1) состоит из баллона 1 с воздухом, открытого жидкостного (водяного) манометра 2, ручного нагнетательного насоса 3. Баллон закрыт пробкой 4, сквозь которую проходит трубка 5 с двумя отводами. Один отвод соединяет баллон с манометром, другой – через кран 6 с насосом. Трубка 5 закрыта пробкой 7. Рис. 11.1 Первоначально сосуд 1 соединяется с атмосферой и в нём устанавливается атмосферное давление p0 . Давление, как известно, можно измерять в различных единицах: паскалях (Па), миллиметрах ртутного столба (Торр),12 миллиметрах водяного столба и многих других. Поскольку изменение давления в сосуде измеряется водяным манометром, то и атмосферное давление p0 удобно измерять также в миллиметрах водяного столба. Тогда 12 Миллиметр ртутного столба называется «Торр» в честь Торричелли. 90 давление в сосуде pi можно будет представить в простом виде: pi = p0 + hi , где hi – показания водяного манометра. Метод Клемана и Дезорма заключается в следующем. В сосуд, закрытый пробкой 7, ручным насосом 3 нагнетается некоторое количество воздуха. Вследствие этого давление в сосуде повысится, и после того, как воздух в сосуде вновь примет температуру окружающей среды (комнатную) T1 и давление стабилизируется, его избыток над атмосферным давлением ( h1 ) измеряется с помощью манометра 2. В результате давление в сосуде установится на уровне p1 = p0 + h1 . Далее, на короткое время открываем сосуд путём извлечения пробки 7. Практически сразу давление в сосуде станет равным атмосферному p0 , так как отверстие, соединяющее баллон с атмосферой, имеет большой размер. Процесс происходит быстро, воздух и стенки сосуда имеют малую теплопроводность, поэтому процесс расширения можно считать адиабатическим. Температура газа T2 оказывается несколько ниже комнатной T1 , так как работа расширения при адиабатическом процессе совершается за счёт внутренней энергии газа. Адиабатический переход газа из первого состояния во второе происходит с изменением массы газа в сосуде, тогда как уравнение адиабаты (VII) справедливо лишь для постоянной массы системы. Этой трудности, однако, можно избежать, если относить уравнение (VII) не ко всей массе газа в сосуде, а только к той неизменной её части, которая была в сосуде до и оставалась в нём после выпуска части газа в атмосферу. Поскольку температура и давление газа в состоянии термодинамического равновесия одинаковы по всему объёму сосуда, то это уравнение можно применить и для рассматриваемого адиабатического процесса. С учётом уравнения Клапейрона–Менделеева (III) уравнение (VII) можно представить в других, более удобных, переменных: p1 p0 −1 T = 1 . T0 (11.1) После того, как пробка 7 закрывается, происходит медленное изохорическое нагревание газа со скоростью, определяемой, 91 главным образом, теплопроводностью стенок баллона. Через некоторое время температура газа вновь становится равной комнатной T1 , а давление, которое росло с ростом температуры, стабилизируется на новом уровне: p2 = p0 + h2 . Избыток этого давления над атмосферным ( h2 ) измеряется манометром. Процесс выравнивания температуры при закрытой пробке подчиняется закону Гей-Люссака: (11.2) p0 p2 = T2 T1 . Решив совместно два последних уравнения, найдём ( p1 p0 ) −1 = ( p2 p0 ) . Заменив p1 и p2 их выражениями p1 = p0 + h1 и p2 = p0 + h2 , получим (1 + h1 p0 ) −1 = (1 + h2 p0 ) . (11.3) Учитывая малость величин h1 p0 и h2 p0 по сравнению с единицей, обе части уравнения (11.3) можно разложить в ряд по формуле бинома Ньютона и ограничиться членами первого порядка малости: 1 + ( − 1) h1 p0 1 + h2 p0 . (11.4) В результате получим расчётную формулу для проведённого эксперимента: = C p CV = h1 (h1 − h2 ) . (11.5) Следует подчеркнуть, что и h1, и h2 должны измеряться в состоянии термодинамического равновесия, т.е. после прекращения теплообмена, свидетельством чего каждый раз выступает стабилизация давления. Порядок выполнения работы 1. Открыть кран 6 (при этом пробка 7 вставлена) и с помощью ручного насоса нагнетать в баллон воздух до тех пор, пока разность уровней в коленах манометра не станет равной 10…15 см. Пробку, вставленную в горловину баллона, не вынимать. 92 2. Закрыть кран 6 и выждать, пока температура внутри баллона станет равной температуре окружающей среды, т.е. пока разность уровней жидкости в манометре перестанет изменяться. 3. Отсчитать разность уровней манометра h1 (отсчёт производят по нижним краям менисков). 4. С помощью пробки 7 быстро открыть и закрыть баллон. 5. Подождать 1…2 мин, пока температура воздуха в баллоне станет постоянной, т.е. показания манометра перестанут изменяться, и отсчитать разность уровней h2. 6. Вычислить результат по формуле (11.5). Варьируя промежуток времени между открытием и закрытием пробки (см. п. 4), добиться наилучшего результата для коэффициента Пуассона, сравнивая его с теоретическим, вычисленным для воздуха по формуле (VI). 7. Проделать измерения ещё девять раз, учитывая опыт, приобретенный при выполнении п. 6. 8. Данные занести в табл. 11.1 Таблица 11.1 ср h1 , мм h2 , мм № опыта 1 … Обработка и анализ результатов измерений 1. Вычислить для каждого опыта значение γ по формуле (11.5). 2. Результаты вычислений занести в табл. 11.1. 3. Вычислить погрешность результата исходя из разброса величины γ, полученной в опыте. Главным источником погрешности здесь является нестабильность условий адиабатичности процесса при проведении отдельных циклов измерений (будь это отклонение стабильным, оно внесло бы систематическую ошибку, а не случайную). 4. Сравнить среднее значение для воздуха с теоретическим, вычисленным по формуле (VI). Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 93 1. Дать определение теплоёмкости тела и объяснить, почему всегда Cp >CV? 2. Дать определение молярной теплоёмкости газа и объяснить, как определяется число степеней свободы молекулы. Записать первое начало термодинамики для различных изопроцессов. 3. Сформулировать коротко суть метода Клемана и Дезорма применительно к определению коэффициента Пуассона – = C p CV . Почему и как при адиабатическом изменении объёма газа изменяется его температура? Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Предложить перечень возможных источников погрешности метода и способы их минимизации. 2. Показать, что политропический процесс является обобщением различных изопроцессов. Вывести формулу молярной теплоёмкости газа для политропического процесса. Библиогр.: [1]; [2, § 81-88]; [4, § 13-15, 16, 18-22]; [5, § 9.3-9.6]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12 ( ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ C p CV ) МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА С ПОМОЩЬЮ УСТАНОВКИ ФПТ1-6Н13 Цель работы – изучить тепловые процессы в идеальном газе, ознакомиться с методом Клемана и Дезорма и экспериментально определить отношения молярных теплоёмкостей воздуха при постоянных давлении и объёме. Приборы и принадлежности: экспериментальная установка ФПТ1-6н. Описание экспериментальной установки и вывод расчётной формулы Перед тем, как приступать к изучению этой работы, следует изучить «Краткие сведения из теории» (с. 76–80). 13 94 Для определения величины = C p CV воздуха в работе применяется метод Клемана и Дезорма. Внешний вид панели прибора и принципиальная схема экспериментальной установки ФПТ1-6н представлена на рис. 12.1. Рис. 12.1 На передней панели прибора расположены: клавиша «Сеть» для питания установки; клавиша «Компрессор» для нагнетания воздуха в сосуд (емкость объёмом V = 3500 см3), расположенный в полости корпуса; пневмоклапан «Атмосфера», позволяющий на короткое время соединять сосуд с атмосферой; измеритель давления с помощью датчика давления в сосуде; двухканальный измеритель температуры, позволяющий измерять температуру окружающей среды и температуру внутри сосуда. 95 Если при помощи насоса накачать в сосуд некоторое количество воздуха, то давление и температура воздуха внутри сосуда повысятся. Вследствие теплообмена воздуха с окружающей средой через некоторое время температура воздуха, находящегося в сосуде, сравняется с температурой T0 внешней среды. Давление, установившееся в сосуде, равно: p1 = p0 + p , где p0 – атмосферное давление, p – добавочное давление. Таким образом, воздух внутри сосуда характеризуется параметрами ( p0 + p) , V0 , T0 , а уравнение состояния (III) имеет вид ( p0 + p)V0 = m RT0 . (12.1) Если на короткое время (≈ 3 с) открыть пневмоклапан «Атмосфера», то воздух в сосуде будет расширяться. Этот процесс расширения можно рассматривать как подключение к сосуду дополнительного объёма V . Давление в сосуде станет равным атмосферному p0 , температура понизится до T1 , а объём будет равен: V0 + V . Следовательно, в конце процесса уравнение состояния примет вид m (V0 + V ) p0 = RT1 . (12.2) Разделив (12.2) на (12.1), получим (V0 + V ) p0 T1 . = ( p0 + p)V0 T0 (12.3) Расширение происходит без теплообмена с внешней средой, т.е. процесс является адиабатическим, поэтому для начального и конечного состояний системы справедливо соотношение ( p0 + p)V0 = p0 (V0 + V ) или V0 p0 = . p0 + p (V0 + V ) (12.4) Охладившийся при расширении воздух через некоторое время вследствие теплообмена с внешней средой нагреется до комнатной температуры T0 (изохорический процесс). Давление возрастёт до 96 некоторой величины p2 = p0 + p , где p – новое добавочное давление. Для воздуха массой m , оставшегося в сосуде, уравнение состояния в начале нагрева m RT 1 , M а в конце нагрева до комнатной температуры T 0 V0 p0 = m RT0 . M Разделив (12.5) на (12.6), получим V0 ( p0 + p) = (12.6) p0 T = 1. ( p0 + p) T0 Правые части выражений (12.3) следовательно, левые части также равны: (12.5) (12.7) и (12.7) ( p0 + p) V0 . = ( p0 + p) (V0 + V ) одинаковы, (12.8) Возведя левую и правую части (12.8) в степень , запишем ( p0 + p) V0 . = ( p0 + p) (V0 + V ) (12.9) Заменим правую часть (12.9) с учетом (12.4): p0 + p p0 = , p + p p 0 + p 0 откуда 1 + p p0 1 = . (12.10) p0 1 + p p 1 + p 0 Поскольку p p0 и p p0 , то, ограничиваясь первым членом разложения в ряд бинома (1 + x ) 1 + x и пренебрегая членами второго порядка малости, получим 97 1 + p p0 1 = = 1 − p / p0 . 1 + p p0 1 + p / p0 Проделав несложные математические преобразования, получим расчётную формулу для в данной работе: = p . p − p (12.11) Порядок выполнения работы 1. Подать на установку питание, включив переключатель «Сеть». При этом переключатель будет подсвечен. 2. Включить подачу воздуха в сосуд переключателем «Компрессор». При этом будет слышен шум работающего компрессора и подсветится корпус переключателя. 3. По измерителю давления контролировать рост давления в сосуде. Когда давление стабилизируется, отключить компрессор. 4. После стабилизации давления и температуры в сосуде снять показания измерителя давления ( p ). 5. На короткое время соединить сосуд с атмосферой, повернув пневмоклапан «Атмосфера» по часовой стрелке до щелчка один раз. 6. После стабилизации процесса снять показания измерителя давления ( p ). 7. Повторить эксперимент пп. 2-6 пять раз. Данные занести в табл. 12.1. Таблица 12.1 № опыта p , кПа p , кПа 1 … 8. Выключить переключатель «Сеть». Обработка и анализ результатов измерений 98 ср 1. Подставить в формулу (12.11) полученные значения p и p , взятые из каждого отдельного опыта, вычислить 1 , 2 и т.д. Результаты занести в табл. 12.1. 2. Вычислить погрешность результата исходя из разброса величины , полученной в опыте. 3. Сравнить среднее значение для воздуха с теоретическим, вычисленным по формуле (VI). Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Что называется числом степеней свободы? В каких пределах находится величина коэффициента Пуассона = C p CV для газов, состоящих из жёстких молекул? 2. От чего зависит теплоёмкость идеального газа? Указать значения теплоёмкости при различных изопроцессах. Записать первое начало термодинамики для различных изопроцессов. 3. Сформулировать коротко суть метода Клемана и Дезорма применительно к определению коэффициента Пуассона = C p CV . Почему и как при адиабатическом изменении объёма газа изменяется его температура? Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Вывести уравнение Майера C p = CV + R (IV). Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R ? 2. Вывести уравнение Пуассона – уравнение адиабаты pV = const (VII). 3. Объяснить, почему адиабата при расширении газа спадает круче, чем изотерма. Могут ли они пересекаться в нескольких точках? Библиогр.: [1]; [2, § 81-88]; [4, § 13-15, 16, 18-22]; [5, § 9.3-9.6]. 99 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ Цель работы – изучить явления переноса на примере внутреннего трения; определить коэффициент динамической вязкости жидкости. Приборы и принадлежности: микроскоп МИР-12, стальные шарики малых размеров, секундомер, линейка, сосуд с жидкостью. Краткие сведения из теории Реальная жидкость (газ) обладает вязкостью. Вязкость можно представить как трение, возникающее между слоями жидкости при движении этих слоев относительно друг друга. Со стороны более быстрого слоя на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила, со стороны более медленного слоя на более быстрый – замедляющая. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения, направлены по касательной к поверхности слоёв и вызывают их сдвиг относительно друг друга. Природа этих сил связана с переносом импульса из слоя в слой хаотически движущимися молекулами, каждая из которых имеет, кроме тепловой скорости, ещё и скорость направленного движения, равную скорости перемещения «своего» слоя. Схема сдвига слоёв приведена на рис. 13.1, где между двумя параллельными пластинами (А – неподвижной и В – подвижной) заключена жидкость. Пластина В перемещается с постоянной скоростью υ0. Площадь пластины S . z 0 Δz В Fтр ( z ) А х Рис. 13.1 Рис 13.1 100 Слои жидкости, непосредственно прилегающие к пластинам, удерживаются силами адгезии, действующими между молекулами жидкости и вещества пластины. Поэтому верхний слой жидкости движется со скоростью 0 , нижний остается неподвижным. Неподвижный слой тормозит движение вышележащего слоя, тот – следующего и т.д. При этом скорость движения линейно меняется от нуля до 0 . Быстрота изменения скорости от слоя к слою /z , характеризуется отношением которое называют градиентом скорости. Градиент может быть как положительным, так и отрицательным. Закон вязкого течения жидкости был установлен Ньютоном и имеет следующий вид: Fтр = S , z (13.1) где – коэффициент сдвиговой вязкости. Он характеризует сопротивление жидкости смещению слоев. Из формулы (13.1) следует, что = Fтр / ( / z S ), т.е. коэффициент вязкости численно равен тангенциальной силе, действующей на единицу площади слоя при единичном градиенте скорости. В системе СИ единицей вязкости является Па·с, в системе СГС – П (пуаз), 1Па·с = 10 П. Согласно молекулярно-кинетической теории вязкость газов является следствием теплового движения молекул, которое ведёт к обмену молекулами между соседними движущимися слоями. При этом осуществляется перенос от слоя к слою определённого импульса, в результате медленные слои ускоряются, быстрые же замедляются. Вязкость жидкости объясняется молекулярным взаимодействием. В жидкости молекула может проникнуть в соседний слой, если в нём есть достаточная полость для перескакивающей молекулы. На образование такой полости расходуется так называемая энергия активации вязкого течения. Эта энергия уменьшается с ростом температуры – одна из причин уменьшения вязкости жидкости с повышением температуры. В данной работе рассматривается движение тела обтекаемой формы с малыми скоростями в реальной жидкости при постоянной 101 температуре. В этом случае сила вязкого трения определяется по закону Стокса: Fтр = k , k– где коэффициент – скорость движения тела; пропорциональности, определяемый формой тела и вязкостью среды. Для тел сферической формы радиуса r коэффициент пропорциональности k = 6r . Кроме силы трения Fтр , на тело, движущееся в жидкости (рис. 13.2), действуют сила тяжести mg и сила Архимеда FA . Будем считать движение установившимся ( = const ) . Тогда уравнение движения шарика, падающего в жидкости, в проекции на направление движения имеет вид mg − Fтр − FA = 0, (13.2) где mg = шVg , материала Fтр = 6r , FA = жVg , шарика, æ – ш – плотность плотность жидкости, r – радиус шарика, V = 4r 3 / 3 – объём шарика, υ – скорость установившегося движения. В результате уравнение (13.2) примет вид 4r 3 g (ш − ж ) / 3 − 6r = 0 , откуда получим выражение для коэффициента вязкости жидкости: 2 r 2 (ш − ж )g . (13.3) 9 Рис. 13.2 По формуле (13.3) при заданных значениях плотностей ш и ж , а также измеренных величинах радиуса шарика r и скорости установившегося движения υ определяют при комнатной температуре коэффициент вязкости жидкости. Следует иметь в виду, что формула (13.3) справедлива только при одновременном выполнении трёх условий: • скорость шарика мала настолько, что квадратом и следующими степенями скорости можно пренебречь; = 102 • жидкость смачивает материал, из которого изготовлен шарик; • падение шарика происходит в безграничной среде. Поскольку в реальном эксперименте выполнить все эти условия невозможно, задача измерения коэффициента вязкости не так проста, как это кажется на первый взгляд, и в формулу (13.3) обычно требуется вводить поправки (подробнее см. [8]). Порядок выполнения работы В работе предлагаются для исследования две жидкости: глицерин и касторовое масло. По указанию преподавателя работа проводится с одной из них. Для проведения измерений используют шесть одинаковых стальных шариков, размеры которых либо известны (в этом случае они указаны на установке), либо определяются с помощью микроскопа. Определение размеров шариков. Шарики (шесть штук друг за другом на специальной подставке с углублениями) расположить на предметном столике 1 микроскопа МИР-12 (рис. 13.3) так, чтобы они попадали в поле зрения окуляра. Окуляр 2 и объектив 3 настроить на резкое изображение визира и шарика. Рис. 13.3 Рис.13.3 103 В целях уменьшения инструментальной ошибки следует снимать отсчеты за один проход от первого до шестого шарика, вращая ручку барабана 4 в одну сторону. Установить визир по касательной с левой стороны первого шарика, записать в табл. 13.1 отсчет n : целые доли миллиметра – по шкале 5, сотые доли миллиметра – по шкале барабана 4 напротив горизонтальной риски. Цена деления барабана 0,01 мм. Затем визир установить справа от этого же шарика, записать отсчет n . Перейти к следующему шарику, и т.д. Вычислить диаметры d i = n − n (i = 1,2,..,6) шариков. Результаты вычислений занести в табл. 13.1. Затем ручкой барабана возвратить тубус микроскопа в исходное положение и провести те же измерения еще два раза. Определить среднее арифметическое значение диаметра каждого шарика. Таблица 13.1 № п/п n 1 n d1 n 2 n d2 Номера шариков 3 4 n n d3 n n d4 n 5 n d5 n 6 n d6 1 … di ср Определение установившейся скорости движения и коэффициента вязкости. Для определения установившейся скорости движения шариков используют высокую мензурку с жидкостью – глицерином или касторовым маслом. На мензурке имеются две горизонтальные кольцевые нити, ограничивающие участок, на котором движение шарика можно считать установившимся. Измерить линейкой расстояние l между нитями. Подготовить секундомер. Опустить шарик в мензурку, измерить время t1 прохождения шариком расстояния между нитями (фиксировать момент прохождения шариком нитяного кольца следует без параллакса, т.е. так, чтобы каждый раз глаза находились на уровне кольца), результат занести в табл. 13.2. 104 Измерить время t i движения оставшихся шариков. Затем определить скорость установившегося движения i = l ti . Подставив ri = d iср 2 в (13.3), вычислить коэффициент вязкости жидкости для каждого проведённого испытания. Результаты измерений и расчётов занести в табл. 13.2. l = ……, м Таблица 13.2 № шарика ti , с , м/с d ср , м η, Па·с 1 … ηср При расчёте вязкости принимать ρш = 7,8·103 кг/м3, g = 9,82 м/с2, ρ1=1,26·103 кг/м3, ρ2 = 0,97·103 кг/м3, где индексы «1» и «2» относятся к глицерину и касторовому маслу соответственно. Обработка и анализ результатов измерения 1. Определить абсолютную погрешность коэффициента вязкости жидкости по разбросу полученных значений как результат прямых измерений. Вычислить относительную погрешность. 2. Сравнить полученный результат с табличным (для температуры воздуха в лаборатории на момент проведения опыта) и сделать соответствующий вывод. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Объяснить на основе молекулярно-кинетической теории природу внутреннего трения. Какой физический смысл имеет коэффициент вязкости жидкости? От каких параметров он зависит и в каких единицах измеряется? 2. Записать динамическое уравнение движения тела в вязкой среде. 105 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента вязкости жидкости. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Объяснить природу возникновения градиента скорости при движении тела в вязкой среде. 2. Несмотря на то что сила сопротивления движению в вязкой среде пропорциональна площади сечения тела, крупные шарики падают в такой среде быстрее мелких (материал шариков один и тот же). Объяснить этот факт. Библиогр.: [1]; [2, § 115, 118, 128, 132]; [4, § 86, 89]; [5, § 10.610.9 ]; [8]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ВОЗДУХА Цель работы – изучить явления переноса на примере теплопроводности; определить коэффициент теплопроводности воздуха. Приборы и принадлежности: установка ФПТ1-3. Краткие сведения из теории В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относится и теплопроводность, обусловленная переносом энергии: если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, 106 чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е. выравнивание температур. Теплота распространяется в газах тремя способами: тепловым излучением (перенос энергии электромагнитными волнами), конвекцией (перенос энергии за счёт перемещения слоев газа в пространстве из областей с более высокой температурой в области с низкой температурой) и теплопроводностью. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье: j= Q dT , = − tS dx где ось х ориентирована в направлении переноса, j – плотность теплового потока (энергия, проходящая через единичную площадку, перпендикулярную оси х, за единицу времени); – коэффициент теплопроводности; dT dx – градиент температуры, равный скорости её изменения на единицу длины в направлении нормали к этой площадке (знак «минус» показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры). Для идеального газа 1 = cV , 3 где ρ – плотность газа; – средняя длина свободного пробега молекулы; – средняя скорость теплового движения молекул, 8RT равная: = ; сV – удельная теплоёмкость газа при M постоянном объёме. Описание экспериментальной установки и вывод расчётной формулы Установка ФПТ1-3 (рис. 14.1) представляет собой конструкцию настольного типа, состоящую из следующих основных частей: 107 приборного блока 1, цифрового термометра 2, блока рабочего элемента 3, вольфрамовой нити 4, стойки 5, датчика температуры 6. Рис. 14.1 На лицевой панели приборного блока находятся органы управления и регулировки установки: «Сеть» – для подключения установки к сети питающего напряжения, «Напряжение» – для управления работой цифрового контроллера, измеряющего напряжение, «Нагрев» – для включения и регулирования нагрева нити. Блок рабочего элемента представляет собой коробчатую конструкцию. Несущими узлами блока являются панель и кронштейн, скреплённые между собой. Между выступающими частями панели в текстолитовых фланцах зажата стеклянная трубка, по оси которой натянута вольфрамовая нить. Между панелью и кронштейном помещён вентилятор для охлаждения трубки. Спереди блок рабочего элемента защищён прозрачным экраном. Рассмотрим два коаксиальных цилиндра, пространство между которыми заполнено газом. Если внутренний цилиндр нагревать, а 108 температуру наружного цилиндра поддерживать постоянной, ниже температуры нагревателя, то в кольцевом слое газа возникает радиальный поток теплоты, направленный от внутреннего цилиндра к наружному. При этом температура слоёв газа, прилегающих к стенкам цилиндров, равна температуре стенок. Выделим в газе кольцевой слой радиусом r, толщиной dr и длиной dQ L. По закону Фурье тепловой поток q = , т.е. количество dt теплоты, проходящее через этот слой за одну секунду, равен: q = − dT dT dr 2L =− dT . S = − 2 rL , или r q dr dr Тогда r2 r1 T2 dr 2L =− dT , r q T 1 где T1 , T2 и r1 , r2 – температуры и радиусы поверхностей внутреннего и наружного цилиндров соответственно. После интегрирования получим уравнение, определяющее тепловой поток за счёт теплопроводности для цилиндрической геометрии: q= 2 L T . ln r2 r1 Тогда коэффициент теплопроводности воздуха с учётом характеристик используемой экспериментальной установки можно выразить следующим образом: D q ln d , (14.1) = 2 L t здесь – коэффициент теплопроводности воздуха; q – тепловой поток через поверхность S ; D – внутренний диаметр трубки; d – диаметр нити, L – длина нити; t – разность температур нити и трубки, измеряемая по шкале Цельсия. В установке ФТП1-3 тепловой поток создаётся за счёт нагрева нити постоянным током. При этом температура нити будет повышаться до тех пор, пока не наступит стационарное состояние, 109 при котором вся подведённая к нити мощность будет отведена тепловым потоком и, следовательно, температура в дальнейшем меняться не будет. Для стационарного состояния U (14.2) q = I нU н = э U н , Rэ где I н и U н – ток, текущий по нити, и падение напряжения на ней соответственно; Uэ – падение напряжения на эталонном резисторе, сопротивление которого Rэ = 41 Ом. Эталонный резистор и нить соединены последовательно. С повышением температуры сопротивление нити меняется по закону Rt = R0 (1 + t ) , (14.3) где Rt и R0 – сопротивление нити при некоторой температуре ( t о C ) и при 0 о C соответственно, – температурный коэффициент сопротивления материала нити (вольфрам, = 4,8 10 −3 K −1 ). Разность температур нити и трубки определяется как t = tн − t т , где t н – температура нити; t т – температура трубки, равная температуре окружающего воздуха. Температура трубки в процессе эксперимента остаётся постоянной, так как её поверхность обдувается потоком воздуха с помощью вентилятора. Температура нити тем выше, чем больше протекающий по ней ток, но при фиксированной силе тока она также постоянна. Для определения t запишем уравнение (14.3) для сопротивления нити в холодном ( R1 ) и нагретом ( R2 )14 состояниях: R1 = R0 (1 + t1 ), R2 = R0 (1 + t 2 ) . (14.4) Поделив второе уравнение на первое, выразим температуру t2: t2 = (1 + t1 ) − 1 , (14.5) Во всех последующих формулах индексы «1» и «2» будут относиться к холодному и нагретому состояниям соответственно. 14 110 где R2 R1 . Вычитая из последнего выражения t1, получаем окончательно ( − 1) (1 + t1 ) . (14.6) Заметим, что температура трубки (tт) и температура нити в холодном состоянии (t1) – это одна и та же температура окружающей среды, а tн = t 2 . Следовательно, выражение (14.6) даёт именно ту разность температур, которую требует уравнение (14.1). Однако необходимо найти ещё отношение сопротивлений нити в нагретом и холодном состояниях: R2 R1 . В работе это соотношение определяется методом сравнения падения напряжений на нити и на эталонном резисторе. Поскольку нить и эталонный резистор соединены последовательно, для них можно записать следующую систему уравнений: t t2 − t1 = U Э2 R2 RЭ R2 U 2 U Э1 , = U Э1 R1 U 1 U Э2 U 1 = I1 R1 = R1 RЭ U 2 = I 2 R2 = (14.7) где U1 ,U 2 ,U Э1 ,U Э2 – напряжение на нити и эталонном резисторе при температуре окружающего воздуха и нагретом состояниях соответственно. Порядок выполнения работы 1. Включить тумблер «Вкл.» в модуле «Нагрев». При этом загорается сигнальная лампочка. 2. Нажать кнопку U Р и установить рукояткой «Нагрев» напряжение U Э2 равным 0,5 В. 3. Выждать минуту для стабилизации теплового режима и определить падение напряжения на нити U 2 нажатием кнопки UН . 4. Полученный результат записать в табл. 14.1. 111 5. Повторить пп. 2-4 для величин U Р в диапазоне 1,0 – 6,0 В с шагом 1 В. U1 = …., В U Э1 = …., В t1 =…., °С Таблица 14.1 U Э2 , В 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 U2 , В q , Вт t , °С , Вт/(м·К) 6. По окончании измерений вывести ручку «Нагрев» в крайнее левое положение и выключить установку. Обработка результатов измерений 1. Рассчитать комплекс по формуле (14.7) и разность температур по формуле (14.6), учитывая следующие данные: L = 0,4 м; d = 64·10-5м; = 4,8·10-3 К-1; D = 26·10-3м; при токе не более 10 мА напряжение на эталонном резисторе U Э1 = 0,060 В, а на нити U 1 = 0,022 В. 2. Рассчитать тепловой поток по формуле (14.2). 3. Определить коэффициент теплопроводности по формуле (14.1). Полученные значения усреднить. Сравнить их с результатом, вычисленным по формуле для теплопроводности 1 идеального газа: = cV и с табличными значениями для 3 сухого воздуха (табл. 14.2). Таблица 14.2 t, °C 0 10 20 30 50 χ, Вт/(м·К) 0,0244 0,0251 0,0259 0,0267 0,0283 112 4. Построить графики зависимости q(Δt) и q(β). Сравнить их и сделать соответствующие выводы. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Что выступает «движущей силой» любого явления переноса? 2. Объяснить физическую сущность закона Фурье. От каких параметров зависит коэффициент теплопроводности газа? 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента теплопроводности воздуха. Вопросы и задания к защите лабораторной работы D d (14.1) для коэффициента 1. Вывести формулу = 2 L t теплопроводности воздуха в описываемом эксперименте. 2. Предложить возможные причины расхождения между экспериментальным, табличным и «идеально-газовым» коэффициентами теплопроводности воздуха. 1 3. Показать, что, исходя из формулы = cV , 3 коэффициент теплопроводности не зависит от давления. Тем не менее, при понижении давления, начиная с некоторого его значения (это состояние и определяет понятие вакуума), коэффициент теплопроводности внезапно начинает зависеть от давления. Объяснить этот факт. q ln Библиогр.: [1]; [2, § 128, 129, 131]; [4, § 86, 89]; [5, § 10.6-10.9 ]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЗАИМНОЙ ДИФФУЗИИ ВОЗДУХА И ВОДЯНОГО ПАРА 113 Цель работы – изучить диффузию как одно из явлений переноса; определить коэффициент взаимной диффузии воздуха и водяного пара по скорости испарения жидкости из капилляра. Приборы и принадлежности: экспериментальная установка для определения коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара (ФПТ1-4), ёмкость с дистиллированной водой, психрометр – прибор, показывающий относительную влажность воздуха в лаборатории. Описание метода изучения процесса Диффузия – это процесс выравнивания концентрации газов, сопровождающийся переносом массы соответствующего компонента газа из области с большей концентрацией в область с меньшей. Масса m компонента газа, которая переносится вследствие диффузии через поверхность площадью S, перпендикулярную к оси х, за время t, определяется по закону Фика: m = −D d St , dx где D – коэффициент диффузии; (15.1) d – градиент плотности dx компонента газа. Для идеального газа 1 D = T . 3 (15.2) Здесь – средняя длина свободного пробега молекулы; T – средняя скорость теплового движения молекул, T = 8 RT . M Рассмотрим частично заполненную водой узкую трубку постоянного сечения S , открытую с одного конца, ось х направим вдоль оси трубки. На границе с водой (х = 0) парциальное давление водяного пара pпара в трубке равняется давлению насыщенного пара pнac при температуре опыта. Давление 114 водяного пара в трубке изменяется вдоль оси х от значения pнac до p0 около открытого конца трубки (х = h), которое определяется влажностью воздуха в лаборатории. Следовательно, вдоль оси dpнac трубки существует градиент парциального давления пара , dx вследствие чего возникает диффузионный поток пара, направленный вверх. Плотность пара пapa можно выразить через его парциальное давление, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона–Менделеева): пapa = mnapa V = pпapa M пapa RT . (15.3) Подставив полученное соотношение (15.3) в формулу закона Фика (15.1), определим массу пара, проходящую через площадь поперечного сечения трубки за одну секунду: mпapa = − D dпapa dx S = −D M пapa dpпapa S. RT dx (15.4) Если пренебречь небольшой потерей пара, возникающей из-за конвекционных потоков, то скорость испарения ( mïapa ) можно выразить непосредственно через скорость понижения уровня ( h/ t ) жидкости в капилляре: h , (15.5) t где ж – плотность жидкости; h – понижение уровня жидкости за время t . Подставив (15.5) в (15.4), получим mпapa = ж S ж S M пapa dpnapa h S. = −D RT dx t Разделим переменные и проинтегрируем это равенство: p h ж RT 1 h dx = − DM пapa dpпapa t 0 p нac или 115 (15.6) ж RT h h = DM пapa ( pнac − p1 ) . t Отсюда h h t D= , M napa ( pнac − p1 ) ж RT (15.7) где D – коэффициент взаимной диффузии; ж – плотность жидкости (воды); R – универсальная газовая постоянная; R = 8,31 Дж/(моль К); h – расстояние от поверхности воды до верхнего края трубки; T – температура воды в капилляре и воздуха в лаборатории; h – понижение уровня жидкости за время t ; M пapa – молярная масса воды; pнac – давление насыщенного пара, зависящее от влажности воздуха в лаборатории. Описание и принцип работы экспериментальной установки Для определения коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара предназначена экспериментальная установка ФПТ1-4 (рис. 15.1), состоящая из блока приборов 1, блока рабочего элемента 2, стойки 3, микроскопа 4, рабочего элемента 5, цифрового контроллера для измерения температуры 6. Основным элементом установки является микроскоп 4. На его предметном столике размещён рабочий элемент, состоящий из измерителя, к подвижной части которого прикреплён корпус из оргстекла. В отверстии корпуса находится стеклянная трубка (капилляр) с дистиллированной водой. Для подсветки трубки при измерениях применяется фонарь, свет от которого передается к рабочему элементу по световоду из оргстекла. 116 2 6 4 5 1 3 Рис. 15.1 Яркость свечения лампы устанавливается регулятором «Подсветка капилляра» на передней панели блока приборов 1. Время испарения воды из капилляра измеряется секундомером, расположенным в блоке приборов, и регистрируется на цифровом индикаторе «Время». Секундомер приводится в действие при включении питания блока приборов. Температура воздуха в блоке рабочего элемента измеряется полупроводниковым термометром и высвечивается на цифровом индикаторе «Температура». Цена деления α окулярной шкалы микроскопа указана на установке. Порядок выполнения работы 1. Тубус микроскопа поставить в положение, при котором предметный столик с рабочим элементом располагается горизонтально. 2. Заправить рабочий элемент водой. Для этого залить воду в 1 117 2 Рис. 15.2 ёмкость 1 (рис. 15.2) рабочего элемента, выдвинуть на 10…15 мм и снова задвинуть шток 2. Дальнейшие работы проводить не ранее чем через 10…15 минут после заправки. 3. Отклонить тубус микроскопа на угол 30…40° от вертикали. Убедившись в том, что регулятор подсветки капилляра находится в положении минимальной яркости, включить установку тумблером «Сеть». Регулятором подсветки капилляра установить удобное для работы освещение. Используя систему настройки микроскопа, добиться четкого изображения капилляра (изображение будет перевёрнутым). Записать цену деления окулярной шкалы микроскопа в табл. 15.1. 4. Сфокусировать микроскоп на мениске жидкости. Записать в табл. 15.1 уровень шкалы микроскопа n0 , выраженный в делениях, на котором находится край капилляра. Таблица 15.1 T , °С h , мм n0 , дел , мм/дел h/t , мм/с D , мм2/с № п/п ni, дел. t, с 1 … 5. Записать в табл. 15.1 уровень шкалы микроскопа п1, на котором находится край мениска жидкости. Включить отсчёт времени. 6. Наблюдая в микроскоп за движением мениска жидкости через каждые два деления шкалы микроскопа, записывать в табл. 15.1 значения ni высоты края мениска и время t, соответствующее моменту снятия этого значения. Сделать десять измерений положения мениска. 7. Записать температуру воздуха в рабочем элементе установки. 8. Установить регулятор подсветки капилляра в положение минимальной яркости, после чего выключить установку тумблером «Сеть». 9. Тубус микроскопа установить в вертикальное положение. Обработка и анализ результатов измерений 118 1. Построить график зависимости числа делений n окулярной шкалы микроскопа от времени t : n = f (t ) и по наклону полученной усредннёной прямой определить среднее значение n/ t . Умножив эту величину на цену деления α окулярной шкалы, найти среднее значение скорости испарения жидкости ( h/ t ) из капилляра. 2. Значение n = n1 − n0 есть высота мениска, отсчитанная от края капилляра, в делениях шкалы микроскопа. Найти расстояние от поверхности воды до края капиллярной трубки h (рис. 15.3) по формуле h = n = (n1 − n0 ) , результат записать в табл. 15.1. 3. Используя найденное значение h / t , по формуле (15.7) вычислить коэффициент взаимной диффузии воздуха и водяного пара, учитывая, что плотность воды ж =103 кг/м3, молярная масса пара M napa = 18 10 −3 кг/моль . Рис. 15.3 Давление насыщенного водяного пара определить по табл. 15.2, где приведена зависимость давления pнac и плотность пapa насыщенного водяного пара от температуры. Давление водяного пара p1 возле открытого конца трубки найти по значению относительной влажности φ (в процентах) в помещении лаборатории: pнac . 100 4. Проанализировать причины возникновения погрешности коэффициента взаимной диффузии. Оценить эту погрешность, пользуясь расчётом погрешности косвенных измерений. p1 = Таблица 15.2 t, °С pнac , кПа ρ10-3, кг/м3 t, °С pнac , кПа ρ 10-3, кг/м3 15 1,704 12,84 21 2,486 18,35 16 1,817 13,65 22 2,642 19,44 119 17 1,937 14,50 23 2,809 20,60 18 2,062 15,39 24 2,984 21,81 19 2,196 16,32 25 3,168 23,07 20 2,337 17,32 26 3,361 24,40 Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Что выступает «движущей силой» любого явления переноса? 2. Объяснить физическую сущность закона Фика. От каких параметров зависит коэффициент взаимной диффузии? 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара по скорости испарения жидкости из капилляра. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Что такое относительная влажность воздуха? В чём заключаются принцип действия и устройство психрометра? 1 2. Вывести формулу D = T (15.2). 3 h ж RT h t 3. Вывести формулу D = (15.7). M napa ( pнac − p1 ) Библиогр.: [1]; [2, § 128-130]; [4, § 86, 87, 91, 93, 114]; [5, § 10.6-10.9]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА КАПИЛЛЯРНЫМ МЕТОДОМ Цель работы − изучить вязкость как одно из явлений переноса, определить коэффициент вязкости воздуха по скорости 120 его истечения из капилляра, вычислить среднюю длину свободного пробега и определить эффективный диаметр молекул газа. Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФПТ1-1н. Краткие сведения из теории Вязкость, или внутреннее трение, относится к явлениям переноса. Явления переноса имеют место, если в объёме, занимаемом газом, под влиянием внешних воздействий образовалась неоднородность какого-либо параметра. Вследствие теплового хаотического движения молекул начинаются z процессы, направленные к выравниванию этого параметра по всему объёму. Эти процессы и называются явлениями переноса. Внутреннее трение возникает, если в газе имеются x слои, движущиеся относительно Рис. 16.1 Рис.16.1 друг друга, т.е. создана неоднородность скорости поступательного движения (рис. 16.1). Такое слоистое (ламинарное) движение реализуется, если газ движется относительно стенок сосуда или в газе движется какоелибо тело. Тогда молекулы газа, непосредственно примыкающие к стенкам сосуда, в котором находится газ, за счёт сил взаимодействия с молекулами вещества стенок имеют практически нулевую скорость, которая последовательно увеличивается по мере удаления от стенок. Вследствие хаотического движения молекулы проникают из слоя в слой, сталкиваются друг с другом, и в результате происходит перенос импульса, связанного с направленным движением. Уравнение, описывающее перенос импульса: dKz = − d dS dt , dz 121 где dK z − импульс, переносимый в направлении z через площадку d dS за время dt; − градиент скорости, показывающий, как dz быстро изменяется скорость в направлении z от слоя к слою; η − коэффициент вязкости. За счёт этого переноса импульс направленного движения молекул в слое изменяется. Импульс молекул, движущихся с большей скоростью, после соударения с более медленными молекулами уменьшается, а импульс молекул, движущихся с меньшей скоростью, увеличивается. Изменение импульса с dK течением времени обусловлено действием силы F = , которая dt d называется силой внутреннего трения: Fx = − dS − формула dz Ньютона. Силы внутреннего трения направлены по касательной к поверхности слоев. Со стороны слоя, движущегося медленно, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Со стороны же слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Коэффициент вязкости численно равен силе, действующей на единицу поверхности слоя при градиенте скорости, равном единице. Структура коэффициента вязкости отражает молекулярно-кинетический характер явления: 1 = , 3 где λ − средняя длина свободного пробега молекул, т.е. среднее расстояние, которое проходят молекулы между двумя последовательными соударениями; ρ − плотность газа, − средняя скорость молекул газа: = 8RT , M (16.1) а их средняя длина свободного пробега = 1 , 2 d 2 n 122 (16.2) где d − эффективный диаметр молекулы, т.е. минимальное расстояние, на которое сближаются молекулы при столкновениях, n − концентрация молекул. Экспериментально коэффициент вязкости можно определить, измеряя объёмный расход движущегося в трубке газа, т.е. объём газа, протекающего через поперечное сечение трубки в единицу dV времени: Q = . dt В данной работе воздух продувается через капилляр с небольшой скоростью. При малых скоростях потока течение является ламинарным, т. е. поток воздуха движется отдельными слоями и его скорость в каждой точке направлена вдоль оси капилляра. Если бы скорость движения воздуха была постоянной по всему сечению капилляра, то объёмный расход равнялся бы Q = S . Однако скорость в рассматриваемом случае изменяется от нуля у стенок капилляра до некоего максимального значения на его оси. Поэтому сначала найдем зависимость скорости движения воздуха от расстояния до оси капилляра. Для этого выделим воздушный цилиндр произвольного радиуса r и длиной L, ось которого совпадает с осью капилляра (рис. 16.2). р1 r Fтр υ р2<р1 Fтр L Рис. 16.2 Рис. 16.2 На этот цилиндр за счёт разности давлений действует сила: F = ( p1 − p2 ) r 2 , где r 2 − площадь торца цилиндра. Движение цилиндра воздуха тормозится силой вязкого трения между ним и прилегающим к нему слоем. Величина этой силы равна: 123 d , где площадью, на которую действует сила, dr является площадь боковой поверхности цилиндра. Поскольку движение стационарно, ускорение равно нулю, следовательно, эти две силы взаимно компенсируются. Отсюда находим выражение для градиента скорости: F = − 2rL p − p2 d =− 1 r . dr 2r Проинтегрируем это выражение с учётом того, что при r = R скорость равна нулю: d = − 0 ( ) p1 − p2 r p − p2 2 2 rdr , = 1 R −r . 2L R 4L Зависимость скорости от расстояния до оси капилляра представлена на рис. 16.3. Как и следовало ожидать, наибольшая скорость достигается на оси капилляра. р1 R Течение р2 (<р1) L Рис. 16.3 Рис. 16.3 Зная теперь υ как функцию от r, можно рассчитать объёмный расход газа в капилляре. Поскольку скорость течения газа в поперечном сечении непостоянна, разделим поперечное сечение капилляра на узкие кольца шириной dr (рис. 16.4). Площадь такого кольца dS = 2r dr . В таких узких пределах скорость можно считать постоянной. Таким образом, поток газа через одно узкое кольцо равен: dQ = dS = p1 − p2 2 2 ( R − r ) 2r dr . 4L 124 dr R r Рис. 16.4 Рис.16.4 Суммирование по всем кольцам даёт полный поток в капилляре – формулу Пуазейля: R ( p1 − p 2 ) ( p1 − p 2 ) R 2 r 2 r 4 2 3 Q = dQ = R − r dr = − = 2 L 2 L 4 2 0 0 0 R ( ) = R ( p1 − p 2 )R 4 , 8L где R − радиус капилляра. Мы вывели формулу Пуазейля в предположении, что течение газа в капилляре является ламинарным. Зная объёмный расход газа в капилляре, можно вычислить коэффициент вязкости η: = R 4 ( p1 − p2 ) . 8QL (16.3) Описание и принцип работы экспериментальной установки Работа выполняется на экспериментальной установке ФПТ1-1н. Установка ФПТ1-1н позволяет изучать явление внутреннего трения воздуха, определять коэффициент вязкости воздуха капиллярным методом, концентрацию молекул и длину свободного пробега, а также число соударений молекул в единицу времени и эффективный метр молекул воздуха. Установка представляет собой конструкцию настольного типа, состоящую из 125 двух соединенных корпусов: приборного блока и блока рабочего устройства. На передней панели установки имеются тумблеры включения и выключения напряжения сети, а также ручка регулировки расхода воздуха. На табло «Давление» высвечивается соответствующая разность давлений в килопаскалях (кПа). Общий вид установки ФПТ1-1н представлен на рис. 16.5. 1 2 Рис. 16.5 Воздух нагнетается в капилляр 2 микрокомпрессором, вмонтированным в блок управления, величина объёмного расхода устанавливается посредством регулятора 1 и измеряется реометром15. Порядок выполнения работы 1. Включить установку тумблером «Сеть». При этом в модуле рабочего элемента загорится постоянная подсветка (зелёное свечение), указывающая на подачу питания. 2. Включить в приборном модуле переключатель «Компрессор». При этом отсек в модуле рабочего элемента подсветится мигающим красным светом, указывающим на то, что микроком-прессор начал прокачку капилляра. Реометр (от греч. rhéos - течение, поток и метр) – прибор для измерения объёмного расхода газа. 15 126 3. Плавно вращая ручку регулятора расхода воздуха «Расход» на приборном блоке, получить для десяти значений расхода воздуха 16 Q в диапазоне от 2,6 до 5,0 В, разности давлений ( p1 − p2 ) . Значения Q и ( p1 − p2 ) занести в табл. 16.1. 4. Выключить компрессор, а затем установку тумблером «Сеть». 5. Замерить температуру t °С и давление р0 в аудитории. tº C = … , n 1 … p0 = …… Q, В Q, л/мин Таблица 16.1 ( p1 − p2 ) , Па η, Па·с ηср =…… Обработка и анализ результатов измерений 1. Интерполируя17 табличные значения расхода газа Q (табл. 16.2), найти расход газа в литрах в минуту (л/мин) для измеренных значений расхода в вольтах (В). Таблица 16.2 Показания прибора «Расход Q», В 2,54 2,69 2,85 2,99 3,11 3,21 3,33 3,47 3,56 3,65 3,75 3,89 3,98 Расход Q, л/мин 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 Показания прибора «Расход Q», В 4,25 4,31 4,35 4,39 4,43 4,48 4,53 4,58 4,63 4,70 4,75 4,79 4,86 Расход Q, л/мин 0,500 0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0,650 0,675 0,700 0,750 0,800 0,850 0,900 Расход газа измеряется с помощью электрических датчиков, отградуированных в вольтах. 17 Интерполяция – нахождение промежуточных значений некоторой закономерности (функции) по ряду известных её значений. В нашем случае имеется в виду линейная интерполяция. 16 127 4,06 4,17 0,450 0,475 4,90 5,00 0,950 1,000 2. Для каждого измеренного режима рассчитать по формуле (16.3) коэффициент вязкости воздуха η. Длина и радиус капилляра указаны на установке. 3. Найти среднее значение коэффициента вязкости и рассчитать погрешность его измерения. 4. Вычислить среднюю арифметическую скорость «молекул» воздуха по формуле (16.1), молярная масса воздуха M = 29 г/моль. 5. Вычислить среднюю длину свободного пробега по 3 формуле = . Плотность газа вычисляется по формуле p M = 0 . RT 6. Вычислить эффективный диаметр «молекул» воздуха, пользуясь формулой (16.2). Концентрация молекул может быть вычислена из формулы p0 = nkT . Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. Объяснить на основе молекулярно-кинетической теории природу внутреннего трения. Дать определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул. 2. Какие процессы относятся к явлениям переноса? Что выступает «движущей силой» любого явления переноса? 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Получить зависимость вязкости от 1 температуры и давления, подставив в формулу = 3 соответствующие выражения для всех входящих в неё величин. 128 коэффициента 2. Идеальный газ состоит из жёстких двухатомных молекул. Как и во сколько раз изменится коэффициент вязкости, если объём газа адиабатически уменьшить в 10 раз? Библиогр.: [1]; [2, § 128, 129, 132]; [4, § 86, 89]; [5, § 10.6-10.9]; [8]. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ГАЗОВОЙ ПОСТОЯННОЙ МЕТОДОМ ОТКАЧКИ Цель работы − изучить законы идеального газа, определить универсальную газовую постоянную R . Приборы и принадлежности: установка ФПТ-1-12, стеклянная колба, электронные весы. Краткие сведения из теории Идеальный газ − это газ, молекулы которого имеют исчезающе малые размеры и не взаимодействуют друг с другом. Молекулы газа находятся в беспрерывном хаотическом тепловом движении, сталкиваясь при этом как между собой, так и со стенками сосуда. И те и другие соударения происходят по законам абсолютно упругого удара. Межмолекулярные столкновения играют очень важную роль, так как именно они обеспечивают протекание всех явлений переноса, приводят к равенству средних величин параметров состояния газа (давление p , плотность и температура T ) по всему объёму ( V ) сосуда, однако они не влияют на то давление газа, которое устанавливается благодаря столкновениям молекул со стенками сосуда. Конечно, при столкновениях различных групп молекул между собой они так же воздействуют друг на друга, как и на стенку, – именно так создаётся внутреннее давление газа. Однако, поскольку в состоянии теплового равновесия давление газа по всему объёму сосуда одно и то же, межмолекулярные столкновения при выводе уравнения состояния газа можно не учитывать. Добавим также, что время свободного пробега молекул идеального газа много 129 больше времени столкновений. При этом условии давление газа практически не зависит от взаимодействия молекул. Состояние газа описывается тремя параметрами, которые связаны между собой определённым законом, называемым уравнением состояния. Его в случае идеального газа несложно получить на основе классической механики и свойств этой модели. Отметим, что уравнение состояния такого модельного газа будет в первом приближении справедливо и для любого реального газа при тех его параметрах, когда силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь (как правило, это возможно при умеренных температурах и давлениях). Этим и ценна простейшая модель. Выведем уравнение состояния идеального газа, применяя к его молекулам законы классической механики. Выделим мысленно небольшую площадку S , перпендикулярную оси х (рис. 17.1). Будем для начала считать, что все молекулы имеют одинаковые по величине скорости, тогда при соударении со стенкой каждая молекула передаст ей импульс p x = m x − (−m x ) = 2m x (рис. 17.2). z m1 ΔS α y х m2 υxΔt 2тυх x Рис. 17.1 Рис. 17.2 За время t со стенкой столкнутся все те молекулы, которые находятся в объёме V параллелепипеда с площадью основания S и ребром x t в количестве nV = nSt x , где n − число молекул в единице объёма. Все направления движения молекул в силу его полной хаотичности равновероятны. Это означает, что вдоль 130 положительного направления оси х движется лишь половина всех находящихся в выделенном объёме молекул, имеющих проекцию скорости x . Следовательно, за время t с площадкой S столкнётся число молекул N = 0,5nSt x , которые передадут стенке сосуда средний импульс: 2 p x = 0,5nS x t 2m x = nStm х . Тогда сила, действующая на стенку, в соответствии со вторым законом Ньютона определится как Fx = p x / t = nSm 2х и давление окажется равным: p x = Fx / S = nm 2х . Закон Паскаля утверждает: «жидкости и газы передают действующее на них извне давление по всем направлениям без изменения». В рассматриваемом случае это означает, что p x = p y = p z = p или p = nm2x . До сих пор мы для простоты считали, что все молекулы имеют одинаковые скорости, хотя известно, что это не соответствует действительности: скорости молекул газа подчиняются классическому закону статистики − распределению Максвелла. Это распределение базируется на том, что в силу огромности числа молекул газа в состоянии теплового равновесия все три независимых направления их поступательного движения равновероятны и их средняя кинетическая энергия от направления не зависит. Тогда можно записать: 2x = 2y = 2z (фактически, это и есть теоретическое обоснование эмпирического закона Паскаля) и, следовательно, 2 = 32x (черта сверху означает усреднение). В результате приходим к соотношению p = (1 / 3)nm 2 . (17.1) Это уравнение называют уравнением молекулярно-кинетической теории (мкт) идеального газа для давления или основным уравнением мкт для идеального газа. Заметим, что в полном соответствии с определением средних величин квадрат средней квадратичной скорости 2 представляет собой выражение 131 2 = ni i2 ni i2 i ni = i n , где ni – число молекул в единице объёма, i обладающих скоростью i . Если в уравнение (17.1) для давления идеального газа ввести среднюю кинетическую энергию поступательного движения ( = (1/ 2)m2 ) его молекул (энергия вращательного и колебательного движений молекул на давление газа не влияют), то получим 2 (17.2) n . 3 Таким образом, давление, оказываемое идеальным газом, зависит от концентрации газа и средней кинетической энергии, приходящейся на одну молекулу. Теория предполагает, и опыт подтверждает тот факт, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул и интуитивно понимаемая температура ведут себя идентично. Действительно, и та, и другая, будучи вначале разными в различных точках сосуда, в результате межмолекулярных столкновений становятся при достижении теплового равновесия одинаковыми по всему объёму. Так что, в принципе, как отдельный параметр температуру можно было бы и не вводить, а пользоваться единицами измерения энергии. Это, однако, неудобно из практических соображений (хотя в теории очень часто именно так и поступают). Исходя из теоремы Л. Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы, в соответствии с которой на каждую из них приходится одинаковая энергия kT 2 , оказалось удобным ввести термодинамическую температуру следующим образом: p= 3 (17.3) kT , 2 где k = 1,38·10-23 Дж/К − постоянная Больцмана. С учётом (17.3) уравнение (17.2) может быть переписано в виде p = nkT . (17.4) = 132 Фактически это и есть уравнение состояния идеального газа. Однако для практических целей его следует преобразовать. Домножим обе его части на объём V , занимаемый одним молем газа при заданных давлении и температуре: pV = nV kT . Произведение nV представляет собой полное число молекул в одном моле газа. По закону Авогадро, в одном моле любого вещества содержится одинаковое число NA молекул (NA = 6,02·1023 моль-1). Моль − единица СИ количества вещества, содержащего столько молекул (атомов), сколько их содержится в 0,012 кг изотопа углерода 12С. Сравнивая получившееся уравнение pV = nV kT = N A kT с уравнением Клапейрона: pV = RT , приходим к заключению, что универсальная газовая постоянная R 18 связана с постоянной Больцмана k соотношением R = k NА , (17.5) и, следовательно, R = 8,31 Дж/моль·К. Если уравнение (17.4) домножить с обеих сторон на объём не одного, а нескольких ( ) молей, то получим уравнение Клапейрона–Менделеева: pV = RT , где = m / M − число молей вещества; m − масса газа; M − молярная масса. Универсальную газовую постоянную R можно определить из уравнения Менделеева–Клапейрона: m (17.6) RT . M Все параметры газа, входящие в (17.6), можно измерить непосредственно, за исключением массы газа, так как взвесить газ можно только вместе с сосудом, в котором он находится. Поэтому для определения R из (17.6) необходимо неизвестную массу сосуда pV = Входящая в уравнение Клапейрона (1834) постоянная была разной для различных газов. Универсальной она стала только тогда, когда Д.И. Менделеев объединил (1874) уравнение Клапейрона с законом Авогадро (1811). 18 133 (т0) исключить. Это можно сделать, записав систему уравнений состояния для двух масс m1 и m2 одного и того же газа при неизменных температуре T и объёме V . Тогда для универсальной газовой постоянной получится следующее выражение: R= V ( p1 − p 2 ) M (m1 − m2 ) T = V p M m T . (17.7) Таким образом, если измерить давление p1 и температуру T для некоторой массы m1 , заключенной в сосуде объёмом V , а затем изменить эту массу до величины m2 (например, путем откачки) и определить новое давление p2 при той же температуре T , то по формуле (17.7) можно рассчитать универсальную газовую постоянную. Описание и принцип работы экспериментальной установки Установка ФПТ-1-12 представляет собой конструкцию настольного типа (рис. 17.3), состоящую из блока управления 1, приборного блока 2, колбы 3 и электронных весов 4. Рис. 17.3 На лицевой панели приборного блока имеются манометр 5, табло 6 термометра, измеряющего температуру окружающей среды. Сам термометр и компрессор расположены внутри блока. Колба соединяется с компрессором вакуумной трубкой. 134 Порядок выполнения работы 1. Взвешиванием на электронных весах определить массу колбы с воздухом (m0 + m1 ) при давлении p1 = p0 : вакуумная трубка отсоединена от колбы, кран открыт, давление в колбе равно атмосферному p 0 . Результаты измерений занести в табл. 17.1. 2. Включить установку тумблером «Сеть». При этом загорится сигнальная лампа. 3. С осторожностью (!) аккуратно подсоединить колбу к свободному концу вакуумной трубки. Включить компрессор кнопкой «Пуск» и, удерживая её нажатой, откачать воздух из колбы до давления p 0,8 бар (манометр 5 измеряет именно разность давлений p = p2 − p1 0 ). Отпустить кнопку «Пуск» и зафиксировать показания манометра в момент закрытия крана на колбе. Отсоединив вакуумную трубку, взвесить колбу, определив её массу с воздухом (m0 + m2 ) , имеющим остаточное давление p 2 . Давление откачки p выбирается из диапазона 0,8…0,6 бар (1 бар = 105 Па). Результаты измерений занести в табл. 17.1. 4. Открыть кран колбы. 5. Повторить пп. 3 и 4 ещё девять раз, занося результаты в табл. 17.1. 6. По показаниям термометра на приборном блоке определить температуру воздуха в лаборатории. 7. Открыв кран, соединить колбу с атмосферой, после чего выключить установку тумблером «Сеть». Обработка и анализ результатов измерений 1. Для каждого проведённого измерения определить массу откачанного воздуха (m1 − m2 ) . Результаты занести в табл. 17.1. По формуле (17.7) вычислить универсальную газовую постоянную R . Молярную массу воздуха принять равной: М = 0,029 кг/моль, объём колбы V указан на установке. Результаты расчётов занести в табл. 17.1. Таблица 17.1 № опыта m0 + m1 , г m0 + m2 , г m , кг 135 p , 105Па R, Дж/моль·К 1 … 2. Рассчитать среднюю величину универсальной газовой постоянной R , найти погрешность её определения как погрешность прямых измерений. Сравнить полученное значение R с табличным. Вопросы и задания для допуска к лабораторной работе 1. При каких условиях реальные газы могут быть описаны с помощью законов для идеального газа? Записать эти законы. 2. В чем заключается закон Авогадро? Каков физический смысл универсальной газовой постоянной R ? 3. Сформулировать коротко суть метода, применяющегося в лабораторной работе, для определения универсальной газовой постоянной R методом откачки. Вопросы и задания к защите лабораторной работы 1. Доказать, что универсальную газовую постоянную R можно представить как работу расширения 1 моля идеального газа при его нагревании на 1 К при постоянном давлении. 2. Вывести основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа и уравнение Менделеева–Клапейрона. Библиогр.: [1]; [2, § 81, 85, 86]; [4, § 7, 8, 59, 60, 62]; [5, § 8.1-8.4]. Библиографический список 1. 2. 3. 4. 5. Лентовский, В.В. Оценка ошибок результатов измерений / В.В Лентовский; Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2005. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т. 1 / И.В. Савельев. СПб.: Лань, 2007. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 1 / Д.В. Сивухин. М.: Физматлит, 2002. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. Т. 2 / Д.В. Сивухин. М.: Физматлит, 2002. Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. М.: Академия, 2003. 136 6. 7. 8. Кильчевский, Н.А. Теория соударений твердых тел / Н.А. Кильчевский. Киев: Наукова думка, 1969. 246 с. Манжосов, В.К. Модели продольного удара / В.К. Манжосов. Ульяновск: УлГТУ, 2006. 160 с. Фабелинский, И.Л. О макроскопической и молекулярной сдвиговой вязкости / И.Л. Фабелинский // УФН. 1997. 167, 721–733. 137 С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение ........................................................................................................................ 3 Лабораторная работа № 1. Исследование центрального удара шаров.................. 6 Лабораторная работа № 2. Определение коэффициента трения качения ........... 18 Лабораторная работа № 3. Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда .................................................................................................................... 27 Лабораторная работа № 4. Исследование законов динамики вращательного движения твердого тела ........................................................................................ 34 Лабораторная работа № 5. Определение скорости монтажного патрона с помощью баллистического крутильного маятника ............................................ 41 Лабораторная работа № 6. Определение ускорения свободного падения при помощи математического и оборотного маятников ........................................... 47 Лабораторная работа № 7. Определение момента инерции маятника Максвелла .............................................................................................................. 55 Лабораторная работа № 8. Определение момента инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний ........................................................................ 63 Лабораторная работа № 9. Определение модуля кручения нити и момента инерции системы, совершающей крутильные колебания .................................. 71 Лабораторные работы № 10-12. Определение отношения теплоёмкостей идеального газа при постоянных давлении и объёме Ср /CV различными методами ................................................................................................................ 78 Лабораторная работа № 10. Определение отношения Ср /CV методом звуковых стоячих волн ............................................................................................... 83 Лабораторная работа № 11. Определение отношения Сp /CV методом Клемана и Дезорма ................................................................................................ 89 Лабораторная работа № 12. Определение отношения Ср /CV методом Клемана и Дезорма с помощью установки ФПТ1-6Н ...................................... 94 Лабораторная работа № 13. Определение коэффициента вязкости жидкости . 100 Лабораторная работа № 14. Определение теплопроводности воздуха ............. 106 Лабораторная работа № 15. Определение коэффициента взаимной диффузии воздуха и водяного пара...................................................................................... 113 Лабораторная работа № 16 Определение коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом ........................................................................................ 120 Лабораторная работа № 17. Определение универсальной газовой постоянной методом откачки ........................................................................................... 129 Библиографический список ...................................................................................... 132 Составители: Иванов Дмитрий Юрьевич, Васильева Людмила Ивановна, Иванова Наталья Александровна, Иванова Тайми Валентиновна, Ляхович Дмитрий Николаевич, Алексеева Ольга Сергеевна, Князева Татьяна Николаевна, Лазарева Юлия Николаевна Механика и молекулярная физика Редактор Г.М. Звягина Корректор Л.А. Петрова Подписано в печать 15.11.2012. Формат бумаги 60х84/16. Бумага документная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 7,8. Тираж 650 экз. Заказ № 182. Балтийский государственный технический университет 190005, С.-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1
