Учебный проект "Нестандартные приемы решения квадратных уравнений" Введение Тема «Квадратные уравнения » является одной из самых актуальных. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики. В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения? Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения. Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений Задачи: Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения. Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами. Сделать выводы. Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия. Объект исследования: квадратные уравнения Предмет изучения: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами Глава 1. Изучение литературы Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под ред.С.А.Теляковского. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме: 1. Определение и виды квадратных уравнений 2. Основные методы решения квадратных уравнений Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г. Изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию. Глава 2. Изучение истории вопроса о квадратных уравнениях Глава 3. Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения Глава 4. Нестандартные приемы решения квадратных уравнений Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений. 1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения: 4х2 – 13х + 9 =0 319х2 + 1988х +1669=0 (1; 2,25) (-1; -1669/319) 1978х2 – 1984х + 6=0 1999х2 + 2000х+1=0 (1; 6/1978) (-1; -1/1999) 4х2 + 11х + 7 = 0 (-1; -7/4) 2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами 313х2 +326х+13=0 345х2 – 137х – 208=0 (-1; -13/313) (1;.-208/345) 2 839х – 448х -391=0 939х2+978х+39=0 (1; -391/839) (-1; -39/939) 3. Используя полученные знания, установи соответствие: 1) х2+5х+6=0 2) 6х2-5х+1=0 3) 2х2-5х+3=0 4) 3х2-5х+2=0 5) х2-5х+6=0 6) 6х2+5х+1=0 7) 2х2+5х+2=0 8) 3х2+5х+2=0 1) 1/6;1/2 2) 1; 3/2 3) 1; 2/3 4) -2; -3 5) -1/3 ; -1/2 6) -1; -3/2 7) -1; -2/3 8) 2;3 работа позволяет сделать следующие выводы: нестандартные приемы решения квадратных уравнений заслуживают внимания; позволяют экономить время решения, что обусловлено применением тестовой системы экзаменов. Глава 6. Выводы В процессе работы над проектом, была создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого проведена успешная апробация этих приемов. Данный материал можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его как методическое пособие при изучении темы «Решение квадратных уравнений», а также, для контроля за знаниями учащихся. Материалом этого проекта могут воспользоваться и те, кто любит математику и хочет знать о математике больше. Литература 1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970. 2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997. 3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001. 4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996. 5. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005. 6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. Урок-конференция по математике для 8 класса «Нестандартные приемы решений квадратных уравнений». Учитель математики высшей категории БОУ «Лицей № 102» г. Железногорск, Красноярский край Скакунова Людмила Александровна Пояснительная записка Материалы урока - конференции «Нестандартные приемы решений квадратных уравнений» соответствуют программным требованиям. В процессе подготовки и проведения этого урока реализуются основные виды УУД: Познавательные: ориентация в системе знаний по заявленной теме; постановка учебной задачи, анализ, синтез; умение работать с информацией; преобразовывать информацию из одной формы в другую: составлять ответы на вопросы; доказательства своих суждений; умение формулировать проблему и находить способы её решения. Регулятивные: умение определять и формулировать цель; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок. Коммуникативные: умение слушать и понимать речь других; оформлять свои мысли в устной форме; договариваться с одноклассниками совместно с учителем о правилах поведения и общения и следовать им. Класс разбивается на группы (по числу докладов). Каждая группа работает над одной из предложенных тем. На уроке осуществляется представление и обсуждение каждого проекта. Урок-конференция по теме «Нестандартные приемы решений квадратных уравнений» Л. А. Скакунова (Железногорск) Подготовка к конференции Класс (из 25 человек) разбивается на 5 групп (по числу докладов). Каждая группа работает над одной из предложенных тем по рекомендованной литературе. Через две недели каждая группа в индивидуальной беседе с учителем предлагает варианты изложения темы, определяет докладчика (ученика, лучше других разобравшегося в материале) и его внутреннего оппонента. Еще через неделю готовый доклад заслушивается внутри группы, все ее члены знакомятся с содержанием и оформлением доклада (к выступлению докладчик готовит компьютерную презентацию). Оборудование и материалы к уроку Приборы и инструменты для выполнения чертежей и рисунков, компьютер, видеопроектор. Стенды с материалами по теме конференции. • Памятки для учащихся с алгоритмами различных способов решения квадратных уравнений; вопросник для оппонентов; оценочный лист. Основные этапы урока Этап I. Организационный момент. Этап II. Вступительное слово учителя. Приветствие присутствующих, представление участников, сообщение о плане проведения конференции и порядке выступлений. Этап III. Сообщения учащихся, выступления оппонентов. Оценивание выступлений докладчиков. Укажем перечень тем сообщений. • Общие методы решения квадратных уравнений. 1. Метод разложения на множители. 2. Методом введения новой переменной. • Специальные методы решения квадратных уравнений. 1. Использование свойства коэффициентов квадратного уравнения. 2. Метод «переброски» старшего коэффициента. • Графический способ решения квадратных уравнений. • Геометрический способ решения квадратных уравнений. • Способы решения квадратных уравнений в древности После каждого сообщения заслушивается мнение оппонента. Приведем примерный план выступления оппонента (оценки доклада). 1. Материал изложен... так, что вызывает интерес к теме; от простого к сложному; четко и ясно (или непоследовательно, неуверенно) и т.д. 2. В выступлении привлекались... (Указываются средства привлечения внимания учащихся к излагаемому материалу.) 3. Речь выступающего... образная; математически грамотная; логически выдержанная и т.д. 4. Содержание выступления... интересное; новое для меня; может пригодиться в дальнейшем; вызывает желание продолжить изучение вопроса, почитать литературу по этой теме и т.д. 5. У меня следующий вопрос к выступающему... (Формулируется вопрос.) 6. Мои пожелания выступающему... (Высказываются пожелания.) Далее каждый ученик класса заполняет полученный в начале урока оценочный лист и сдает его экспертной группе (в составе трех учеников старших классов). Критерии оценивания В выступлении докладчика оцениваются (в баллах): знание содержания темы, решение примеров, а также презентация доклада. 0 – 4 балла: тема не раскрыта, допущены фактические и вычислительные ошибки, представление доклада не вызвало интереса к затронутому в нем вопросу; 5 – 7 баллов: тема раскрыта частично, встречались недочеты в решениях примеров, представление докладов в целом понравилось; 8 – 10 баллов: тема раскрыта полностью, не было допущено фактических и вычислительных ошибок, представление доклада вызвало интерес к рассматриваемому вопросу. Экспертная группа обрабатывает результаты – суммирует выставленные учениками баллы и находит их среднее арифметическое. Кроме того, каждый член экспертной группы заполняет оценочный лист на оппонента (с последующей обработкой результатов – нахождением среднего арифметического баллов) Критерии оценивания 0 – 4 балла: представлен краткий комментарий, вопросы не задавались; 5 – 7 баллов: представлен подробный комментарий, вопросы не задавались; 8 – 10 баллов: представлен подробный комментарий, задавались вопросы по существу. Все результаты заносятся в таблицу (используется компьютер). Этап IV. Домашнее задание. Задание состоит из подборки уравнений, предложенных на уроке учениками, делавшими сообщения. Этап V. Заключительное слово учителя. После всех выступлений учитель дает оценку предварительной работе учащихся по подготовке к конференции (работе с дополнительной литературой по математике, подготовке презентаций и т.д.), а также прозвучавшим выступлениям; привлекает внимание к материалам стенда; сообщает о возможности продолжить начатую работу. Этап VI. Подведение итогов урока, выставление оценок докладчикам и лучшим оппонентам. Содержание докладов Тема 1. Общие методы решения квадратных уравнений При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки). Пример 1. Решите уравнение 3х2 + 2х – 1 = 0 Решение. Воспользуемся способом группировки. 3х² + 3х – х – 1 = 0, 3х(х + 1) – (х + 1) = 0, (х + 1)(3х – 1) = 0, х + 1 = 0 или 3х – 1 = 0, х = -1 х = . Ответ: -1; . При решении более сложных квадратных уравнений нередко приходится использовать метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решение к более простому случаю. Пример 2. Решите уравнение . Решение. Пусть t = 5х + 3. Произведем замену переменной: Убеждаемся, что D > 0. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни: t1= 1, t2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х. Если t = 1, то Если t = 2, то Ответ: - 0,4; - 0,2 Замечание. При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. Задание на дом. Решите уравнения, используя метод разложения на множители или введение новой переменной. х2 + 16х + 15 = 0; (3х + 2)² = 4 + 12х. Тема 2. Специальные методы решения квадратных уравнений Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его конями. 1) х² +4х – 5 = 0, 2) х² + 6х + 5 = 0, a = 1, b = 4, c = - 5, a = 1, b = 6, c = 5, a + b + c = 0, a + c = b, х1 = 1, х2 = - 5. х1 = - 1, х2 = - 5. 3) 2х² - 5х + 3 = 0, 4) 3х² + 2х – 1 = 0, a = 2, b = - 5, c = 3, a = 3, b = 2, c = - 1, a + b + c = 0, a + c = b, х1 = 1, х2 = х1 = - 1, х2 = Вывод: при решении уравнения ах² + bх + c = 0 (a ≠ 0) можно пользоваться следующими утверждениями: 1. Если a + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = Доказательство: 1) Разделим обе части уравнения на а ≠ 0 и получим: х² + х+ = 0. 2) По теореме Виета х1 + х2 = - , х1 · х2 = ; Так как а + b + c = 0, то b = - a – c. х1 + х2 = х1 ∙ х2 = 1 ∙ =1+ ; х2 = . , х1 = 1, 2. Если a + с = b, то х1 = - 1, х2 = Доказательство: 1) По теореме Виета х1 + х2 = х1 · х2 = , ; 2) Так как а +с = b, то х1 + х2 = - = -1 – , х1 = - 1, х1 · х2 = -1 ∙ ( ); х2 = . Задание (устно). Найдите корни уравнения: а) 3х² - 8х + 5 = 0; в) 5х² - 9х – 14 = 0; б) 2х² + 3х + 1 = 0; г) - х² - 4х – 3 = 0. Другой метод решения квадратных уравнений – метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения на а ≠ 0: Пусть ах = у, тогда . Корни у1 и у2 уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета. Так как Пример. Решите уравнение По теореме, обратной теореме Виета, имеем: Ответ: 2,5; 3. Замечание: Данный метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно. Задание на дом. Решите уравнения, используя специальные методы решения квадратных уравнений. 1907х2 + 101х - 2008 = 0; х2 + 12х + 20 = 0. Тема 3. Графический способ решения квадратных уравнений Графический способ решения квадратного уравнения состоит в построении на одной координатной плоскости графиков двух функций и нахождении абсцисс их точек пересечения (если такие точки есть). В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной функций: парабола и прямая. Возможны следующие случаи (рис. 1): 1) прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания – корень уравнения; 2) прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения; 3) прямая и парабола не имеют общих точек, в этом случае уравнение не имеет корней. Рис. 1 Пример. Решим графически следующее уравнение x2 + 1,5х - 2,5 = 0. Перепишем уравнение в виде x2 = - 1,5х + 2,5. Рассмотрим функции у = x2 и у = - 1,5х + 2,5. Построим в одной координатной плоскости графики этих функций (рис. 2), и найдем точки пересечения : х1 = - 2,5, х2 = 1. Эти числа являются корнями исходного уравнения. Рис. 2 Ответ: - 2,5; 1. Задание на дом. Решите уравнения, используя графический способ. - 2х² + 8 = 0; х² - 2х = 0. Тема 4. Геометрический способ решения квадратного уравнения Рассмотрим решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Дано уравнение ах² + bx + c = 0 1) Построим точки Q (; )(центр окружности) и А (0;1). 2) Проведём окружность с радиусом QA. 3) Абсциссы точек пересечения окружности с ОХ являются корнями квадратного уравнения. Условия количества корней (рис. 3): 1) Если R > , то окружность пересекает ОХ в двух точках M(х1; 0) и N(x2; 0), где х корни уравнения. и х2 – 2) Если R = , то окружность касается ОХ в точке M(х1;0), где х1– корень уравнения. 3) Если R < , то окружность не имеет общих точек с осью ОХ, следовательно, решений нет. Рис. 3 Примеры. Решить квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки (рис. 4). Рис. 4 Задание на дом. Решите уравнения с помощью циркуля и линейки. х² - 4х + 3 = 0; х² + 2х = 0; Тема 5. Как решали квадратные уравнения в древности Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а ширине». Пусть х – длина поля. Тогда х – его ширина, S = длины равны - площадь. Получилось квадратное уравнение = 12. В папирусе дано правило для его решения: «Раздели 12 на Итак, х² = 16. «Длина поля равна 4» - указано в папирусе. ». Рассмотрим способ решения квадратного уравнения среднеазиатского ученого ал – Хорезми из трактата «Хисаб ал – джебр валь – мукабала»: Решить квадратное уравнение х² + 10х = 39. х² Решение самого ал – Хорезми: Строим квадрат х² (рис. 5). На сторонах его строим четыре равных прямоугольника с общей площадью 10х. Площадь каждого будет , а измерения х и . Теперь фигуру, имеющую форму креста, дополняем до квадрата четырьмя равными квадратами в углах фигуры. Площадь каждого такого квадрата будет равняться . Площадь всех четырех квадратов составит 4 = 25. Таким образом, площадь всего составленного квадрата будет: Рис. 5 · х² + 10х + 25 = 64, (х + 5)² = 64, х + 5 = ± 8, х1 = 3, х2 = - 8 Ответ: - 8; 3. Задание на дом. Составив квадратное уравнение, решите древнеиндийскую задачу о стае обезьян. Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам стала Прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае? Литература: Пресман А.А. Решение Квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М., Квант, № 4/72. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин – 3-е изд., испр. И доп. – М.: Педагогика – Пресс, 1997 Энциклопедия для детей Т. 11 Математика / Глав. Ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта +, 2000. 11
