Zimin A M Matematicheskoe modelirovanie protsessov v plazmennykh ustanovkakh

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.М. Зимин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕННЫХ
УСТАНОВКАХ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.М. Зимин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕННЫХ
УСТАНОВКАХ
Допущено Учебно-методическим объединением по образованию
в области энергетики и электротехники в качестве учебного
пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по специальности 140505 «Плазменные энергетические установки»
направления подготовки дипломированного специалиста 140500
«Энергомашиностроение» и по специальности 140403
«Техническая физика термоядерных реакторов и плазменных
установок» направления подготовки дипломированного
специалиста 140400 «Техническая физика»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006
УДК 533.9:518.12
ББК 22.33:22.193
З-62
Рецензенты: В.М. Градов, И.П. Назаренко
З-62
Зимин А.М.
Математическое моделирование процессов в плазменных
установках: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 116 с.: ил.
ISBN 5-7038-2927-5
Пособие посвящено одному из важнейших этапов конструирования плазменных установок различного назначения – математическому
моделированию комплекса процессов, протекающих как в самой высокотемпературной среде – плазме, так и в элементах конструкции,
обеспечивающих работоспособность технических устройств.
Рассмотрены методы аналитического и численного решения
систем уравнений различных типов, приведены решения ряда практически важных задач, которые встречаются студентам при выполнении домашних заданий по основным дисциплинам специальностей 140403 и 140505, курсовом и дипломном проектировании.
Пособие основано на материалах лекций, семинарских и лабораторных занятий по методам математического моделирования
процессов в плазменных установках, проводимых автором в течение ряда лет в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Ил. 10. Библиогр. 47 назв.
УДК 533.9:518.12
ББК 22.33:22.193
Учебное издание
Александр Михайлович Зимин
Математическое моделирование
процессов в плазменных
установках
Редактор Е.К. Кошелева
Корректор Р.В. Царева
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой
Подписано в печать 21.11.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 7,25. Усл. печ. л. 6,74. Уч.-изд. л. 6,25.
Тираж 150 экз. Изд. № 131. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
ISBN 5-7038-2927-5
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006
ВВЕДЕНИЕ
ОСОБЕННОСТИ ПЛАЗМЕННЫХ УСТАНОВОК
КАК ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Плазменные установки, отличающиеся своим многообразием,
уникальностью реализуемых параметров, широтой технических
приложений, имеют ряд существенных особенностей, связанных
прежде всего с генерацией и изоляцией от элементов конструкции исключительно высокотемпературной рабочей среды – плазмы. Если учесть, что самый тугоплавкий металл – вольфрам –
плавится при температуре T ≈ 3650 K, а минимальная температура плазмы составляет 7000…10 000 K, становится понятным, какие сложности должен преодолеть конструктор, чтобы плазменное устройство без разрушения его основных элементов смогло
работать многие сотни часов, что требуется для осуществления
поставленной задачи. Так, маршевый плазменный двигатель космического корабля для полета к Марсу без изменения основных
характеристик должен непрерывно работать более года. В то же
время в создаваемом экспериментальном термоядерном реакторе
ИТЭР, где температура водородной плазмы достигает 100 млн K,
ничтожное количество примесей (доли процента) приведет к существенному снижению температуры плазмы и мгновенному
прекращению термоядерной реакции. Вследствие этого любое
плазменное устройство имеет целый ряд подсистем, обеспечивающих его длительную работоспособность.
Ясно, что обоснованно спроектировать плазменное устройство – задача нетривиальная, и очень важную роль в процессе конструирования играет комплексное математическое моделирование процессов не только в самой плазме, но и в многочисленных
вспомогательных подсистемах, обеспечивающих генерацию
рабочей среды, требуемые вакуумные условия, создающих необходимые для протекания рабочих процессов конфигурации электрических и магнитных полей, поддерживающих высокую работоспособность электродов, и др.
3
Рассмотрим сначала основные характерные черты математических моделей плазмы. Если проанализировать дисциплины, посвященные проектированию и расчету плазменных установок различного назначения, можно сделать вывод, что модели данного
класса физических явлений по сравнению с другими объектами
исследования имеют ряд существенных особенностей.
1. Весьма широкие диапазоны изменения параметров плазмы
(концентрация заряженных частиц n = 1010...1022 см–3, температура
T = 104...108 K, степень ионизации α = 0,001...1 и т. п.). Создать какие-либо универсальные модели, описывающие течения плазмы от
свободномолекулярного до магнитогидродинамического (МГД),
практически невозможно. Как и в диагностике плазмы, имеются
диапазоны параметров, в которых применимы те или иные методики. Для описания процессов в многообразных плазменных установках существует целый набор математических моделей.
2. Широкий диапазон времен развития характерных процессов
в плазме. С одной стороны, необходимо рассчитывать динамику
развития плазменного факела от воздействия короткого лазерного
импульса (пико- и наносекунды), а с другой – иметь возможность
моделировать, например, процессы в электроракетном двигателе
(ЭРД) при длительности работы порядка 104 ч и пролетном времени частицы в канале ускорителя масштаба микросекунды.
3. Необходимость совместного рассмотрения явлений в плазме
и элементах конструкции, оказывающих влияние на протекание
рабочих процессов в системе. Сюда относят эмиссию заряженных и нейтральных частиц, теплопроводность, взаимодействие
излучения с веществом, испарение и т. п. Типичные примеры
таких явлений: испарение и сжатие мишени в инерциальном термоядерном синтезе, генерация частиц в плазменных технологических установках, процессы эмиссии и переноса тока на электродах, стабилизация разряда в канале плазмотрона. При этом
характерные времена развития процессов в элементах системы и
в плазме отличаются, как правило, на несколько порядков. Отсюда вытекают, например, требования к временнóму разрешению
модели при расчете динамики процессов. Очень часто, чтобы
разделить участки, где сказывается влияние обращенных к плазме элементов конструкции и где оно, напротив, несущественно,
вводят модели пограничного слоя. Тогда для центральной части
устройства записывают уравнения, относящиеся только к плазме,
а «сшивку» значений параметров в указанных областях производят на их границе. Такие приемы часто встречаются в теории те4
плообмена, гидродинамике, при описании процессов в приэлектродных слоях и т. п.
4. Существенное влияние внешних электромагнитных полей на процессы в плазменной системе и свойства плазмы
(λ& , λ ⊥ , σ& , σ ⊥ , ...), а также наличие самосогласованных полей, которые заметно искажают картину «вакуумной» конфигурации.
Примером может служить влияние электрического поля в ускорителе со скрещенными E×H-полями, которое не позволяет разогнать
плазму до скорости, превышающей локальную скорость электрического дрейфа.
5. Большое число различных типов неустойчивостей и колебаний в плазме (в основном в присутствии магнитного поля). Это
накладывает особые требования на разрешающую способность
методов. Особое значение имеет анализ неустойчивостей и колебаний для высокотемпературной плазмы и безэлектродных систем.
Кроме перечисленных выше плазма обладает еще рядом особенностей, которые необходимо учитывать при математическом
моделировании различного уровня. К ним относится, например, наличие нескольких пространственных масштабов, характеризующих
протекание процессов, которые существенны для данного плазменного устройства. С учетом этих пространственных масштабов решаемая система уравнений должна включать в себя те или иные
слагаемые, соответствующие выбранному приближению.
В качестве примера можно привести пристеночные явления,
при описании которых выделяют характерные масштабы нарушения квазинейтральности, ионизационного и термического равновесия и т. п. [1]. При реализации таких моделей большое значение
имеет аккуратная «сшивка» функций и их производных на границах выделяемых пространственных слоев.
Если рассматривать расчеты плазменных устройств того или иного типа, то самосогласованная замкнутая математическая модель, содержащая описание процессов в плазме, пристеночных слоях и твердом теле (например, в электроде или на стенке, окружающей разряд),
включает большое число уравнений самых различных типов: от алгебраических (обычно это соотношения, описывающие явления на
поверхностях твердых тел, – уравнения эмиссии, баланса энергии и
частиц на границах раздела и т. п.) и обыкновенных дифференциальных до интегродифференциальных и уравнений в частных производных. Естественно, что, даже овладев теми или иными методами решения отдельных типов уравнений, необходимо для каждой задачи
5
разрабатывать специальный алгоритм расчетов по такой «разнотипной» системе уравнений, который обладает устойчивостью и сходимостью к искомому решению. И, кроме того, он должен быть экономичным во времени, а при использовании численных методов –
реализуемым на современных ЭВМ.
Именно эта черта – большое число разного типа уравнений в
математической модели – и является одной из характерных черт
плазмы как объекта моделирования.
Существенная особенность постановки плазменных задач – наличие нелинейных граничных условий, которые обусловлены высокой температурой исследуемой субстанции. В качестве примера
можно привести описание теплообмена излучением на поверхности твердого тела или процессов переноса в оптически толстой
плазме. Такого рода граничные условия для практически важных
ситуаций не позволяют получить аналитического решения поставленной задачи.
Анализируя типы уравнений, которые составляют общую математическую модель, отметим также, что большинство из них
являются векторными соотношениями. Таковы обобщенный закон Ома, уравнения движения, уравнения Максвелла и др. И хотя
эти соотношения можно записать в проекциях на оси соответствующей системы координат, делают это в физике плазмы не всегда. Дело в том, что, во-первых, резко возрастает общее число
решаемых уравнений, а во-вторых, часто требуется найти какиелибо специальные характеристики рассчитываемых полей параметров, которые наглядно представляют исследуемую конфигурацию. Это линии и поверхности уровня, магнитные силовые
линии, линии тока и потока, вихри и т. п. Для их нахождения используют, как правило, специальные методы решения векторных
уравнений.
Резюмируя сказанное, отметим, что на настоящем уровне
расчета и конструирования плазменных устройств, даже применяя последние достижения теории комплексного переменного,
аппарат специальных функций, математическое описание течения плазмы с помощью функции потока, векторного и скалярного потенциалов и т. п. (некоторые примеры таких задач будут
приведены в гл. 1), достаточно полно описать плазменные процессы, опираясь только на аналитические методы, можно довольно редко. По-видимому, именно поэтому ни в одну область
физики так глубоко не проникли методы численного моделирования, как в физику плазмы [2].
6
Численные методы дают приближенное решение задачи. Это
значит, что вместо точного решения некоторой задачи мы получаем решение другой задачи, близкое к искомому. Это – основная
идея всех методов, причем решение аппроксимирующей задачи
зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно
найти решение с требуемой точностью.
Краткий обзор применяемых численных методов будет дан в
гл. 2.
Прежде чем переходить непосредственно к использованию
численных методов, следует, по возможности, максимально упростить постановку самой задачи и ее математическое описание.
Чтобы обоснованно пренебречь тем или иным слагаемым в
уравнении, необходимо предварительно оценить его величину
(например, долю излучаемой энергии в общем балансе). Упрощение модели может быть достигнуто также введением новых переменных, позволяющих либо перейти к более доступному для решения классу уравнений (например, от дифференциального уравнения методами операционного исчисления перейти к алгебраическому), либо изменить вид уравнения (от нелинейного перейти к
линейному) и т. п. Так, введение новой переменной S = ∫ λdT в
нелинейном уравнении Эленбааса–Геллера, описывающем распределение температуры в столбе дуги,
1 d 
dT 
rλ (T )  + σ (T ) E 2 − U ( T ) = 0 ,
dr 
r dr 
позволяет преобразовать его в линейное относительно функции
Кирхгофа S:
1 d  dS 
r
+ σ ( S ) E 2 − U ( S ) = 0.
r dr  dr 
Другие способы упрощения: а) замена координат, позволяющая получить, например, в координатах «вихрь – функция потока»
аналитическое решение ряда задач [3], или использование преобразования координат с помощью конформного отображения и методов теории функций комплексного переменного для аналитического решения двумерного уравнения Пуассона [4]; б) применение
аналитических способов (методов малого параметра, последова7
тельных приближений, метода Фурье и их модификаций). Как
показывает практика, существует довольно большой класс близких по постановке задач, которые можно решить упомянутыми
способами. Здесь можно отметить использование функций потока для решения задач гидро-, газо- и плазмодинамики, а также
скалярных и векторных потенциалов для решения уравнений
Максвелла [5] и т. п.
Переходя к рассмотрению численных методов, начнем с анализа различных видов записи основных уравнений [6, 7]. При этом
важны не только запись уравнений в ортогональных координатах
различного типа (прямо- или криволинейных), но и связь этих координат с физическими частицами исследуемой субстанции или
неподвижными точками пространства, в котором происходят
плазменные процессы.
В разработке численного алгоритма первым шагом является
выбор способа описания плазмы. При решении МГД-уравнений
это обычно делают с помощью конечного набора чисел, задающих
положение, скорость, плотность, температуру и напряженность
(индукцию) магнитного поля в рассматриваемом объеме. Указанные числа запоминаются для массива точек, которые образуют
вычислительную сетку и называются узловыми. Каждая узловая
точка связана с ячейкой, используемой в качестве контрольного
объема при построении консервативных разностных схем. Вычислительная сетка в зависимости от вида координат может быть эйлеровой, лагранжевой или обобщенной. Один тип отличается от
другого относительным движением точек сетки и жидкости, а
также сложностью разностных уравнений, аппроксимирующих
пространственные производные.
Эйлерова сетка неподвижна в лабораторной системе координат, лагранжева неподвижна в системе координат, связанной с
плазмой. Обобщенная сетка может быть эйлеровой, лагранжевой
или ни той, ни другой: движение точек сетки по отношению к лабораторной системе координат и к плазме произвольно. Движение
сетки и определяет роль конвективного переноса.
Важное место при численной реализации занимают вопросы
оценки точности применяемых методов, оптимизации разрабатываемых алгоритмов, подбора тестовых задач для проверки сходимости к искомому решению. В численных моделях, которые будут
представлены в гл. 3 настоящего пособия, нашел отражение анализ
и этих проблем.
8
1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
Аналитические модели процессов в плазменных установках
далеко не всегда позволяют детально описать все особенности явлений с учетом реальных конструктивных решений. Тем не менее
аналитические решения могут быть найдены не только для одномерных случаев, но и для достаточно сложных ситуаций, когда
картина течения плазмы является двумерной. Это позволяет, вопервых, разработать инженерные методы расчета сложных технических систем и достаточно корректно оценить параметры среды в
плазменном устройстве, во-вторых, выявить его принципиальные
особенности и достаточно обоснованно подойти к конструированию устройства, в-третьих, сформулировать те особенности процессов, которые не учитываются в данной модели и которые
должны быть рассчитаны только с применением численных методов. Кроме того, аналитические модели представляют большой
интерес не только сами по себе, но и в качестве тестовых решений
для проверки сходимости численной модели к искомому решению
и оценки точности приближения.
В этой главе рассмотрены несколько неодномерных аналитических моделей процессов (как правило, они получены при непосредственном участии автора настоящего пособия и использовались в
лекциях, домашних заданиях, при курсовом и дипломном проектировании), которые могут найти применение при решении ряда задач, связанных с теорией и расчетом плазменных устройств различного назначения. Изложены решения сформулированных систем
уравнений различными методами. Так, в задачах, рассмотренных в
параграфах 1.1–1.4, нашли применение математическое описание
течения и конфигурации магнитных полей плазмы с помощью
функций потока, векторного и скалярного потенциалов; специальные функции; разделение переменных с помощью способа Фурье;
методы теории функций комплексного переменного (конформное
отображение). При этом решены уравнения, описывающие процессы как в объеме плазмы (см. параграфы 1.1, 1.2, 1.4), так и в элементах конструкции плазменной установки (см. параграф 1.3).
9
1.1. Двумерный расчет динамики двухкомпонентной плазмы
с использованием формализма функций потока
При описании течения плазмы в коаксиальном ускорителе в
рамках магнитной гидродинамики часто используется двухкомпонентная бездиссипативная модель, включающая в себя систему
МГД-уравнений совместно с уравнениями Максвелла [5]. В двумерном стационарном приближении в системе СГС она имеет следующий вид:
div nvi = 0,
(1)
div nve = 0,
(2)
M (vi ∇)vi = −


∇pi
1
+ e  E + [vi ; H ],


n
c
(3)
m (ve∇)ve = −


∇pe
1
− e  E + [ve ; H ],



n
c
(4)
rot H =
4π e
n(vi − ve ),
c
(5)
div H = 0,
(6)
E = −∇Φ,
(7)
div E = 4πe (ni − ne ).
(8)
В этих уравнениях: n, ni, ne – концентрации заряженных частиц,
ионов и электронов соответственно; vi и ve – направленные скорости компонентов плазмы; M и m – их массы; pi и pe – парциальные
давления компонентов; E и H – напряженности электрического и
магнитного полей соответственно; Φ – электрический потенциал; e –
заряд электрона; c – скорость света.
В двумерном случае эффективным приемом, который позволяет упростить систему (1)–(8), является использование так назы10
ваемых функций потока, позволяющих сократить число неизвестных, удовлетворив тождественно уравнениям неразрывности (1),
(2). Этот прием впервые был предложен Чандрасекаром и широко
применяется в гидрогазодинамике и плазмодинамике [5, 8].
С учетом осевой симметрии задачи уравнение неразрывности
примет вид [9]
1 ∂
∂
(rnvr ) + (nvz ) = 0.
∂z
r ∂r
Поскольку частная производная от независимой переменной r
по z равна нулю, после приведения к общему знаменателю эту величину можно внести под знак дифференциала:
∂
∂
(rnvr ) + (rnvz ) = 0.
∂r
∂z
Последнему уравнению можно удовлетворить тождественно,
если ввести для каждого из компонентов функцию потока ψ, определив ее следующим образом:
rnvr = −
∂ψ
∂ψ
; rnvz =
.
∂z
∂r
(9)
Подстановка (9) в предыдущее уравнение приводит к выражению
−
∂2ψ
∂2ψ
+
= 0,
∂z∂r ∂r∂z
которое для аналитической функции ψ(r, z) тождественно обращается в нуль. Таким образом, вместо двух компонентов искомых
векторов скоростей v (r, z) из решения системы можно найти для
каждого из компонентов одну скалярную функцию ψ(r, z), по которой с помощью соотношений (9) легко определить значения
проекций скоростей частиц (ионы, электроны) на оси координат.
Геометрический и физический смысл функции потока.
Введенная формально функция потока имеет наглядное геометрическое толкование. Нетрудно показать, что линии ψ(r, z) = const
представляют собой траектории частиц.
Для этого достаточно в уравнение траектории
11
dr dz
=
vr vz
подставить выражение проекций скорости через функцию ψ из (9).
Приводя полученное соотношение к общему знаменателю и полагая его ненулевым, получаем следующее уравнение:
∂ψ
∂ψ
dr +
dz = 0.
∂r
∂z
Видно, что левая часть этого соотношения представляет собой
полный дифференциал dψ, поэтому значение ψ сохраняется вдоль
траектории частицы.
Величина ψ(r, z) связана с числом частиц N , проходящих в
единицу времени внутри аксиально-симметричной поверхности
ψ(r, z) = const, соотношением N = 2πψ .
Преобразование системы уравнений. Для преобразования
уравнений движения [5–8] используем векторное тождество [10]
(v∇)v = ∇
v2
− [v, rot v].
2
(10)
Подставим (10) в уравнение движения ионов (3). Тогда
 v2

∇p
e
М ∇ i − [vi , rot vi ] = − i − e∇Φ + [vi , H ].
 2

n
c


(11)
Умножив уравнение (11) скалярно на vi , получим
 v2

dp
(vi ∇)  M i + ∫ i + eΦ = 0,

2
n

(12)
где в скобках представлена полная энергия иона, включающая в
v2
себя кинетическую энергию M i , внутреннюю энергию (энталь2
dpi
пию) ∫
и потенциальную энергию eΦ.
n
12
Равенство нулю скалярного произведения в (12) означает, что
v2
dp
вдоль траектории иона величина Ui = M i + ∫ i + eΦ остается
2
n
постоянной и зависит только от величины ψi, определяющей траекторию частицы:
M
vi2
dp
+ ∫ i + eΦ = const = Ui(ψi).
2
n
(13)
Подставляя определение (13) в (11), получаем


e
∇U i = vi , H + M rot vi  .


c
(14)
В коаксиальном ускорителе плазмы с собственным магнитным
полем H имеет только азимутальную компоненту.
Для дальнейших преобразований правой части соотношения
(14) спроектируем его на ось r. С учетом того, что Ui – функция
только одной переменной ψi, используя правило дифференцирования сложной функции, получаем
e

dU i ∂ ψ i
= −viz  H ϑ + M rot ϑ vi .

c

dψi ∂r
Если подставить в последнее соотношение выражение для проекции скорости vz из (9), оно примет вид
U i′ = −

1  e
 H ϑ + M rot ϑvi  ,


nr  c
(15)
dU i
.
dψi
Преобразуем далее слагаемое уравнения (15), содержащее проекцию rot ϑvi . Используя для цилиндрических координат определение операции ротора
где U i′ =
13
1G
er
r
rot a = ∂
∂r
ar
G
eϑ
∂
∂ϑ
raϑ
1G
ez
r
,
∂
∂z
az
(16)
получаем
rot ϑ vi =
∂vir ∂viz
∂  1 ∂ψi  ∂  1 ∂ψi 
−
= −
− 
.
∂z
∂r
∂z  nr ∂z  ∂r  nr ∂r 
Подставляя это выражение в (15), находим
M  ∂  1 ∂ψi  ∂  1 ∂ψi  H ϑ e
 
+ U i′.
+ 
 =
nr  ∂z  nr ∂z  ∂r  nr ∂r  nrc
(17)
Аналогичным образом преобразуем уравнение движения электронов. С учетом существенного различия масс m M можно
пренебречь инерционным членом. Тогда
Hϑ c
= U e′ ,
nr
e
(18)
где полная энергия электронов
Ue(ψe) =
∫
dpe
− eΦ.
n
(19)
Соотношение (18) представляет особый интерес. Во-первых,
оно дает явное выражение для константы вмороженности в цилинH
дрических координатах ϑ ; во-вторых, поскольку в правой части
nr
этого уравнения содержатся параметры только электронной компоненты, это означает, что магнитное поле «вморожено» в электроны (заметим, что обычно – см., например, [9] – считается, что
14
оно «вморожено» в плазму, т. е. в ионы); в-третьих, течение плазмы, при котором U e′ = const, называется изомагнитным [5].
Преобразуем с учетом введения функций потока и уравнение
Максвелла (5). Спроектировав его на ось r, с учетом определения
операции ротора и того, что в нашем случае вектор напряженности
магнитного поля имеет только азимутальную компоненту, получим

∂H ϑ
∂
1  ∂H z

− (rH ϑ ) = −
.

∂z
∂z
r  ∂ϑ
Интегрируя уравнение
−
∂H ϑ
πen 1  ∂ψi ∂ψ e 
= −4
−
,

c nr  ∂z
∂z
∂z 
находим
rH ϑ =
4π e
(ψi − ψe ).
c
(20)
Решение преобразованной системы уравнений в квадратурах.
Полученная система уравнений позволяет найти аналитическое решение для изомагнитного течения так называемой холодной плазмы
в приближении плавного канала [11]. В соответствии с первым допущением предполагается малость газокинетического давления компонентов, а второе накладывает ограничение на соотношение проекций скоростей и вторых производных от всех функций:
vr2 << vz2 ;
∂2
∂r 2
>>
∂2
∂z 2
.
(21)
Тогда выражения (13), (17) – (19) примут вид
M
viz2
+ eΦ = U i (ψi ),
2
−eΦ = U e ,
(22)
(23)
15
M ∂  1 ∂ψi  H ϑ e
+ U i′,
=

nr ∂r  nr ∂r  nrc
(24)
Hϑ c
= U e′ .
nr
e
(25)
Отметим, что из соотношения (23) следует, что траектории электронов являются эквипотенциалями.
Складывая уравнения (22), (23) и подставляя в полученное соотношение определение скорости viz через функцию потока ψi, получаем основное уравнение для расчета искомой функции ψi(r, z):
2
M  ∂ψi 
 = U i (ψi ) + U e (ψe ).

2n 2 r 2  ∂r 
(26)
Прежде чем перейти к формулировке граничных условий к
дифференциальному уравнению (26), получим соотношение, связывающее между собой функции ψi(r, z) и ψe(r, z). Для этого возьмем частную производную по r от (26):
∂ψ
∂ψ
M  ∂ψi  ∂  1 ∂ψi 
 = U i′ i + U e′ e ,
 ∂r  
r
r
∂
∂
∂r
 ∂r  nr

nr 
(27)
где производные от функций Ui и Ue берутся по их аргументам ψi и
ψe соответственно.
∂ψi
и вычитая полученное соотУмножая уравнение (24) на
∂r
ношение из (27), находим
0 = U e′
∂ψe eH ϑ ∂ψi
−
.
∂r
nrc ∂r
 ∂ψ
∂ψ 
Учитывая (25), получаем U e′  e − i  = 0. Сокращая на
 ∂r
∂r 
U e′ ≠ 0 и интегрируя, находим ψi − ψe = C ( z ); исходя из физиче16
I
, где I – раз2π e
рядный ток, текущий по центральному электроду. Таким образом,
функции потока для ионов и электронов связаны соотношением
ского смысла функции потока, константа C ( z ) =
ψi − ψ e =
I ( z)
,
2π e
(28)
которое означает, кроме того, что ток в ускорителе направлен радиально.
Эпюра канала ускорителя высокоэнергетичной плазмы
с эквипотенциальными электродами в режиме ионного токопереноса. Для формулировки граничных условий к системе уравнений удобно воспользоваться эпюрой канала (рис. 1), предложенной А.И. Морозовым [5]. Она построена в координатах «функция
потока – ток разряда». Для исключения ограничений на параметры
ускоряемого пучка (энергия частиц и разрядный ток) в устройстве,
названном коаксиальным сильноточным плазменным ускорителем
(КСПУ) [12], А.И. Морозовым предложено реализовать ионный
токоперенос.
Рис. 1. Эпюра канала ускорителя:
АП, ОП и КП – соответственно анодный, основной и катодный подпотоки
При таком способе переноса тока между электродами электроны (их траектории представлены на рис. 1 тонкими сплошными
17
линями) не пересекают поверхностей электродов, отображаемых
на эпюре горизонтальными линями (сверху – анод, снизу – катод).
Часть ионов, напротив, нейтрализуется на катоде, перенося, таким
образом, ток разряда.
Выберем начало отсчета потенциала на катоде: Φкат = 0. На
аноде соответствующий потенциал обозначим через u0, т. е. Φан =
= u0. Из условия изомагнитности течения энергия электронов прямо пропорциональна функции потока:
U e (ψe ) = −eu0
ψe
,
ψ0
(29)
где ψ0 – максимальное значение функции потока электронов.
Определим константу вмороженности æ:
æ=
cu
H c
= U e′ = − 0 = const.
nr e
ψ0
(30)
Исходя из физического смысла функции потока на катоде,
ψe кат = 0, ψe ан = ψ e max = ψ 0 . В начале координат при r = 0, z = 0
I ( 0)
I0
, где I0 –
2πe
2πe
значение тока, текущего по центральному электроду, во входном
сечении.
Перейдем к определению полной энергии ионов. На поверхности анода
(левая нижняя точка эпюры) ψi (r , z = 0) =
=
U i (ψi ) = eu0 = const.
(31)
На левой границе канала
ψ
eu 
I 
U i (ψi ) = e Φ лев. граница = eu0 e = 0 ψi − 0  =
ψ0
ψ 0 
2πe 
=−
eu0 I 0
eu
+ 0 ψi ,
ψ0 2πe ψ 0
т. е. зависимость U i (ψi ) – линейная.
18
(32)
Пределы изменения функций потока. На верхней границе
канала ускорителя (поверхность анода) ψ e = ψ 0 . Используя соотношение (28), нетрудно получить пределы изменения функции
потока ионов:
ψ0 −
I0
2πe
≤ ψi ≤ ψ 0 .
При этом не следует забывать, что разрядный ток, текущий по
центральному электроду, I ≤ 0, так как направлен противоположно положительному направлению оси z.
На левой границе канала
−
I0
2πe
≤ ψi ≤ ψ 0 −
I0
2πe
.
Записанные неравенства позволяют получить уравнения
границ подпотоков, выделенных на рис. 1. Уравнение траектории крайнего иона, поступившего в канал через входное сечение
(оно определяет границу основного и анодного подпотоков),
имеет вид
ψi = ψ 0 +
I0
.
2π e
(33)
Уравнение границы катодного и основного подпотоков
ψi = 0.
(34)
Уравнения для функций потока на поверхностях электродов:
I
а) на аноде: ψi = ψ0 +
;
2πe
I
б) на катоде: ψi =
.
2πe
Зависимость ψi(r, z) для катодного и основного подпотоков.
Подставив в уравнение (26) зависимости энергий электронов и ионов от их функций потока (29) и (32), получим
19
2
u
M  ∂ψi 
= 0

2 2

2πψ
2n r  ∂r 
( I − I 0 ).
(35)
0
В этом уравнении единственная функция, зависящая от обеих независимых переменных (r, z), – концентрация заряженных частиц n.
Для разделения переменных используем уравнения (20) и (30), откуда
n=
2I
.
cær 2
(36)
Здесь числитель является функцией только от z, а знаменатель –
только от r. Подставляя (36) в (35) и извлекая корень, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
∂ψi  2 I  u0 ( I − I 0 ) 1
=
.

∂r  cæ 
πMψ0 r
Его решением с учетом физического смысла функции потока
ионов будет:
r
 2I  u ( I − I0 )
ψi =   0
ln
+ I .
πMψ0
rкат 2πe
 cæ 
(37)
В это уравнение входят две произвольно меняющиеся функции: I(z) и rкат(z).
Итак, полученное аналитическое решение (37) описывает зависимость функции потока ионов от координат в катодном
 I0


I 
≤ ψi ≤ 0 и основном 0 ≤ ψi ≤ ψ 0 + 0  подпотоках.
−

 2πe
2πe 

Зависимость ψi (r, z) для анодного подпотока. Подставим в
уравнение (26) зависимости энергий электронов и ионов от их
функций потока (29) и (31). Тогда, аналогичным образом исключив n (r, z), получим следующее уравнение:
∂ψi 1  2 I  2eu0
I
=  
− ψi .
ψ0 +

∂r
2πe
r  cæ  Mψ0
20
Интегрируя это соотношение, найдем искомую функцию потока ионов от координат в анодном подпотоке:
ψi = ψ 0 +
2
 2I  u ( I − I0 )
I0
r  I  2eu0 2 r
ln * −  
ln * , (38)
+   0
2πe  cæ 
πMψ 0
rан  cæ  Mψ 0
rан
*
*
где rан
= rан
( z ) – уравнение границы основного и анодного подпотоков.
I
I
.
Соотношение (38) определено при ψ0 + 0 ≤ ψi ≤ ψ 0 +
2πe
2πe
Геометрия канала ускорителя. Полученные уравнения (37) и
(38) позволяют в соответствии с введенным выше определением
подпотоков рассчитать местоположение границ между ними и межэлектродный зазор. Если в соотношение (37) подставить значения
функций потока для границ катодного и основного подпотоков
*
*
rкат
, а также основного и анодного подпотоков rан
, можно найти
связь между профилем катода и радиусами соответствующих границ.
*
Так, для rкат
/ rкат нетрудно получить следующее уравнение:
*
rкат
rкат
 cæ
πMψ0 
= exp −
,
 4πe u0 ( I − I 0 ) 
(39)
а для rан* / rкат – соотношение
*
rан
rкат



I0 − I 


ψ0 +

.
π
2
e
= exp −

 2 I u0 ( I − I 0 ) 


 cæ
πMψ0 

Из (38), полагая ψi = ψ0 +
(40)
I
, можно найти отношение
2πe
*
rан / rан
:
21
 cæ Mψ ( I − I ) 
0
0 
= exp 
.
*
2
πe u 0
rан
 2 I

rан
(41)
Исключая из двух последних уравнений rан* , можно получить
связь между радиусами катода и анода, т. е. определить межэлектродный зазор:
rкат


I − I0 

ψ0 +


2πe
= rан exp  −
.
 2 I u0 ( I − I 0 ) 
 cæ
πMψ0 
(42)
Расчет характеристик ускорителя. Полученные аналитически соотношения позволяют рассчитать все характеристики изомагнитного течения двухкомпонентной высокоэнергетичной плазмы в ускорителе и параметры ускоряемого пучка. Исходными
данными для расчета являются:
а) род и свойства плазмообразующего газа;
б) полный ток разряда I0 и его распределение по длине ускорительного канала I(z);
в) напряжение на электродах u0;
I0
I
г) параметр обмена ξ =
(в общем случае ξ =
–
2πeψ 0
[e / M ] m
отношение тока к расходу газа, выраженному в токовых единицах
[5, 13]);
д) длина ускорителя L;
е) геометрия анода rан = rан(z).
Приведем типовой порядок расчета.
1. Определяем максимальное значение функции потока электронов:
ψ0 =
I0
2πeξ
.
2. По формуле (30) определяем константу вмороженности æ.
22
3. Определяем геометрию канала ускорителя. Для этого по
формуле (42) находим профиль катода, а затем по соотношениям
(39), (40) – профили границ подпотоков.
4. Рассчитываем по формуле (37) зависимости функции по I

тока ионов от координат в катодном − 0 ≤ ψi ≤ 0 и основ 2πe


I 
ном 0 ≤ ψi ≤ ψ 0 + 0  подпотоках.

2πe 
5. Используя соотношение (28), рассчитываем зависимости
функции потока электронов от координат в катодном и основном
подпотоках.
6. С помощью соотношений (20), (25) и (30) определяем пространственные зависимости напряженности магнитного поля и
концентрации заряженных частиц.
Далее с помощью компьютерных средств визуализации основные результаты можно отобразить на плоскости и в пространстве.
Напомним, что линии ψi ,е = const представляют собой траектории
ионов и электронов, а электронные траектории – также и эквипотенциали. Затем с использованием операции дифференцирования
могут быть построены распределение электрического поля в канале ускорителя, проекции скоростей частиц на оси координат и др.
Кроме того, полученные результаты позволяют проверить и применимость использованных при расчете упрощений. Так, построив
пространственную зависимость отношения квадратов проекций
скоростей частиц, можно оценить корректность приближения
плавного канала.
Таким образом, применение формализма функций потока для
получения аналитического решения двумерных уравнений магнитной гидродинамики предоставляет большие возможности и
может быть рекомендовано для выполнения домашних заданий,
курсовых и дипломных проектов.
1.2. Расчет магнитных конфигураций и магнитных полей
в плазменных установках
Во многих плазменных системах для реализации требуемых
механизмов ускорения, существенного уменьшения роли явлений
переноса, снижения воздействия плазмы на окружающие разряд
элементы конструкции используются магнитные поля, создавае23
мые постоянными магнитами или токами, которые протекают как
во внешних обмотках катушек, так и в самих плазменных образованиях. В то же время большинство аналитических методов расчета процессов в плазменных системах основано на предположениях, что магнитное поле отсутствует, или значение индукции B
столь мало, что не оказывает существенного влияния на протекающие процессы, или что магнитное поле в устройстве однородно. Однако существуют целые классы плазменных устройств, в
объеме которых имеются достаточно сильные магнитные поля
(собственные или внешние), которые существенно влияют на характер протекающих явлений.
Для анализа поведения разряда в таких сложных системах необходимо знать конфигурацию магнитных полей в устройстве.
При этом методы расчета магнитных конфигураций должны давать не только значения проекций вектора индукции магнитного
поля на координатные оси (эти значения необходимы, в частности,
для подстановки в уравнения движения компонентов с учетом конечной величины B – см., например, [14, 15]), но и топологию магнитных силовых линий. По качественной картине, представляющей магнитную конфигурацию, можно, например, определить место, в котором наиболее вероятен контакт дуги с электродом, и
сделать какие-то прогнозы о характере приэлектродных процессов
в системе и о ресурсе электродов. Изменяя магнитную конфигурацию, можно обеспечить требуемое взаимное расположение дуги и
электрода. Кроме того, если поля в системе являются переменными во времени, на основании такого анализа можно предсказать
динамику процессов в данном устройстве, что очень важно с точки
зрения правильной организации конструкции генератора или ускорителя плазмы.
Известен ряд экспериментальных работ, где наложение продольных или поперечных по отношению к оси разряда магнитных
полей, а также полей сложной геометрии используется для воздействия на сварочную дугу и ее свойства (см., например, [16]), для
управления процессами, происходящими в полом катоде, и их диагностики [17] и т. п. Поэтому задача расчета конфигурации магнитных полей является, как правило, одной из важнейших составляющих анализа процессов в плазменном устройстве.
Литература, посвященная расчету магнитных полей в системах, ориентирована на достаточно сложные конфигурации [18, 19]
или сверхсильные магнитные поля мегагауссного диапазона [20,
21] и не содержит, за весьма редким исключением, непосредствен24
ных приложений к условиям, реализующимся в типичных генераторах и ускорителях плазмы, которые являются предметами исследования в студенческих курсовых и дипломных проектах.
Рассмотрим постановку некоторых простейших задач по расчету двумерных магнитных полей в плазменных устройствах, которые могут быть решены аналитически. Остановимся сначала на
нахождении проекций вектора магнитной индукции на оси цилиндрической системы координат, а затем рассмотрим способ построения магнитных силовых линий, который позволяет проанализировать геометрию магнитной конфигурации.
Расчет осесимметричных магнитных конфигураций, создаваемых системой кольцевых проводников, основан на суммировании по принципу суперпозиции составляющих магнитных полей,
создаваемых элементарными бесконечно тонкими кольцами с током [5, 18, 19]. В цилиндрической системе координат для плазменного устройства, не содержащего ферромагнитных материалов,
составляющие поля от такого кольца радиусом a с величиной тока
I можно определить в любой точке (r, z) по следующим формулам,
записанным в системе СИ:
−7
Br (r , z ) =−2⋅10


 2





r +a2 − z 2 

2
2 

, (43)
I
K k −
E k 
1/2 
2


2
(r − a) + z 2 
r (r + a) + z 2  






z
Bz (r , z ) = 2⋅10−7 I
( )
( )

 2 2




r −a + z 2 

2
2 

−
, (44)
K k

E k 
2

(r + a)2 + z 2 1/2 
(r − a) + z 2 





 
1
( )
( )
где K и E – эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно,
π/2
2
K (k ) =
∫ (1 − k
2
sin 2 ϑ
−1/ 2
)
dϑ ,
0
π/ 2
E (k 2 ) =
∫ (1− k
2
sin 2 ϑ
1/ 2
)
dϑ ,
0
25
k2 =
4ar
.
(r + a) 2 + z 2
Здесь r – расстояние от оси z, отсчитываемое по нормали. Нить
тока лежит в плоскости z = 0. Для расчета магнитных систем,
содержащих несколько катушек, этими формулами также можно
пользоваться, но с соответствующей заменой координат.
Отметим, что в предельном случае при стремлении числа
витков к бесконечности на оси бесконечно длинного соленоида с
числом витков n′ на единицу длины существует только
продольная составляющая магнитной индукции, равная
Bz = µ0 n′I . Для соленоида конечной длины соответствующая
формула приведена в [19].
Значения эллиптических интегралов в диапазоне 0 < k < 1
табулированы и приведены во многих справочниках (см.,
например, [22, 23]), а процедуры их вычисления присутствуют
практически во всех широко используемых математических
пакетах (например, в пакете MATLAB эта процедура имеет
наименование ELLIPKE).
После нахождения проекций вектор индукции магнитного поля
в любой точке с координатами (r, z) определяют по формуле
G
G
B = Br er + Bz ez ,
G G
где er , ez – единичные векторы в r- и z-направлениях соответственно.
Геометрию силовой линии можно найти для осесимметричных
систем аналитически, если использовать рассмотренный в параграфе 1.1 формализм функций потока.
Для этого по аналогии с тем, как это делалось для уравнений неразрывности компонентов (1), (2), вводят функцию магнитного потока ψН, такую, чтобы выполнялись условия
rH r = −
∂ψ H
∂ψ
, rH z = H .
∂z
∂r
Тогда кривая ψН = const будет изображать магнитную силовую
линию, а физически величина ψН будет означать магнитный поток
26
вдоль оси симметрии. Если найти вид зависимости ψН = ψН (r, z), нетрудно проанализировать и топологию магнитной конфигурации.
Для одиночного витка с током такая функция известна [5, 18]:
ψg =
µ0 I
πk 2
(
) ( )
( )
ar  1 − k 4 K k 2 − E k 2  .


(45)
Если магнитная система плазменного устройства состоит из
нескольких витков с током (или соленоидов), достаточно по принципу суперпозиции просуммировать значения функций магнитного потока и построить изолинии для этой функции. Никакое численное интегрирование при этом не требуется.
Построение силовых линий удобно осуществлять, например, с
помощью оператора CONTOUR пакета MATLAB.
Расчет сложных систем, состоящих не только из элементарных
кольцевых витков с током, основан на численном интегрировании
вдоль длины проводника известной формулы Био – Савара.
Для индукции магнитного поля, создаваемого током I,
протекающим в элементе проводника dl, в заданной точке
пространства она имеет вид
B = 1⋅10−7 I ∫
dl × r
r
3
,
где r – радиус-вектор, проведенный из элемента dl в точку, где
определяется значение B. Затем найденные составляющие Br и Bz
от различных элементов обмоток также алгебраически суммируют
с использованием принципа суперпозиции.
Представленные расчетные формулы позволяют определить
составляющие вектора B в объеме плазменного устройства.
Однако для нахождения топологии магнитного поля необходимо
построить магнитные силовые линии, вектор индукции к
которым касателен в каждой точке. Их координаты определяют
интегрированием дифференциального уравнения
dr dz
= .
Br Bz
Однако такой расчет осуществляется не аналитически, а
численно – методами Рунге–Кутта или Эйлера.
27
Магнитные конфигурации магнитных систем с сердечниками
из ферромагнетиков приходится рассчитывать с использованием
численных методов решения уравнений Максвелла. Наиболее
подходящим для этих целей является метод конечных элементов, а
расчеты удобно проводить с использованием пакета ANSYS.
1.3. Расчет двумерного температурного состояния
термоэмиссионного электрода дугового разряда
Организация эффективного охлаждения поверхности катода в
условиях весьма интенсивных (имеющих порядок 103…104 Вт/см2)
тепловых потоков из прикатодной области и необходимости поддержания высокой (на уровне 3000 K) температуры в зоне контакта с дугой обусловливает ряд требований, нередко противоречивых, к геометрии и материалу катода. В связи с этим выбор материала катода и оптимизация его геометрии для данных условий в
плазменном устройстве являются важнейшими практическими задачами.
Существенной составляющей энергетического баланса в
твердом теле – металле электрода – для термокатодов является
джоулево тепловыделение. Высокие значения плотности тока
(примерно 103 А/см2), реализуемые в термоэмиссионном режиме
работы катода в сильноточных плазменных устройствах, при характерных значениях удельного сопротивления традиционных
электродных материалов на основе тугоплавких металлов [24]
могут приводить к заметной роли джоулева нагрева электрода в
общем энергобалансе области. Подробно этот вопрос рассмотрен
в монографиях [14, 15].
Изменение структуры и свойств материала электрода также
может оказывать существенное влияние на катодные процессы. В
особенности это касается катодов из металлов, легированных активирующими присадками. Наряду с зависимостями от уровня
температур (превышение температуры рекристаллизации) традиционных для всех материалов свойств, например хрупкости, принципиальным становится влияние температуры на константы диффузии присадки в основном металле катода.
Важнейшими характеристиками процессов в твердом теле –
материале активированного термокатода – являются поле температур катода Tк(r, z) и распределение температуры Т(r) по эмиттирующей поверхности электрода.
28
Параметрами, задаваемыми для расчета процессов только в материале электрода кроме свойств и геометрии катода и разрядного
тока, являются размер пятна контакта дуги с катодом r0 и тепловой
поток q0, поступающий в электрод.
Решение двумерного уравнения теплопроводности с учетом
джоулева тепловыделения методом Фурье при некоторых допущениях может быть найдено для зависящего от температуры
удельного сопротивления. Следует отметить, что для термоэмиссионных катодов, когда перепад температур во вставке (для наиболее часто применяющейся конструкции «вольфрамовая вставка
– медный держатель») велик, изменение удельного сопротивления ρ(T) при высоких плотностях тока становится существенным.
Так, для вольфрама с изменением температуры от 300 до 3000 K
значение ρ возрастает примерно в 20 раз. Для катодов сильноточных плазменных устройств поставленная задача была решена
автором настоящего пособия совместно с В.В. Гужковым и
В.И. Хвесюком [14]. Для цилиндрического катода (или тугоплавкой вставки составного катода) в приближении λ = const стационарное уравнение теплопроводности имеет вид
∂ 2T
∂z 2
+
1 ∂T ∂ 2T jк 2 ρ
+
+
= 0.
r ∂r ∂r 2
λ
(46)
Если радиус площади контакта с дугой мало отличается от радиуса катода (а именно такие режимы близки к оптимальным для
термоэмиссионных электродов), можно считать плотность тока jк
I
во всем теле катода постоянной: jк = 2 = j. Полагая удельное
πR
сопротивление металла прямо пропорциональным температуре
(т. е. пренебрегая значением ρ0 в формуле ρ = ρ0 + αT, что является
хорошим приближением при достаточно высоких температурах
вблизи рабочего торца, где внутреннее тепловыделение наиболее
существенно), получаем уравнение
∂ 2T
∂z 2
+
1 ∂T ∂ 2T α j 2
+
+
T = 0,
r ∂r ∂r 2
λ
(47)
общее решение которого имеет вид
29

 α j2

 α j2

T (r , z ) = C1e Λz + C2 e−Λz C3 J 0  r
+Λ 2  + C4Y0  r
+Λ 2 , (48)




λ
λ






(
)
где C1 –C4 – постоянные интегрирования; J 0 (x) и Y 0 (x) – функции Бесселя нулевого порядка первого и второго рода соответственно.
Для определения постоянных C1–C4 и Λ, воспользовавшись
граничными условиями: а) при r = 0 T < ∞, т. е. температура на оси
катода ограничена; б) теплообмен на боковой поверхности (r = R)
отсутствует; в) тепловой поток в пятне контакта постоянен, равен
q0 и отсутствует вне его; г) температура на охлаждаемом торце
катода постоянна и равна температуре охлаждающей воды Tх, –
получим C4 = 0; условие для нахождения собственных чисел Λ
имеет вид


α j2
J1  R
+ Λ 2  = 0.


λ


(49)
Поскольку существует множество решений (49), добавим к
константам, собственным числам и температуре индекс n, который будет соответствовать n-му корню этого уравнения. Обозначив C1' = C1 C3 и C2' = C2 C3, получим два уравнения для определения этих констант:
 ∞
 α j2

q(r )
 ∑ Λ n C1′n -C2′ n J 0  r
,
+ Λ n2  = −


λ
λ
 n =0




∞
 α j2


Λ nl
−Λ n l
2

′
′
e
e
C
C
J
r
+
+
Λ
2n
0
n  = Tх .
 ∑ 1n


λ
0
=
n



(
(
)
)
Воспользовавшись свойством ортогональности
J0(Λnx) на отрезке [0; R] с весом x [25], найдем
30
(50)
функций


 q r e−Λ nl 

α j2
α j2
2 Tх J1  R
J1  r0
+ Λ 2n  − 0 0
+ Λ 2n  




λ
λ
λΛ n R





C1′n = − 
; (51)
2


α j2
α
j
R
+ Λ 2n J 02  R
+ Λ 2n  eΛ nl + e−Λ nl


λ
λ


(
)


 q r e Λ nl 

α j2
α j2
2 Tх J1  R
J1  r0
+ Λ 2n  − 0 0
+ Λ 2n  




λ
λ
λΛ n R





C2′ n = − 
. (52)
2


α j2
α
j
R
+ Λ 2n J 02  R
+ Λ 2n  e Λ nl + e −Λ nl


λ
λ


(
)
Чтобы получить окончательную формулу для распределения
T(r, z), необходимо вычислить отдельно составляющую T0(r, z),
α
i, где i = −1. Подстасоответствующую n = 0, т. е. Λ 0 = ±
λ
0
новка Λ0 в (48) дает неопределенность типа . Переходя к пределу
0
при Λ → Λ0, находим
 α j2 
 α j2

cos 
sin 
z
l − z)
(
2
 λ 
 λ

q0  r0 

+

 . (53)
T0 ( z ) = Tх
R
2
2
2
 αj 
 αj 
αj  
λ
l
l
cos 
cos 
 λ 
 λ 
λ




Таким образом, окончательная формула для расчета поля температур катода имеет вид
∞
(
T (r , z ) = T0 ( z ) + ∑ C1′n eΛn z + C2′ n e−Λn z
n=1
)


 α j2
J 0 r
+ Λ 2n . (54)

λ


31
Отметим, что если предположить вместо принятой выше упрощенной зависимость ρ = α (T – Tх), то решение в силу линейности уравнения (47) будет получено при подстановке вместо T разности T'= T – Tх. В этом случае из соотношения T'(r, l) = 0 следует
простая связь C2 = C1 e 2Λnl и в соответствующих формулах слагаемые, содержащие Tх, пропадают.
При практической реализации вычислений по формулам в виде
рядов Фурье – Бесселя необходимо тщательно исследовать влияние
точности определения корней трансцендентных уравнений для Λn на
погрешность суммы ряда и выбор числа слагаемых в последнем, а
также при расчете эмиссионного тока с учетом распределения температуры по рабочей поверхности электрода принимать во внимание
особенности сходимости рядов вблизи точки разрыва производной,
т. е. границы пятна контакта катода с дугой, где могут появляться немонотонности функции T(r). Такое исследование представлено в [14].
Оказалось, что суммы ряда колеблются вокруг некоторых значений с постепенным уменьшением отклонений и асимптотически
стремятся к значениям температуры в центре пятна контакта, которые могут быть найдены с относительно небольшой погрешностью усреднением суммы (54) ряда с учетом нескольких соседних
слагаемых уже при 10 –15 членах ряда.
При отсутствии теплообмена на цилиндрической поверхности
катода решение уравнения теплопроводности – более простое и
имеет вид
T ′( r , z ) =
∞
q0 r02
( )
(l − z ) + ∑ Cn J 0 Λ n r eΛn z − e−Λn (2l−z )  ,
2


λR
n=1
(55)
где T'(r, z) = T(r, z) – T0 (T0 – температура охлаждаемого торца катода); q0 – плотность теплового потока в электрод, полагаемая постоянной в пределах площади контакта с разрядом радиусом r0; R
и l – радиус и длина катода соответственно; J0 и J1 – функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно (начало координат соответствует «горячему» торцу электрода);
Cn = −
( ),
(1 + e2Λ l ) J 02 (Λn R)
J1 Λ n r0
2q0 r0
λR 2 Λ n2
n
а Λn определяют из условия J1(Λn R) = 0.
32
n = 1, 2, ...,
Если на границе z = l (охлаждаемый торец электрода) задать
граничное условие третьего рода с коэффициентом α1 теплообме∂T ′
на по закону Ньютона
+ hT = 0, где h = α1/λ, то решение бу∂z
дет иметь вид
T ′(r , z ) =
2q0 r0 ∞
∑
λ R 2 n =0
J1 (Λ n r0 )
 + h 2Λ l 
Λn 
e n −1 J 0 (Λ n R )
 Λn − h

2  Λn
×

Λ + h Λn (2l−z ) 
e
J Λ r .
×  eΛ n z + n

 0 n
Λn − h


( )
(56)
Решение методом Фурье допускает также и учет теплообмена
по закону Ньютона на поверхности r = R. Для этого достаточно
лишь изменить условие для определения Λn на следующее:
−Λ n J1 (Λ n R ) + hJ 0 (Λ n R ) = 0.
Для аналогичной ситуации, когда теплообмен по закону Ньютона происходит и на «холодном» торце, формула для суммы ряда
приведена в [26].
Поскольку таблицы функций Бесселя даны в справочниках по
специальным функциям, а процедуры для их вычисления имеются
во всех математических пакетах, практические расчеты по формулам в виде рядов не представляют каких-либо трудностей.
1.4. Расчет распределения потенциала в канале
линейного магнитогидродинамического генератора
При решении ряда задач электростатики весьма полезным может оказаться применение методов теории функций комплексного
переменного. Приведем решение уравнения Лапласа, описывающего распределение потенциала во входной области бесконечно
протяженного в направлении оси z канала фарадеевского МГДгенератора при параметре Холла β = 0 (так называемая продольная
задача) [4]. Постановка задачи здесь является достаточно сложной
33
(рис. 2): граничные условия на различных частях поверхностей y =
= 0; y = 2a, ограничивающих канал по вертикали, различаются.
Слева от начала координат они – второго рода (непротекание тока
на стенках из изолятора), а справа – первого (ϕ = ± ϕw на
эквипотенциальных электродах).
Рис. 2. Геометрия канала МГД-генератора
Уравнение неразрывности плотности тока имеет вид
div j = 0.
Учитывая закон Ома j = σE и предполагая проводимость
плазмы в канале постоянной, получаем уравнение Лапласа
∇ 2 ϕ = 0.
Для двумерной задачи в декартовой системе координат оно
имеет вид
∂ 2ϕ
∂y 2
+
∂ 2ϕ
∂z 2
= 0.
(57)
Аналитическое решение уравнения (57) основано на нахождеπ
π
z+i
y
нии такого конформного отображения плоскости W =
2a
2a
34
на плоскость W ′ = z ′ + iy ′, при использовании которого вид искомой зависимости ϕ ( z ′, y ′ ) становится тривиальным. Проанализировав известные отображения с помощью элементарных функций
(например, в [27, 28]), авторы [4] выбрали в качестве отображающей зависимость
eW = sin W ′.
(58)
Связь координат на этих двух плоскостях нетрудно получить,
если применить формулу Эйлера и приравнять действительные и
мнимые части уравнения (58). Эти равенства имеют вид
 πz
π
y = sin z ′chy ′,
e 2 a cos

2a
 π
 2a z
π
y = cos z ′shy ′.
 e sin
2a

(59)
Вид области интегрирования в плоскости W ′ приведен на рис. 3.
Эта область представляет собой вертикальную полубесконечную полосу шириной π, а граница раздела z = 0 в новых координатах описывается формулой sh 2 y ′ = cos 2 z ′.
Oчевидным решением – функциy′
ей, определяющей эквипотенциаль, –
является линейная зависимость потенциала от координаты z ′:
ϕ=
2ϕw
z ′.
π
(60)
Действительно, эта линия параллельна электродам и перпендикулярна изолированным стенкам.
z′
Обратное преобразование (60) к
исходным координатам (y, z) дает искомую зависимость потенциала от Рис. 3. Область интегрирования
в плоскости W ′
координат:
35


πz
 1 
2ϕ w
arccos ± 1− e a +
ϕ( y, z ) =
π
 2



πz  2
πz

π
y
 
1− e a  + 4e a sin 2   . (61)


2a 




Формула (61) позволяет точно рассчитать распределение потенциала в плоскости (y, z) канала, не привлекая численные методы.
В заключение гл. 1 отметим, что мы рассмотрели только небольшую часть методов, которые могут быть использованы для
нахождения аналитических решений достаточно сложных уравнений, описывающих процессы в плазменных установках. В этих
целях могут применяться и другие методы: малого параметра, последовательных приближений, разложения в различного рода ряды, а также асимптотические решения и др. С некоторыми из них
применительно к теории теплопроводности можно ознакомиться,
например, в [29, 30].
Иногда полученных аналитически зависимостей оказывается
достаточно для аргументированного конструирования плазменных
установок, но гораздо более сложные корректно поставленные задачи могут быть решены только численными методами. Однако и
в этих случаях аналитические решения имеют большое значение
для применения в качестве тестов при оценке точности и проверке
сходимости к искомому решению в ряде предельных случаев.
36
2. ОСНОВЫ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕ И ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ
Методика преподавания в техническом университете такова,
что после изложения общеобразовательных (высшая математика,
физика, химия и т. д.) и общеинженерных дисциплин (теоретическая механика, сопротивление материалов, теплофизика, гидрогазодинамика, термодинамика и пр.) на специальных кафедрах излагаются курсы, посвященные устройству и расчету различных технических систем, на основе изучения которых выпускник вуза
должен в полной мере овладеть искусством проектирования сложных объектов.
Если проанализировать современный уровень разработки различных машин и аппаратов, можно сделать вывод, что математические модели для одного из важнейших этапов конструирования –
расчета рабочих процессов в реальных системах – лишь в редких
случаях допускают аналитическое решение. Между тем готовящемуся к самостоятельной работе специалисту крайне необходимо
произвести корректный расчет конструкции именно создаваемого
аппарата, а не использовать удобную с точки зрения применения
знакомых методов простую расчетную модель (например, модель
балки, расчету которой на прочность учат студентов на младших
курсах). Точно так же обстоит дело и с расчетом важнейших рабочих процессов в проектируемом устройстве: изложенные в соответствующих курсах основы, как правило, плохо применимы к реальным конструкциям плазменных систем.
В этих условиях на помощь молодым специалистам могут придти различные программные среды для расчета процессов в инженерных конструкциях. Они основаны на применении численных
методов, позволяющих решать системы дифференциальных уравнений, описывающих те или иные процессы в реальных устройствах. Как правило, в программы обучения студентов входят специальные разделы математики, в которых изложены основы численных методов и их применения к решению систем уравнений различных классов и различной сложности. Однако имеющиеся в
свободном доступе пакеты программ и программные среды для
инженерных и научных расчетов, как правило, лишены подробного русскоязычного (а зачастую и какого-либо другого) сопровождения, в котором были бы описаны основы используемых в них
методов, области применения, корректность их использования,
37
способы оценки погрешностей и т. п. Применение таких пакетов и
сред в учебном процессе носит в большой степени интуитивный
характер.
В этой главе делается попытка устранить разрыв между математическими моделями и применяемыми для их решения методами и пакетами программ. Здесь очень кратко будут изложены основные понятия численных методов, применяемых для реализации
моделей процессов в плазменных установках.
При использовании численных методов вместо требуемого
точного решения некоторой задачи находят решение другой задачи, близкое к искомому. Оно зависит от некоторых параметров
(и прежде всего от параметра дискретизации – шага сетки),
управляя которыми, можно найти искомую функцию с требуемой
точностью.
Имеется достаточно большое количество монографий и учебных пособий, посвященных численным методам решения дифференциальных уравнений. Однако они либо предназначены для
специалистов в области вычислительной математики (см., например, [6]), либо рассчитаны на студентов математических факультетов университетов и содержат большое число теорем, посвященных доказательствам единственности решения, сходимости, точности и порядка аппроксимации и т. п. (например, [31]). Между
тем студентам технических вузов необходимы более простые
учебники, содержащие основы методов и ориентированные на
практические вопросы их применения к решению задач математической физики. Данная глава базируется на литературных источниках, в которых эти аспекты изложены наиболее доступно.
Существует достаточно много как универсальных численных
методов, которые применяются при реализации широкого круга
разнообразных математических моделей процессов, так и специализированных методик, разработанных применительно к системам
с определенным сочетанием параметров. Отметим очень кратко
лишь основные из них, которые могут быть наиболее полезны для
расчета плазменных установок.
Для решения дифференциальных (а иногда – и интегродифференциальных) уравнений различных типов наиболее развит и широко используется метод конечных разностей. Его основу составляют разбиение области интегрирования на ячейки с помощью
вычислительной сетки и аппроксимация производных конечными
разностями. В результате дифференциальное уравнение сводится к
системе линейных алгебраических уравнений, содержащих боль38
шое число (несколько десятков или сотен) неизвестных – значений
искомых функций в узлах сетки. Подробно разработаны схемы
решения обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений
в частных производных для линейного и нелинейного случаев, одно-, двух- и трехмерных задач и т. п. К недостаткам метода следует отнести трудности аппроксимации граничных условий для
сложных областей интегрирования, громоздкость и относительно
низкую экономичность схем решения многомерных задач, ограничения на шаги сетки по пространству и времени, связанные с устойчивостью и сходимостью к искомому решению, и т. п. Однако
этот фундаментальный метод, начало интенсивной разработки которого приходится на 1950–60-е годы, и в настоящее время является одним из наиболее часто используемых, а основные его понятия
и приемы широко применяются в других численных методах.
Для сложных областей интегрирования решение дифференциальных уравнений в частных производных нередко проводят методом конечных элементов. Исходные соотношения и граничные
условия удовлетворяются здесь в осредненном смысле для выбранного конечного объема (элемента) среды. Аппроксимация
функций осуществляется локально на каждом конечном элементе,
который может быть выбран в виде произвольного многоугольника, в том числе с криволинейными сторонами. Наибольшее применение нашли треугольные конечные элементы. При этом в методе
конечных элементов определяются значения функции не только в
вершинах треугольников, но и в любых точках внутри конечного
элемента. Широко используется данный метод, например, в задачах исследования деформированного состояния твердого тела, а
для расчета процессов в плазменных установках прежде всего –
для расчета магнитных конфигураций и нахождения распределения индукции магнитного поля в системе с ферромагнетиками.
Метод частиц сочетает в себе достоинства лагранжева и эйлерова подходов. Область решения здесь разбивается непрерывной
эйлеровой сеткой, а сплошная среда представляется дискретной
моделью, т. е. рассматривается совокупность частиц фиксированной массы, которая движется через эйлерову сетку. В методе
используется принцип расщепления по физическим процессам,
благодаря чему разработан единый алгоритм решения уравнений
различной размерности. Этот метод позволяет изучать сложную
динамику многокомпонентных сред, следить за свободными поверхностями и линиями раздела сред, взаимодействием разрывов.
Он широко применяется для решения уравнений движения в сово39
купности с соотношениями Максвелла. Недостатки метода – проблема вычислительной неустойчивости и ограниченное число частиц, используемых в расчетах.
Среди специальных методов, изложение которых выходит за
рамки данного пособия, можно отметить следующие. В механике
сплошных сред при исследовании течений различных сред (в том
числе плазмы), а также при изучении турбулентных процессов нашли
широкое применение методы статистического моделирования (методы Монте-Карло). При решении уравнений электродинамики часто
используются также вариационно-разностные и проекционносеточные методы. Кроме перечисленных здесь основных методов
используется целый ряд их разновидностей (например, методы характеристик, частиц в ячейках, укрупненных частиц и т. п.).
2.1. Метод конечных разностей
Принципы метода и его фундаментальные понятия в настоящем параграфе изложены на основе подхода, развитого в работах
академика А.А. Самарского и его сотрудников [32–34].
Основные понятия. Для дискретизации пространства функций f(x) непрерывного аргумента x ∈ [a, b] на отрезке a ≤ x ≤ b
вводится конечное множество точек ω = {xi, i = 0, 1, ..., N, x0 =
= a, xN = b, xi < xi+1}, которое называется сеткой, а точки xi – узлами
сетки ω. Если расстояние между соседними узлами постоянно и не
зависит от i, т. е. hi = h для всех i = 1, 2, ..., N, то сетка ω называется
равномерной (с шагом h), в противном случае – неравномерной. Таким образом, вместо функции f(x), определенной для всех x ∈ [a, b],
анализируется сеточная функция yi = f(xi) целочисленного аргумента i (i = 0, 1, ..., N), которую можно рассматривать как вектор y =
= (y0,y1, ..., yN).
Аналогично проводится также и дискретизация пространства
функций многих переменных. Для этого вводится сетка ω как
множество точек (узлов) пересечения прямых, параллельных осям
координат, и вместо функции f(x1, x2) рассматривается сеточная
функция y(i1, i2) = f(i1h1, i2h2).
Можно выделить два основных этапа применения численных
методов для решения задачи методом конечных разностей: 1) получение дискретной (разностной) аппроксимации дифференциальных уравнений и исследование получающихся при этом разностных уравнений; 2) решение разностных уравнений.
40
Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений.
Для сеточной функции, т.е. функции целочисленного аргумента
y(i) = yi, i = 0, ±1, ±2, ... вводятся операции, являющиеся дискретным
(разностным) аналогом дифференцирования и интегрирования.
Для получения аналогов первой производной служат разности
первого порядка:
∆yi = ∆yiпр = yi +1 − yi – правая разность;
∇yi = ∆yiл = yi − yi−1 – левая разность;
δ yi = ∆yiц = ∆yi0 = 1 2 ( yi+1 − yi−1 ) = 1 2 (∆yi + ∇yi ) – центральная разность.
Далее вводятся разности второго порядка:
∆2 yi =∆(∆yi ) = yi+2 − 2 yi+1 + yi ,
∆∇yi =∆(∇yi ) = yi+1 −2 yi + yi−1.
Аналогично
определяется
разность
m-го
порядка:
m−1
∆ yi =∆(∆ yi ).
Разностные уравнения. Линейное уравнение относительно
сеточной функции yi = y(i) (i = 0, ±1, ±2, ...)
m
a0(i) y(i) + a1(i) y(I + 1) + ... + am(i) y(i + m) = f(i),
(62)
где ak(i) (k = 0, 1, ..., m), f(i) – заданные сеточные функции, a0(i) ≠ 0,
am(i) ≠ 0, называется линейным разностным уравнением m-го порядка. Оно содержит m + 1 значение функции y(i).
Пользуясь формулами для разностей ∆yi, ∆2yi, ..., ∆myi и выражая значения yi+1, yi+2, ..., ym+1 через yi и указанные разности, можно
получить другую запись разностного уравнения m-го порядка:
α0(i) yi + α1(i) ∆yi + ... + αm(i) ∆myi = f (i),
где i = 0, ±1, ±2, ..., чем и объясняется термин «разностное уравнение».
Если коэффициенты α0, α1, ..., αm не зависят от i, то (62) называется разностным уравнением с постоянными коэффициентами.
Разностные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Задача Коши и краевая задача. Эти задачи наи41
более часто встречаются при расчете процессов в плазменных установках. Рассмотрим разностное уравнение с переменными коэффициентами
bi yi+1 – ci yi + ai yi–1 = – fi,
(63)
где ai ≠ 0, bi ≠ 0, i = 0, 1, 2, ...
Так как bi ≠ 0, можно получить следующее рекуррентное соотношение:
yi +1 =
ci yi − ai yi −1 − fi
.
bi
(64)
Решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных и может быть найдено, если заданы два дополнительных условия. Если оба условия заданы в двух соседних
точках, то это – задача Коши. Если же два условия заданы в двух
разных (но не соседних) точках, получаем краевую задачу. Для
инженерных приложений основной интерес будут представлять
задачи второго класса.
Введем обозначение Lyi = b yi+1 – ciyi + aiyi–1 и сформулируем
задачи математически. Для задачи Коши необходимо найти решение уравнения
Lyi = fi, i = 1, 2, ...
при дополнительных условиях y0 = µ1, y1 = µ2.
Второе из этих условий можно записать иначе, т. е. ∆y0 = y1 − y0 =
=µ 2 −µ1 =µ1 , и говорить, что в случае задачи Коши заданы в одной точке i = 0 величины y0 = µ1; ∆y0 =µ1.
Для краевой задачи требуется найти решение уравнения
Lyi = fi, i = 1, 2, ..., N–1
при дополнительных условиях y0 = µ1, yN = µ2, N ≥ 2.
В граничных узлах i = 0 и i = N можно задать не только значения функций, но и их разности и комбинации, т. е. выражения
α1 ∆y0 + β 1 y0 при i = 0 и α2 ∇yN + β 2 yN при i = N.
42
Такие условия в общем случае можно записать в виде
y0 = æ1 y1 + µ1; yN = æ2 yN–1 + µ2.
Если æ1 = æ2 = 0, то получим условия 1-го рода, при æ1 = æ2 =
= 1 – второго рода: ∆y0 = –µ1, ∇yN = µ2.
Если æ1,2 ≠ 0 или æ1,2 ≠ 1, то эти условия называются условиями третьего рода, т. е.
– æ1 ∆y0 + (1 – æ1) y0 = µ1,
æ2 ∇yN + (1 – æ2) yN = µ2.
Кроме того, возможны краевые задачи с комбинацией этих
условий.
Решение задачи Коши определяется непосредственно по рекуррентной формуле (64) с учетом начальных значений y0 = µ1,
y1 = µ2. Решение краевых задач находится более сложным методом
(методом исключения) и будет рассмотрено ниже.
Использование метода конечных разностей. Для получения
разностного уравнения вместо дифференциального необходимо:
– заменить область непрерывного изменения аргументов дискретным множеством точек (сеткой);
– заменить (аппроксимировать на сетке) дифференциальное
уравнение разностным уравнением.
После этого вопрос о численном решении дифференциального
уравнения сводится к вопросу о решении разностных уравнений.
Аппроксимация обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть G – область евклидова пространства с границей Γ.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию v(x), x ∈ G. Введем на G = G + Γ сетку ωh =
= {xi = ih; i = 0, 1, 2, ..., N, h = 1/N} (в отличие от ωh = {xi = ih; i =
= 1, 2, ..., N –1} – множества внутренних узлов) и будем рассматривать сеточную функцию vh(x), x ∈ ωh. Заменим Lv в точке xi ∈
ωh линейной комбинацией значений vh(x) сеточной функции на
некотором множестве узлов сетки, которое называется шаблоном:
(Lh vi ) =
∑ aijhvh ( x j ), xi ∈ ωh (G ),
(65)
x j ∈σi
43
где aijh – коэффициенты, σi – шаблон, σi ∈ ϖh.
Такая замена Lv на Lhv называется аппроксимацией на сетке
дифференциального оператора L разностным оператором Lh или
разностной аппроксимацией оператора L. Построение Lh надо начинать с выбора шаблона σ(x), т. е. множества узлов, соседних с
узлом x ∈ ωh, (и включающих в себя, может быть, и сам этот узел),
значения сеточной функции vh(x) в которых могут быть использованы при написании выражения для Lh.
Примеры аппроксимации на сетке простейших дифференциальных операторов.
dv
1. Первая производная Lv= =v′( x).
dx
Правая разностная производная
L+h v=
v( x + h)−v( x)
=vx , шаблон (x, x + h);
h
левая разностная производная
L−h v=
v( x)−v( x − h)
=vx , шаблон (x – h, x);
h
центральная разностная производная
L0h v=
v( x + h)−v( x − h)
=v0 , шаблон (x – h, x + h).
x
2h
На трехточечном шаблоне (x – h, x, x + h) можно определить
разностный оператор
L(σ)
h v = σ vx + (1 − σ)vx ,
где σ – действительный параметр. Таким образом, существует бесконечное множество разностных аппроксимаций первой производной на трехточечном шаблоне.
44
Погрешностью аппроксимации оператора L оператором Lh называют разность ψ = Lh v – L v . Говорят, что Lh имеет m-й порядок
аппроксимации в точке x, если ψ(x) = Lh v (x) – L v (x) = О(hm) или
|ψ (x)| ≤ M hm, где M – постоянная, не зависящая от h, m > 0. Для
оценки ψ часто используется формула Тейлора [34]. Нетрудно показать, что vx −v′ = O(h), vx −v′ = O(h), v0 −v′ = O(h 2 ).
x
В общем случае для произвольного σψ(σ) = О[(σ – 1/2)h + h2].
d2 v
2. Вторая производная L v = 2 = v′′( x).
dx
Для трехточечного шаблона
L h v( x ) =
v ( x + h) − 2v ( x) + v ( x − h)
.
h2
При этом Lh имеет второй порядок аппроксимации, т. е. ψ = О(h2).
Решение разностных краевых задач второго порядка методом прогонки (факторизации). Краевая задача
ai yi–1 – ci yi + bi yi+1 = –fi, ai ≠ 0, bi ≠ 0, i = 0, 1, 2, ...,
i = 1, 2, ..., N–1,
(66)
y0 = æ1 y1 + µ1, yN = æ2 yN–1 + µ2
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений
с трехдиагональной матрицей размером (N + 1) × (N + 1):
 1 −æ1 0

a1 −c1 b1 0

.
.
.
.


A= 
ai −ci
0
.
.
.
.


0



.
bi
.
0
0
.
.
aN−1
0
.
.
−cN−1
−æ 2




. 
.




bN−1

1 
45
В матричной форме:
A Y = F,
где векторы Y = (y0, y1, ..., yN )т; F = (µ1,–f1, ..., –fN–1, µ2)т.
Для решения указанной краевой задачи можно использовать
специальный метод исключения, называемый методом прогонки
(факторизации). Суть его заключается в следующем.
Предположим, что имеет место рекуррентное соотношение
yi = αi+1 yi+1 + β i+1
с не определенными пока коэффициентами α и β. Подставив это
соотношение для yi–1 = αiyi + β i в разностное уравнение и разрешив
его относительно yi, получим рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов:
α i+1 =
bi
f + ai βi
.
, βi+1 = i
ci − aiα i
ci − ai α i
Используем краевое условие при i = 0 для определения α1 и β 1.
Сопоставив y0 = α1y1 + β 1 и y0 = æ1 y1 + µ1, получим α1 = æ1, β 1 = µ1.
Тогда по рекуррентным формулам для прогоночных коэффициентов можно найти все α и β вплоть до αN и β N.
Из второго краевого условия с учетом yN–1 = αN yN + β N определяем yN в граничном узле:
yN =
æ 2β N + µ 2
.
1−æ 2α N
После этого значения искомой функции легко найти, используя рекуррентное соотношение для значений искомой сеточной
функции. Таким образом, краевая задача для уравнения второго
порядка сводится к трем задачам Коши для уравнений первого
порядка.
Устойчивость метода прогонки. Описанный алгоритм решения системы устойчив в определенных пределах. Отсюда вытекают некоторые требования к значениям коэффициентов разностных
уравнений и параметров æ и µ. Одним из таких условий является
46
необращение знаменателя в формулах для прогоночных коэффициентов в нуль. Анализ других факторов [32, 34] приводит к следующим соотношениям:
ci ≥ ai + bi, i = 1, 2, ..., N–1; æ1 ≤ 1, æ2 ≤ 1,
æ1 + æ2 < 2; αi ≤ 1, i = 1, 2, ..., N.
При выполнении этих условий задача (66) имеет единственное
решение, которое находят по формулам прогонки.
Другие разновидности прогонки. Рассмотренный выше вариант метода прогонки часто называют еще правой прогонкой (по
определению yi справа налево). Однако в ряде случаев (например,
если условие на функцию задано на правой границе, а на производную – на левой) для нахождения поля искомой функции используют так называемую левую прогонку. В этом случае рекуррентное соотношение, связывающее значения функции в соседних
точках, имеет вид
yi+1 = ξi+1 yi + ηi+1.
Исключая из этого уравнения yi+1, можно получить рекуррентные соотношения для определения коэффициентов ξ и η левой
прогонки:
ξi =
f +b η
ai
, ηi = i i i+1 .
ci −bi ξi+1
ci −bi ξi+1
Тогда с учетом граничных условий y0 = æ1 y1 + µ1 и y1 = ξ1 y0 +
+ η1, yN = æ2 yN–1 + µ2 и yN = ξN yN–1 + ηN получим ξN = æ2, ηN = µ2 и
y0 =
æ1η 1 + µ1
.
1−æ1ξ1
Метод встречных прогонок – комбинация левой и правой прогонок. При использовании этого метода в области значений 0 ≤ i ≤
≤ i0 + 1 по формулам правой прогонки вычисляют прогоночные
коэффициенты αi, β i, а в области i0 ≤ i ≤ N по формулам для левой
прогонки находят ξi и ηi. При i = i0 решения «сшиваются».
47
Разностные уравнения в совокупности с разностной аппроксимацией граничных и начальных условий составляют разностную
схему. Иногда для краткости так же называют лишь систему разностных уравнений, подразумевая при этом, что в конкретной задаче к ней добавляется разностная запись краевых условий.
Разностные схемы решения уравнения теплопроводности.
Нестационарный процесс распространения теплоты в одномерном
стержне 0 < x < l описывается уравнением теплопроводности
cρ
∂u ∂  ∂u 
=  k  + f 0 ( x, t ) ,
∂t ∂x  ∂x 
где c – теплоемкость единицы массы; ρ – плотность; u = u(x,t) –
температура; k – коэффициент теплопроводности; f0 – функция источника.
Это уравнение очень часто встречается в математических моделях процессов в плазменных установках. Хотя с его помощью
описываются и другие процессы переноса (диффузия, перенос
электрического заряда), в математике его называют уравнением
теплопроводности.
Величины c, ρ, k, f0 могут зависеть не только от x и t, но и от
температуры (квазилинейное уравнение теплопроводности) и даже
от du/dx (нелинейное уравнение). Если же k, c, ρ – константы, то
уравнение теплопроводности записывают в виде
∂u
∂ 2u
= a2 2 + f ,
∂t
∂x
f0
k
– коэффициент температуропроводности.
; æ = a2 =
cρ
cρ
Заменой переменных всегда можно получить a = 1, l = 1.
Первая краевая (или начально-краевая) задача формулируется
следующим образом: требуется найти непрерывное в области D =
= {0 ≤ x ≤ 1} решение системы для моментов времени 0 ≤ t ≤ Т:
где f =
∂u
∂ 2u
= a 2 2 + f ( x, t ) ,
∂t
∂x
48
(67)
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ Т; u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, t) = u1(t), u(1, t) = u2(t), 0 ≤ t ≤ Т.
Вводя в области D сетку с шагами h по x и τ по t и заменяя
производные по x и t соответствующими разностными выражениями для правой части уравнения (67), взятой в виде линейной
комбинации разностных операторов Λ на j-м и (j + 1)-м слоях, получаем следующую схему:
yij +1 − yij
= σΛyij +1 + (1 − σ ) Λyij + ϕij ,
τ
где σ – действительный параметр (0 ≤ σ ≤ 1); Λyi =
(68)
yi +1 − 2 yi + yi −1
–
h2
разностный аналог второй производной по пространственной
координате, а ϕij – некоторая правая часть (например, ϕi = fi j ,
ϕi = fi j +1/ 2 и т. п).
Записанная разностная схема определена на шеститочечном
шаблоне (верхняя строка соответствует (j+1)-му временному слою,
нижняя – j-му):
(xi–1, tj+1)
(xi, tj+1)
(xi+1, tj+1)
(xi–1, tj)
(xi, tj)
(xi+1, tj).
Если σ = 0, то схема называется явной, она определена на четырехточечном шаблоне. Значения функции на (j + 1)-м слое в
этом случае находят по явной формуле
τ
 2τ 
yij +1 =  1 − 2  yij + 2 yij−1 + yij+1 + τϕij .
h
 h 
(
)
При σ = 1 на четырехточечном шаблоне имеем полностью неявную схему, или схему с опережением:
yij +1 − yij yij−+11 − 2 yij +1 + yij++11
=
+ ϕij .
2
τ
h
(69)
49
Для нахождения yij +1 из (69) получаем краевую задачу
τ j +1  2τ  j +1 τ j +1
y −  1 + 2  yi + 2 yi −1 = − fi j , 1 < i < N,
2 i +1
h
h
 h 
которую можно решить методом прогонки.
Часто используется также симметричная неявная схема с σ =
= 1/2 (схема Кранка – Николсона), определенная на шеститочечном шаблоне:
yij +1 − yij 1  yij−+11 − 2 yij +1 + yij++11 yij−1 − 2 yij + yij+1 
j
= 
+
 + ϕi .
2
2

2
τ
h
h

Отсюда значения yij +1 на новом временном слое находят также
методом прогонки.
В общем случае при произвольном значении σ схему (68) называют схемой с весами. Оценка порядка аппроксимации для заданных схем показывает, что ψ = О(τ + h2) при ϕi = fi j и σ ≠ 1/2, ψ =
= О(τ2 + h2) при ϕi = fi j +1/ 2 и σ = 1/2.
Условие устойчивости получается из требования неотрицательности коэффициента при yi и для произвольного σ имеет вид
h2
τ≤
. Заметим, что это выражение записано для «безраз2 (1 − σ )
мерных» переменных. Для размерных величин оно выглядит так:
æτ
1
≤
. Полностью неявная (σ = 1) схема безусловно устой2
2 (1 − σ )
h
чива при любых τ и h.
Разностные схемы для уравнения Пуассона [32, 34]. Уравнение Пуассона в общем случае имеет вид
∆u = x−α
∂  α ∂ u  ∂ 2u
∂ 2u
x
+
+
β
= − f ( x, y, z ).
∂ x  ∂ x  ∂ y 2
∂ z2
Здесь β = 1 (при этом α = 0) соответствует трехмерным задачам, β = 0 – двумерным (при α = 0 – плоская задача, при α = 1 –
осесимметричная).
50
Для двумерного плоского случая
∆u =
∂ 2u ∂ 2 u
+
=− f ( x1 , x2 )
∂ x12 ∂ x22
будем искать решение, непрерывное в прямоугольнике
G = G ∪ Γ = { x = ( x1 , x2 ); 0 ≤ xα ≤ lα , , α = 1,2}
и принимающее на границе Γ заданные значения uΓ = µ(x). Такую
задачу называют задачей Дирихле (или первой краевой задачей).
Введем в G сетку
 x = (i1h1 , i2 h2 ),

ωh = ωh ∪ γ η = 

iα = 0, 1, ..., Nα , hα = lα / Nα , α =1, 2 
и обозначим через yi = yi1 ,i2 = y (i1 ,i2 )= y ( xi ) сеточную функцию,
где h1 и h2 – шаги сетки по координатам x1 и x2.
∂ 2u
Аппроксимируя производные
на трехточечном шаблоне
∂ xα2
∂ 2 u u ( x1 −h1 , x2 )−2u ( x1 , x2 ) + u ( x1 + h1 , x2 )
~
=u x x ,
1 1
h12
∂ x12
∂ 2u u ( x1 , x2 − h2 ) − 2u ( x1 , x2 ) + u ( x1 , x2 + h2 )
~
= ux x ,
2 2
h22
∂ x22
получим следующее разностное выражение:
y ( x1 − h1 , x2 )− 2 y ( x1 , x2 ) + y ( x1 + h1 , x2 )
h12
+
+
y ( x1 , x2 − h2 )− 2 y ( x1 , x2 ) + y ( x1 , x2 + h2 )
h22
=− f (i1 ,i2 ),
51
которое записано на пятиточечном шаблоне
(i1, i2 + 1)
(i1 – 1, i2)
(i1, i2)
(i1 + 1, i2).
(i1, i2 – 1)
Приведенную схему часто называют схемой «крест». Если шаги по x1 и x2 совпадают (т. е. сетка ωh – квадратная), то
1
y (i1 ,i2 )= [ y ( x1 −h1 , x2 )+ y ( x1 +h1 , x2 )+
4
+ y ( x1 , x2 −h2 )+ y ( x1 , x2 +h2 )+h 2 f (i1 ,i2 )].
Таким образом, для однородного уравнения ( f = 0) значение сеточной функции в центре шаблона определяют как среднее арифметическое значений в остальных его узлах. Схема имеет второй
порядок аппроксимации.
Многомерные задачи. На плоскости x = (x1, x2) рассмотрим область G с границей Γ. Будем искать решение уравнения теплопроводности в области G = G + Γ для всех моментов времени 0 ≤ t ≤ Т:
∂u
∂ 2u ∂ 2 u
= Lu + f ( x, t ) , Lu = 2 + 2 .
∂t
∂x1 ∂x2
На границе Γ области G зададим краевые условия первого рода u =
= µ(x, t), x ∈ Γ, 0 ≤ t ≤ Т и начальное условие (при t = 0) u(x = 0) = u0(x).
Пусть G – прямоугольник: { 0 ≤ x1 ≤ l1 , 0 ≤ x2 ≤ l2 }. Вводя сетку
{
}
ωh = xi = ( x1(i1 ) , x2(i2 ) ); xα(iα ) = iα hα ; iα = 0, 1, ..., Nα , hα = lα / Nα , α =1, 2
с границей
γ h = { xi = (i1h1 , i2 h2 ): i1 = 0, N1 , 0<i2 < N 2 ; i2 = 0, N 2 , 0<i1 < N1} ,
52
как и ранее, аппроксимируем оператор Лапласа Lu разностным оператором на пятиточечном шаблоне Λu = u x1 x1 + u x2 x2 .
Введем на отрезке 0 ≤ t ≤ Т сетку по времени с шагом τ и запишем схему с весами:
yij +1 − yij
= Λ σy j +1 + (1 − σ ) y j  + ϕ j , j = 0, 1, …,
τ
(
)
(
)
где y j = y xi , t j = y i1h1 , i2 h2 ; t j , x = ( i1h1 , i2 h2 ) ∈ ωh ;
y(x, 0) = u0(x); x = ( i1h1 , i2 h2 ) ∈ ωh ;
y(x, t) = µi(t); t = jτ ∈ ω τ.
Для определения yˆ = yi +1 на новом слое надо решить разностное уравнение
yˆ − στΛyˆ = F , F = y + (1 − σ ) τΛy + τϕ, x ∈ ωh ; yˆ = µ, x ∈ γ h .
Следует отметить, что разностный оператор Λ аппроксимирован на пятиточечном шаблоне. Для решения таких разностных
уравнений используют специальные методы. Различные схемы
расщепления можно сформулировать, анализируя сравнительные
характеристики явных и неявных схем.
Задача состоит в том, чтобы построить схемы, сочетающие
лучшие качества явных и неявных схем (безусловно устойчивые, с
числом действий на каждом слое, пропорциональным числу узлов
сетки). Такие схемы принято называть экономичными.
Первые экономичные схемы появились в 1950-х годах при
формулировке методов переменных направлений. Основная алгоритмическая идея их экономичности состоит в том, что для перехода со слоя tj на слой tj+1 трехточечные разностные уравнения решают методом прогонки сначала вдоль строк, а затем – вдоль
столбцов сетки ωh.
Одной из экономичных схем является продольно-поперечная
схема Писмена – Рекфорда.
Представим полный дифференциальный оператор в виде суммы
«одномерных» Lu = L1u + L2u, где Lα (α = 1, 2) – один из операторов:
53



Lα u = 
∂
 ∂x
 α
∂ 2u
,
∂x α2

∂u 
 k α ( x, t )
.
∂xα 

Пусть Λ1 и Λ2 – соответствующие трехточечные операторы и Λ =
= Λ1 + Λ2. Введя промежуточное решение y = y j +1/ 2 , можно
сформулировать разностную схему переменных направлений:
y j +1/ 2 − y j
= Λ1 y j +1/ 2 + Λ 2 y j + ϕ j , x ∈ ωh ,
τ/ 2
y j +1/ 2 = µ при i1 = 0, N1;
y j +1 − y j +1/ 2
= Λ1 y j +1/ 2 + Λ 2 y j +1 + ϕ j , x ∈ ωh ,
τ/ 2
y j +1 = µ j +1 при i2 = 0, N2,
µ j + µ j +1 τ
− Λ 2 µ j +1 − µ j
2
4
функции µ(x, t).
где µ =
(
)
– промежуточное значение
Для определения y j +1/ 2 и y j +1 получаем разностные краевые задачи
τ
τ
Λ1 y j +1/ 2 − y j +1/ 2 = − F j , F j = y j + Λ 2 y j + ϕ j , x ∈ ωh ;
2
2
(
)
y j +1/ 2 = µ при i1 = 0, N1;
τ
τ
Λ 2 y j+1 − y j+1 =− F j+1/2 , F j+1/2 = y j +1/2 + Λ1 y j+1/2 +ϕ j , x∈ωh ;
2
2
(
y j +1 = µ j +1 при i2 = 0, N2.
54
)
Первую задачу решают прогонкой по строкам (i2 = 1, 2, ...,
N2 – 1), вторую – прогонкой по столбцам (i1 = 1, 2, ..., N1 – 1). Число действий на узел конечно и не зависит от сетки.
Эта схема устойчива как по начальным данным, так и по правой части при любых τ и h и имеет точность О(τ2 + h2).
Для метода суммарной аппроксимации переход от j-го к ( j + 1)-му
слою осуществляется в несколько этапов, на каждом из которых
используется обычная двухслойная схема, не аппроксимирующая
исходное уравнение, однако сумма невязок для каждой промежу2
точной схемы ψ = ∑ ψ α стремится к нулю при стремлении к нуα=1
лю шага τ по переменной t.
Рассмотрим применение этого метода (он называется также
аддитивным, или локально-одномерным) к уравнению теплопроводности
∂u
= L u + f ( x, t ) , x = (x1, x2),
∂t
где Lu = ∆u = L1u + L2u; Lα u =
ные» операторы.
∂ 2u
∂xα2
, α = 1, 2; L1 и L2 – «одномер-
∂u( α )
= L u( α ) + f( α ) является более простой
∂t
задачей, чем решение исходного уравнения.
Условия L = L1 + L2, f = f1 + f2 гарантируют суммарную аппроксимацию для схемы, получающейся при обычной записи, например с помощью двухслойной схемы с весами, каждого из уравнений системы
Решение уравнения
∂u(1)
∂t
∂u( 2 )
∂t
= L 1 u(1) + f1 , t j ≤ t ≤ t j +1/ 2 , u(j1) = u j ,
= L 2 u( 2 ) + f 2 , t j +1/ 2 ≤ t ≤ t j +1 , u(j2+)1/ 2 = u(j1+) 1/ 2 , u j +1 = u(j2+)1.
В результате имеем следующую аддитивную схему, называемую также локально-одномерной, или схемой расщепления:
55
yij +1/ 2 − yij
= Λ1  σ1 y j +1/ 2 + (1 − σ1 ) y j  + ϕ1j , x ∈ ωh ,
τ
yij +1 − yij +1/ 2
= Λ 2  σ 2 y j +1 + (1 − σ 2 ) y j +1/ 2  + ϕ2j +1/ 2 , x ∈ ωh ,
τ
j = 0, 1, …,
y j +1/ 2
γh
= µ j +1/ 2 , y j +1
γh
= µ j +1.
Параметры 0 ≤ σ1, 2 ≤ 1 определяют из условий устойчивости и
обеспечения заданного порядка аппроксимации.
Погрешность аппроксимации для такой схемы О(τ + h2).
Итак, метод суммарной аппроксимации позволяет расщеплять
сложные задачи на последовательность более простых и существенно
упрощать решение многомерных задач математической физики. Если
сравнить продольно-поперечную и локально-одномерную схемы, то
основное отличие между ними состоит в учете или неучете при прогонке в одном направлении разностного оператора по другой координате. В локально-одномерном методе этот оператор опускается, в
продольно-поперечном – учитывается явно.
Отметим, что на расщеплении основан также часто используемый в физике плазмы метод частиц, однако там этот процесс локализуется не по направлениям, а по физическим процессам.
Особенности решения МГД-уравнений методом конечных
разностей. Выше рассматривалось применение метода конечных
разностей к решению дифференциальных уравнений второго порядка. Однако в системе МГД-уравнений большинство уравнений – первого порядка. Реализация метода конечных разностей
имеет в этом случае ряд особенностей. Достаточно подробно этот
вопрос изложен в [33], где можно найти различные формы записи
консервативных схем (так как обеспечить выполнение законов сохранения при построении численных методов здесь довольно
сложно), а также анализ устойчивости различных схем.
2.2. Метод конечных элементов
В этом разделе рассматриваются основные принципы метода
конечных элементов (МКЭ) и особенности его реализации при
56
расчетах двумерных магнитостатических полей [35], которые
имеются в большом числе плазменных установок. Рассматриваемая постановка позволяет с достаточной точностью рассчитывать
поля для широкого класса плазменных устройств.
Эффективность реализации МКЭ при расчете магнитостатических полей в системах с ферромагнетиками существенно зависит от
скорости сходимости итераций для нелинейных алгебраических
уравнений, возникающих в результате дискретизации исходных
задач. С практической точки зрения особое значение имеет уровень
автоматизации МКЭ (построение сетки, формирование и решение
системы уравнений и т. д.) в пакетах прикладных программ.
Математическая постановка задач магнитостатики. Рассматриваемая задача описывается системой уравнений Максвелла, которые для стационарного случая сводятся к виду
rot B = µj ,
(70)
div B = 0,
(71)
где В, j – векторы магнитной индукции магнитного поля и плотности тока соответственно. Между векторами индукции В и
напряженности магнитного поля Н имеется функциональная зависимость, характеризующая материальные свойства среды и
определяемая, как правило, экспериментально. В приближении,
когда можно пренебречь гистерезисом и анизотропией, эта связь
имеет вид В = µ µ0 Н, где µ0 – магнитная проницаемость вакуума; µ =
= µ(х, у, z, B) – относительная магнитная проницаемость.
В силу (71) можно ввести в рассмотрение векторный потенциал А, такой, что B = rot A, после чего исходные уравнения
сводятся к виду
rot ν rot A = j,
(72)
где ν = (µ µ0)–1 – магнитное сопротивление.
Для двумерных плоских задач, когда решение не зависит от координаты z, а плотность тока и векторный потенциал имеют только по одной ненулевой компоненте jz = j, Аz = А, в декартовых координатах уравнение (72) имеет вид
∂  ∂A  ∂  ∂A 
 ν  +  ν  = j,
∂x  ∂x  ∂y  ∂y 
(73)
57
причем В х = дА/дх, В у = дА/ду.
Для другого практически важного класса задач – осесимметричных полей – уравнение
∂   ∂A A   ∂  ∂A 
ν
+  +  ν  = j,
∂r   ∂r r   ∂z  ∂z 
(74)
описывает связь между азимутальными компонентами Аθ = А, jθ = j
(при этом все остальные компоненты A и j обращаются в нуль, а
Вz = дА/дr + А/r, Вr = – дА/дz).
Задачи магнитостатики можно формально решать и с помощью
разностных методов, рассмотренных в параграфе 2.1. Однако характерные в данном случае особенности краевых задач – наличие
разномасштабных деталей, подобластей с сильно различающимися
свойствами и разветвленных граничных поверхностей – требуют
подстройки сетки к особенностям геометрии области и тщательных аппроксимаций в окрестности границы. Для этого можно
строить специальные разностные уравнения повышенной точности, но сложность их построения и решения неизмеримо возрастет
по сравнению с применением регулярных прямоугольных сеток,
при этом простота алгоритмов является огромным преимуществом. Применение МКЭ, несмотря на относительно высокую трудоемкость, дает преимущества в виде универсальности, единообразия и хороших аппроксимационных качеств для различных
практически важных магнитных конфигураций.
Аппроксимация решений в МКЭ. Метод основан на аппроксимации вариационных постановок задач математической физики.
Вариационный принцип заключается в том, что решение – функция независимых координат – находится из условия минимума
некоторого функционала, представляемого в виде интеграла. Между вариационными формулировками и дифференциальными
уравнениями существует тесная связь. Она определяется уравнением Эйлера–Лагранжа [35].
Для уравнений (73), (74) эквивалентная вариационная постановка сводится к минимизации функционала
1 B

 ∫ ν ( ξ ) dξ − jA x α dx dy.
 2 0

2
I ( A) = ∫
G
58
(75)
Эта формула записана как для декартовых (α = 0), так и для цилин2
2
A   ∂A 
 ∂A
дрических (α = 1) координат. При этом B = 
+α  +  .
x   ∂y 
 ∂x
Если магнитное сопротивление ν не зависит от индукции, то интеграл (75) упрощается. При кусочно-постоянных коэффициентах
он сводится к виду
2
2
2


k
k
A   ∂A  
  ∂A

+ α  +    − jA x α dx dy ,
I ( A ) = ∑ I i ( A ) = ∑ ∫ ν i  
x   ∂y  
 ∂x
i =1
i =1 Gi 


 
где ν(x, у) = νi: для (х, у) ∈ Gi, Gi – некоторая из k подобластей области интегрирования G.
Если в общем случае зависимость A(x, y) удовлетворяет соотношению (75), то она является также решением уравнения
2
Lu + j = 0, где Lu =
∂  ∂u
∂ ∂u
u
ν + α  + ν .
∂x  ∂x
x  ∂y ∂y
МКЭ основан на построении аппроксимаций решения вариационной задачи в конечномерных подпространствах Sh. Такие подпространства строят с помощью деления области на конечные элементы: треугольники, четырехугольники и т. д. Наиболее распространенным является процесс триангуляции, т. е. разбиения области
на треугольники. С конечными элементами связывается совокупность узлов: в простейшем случае – это вершины; иногда используются середины сторон, центры тяжести элементов и т. д.
На множестве конечных элементов строятся пространства кусочно-полиномиальных функций, таких, что локально они имеют
однотипный вид. Это могут быть функции линейные, квадратичные или кубические по каждой переменной в пределах одного
элемента. Их коэффициенты выражаются через значения самих
функций и (или) их производных в узлах. Каждая функция из выбранного пространства может быть представлена линейной комбинацией линейно независимых функций, составляющих базис пространства. Эти функции являются финитными, т. е. отличными от
нуля только в окрестности, ограниченной несколькими соседними
элементами. Простейшие и наиболее распространенные базисные
59
функции – линейные на каждом треугольном элементе, принимающие значение 1 в одной из вершин и 0 – в остальных.
В общем случае базисные функции строятся по их заданным
значениям в узлах (вершинах элементов и других вспомогательных
точках), а иногда также по значениям производных или по дополнительно налагаемым условиям. Число величин (значения функций
или их различных производных), используемых в одном узле для
построения базисной функции, называют его кратностью.
Характерный шаг конечномерной дискретизации Gh области
G обозначают через h. Все дискретизации предполагаются регулярными в том смысле, что при h → 0 размеры конечных элементов являются величинами одного порядка, а углы между их сторонами – не меньше некоторой постоянной.
Любую функцию vh из пространства Sh, соответствующего дискретизации сеточной области Gh, представляют в виде линейной
комбинации базисных функций:
vh = c1ψ1 + c2 ψ 2 + ... + cN ψ N ,
(76)
число которых определяет размерность пространства и зависит от
числа узлов сеточной области и их кратности.
Существует несколько подходов к приближенному решению
вариационных задач. Если они возникают из самосопряженных
дифференциальных уравнений, что имеет место в нашем случае,
то основным является метод Ритца, заключающийся в нахождении
минимума функционала не в H, а в конечномерном подпространстве Sh, точнее, в последовательности таких подпространств.
Функцию uh, минимизирующую I на Sh:
I(uh) ≤ I(vh) для всех vh ∈ Sh
(77)
называют аппроксимацией Ритца вариационной задачи.
Решение (77) определяют из системы уравнений
∂I ( uh )
∂ci
= 0, i = 1, 2, ..., N .
(78)
В пространстве Sh находится и функция uh – интерполянт точного решения исходной вариационной задачи, т. е. такая функция
вида (76), которая во всех узлах совпадает с и.
60
Аппроксимация функций с помощью конечных элементов.
Многоугольная двумерная область наиболее простым образом разбивается на треугольники. После этого задача аппроксимации
функции может рассматриваться на каждом отдельном треугольном элементе.
Пусть Р1, Р2, Р3 – вершины треугольника, в которых заданы
значения и1, и2, и3 функции и(х, у). Простейшая аппроксимация
представляет собой билинейный интерполяционный полином
u ( x, y ) = α1 + α 2 x + α3 y,
(79)
коэффициенты которого легко могут быть выражены через ui из
решения системы уравнений u ( Pi ) = ui , i = 1, 2, 3 :
α1 =
1 
x j yk − xk y j ui + ( xk yi − xi yk ) u j + xi y j − x j yi uk  ,

Sijk 
(
)
(
)
α2 =
1 
y j − yk ui + ( yk − yi ) u j + yi − y j uk  ,

Sijk 
α3 =
1 
( xk − xi ) ui + ( xi − xk ) u j + x j − xi uk  .
Sijk 
(
)
(
(
)
)
Здесь i, j, k – обозначения вершин, пронумерованных против хода
часовой стрелки, a Sijk – площадь треугольника. Полином (79) может быть также выражен через базисные функции
3
u ( x, y ) = ∑ ui pi ( x, y ),
(80)
i =1
где pi – линейный по х и у многочлен, равный единице в i-м узле и
нулю в остальных:
pi ( x, y ) =
D jk
1
,
τ jk + η jk x + ξ jk y =
Cijk
Cijk
(
)
61
τ jk = x j yk − xk y j , ξ jk = xk − x j , η jk = yi − yk ,
1 x
D jk = 1 x j
1 xk
y
1 xi
y j , Cijk = 1 x j
yi
yj .
yk
yk
1 xk
(81)
Здесь pi(x, у) определены только в одном треугольнике. Однако
для каждого i-го узла триангуляции области легко построить кусочно-билинейную функцию ψ(х, у), равную единице в i-м узле и
нулю – в остальных (в каждом из примыкающих треугольников ее
определяют по формулам (81)). Совокупность таких пирамидальных функций для всех узлов триангуляции образует базис пространства Sh кусочно-линейных функций.
Порядок интерполяции легко повысить, если помимо иi в вершинах треугольников использовать еще значения в серединах сторон P4, P5, Р6. В этом случае
u ( x, y ) = β0 + β1 x + β 2 y + β3 x 2 + β4 xy + β5 y 2 ,
где все коэффициенты β могут быть определены с использованием значений функции и в вершинах и серединах сторон треугольника.
Приближенное решение задачи по методу Ритца при применении кусочно-линейных аппроксимаций на треугольниках имеет
погрешность O(h). Иногда для упрощения алгоритмов при наличии криволинейных границ производится их аппроксимация
прямолинейными конечными элементами. Результат заключается
в том, что точность конечно-элементных решений при этом существенно не уменьшается, т. е. порядок погрешности остается
без изменений. Например, если кривую второго порядка аппроксимировать ломаной, то дополнительная ошибкой будет O(h), что
вполне допустимо для кусочно-линейных интерполяций.
Построение конечно-элементных уравнений. Коэффициенты
конечно-элементных уравнений вычисляют с помощью кусочнолинейных аппроксимаций на треугольниках. Данный алгоритм оказывается достаточно эффективным при расчетах на ЭВМ магнитостатических полей в средах с нелинейными характеристиками.
62
Пусть Gh – сеточная область, представляющая собой совокупность треугольников Ts (s = 1, 2, ..., k), на которые разбивается расчетная область G. Искомое решение представляют в виде
Ah ( x, y ) = u1ψ1 ( x, y ) + u2 ψ 2 ( x, y ) + ... + u N ψ N ( x, y ) .
(82)
Значение N равно общему числу узлов триангуляции, за исключением лежащих на участках границы области с условиями
Дирихле. Предполагается, что триангуляция проведена таким образом, что граница сеточной области совпадает с границей расчетной области или, по крайней мере, близка к ней.
Подставив (82) в записанные ранее выражения для проекций
вектора магнитной индукции – см. (74) – и в систему конечноэлементных соотношений dI/dul = 0, l = 1, 2, ..., N, в осесимметричном случае получим для каждого треугольника алгебраическое
уравнение
6
∑ pr ur − p0u0 = f .
r =1
Любой из коэффициентов р вычисляют из интегралов по треугольникам, имеющим своими вершинами узлы с номерами 0 и r.
Поскольку функция ν имеет сложную нелинейную зависимость от
и, целесообразно считать величины Ву и дВу/ди постоянными в каждом треугольнике, относя их значения к центру тяжести.
Полученная система уравнений может быть записана в векторном виде:
Ku = g,
где компоненты векторов и, g соответствуют значениям неизвестных и правых частей в узлах сетки, а K, как следует из построения, – симметричная матрица с зависящими (в отличие от конечноразностных уравнений) от и элементами.
Решение систем нелинейных уравнений. Запишем систему
конечно-элементных уравнений в виде
( Ku )l = kl1u1 + ... + kl ,l −1ul −1 + kll ul + kl ,l +1ul +1 + ... + kl N u N
= fl ,
где klm – зависящие от неизвестных ui величины.
63
Один из самых очевидных алгоритмов решения этой системы заключается в проведении итераций с релаксацией по нелинейности:
K ( n −1) uˆ n = f , u n = ωuˆ n + (1 − ω) u n −1.
Эта запись означает, что все элементы матрицы, зависящие от
и, берутся с предыдущего шага. Параметр релаксации ω выбирают,
как правило, в интервале (0,1) и определяют экспериментально. В
зависимости от характера нелинейности задачи его введение или
ускоряет скорость сходимости итераций, или даже позволяет расходящийся при ω = 1 процесс сделать сходящимся.
Для решения полученной системы также могут быть использованы нелинейный метод Якоби и одношаговый метод последовательной верхней релаксации Ньютона [34, 35].
В качестве программных сред, часто используемых для решения задач математической физики с помощью МКЭ, следует отметить «Космос», ANSYS, «Настран». Для задач электро- и магнитостатики рекомендуется применять пакет ANSYS (см., например,
[36]), как наиболее отработанный и удобный для использования в
инженерной практике. К тому же имеется бесплатная версия этого
пакета для студентов, имеющая ограничение лишь на число конечных элементов (узлов) в расчетной модели.
2.3. Метод частиц для расчета динамики плазмы
Метод частиц (см., например, монографию [37], которой мы будем следовать в изложении основных понятий и алгоритмов) сочетает в себе достоинства лагранжева и эйлерова подходов. Метод
широко применяется для реализации задач инерциального термоядерного синтеза, динамики лазерной плазмы, а также для решения
уравнений движения в совокупности с соотношениями Максвелла.
Недостатки метода – проблема вычислительной неустойчивости и
ограниченное число частиц, используемых в расчетах.
Вместо совокупности ряда частиц в ячейках в этом методе рассматривается масса всей ячейки в целом – крупная частица (отсюда и название метода) и на основе конечно-разностных представлений законов сохранения изучаются потоки этих крупных частиц
через эйлерову сетку. По существу, здесь используются законы
сохранения, записанные в форме уравнений баланса для ячейки
конечных размеров.
64
Применение метода для решения уравнений Эйлера.
Основная идея – использование принципа расщепления
уравнений по физическим процессам. Счет фактически ведется в
локально-лагранжевых координатах с последующим пересчетом
(интерполяцией) на эйлерову расчетную сетку. Стационарное
решение задачи (если оно существует) получают в результате
установления, поэтому весь процесс вычислений состоит из
многократного повторения шагов по времени. Расчет каждого
временного шага ∆t (вычислительного цикла) в свою очередь
разбивают на три этапа:
I этап (эйлеров) – пренебрегают всеми эффектами, связанными с перемещением жидкости (потока массы через границы
ячеек нет); на этом этапе на фиксированной эйлеровой сетке
определяют промежуточные значения искомых параметров потока ϕ u , v, E ;
(
)
II этап (лагранжев) – вычисляют плотность потока массы при
движении жидкости через границы эйлеровых ячеек;
III этап (заключительный) – определяют окончательные значения параметров потока ϕ( u, v, E, ρ) на основе законов сохранения
массы, импульса и энергии для каждой ячейки рассматриваемой
области течения.
Таким образом, для описания эволюции всей системы за время ∆t используют следующее расщепление: вначале изучают изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся в ячейках – крупных частицах, в предположении их замороженности
или неподвижности (эйлеров этап), а затем рассматривают смещение всех частиц пропорционально их скорости и времени ∆t
без изменения внутреннего состояния подсистемы с последующим пересчетом сетки в начальное состояние (лагранжев и заключительный этапы).
Движение идеального сжимаемого газа. В качестве исходных возьмем дифференциальные уравнения Эйлера в дивергентном виде (уравнения неразрывности, импульса и энергии):
∂ρ
+ div ( ρV ) = 0,
∂t
∂ρu
∂p
+ div ( ρuV ) +
= 0,
∂t
∂x
(83)
65
∂ρv
∂p
+ div ( ρvV ) +
= 0,
∂t
∂y
∂ρE
+ div ( ρEV ) + div ( pV ) = 0.
∂t
(83)
На I этапе (эйлеровом) изменяются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а жидкость предполагается мгновенно
заторможенной. Поэтому конвективные члены вида div (ϕρV), где
ϕ = {1, и, v, Е}, соответствующие эффектам перемещения, в уравнениях (83) опускаются. Тогда из уравнения неразрывности следует, что поле плотности будет заморожено и исходная система примет вид
ρ
∂u ∂p
∂v ∂p
∂E
+
= 0, ρ +
= 0, ρ
+ div ( pV ) = 0.
∂t ∂x
∂t ∂y
∂t
Простейшие явные конечно-разностные аппроксимации первого порядка точности по времени и второго по пространству для
этой системы будут иметь вид
uijn = uijn −
pin+1/ 2, j − pin−1/ 2, j ∆t
pin, j +1/ 2 − pin, j −1/ 2 ∆t
n
n
,
.
v
v
=
−
ij
ij
∆x
∆y
ρijn
ρijn
Величины с дробными индексами, относящиеся к границам
ячеек, как и в методе конечных разностей, равны полусумме значений соответствующих параметров в соседних ячейках.
Несмотря на то, что численные схемы I этапа обладают недостаточной устойчивостью, ради простоты вычислений возможно
использование приведенных аппроксимаций, так как на последующих этапах проводят соответствующую компенсацию неустойчивости этого шага и в целом оператор полного шага оказывается устойчивым.
На II этапе (лагранжевом) вычисляют эффекты переноса,
учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на
прежнюю эйлерову сетку, моделируется движение потока массы
(частиц) ∆M через границы эйлеровых ячеек, и происходит перераспределение частиц по пространству. При этом предпо66
лагают, что вся масса переносится только за счет нормальной к
границе составляющей скорости. Так, при движении частиц вправо
∆M in+1/ 2, j = ρn
un
∆y∆t (символ < > обозначает параi +1/ 2, j
i +1/ 2, j
метры на границе ячейки). Такой выбор параметров имеет важное
значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность вычислений. Соответствующие выражения могут быть записаны с различными порядками аппроксимации.
Использование в этих выражениях скоростей на предыдущем
временном слое приводит к неустойчивости [37]. В данном случае
предопределен порядок вычислений: сначала на эйлеровом этапе
вычисляют промежуточные значения скоростей, а потом их используют на лагранжевом этапе для расчета ∆M. Такая последовательность вычислений дает возможность проводить устойчивый в
целом счет лишь при условии устойчивости I этапа, для чего в
уравнения для этого этапа к термодинамическому давлению р необходимо добавить нелинейное вязкостное искусственное давление по Ландшоффу [37].
Наконец, на заключительном III этапе проводят регуляризацию
сетки (т. е. пересчет сдвинувшейся сетки в прежнее состояние), при
этом происходит перераспределение массы, импульса и энергии по
пространству и определяются окончательные поля эйлеровых параметров потока в момент времени tn+1 = tn + ∆t. Уравнения этого этапа
представляют собой законы сохранения массы М, импульса Р и
полной энергии Е, записанные в разностной форме. Они означают, в
частности, что внутри поля течения нет источников и стоков массы,
импульса и полной энергии, а их изменение за время ∆t осуществляется только вследствие взаимодействий на внешней границе области течения. Предполагается, что потоки массы через границы
ячеек, определяемые на II этапе, несут с собой промежуточные значения скорости и удельной энергии, вычисленные на I этапе. Исходя
из этого, окончательные значения параметров потока ρ, Х = (и, v, Е)
на следующем временном слое вычисляют по формулам
ρijn +1
= ρijn
∑ ∆M kn ; X n+1 =
+
∆x∆y
ij
ρijn
ρijn +1
∑ X n ∆M kn ,
X ijn + n +1k
ρij ∆x∆y
где суммирование проводят по всем границам ячейки.
67
Итак, в данной разностной схеме внутри области интегрирования имеет место строгое выполнение законов сохранения массы,
импульса и энергии, поэтому в целом разностная схема является
дивергентно-консервативной.
Использование метода частиц для расчета процессов
в плазменных установках. Применение этого метода расчета оправданно для многомерных случаев и областей, где имеются большие градиенты и перемещения. В [37] приведены численные
модели для двух групп задач, типичных для физики плазмы: расчет прожига мишени лазерным импульсом, проведенный методом
крупных частиц, и исследование некоторых задач лазерного сжатия оболочек, где применялись сеточно-характеристические эйлеровы схемы.
При численном решении системы уравнений методом крупных частиц использовали следующее расщепление по физическим процессам: эйлеров гидродинамический этап (разностный
оператор Λэ), лагранжев гидродинамический этап (Λл), заключительный гидродинамический этап (Λ3), учет теплопроводности
(Λт), расчет электрон-ионного обмена (Λо) и поглощения лазерного излучения (Λп). Таким образом, суммарный разностный оператор Λ перехода от одного временного слоя к другому, аппроксимирующий исходную систему, формально записывался в виде
Λ = Λэ + Λ л + Λз + Λ т + Λо + Λп .
Первые три этапа (эйлеров, лагранжев и заключительный) составляли гидродинамическую фазу расчета. Так как определяющую роль в формировании разлета облучаемого вещества играют
гидродинамические процессы, фаза гидродинамики занимала в
задаче центральное место. Лагранжев этап, на котором определялись потоки массы через границы ячеек, переносился без изменения из традиционного метода крупных частиц для задач газовой
динамики, а на эйлеровом и заключительном этапах производилось обобщение на случай двухтемпературной среды. Оно заключалось в использовании в уравнениях импульса и полной
энергии в качестве давления суммы давлений ионной и электронной составляющих, а также в добавлении соотношения для
ионной энергии.
В качестве примера решаемых на описанных этапах уравнений
приведем уравнение для расчета электрон-ионного обмена. Энергия лазерного излучения, поглощаемая электронами, передается
68
ионам путем электрон-ионных столкновений. В результате расщепления исходной системы уравнение, описывающее этот процесс,
∂ε
приобретает вид ρ i = Qei .
∂t
При максвелловских распределениях энергии
Qei =
2m 3
k (Te − Ti ) ν ei ne ,
M 2
где ν ei – средняя частота электрон-ионных столкновений с передачей импульса (остальные обозначения общеприняты).
2.4. Методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений
Большое число динамических процессов описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и системами
дифференциальных уравнений. Как уже отмечалось, элементы метода конечных разностей в той или иной степени присутствуют в
других численных методах, поэтому при рассмотрении способов
решения ОДУ, следуя [34, 38], будем использовать изложенные в
параграфе 2.1 основные понятия метода конечных разностей.
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка состоит в нахождении решения уравнения
y ′ = f ( x, y )
(84)
при дополнительном условии y ( x0 ) = y0 . Проводя анализ численных методов для задачи Коши, будем заранее предполагать, что ее
решение существует, единственно и обладает необходимыми
свойствами гладкости.
Простейшие методы численного решения задачи Коши для
ОДУ первого порядка. Заменим левую часть (84) правой разностной производной в точке xi:
yi +1 − yi
= f ( xi , yi ) ,
h
69
откуда получим yi +1 = yi + hf ( xi , yi ) . Зная значение функции в
точке x0 , можно последовательно определить значения y(x) во
всех остальных узлах сетки.
Такой способ нахождения решения носит название явного метода Эйлера. Отметим, что метод называется явным, если искомое
значение yi+1 выражается явным образом через предыдущие значения yi, yi–1, yi–2, … В противном случае метод – неявный. Аппроксимация производной в использованном аналоге производной
имеет первый порядок точности, такой же порядок О(h) имеет и
сам метод, что является существенным недостатком схемы.
Повысить точность можно, применив схему «предиктор – корректор», т. е. сначала найти решение с невысокой точностью, а
затем его уточнить. Одним из наиболее ярких примеров такого
подхода являются методы Рунге–Кутта.
Рассмотрим один из них, метод Рунге–Кутта второго порядка.
Если решение в узле xi известно, то в точке xi+1 его ищут следующим образом.
1. Предварительно вычисляют значение yi +1 = yi + hf ( xi , yi ) , т. е.
используют решение, найденное по методу Эйлера. Таким образом,
интегральную кривую заменяют касательной в точке ( x0 , y0 ) .
2. Определяют окончательное решение в точке xi+1 по формуле
yi +1 = yi +
h
 f ( xi , yi ) + f ( xi + h, yi +1 )  .
2
Это решение ищут в виде полусуммы векторов, построенных на
касательных к интегральным кривым в точках ( xi , yi ) и ( xi + h, yi +1 ) .
Полученная точка расположена существенно ближе к точному
решению. Рассмотренная схема имеет второй порядок точности.
Итак, алгоритм данной схемы метода Рунге–Кутта следующий.
1. Последовательно вычисляют
k1 = hf ( xi , yi ) , k2 = hf ( xi + h, yi +1 ) .
2. Находят решение по формуле
yi +1 = yi + ( k1 + k2 ) / 2.
70
Существуют и другие схемы Рунге–Кутта второго порядка
точности. Все они требуют двух обращений к правой части ОДУ.
Усложняя приведенную схему, можно и дальше повышать порядок точности. Приведем алгоритм метода Рунге–Кутта четвертого
порядка точности, получивший наиболее широкое распространение.
1. Последовательно вычисляют
k1 = hf ( xi , yi ) , k2 = hf ( xi + h / 2, yi + k1 / 2 ) ,
k3 = hf ( xi + h / 2, yi + k2 / 2 ) , k4 = hf ( xi + h, yi + k3 ) .
2. Находят решение в точке xi + 1:
yi +1 = yi + ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) / 6.
Для данной схемы ψ = O(h 4 ) необходимы четыре обращения к
правой части.
Явный метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге–
Кутта первого порядка.
При нахождении решения с заданной точностью обычно
используют правило Рунге. В соответствии с ним сначала вычисляют yi+1 по значению yi с шагом h. Затем величину yi+1 определяют с шагом h/2, т. е. за два шага, а полученные значения сравнивают. Если абсолютная величина разности, деленная на 15 (для
метода Рунге–Кутта четвертого порядка), не превосходит ε, то
вычисления заканчивают. В противном случае шаг опять делят
пополам, решение определяют за четыре шага, сравнивают с предыдущим и т. д.
Если шаг сетки h велик, то решение в точке xi+1 можно получить вначале с шагом h ≈ 4 ε , а затем число шагов удваивать до
тех пор, пока не будет выполнено условие Рунге.
Уравнения старших порядков предварительно преобразуются в
систему ОДУ первого порядка, процесс решения которой ничем не
отличается от изложенного выше. Рассмотрим этот алгоритм на
примере уравнения второго порядка. Пусть
y '' = f ( x, y, y '); y (a ) = ya ; y '(a ) = y 'a .
71
Введем функцию z: z ( x) = y ′ ( x ) . Отсюда y′′ = z ′( x) и исходное
уравнение переходит в систему двух уравнений первого порядка:
y ′ = z , y ( a ) = ya ,
z ′ = f ( x, y, z ) , z ( a ) = ya′ .
Метод Рунге–Кутта любого порядка является явным одношаговым методом. Отыскание значения функции в точке xi+1 требует
знания решения только в предыдущей точке xi. Можно попытаться
повысить точность метода, если использовать имеющуюся информацию в нескольких предыдущих точках. Такие методы носят название многошаговых.
Одним из классических многошаговых методов является метод
Адамса. Его суть заключается в том, что правую часть уравнения
y′ = f [ x, y ( x)] заменяют интерполяционным полиномом степени k :
f [ x, y ( x) ] ≈ Pk ( x ) . Для получения расчетных формул необходимо
проинтегрировать исходное уравнение на отрезке [xi, xi+1], заменив
при этом правую часть интерполяционным многочленом:
yi +1 − yi =
xi+1
∫
xi
xi+1
xi +1
xi
xi
y ′ ( x ) dx = ∫ f  x, y ( x )  dx ≈ ∫ Pk ( x ) dx.
Отсюда yi +1 = yi +
xi +1
∫ Pk ( x ) dx.
В качестве узлов интерполяции
xi
выбирают точки xi – k, xi – k + 1, …, xi.
При k = 0
f [ x, y ( x)] ≈ f ( xi , yi ) и yi +1 = yi +
xi +1
∫ f ( xi , yi ) dx =yi + hf ( xi , yi ) ,
xi
что соответствует явному методу Эйлера.
При k = 1
f [ x, y ( x) ] ≈ P1 ( x ) =
где fi = f [ xi , y ( xi ) ].
72
xi − x
x − xi −1
fi −1 +
fi ,
h
h
Интегрируя данный полином, получим расчетную формулу для
h
двухшагового метода Адамса: yi +1 = yi + ( 3 fi − fi −1 ) . Метод име2
ет второй порядок точности.
Заменив f [ x, y ( x) ] параболой и используя значения функции
в узлах (xi–2, xi–1, xi), получим трехшаговый метод Адамса и т. д.
Так, для четырехшагового метода
yi +1 = yi +
h
( −9 yi −3 + 37 yi −2 − 59 yi −1 + 55 yi ) .
24
Многошаговые методы в начале интегрирования требуют знания решения в (k + 1)-й предыдущих точках. Чтобы получить эти
значения, обычно предварительно применяют какой-либо одношаговый метод (например, Рунге–Кутта) того же порядка точности.
Полученные формулы отражают существо явных методов
Адамса. Однако интерполяционный полином Pk ( x ) можно
строить по узлам xi–k+1, xi–k+2, …, xi, xi+1. Так, для двухшагового
P1 ( x )
будет иметь вид
метода Адамса многочлен
xi +1 − xi
x − xi
fi +
fi +1 , а соответствующее значение yi +1
h
h
h
определяют из соотношения yi +1 = yi + ( fi + fi +1 ) .
2
Таким образом, нахождение значения yi +1 требует решения
уравнения
P1 ( x ) =
yi +1 −
h
h
f ( xi +1 , yi +1 ) = yi + f ( xi , yi ) .
2
2
Такой метод носит название неявного.
Наряду с очевидным недостатком (усложнение алгоритма) неявные методы являются абсолютно устойчивыми.
Решение краевой задачи для ОДУ второго порядка проводят
либо описанным в параграфе 2.1 методом прогонки, либо используют метод стрельбы (иногда его называют еще методом
пристрелки).
73
Его суть поясним на примере решения краевой задачи с условиями первого рода на обеих границах:
y′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) , y ( a ) = ya , y ( b ) = yb .
Сначала задаются условием y′ ( a ) и решают обычную задачу
Коши. Найденное таким способом решение y ( b ) на правой границе
сравнивают с заданным. Если они не равны друг другу с требуемой
точностью, задаются другим граничным условием y ′ ( a ) и повторяют решение до тех пор, пока заданная точность не будет достигнута.
Для линейных ОДУ второго порядка есть некоторые приемы,
позволяющие ускорить сходимость процесса. Один из них основан
на использовании формулы для общего решения
yон = C1 y (1) + C2 y (2) + C0 y (0) ,
(85)
где y (0) – частное решение неоднородного уравнения (85); y (1) и
y (2) – линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения; C1 и C2 – произвольные постоянные, определяемые из начальных или краевых условий.
В заключение приведем наиболее часто используемые процедуры интегрирования ОДУ. Так, в пакете SSP для этих целей применяется подпрограмма RKGS, в среде MATLAB для этого предназначены процедуры ODE23 и ODE45.
74
3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА
ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕННЫХ УСТАНОВКАХ
В настоящей главе приведены методы и алгоритмы численного
решения ряда практически важных задач различной сложности,
часто встречающихся как в домашних заданиях, курсовых и дипломных проектах, так и при выполнении студенческих курсовых
научно-исследовательских работ. В то же время конкретные задачи, представленные в параграфах 3.1–3.5, по мнению автора, хорошо иллюстрируют применение основных численных методов
решения как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и
многомерных уравнений в частных производных (метод конечных
разностей, метод конечных элементов), а также методов операционного исчисления для исследования динамики поведения вспомогательных систем плазменных установок.
3.1. Моделирование движения заряженных частиц
в электромагнитных полях
Помимо расчета траекторий ионов и электронов моделирование движения заряженных частиц в электромагнитных полях
сложной геометрии имеет важное значение для анализа процессов в рамках дрейфового приближения. Для различных конфигураций магнитного и электрического полей при этом рассчитывают «точные» (лишь с погрешностями численных методов) траектории частиц путем численного интегрирования трехмерных
уравнений движения. Применяя затем простейшую модель независимых частиц и используя дрейфовое приближение, по результатам расчетов можно оценить скорости дрейфа, характерного
для ряда важнейших случаев, и сравнить их с рассчитанными по
приближенным аналитическим формулам. После этого можно
сделать вывод о применимости этих зависимостей для приближенного описания движения частиц к реальной ситуации в плазменной установке.
75
Движение заряженной частицы в электромагнитном поле описывается уравнением Ньютона–Лоренца, которое в векторной
форме в системе СИ имеет следующий вид:
M
dv
= Ze( E + [v, B ]),
dt
(86)
где M, Ze и v – соответственно масса, заряд и вектор скорости частицы; t – время, E и B – соответственно векторы напряженности
электрического и индукции магнитного полей.
Для трехмерного случая записанное векторное уравнение легко
представить в виде системы трех скалярных уравнений для проекций векторных величин. Для правой тройки в декартовых координатах она имеет следующий вид:
M
M
M
dvx
= Ze( E x + vy Bz − vz B y ),
dt
dv y
(87)
= Ze( E y + vz Bx − vx Bz ),
(88)
dvz
= Ze( E z + vx B y − vy Bz ).
dt
(89)
dt
Численное решение системы уравнений. Для произвольных
зависимостей напряженности электрического и индукции магнитного полей от координат решение может быть проведено известными численными методами для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, например методом Рунге–Кутта. Для этого уравнения (87) – (89) записывают в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши, т. е. разрешают
явно относительно производных. В результате получают систему
из шести дифференциальных уравнений первого порядка:
76
dx
= vx ,
dt
(90)
dy
= vy ,
dt
(91)
dz
= vz ,
dt
(92)
dvx Ze
( E x + vy Bz − vz B y ),
=
dt
M
(93)
dv y
Ze
( E y + vz Bx − vx Bz ),
M
(94)
dvz Ze
=
( E z + vx B y − vy Bx ).
M
dt
(95)
dt
=
Если задать зависимости характеристик электромагнитного поля
от координат, начальное положение и скорость частицы, ее массу и
заряд, а также точность решения, то применение стандартных процедур интегрирования с автоматическим выбором шага, как правило, не
вызывает существенных трудностей. В среде MATLAB возможно
использование процедур ODE23, ODE45, ODE23P. Однако следует
иметь в виду их особенности. Так, первая из этих функций, с помощью которой численное решение можно получить за минимальное
машинное время, имеет невысокий (второй-третий) порядок точности, но это может заметно исказить траекторию частицы, особенно в
сильно изменяющемся в пространстве электромагнитном поле. Вторая подпрограмма имеет четвертый-пятый порядок точности, но требует больших временных затрат на расчеты. Третья процедура (содержащаяся не во всех версиях среды MATLAB) при интегрировании
отображает также и динамику движения частицы с помощью процедуры COMET, что очень удобно, например, для определения направления вращения частицы вокруг магнитной силовой линии, а также
при анализе движения иона или электрона в зеркальной магнитной
ловушке. Еще одна особенность применения указанных процедур
заключается в необходимости корректного выбора начального шага
интегрирования по времени ∆t, так как в подпрограмме предусмотрено ограниченное число делений (или умножений) ∆t для обеспечения
требуемой точности.
Кроме того, интегрирование методом Рунге–Кутта удобно исdx dy dz
=
=
и последующего
пользовать для решения уравнения
Bx B y Bz
77
построения магнитных силовых линий. Однако и здесь следует уделять особое внимание участкам магнитных конфигураций, где одна
из проекций индукции магнитного поля может обратиться в нуль и
вызвать аварийное завершение процесса интегрирования.
Анализ полученного решения. Интерпретация найденных
численным интегрированием уравнений движения временных зависимостей координат и проекций скорости для сложных электромагнитных полей может быть затруднена, а поведение частицы
становится не совсем понятным. Это связано со сложным и неоднозначным влиянием таких конфигураций на характер движения
частицы. Поэтому в физике плазмы при анализе движения частиц
часто используют приближенные модели для его описания, которые позволяют выделить в скорости частицы несколько составляющих, физическая природа которых достаточно прозрачна и характер движения которых довольно легко предсказуем.
Одной из таких моделей является так называемое дрейфовое
приближение. При его использовании в движении частицы выделяют три составляющие, которые связаны непосредственно не с
проекциями вектора скорости на координатные оси, а с их ориентацией относительно вектора магнитной индукции. В рамках этого
приближения рассматриваются следующие элементы движения:
1) быстрое вращение частицы вокруг магнитной силовой линии;
2) медленный дрейф в направлении, перпендикулярном вектору индукции магнитного поля;
3) свободное движение в направлении, коллинеарном вектору B.
Характеристиками вращения частицы вокруг магнитной силовой линии являются радиус окружности (называемый циклотронным, или ларморовским) R и круговая (или ларморовская)
частота ω:
R = MV⊥ /(ZeB); ω = ZeB/M,
где V⊥ – проекция скорости, перпендикулярная вектору индукции
магнитного поля.
Скорость дрейфа определяют из следующего векторного уравнения:
Vдp =
F×B
,
ZeB 2
где F – сила, вызывающая появление дрейфа.
78
Для электрического дрейфа в скрещенных электромагнитных
полях F = ZeE и
VE =
E×B
.
B2
Для дрейфа в неоднородном по величине магнитном поле (так
называемого градиентного дрейфа)
Vgrad =
MV⊥2
2ZeB3
B × grad B,
а для центробежного дрейфа, вызванного искривлением магнитных силовых линий,
F=
MV&2 R
R2
,
где V& – проекция скорости на направление, параллельное вектору
магнитной индукции.
Для применения дрейфового приближения, позволяющего выделить в движении частицы три указанные составляющие, необходимо выполнение следующих условий:
1) замагниченности: ωτ >> 1;
2) адиабатичности: электрическое и магнитное поля должны
слабо меняться на циклотронном радиусе и за время оборота частицы по циклотронной окружности;
3) малости циклотронного радиуса по сравнению с характерными размерами плазменной системы.
По результатам анализа можно сделать выводы о применимости дрейфового приближения для описания поведения частиц в
объеме, занимаемом плазмой.
Таким образом, представленная здесь численная модель позволяет анализировать поведение частиц в сложных магнитных конфигурациях (различного рода магнитные ловушки, ускорители с
замкнутым дрейфом, системы перемещения привязки разряда к
электродам и др.) в целях разработки в последующем достаточно
простых и в то же время корректных методов расчета процессов в
плазменных установках.
79
3.2. Решение системы двумерных уравнений
теплопроводности для составного электрода плазмотрона
методом конечных разностей
Численная модель катодного узла. Математическая модель
реальной конструкции катодного узла плазменной установки в
двумерном приближении основана на системе уравнений, описывающей распространение теплоты в катодном узле из n элементов,
и в стационарном случае имеет вид
∇ ( λ k ∇Tk ) +
jk2
= 0,
σk
(96)
∇jk = 0,
где k = 1, 2, ..., n соответствует k-му элементу конструкции электрода; σk – проводимость материала; jk = −σk ∇U – локальная
плотность тока в k-м элементе; U – потенциал.
Присутствие в (96) под знаком ∇ величин λk и σk означает их
зависимость как от координат, так и от температуры. При записи
слагаемого, связанного с внутренним источником, предполагалось, что величина σk , зависящая от температуры, может изменяться в объеме катода. В параграфе 1.3 отмечалось, что для термоэмиссионных сильноточных катодов (рис. 4), где перепад температур по вставке (для наиболее часто применяющейся конструкции «вольфрамовая вставка – медный держатель») велик, изменение σk при высоких плотностях тока становится существенным. В то же время в силу значительно меньшего сопротивления
меди и относительно низкой плотности тока для держателя джоулевым тепловыделением можно пренебречь практически во
всем токовом диапазоне работы термокатода. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры материала значительно более слабая. Так, для вольфрама в том же диапазоне температур, что и для величины σk , коэффициент теплопроводности
изменяется лишь в 1,4 раза.
Основным численным методом, позволяющим получить решение системы (96) для наиболее часто используемых конструкций
электродных узлов, является метод конечных разностей – см., например, [33, 39].
80
Рис. 4. Расчетная модель типичного катодного узла:
I – вольфрамовая вставка; II – медный держатель
В последние годы все более широкое применение для численного решения различного типа уравнений, и в том числе уравнения
теплообмена, находит метод конечных элементов (МКЭ). Его основы применительно к задачам электрофизики представлены в
[35]. МКЭ позволяет решить задачу и для электродов с граничными поверхностями, описываемыми уравнениями второго порядка.
Для определения теплового состояния термокатода МКЭ может
быть использован лишь при уточнении поля температур для реальной конструкции электродного узла, так как встроить МКЭмодуль в общий программный комплекс, реализующий замкнутые
модели катодных процессов [15], практически невозможно –
слишком сильно отличаются подходы к построению сетки, велика
громоздкость программной реализации МКЭ и т. п.).
Метод конечных разностей позволяет учесть особенности теплового состояния катодного узла реальной плазменной установки.
Для его расчета приходится разрабатывать достаточно сложные и
громоздкие программы. Этому предшествуют тщательный анализ
соотношения различных слагаемых в уравнениях, характерных
масштабов времени развития того или иного источника или стока,
аккуратный подбор характеристик расчетной сетки и соответст81
вующего шага по времени, к которым очень чувствительны скорость и точность сходимости результатов к искомому решению, а
также всестороннее тестирование с использованием известных
аналитических решений. Расчет по разработанным программам
требует довольно больших затрат машинного времени (около часа
при работе на ПЭВМ типа Pentium), особенно если катодный узел
состоит из многих элементов с различными геометрическими и
физическими характеристиками, а метод решения системы уравнений включает итерации.
Для многомерных стационарных задач решение проводят чаще
всего методом установления, в результате чего определяют и динамические характеристики разогрева (или остывания) электрода.
Найденные расчетные результаты могут быть использованы, кроме того, для анализа переходных режимов и поведения температурного поля катодного узла при пульсациях разрядного тока.
Будем решать уравнения (96) последовательно. Сначала предположим, что распределение плотности тока в материале электрода известно.
Постановка задачи. На левый торец вставки (z = 0) составного
катодного узла (см. рис. 4) из плазмы поступает осесимметричный
поток теплоты q0 = f (r), где f (r) – известная функция. Чаще всего
f (r) аппроксимируется ступенчатой зависимостью f (r) = q0 η(r0 – r),
1, r ≥ 0
– функция Хевисайда; r0 – радиус катодной
 0 , r <0
где η(r ) = 
привязки.
Задаются известные зависимости сопротивления материала
вставки катода I от температуры, распределение плотности тока jk
в электроде. Кроме того, учитывается нелинейный характер теплообмена на границах.
Нестационарные уравнения теплопроводности для вставки I и
держателя II соответственно имеют вид
j2
∂T1
∂ 2T
1 ∂  ∂T1 
= λ1 21 + λ1
 + 1 ,
r
r ∂r  ∂r  σ1 (T1 )
∂t
∂z
(97)
j22
∂T2
∂ 2T2
1 ∂  ∂T2 
= λ2
+
+
λ
,
r


2
r ∂r  ∂r  σ 2 (T2 )
∂t
∂z 2
(98)
c1ρ1
c2ρ 2
82
где c1,2 , ρ1,2 , σ1,2 , λ1,2 – удельные теплоемкости, плотности, коэффициенты электропроводности и коэффициенты теплопроводности материалов катодного узла (вставки и держателя соответственно).
Граничные условия к уравнениям (97), (98) следующие:
а) на оси катода учитывается условие симметрии
∂T1,2 (0, z )
∂r
= 0, 0 ≤ z ≤ L;
(99а)
б) на цилиндрических поверхностях AB и CE происходят конвективный теплообмен с окружающим газом и излучение твердого тела, т. е.
∂T1 ( R1 , z )
= α(T1 − Tг ) + ε1σ sT14 , 0 ≤ z ≤ Lc ,
∂r
∂T ( R , z )
−λ2 2 2
= α(T2 − Tг ), Lc ≤ z ≤ L,
∂r
− λ1
(99б)
где α – коэффициент теплоотдачи; Tг – температура газа; ε1 – степень черноты материала вставки; σs – постоянная Стефана–
Больцмана;
в) на «холодном» торце держателя температура равна температуре охлаждающего теплоносителя, т. е.
T2(r,L) = Tх;
(99в)
г) на «горячем» торце держателя происходит теплообмен с газом, описываемый уравнением
λ2
∂T2 (r , Lc )
= α(T2 − Tг );
∂z
(99г)
д) на рабочем торце вставки учитываются перенос теплоты
из дуги на катод, теплообмен с газом и излучение по закону
Стефана–Больцмана, т. е.
−λ1
∂T1 (r ,0)
= −ε1σ sT14 + q0 η(r0 − r ) − α(T1 − Tг )η(r − r0 ). (99д)
∂z
83
И наконец, на границе «вставка – держатель» предполагается
идеальный тепловой контакт (поверхности BH и HL)
T1 = T2; λ1
∂T1
∂T
= λ2 2 ,
∂n
∂n
(100)
где n – нормаль к внутренней границе.
В рассмотренной постановке система (97), (98) аналитически
не решается. Воспользуемся методом конечных разностей. Алгоритм численного решения задачи [14] разработан автором настоящего пособия, а программная реализация на языке ФОРТРАН выполнена Б.Д. Цыдыповым [40]. Отметим, что, хотя требуется определить стационарное температурное поле электродного узла, в
(97), (98) присутствует левая часть, зависящая от времени. Нестационарное уравнение необходимо для реализации решения неодномерной задачи методом установления. Сначала находят решение
нестационарной системы уравнений, а затем по полученным формулам рассчитывают установившееся поле температур катодного
узла, которое и является конечным результатом.
При решении нестационарного уравнения произведение (cρ)1,2
в общем случае также является функцией температуры, координат
и т. п. Однако, если цель расчетов – нахождение установившегося
поля температур, можно положить эту величину постоянной.
Для придания алгоритму решения универсальности и наглядности систему уравнений (97), (98) целесообразно привести к
«безразмерным» переменным:
 1 ∂y ∂ 2 y 
j 2
∂y
∂2 y
= Fo z I 2 + Fo r I 
+ 2  + G I 1 ,
1 ( y )
∂t
σ
∂z
 r ∂r ∂r 
(101)
 1 ∂x ∂ 2 x 
j 2
∂x
∂2 x
= Fo z II 2 + Fo r II 
+ 2  + G II 1 .
2 ( x)
∂t
σ
∂z
 r ∂r ∂r 
(102)

λτ
λτ 0 
;
Здесь Fo – известный критерий Фурье Fo z = 02 ; Fo r =

cρL
cρR22 
G=
84
j02 τ 0
; y = T1/Tх; x = T2/Tх – относительные температуры
σ 0 cρTх
t
z
r
–
, z = , r =
τ0
L
R2
«безразмерные» координаты; L, R2, τ0 – масштабы координат; σ0 =
= σ(Tх). Индексы 1 и 2 соответствуют первому и второму телу, z и
r – цилиндрическим координатам. В дальнейшем знак тильда (~) в
рамках данной задачи опускаем, используя в формулах только
«безразмерные» величины.
Область интегрирования разбиваем сеткой с шагами h1 и h2 и
индексами i и k, соответствующими координатам z и r. Максимальные значения индексов искомой сеточной функции по координатам – N и M соответственно. Индекс по времени – j. Для решения системы уравнений (101), (102) с граничными условиями
(99), которые также преобразуются к «безразмерным» переменным, на шеститочечном шаблоне применяем полностью неявную
разностную схему второго порядка аппроксимации по пространственным координатам и первого – по времени. Для нахождения установившегося двумерного теплового состояния катодного узла
используем локально-одномерную схему расщепления [41]. Полученные разностные уравнения второго порядка решаем методом
прогонки.
Для обеспечения консервативности схемы, а также удовлетворения граничным условиям со вторым порядком точности (аналогично [42]) рассматриваем расширенную область интегрирования,
включающую так называемые фиктивные точки. Сначала задаем
исходное температурное поле электрода при t = 0. Для нахождения
полей температур вставки и держателя на новом временном слое
(j + 1) используем метод встречных прогонок [33]. При прогонке
по z из граничных условий находим прогоночные коэффициенты:
α1,k и β1,k – для вставки, ξ N , k и η N ,k – для держателя, а значения
в первом и втором теле соответственно; τ =
температуры на границе двух тел определяем из условий идеального теплового контакта (100). Значения «безразмерных» температур y и x в остальных узлах сетки на этом этапе находим по рекуррентным формулам для правой и левой прогонки соответственно.
Приведем формулы, необходимые для расчета. Индекс нового
временного слоя опускаем, а значение температуры на предыдущем слое будем отмечать справа сверху индексом j. Для прогонки
по z выделяются две основные области: OAFK и BCEF (см. рис. 4).
Для области OAFK (k = 0, …, M1):
85
а) определяем начальные прогоночные коэффициенты
α1,k

ε1σ s h1Tх3 y0,j k

1
= 1+
+
 2 Fo I N 2
λ1
z


3
( )
 −1
αh1η(r − r0 )
 ,
+

λ1


(103)
 yj
q0 h1η(r0 − r ) αh1η(r − r0 ) Tг 
0, k
β1,k =α1,k 
,
+
+
I
2
λ1Tх
λ1
Tх 
 2 Fo z N

ξ N ,k = 0, η N ,k = 1;
(104)
б) по рекуррентным соотношениям правой прогонки для вставки
αi+1,k


−1
yij,k 
1


= 2 + I 2 − αi ,k  , βi+1,k = βi ,k + I 2  αi +1, k (105)


Fo z N
Fo z N 

и левой – для держателя
ξ i ,k


−1
xij,k 
1


= 2 + II 2 − ξ i +1, k  , ηi ,k = ηi+1,k + II 2  ξ i +1, k (106)

Fo z N
Fo z N 


рассчитываем все прогоночные коэффициенты: αi ,k , ξi,k и βi ,k , ηi ,k
вплоть до α N1 , M 1 , β N1 , M 1 , ξ N1 +1, M 1 , η N1 +1, M 1 ;
в) находим значения искомых функций на границе


y Nj ,k 
xNj ,k 



1
λ12β N1 ,k + I 2 + λ 2 2η N1+1,k + II1 2 


Fo z N 
Fo z N 


y N1 ,k = xN1 ,k =
; (107)




1
1


+ λ 2 +

λ12 + I 2
 Fo z N − 2α N ,k  2  Fo IIz N 2 − 2ξ N +1,k 
1
1
86
г) по рекуррентному соотношению, связывающему значения
сеточных функций для вставки и держателя
yi,k = αi+1,k yi+1,k + βi+1,k,
(108)
xi+1,k = ξi+1,k xi,k + ηi+1,k,
(109)
определяем все значения yi,k и xi,k на новом (j + 1/2)-м временном слое.
Для области BCEF:
а) для вычисления ξ N , k и η N ,k используем (104);
б) находим все значения ξ i,k и ηi ,k из (106);
в) значение xN3 ,k на линии BC рассчитываем по формуле
xN3 ,k =
η N3 +1,k + xNj
1+1/(2Fo IIz
N
2
3
,k
/(2Fo IIz N 2 ) + αh1 /λ 2
Tг
Tх
)−ξ N3 +1,k + αh1 /λ 2 + ε 2σ s h1Tх3
(
xNj ,k
3
3
) /λ 2
;
(110)
г) по рекуррентному соотношению (109) для держателя находим все значения xi,k на новом (j + 1/2)-м временном слое.
Для прогонки по координате r существуют три области, различающиеся по граничным условиям: OABG, GCDL, LDEK (см. рис. 4).
Для области OABG (i = 0, …, N3, верхний индекс r соответствует прогонке по r):
а) определяем αir,1 и βir,1 на оси симметрии
−1


1
 , βir,1 =α ir,1
αir,1 = 1+
 4Fo rI M 2 
y0j +1/ 2 + G I
jc2
σ1 ( yij,0+1/ 2 )
4 Fo Ir M 2
; (111)
б) по рекуррентным соотношениям
αir, k +1
1
2k
=
,

1
1
2 + I 2 − 1 −  αir, k
 2k 
Fo r M
1+
87
1/ 2
+ GI
yij, +
k
jc2
σ1 ( yij,k+1/ 2 )
 2k −1 r
+ 
β
 2k  i ,k
M

1
1
2 + I 2 − 1 −  α ir,k
 2k 
Fo r M
Fo Ir
βir,k +1 =
2
(112)
вычисляем все прогоночные коэффициенты: αir,k и βir,k вплоть до
αrN3 ,M1 и βrN3 ,M1 ;
в) находим значение yi , M1 на поверхности AB на новом временном слое
4 M1
yij,+M1/2 +G I
1
βir,M1
2 M1 +1
yi ,M1 =
2+
+
(
jc2
σ1 yij,+M1/2
1

1 


Fo rI M 2 1+
 2 M1 
) + 2αh
2
Tг
λ1 Tх
; (113)
1
Fo rI M 2 2αh2 2
+
+ ε1 σ s h2 Tх3 yij,+M1/2
1
1
λ1
λ1
1+
2 M1
(
4 M1
) −2M
3
1 +1
α ir,M1
г) по рекуррентному соотношению для прогонки по r (меняется индекс k), аналогичному (108), находим все новые значения yi,k
для вставки;
r
r
д) рассчитываем ξi,M и ηi,M на цилиндрической поверхности CD
ξ ri,M
88
4k
2k + 1
=
,

2αh2
1  2k
2 +
−


λ2
FoIIr M 2  2k +1

1/ 2
+ G II
xij, +
M
ηir, M =
(
jc2
1/ 2
σ 2 xij, +
M
) − 2αh2 Tг

1
λ 2 Tх
Fo IIr M 2 1 + 
 2k 
;

2αh2
1  2k
2 +
−


λ2
Fo IIr M 2  2k + 1

(114)
е) по соотношениям, аналогичным (105), записанным для дерr
r
жателя, определяем все значения αi ,k и βi ,k ;
ж) по рекуррентным соотношениям для левой прогонки

1
Fo IIr M 2 1 − 

 2k 
ξ ir,k =
,
 r
1
II
2
II
2
2 Fo r M + 1 − Fo r M 1 +  ξ i ,k +1

2k 
(115)
1/ 2
+ G II
xij, +
k
r
ηi,k
=
(
jc2
σ 2 xij,k+1/ 2
)

1 r
+ Fo rII M 2 1 +  η i,k
+1

2k 

1
2 Fo IIr M 2 + 1 − Fo rII M 2 1 +  ξ ir, k +1

2k 
находим все значения ξ ri ,k и η ri , k ;
з) определяем граничное значение yi, M1 = xi ,M1 на новом временном слое
yi , M1 = xi , M1


jc2
j +1/ 2
I


y
G
+
i
M
,
j +1/ 2 

1
σ
(
)
y
1 i,M1
 4k r

λ1 
βi , M1 +



1
2
1
k
+


I
2

2
Fo
1
M
+




r



2
k




 +
=
 2k 


2+ 1  − 4k α r 
λ1 

i,M1 
2k + 1  Fo rI M 2  2k + 1


89


jc2
j +1/ 2
II


x
G
+
i,M1
j +1/ 2 

σ
(
)
x
2 i , M1
 4k r

λ2 
ηi , M1 +1 +

1  
 2k − 1
II
2

2 Fo r M 1 +  

 2k  



+
;
 2k 


1
4
k
r



λ 2 
2+ Fo II M 2  − 2k − 1 ξ i , M1 +1 
+
2
1
k


r


(116)
и) по рекуррентным соотношениям (108) и
xi,k + 1 = ξri,k + 1 xi,k + ηri,k + 1
находим все значения y и x на новом временном слое.
Для области LDEK (i = N1 + 1, N1 + 2, ..., N – 1, N):
а) определяем αiII,1r и β iII,1r
−1


1
 , βiII,1r =α iII,1r
αiII,1r = 1+
 4 Fo IIr M 2 
x0j +1/ 2 + G II
jc2
σ 2 ( xij,0+1/ 2 )
4 Fo rII M 2
; (117)
б) значения αiII, kr и βiII,kr находим по рекуррентным формулам
αiII,kr +1
1
2k
=
,

1
1  IIr

2 + II 2 − 1 −  α i ,k
 2k 
Fo r M
1+
(118)
xij,k+1/ 2 + G II
βiII,kr +1 =
90
jc2
σ 2 ( xij,k+1/ 2 )
 2k − 1 IIr
+ 
β
 2k  i ,k
M
;

 IIr
1
1
2 + II 2 − 1 −  αi ,k
 2k 
Fo r M
Fo IIr
2
в) рассчитываем значение xi,M на новом, ( j + 1)-м временном слое:
4M
r
+
βiII, M
2M + 1
xi , M =
1/ 2
xij, +
+ G II
M
(
jc2
1/ 2
σ 2 xij, +
M

1 
Fo rII M 2 1 +


2M 
) + 2αh2 Tг
1
2 + II 2
Fo r M
2αh2
4M
r
αiII, M
+
−
1
1
λ
2
1
M
+
2
1+
2M
λ 2 Tх
; (119)
г) по рекуррентной формуле для температуры держателя
xi ,k = αiII, kr +1 xi , k +1 + βiII,kr +1
определяем все значения x на новом временном слое.
Здесь j0 = I/(πr02); jc = jk /j0. Чередуя прогонки по одной и по другой координате, можно найти как стационарное температурное состояние катодного узла, так и неустановившееся поле температур в
любой момент времени. Полностью неявная схема обеспечивает безусловную сходимость при любых h1, h2 и τ0, а при значениях шагов,
соответствующих Fo ~ G ~ 1, установление с точностью 2…3 % достигается через 800 – 1000 шагов по времени. Для оценки точности и
скорости сходимости проводилось тщательное тестирование созданного пакета программ по известным аналитическим решениям (для
данного случая при L1 → L, jk → 0, σ → ∝, σ = 1/(αT), r0 → R и др.).
Аналог этого пакета реализован также и в среде MATLAB.
Рассмотрим вопрос об оценке необходимости и корректности
учета в расчетной модели джоулева тепловыделения. Оно играет
существенную роль в энергетическом балансе катода в целом ряде
практически важных случаев [14, 15]. При определенном сочетании параметров, характеризующих условия работы термокатода,
изменение токовой нагрузки приводит к заметной перестройке
распределения температуры по длине катода, которое становится в
пределе немонотонным.
Количественный вклад джоулева тепловыделения в энергобаланс
и необходимость его учета в том или ином виде можно оценить, ис91
пользуя отношение полученных при преобразовании к безразмерным
переменным уравнения теплопроводности критериев Fo и G:
θ=
Fo λσ 0T0
= 22 .
G
j l
(120)
Этот критерий, подробно проанализированный в [43], представляет
собой отношение эффективностей поверхностного и объемного источников тепловыделения. Здесь λ и σ – коэффициенты тепло- и
электропроводности материала катода соответственно, взятые при
его характерной температуре T0. Выбор последней в (120) слабо
сказывается на величине θ. Это связано с тем, что в первом приближении σ можно считать обратно пропорциональной T, поэтому
произведение σT является примерно постоянным. При больших
плотностях тока θ << 1 и нагрев катода осуществляется преимущественно объемным источником. При малых плотностях тока, напротив, θ >> 1 и основным является нагрев электрода тепловым потоком, поступающим из прикатодной области. При θ ~ 1 существенны
оба источника энерговыделения. Подстановка в формулу для θ характерных значений величин для чистого вольфрама дает при длине
катода l = 3 см и плотности тока 5⋅103 A/см2 значение θ ≈ 1 [43], а
для легированного активирующей присадкой вольфрама, полученного методами порошковой металлургии, это условие выполняется
при плотностях тока, в несколько раз меньших.
Таким образом, для термокатодов объемный источник тепловыделения является существенным и его необходимо учитывать при
описании теплового состояния катода. Следует отметить, что, поскольку удельное сопротивление материала катода зависит не только
от структуры и пористости материала, но и от температуры, при нагреве катода меняется и распределение плотности тока j по его сечению. Так как объемная плотность джоулева тепловыделения пропорциональна j 2, указанный фактор тоже должен найти отражение при
построении математической модели процессов теплопереноса.
Остановимся на способах учета джоулева тепловыделения в различных математических моделях распространения теплоты в двумерной постановке, где ранее зависимость jk (r, z) полагалась заданной.
Для вставки, выполненной заподлицо с держателем (такая конструкция электрода часто используется в плазмотронах различного назначения, которые разработаны в Институте теплофизики СО РАН),
92
распределение jk (r, z) может быть найдено из решения второго уравнения (96) для вставки в частном случае с не зависящим от температуры
сопротивлением (т. е. σ = const) методом разделения переменных. Если
в приведенных в параграфе 1.3 формулах для температуры в виде ряда
Фурье–Бесселя λ, q0 и T заменить на σ, j0 и U соответственно и пренебречь зависимостью σ(T), решение для U(r, z) примет вид
∞
U (r , z ) = −∑
n=1
(
)
2 j0 r0 eΛn z + eΛn (2 L1−z ) J1 (Λn r0 ) J 0 (Λn r )
(
σΛn 1 + e
2 Λn L1
) R12 J12 (Λn R1 )
,
(121)
где J0(x) и J1(x) – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно; собственные числа Λn определяют из
условия J0(ΛnR) = 0.
Дифференцируя соотношение (121) по независимым переменным r и z, нетрудно найти проекции вектора плотности тока на оси
координат и зависимость jk (r, z), которая используется в правой части первого уравнения (96). Отметим, что учет зависимости электросопротивления от температуры при решении токовой задачи намного меньше сказывается на результатах расчета теплового состояния
катода, чем при решении уравнения теплопроводности (этот факт
будет проиллюстрирован ниже результатами расчета поля T(r, z) для
характерных сочетаний параметров работы термокатода). Вследствие этого использование при учете джоулева тепловыделения соотношения (121) для электродного узла с заделанной в держатель заподлицо вставкой является достаточно хорошим приближением.
Аналитическое решение двумерного уравнения теплопроводности,
найденное с учетом джоулева тепловыделения, позволяет, в отличие
от рассмотренного выше случая, принять во внимание и зависимость удельного сопротивления от температуры.
Перейдем к нахождению распределения плотности тока в электроде в общем случае. В приведенной выше двумерной численной
модели, соответствующей уравнениям в частных производных
(97), (98), для катодного узла локальные плотности тока jk(r, z) определяют из решения второго уравнения системы (96) для термоэмиссионной вставки:
∂ 
∂U  1 ∂ 
∂U 
 σ1 (T )
+
 rσ1 (T )
 = 0,
∂z 
∂z  r ∂r 
∂r 
(122)
93
где U – потенциал. Граничные условия к (122) следующие (см. рис. 4):
а) на оси вставки выполняется условие симметрии
∂U (0, z )
= 0, 0 ≤ z ≤ L1 ;
∂r
(123а)
б) на цилиндрической поверхности
∂U ( R1 , z )
η( Lc − z ) + U ( R1 , z )η( z − Lc ) = 0, 0 ≤ z ≤ L1; (123б)
∂r
в) на «холодном» торце вставки
U(r, L1) = 0, 0 ≤ r ≤ R;
(123в)
г) на рабочем торце, обращенном к разряду, ток и тепловой поток принимаются распределенными «ступенькой», т. е.
−σ1 (T )
∂U (r , 0)
I
= 2 η(r0 − r ).
∂z
πr0
(123г)
При записи условия (123б) учитывается, что σW << σCu. В этом
случае можно принять на всей поверхности контакта вставки с
держателем U = 0 [40].
Решение (122) может быть найдено численно методом конечных разностей аналогично рассмотренному выше для уравнения
теплопроводности. Единственное отличие состоит в переменности
коэффициентов a и b разностных уравнений
bi yi +1 − ci yi + ai yi−1 = − fi ,
которые вычисляют по значениям температуры в полуцелых точках.
По найденному таким способом полю U(r, z) плотность тока jk
определяют как
 ∂U 2  ∂U 2
jk (r , z ) = σ k [T (r , z )] 
 + 
 .
 ∂z   ∂r 
94
(124)
Если же пренебречь зависимостью σk(T ) (применимость этого
допущения отмечалась выше), для нахождения U(r, z) можно использовать приведенный выше алгоритм решения уравнения (97),
положив ε, α, j равными нулю, а λ, q0 и T заменив на σ, j0 и U соответственно. Во всех других случаях, связанных с учетом джоулева
тепловыделения по различным моделям, где не учитывается двумерность (квазиодномерное приближение, многозвенный электрод
и т. п.), распределение тока в электроде принимают равномерным.
При нахождении численных решений уравнений (96), описывающих стационарное двумерное тепловое состояние катодного
узла, методом установления в качестве начального условия выбиралась функция T(r, z), найденная из аналитического решения типа
(95) при равномерно распределенном токе по сечению электрода.
Для расчета поля температур с корректным учетом джоулева тепловыделения необходимо выполнять итерации, чередуя расчет jk (r, z)
по найденному полю температур с определением Tk (r, z) по найденной функции плотности тока до получения стационарного решения.
Алгоритм нахождения теплового состояния приведен на рис. 5.
В условиях, когда время реального установления картины протекания тока на много порядков меньше времени выхода электрода на стационарный тепловой режим, для решения токовой задачи
в расчетах использовался наряду с описанным выше другой, более
экономичный алгоритм, связанный с реализацией метода матричной прогонки [34], который позволяет сразу, без использования
схемы расщепления и метода установления найти решение стационарного двумерного уравнения.
Достоинствами этого способа решения являются алгоритмическая общность с обычной прогонкой, разработанной для трехточечных разностных уравнений, возможность решения уравнений с переменными коэффициентами, а также отсутствие сильных ограничений
на вид краевых условий, которые для токовой задачи записываются
по-разному на разных частях одной или двух граничных поверхностей катода – см. (123). Некоторые недостатки метода (необходимость в больших ресурсах машинной памяти и относительно невысокая экономичность по числу действий) в данном случае не столь
существенны, так как в общем алгоритме нахождения теплового состояния катода благодаря его применению исключается цикл по времени, что позволяет в несколько раз сократить время расчета. Кроме
того, ориентированные на использование матриц программные среды
позволяют уменьшить требуемую память с помощью специальных
алгоритмов работы с разреженными матрицами, а нахождение столб95
цов искомой сеточной функции относительно небольшой размерности из-за «вытянутости» области интегрирования вдоль оси катода
позволяет сократить число операций обращения матриц и сделать
вычисления более экономичными.
Задание начального поля
температур T(r,z)=T1
Расчет начального
распределения jk(r, z)
при σ = const
Определение
Qдж = ∫ qдж dV
Нахождение поля
температур T(r, z) на
новом временном
слое
Поля
температур
в моменты времени t0 и t1 отличаются в пределах
ошибки
Расчет jk(r, z)
по σ = f T ( r , z ) 
t = t1
Да
Нет
Qдж (t1 ) − Qдж (t0 )
≤ε
Qдж (t0 )
Нет
Да
Останов
Рис. 5. Алгоритм расчета теплового состояния катодного узла
96
Рассмотрим алгоритм решения токовой задачи методом матричной прогонки. Полученную разностную схему приводят к системе векторных разностных уравнений:
Ai−1Yi−1 − CiYi + BiYi+1 = −Fi , i = 1, 2, ..., N −1,
(125)
которую дополняют разностными аналогами граничных условий.
Представим сначала расчетные формулы для случая σ = const, а
затем укажем на отличия в коэффициентах при учете зависимости
проводимости от координат.
В первом случае в разностном уравнении для нахождения потенциала в цилиндрической системе координат
Ai = Bi =
1
2
E , Ci = 2 E2 − Λ 2 , Fi = 0, i = 1, 2, ..., N1 −1,
2 2
h1
h1
(126)
где E2 – единичная матрица размерности М1; Λ2 – разностный аналог оператора второй производной по радиальной координате, который с учетом аппроксимации со вторым порядком точности условия на оси симметрии имеет вид
−4
4

3

−2
4

1  0 1 − 1
Λ2 = 2
2j
h2 
 .
.


0
.


0



.



1
1+
0 .
−2

2j

.
.
. 


1
0 1−
−2

2( M1 −1)

0
5
4
.
(127)
Аппроксимация условия на «горячем» торце катода (i = N1) со
вторым порядком точности дает следующее выражение:
AN1 YN1 − C N1 YN1 = −FN1 ,
2
2
т
E ; C N1 = 2 E2 − Λ 2 ; FN1 = {2 gh1η(r0 − r } , g = j/σ,
2 2
h1
h1
F – вектор-столбец. В остальном алгоритмы матричной и обычной
где AN1 =
97
прогонки аналогичны, лишь вместо операции деления используется обращение матрицы.
Если необходимо учесть зависимость электросопротивления
материала электрода от координат, то элементы матрицы Λ2 умножают на значения проводимости в полуцелых точках, обеспечивающих второй порядок аппроксимации, а в выражении для g знаменатель σ опускают.
Сравнение линий тока, построенных с учетом и без учета зависимости сопротивления металла от температуры, показывает, что,
если принять во внимание эту функцию, более равномерное растекание тока по сечению произойдет ближе к «горячему» торцу
вставки, так как сопротивление горячей центральной части увеличивается и относительно бóльшая часть тока по сравнению с однородным сопротивлением вытесняется на периферию. Однако такое
изменение профиля источника внутреннего тепловыделения сказывается лишь на участке катода масштаба радиуса r0 вблизи «горячего» торца. На температуре рабочей поверхности это скажется
довольно слабо. Расчеты показали, что это отличие для типичных
режимов работы плазменного устройства не превышает 3 %.
В то же время неучет джоулева тепловыделения может приводить к заметным ошибкам в определении температуры. Различие в
температуре рабочего торца для сильноточных электродных узлов
может достигать 1000 K.
Анализ расчетных зависимостей температур в характерных
точках катода от интегрального поступающего теплового потока
Q показывает, что связь между Q и T не является линейной: при
больших токах существенным является учет джоулева тепловыделения и нелинейного характера теплообмена на границах. Значительно слабее зависит температурное поле от коэффициента
теплоотдачи α. Так, при варьировании α в широких пределах
температура на «горячем» торце вставки меняется всего лишь
на 4…6 %. Расчеты показали, что факторы, наиболее сильно
влияющие на уровень и характер распределения температур в
катодном узле, – ток, тепловой поток в электрод и геометрия
элементов конструкции.
Изложенный алгоритм разработан для катода, состоящего из
двух тел достаточно простой геометрической формы с различными
свойствами. Если же катодный узел выполнен из трех и более элементов (тел с различными геометрическими и физическими параметрами), то при нахождении решения необходимо проводить
98
итерации по температуре поверхности контакта элементов. Указанный фактор существенно увеличивает и так большие затраты
времени на решение задачи с помощью ЭВМ. В такой ситуации
более экономичным может оказаться применение метода конечных элементов.
Расчет температурного поля составного катодного узла может
быть использован в замкнутых методах расчета катодных процессов в сильноточных дуговых плазменных устройствах. Формулировка методов различного уровня и размерности, а также алгоритмы расчетов описаны в [15], а некоторые программные средства
для их реализации представлены в [44].
3.3. Расчет столба дуги генератора плазмы
Одномерное уравнение Эленбааса–Геллера для бесконечно
протяженного столба электрической дуги, горящей в цилиндрическом канале со стабилизацией стенками, при отсутствии расхода
имеет вид
1 d 
dT 
rλ(T )  + σ(T ) E 2 − U (T ) = 0,

r dr 
dr 
(128)
где λ и σ – коэффициенты тепло- и электропроводности плазмы
соответственно; E – напряженность электрического поля; U(T) –
объемная плотность излучения. Уравнение (128) является квазилинейным, так как под знак производной входит зависимость
коэффициента теплопроводности от искомой функции T – λ(T).
T
Чтобы упростить решение (128), заменой переменных S = ∫ λ dT
0
его сводят к линейному:
d 2S
dr
2
+
1 dS
+σ( S ) E 2 − U ( S ) = 0,
r dr
(129)
где S – так называемая тепловая функция, или функция Кирхгофа.
Решение стационарного уравнения (129) методом конечных
разностей может быть получено непосредственно, если заданы
аналитические зависимости σ(S) и U(S). Для основных плазмооб99
разующих сред они являются сложными функциями температуры
и соответственно тепловой функции S, которые задаются таблично. Поэтому решение (129) проводят методом установления, для
чего в уравнение (129) добавляют нестационарный член:
ν
∂S ∂ 2 S 1 ∂S
= 2+
+σ( S ) E 2 − U ( S ),
r ∂r
∂t ∂r
(130)
где ν – некоторый размерный коэффициент.
Для решения (130) методом конечных разностей введем сетку
t j = jt, j = 0 , 1, 2 , ...,
ω hτ = 
ri = ih, i = 0, 1, 2, ..., N , h = R ,
N

где R – радиус канала, и аппроксимируем уравнение (130) на ωhτ (т. e.
запишем разностный аналог этого уравнения). Для полностью неявной схемы (схемы с опережением) со вторым порядком аппроксимации по пространственной координате получим
ν
Si j +1 − Si j Si −j +11 − 2 Si j +1 + Si j++11
+
=
τ
h2
+
1  Si j++11 − Si j−+11 
j
2
j

 +σ( Si ) E − U ( Si ).
2
ih 2 

(131)
i = 1, 2, ..., N–1.
Сводя разностный аналог к каноническому виду разностного
уравнения
ai yi −1 − ci yi + bi yi +1 = − fi ,
(132)
где в левую часть входят искомые значения y на новом ( j + 1)-м
временном слое, определим коэффициенты ai ,bi, ci, fi:
ai = i − 12 , bi = i + 12 ,
100
ci = 2i +
νih 2
νih 2 j
, fi = ih 2 σ Si j E 2 +
Si − ih 2U Si j .
τ
τ
( )
( )
(133)
Отметим, что полученные величины зависят от индекса i, что
характерно для записи уравнения второго порядка в цилиндрических координатах.
Для решения системы разностных уравнений типа (132) используем метод прогонки. В качестве начального поля S 0(r) выберем параболическое распределение S 0(r) = S00[1 – (r/R)2], где R –
радиус канала; S00 – значение тепловой функции на оси разряда.
Для выбора типа прогонки (правая, левая) остановимся подробнее
на краевых условиях (рис. 6):
∂T
∂S
= 0,
= 0;
∂r
∂r
(134а)
r = R, T = Tw , S = S w .
(134б)
r = 0,
Рис. 6. Характер распределения относительной температуры плазмы
по сечению дуги
101
Сформулированным краевым условиям соответствуют их разностные аппроксимации, в общем случае имеющие вид
S0 = æ1 S1 + µ1,
(135)
SN = æ2 SN – 1 + µ2.
(136)
Условие второго рода при r = 0 отражает симметрию профиля
T(r) (или S(r)) относительно оси. Второе условие (134б) (первого
рода) характеризует теплообмен на границе с каналом, в данном
случае задана температура Tw стенки (или, что то же самое, соответствующая ей тепловая функция Sw). Поскольку условие первого
рода записано на правой границе области определения (r = R), для
решения системы разностных уравнений используем метод левой
прогонки.
В этом случае рекуррентные соотношения имеют вид:
а) для искомой функции
Si + 1 = ξi + 1 Si + ηi + 1;
(137)
б) для прогоночных коэффициентов
ξi =
ai
,
ci − bi ξ i +1
(138)
ηi =
fi + ai η i +1
.
ci − bi ξ i +1
(139)
Значения коэффициентов ξN и ηN находим из условия (134б).
Сравнивая выражения (134б) и (136), определяем æ2 и µ2. Записав
рекуррентное соотношение (137) для i = N – 1:
SN = ξN SN – 1 + ηN
(140)
и сравнив его с (136), находим граничные значения ξN и ηN:
ξN = æ2, ηN = µ2.
102
(141)
Поскольку все значения ai, bi, ci и fi известны (см. формулы
(133)), по найденным ξN и ηN на правой границе можно найти все
прогоночные коэффициенты вплоть до ξ1 и η1. Для того чтобы
рассчитать поле S(r) на новом временном слое по формуле (137),
необходимо определить значение функции S0j+1 на оси дуги.
Отметим, что непосредственная разностная аппроксимация условия (134а) со вторым порядком точности
S1 − S−1
=0
2h
(142)
не дает возможности определить S0j+1, поскольку вырождается в
тривиальное условие симметрии S1 = S–1.
Величину S0j+1 находим с использованием второго порядка аппроксимации, исходя из записи разностного аналога уравнения
(130) в узле i = 0. Обратим внимание на то, что в этом случае неопределенным становится значение второго слагаемого в правой
∂S
→ 0. Раскрывая эту нечасти (130). Так, при r → 0 и значение
∂r
определенность по правилу Лопиталя, получаем
∂S / ∂r
∂ 2 S / ∂r 2 ∂ 2 S
= lim
= 2
r →0
r →0
r
1
∂r
lim
.
r =0
Подставив это выражение в (130), получим дифференциальное
уравнение энергии на оси разряда в виде
ν
∂S
∂t
r =0
=2
∂2S
∂r 2
r =0
+σ( S )
r =0
E 2 − U (S )
r =0
.
(143)
Используя, как и прежде, полностью неявную схему, запишем
разностный аналог (143):
ν
S0j +1 − S0j
S J +1 − 2 S0j +1 + S1j +1
= 2 −1
+σ( S0j ) E 2 − U ( S0j ).
τ
h2
(144)
Поскольку из (132) S–1 = S1, разрешаем уравнение (134) относительно S0j+1 и находим коэффициенты æ1 и µ1 в соотношении (135).
103
Решая совместно (134) и соотношение (135) при i = 0, определяем искомое значение S0j +1 :
S0j +1 =
µ1 + æ1η1
.
1 − æ1ξ1
После вычисления S0j +1 все остальные Si j +1 вплоть до S Nj +1 находим по рекуррентному соотношению (137).
Решая задачу методом установления, определяем стационарное
температурное поле в дуге. Оно позволяет найти ток разряда, кондуктивный и лучистый тепловые потоки в стенку канала. Варьируя
напряженность электрического поля в дуге, можно построить
вольт-амперную характеристику разряда.
3.4. Расчет сложных магнитных конфигураций
В подавляющем большинстве плазменных установок магнитная конфигурация является двумерной. Существенное отличие
магнитных свойств в разных областях интегрирования, разномасштабность последних, разветвленные граничные поверхности
сложной формы – вот те факторы, которые делают метод конечных элементов наиболее подходящим для решения задач магнитостатики [35].
Решение системы двух уравнений Максвелла для двумерного
осесимметричного случая
rot B = µµ 0 j ,
div B = 0
проводят, как правило, после преобразования их с помощью введения векторного потенциала A( r , z ) , имеющего только одну ненулевую компоненту Az = A. Соответствующее дифференциальное уравнение для этой переменной имеет вид [35]
∂   ∂A A   ∂  ∂A 
ν
+  +  ν  = j,
∂r   ∂r r   ∂z  ∂z 
где магнитное сопротивление ν = (µ0 µ)–1.
104
Эквивалентная вариационная постановка сводится к минимизации функционала
1 B

I ( A) = ∫  ∫ ν(ξ)dξ − jA x dx dy.
2

G
 0
2
Расчет магнитных полей удобно проводить в пакете ANSYS
MultiPhysics. Приведем расчетную модель (рис. 7) и алгоритм решения задачи магнитостатики для очень часто используемого
плазменного устройства с замкнутым азимутальным дрейфом
электронов (двигатель с анодным слоем, стационарный плазменный двигатель, магнетрон и т. п.) [5, 13, 45], имеющего сложную
магнитную систему с ферромагнетиками. Используем так называемый узловой (в пакете ANSYS – Magnetic-Nodal) метод.
Рис. 7. Расчетная схема магнитной системы для планарного магнетрона
105
Осесимметричная конструкция магнитной системы (см. рис. 7)
состоит из внутреннего 1 и наружного 2 сердечников, изготовленных из стали и работающих в режиме насыщения. Данная конструкция имеет две обмотки 3 и 4 магнитных катушек, соединенные
последовательно. Крышки катушек 5 выполнены из немагнитной
стали с µ = 1. Относительная магнитная проницаемость µ внутри
катушек в объеме 6, занятом плазмой, и в воздушных зазорах принята равной единице.
Граничные условия к данной задаче следующие: на оси системы (левая граница модели) вследствие симметрии вектор магнитной индукции параллелен границе. Остальные границы являются
свободными, на бесконечности ставится условие равенства нулю
потенциала поля.
Для расчета осесимметричных магнитных систем используем
следующие типы элементов: PLANE13 – трех- или четырехугольный плоский элемент, PLANE53 (отличается от предыдущего числом узлов – 8 или 6, т. е. имеет более высокий порядок аппроксимации) и INFIN110 – элемент, моделирующий затухание поля на
бесконечности.
Применение последнего элемента имеет свои особенности: а) область «бесконечных» элементов может состоять только из одного
слоя элементов между расчетной областью и «бесконечностью»;
б) «бесконечность» может примыкать к элементу INFIN110 только с
одной стороны (при этом на других сторонах элемента должно быть
задано «обычное» граничное условие, например первого рода); в) для
достижения высокой точности расчетов рекомендуется размеры элементов INFIN110 делать примерно равными соответствующим размерам расчетной области, а граница между расчетной областью и
областью данных элементов должна быть гладкой. Для этого прямые
углы, в частности, скругляют секторами.
В итоге расчета получаем массивы значений модуля вектора
индукции магнитного поля и его проекций на координатные оси в
узлах конечных элементов модели. После нахождения решения
визуализацию результатов (построение магнитных силовых линий
и векторного графика магнитного поля) проводим, как правило,
средствами пакета ANSYS.
Однако полученные данные в узлах конечных элементов непосредственно использовать для дальнейших расчетов процессов в
плазме невозможно – их надо преобразовать в двумерные матрицы
для узлов ортогональной сетки. Для этого был применен метод
субмоделирования, реализованный в пакете ANSYS.
106
В магнетроне он используется для получения более подробной
картины распределения поля в области 7 (см. рис. 7) над катодоммишенью, где расположено плазменное образование. На рис. 8
представлена магнитная конфигурация, рассчитанная с применением субмоделирования.
Рис. 8. Расчетная магнитная конфигурация
(начало отсчета по z – нижняя плоскость области интегрирования – см. рис. 7)
Расчеты для плазменных систем с азимутальным дрейфом
электронов на основе постоянных магнитов во многом аналогичны
приведенным выше. В этом случае в качестве одного из исходных
данных задается коэрцитивная сила. Результаты расчетов показывают, что в углах магнитной системы имеет место большее сгущение силовых линий, чем в случае применения электромагнитов.
Найденные конфигурации магнитных полей могут быть использованы для расчетов (например, методом Монте-Карло) движения эмиттированных с поверхности катода электронов с учетом
столкновений, рождения новых частиц, образования пространственного заряда и т. п.
3.5. Моделирование динамики вакуумных систем
Плазменные установки включают в себя большое число разного рода систем, которые обеспечивают протекание основных
процессов, определяющих эксплуатационные характеристики
устройства. От того, как организованы поддержание необходимого давления в камере установки, откачка примесей, охлаждение
обращенных к разряду элементов конструкции, существенно за107
висят работоспособность устройства и свойства самой высокотемпературной среды – плазмы. Поэтому необходимость стабилизации целого ряда параметров (зачастую – на прецизионном
уровне) или программируемого изменения условий горения разряда обусловливает очень жесткие требования к системам управления параметрами плазменной установки.
Одна из важнейших систем, которая присутствует в подавляющем большинстве установок, – вакуумная. Ее основными задачами являются обеспечение эффективной откачки воздуха из
камеры, напуск и поддержание на требуемом уровне давления
плазмообразующего газа. В частности, для магнетронных систем
параметры пучка генерируемых ионов сильно зависят от давления
газа. Его необходимо поддерживать при испытаниях на постоянном уровне с высокой точностью. Поскольку в процессе эксперимента имеется множество факторов, вызывающих отклонение характеристик разряда от номинального режима, для поддержания
давления на заданном уровне необходима специальная система
автоматического регулирования (САР) с обратными связями. Этапы проектирования и отработки плазменной установки включают
в себя расчет и оптимизацию вакуумной системы.
Рассмотрим типичную систему откачки и напуска газа для магнетронной установки, работающей на изотопах водорода. Цепь стабилизации и регулирования давления в камере включает в себя датчик
давления ПМТ, непосредственно систему регулирования – программный комплекс с ПЭВМ, а также исполнительный элемент – регулятор РРГ (рис. 9).
Напряжение, снимаемое с преобразователя ПМТ и однозначно
связанное с давлением водорода в камере, усиливается до уровня
нескольких вольт и поступает на вход АЦП. Цифровой сигнал в
ПЭВМ передается на схему сравнения, где выделяется разность
между ним и заданным сигналом (определяющим требуемое стабилизированное значение давления). Эта разность после преобразования по определенному закону выдается через ЦАП на вход
регулятора РРГ, изменяющего пропускное сечение водородной
магистрали.
Время отработки сигнала используемых на установке регуляторов РРГ составляет от единиц до нескольких десятков секунд, что
является вполне достаточным для отклика на изменение давления в
рабочей камере с учетом инерционности работы вакуумной системы.
Аналогично устроена система стабилизации давления дейтерия, в
которой лишь применяется натекатель другого типа.
108
Рис. 9. Схема основных систем магнетронной установки «МАГРАС»
Для нахождения оптимальных параметров системы регулирования используется расчетный анализ ее работы. В этих целях
наиболее удобно применять разработанный под руководством доцента О.С. Козлова программный комплекс «Моделирование в
технических устройствах» (ПК «МВТУ») [46].
Устройство для управления экспериментом является сложной
многопараметрической системой с обратной связью, характеризующейся различными постоянными времени составляющих элементов. Поэтому перед программной реализацией САР возможные
экспериментальные ситуации моделировались расчетным путем. В
частности, для условий эксперимента подробно анализировалось
применение релейной и пропорционально-интегральной схем регулирования. Расчетная схема САР в блочном виде представлена
на рис. 10 [47].
Дифференциальное уравнение для расчета зависимости давления в камере от времени представляет собой закон сохранения
массы газа М в камере:
109
dM
= ρ1G1 − ρ 2G2 ,
dt
где G1 и G2 – объемные скорости натекания газа и его откачки соответственно; ρ1 и ρ2 – плотности газа при подаче в камеру и откачке. Плотность газа ρ связана с его объемной концентрацией N,
p
, где m0 – масса
давлением и температурой Т формулой ρ = m0
kT
атома газа; k – постоянная Больцмана.
Рис. 10. Расчетная схема САР
 kT 
Так как давление газа на входе в камеру p0 = ρ1   постоян m0 
но, дифференциальное уравнение для расчета временной зависимости давления в камере имеет вид
dp(t ) p0
1
= G1 (t ) − p(t )G2 (t ).
dt
V
V
Выходной сигнал блока-интегратора «Давление в камере» (см.
рис. 10) соответствует стабилизируемому параметру – давлению
водорода в камере.
Зависимость G2(p) для используемого турбомолекулярного насоса может быть либо пропорциональной давлению, либо некото110
рой константой. Так как рабочий газ – водород и скорость его откачки по сравнению с тяжелыми газами для такого типа насосов
минимальна, для реализуемого диапазона давлений качественно
более верной является линейная зависимость G2(t) = kотк p(t). Константу kотк определяют из частного случая записанного уравнения
в установившемся режиме: p0G1 (t ) = p (t )G2 (t ).
Решение уравнения баланса частиц производится следующим
образом. Отрицательная обратная связь формируется блоками
«G2(p)», «Инерционность насоса», «∗», «1/V» и реализует второе
слагаемое в правой части решаемого уравнения. При этом блок
«G2(p)» рассчитывает скорость откачки, блок «Инерционность насоса» учитывает динамические характеристики системы откачки.
В блоке РРГ моделируется преобразование управляющего напряжения РРГ в расход газа G1: G1 = kРРГ U.
Нелинейную зависимость ЭДС термопары от давления при
расчетах можно задать в виде косинусоидальной функции, которая
качественно согласуется с имеющейся в действительности в данном диапазоне давлений.
Анализ динамики регулирования давления газа может быть
проведен с использованием описанной выше модели для различных исходных данных [47]. Для релейного закона регулирования
с коэффициентом усиления k = 10 наблюдаются существенное
перерегулирование и довольно большое время выхода на режим.
При использовании только пропорционального закона имеет место постоянная работа регулятора с резкими перепадами напряжения на нем. Наилучшие результаты обеспечивает комбинированный способ регулирования, что и подтвердили проведенные
эксперименты.
По результатам анализа полученных данных была составлена
управляющая программа в среде Borland Pascal, которая использовалась на экспериментальном стенде «МАГРАС».
***
Безусловно, представленными в данном пособии примерами не
исчерпываются аналитические и численные модели процессов в
многочисленных и весьма разнообразных плазменных установках.
Однако эти примеры в сочетании с применяемыми для решения
методами представляют, по опыту автора, хорошую базу для формирования и дальнейшего развития у студентов подхода к расчету
111
и моделированию процессов в плазменных установках, а также
навыков их программной реализации. Часть задач разбирается на
семинарах, посвященных численным методам и расчету плазменных установок различного назначения, и при проведении лабораторных работ. По большинству приведенных в гл. 1 и 3 примеров
у автора пособия имеются пакеты программ, выполненных с использованием различных сред и языков высокого уровня. Они могут применяться прежде всего при дипломном проектировании.
112
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Приэлектродные процессы в дуговых разрядах / М.Ф. Жуков,
Н.П. Козлов, А.В. Пустогаров и др. Новосибирск: Наука, 1982. 157 с.
2. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование:
Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1989. 452 с.
3. Теория столба электрической дуги / В.С. Энгельшт, В.Ц. Гурович,
Г.А. Десятков и др. Новосибирск: Наука, 1990. 376 с. (Низкотемпературная плазма; Т. 1).
4. Саттон Г., Карлсон А. Концевые эффекты при течении невязкой
жидкости в магнитогидродинамическом канале // Магнитогидродинамический метод преобразования энергии: Сб. статей / Под ред. В.А. Попова.
М.: Физматгиз, 1963. С. 204–217.
5. Морозов А.И. Физические основы космических электрореактивных
двигателей. М.: Атомиздат, 1978. 326 с.
6. Вычислительные методы в физике плазмы: Управляемый термоядерный синтез / Под ред. Дж. Киллина: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 480 с.
7. Белавин М.И., Васильев Н.Н., Зимин А.М. Управление в термоядерных системах. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. 72 с.
8. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. М.: Физматлит, 2005. 570 с.
9. Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. М.: Атомиздат,
1968. 286 с.
10. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ.
М.: Наука, 1978. 160 с.
11. Зимин А.М., Морозов А.И. Течение плазмы между эквипотенциальными электродами в режиме ионного токопереноса // Физика плазмы.
1995. Т. 21, № 2. С. 126–131.
12. Морозов А.И. Принципы коаксиальных (квази)стационарных плазменных ускорителей (КСПУ) // Физика плазмы. 1990. Т. 16, № 2. С. 131–140.
13. Гришин С.Д., Лесков Л.В., Козлов Н.П. Электрические ракетные
двигатели. М.: Машиностроение, 1975. 271 с.
14. Теория и расчет приэлектродных процессов / И.Г. Паневин,
В.И. Хвесюк, И.П. Назаренко и др. Новосибирск: Наука, 1992. 197 с.
(Низкотемпературная плазма; Т. 10).
15. Математическое моделирование катодных процессов / А.М. Зимин, И.П. Назаренко, И.Г. Паневин, В.И. Хвесюк. Новосибирск: Наука,
1993. 194 с. (Низкотемпературная плазма; Т. 11).
113
16. Ленивкин В.А., Дюргеров Н.Г., Сагиров Х.Н. Технологические свойства сварочной дуги в защитных газах. М.: Машиностроение, 1989. 264 с.
17. Функциональная диагностика низкотемпературной плазмы /
М.Ф. Жуков, М.Ю. Докукин, Н.П. Козлов и др. // Изв. СО АН СССР.
1975. № 4. С. 24 – 25. (Сер. техн. наук; Вып. 1).
18. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Геометрия магнитного поля // Вопросы теории плазмы. 1963. Вып. 2. С. 3–91.
19. Том Р., Тарр Дж. Магнитные системы МГД-генераторов и термоядерных установок / Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1985. 272 с.
20. Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля: Пер. с
англ. М.: Мир, 1972. 392 с.
21. Сверхсильные магнитные поля. Физика. Техника. Применение /
Под ред. В.М. Титова, Г.А. Швецова. М.: Наука, 1984. 416 с.
22. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы: Пер. с англ. М.: Наука, 1977. 344 с.
23. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.
М.: Наука, 1979. 830 с.
24. Таблицы физических величин: Справ. / Под ред. И.К. Кикоина.
М.: Атомиздат, 1976. 1008 с.
25. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 3 т. М.:
ГИФМЛ, 1969. Т. 3. 637 с.
26. Быховский Д.Г. Плазменная резка. Л.: Машиностроение, 1972. 167 с.
27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
28. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.:
Наука, 1968. 416 с.
29. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 1985. 480 с.
30. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел / Пер. с англ.
М.: Наука, 1964. 487 с.
31. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,
1989. 608 с.
32. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 272 с.
33. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач
газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.
34. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
430 с.
35. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:
Наука, 1985. 336 с.
36. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. М.: Едеториал УРСС, 2003. 272 с.
37. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике
сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.
114
38. Кокотушкин Г.А., Храпов П.В. Методические указания к решению
задач по курсу «Методы вычислений». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 44 с.
39. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: Наука,
1973. 400 с.
40. Расчет теплового состояния катодного узла / А.М. Зимин,
Н.П. Козлов, В.И. Хвесюк, Б.Д. Цыдыпов // Источники и ускорители
плазмы. 1983. Вып. 7. С. 73–85.
41. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 1977. 736 с.
42. Жуков М.Ф., Никифоровский В.С. Особенности теплового и механического состояния составных катодов // Экспериментальные исследования плазмотронов. Новосибирск: Наука, 1977. С. 292–314.
43. Зимин А.М., Козлов Н.П., Хвесюк В.И. О критерии подобия температурных полей катодов // Изв. СО АН СССР. 1979. № 3. С. 9–11. (Сер.
техн. наук; Вып. 1).
44. Зимин А.М., Хвесюк В.И. Генераторы плазмы / МВТУ им. Н.Э. Баумана. М., 1983. 33 с.
45. Марахтанов М.К. Применение в технике ускорителей плазмы
магнетронного типа // Плазменные ускорители и ионные инжекторы /
Под ред. Н.П. Козлова, А.И. Морозова. М.: Наука, 1984. С. 264–268.
46. Программный комплекс для исследования динамики и проектирования технических систем / О.С. Козлов, Д.Е. Кондаков, Л.М. Скворцов и др. // Информационные технологии. 2005. № 9. С. 20–25.
47. MAGRAS – facility for modelling of plasma facing beryllium sputtering and redeposition / A.M. Zimin, N.G. Elistratov, B.N. Kolbasov et al. //
Plasma Devices and Operations. 1999. Vоl. 8, N 1. P. 15–38.
115
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. Особенности плазменных установок как объекта
математического моделирования .......................................................... 3
9
1. Аналитические модели процессов
1.1. Двумерный расчет динамики двухкомпонентной плазмы
с использованием формализма функций потока .................. 10
1.2. Расчет магнитных конфигураций и магнитных полей
в плазменных установках ....................................................... 23
1.3. Расчет двумерного температурного состояния
термоэмиссионного электрода дугового разряда ................. 28
1.4. Расчет распределения потенциала в канале линейного
магнитогидродинамического генератора ............................. 33
2. Основы методов численного моделирования процессов
в плазме и элементах конструкций ....................................................... 37
2.1. Метод конечных разностей .................................................... 40
2.2. Метод конечных элементов ................................................... 56
2.3. Метод частиц для расчета динамики плазмы
64
2.4. Методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений ................................................................................ 69
3. Применение численных методов для расчета процессов
в плазменных установках ....................................................................... 75
3.1. Моделирование движения заряженных частиц
в электромагнитных полях ..................................................... 75
3.2. Решение системы двумерных уравнений теплопроводности
для составного электрода плазмотрона методом конечных
разностей ................................................................................. 80
3.3. Расчет столба дуги генератора плазмы ................................. 99
3.4. Расчет сложных магнитных конфигураций ......................... 104
3.5. Моделирование динамики вакуумных систем ..................... 107
Список литературы .................................................................................. 113
116