Лекция 1 Происхождение и эволюция Земли Вопросы по первой лекции: 1. Назовите все виды фундаментальных взаимодействий. Расположите их в порядке возрастания интенсивности. 2. Кратко опишите основные этапы современной теории образования Солнечной системы. Время для ответов на вопросы: 10 мин Лекция 2 ФИГУРА ЗЕМЛИ История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах • О том, какая форма Земли соответствует действительности, спорили очень много на протяжении всей истории развития естественнонаучных знаний. Гомер предполагал, что наша планета имеет вид круга, а Анаксимандр доказывал, что она похожа на цилиндр. Другие доказывали, что форма Земли имеет вид диска и держится на трёх слонах, которые стоят на черепахе. Когда-то были даже предположения, будто наша планета в виде лодки плавает по безбрежному океану или возвышается над ним в форме высочайшей горы! История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах Первые доказательства шарообразности Земли принадлежат древнегреческому ученому Аристотелю (IV в. до н.э.). К ним он относил наблюдения за лунными затмениями, во время которых тень от Земли, отбрасываемая на поверхность Луны, всегда круглая; расширение, горизонта при подъёме в вверх. Первая оценка длины окружности Земли, как результат измерения высоты объектов при их удалении за горизонт на море, также была получена в древней Греции. Аристотель в своей книге «О небе» (4 в. до н.э.) приводит значение длины окружности Земли, которое примерно в два раза превышает правильное значение. История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах Эратосфен, живший в Александрии (город на севере Египта, основан Александром Македонским в 332—331 гг. до н. э.) выбрал, около 230 г. до Р. X., для своего градусного измерения дугу александрийского меридиана, предположив, что на нем же лежит Ассуан (Ассуан, — 24° 8’ 6" ш. и 30° 34’ 39" д., последний из городов, встречаемых в Египте со стороны Нубии) . Светилом для измерения высот служило Солнце. Эратосфен узнал,что в Ассуане, во время летнего солнцестояния, в полдень, можно видеть изображение Солнца в глубоких колодцах, т. е., что Солнце достигает там в это время зенита, и высота его равна стало быть 90°. В Александрии, по наблюдениям тени гномона (гномон — древнейший астрономический инструмент, состоящий из вертикального стержня на горизонтальной площадке. По длине и направлению тени стержня можно определять высоту и азимут Солнца) , в то же самое время, Солнце оказывалось удаленным от зенита на одну пятидесятую часть окружности или на 7°12’, так что для разности широт этих городов получилась непосредственно величина 7°12’. С другой стороны, по рассказам купцов, расстояние между названными городами равно 5000 стадиям(800 км). Если 7°12’ соответствуют 5000 стадиям (800 км), то длина окружности или 360° выходит равна 250 000 стадий (40 000 км), а радиус Земли = 39 789 стадий(6 366 км). История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах В 724 по инициативе И-сина впервые в мире было произведено измерение дуги меридиана, сопровождавшееся необходимыми для этого измерениями земных расстояний. Для проведения измерений было выбрано 12 мест, куда были посланы группы специально обученных астрономов, которые, измеряли высоту Полярной звезды и длину тени гномона в полдень в дни обоих равноденствий и обоих солнцестояний. В результате он получил, что протяженность одного градуса дуги составляет L = 132,3 км, что выше истинного приблизительно на 20%. 783-850 гг. - годы жизни выдающегося узбекского математика, астронома, географа, историка Хорезми Мухаммеда Бен Муси. Среди его сохранившихся рукописей - таблицы движения Солнца и Луны, перечень астрономических координат 2402 пунктов на Земле, карта Нила, труды о солнечных часах, устройство астролябии, определение с ее помощью азимутов. В 814 г. в период правления калифа аль-Мамуна арабы получили значение L = 90 км, что ниже истинного примерно на 20% 973-1048 гг. – годы жизни выдающегося узбекского ученого-энциклопедиста Бируни (Беруни) Абу Райхан. Наибольшее число его работ посвящено астрономии и математике. Уцелел его астрономо-геодезический трактат «Определение границ мест для уточнения расстояний между городами» («Геодезия»), в котором Бируни описал вопросы определения астрономических координат, измерения длины градуса земного меридиана, конструирования астролябий и квадрантов, сооружения земного глобуса. История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах В Средние века достижения древних, китайцев и арабов европейцами «открывались» заново. Лишь в 14 в. «непобедимый доктор» Оксфордского университета Уильям Оккам «посмел» считать вращение Земли возможным. Далее взгляды европейцев менялись достаточно «стремительно». Благодаря работам Н. Кузанского, Н. Коперника, Д. Бруно, Г. Галилея и И. Кеплера в 14 - начале 17 вв. гелиоцентрическая система окончательно утвердилась. В 1527 г. Френель в Париже подсчитал число оборотов колеса экипажа и получил результат, эквивалентный длине окружности Земли, равной 36500 км. Эта оценка уточнялась сначала Снеллиусом, а затем Норвудом. И, наконец, Пикар с использованием телескопа для измерения углов и из измерений звезды в созвездии Кассиопея пришел к выводу, что вблизи Парижа протяженность одного градуса дуги составляет L = 111,2 км. Полученное Пикаром значение с точностью 0,1% совпадает с современным значением L. В 17 в. после двух тысяч лет летаргического сна Европы на смену гениальным догадкам древних пришли систематические исследования. Уильям Оккам Галилео Галилей Огюстен Жан Френель Виллеброрд Снеллиус Иоганн Кеплер Жан Пикар История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах Начальный ньютоновский этап: И. Ньютон понял, что с помощью закона всемирного тяготения можно исследовать не только движение небесных тел, но и саму их форму. Он поставил знаменитую задачу о равновесной форме гравитирующей жидкой массы, имеющей вращение вокруг оси. Эта задача и положила начало теории фигур равновесия. Ньютон первый и определил сжатие 5 однородной Земли: q 2291, где q – отношение центробежной 4 силы к притяжению на экваторе. Это был несомненный успех в познании Земли и других планет. Ньютоновские «Начала» побудили многих математиков к занятию задачами по фигурам равновесия: К. Маклорена (1742), Т. Симпсона и А. Клеро (1743) и других. Этап Якоби: В результате работ А. Лежандра, П. Лапласа, С. Пуассона, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других, подход к сформулированной И. Ньютоном проблеме фигур равновесия стал более абстрактным, что позволило сформулировать выводы более общего плана. Дело касалось самого принципиального момента теории: обязаны ли фигуры равновесия иметь осевую симметрию или могут существовать и фигуры с нарушением ее? Новый толчок к развитию теории дал в 1834 г. математик К. Якоби, указавший на возможность существования однородной фигуры равновесия в форме трехосного эллипсоида – эллипсоиды Якоби. В 1884 г. А. Ляпунов и годом позднее А. Пуанкаре совершенно независимо друг от друга открывают целый класс новых фигур равновесия. Математически строгое доказательство существования неэллипсоидальных форм дано в начале ХХ века [Ляпунов, 2000] История развития представлений о фигуре Земли и ее размерах Этап Дирихле: Математик П. Дирихле раздвинул сами границы проблемы. Поставленная П. Дирихле проблема такова. Дана однородная несжимаемая масса гравитирующей жидкости. Допускают ли законы гидродинамики такое движение этой массы, чтобы ее форма в любой момент оставалась эллипсоидальной, а поле скоростей жидкости – линейным по координатам? Дирихле поставил задачу и получил уравнения движения такого эллипсоида. Б. Риман впервые рассмотрел стационарные фигуры равновесия и открыл класс двухпараметрических равновесных эллипсоидов, у которых вектор угловой скорости и вектор вихря внутренних течений совпадают с одной из главных осей симметрии фигуры (S-эллипсоиды Римана). Класс S-эллипсоидов состоит из однопараметрических последовательностей фигур с определенным отношением f = / (являющимся, как впоследствии будет показано С. Чандрасекхаром, своеобразным условием «квантования» получаемых решений). Современный этап: Интерес к проблеме Дирихле был возрожден через сто лет работами по динамике звезд, выполненными С. Чандрасекхаром с сотрудниками в 60-х гг. прошлого века (Нобелевская совместно с совместно с У.А. Фаулером премия 1983 г.). Важным результатом такого рассмотрения, имеющим принципиальное значение, является возможность получения новых данных о физических свойствах сред, таких как вязкость, сжимаемость, напряженность магнитного поля и др. Понятие об истинной фигуре Земли – геоиде и его геометрическое представление Под формой Земли естественно понимать форму физической поверхности твердой части планеты. Однако в силу большой сложности этой твердой поверхности из нее давно стали выделять более простую (более гладкую часть), в качестве которой принимают невозмущенную приливами, ветрами и т.д. поверхность океана, продолженную некоторым образом под континенты. Для такого приближения имеются достаточно веские основания, так как на долю поверхности океана приходится большая (3/4) часть поверхности всей планеты. От этой поверхности "уровня моря" и ведется отсчет высот при изучении формы реальной поверхности Земли или ее рельефа. эквипотенциальная поверхность соответствующая невозмущенному уровню моря - поверхность, вдоль которой гравитационный потенциал остается постоянным, называется геоидом, который и определяет фигуру Земли. Фигура Земли – обобщенная форма поверхности Земли, обычно совпадающая с уровенной поверхностью потенциала силы тяжести. Фигуру Земли традиционно определяют фигурой геоида, однако неопределенность его поверхности в районах суши, при более строгой постановке задачи, заставила специалистов перейти к понятию квазигеоида. Сравнение геоида (сплошная линия) с шаром того же объема (пунктирная линия). Сжатие геоида преувеличено примерно в 50 раз. Радиус шара R=(a2c)1/3, где а и с – большая (экваториальная) и малая (полярная) полуоси. Координата географическая широта точки; q –угол между нормалью к поверхности геоида в точке наблюдения и экваториальной плоскостью. 1. Мировой океан 2. Земной эллипсоид 3. Отвесные линии 4. Тело Земли 5. Геоид Понятие об истинной фигуре Земли – геоиде и его геометрическое представление Современные общеземные эллипсоиды и их параметры. Названи Год е GRS80 1980 Страна /орган a, м изация МАГГ 6 378 137 ± 2 (IUGG) WGS 84 1984 США ПЗ-90 МСВЗ (IERS) точно сть 1/f ma, м 6 378 137 ± 2 1990 СССР 6 378 136 ± 1 1996 IERS 6 378 136,49 — точность Примечание mf 298,257222101 ± 0,001 (англ. Geodetic Reference System 1980) разработан Международным геодезическим и геофизическим союзом (англ. International Union of Geodesy and Geophysics) и рекомендован для геодезических работ 298,257223563 ± 0,001 (англ. World Geodetic System 1984) применяется в системе спутниковой навигации GPS ± 0,001 (Параметры Земли 1990 года) используется на территории России для геодезического обеспечения орбитальных полетов. Этот эллипсоид применяется в системе спутниковой навигации ГЛОНАСС — (англ. International Earth Rotation Service 1996) рекомендован Международной службой вращения Земли для обработки РСДБ-наблюдений 298,257839303 298,25645 𝑓= 𝑎−𝑏 𝑎 (1) f - геометрическое (полярное) сжатие, a – экваториальный радиус, b – полярный радиус Радиус шара, равновеликого по объему земному эллипсоиду вращения, 6 371 221 м, а равновеликого по поверхности — 6 371 228 м. Площадь поверхности Земли 5,1∙108 км (из 4 них на долю суши приходится 29,2%, на долю океана 70,8%), ее объем 3 𝜋𝑎2 𝑐=1,1∙1012 км3, 3𝑀 масса М = 6∙1024 кг и средняя плотность 𝜌0 = 4𝜋𝑎2𝑐=5,5 г/см3. Геофизическое обоснование геоида. Сфероид Клеро. Для определения физического смысла геоида введем в рассмотрение потенциал силы тяжести W, который слагается из потенциалов гравитационного притяжения V и центробежных сил U: 1 2 1 2 𝑊 = 𝑉 + 𝑈 = 𝑉 − 𝜔2 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑉 − 𝜔2 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 (2) где - угловая скорость вращения Земли. Ось z направлена по оси вращения Земли, а x, y или r, (широта) - координаты точек на земной поверхности. В точках внутри Земли полный потенциал содержит еще один член, зависящий от давления. На поверхности ускорение силы тяжести, по определению направлено по нормали к геоиду. Таким образом, задача вычисления формы геоида сводится к получению выражения для потенциала V. Выражение для V получается из закона всемирного тяготения Ньютона, согласно которому сила притяжения F единичной массы m1 = 1 элементом массы dm на расстоянии между их центрами тяжести r равно: 𝐹=𝐺 𝑚1 𝑑𝑚 𝑟2 =𝐺 𝑑𝑚 𝑟2 (3) где G = 6,666∙10-8 г-1см3с2 – постоянная тяготения. Тогда потенциал притяжения Земли в точке вне ее, на расстоянии r от ее центра будет равен: 𝑑𝑚 𝑉=𝐺 𝑟 где интегрирование проводится по всему объему Земли. Если бы Земля была точной сферой радиуса R0 со сферически-симметричным распределением плотности, то гравитационный потенциал на ее поверхности был бы в точности равен: 𝐺𝑀 𝑉= (5) 𝑅0 где М – масса планеты. (4) Геофизическое обоснование геоида. Сфероид Клеро. Как видно из соотношения (1), реальная Земля всего на 1/300 отклоняется от сферы, поэтому в первом приближении к основной части потенциала (5) достаточно добавить следующий поправочный член в выражении для V через сферические функции полиномы Лежандра. Так как в системе координат связанной с центром Земли и с осями, направленными вдоль главных моментов инерции, первый полином Лежандра Р1 = 0, то добавление второго члена разложения, содержащего второй полином Лежандра Р2, приводит к выражению: 𝐺𝑀 𝑅0 2 1 − ( ) 𝐼2 𝑃2 (𝑐𝑜𝑠 𝛩) 𝑟 𝑟 1 - второй полином Лежандра, 2 𝐶−𝐴 𝐼2 = 𝑀𝑅2 ≈ 0,0012~𝑓 0 𝑉= 2 где 𝑃2 (𝑐𝑜𝑠 𝛩) = 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝛩 − (6) 𝜋 𝛩 = 2 − 𝜙, (7) А и С – моменты инерции Земли относительно осей, проходящих через экватор и полюс соответственно. Окончательно, в первом приближении, с учетом первого ненулевого члена в разложении потенциала по сферическим функциям, выражение для геопотенциала получаем в виде: 𝐺𝑀 𝑅 2 1 1 𝑊 = 𝑟 1 − 𝐼2 (𝑟 0 )2 (3 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 − 2) + 2 𝜔2 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 (8) Как видно из соотношения (7), величина I2 является малой, порядка величины сжатия Земли. Следовательно, в каждой точке поверхности Земли значения разностей между радиусами «приближенного» геоида r и сферы R0 также должны быть небольшими. Поэтому тело, создающее потенциал (8), стало называться сфероидом Клеро или просто сфероидом. Геофизическое обоснование геоида. Сфероид Клеро. Выражение для коэффициента I2 (7) и геопотенциала (8) в том же приближении и с той же точностью, очевидно, может быть переписано в следующем виде, в котором они, как правило, и используются: 𝐶−𝐴 𝐼2 = 𝑀𝑎2 ~𝑓 (7.1) 𝐺𝑀 𝑎 2 1 1 𝑊 = 𝑟 1 − 𝐼2 (𝑟 )2 (3 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 − 2) + 2 𝜔2 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 (8.1) В полученной формуле (2.8.1), полагая значение геопотенциала равным ускорению силы тяжести на экваторе, и решая полученное уравнение относительно радиуса, удерживая лишь малые первого порядка, получаем в явном виде уравнение для сфероида Клеро: 𝑟 = 𝑎(1 − 𝛼0 𝑠𝑖𝑛2 𝜙) (9) где 𝛼0 = 3 𝐶−𝐴 2 𝑀𝑎2 + 1 𝜔2 𝑎3 ~𝑓. 2 𝐺𝑀 При учете малых следующего порядка получаем уравнение для сфероида Дарвина-Де Ситтера: 𝑟 𝜙 = 𝑎 1 − 𝛼0 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 + 5 2 𝛼 8 0 − 𝑘 𝑠𝑖𝑛2 2 𝜙 , где поправочный параметр k, характеризующий отличие уровенных поверхностей от точного эллипсоида вращения, является малой величиной. Фигура и распределение массы внутри Земли Для проблемы внутреннего строения Земли большое значение имеет величина среднего момента инерции 𝐶+2𝐴 𝐼= 3 (10) 3𝑀 которая с учетом величин средней плотности 𝜌0 = и данных сейсмологии о строении 4𝜋𝑎2 𝑐 Земли позволяет получить распределение плотности в недрах планеты. В случае постоянной плотности планеты ее безразмерный момент инерции 𝐼 ∗ равен 𝐼 𝐼0∗ = 𝑀𝑅2 = 0,4 0 Если с глубиной плотность увеличивается, то 𝐼 ∗ < 𝐼0∗ , если уменьшается, то 𝐼 ∗ > 𝐼0∗ . Значение 𝐼 ∗ для Земли равно: 𝐼 ∗ = 0,3315, что указывает на существенное увеличение плотности в недрах Земли с глубиной. (11) (12) Впрочем, имеется и другая точка зрения на связь параметра 𝐼 ∗ со строением Земли. Так Дж.Ф. Эверден [1997] полагает, что Земля негидростатична и, как следствие, значение параметра 𝐼 ∗ ничего не говорит о распределении плотности внутри Земли. Однако В.В. Кузнецов [2008, с. 219-221] полагает, что выводы Эвердена слишком категоричны, они противоречат геофизическим результатам, а сам парадокс Эвердена может быть разрешен в рамках модели горячей Земли. Фигура и распределение массы внутри Земли Ускорение силы тяжести g находится из выражения: 𝑔 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑊 𝜕𝑊 Выражения для его азимутальной 𝑔𝜙 = 𝑟𝜕𝜙 и радиальной 𝑔𝑟 = − (13) 𝜕𝑊 𝜕𝑟 составляющих приводят к соотношению: 𝑔= 𝜕𝑊 𝜕𝑊 (𝑟𝜕𝜙)2 + ( 𝜕𝑟 )2 (14) из которого на основании (8), (8.1) и (14) можно установить связь между g и сжатием Земли f: 5𝜔2 𝑎3 2𝐺𝑀 𝑔 = 𝑔𝑎 1 + ( − 𝑓) 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 (15) где 𝑔𝑎 = 𝐺𝑀 (1 𝑎2 3 + 2 𝐼2 𝜔2 𝑎3 ) 𝐺𝑀 (16) Уравнение (15) впервые было получено А. Клеро в 1743 г. (теорема Клеро о силе тяжести), его можно переписать более просто: 𝑔 = 𝑔𝑎 (1 + 𝛽 𝑠𝑖𝑛2 𝜙) (17) 5 где 𝛽 = 2 𝑞 − 𝑓, 𝑞 = 𝜔2 𝑎 3 . 𝐺𝑀 Фигура и распределение массы внутри Земли 𝑔𝑎 = 𝐺𝑀 (1 𝑎2 + 3 𝜔2 𝑎3 𝐼 ) 2 2 𝐺𝑀 (16) Уравнение (15) (Теорема Клеро) можно переписать более просто: 𝑔 = 𝑔𝑎 (1 + 𝛽 𝑠𝑖𝑛2 𝜙) где 𝛽 = 5 𝑞 2 − 𝑓, 𝑞 = (17) 𝜔2 𝑎3 . 𝐺𝑀 Таким образом, сила тяжести в любой точке земного шара обусловлена: • притяжением всего земного сфероида (первое слагаемое в (16)) и центробежной силой (второе слагаемое в (17)), • влиянием рельефа местности, определяемой зависимостью величины угловой скорости вращения от высоты точки на поверхности, • неравномерным распределением масс, в основном, в земной коре, величина которого определяется значением коэффициента I2 (второе слагаемое в (16)). Референц-эллипсоид. Эллипсоид Красовского. Международный эллипсоид При изучении фигуры Земли с давних пор поступают следующим образом. Сначала определяют форму и размеры некоторой модели Земли, поверхность которой сравнительно проста, хорошо изучена в геометрическом отношении, удобна для решения на ней разнообразных задач геодезии и картографии и наиболее полно характеризует в первом приближении форму и размеры реальной Земли. Затем, приняв поверхность этой модели Земли за отсчетную, определяют относительно нее высоты точек поверхности изучаемой фигуры — геоида (квазигеоида) или реальной Земли — и таким образом получают данные, характеризующие форму и размеры конкретной фигуры. При решении задач высшей геодезии за такую модель Земли принимают эллипсоид вращения с малым полярным сжатием, называемый общим земным эллипсоидом. Его поверхность может быть получена вращением полуэллипса РЕР1 вокруг его малой оси РР1. Форма и размеры земного эллипсоида характеризуются большой а и малой b полуосями, а чаще большой полуосью а и полярным сжатием f, 𝑎−𝑏 𝑓= 𝑎 или большой полуосью а и первым эксцентриситетом е меридианного эллипса: 𝑎2 − 𝑏2 𝑒= 𝑎2 Референц-эллипсоид. Эллипсоид Красовского. Международный эллипсоид Требования к общеземному эллипсоиду: • Центр должен совпадать с центром масс Земли • Плоскость экватора и малая ось его должны совпадать соответственно с плоскостью экватора и осью вращения Земли • Объем его должен быть равен объему геоида • Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных: ℎ2 = min • Сумма квадратов уклонений отвесных линий должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных: 𝑈 2 = min Референц-эллипсоид. Эллипсоид Красовского. Международный эллипсоид Референц-эллипсоид (от лат. referens — сообщающий, вспомогательный), земной эллипсоид с определёнными размерами и положением в теле Земли, служащий вспомогательной математической поверхностью, к которой приводят результаты всех геодезических измерений на земной поверхности и на которую тем самым проектируются пункты опорной геодезической сети. • Ось вращения должна быть параллельна оси вращения Земли • Плоскость экватора должна быть параллельна плоскости Земного экватора • Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть наименьшей из всех возможных для данной территории: ℎ2 = min • Сумма квадратов уклонений отвесных линий должна быть наименьшей из всех возможных для данной территории: 𝑈 2 = min Для закрепления референц-эллипсоида в теле Земли необходимо задать геодезические координаты B0, L0, H0 начального пункта геодезической сети и начальный азимут A0 на соседний пункт. Совокупность этих величин называется исходными геодезическими датами. Референц-эллипсоид. Эллипсоид Красовского. Международный эллипсоид Основные референц-эллипсоиды и их параметры Учёный Деламбр Деламбр Год 1800 1810 Страна Франция Франция a, м 6 375 653 6 376 985 1/f 334,0 308,6465 Вальбек 1819 Финляндия,Российская Империя 6 376 896 302,8 Эйри 1830 6 377 563,4 299.324 964 6 Эверест 1830 Индия, Пакистан, Непал, Шри-Ланка 6 377 276,345 300.801 7 Бессель 1841 Германия, Россия (до 1942 г.) 6 377 397,155 299.152 815 4 Теннер 1844 Россия 6 377 096 302.5 Кларк 1866 США, Канада, Лат. и Центр. Америка 6 378 206,4 294.978 698 2 Кларк Листинг Гельмерт 1880 1880 1907 Франция, ЮАР 6 377 365 6 378 249 6 378 200 289.0 293.5 298,3 Хейфорд 1910 Европа, Азия, Ю. Америка, Антарктида 6 378 388 297,0 Хейсканен Красовский 1929 1936 СССР 6 378 400 6 378 210 298,2 298,6 Красовский 1942 СССР, советские республики, Восточная Европа, 6 378 245 Антарктида 298.3 Эверест IAG-67 WGS-72 IAU-76 1956 1967 1972 1976 Индия, Непал 6 377 301,243 6 378 160 6 378 135 6 378 140 300.801 7 298.247 167 298.26 298.257 Референц-эллипсоиды. Эллипсоид Красовского. Общеземные эллипсоиды. Эллипсоид Красовского — референц-эллипсоид, размеры которого выведены в 1940 г. в Центральном научно-исследовательский институте геодезии, аэросъёмки и картографии (ЦНИИГАиК) советским геодезистом А. А. Изотовым на основании исследований, проведённых под общим руководством Ф. Н. Красовского. Размеры эллипсоида Красовского были выведены из градусных измерений, произведённых на территории бывшей СССР, стран Западной Европы и США. Эллипсоид Красовского характеризуется следующими величинами: – большая полуось a 6378 245 м; – сжатие Земли f 1: 298,3. Положение (ориентировка) эллипсоида Красовского в теле Земли определено геодезическими координатами центра круглого зала Пулковской обсерватории: широта 𝐵0 = 59°46'18,55", долгота 𝐿0 = 30°19'42,09", высота 𝑥0 положена равной нулю. Эти исходные геодезические даты, как и эллипсоид Красовского, приняты за основу единой государственной системы координат СК-95 при производстве всех геодезических и картографических работ на территории РФ. Эллипсоиды СК-95 и Красовского выводятся из употребления к 1 января 2021 г. Референц-эллипсоид. Эллипсоид Красовского. Международный эллипсоид Современные общеземные эллипсоиды и их параметры. Названи Год е GRS80 1980 Страна /орган a, м изация МАГГ 6 378 137 ± 2 (IUGG) WGS 84 1984 США ПЗ-90 МСВЗ (IERS) точно сть 1/f ma, м 6 378 137 ± 2 1990 СССР 6 378 136 ± 1 1996 IERS 6 378 136,49 — точность Примечание mf 298,257222101 ± 0,001 (англ. Geodetic Reference System 1980) разработан Международным геодезическим и геофизическим союзом (англ. International Union of Geodesy and Geophysics) и рекомендован для геодезических работ 298,257223563 ± 0,001 (англ. World Geodetic System 1984) применяется в системе спутниковой навигации GPS ± 0,001 (Параметры Земли 1990 года) используется на территории России для геодезического обеспечения орбитальных полетов. Этот эллипсоид применяется в системе спутниковой навигации ГЛОНАСС — (англ. International Earth Rotation Service 1996) рекомендован Международной службой вращения Земли для обработки РСДБ-наблюдений 298,257839303 298,25645 При ориентировании общеземного эллипсоида в теле Земли (в отличие от референцэллипсоида) нет необходимости вводить исходные геодезические даты. Понятие о периодах Эйлера и Чандлера, нутации и прецессии, динамическое сжатие 𝐺𝑀 𝑎 2 2 1 1 2 2 2 𝑊= 1 − 𝐼2 ( ) ( 𝑠𝑖𝑛 𝜙 − ) + 𝜔 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 𝑟 𝑟 3 2 2 Из уравнения (8.1) видно, что в разложении потенциала силы тяжести, кроме члена, пропорционального 𝑟 −1 имеется меньший член, пропорциональный 𝑟 −3, который обусловлен сжатием Земли. Этот член зависит от угловой координаты . Следовательно, 𝜕𝑉 на массу m, расположенную в точке (r, ), кроме центральной силы тяготения −𝑚 𝜕𝑟 , действует момент сил −𝑚 𝜕𝑉 . 𝜕𝜙 Поэтому на массу Земли в свою очередь действует момент сил, равный по величине и противоположный по направлению. Моменты, возникающие из-за действия Луны и Солнца на экваториальное вздутие, вызывают прецессию земной оси. Период прецессии составляет 25800 лет. Равнодействие Северное полушарие - осень Южное полушарие - весна 2 3.6 Солнцестояние Северное полушарие - зима Южное полушарие - лето Д ви ж ение по орб ит е Солнце Солцестояние Северное полушарие - лето Южное полушарие - зима Равнодействие Северное полушарие - весна Южное полушарие - осень Понятие о периодах Эйлера и Чандлера, нутации и прецессии, динамическое сжатие На прецессию накладывается малая нутация, или качания полюса мира вокруг полюса эклиптики. На самом деле имеется несколько нутаций, возникающих из-за эллиптичности орбит Земли и Луны, расположенных в разных плоскостях, а также от слабого воздействия других планет. Выявлено около 1500 гармоник, основные периоды: 13,7 суток, 27,6 суток, 6 месяцев, 1 год, 18,6 лет. Понятие о периодах Эйлера и Чандлера, нутации и прецессии, динамическое сжатие Независимо от гравитационного взаимодействия с другими телами Земля испытывает свободную, эйлерову прецессию. В геофизической литературе ее обычно называют свободной нутацией или чандлеровскими колебаниями по имени первооткрывателя. Полный момент количества движения остается постоянным и по величине и по направлению, а Земля движется так, что полюс описывает на ее поверхности круг с центром в точке пересечения оси наибольшего момента инерции с поверхностью Земли. Ось вращения Земли практически фиксирована в пространстве и чандлеровское колебание полюса выражается в периодических вариациях широты с периодом Tch = 430 – 435 суток и переменной амплитудой, составляющей, в среднем, α = 0,14//. Ось вращения С a Траектория оси вращения на поверхности Земли Понятие о периодах Эйлера и Чандлера, нутации и прецессии, динамическое сжатие По аналогии с вращающимся волчком, который можно рассматривать как жесткое твердое тело, можно получить выражение для периода свободной прецессии Земли. Суть вычислений заключается в следующем. Полная энергия вращения больше, чем энергия вращения относительно оси С. Избыток энергии вращения приводит к стремлению тела восстановить состояние симметричного вращения и создает эффективный гироскопический момент. Рассматривая его как внешний момент, вызывающий вынужденную прецессию, получим угловую скорость свободной (эйлеровской) прецессии жесткой твердой Земли, или, как полагают, теоретический период Чандлера (ch): 𝜔𝑐ℎ = −𝜀𝐻 𝜔, (18) где - угловая скорость вращения Земли и 𝜀𝐻 - динамическое сжатие, определяемое из выражения: 𝐶−𝐴 1 𝜀𝐻 = 𝐶 = 3,2732 ⋅ 10−3 ≈ 305,51. (19) Как можно видеть из (19), теоретическое значение Тch, теор = 2ch = 305 суток не равно на практике определенному значению периода Чандлера Тch. Более того, вариации широты с частотой ch на практике не выявлены. Это может указывать на то, что Землю нельзя рассматривать как жесткое тело, и, следовательно, чандлеровские колебания, возможно, связаны не только со свободной прецессией планеты. 𝐶−𝐴 Из полученного соотношения (19) и из (7.1: 𝐼2 = 𝑀𝑎2 ~𝑓) находим значение полярного момента инерции Земли: 𝐼 𝐶 = 𝜀2 𝑀𝑎2 = 0,3308𝑀𝑎2 (20) 𝐻 Геоид по спутниковым данным. Квазигеоид Геоид, построенный по спутниковым данным, по форме мало отличается от эллипсоида. Эти отклонения в 1000, а может быть и более раз меньше сжатия эллипсоида. Тем не менее, их можно обнаружить, прослеживая изменения элементов спутниковых орбит. Уклонение геоида от сфероида (референц-эллипсоида) лучше всего можно определить по вариациям гравитационного поля на поверхности Земли. Получаемая в результате поверхность называется квазигеоидом Мировая карта высот квазигеоида, м 1:5000000 [Демьянов, Назарова и др. 1996]. Легенда: Карта построена по значениям высот квазигеоида для регулярной сетки с шагом 10 по широте и долготе, полученным по аномалиям силы тяжести для трапеций 10х10 в области с R ≈ 500 км и по модели гравитационного поля Земли ЦНИИГАиК ГАО-94 – в более дальних зонах. Аномалии силы тяжести для трапеций 10х10, собранные и систематизированные в ЦНИИГАиК, снимались с гравиметрических карт масштаба 1:1000000 – 1:5000000. Модель ГПЗ ЦНИИГиК (ГАО-94), содержащая сферические гармоники разложения аномалий силы тяжести до 180-го порядка, получена с использованием результатов совместного уравнивания гравиметрических (наземных и морских) и спутниковых (орбитальных и альтиметрических) данных. Средняя квадратичная погрешность высот квазигеоида на карте . составляет ± 1,3-1,5 м Geoid, also known as "Potsdam Gravity Potato" (data based on satellite LAGEOS, GRACE and GOCE and surface data, airborne gravimetry and satellite altimetry, as well as on the long-term data series, (image: GFZ, 2011). Геоид по спутниковым данным. Квазигеоид -30 -10 0 +10 +10 0 -10 -30 Один из наиболее известных выводов «спутниковой геодезии» состоит в том, что Земля имеет «грушевидную» форму. В действительности же отклонения геоида от сфероида, создающие грушевидность, меньше 20 м, в то время как экваториальное вздутие Земли превышает а – с = 21,385 км. С Интересно, что расположение С С поднятий и впадин поверхности геоида не связано со строением земной коры (материками и океанами). Это один из самых поразительных результатов, Ю Ю a Ю Северный полюс показывающих, что существует +10 компенсация масс (изостазия) в 0 -10 метры континентальных масштабах. -30 Отсутствие связи между формой геоида и материками наводит на мысль, что особенности формы геоида либо определяются различиями плотности в глубоких Экватор частях мантии (глубже пластичного слоя в верхней метры метры мантии, существование которого, как полагают, обеспечивает изостатическое равновесие), либо зависят от различий в плотности, поддерживаемых метры -30 -10 динамически (благодаря конвекции). В последнем b 0 случае неоднородности в распределении плотности, +10 Южный полюс скорее всего, располагаются в верхней мантии. Земля как 3-осный эллипсоид Принимая, что распределение плотности известно из сейсмических данных, и допуская, что на всех глубинах существует гидростатическое равновесие, можно вернуться к задаче о фигуре Земли и, пользуясь этими результатами, рассчитать ее фигуру равновесия. Гидростатическая теория с точностью до первого порядка дана Джеффрисом, который показал, что динамическое сжатие поверхности 𝜀𝐻 можно выразить через полярный момент инерции С следующим образом: 𝜀𝐻 = 5 𝑞 2 25 4 3 𝐶 ) 2𝑀𝑎2 1+ (1− (21) В этой формуле q, как и выше, равно отношению центробежной силы к притяжению на экваторе: 𝜔2 𝑎 3 𝐺𝑀 𝑞= = 3,4678 ⋅ 10−3 ~𝑓 (22) Однако, формула (21) недостаточна для того, чтобы по ней можно было установить различие между сжатием по гидростатической теории и наблюдаемым сжатием. Поправка к (21) была получена численно с использованием данных о распределении плотности в Земле. Проведенные вычисления позволили для величины динамического сжатия Земли получить значение: 𝜀𝐻 = 1/299,7 (23) Видно, что различие между сжатием и динамическим сжатием H несомненно: Земля сжата примерно на 0,5% сильнее, чем следует из гидростатической теории. Отклонение от условий гидростатического равновесия означает, что в мантии существуют касательные напряжения, поддерживаемые статически и динамически. Их величина должна быть порядка 106 Н/м. Земля как 3-осный эллипсоид «Избыточное» сжатие не так уж и велико. Если в разложении потенциала силы тяжести рассматривать только члены второго порядка и вычесть «равновесное» сжатие, то Земля оказывается трехосным эллипсоидом с главными моментами инерции A/ > B/ > C/, причем (С/ - A/)/(B/ - A/) 2. Если такое тело вращается, то на его форму накладывается вздутие, вызванное вращением. Если тело неидеально упругое (т.е. может течь), то вздутие принимает равновесную (гидростатическую) форму, накладывающуюся на исходное сжатие. При этом тело поворачивается так, что ось наибольшего исходного. (неравновесного) момента инерции совпадает с осью вращения. Полученные данные показывают, что Земля может рассматриваться с позиций гидродинамической теории.
