УДК 681.3 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ

УДК 681.3
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ,
ВОЗМУЩАЕМЫХ ОГРАНИЧЕННЫМИ ШУМАМИ
В.А. Тимофеев, канд.техн.наук; Е.Г. Кочуев, асп.; Е.В. Тимофеева, студ.; И.В. Гурина, мл. научн. сотр.
Харьковский национальный университет радиоэлектроники
ВВЕДЕНИЕ
Одной из фундаментальных задач теории управления является проблема идентификации – определения
или оценивания параметров системы в различные моменты времени. Качество решения задачи
идентификации существенно зависит от объема априорной информации о свойствах исследуемого объекта и
действующих сигналов и помех. Большинство существующих методов идентификации предполагает
наличие такой информации в виде известной плотности распределения помех либо информации о
принадлежности неизвестной плотности какому-либо классу распределений. Эта информация позволяет
однозначно выбрать критерий идентификации и применить для поиска его экстремума хорошо
разработанные методы.
Однако зачастую сведения о статистических свойствах сигналов и помех отсутствуют, а исследователь
обладает информацией лишь об их уровнях. Исследованию такого случая и посвящена данная работа.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим динамический объект, описываемый авторегрессионной
y t  a1y t 1 
 an y t n  b0 u1  b1u t 1 
 bm u t m  ξt ,
(ARX)
моделью
(1)
где y i , u i , ξ i - выходной, входной сигналы и помеха в момент времени i соответственно, причем
i   i ,
i  1,2,  , t .
(2)
Данное уравнение может быть преобразовано к виду
y t  ΘT x t  ξ t ,
(3)
где Θ  a1 , a2 , , a n , b0 , b1 , , bm 
- вектор параметров; x t  y t 1 , , y t  n , u t , u t 1 , , u t  m  вектор обобщенных входов.
С учетом (2) уравнение (3) может быть переписано в виде пары неравенств
T
y t  δt  ΘT x t  y t  δt ,
T
(4)
задающих границы области D, внутри которой должны лежать искомые параметры  . Отметим, что
неравенства (4) задают гиперплоскости в пространстве  , ограничивающие область принадлежности  .
Последовательность наблюдений y1, y2 , , yk
порождает k пар гиперплоскостей, «высекающих» в
пространстве некоторую область Dk , являющуюся областью оценок и представляющую собой политоп
[1]. Каждое новое наблюдение изменяет эту область, относительно которой можно заметить, что все точки,
принадлежащие этой области, равноправны в том смысле, что среди них нельзя выделить наилучшую
оценку. Поэтому для удобства используется некий «центр» области [1,2].
Очевидно, что чем больше объем полученного политопа, тем меньше уровень неопределенности  . Из
(3) и (4) видно, что вид и размер политопа зависят от выбора вектора обобщенных входов x t . При
использовании в качестве метрики в пространстве параметров  евклидового расстояния наилучший
выбор x t связан с максимизацией x t , что обеспечивает максимальное стягивание границ политопа [3].
Таким образом, проблема выбора последовательности векторов
x t состоит в минимизации после k шагов
размера области Dk .
ПОЛУЧЕНИЕ АЛГОРИТМА ОЦЕНИВАНИЯ
Формально это можно представить следующим образом. Так как объект описывается уравнением (3), а
помеха удовлетворяет условию (2), то вектор искомых параметров удовлетворяет всем неравенствам
y
 ΘT x t
t

2
 δ2t .
(5)
Поэтому в качестве оценок параметров могут быть использованы только те, которые принадлежат
множеству

ˆ
ˆ
ˆT
M t   
 : y t   x t


2
ˆ
  t2 ,   R n  m  1 
,

которое с геометрической точки зрения
последовательность выпуклых политопов D t :
представляет
(6)
собой
монотонную
невозрастающую
t
Mt 
D
k
 M t 1  D t ,
(7)

(8)
k 1

ˆ
ˆ
D t  Θ : y t  ΘT x t  δ t .
Вычисление оценок
ˆ
ˆ
Θ t  M t Θ 
представляет собой сложную задачу, решение которой может быть
ˆ
существенно упрощено путем построения некоторого множества, ограничивающего M t  . Эти
ограничения могут задаваться либо в форме параллелепипедов [1,2], либо в форме эллипсоидов [3,4], центр
которых совпадает с  .
Рассмотрим алгоритм идентификации объекта (1), основанный на методе эллипсоидов.
Алгоритм начинается с построения достаточно большого эллипсоида M 0
в пространстве R n  m  1 и
содержащего все возможные допустимые значения вектора  . После получения первого наблюдения y1
может быть найден эллипсоид, построенный в соответствии с (7) на пересечении M 0 и выпуклого
политопа D1 . Для ускорения сходимости алгоритма следует оптимизировать эллипсоид, например, по
критерию минимального его объема либо минимального следа.
Обозначим оптимальный эллипсоид как M 1 . После получения второго наблюдения y2 аналогичным
образом найдем M 2 и т. д. Таким образом, может быть получена последовательность оптимальных
эллипсоидов. В произвольный момент времени t эллипсоид определяется выражением (6) или, в более
общем случае, выражением


ˆ
ˆ T
ˆ
M t   :    t  Pt 1    t   r t2 ,
(9)
где Pt - весовая матрица, определяющая полуоси эллипсоида;
r t2 - скалярная величина, рекуррентно вычисляемая по формуле
r t2  1  λ t r t21  λ t δ2t 
λ t 1  λ t e2t
,
1  1  γ t λ t
(10)
r 02  1 ;
ˆ
et  y t  Θ Tt 1 x t ;
γ t  x Tt Pt 1 x t ;
λ t  0,1  .
Коррекция оценок происходит по формуле
ˆ
ˆ
Θ t  Θ t 1  λ t
Pt 1x t
rt ,
1  1  γ t λ t
(11)
Pt 
1
1  λt

Pt 1 x t x Tt Pt 1 
Pt 1  λ t
,
1  1  γ t λ t 

(12)
P0  I ,I – единичная матрица, α  0 .
Размер оптимального эллипсоида M t , вычисляемый в соответствии с (7), зависит от коэффициента
t . Оптимальное значение t может быть получено путем минимизации по t величины r t2 (10).
С другой стороны, имеет смысл осуществлять коррекцию λ t только в те моменты времени, когда
происходит уточнение оценок искомых параметров, т. е. в случаях, когда нарушается условие (5).
С учетом (10) данное условие может быть модифицировано следующим образом:
e2t  r t21  δ 2t .
(13)
Отсюда, если неравенство (13) не выполняется, значения коэффициентов
образом:
λ t  min α, β t ,
(14)
Δt  0
α при

1  Δ t γ t  1  0,
или
1  Δ t
при
γ t  1,

βt   2
1


 1 

2 
γt

1   1  Δ γ  1  
t
t

 
1  γ t 



Δt 
t вычисляются следующим
δ 2t  r t21
e2t
(15)
при
1  Δ t γ t  1  0,
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, алгоритм идентификации описывается соотношениями (11), (12), (14), (15). Значение,
выбираемое в качестве верхней границы δ t , не должно быть тесно связано с величиной помехи, так как
оценки границ помехи не воздействуют на оценки искомых параметров. Однако завышение δ t может
привести к росту размера ограничивающего эллипсоида, а занижение – к уменьшению (и даже появлению
δ2t , что приводит к уменьшению или исчезновению ограничивающего
эллипсоида. В последнем случае следует либо искусственно увеличить размер эллипсоида M t , либо
увеличить ширину D t путем увеличения значения δ t .
Рассмотренный алгоритм идентификации является некоторой модификацией рекуррентного МНК с
экспоненциальным взвешиванием информации.
отрицательных значений)
SUMMARY
The identification task solving for plant described by linear equation in signals and disturbances statistical properties absence assumption
but only their levels knowledge is considered. The algorithm that is recursive LSM modification is proposed.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Schweppe F. S. Uncertain dynamic systems. – London: Prentice – Hall, Inc. – 1973. – 553 p.
Norton J. P. An introduction to identification. – London: Academic Press, Inc. – 1986. – 310 p.
Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. – М.: Наука, 1986. – 320 с.
Бакан Г. М., Волосов В. В., Куссуль Н. Н. Оценивание состояния непрерывных динамических систем методом эллипсоидов
//Кибернетика и системный анализ, 1996. - №6. – С. 72-91.
Поступила в редакцию 20 ноября 2003 г.