Системы эконометрических уравнений

Системы эконометрических
уравнений
Система независимых уравнений
Каждая зависимая переменная рассматривается
как функция одного и того же набора факторов.
 y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  1 ,
 y  a x  a x  ...  a x   ,
 2
21 1
22 2
2n n
2

...................................................
 ym  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn   m .
Система рекурсивных уравнений
Зависимая переменная одного уравнения y
выступает в виде фактора в другом уравнении.
 y1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  1 ,

 y2  b21 y1  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   2 ,

 y3  b31 y1  b32 y2  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   2 ,
.........................................................................

 ym  bm1 y1  ...  bm ,m1 ym1  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn   m .
Система взаимозависимых (совместных,
одновременных) уравнений
Одни и те же зависимые переменные в одних
уравнениях входят в левую часть, а в других
уравнениях – в правую часть системы.
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  1 ,
 y1  b12 y2  b13 y3  ...  b1m ym

 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   2 ,
 y2  b21 y1  b23 y3  ...  b2 m ym

 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn   2 ,
 y3  b31 y1  b32 y2  ...  b3m ym
............................................................................................

 ym  bm1 y1  bm 2 y2  ...  bm ,m1 ym1  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn   n .
Эта система уравнений называется также
структурной формой модели.
Структурная и приведенная формы
модели
• Эндогенные
переменные
–
это
зависимые
переменные, число которых равно числу уравнений
в системе.
• Экзогенные переменные – это предопределенные
переменные, влияющие на эндогенные переменные,
но не зависящие от них.
В качестве экзогенных переменных могут
рассматриваться значения эндогенных переменных
за предшествующий период времени (лаговые
переменные).
Для определения структурных коэффициентов
модели структурная форма модели преобразуется в
приведенную форму модели.
Приведенная форма модели
представляет собой систему линейных функций
эндогенных переменных от экзогенных.
 y1  11 x1  12 x2  ...  1n xn  u1 ,
 y   x   x  ...   x  u ,
 2
21 1
22 2
2n n
2

...................................................
 ym   m1 x1   m 2 x2  ...   mn xn  um ,
 ij – коэффициенты приведенной формы модели.
Проблема идентификации
Идентификация – это единственность соответствия
между приведенной и структурной формами модели.
Структурная модель в полном виде содержит m (m + n - 1)
параметров, а приведенная форма модели в полном виде
содержит mn параметров. Т.е. в полном виде структурная
модель содержит большее число параметров, чем
приведенная форма модели. Соответственно m (m + n - 1)
параметров структурной модели не могут быть однозначно
определены из mn параметров приведенной формы модели.
С позиции идентифицируемости структурные
модели можно подразделить на три вида:
1) идентифицируемые;
2) неидентифицируемые;
3) сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все её
структурные
коэффициенты
определяются
однозначно,
единственным
образом
по
коэффициентам приведенной формы модели, т. е.
если число параметров структурной модели
равно числу параметров приведенной формы
модели.
В
этом
случае
структурные
коэффициенты модели оцениваются через
параметры приведенной формы модели и модель
идентифицируема.
Модель неидентифицируема, если число
приведенных коэффициентов меньше числа
структурных коэффициентов, и в результате
структурные коэффициенты не могут быть
оценены через коэффициенты приведенной
формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число
приведенных коэффициентов больше числа
структурных коэффициентов. В этом случае на
основе коэффициентов приведенной формы
можно получить два или более значений одного
структурного коэффициента. В этой модели
число структурных коэффициентов меньше
числа коэффициентов приведенной формы.
Модель считается идентифицируемой, если
каждое уравнение системы идентифицируемо.
Если хотя бы одно из уравнений системы
неидентифицируемо, то и вся модель считается
неидентифицируемой.
Сверхидентифицируемая модель содержит
хотя
бы
одно
сверхидентифицируемое
уравнение.
Необходимое условие идентификации
(счётное правило)
H – число эндогенных переменных в i-м уравнении
системы.
D – число экзогенных (предопределенных) переменных,
которые содержатся в системе, но не входят в данное
уравнение.
D 1  H
D 1  H
D 1  H
уравнение идентифицируемо
уравнение неидентифицируемо
уравнение сверхидентифицируемо
Достаточное условие идентификации
Уравнение
идентифицируемо,
если
по
отсутствующим в нем переменным (эндогенным и
экзогенным) можно из коэффициентов при них в
других уравнениях системы получить матрицу,
определитель которой не равен нулю, а ранг
матрицы не меньше, чем число эндогенных
переменных в системе без одного.
функция потребления
функция инвестиций
функция денежного рынка
тождество дохода
где Ct – расходы на потребление в период t,
Yt – совокупный доход в период t,
It – инвестиции в период t,
rt – процентная ставка в период t,
Mt – денежная масса в период t,
Gt – государственные расходы в период t,
Ct -1 – расходы на потребление в период t -1,
It -1 – инвестиции в период t -1.
Ct, Yt , It, rt – эндогенные переменные
лаговые переменные
Mt, Gt, Ct -1, It -1 – предопределённые переменные
экзогенные переменные
Первое уравнение:
– переменные, отсутствующие в 1-м уравнении,
– коэффициенты при этих переменных в остальных уравнениях.
Второе уравнение:
Третье уравнение:
Приведенная форма модели в общем виде
Методы оценки параметров
структурной формы модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены
разными способами в зависимости от вида системы
одновременных уравнений. Наибольшее распространение в
литературе
получили
следующие
методы
оценивания
коэффициентов структурной модели:
1. Косвенный метод наименьших квадратов;
2. Двухшаговый метод наименьших квадратов;
3. Трехшаговый метод наименьших квадратов;
4. Метод максимального правдоподобия с полной информацией;
5. Метод максимального правдоподобия при ограниченной
информации.