Лекция 4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (НОРМАТИВНЫЙ) МЕТОД РАСЧЕТА НА СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ.

ЛЕКЦИЯ 4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (НОРМАТИВНЫЙ)
МЕТОД
РАСЧЕТА
НА
СЕЙСМИЧЕСКИЕ
ВОЗДЕЙСТВИЯ.
4.1. Колебания линейного осциллятора.
Линейным осциллятором называют простейшую
одномассовую систему при условии, что невесомый стержень,
поддерживающий массу является линейно упругим (Рис. 4.1 а).
Рис. 4.1
Изучение колебаний линейного осциллятора является
основой как динамики, так и сейсмики, поскольку позволяет
выявить основные закономерности этого процесса с
последующим обобщением на более сложные случаи.
Перемещение массы m складывается из переносного
перемещения основания при землетрясении и относительного
перемещения x  t  , вызванного изгибом стержня:
(4.1)
Z t    t   z t 
Тогда сейсмическая сила (сила инерции) будет:
1
S  t    mZ  t    m  z  t     t  
Уравнение движения массы m
сопротивления:
mZ  t    z  t   rz  t   0
или
m    t   z  t     z  t   rz  t   0
(4.2)
c
Окончательно:
mz  t    z  t   rz  t   m  t 
учетом
сил
(4.3)
(4.4)
При   t   0 приходим формально к уравнению
свободных колебаний с учетом демпфирования:
mz  t    z  t   rz  t   0
или
(4.5)
z  t   2 z  t   02 z  t   0
Решение уравнения (4.4) с учетом начальных условий
(при t  0 , z  t  t 0  z0 , z  t  t 0  v0 ) известно из курса
динамики:
(4.6)
z  t   ae  t sin  t  0  ,
a  z02   v0   z0  /  2 - амплитуда колебаний;
2
  02   2  0 - частота собственных колебаний с учетом
демпфирования;
r
- частота собственных колебаний без учета
0 
m
демпфирования;
 y0 
 0  arctg 
 - начальный угол сдвига фазы колебаний.
 v0   y0 
График колебаний линейного осциллятора показан на рис. 4.2.
Вернемся к анализу уравнения (4.4). Правую часть
можно трактовать как вынуждающую силу (рис. 4.3 а):
2
F  t   m  t 
(4.7)
Рис. 4.2
Вынуждающую силу F  t  можно представить в виде
суммы элементарных импульсов (Рис. 4.3 б).
Рис. 4.3
3
Каждый элементарный импульс вызывает свободные
колебания типа (4.5), которые можно записать как
F  t  d    t  
dz  t  
e
sin    t      0 
(4.8)
m
Проинтегрировав левую и правую части уравнения
(4.7), получим:
t
F   d    t  
z t  
e
sin    t      0 
m

0
или с учетом (4.6):
t
1
  t 
z  t       e   sin    t      0  d
(4.9)

0
В литературе решение (4.9) носит название интеграла
Дюамеля.
Строго говоря, к решению (4.9) следует добавить
свободные колебания (4.6), но свободные колебания,
возникающие в первый момент землетрясения быстро
затухают.
4.2. Спектральный метод расчета линейного
осциллятора.
В основе спектральной теории расчета лежат понятия
спектра ускорений (также скоростей и перемещений). Этот
метод лежит в основе СНиП 2-07-81*.
Из (4.4) следует, что
S  t    m  z  t     t     z  t   rz  t 
(4.10)
Величина  мала и влиянием диссипации в первом
приближении можно пренебречь:
S  t    m  z  t     t    rz  t  ,
(4.11)
2
.
T
Воспользуемся (4.9) и запишем сейсмическую силу в
следующем виде:
r  m 2  m
4
2
   e    t   sin    t      0  d (4.12)
T 0
Запишем (4.12) в виде
Q
S  t    W  T ,  ,t  ,
(4.13)
g
S  t   m
t
2
   e    t   sin    t      0  d

T 0
Нас интересует максимальная сейсмическая сила при
W  T ,  ,t   S  t  
t
конкретном значении  

2
и известной функции   t  :
Q
Q
W  T ,  ,t  max  CW  T 
(4.14)
g
g
Можно построить кривую зависимости СW T  от T ,
которая называется спектральной кривой ускорений, а функция
СW T  является спектром ускорений.
Smax 
Подобным образом вводятся спектры скоростей CV  T 
и спектры смещений C Z  T  , при этом
2
 2 
СW  T  
CV  T   
 CZ  t 
T
 T 
Впервые в основу расчета был заложен спектр
ускорений в нормы СНиП II-А.12-62.
4.3. Расчет многоэтажных зданий спектральным
методом по СНиП II-7-81*.
Спектральный метод с применением упрощенных
расчетных схем сооружений в виде консольного стержня с
сосредоточенными массами в перекрытиях (Рис. 4.4)
применяется в расчетах зданий и сооружений простой
геометрической формы с симметричным и регулярным
расположением масс и жесткостей, с наименьшим размером в
плане не более 30 м.
2
5
Рис. 4.4
Спектральный метод с учетом, помимо поступательных,
крутильных сейсмических воздействий (сейсмического
момента, неравномерного поля колебаний грунта) применяется
в расчетах зданий и сооружений несимметричных в плане или
по высоте, а также когда наименьший размер в плане больше
30 м.
Расчетная сейсмическая нагрузка по выбранному
направлению, для i-го тона, приложенная к k-й точке
собственных колебаний здания или сооружения (кроме
гидротехнических) вычисляется по формуле
Sik  K 1 S0 ik ,
(4.15)
где K 1 - коэффициент, учитывающий допускаемые
повреждения зданий и сооружений, принимается по таблице 3*
[1];
S0 ik - значение сейсмической силы для i-го тона, приложенная
к k-й точке собственных колебаний здания или сооружения,
определяемое в предположении упругого деформирования
конструкций.
S0 ik  Qk A i K ik ,
(4.16)
6
7