ТЕПЛОТЕХНИКА (Тепломассоперенос) В.П. Юркинский

Федеральное агентство по образованию
–––––
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
В.П. ЮРКИНСКИЙ И.Б. СЛАДКОВ В.А. ЗАЙЦЕВ
ТЕПЛОТЕХНИКА
ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС
Рекомендовано Учебно-методическим объединением по
университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
140400 «Техническая физика»
Санкт-Петербург
Издательство Политехнического университета
2007
УДК 536.24 : 621.184 (075.8)
ББК 31.3я73
Ю 744
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ
Л. Ш. Цемехман (ООО «Институт Гипроникель).
Доктор технических наук, профессор СПбГПУ С.З. Сапожников
Юркинский В.П., Сладков И.Б., Зайцев В.А. Теплотехника.
Тепломассоперенос: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. 295 с.
Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений,
обучающихся на факультетах теплотехнического профиля по направлению
подготовки 140400 – «Техническая физика» и соответствует государственному
образовательному стандарту дисциплины «Теплотехника» направления
бакалаврской подготовки 550500 – «Металлургия».
В первой части пособия рассмотрены основные закономерности
молекулярного и конвективного тепло– и массопереноса, а также законы
теплового излучения. В связи с анализом конвективных процессов изложены
физические основы кинематики и гидроаэродинамики.
Табл. 14. Ил. 103. Библиогр.: 17 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.
ISBN
2
© Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет, 2007
ВВЕДЕНИЕ
Теплотехника – общетехническая фундаментальная дисциплина,
которая служит основой теплоэнергетического образования студентов=
металлургов и поможет им при изучении специальных металлургических
дисциплин, а также в их дальнейшей практической деятельности.
В современном металлургическом производстве существенную роль
играют процессы тепломассопереноса. Производство металлов и сплавов,
их термическая и пластическая обработка, литейное и сварочное производство требуют постоянного научно = технического контроля и экономии
тепловых и материальных ресурсов. Создание металлургических агрегатов
различного профиля и их практическая эксплуатация основаны на знании
и использовании различных закономерностей теплопередачи и диффузии.
Технический прогресс в современной металлургической энергетике
определяется в основном топливной экономичностью металлургических
агрегатов и их экологической безопасностью.
Количество потребляемых в настоящее время в мире энергоресурсов
огромно. К примеру, в 1994 г. мировое потребление различных видов
топлива составило 12 277 млн. т, а в России соответственно – 1438 млн. т
(включая все виды топлива). Следует отметить, что в последние годы доля
потребления нефти несколько снижается, а потребление угля и особенно
газа растет.
Еще в середине ХУ111 в. М.В. Ломоносов создал молекулярно-кинетическую теорию теплоты, что привело его к открытию закона сохранения
энергии. Теплотехника как наука окончательно сформировалась в Х1Х в.
в эпоху промышленно-технической революции, которая была обусловлена
массовым использованием тепловой энергии во всех сферах технического
производства, в частности в металлургическом производстве. В настоящее
время ситуация заметно изменилась, так как глобальное использование
энергоресурсов начинает серьезно влиять на экологическое состояние
3
окружающей среды. Поэтому необходимо при создании новых металлургических процессов и агрегатов, с учетом современных научных достижений в теплотехнике и закономерностей тепломассопереноса, особое внимание уделить разработке экономичных технологий, обладающих экологической чистотой и безопасностью.
В настоящем курсе рассматриваются три основных раздела: теплопередача, массопередача (диффузия) и гидроаэродинамика. Изучаются
закономерности различных процессов переноса тепла и массы веществ в
твердых, жидких и газообразных средах (в двух первых разделах). В разделе «гидроаэродинамика» представлены основные законы движения жидкостей и газов.
1. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ТЕПЛО= И МАССОПЕРЕНОСА
Теплота является универсальной формой энергии, возникающей в
результате теплового движения различных микрочастиц (молекул, атомов
и электронов). При этом любая другая форма энергии (механическая,
химическая, электрическая и др.) частично или полностью переходят в
тепловую форму энергии (теплоту) и превращаются в тепловое движение
микрочастиц. Различные тела могут обмениваться энергией в форме теплоты.
Теплообмен (теплопередача) – это самопроизвольный необратимый
процесс переноса тепловой энергии в пространстве с неоднородным температурным полем.
Теплопередача может осуществляться в трех различных формах:
молекулярная теплопроводность (иначе теплопроводность), конвективная
теплопроводность (конвекция) и теплопередача излучением (лучистый
теплообмен).
Молекулярная теплопроводность (или теплопроводность) характеризуется переносом тепловой энергии (тепла) с помощью микрочастиц в
процессе их теплового хаотического движения в среде с неоднородным
температурным полем. Эта форма теплообмена имеет место в средах с
различным агрегатным состоянием (твердой, жидкой и газообразной среде) и является единственно возможной в случае твердых тел.
4
Конвективная теплопроводность (или конвекция) – это макроскопический процесс переноса тепла в месте с конечными массами движущейся жидкости или газа при наличии в среде неоднородного температурного поля. Данная форма теплопередачи имеет место только в движущейся
среде. Наличие неоднородного распределения температуры в среде предполагает, что одновременно с конвективной теплопроводностью будет
иметь место и молекулярная теплопроводность, причем количественное
соотношение между двумя формами теплопереноса зависит от характера
гидродинамики потока жидкости и природы среды.
Теплопередача излучением характеризуется тем, что часть внутренней энергии нагретого тела в виде электромагнитных волн передается
менее нагретым телам и, превращаясь в тепловую энергию, нагревает эти
тела.
Реально при рассмотрении различных металлургических процессов в
передаче тепловой энергии в той или иной степени могут участвовать все
виды теплообмена, это называют сложным теплообменом.
Независимо от механизма теплопереноса, тепловой поток всегда направлен из области среды с более высокой температурой к области менее
нагретой, поэтому, как отмечалось выше, процесс теплопередачи является
необратимым.
Массоперенос возникает в среде (растворе или смеси) при наличии
неоднородного поля концентрации веществ, которые являются составными
компонентами данной среды. Происходит процесс переноса массы вещества из области с более высокой концентрацией в область более низких ее
значений. Процесс массопереноса иначе принято называть диффузией.
Механизм массопереноса веществ в средах с различным агрегатным
состоянием аналогичен процессу теплопереноса, вследствие чего эти два
разных физических процесса рассматриваются одновременно.
Массопередача (диффузия) – самопроизвольный необратимый
процесс переноса массы вещества в среде с неоднородным полем концентрации, который по аналогии с теплопереносом может осуществляться в
двух формах: молекулярной и конвективной диффузии.
Молекулярная диффузия характеризуется переносом микрочастиц
(молекулы, атомы или заряженные ионы) в процессе их хаотического
5
теплового движения в среде с неоднородным полем концентрации. Данная
форма массопереноса имеет место во всех агрегатных состояниях среды и
является единственно возможной в твердых телах.
Конвективная диффузия – макроскопический процесс переноса
растворенного вещества вместе с массами движущейся среды (жидкости
или газа) при наличии в среде неоднородного поля концентрации данного
вещества. Эта форма диффузии наблюдается только в движущейся среде.
Как и в случае теплопроводности, массоперенос вещества в потоке жидкости всегда обусловлен одновременным протеканием молекулярной и
конвективной диффузии, причем обычно преобладает конвективная диффузия.
При выводе закономерностей тепломассопереса принято эти процессы рассматривать как макроскопические, которые протекают в объеме
сплошной среды, имеющей геометрические размеры, значительно
превосходящие характерные молекулярные размеры (амплитуда колебаний молекул в жидкости или длина свободного пробега молекул в газе).
Условие сплошной среды выполняется и при рассмотрении элементарного
объема, если его геометрические размеры заметно больше в сравнении с
молекулярными величинами. В таком же смысле нужно понимать и
используемые в гидромеханике понятия «жидкая частица» или «точка в
жидкости». Под этими терминами подразумевается понятие элементарного объема.
Модель сплошной среды позволяет представлять все величины,
характеризующие процессы тепломассопереноса как непрерывные функции координат пространства, в котором протекают изучаемые процессы.
Рассмотрим особенности конвективной теплопроводности и диффузии. Принято различать конвекцию вынужденную и свободную.
Вынужденная конвекция обусловлена потоком жидкости, появление
которого вызвано действием каких-либо внешних сил (мешалка, вентилятор и т. п.).
Свободная (или естественная) конвекция возникает при наличии в
среде неоднородного поля плотности, которое обычно определяется неоднородностью температурного поля. При этом наблюдается неоднородность
гравитационных сил. Так, вблизи нагретой вертикальной стенки (рис. 1.1),
6
возникает поток жидкости, обусловленный различием ее плотностей
(ρ0 – ρт) вследствие перепада температур ΔТ = Т – Т0 у поверхности
стенки и вдали от нее:
ρТ =
ρ0
ρ0 ,
=
1+βТ (Т −Т 0 ) 1+βТ ΔТ
(1.1)
где β = 1 ⎛⎜ ∂V ⎞⎟ ,[1/K] – температурный коэффициент объемного расТ
V ⎝ ∂T ⎠ p
ширения жидкости.
С учетом уравнения (1.1) подъемная сила в расчете на единицу массы
нагретой жидкости составит
g
ρ 0 −ρТ
= gβT ΔT .
ρТ
(1.2)
Для жидкостей температурный коэффициент расширения находится в пределах
(0,5÷20)·10─ 5, а в случае газов,
соответственно, (3÷4)·10─ 3 1/К.
Под действием внешнего
давления жидкости и газы подвергаются сжатию.
Количественно сжимаемость
определяется коэффициентом
объемного сжатия βv:
1 ⎛ ∂V ⎞ , [1/Па].
βV = − ⎜
⎟
V ⎝ ∂P ⎠T
Для жидкостей величина коэффициента сжимаемости составляет:
βv = (3÷8)·10─ 9 1/Па, следовательно, их сжимаемость очень мала.
Сжимаемость газов заметно выше. Так, в случае воздуха коэффициент
объемного сжатия βv ≈ 10─ 5 1/Па, т. е. на четыре порядка превышает сжимаемость жидкостей. С учетом значений βv принято делить жидкости и
газы на сжимаемые и несжимаемые.
7
К несжимаемым относят жидкости, а также газы при достаточно
низких скоростях потока. При этом для оценки сжимаемости газа пользуются значением числа Маха (М), которое представляет собой отношение
скорости потока газа и скорости звука в данной среде: М =
υ
aзв
, где υ –
скорость потока и азв – скорость звука. К примеру, скорость звука в
воздухе составляет 340 м/с при Т = 288 К. С ростом М сжимаемость газа
увеличивается и становится значительной при околозвуковых скоростях в
потоке.
При движении жидкости между отдельными ее слоями появляются
силы внутреннего трения (сила сопротивления), обусловленные вязкостью жидкости.
Рассмотрим обтекание плоской поверхности твердого тела потоком
жидкости (рис. 1.2).
Тонкий слой жидкости,
соприкасающийся с поверхностью неподвижной пластины, имеет скорость υпов = 0.
За счет возникающих между
слоями жидкости сил внутреннего трения верхний слой,
соприкасающийся с ним и
имеющий более высокую скорость, пытается сдвинуть или
ускорить медленный нижний слой, который в свою очередь стремится
затормозить более быстрый верхний слой. Аналогичные взаимодействия
будут иметь место между любыми соприкасающимися слоями потока
жидкости. При этом в сечении потока устанавливается профиль скоростного поля, показанный на рис. 1. 2, и происходит угловая деформация жидких частиц.
Величина напряжения силы трения описывается эмпирическим законом Ньютона:
8
τ zx = μ
dυ x
dυ
=μ
= μ gradυ .
dz
dn
(1.3)
В соответствии с законом Ньютона касательные напряжения силы
трения, возникающие между слоями прямолинейно движущейся жидкости, пропорциональны производной от скорости по нормали к направлению потока, или иначе градиенту скорости.
Жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона, принято называть ньютоновскими жидкостями. Соответственно жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона, называют неньютоновскими. Примером таких
жидкостей служат коллоидные растворы, мазут и ряд минеральных масел
при низких температурах, а также жидкие металлы вблизи температуры
замерзания.
Коэффициент пропорциональности в уравнении (1.3) μ называют
коэффициентом динамической вязкости. Он численно равен силе трения, отнесенной к единице поверхности, при grad υ = 1, μ характеризует
вязкость жидкости и является физической константой. Размерность μ в
системе СИ следующая:
[τ]
H/м 2 Н⋅с кг
=
= 2 =
= Па ⋅ с.
[μ] =
[dυ / dn] м/с⋅м м м⋅с
Соответственно за единицу динамической вязкости принимают величину
кг
Н⋅с
=
1
= 1Па ⋅ с .
2
м⋅с
м
Ранее в системе CGS за единицу динамической вязкости принимали
1 пуаз (1П): 1П = 1 г и 1 Н⋅с = 1Па ⋅ с = 10П.
см⋅с
м2
1
Часто для характеристики вязкости жидкости пользуются также величиной коэффициента кинематической вязкости ν, который представляет собой отношение динамического коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ:
ν=
μ
ρ
(1.4)
Размерность коэффициента кинематической вязкости в системе СИ:
9
[
μ ] кг/м⋅с м 2 , а в системе CGS
=
[ν] = =
[ρ] кг/м3 с
ν выражается в стоксах (Ст):
1 Ст = 1 см2/с = 10─ 4 м2/с.
Вязкость газов
Согласно упрощенному рассмотрению в молекулярно-кинетической
теории газов (без учета межмолекулярного взаимодействия) для коэффициента динамической вязкости идеального газа получено выражение:
1
μ = uρl ,
3
(1.5)
где ρ – плотность газа, а u и l соответственно средние значения скорости и длины свободного пробега молекул. Формула (1.5) позволяет установить влияние температуры и давления на вязкость газа.
Для плотности идеального газа с учетом уравнения состояния имеем:
ρ=
pM
RT
(1.6)
При этом для средних значений скорости u и длины свободного пробега
молекул газа l получены выражения:
8RT
kT
T,
(1.7)
= С1 Т и l =
С
=
2
2
πM
p
2 πσ p
где М – молекулярная масса и σ – эффективный диаметр молекул газа;
С1 и С2 – постоянные величины.
u =
Анализ зависимостей (1.5–1.7) показывает, что произведение u ρ l и,
следовательно, коэффициент динамической вязкости от давления не зависят и с ростом температуры возрастают пропорционально
Т:
Т ,
μТ
=
Т0
μ0
где μ0 – значение коэффициента вязкости при Т0 = 273 К.
В случае реальных газов для приближенной оценки зависимости
вязкости от температуры также можно воспользоваться степенной зависи10
мостью:
⎛Т ⎞
μТ = μ 0 ⎜ ⎟
⎝Т0 ⎠
n
,
где показатель n в зависимости от природы газа и температуры меняется в
пределах 0,5÷1,0.
Более точно вязкость газов можно определить по формуле Сезерленда:
⎡⎛ С ⎞ ⎤
⎢ ⎜⎝1+ 273 ⎟⎠ ⎥ Т
μТ = μ 0 ⎢
⎥
С
⎛
⎞
⎢ ⎜1+ ⎟ ⎥ 273
⎢⎣ ⎝ Т ⎠ ⎥⎦
(1.8)
где С – постоянная, зависящая от природы газа.
Вязкость жидкостей
Для жидкостей опытным путем установлено, что с ростом температуры вязкость уменьшается. Для оценки вязкости можно воспользоваться
эмпирической формулой Бачинского:
μ=
С ,
V − V0
(1.9)
где С – постоянная, зависящая от природы жидкости; V0 – минимальный
удельный объем при максимальном сжатии жидкости и V – удельный
объем жидкости при данных значениях температуры и давления. С ростом
температуры объем увеличивается, следовательно, вязкость жидкости
убывает, а от давления вязкость жидкостей зависит в меньшей степени
ввиду низкого значения коэффициента объемного сжатия βv. При этом
следует отметить, что влияние на вязкость жидкости давления различно в
зависимости от природы жидкости. Чем сложнее молекулярное строение
жидкости, тем значительнее это влияние. В таблице 1.1 приведены примеры этой зависимости для некоторых жидкостей в виде отношения
вязкостей при давлениях Р ~ 0 и 12 000 кг/см2, Т = 303 К.
В настоящее время предложен ряд теорий строения жидкостей, с помощью которых можно оценить вязкость жидкостей. Так, Френкелем была
11
Т а б л и ц а 1.1
Вещество
μ12 000 / μ 0
Влияние давления на вязкость жидкостей
Ртуть
Вода
Этиловый
Изоамиловый
спирт
спирт
~1,3
~2,4
~10
~1000
Эугенол
~107
постулирована так называемая «дырочная» теория жидкости, на основе
которой Фюрт получил следующую формулу для расчета вязкости жидкостей:
2
⎛U ⎞
⎛ U ⎞,
μ = nr 2πmkT exp⎜
⎟ = C T exp⎜
⎟
3
⎝ RT ⎠
⎝ RT ⎠
(1.10)
где r, m – радиус и масса частиц; n – число частиц в единице объема; U –
энергия активации, определяющая элементарные перемещения частиц и
образование при этом «дырок» в жидкости; С – постоянная, которая включает величины, не зависящие от температуры. Из формулы (1.10) следует,
что с ростом температуры вязкость жидкостей убывает.
Примеры значений коэффициентов вязкости для ряда жидкостей и
газов приведены в таблице 1.2 (T =293 К).
Т а б л и ц а 1.2
Вязкость различных жидкостей и газов
Вещество
μ · 103, Н.с/м2 (Па.с)
ν · 106, м2/с
Вода
1,0
1,0
Глицерин
1008
800
Керосин
2,05
2,5
Бензол
0,65
0,74
Ртуть
1,55
0,11
Воздух
0,018
15,0
Азот
0,017
13,6
Как следует из представленных данных, вязкость жидкостей в зависимости от природы меняется в широких пределах, а вязкость газов близка
по величине и значительно ниже в сравнении с жидкостями.
12
2. ЗАКОНЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ДИФФУЗИИ
2.1.
Закон молекулярной теплопроводности
Молекулярная теплопроводность имеет место в неподвижной среде
(причем в чистом виде она наблюдается только в твердых телах). Закон
молекулярного теплопереноса эмпирическим путем был установлен
Фурье:
q = −λ
dT
= −λ gradT ,
dn
(2.1)
где q – вектор плотности теплового потока (представляет собой поток
тепла, проходящий через единицу поверхности за единицу времени),
[Дж/(м2 ·с) или Вт/м2]; λ – коэффициент теплопроводности, который
характеризует теплопроводность среды и является физической константой.
Количественно λ определяет тепловой поток (Вт), проходящий через
единицу поверхности (м2) при единичном градиенте температуры (К/м) и
имеет следующую размерность:
q ⎤ Дж⋅м
Дж
Вт .
=
=
=
2
⎣ dT / dn ⎥⎦ м ⋅с⋅К м⋅с⋅К м⋅К
[λ] = ⎡⎢
В соответствии с законом Фурье (2.1) плотность теплового потока
пропорциональна градиенту температуры. Знак ‹‹–›› показывает, что вектор теплового потока направлен противоположно относительно градиента
температуры.
Коэффициент теплопроводности зависит от природы вещества, температуры и ряда других факторов. Сопоставление значений теплопроводности различных материалов показывает, что максимальной теплопроводностью обладают металлы и их сплавы, а минимальной – газы.
Теплопроводность газов
Теплопроводность газов находится в пределах 5·10─ 3 – 0,1 Вт/м.К.
В соответствии с молекулярно-кинетической теорией газов для
коэффициента теплопроводности идеальных газов получено выражение:
13
λ = 1/ 3ρuCV l ,
(2.2)
где СV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. В случае
идеального газа СV = const, поэтому для λ зависимость от температуры и
давления аналогична динамической вязкости μ. Следовательно, теплопроводность газов не зависит от давления и растет с увеличением температуры.
Для реальных газов коэффициент теплопроводности можно рассчитать по двум формулам:
n
⎛T ⎞
m
(2.3)
λ = λ 0 ⎜ ⎟ или λ = λ 0 + cρ ,
T
0
⎝ ⎠
где λ = λ0 при Т0 = 273 К; с, n, m – эмпирические коэффициенты, зависящие от природы газа. Значения λ0, с, n и m для ряда газов приведены в
таблице 2.1.
Т а б л и ц а 2.1
Значения эмпирических коэффициентов в уравнении (2.3) для ряда газов
Газы
λ0. 103 , Вт/м.К
n
c.105
m
Азот
24,19
0,80
1,933
1,23
Аргон
16,51
0,80
0,751
1,26
Водород
172,12
0,78
34,31
1,16
Гелий
142,58
0,73
18,41
1,17
Диоксид углерода
14,89
1,23
1,005
1,26
Кислород
24,54
0,87
1,449
1,24
Как следует из приведенных данных, максимальной теплопроводностью
обладают водород и гелий.
Теплопроводность жидкостей
Теплопроводность жидкостей находится в пределах 0,08 – 1,0 Вт/м.К
и уменьшается с ростом температуры. Исключение составляют вода и глицерин, для которых наблюдается обратная зависимость. Для ряда жидкостей теплопроводность в зависимости от температуры приведена на рис.
2.1.
14
Теплопроводность металлов.
Теплопроводность металлов и их сплавов очень велика и колеблется в
пределах 8 – 430 Вт/м.К. Она зависит от типа кристаллической решетки,
размера зерен и наличия различного рода дефектов кристаллической решетки.
Теплоперенос в металлах преимущественно осуществляется за счет
движения свободных электронов и обмена энергией при соударении атомов в процессе их колебательного движения.
Наличие в металлах примесей и дефектов решетки вызывает уменьшение
электронной проводимости, что приводит к снижению их теплопроводности. Этим объясняется более низкая теплопроводность сплавов в сравнении с чистыми металлами. В соответствии с эмпирическим законом
Видемана – Франца отношение теплопроводности и удельной электропроводимости чистых металлов определяется формулой:
λ
= const = (2,4 ± 0,3)⋅10 − 8 ,
χ ⋅T
(2.4)
где χ – удельная электропроводимость [См/м, См – Сименс (1/Ом)].
15
Температурная зависимость теплопроводности ряда металлов представлена на рис. 2.2.
Максимальной теплопроводностью обладают серебро, медь и алюминий.
Теплопроводность теплоизоляционных материалов
К теплоизоляционным относят материалы, обладающие достаточно
низким коэффициентом теплопроводности, который для них находится в
пределах 0,02 – 3,0 Вт/м·К. В качестве теплоизоляции могут использоваться неорганические (асбест, шлаки, глина, песок и др.), органические
(шерсть, хлопок, дерево, резина, кожа и т.д.) или смешанные материалы,
включающие неорганические и органические вещества.
Органические материалы обычно используют при
температурах, не превышающих 150 0С. В области более
высоких температур применяют различные неорганические материалы.
Теплопроводность теплоизоляционных материалов с
ростом температуры увеличивается и заметно зависит от
их пористости и влажности.
Объясняется это тем, что поры
материала заполнены воздухом и влагой, теплопроводность которых увеличивается
с ростом температуры.
Теплопроводность пористого материала значительно ниже в сравнении со
сплошными материалами, поэтому увеличение пористости способствует
снижению теплопроводности материала.
Зависимость теплопроводности ряда теплоизоляционных материалов от температуры приведена на рис. 2.3.
16
Для оценки теплопроводности материала кроме λ часто пользуются
коэффициентом температуропроводности а:
a=
λ ,
C pρ
(2.5)
где Ср – удельная теплоемкость материала при постоянном давлении.
Произведение Срρ имеет смысл объемной теплоемкости (Дж/м3.К).
Отношение λ к объемной теплоемкости можно рассматривать как
меру скорости изменения температуры в среде при прохождении теплового потока q, пропорционального λ, и, следовательно, а характеризует
скорость нагрева (или охлаждения) тел.
Размерность коэффициента температуропроводности:
[λ]
Дж Дж ⋅кг м 2
=
=
/
[a] =
C p ρ м⋅с⋅К кг⋅К⋅м 3
с
[ ]
совпадает с размерностью кинематического коэффициента вязкости ν
[см. формулу (1.4)].
2. 2.
Закон молекулярной диффузии
Как и в случае теплопроводности, молекулярная диффузия имеет
место в неподвижной среде (причем в чистом виде она также наблюдается
только в твердых телах).
В основе теории молекулярной диффузии лежит эмпирический закон
Фика:
j = −D
dC
= − D gradC ,
dn
(2.6)
2
здесь j – вектор плотности диффузионного потока (кг/м ·с); С – концен3
трация диффундирующего вещества (кг/м ); D – коэффициент диффузии, размерность которого совпадает с размерностью ранее рассмотренных коэффициентов кинематической вязкости ν и температуропроводности а.
17
[ j]
кг
кг
м2 .
= 2 / 3 =
[D] =
dC
⎡ ⎤ м ⋅с м ⋅м с
⎢⎣ dn ⎥⎦
В соответствии с законом Фика (2.6) плотность диффузионного потока пропорциональна градиенту концентрации диффундирующего вещества.
Коэффициент диффузии D определяет массу вещества, переносимую
в процессе диффузии через единицу поверхности за единицу времени при
единичном градиенте концентрации.
В случае идеальных газов в кинетической теории газов для коэффициента самодиффузии (диффузия в чистом газе собственных молекул)
получено следующее уравнение:
1
D = ul .
3
(2.7)
С учетом равенства (1.7), получим:
3/ 2
⎛ T ⎞ p0 ,
(2.8)
D = D0 ⎜⎜ ⎟⎟
p
⎝ T0 ⎠
где D0 = D (при Т0 = 273 К и р0 = 1 атм), из которого следует, что коэффициент диффузии газов растет с увеличением температуры и уменьшается с ростом давления.
В случае реальных газов для оценки коэффициента диффузии используют уравнение, аналогичное равенству (2.8):
n
⎛T ⎞ p
D = D0 ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ,
⎝ T0 ⎠ p
(2.9)
в котором показатель степени n = 1,5 – 2,0 зависит от природы газа.
Значения коэффициентов D0 и n в уравнении (2.9) для ряда паров и газов
приведены в таблице 2.2.
Из данных таблицы 2.2 следует, что значения коэффициентов диффузии газов находятся в пределах 10─ 5 – 10─ 4 м2/с.
В случае смесей газов при невысоких давлениях (смесь идеальных газов)
средний расчетный коэффициент диффузии компонентов смеси находят по
18
закону аддитивности: Dсм= Σ Diхi , где хi – мольная доля компонента
в смеси.
Т а б л и ц а 2.2
Значения коэффициентов DO и n в уравнении (2.9) для ряда паров и газов
Вещество
Среда
D0 .105, м2/с
n
О2
CO2
H2
H 2O
CH4 (метан)
Этиловый спирт
Бензол
NH3 (аммиак)
CO
Воздух
Воздух
Воздух
Воздух
Воздух
Воздух
Воздух
Воздух
O2
1,78
1,38
6,34
2,2
1,96
1,02
7,70
1,97
1,85
1,75
2,0
2,0
1,75
2,0
2,0
2,0
1,81
1,75
Для жидкостей и твердых растворов температурная зависимость
коэффициентов диффузии определяется экспоненциальным уравнением:
⎛ U ⎞
(2.10)
D = D0 exp⎜ − D ⎟ ,
⎝ RT ⎠
здесь D0 = D при Т = ∞; UD – энергия активации процесса диффузии
(кДж/моль).
Согласно уравнению (2.10) коэффициент диффузии в жидкостях и
твердых телах очень заметно растет с увеличением температуры. Порядок
величин коэффициентов диффузии в жидкостях составляет 10─ 10 – 10─ 9, а
в твердых телах, соответственно, 10─ 19 – 10─ 12 м2/с.
В концентрированных растворах коэффициент диффузии растворенного вещества зависит от его концентрации и коэффициента активности в
растворе:
⎛ d ln γ ⎞ ,
D = D0 ⎜1+
⎟
d
ln
С
⎝
⎠
(2.11)
здесь D0 – коэффициент диффузии в разбавленном (идеальном) растворе;
γ – коэффициент активности растворенного вещества.
Способностью к диффузии обладают не только элементарные части19
цы (молекулы, атомы или ионы), образующие так называемые истинные
растворы, но и нерастворимые в жидкости взвешенные частицы, если они
малы и способны участвовать в хаотическом броуновском движении.
Коэффициент диффузии таких частиц можно определить с помощью
формулы Стокса–Эйнштейна:
D=
kT ,
6πμr
(2.12)
где k – постоянная Больцмана; μ – коэффициент динамической вязкости и
r – радиус диффундирующей частицы.
2.3.
Расчет коэффициентов переноса в газах методами
молекулярно – кинетической теории
Рассмотренные ранее коэффициенты вязкости (μ, ν), теплопроводности (λ, а) и диффузии (D) носят название коэффициентов переноса.
В случае газов эти коэффициенты можно рассчитать, используя методы молекулярно = кинетической теории.
Согласно упрощенному рассмотрению (без учета межмолекулярного
взаимодействия) в так называемой элементарной молекулярно = кинетической теории для идеального газа были получены формулы (1.5), (2.2),
(2.7) для оценки коэффициентов переноса, рассмотренные ранее, которые
позволили качественно правильно оценить влияние температуры и давления на коэффициенты переноса, но количественный расчет в данном
случае невозможен из-за больших допущений, сделанных при их выводе.
Так, для коэффициента динамической вязкости в соответствии с формулами (1.5) – (1.7) получим равенство
μ = const
TM ,
σ2
(2.13)
в котором const включает все постоянные величины; М – молекулярная
масса и σ – эффективный диаметр молекул данного газа.
Более строгое рассмотрение молекулярно = кинетической теории, в
которой учитывается межмолекулярное взаимодействие, позволило уточ-
20
нить формулу (2.13) путем введения поправочного множителя Ω, который
называется интегралом столкновений. Для вычисления этого интеграла
необходимо знать функцию, которая описывает энергию парного взаимодействия молекул. Вид указанной функции приведен на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Вид функции межмолекулярного парного взаимодействия.
При сближении двух атомов или молекул между ними начинают
действовать силы притяжения и отталкивания. Причем сначала преобладают силы притяжения, что соответствует отрицательным значениям потенциальной энергии (U) до значения r = σ, а далее на более близких расстояниях – преобладают силы отталкивания, что отвечает области положительных значений энергии U. На оси абсцисс можно выделить два характерных размера: r0 – равновесное расстояние между молекулами, отвечающее минимуму потенциальной энергии, и σ – минимальное расстояние, на
которое могут сблизиться молекулы, называемое эффективным диаметром молекул. Важным характеристическим параметром потенциальной
энергии является величина ε, которая определяет максимальную энергию
притяжения.
Конкретный вид функции, отражающей кривую U = f (r), называется потенциалом межмолекулярного взаимодействия, а σ и ε являются
21
параметрами межмолекулярного взаимодействия. При этом ε выражают в
ε
долях постоянной Больцмана k = 1,38·10─23 Дж/К: ⎡ ⎤ = Дж = К .
⎢⎣ k ⎥⎦ Дж/К
Принято кривую потенциальной энергии U = f (r) выражать так
называемым потенциалом Леннард–Джонса:
⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞6 ⎤
U = 4ε ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ .
⎢⎣⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎥⎦
(2.14)
Формула (2.14) лежит в основе расчета интеграла столкновений Ω.
Учитывая уравнение (2.13) и используя интеграл столкновений, в
молекулярно = кинетической теории для коэффициента динамической
вязкости получаем уточненную формулу:
μ = 266,9 ⋅10 −10
TM ,
σ 2 ΩU
(2.15)
где μ (Па·с), σ (нм) и М (г/моль).
Аналогичным образом, с учетом формул (2.2), (1.6) – (1.7) и с использованием интеграла столкновений Ω, для коэффициента теплопроводности получено равенство:
λ = 833 ⋅10 − 6
Т /М ,
σ 2 ΩU
(2.16)
здесь λ (Вт /м·К).
Так же, имея в виду равенства (2.6), (1.6) – (1.7) и с учетом интеграла
столкновений Ω, получаем формулу для расчета коэффициентов диффузии:
D = 1,8826 ⋅10
−4
T 3 / M 12 , м2/с,
2
pσ12
ΩD
(2.17)
где ΩD – интеграл столкновений для диффузии.
Так как в процессе диффузии участвуют разнородные молекулы
(среды и диффундирующие молекулы), то параметры межмолекулярного
взаимодействия в этом случае рассчитываются следующим образом:
22
σ1 + σ 2
;
2
ε12 = ε1⋅ε 2 ;
σ12 =
M 12 =
M 1 ⋅M 2
.
M1 + M 2
(2.18)
Параметры потенциала Леннард–Джонса для ряда газов приведены
в таблице 2.3, а значения интегралов столкновения для вязкости, теплопроводности ΩU и диффузии ΩD представлены в таблице 2.4.
Т а б л и ца 2.3
Вещество
Ar
H2
He
Kr
N2
Ne
O2
Параметры потенциала Леннард –Джонса
Вещество
σ, нм
ε/k, K
σ, нм
0,3542
93,3
Xe
0,4047
0,2970
33,0
CH4
0,3790
0,2551
10,2
CO
0,3690
0,3655
178,9
CO2
0,3941
0,3798
71,4
H2O
0,2710
0,2820
32,8
Воздух
0,3689
0,3467
106,7
-
ε/k, K
231,0
142,1
91,7
195,2
506,0
84,0
-
В таблице 2.5 в качестве примера приведены значения коэффициентов теплопроводности, определенные экспериментально и путем расчета
Т а б л и ц а 2.4
T
ε/k
Значения интегралов столкновений
Для
Для
Для
T
диффузии
диффузии
вязкости и
ε
/
k
теплопроΩD
ΩD
водности
ΩU
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
2,662
2,476
2,318
2,184
2,066
2,785
2,628
2,492
2,368
2,257
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,233
1,198
1,167
1,140
1,116
Для
вязкости
и
теплопроводности
ΩU
1,353
1,314
1,279
1,248
1,221
23
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,10
1,20
1,30
1,966
1,877
1,798
1,729
1,667
1,612
1,562
1,517
1,476
1,439
1,375
1,320
1,273
2,156
2,065
1,982
1,908
1,841
1,780
1,725
1,675
1,627
1,587
1,514
1,452
1,399
1,90
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,50
4,00
5,00
10,0
20,0
100,0
1,094
1,075
1,041
1,012
0,9878
0,9672
0,9490
0,9120
0,8836
0,8422
0,7424
0,6640
0,5170
1,197
1,175
1,138
1,107
1,081
1,058
1,039
0,9999
0,9700
0,9269
0,8242
0,7432
0,5882
по формуле (2.16). Сравнение этих данных указывает на их удовлетворительное совпадение.
Т а б л и ц а 2.5
Сравнение коэффициентов теплопроводности различных газов
Газ (Т = 273 К)
Коэффициент теплопроводности λ, Вт/м·К
расчет
эксперимент
He
0,1470
0,1425
Ne
0,0464
0,0457
Ar
0,01645
0,01635
Kr
0,00863
0,00795
Xe
0,00503
0,00515
H2
0,1625
0,1690
O2
0,0238
0,0244
CO2
0,01445
0,01505
NO
0,0236
0,0238
3.
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
Ранее при рассмотрении процессов конвективной теплопроводности
и диффузии, которые протекают в движущейся жидкости, было отмечено,
что величина теплового или диффузионного потока существенным обра24
зом зависит от гидродинамических параметров потока жидкости. Поэтому
далее рассмотрим основные разделы гидромеханики жидкости: кинематику и гидродинамику, определяющие основные закономерности движения
жидкости или газа.
Раздел гидромеханики, в котором изучаются общие параметры движения жидкости, без учета сил, определяющих это движение, называется
кинематикой жидкости.
Кинематика жидкости отличается от кинематики твердого тела рядом особенностей, связанных с деформацией и способностью перемещений
частиц жидкости.
3.1.
Методы изучения движения жидкости
Используют два метода изучения параметров движения жидкости:
методы Лагранжа и Эйлера.
В методе Лагранжа изучают движение отдельных частиц жидкости, исследуя их траектории. Исходное положение каждой частицы определяется ее начальными координатами: xo, yo, zo при t = to (t = 0).
В процессе движения пространственное положение частиц можно
определить радиусом – вектором r или его координатами: x, y, z как
функцию начальных координат частицы и времени:
r = r (xo , yo , zo ,t );
x = x(xo , yo , zo ,t );
y = y(xo , yo , zo ,t );
z = z (xo , yo , zo ,t ).
(3.1)
Совокупность переменных xo, yo, zo, t называют переменными Лагранжа.
Скорости υ и ускорения W отдельных частиц жидкости определяют
путем дифференцирования уравнений (3.1) и (3.2) по времени при постоянстве координат xo, yo, zo:
υ=
∂r ∂r ( xo , yo , zo ,t )
=
;
∂t
∂t
25
∂x ∂x( xo , yo , zo ,t )
;
=
∂t
∂t
∂y ∂y( xo , yo , zo ,t )
;
υy = =
∂t
∂t
∂z ∂z ( xo , yo , zo ,t )
υz = =
.
∂t
∂t
∂υ ∂ 2 r ( xo , yo , zo ,t )
;
=
W=
2
∂t
∂t
2
∂υ
∂ x( xo , yo , zo ,t )
Wx = x =
;
∂t
∂t 2
∂υ y ∂ 2 y( xo , yo , zo ,t )
Wy =
;
=
∂t
∂t 2
υx =
(3.2)
(3.3)
∂υ z ∂ 2 z (xo , yo , zo ,t )
Wz =
.
=
2
∂t
∂t
Производные, вычисляемые в переменных Лагранжа, принято называть индивидуальными или субстанциональными, так как они относятся
к определенным частицам жидкости (субстанция) и не связаны с геометрическим пространством, в котором исследуется поток жидкости.
Метод Лагранжа позволяет получить подробное описание движения
жидкости, что удобно при теоретическом рассмотрении различных закономерностей гидромеханики жидкостей, но для решения практических
задач он достаточно сложен и громоздок, поэтому им пользуются крайне
редко. Для рассмотрения практических задач более удобен метод Эйлера.
В методе Эйлера используют пространственное описание движения
жидкости. Объектом экспериментального изучения в данном случае служит скорость частиц, которые во времени проходят через определенные
точки пространства, где исследуется поток жидкости.
Зависимость скоростей в потоке жидкости от координат точек пространства и времени представляется уравнениями:
υ =υ (x, y, z,t );
υ x =υ x (x, y, z,t );
26
υ y = υ y (x, y, z,t );
,
υ z = υ z ( x, y , z ,t )
(3.4)
где x, y , z , t – переменные Эйлера. Величины x, y, z в методах Лагранжа
и Эйлера имеют разный смысл. В методе Лагранжа – это переменные координаты движущейся частицы жидкости, а в методе Эйлера – координаты
неподвижных точек пространства, в котором движутся частицы жидкости.
Уравнения (3.4) описывают поле скоростей в потоке жидкости. Если
скорости меняются во времени, то движение является нестационарным, а
в случае, если скоростное поле во времени неизменно, движение жидкости стационарное (или установившееся).
Так как скорость в общем случае является функцией координат и
времени, то для определения ускорений W в методе Эйлера необходимо
уравнения (3.4) дифференцировать по времени, рассматривая скорость как
сложную функцию с учетом зависимости координат от времени:
W=
dυ (x, y, z,t ) ∂υ ∂υ dx ∂υ dy ∂υ dz , (3.5)
=
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
dt
здесь ∂υ – локальная (или местная) производная, которая характеризует
∂t
изменение скорости в данной точке пространства, а последующие три производных обусловлены изменением скорости частицы с учетом изменения
координат. Производные от координат по времени определяют составляющие вектора скорости:
dx
dy
dz
=υx ; =υ y ; =υz .
dt
dt
dt
(3.6)
Следовательно, для определения вектора ускорения и его составляющих получим уравнения:
∂υ
∂υ
∂υ
dυ ∂υ
=
+υx
+υ y
+υz ;
dt ∂t
∂z
∂x
∂y
∂υ
∂υ
∂υ
dυ
∂υ
Wx = x = x + υ x x + υ y x + υ z x ;
dt
∂t
∂x
∂y
∂z
W=
27
Wy =
dυ y
=
∂υ y
+υ x
∂υ y
+υ y
∂υ y
+υ z
∂υ y
∂t
∂x
∂y
∂z
dt
∂υ
∂υ
∂υ
dυ ∂υ
Wz = z = z +υ x z +υ y z +υ z z .
∂t
∂x
∂y
∂z
dt
;
(3.7)
Используя символический дифференциальный «набла-вектор», или
оператор Гамильтона ∇ ,
∇ =i
∂
∂
∂
+ j +k ,
∂z
∂x
∂y
(3.8)
уравнения (3.7) можно в более упрощенной форме представить следующим образом:
dυ ∂υ
=
+ (υ ⋅∇ )υ ;
dt ∂t
∂υ
dυ
(3.9)
Wx = x = x + (υ ⋅∇ )υ x ;
∂t
dt
∂υ
dυ
W y = y = y + (υ ⋅∇ )υ y ;
∂t
dt
dυ
∂υ
W z = z = z + (υ ⋅∇ )υ z .
dt
∂t
Величина (υ ⋅∇)υ в уравнении (3.9) определяет часть ускорения,
W=
обусловленную изменением координат, и носит название конвективной
производной (или конвективного ускорения). Символ ∇ тождественен
символу grad, поэтому уравнение (3.9) можно также записать в виде:
W=
dυ ∂υ
+ υ ⋅ gradυ.
=
dt ∂t
3.2. Траектория и линия тока
При изучении движения жидкости методом Лагранжа геометрия потока характеризуется траекториями частиц, которые в этом случае определяются экспериментально.
Траектория – это линия, вдоль которой движутся частицы жидкости в пространстве. В методе Эйлера экспериментально изучается ско28
ростное поле в потоке жидкости и для характеристики его геометрии
пользуются линиями тока.
Линией тока служит кривая, в каждой точке которой в данный
момент времени вектор скорости направлен по касательной (рис .3.1).
На рис. 3.1 траектория движения
частицы А1 (кривая С) определяется ее
положением в пространстве в разные
моменты времени (t1, t2, t3), а линия тока
(кривая В) характеризуется положением
различных частиц (А1, А2, А3) в момент
времени t1.
Очевидно, в общем случае траектории и
линии тока не совпадают.
Дифференциальное уравнение
линии тока в векторной форме можно получить с учетом совпадения
элемента касательной dr (точка А2) с направлением вектора скорости в
этой точке:
(3.10)
dr ×υ = 0 .
В координатной форме уравнение (3.10) принимает вид:
dx
dy
dz
.
=
=
υ x (x, y, z,t ) υ y (x, y, z,t ) υ z (x, y, z,t )
(3.11)
В случае стационарного движения уравнение (3.11) упрощается
(скорость не зависит от времени):
dx
dy
dz .
=
=
υ x (x, y, z ) υ y (x, y, z ) υ z (x, y, z )
(3.12)
В стационарном потоке жидкости линии тока и траектории совпадают и во времени сохраняют неизменное положение.
В случае нестационарного движения они не совпадают и непрерывно
меняются.
Аналитическое решение уравнения (3.12) можно представить в виде
двух интегральных функций:
29
F1 (x, y, z,c1 ) = 0 ;
F2 (x, y, z,c2 ) = 0,
(3.13)
где с1 и с2 – произвольные постоянные интегрирования.
В геометрическом
отношении интегралы
представляют собой семейство каких-либо поверхностей, пересечение которых позволяет
найти семейство линий
тока, причем положение
конкретной линии тока
определяется значениями постоянных с1 и с2.
Изображение совокупности линий тока позволяет наглядно описать
особенности потока жидкости (рис. 3.2).
Геометрию векторного поля помимо векторных линий принято характеризовать также с помощью векторных трубок. В случае рассматриваемого поля вектора скорости это трубка тока. Трубку тока можно
получить, если в потоке жидкости выделить замкнутый контур L (рис. 3.3) и
через все его точки провести в данный
момент времени линии тока, которые
образуют при этом замкнутую поверхность тока.
Часть жидкости, ограниченная поверхностью тока, составляет трубку тока (рис. 3.3, а). В случае элементарного контура dL получим элементарную трубку тока (рис. 3.3, б).
По определению линии тока вектор скорости в любой ее точке направлен по касательной, поэтому нормальная составляющая скорости равна
нулю и через поверхность тока протекания жидкости не происходит.
Следовательно, объемный расход жидкости Q, м3/с через любое
поперечное сечение трубки тока постоянен.
30
Объемный расход жидкости можно определить потоком вектора
скорости через сечение трубки тока S (рис. 3.3) следующим образом:
Q = ∫ υ n dS = ∫ υ ⋅ndS = const .
S
(3.14)
S
3.3. Виды движения жидких частиц
Выделим в движущейся жидкости элементарную частицу и рассмотрим изменение скорости в ее пределах в определенный момент времени
(рис. 3.4). В общем случае скорость в различных ее точках будет не одинакова.
Пусть скорость в произвольно выбранной точке Мо, определяемой
радиусом - вектором ro, равна υо.
Тогда для любой другой точки М (ro + δr), находящейся в
окрестности точки Мо, скорость υ (если она является непрерывной
функцией координат) можно выразить через скорость υо с учетом
приращения скорости δυ (см. рис .3.4), обусловленного изменением
координат.
Рис. 3.4. Изменение скорости в пределах жидкой частицы
Для этой цели разложим составляющие вектора скорости υ в ряд
Тейлора:
31
1 ⎛ ∂ 2υ x ⎞ 2
⎛ ∂υ x ⎞
⎛ ∂υ x ⎞
⎛ ∂υ x ⎞
υ x = υ o, x + ⎜
⎟ δy + ⎜
⎟ δx + ⎜
⎟ δz + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ δx + ...
2!⎝ ∂x ⎠ o
⎝ ∂x ⎠ o
⎝ ∂z ⎠ o
⎝ ∂y ⎠ o
2
⎛ ∂υ y ⎞
⎛ ∂υ y ⎞
⎛ ∂υ y ⎞
1 ⎛⎜ ∂ υ y ⎞⎟ 2
⎟⎟ δz +
⎟⎟ δy + ⎜⎜
⎟⎟ δx + ⎜⎜
υ y = υo, y + ⎜⎜
δx + ... (3.15)
2
2!⎜⎝ ∂x ⎟⎠
⎝ ∂z ⎠ o
⎝ ∂y ⎠ o
⎝ ∂x ⎠ o
o
1 ⎛ ∂ 2υ z ⎞ 2
⎛ ∂υ z ⎞
⎛ ∂υ z ⎞
⎛ ∂υ z ⎞
υ z = υ o, z + ⎜
⎟ δy + ⎜
⎟ δz + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ δx + ...
⎟ δx + ⎜
∂
∂
∂
x
y
z
2!⎝ ∂x ⎠ o
⎠o
⎝
⎠o
⎝
⎠o
⎝
Так как рассматривается элементарная частица и приращение координат
очень малы, можно пренебречь всеми членами второго и более высокого
порядка малости:
∂υ x ⎞
⎛ ∂υ ⎞
⎛ ∂υ ⎞
⎟ δx + ⎜ x ⎟ δy + ⎜ x ⎟ δz
⎝ ∂z ⎠o
⎝ ∂x ⎠o
⎝ ∂y ⎠o
υ x = υo, x + ⎛⎜
⎛ ∂υ ⎞
⎛ ∂υ y ⎞
⎛ ∂υ ⎞
⎟⎟ δx + ⎜⎜ y ⎟⎟ δy + ⎜⎜ y ⎟⎟ δz
⎝ ∂z ⎠o
⎝ ∂x ⎠o
⎝ ∂y ⎠o
υ y = υo, y + ⎜⎜
(3.16)
∂υ z ⎞
⎛ ∂υ ⎞
⎛ ∂υ ⎞
⎟ δx + ⎜ z ⎟ δy + ⎜ z ⎟ δz ,
⎝ ∂z ⎠o
⎝ ∂x ⎠o
⎝ ∂y ⎠o
υ z = υo, z + ⎛⎜
или в векторной форме:
υ = υо + (δr ⋅∇ )υ .
(3.17)
Из механики недеформируемого твердого тела известно, что скорость
точки М можно представить как
υ = υ о + ω × δr .
(3.18)
Таким образом, в случае твердого тела скорость точки М складывалась бы
из скорости поступательного движения и линейной скорости, обусловленной вращением точки М вокруг оси, проходящей через точку Мо. В
жидкости, которая является деформируемой сплошной средой, появляется
дополнительная составляющая скорости, обусловленная деформацией
жидких частиц:
(3.19)
υ = υо + ω × δr + υдеф .
Сопоставление уравнений (3.16) и (3.19) показывает, что компоненты
скорости, обусловленные вращением и деформацией, определяются значе32
ниями производных от составляющих вектора скорости в уравнении (3.16).
Для удобства выяснения механического смысла представим их в виде таблицы:
⎡ ∂υ x ∂υ y ∂υ z ⎤
⎥
⎢
∂
x
x
x
∂
∂
⎥
⎢
⎢ ∂υ ∂υ y ∂υ ⎥
(3.20)
z⎥
⎢ x
⎢ ∂y ∂y ∂y ⎥
⎥
⎢
∂
υ
υ
∂
∂
υ
y
⎢ x
z⎥
⎢⎣ ∂z ∂z ∂z ⎥⎦
Для упрощения задачи ограничимся далее рассмотрением плоского
двухмерного потока жидкости. Пусть жидкая частица в виде прямоугольного плоского элемента abcd располагается в плоскости xoz (рис. 3.5).
Различия скоростей его вершин определяются таблицей
⎡ ∂υ x
⎢ ∂x
⎢
⎢ ∂υ x
⎢⎣ ∂z
∂υ z ⎤
∂x ⎥ .
⎥
∂υ z ⎥
∂z ⎥⎦
Упростим задачу и рассмотрим случай, когда
(3.21)
∂υ
x > 0 , а остальные
∂x
производные равны
нулю (такой случай
приведен на рис .3.5).
Тогда в направлении оси z все точки
имеют одинаковую
скорость, и перемещение элемента в этом
направлении происходит без деформации.
В направлении оси x грань bc будет двигаться быстрее и опережать
33
грань ad с относительной скоростью
∂υ x . При этом элемент подверδx
∂x
гается линейной деформации растяжения с той же скоростью в направлении оси x.
В случае, когда ∂υ x < 0 , будет наблюдаться линейная деформация
∂x
сжатия элемента. Поделив скорость деформации на длину элемента δx,
получим значение относительной скорости линейной деформации εxx
элемента в направлении координаты x:
ε xx =
∂υ x
∂υ
δx : δx = x .
∂x
∂x
(3.22)
По аналогии с рассмотренным выше можно с учетом данных табл.
(3.20) и рис. 3.5 получить значения относительных скоростей линейной
деформации жидкой частицы abcd в направлении координат y (εyy) и z
(εzz):
ε yy =
∂υ y
∂y
; ε zz =
∂υ z .
∂z
(3.23)
Таким образом,
члены главной диагонали табл. (3.20) определяют линейные деформации растяжения или
сжатия жидкой частицы.
Рассмотрим далее случай, когда смешанные
производные не равны
нулю.
К примеру ∂υ x > 0 , а остальные производные равны нулю (рис. 3.6).
∂z
В этом случае грань сd движется с большей относительной скоростью
∂υ x
δz в сравнении с гранью ab в направлении оси x.
∂z
34
Жидкая частица претерпевает угловую деформацию со скоростью γ.
Тангенс угла γ, в виду малости угла, равен углу γ:
tgγ =
∂υ x
∂υ
δz : δz = x ≅ γ .
∂z
∂z
(3.24)
Таким образом, смешанная производная
∂υ x
= γ характеризует скорость
∂z
угловой деформации элемента.
На рис. 3.6 видно, что кроме угловой деформации наблюдается также
вращение элемента abcd с угловой скоростью ωy, о чем свидетельствует
смещение диагонали элемента. Оценим величину угловой скорости. Для
этого рассмотрим переход элемента из начального положения (рис. 3.6,
элемент abcd) в конечное
(элемент abc΄d΄) в две стадии.
Сначала реализуем «чистый» сдвиг граней в элементе
на угол γ, не допуская вращения элемента (следовательно
смещения диагонали), а далее
повернем элемент с угловой
скоростью ωy (рис. 3.7). В
случае чистого сдвига проис΄ ΄
ходит сдвиг граней ab и ad (элемент ab c d΄ ) со скоростью угловой
деформации ε, равной
ε xz = ε zx =
γ 1 ∂υ x
=
2 2 ∂z
(3.25)
Далее для перемещения элемента в конечное состояние abc΄΄d΄΄ (на
рис .3.6 abc΄d΄), происходит его вращение с угловой скоростью ωy:
1
1 ∂υ x
ωy = γ =
2
2 ∂z
(3.26)
Рассмотрим далее общий случай, когда в табл. (3.21) обе смешанные
производные
∂υ x
∂z
и
∂υ z больше нуля.
∂x
35
В этом случае элемент жидкости также подвергается одновременно
угловой деформации и вращению.
Разделить их можно описанным выше способом (рис.
3.8).
В случае «чистого» сдвига
граней ab и ad скорости угловой деформации εxz, εzx
должны быть равны, чтобы не
допустить вращения элемента,
поэтому их определяют как
полусумму углов γ1 и γ2 :
ε xz = ε zx =
γ1 + γ 2 1 ⎛ ∂υ x ∂υ z ⎞ .
= ⎜
+
⎟
2
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
(3.27)
На рис. 3.8 видно, что угловая скорость вращения ωy определяется
как разность угла γ1 и полусуммы углов γ1 и γ2:
ω y = γ1 −
γ1 + γ 2 1 ⎛ ∂υ x ∂υ z ⎞ .
= ⎜
−
⎟
2
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
(3.28)
Аналогично можно определить скорости линейной и угловой деформации, а также угловые скорости вращения, переходя от плоского элемента к рассмотрению элементарной объемной жидкой частицы, имеющей
форму параллелепипеда:
ε xx =
∂υ
∂υ x
∂υ
; ε yy = y ; ε zz = z ;
∂x
∂y
∂z
1 ⎛ ∂υ ∂υ y ⎞
⎟⎟ ;
ε xy = ε yx = ⎜⎜ x +
2 ⎝ ∂y ∂x ⎠
1 ⎛ ∂υ ∂υ ⎞
ε xz = ε zx = ⎜ x + z ⎟ ;
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
1 ⎛ ∂υ y ∂υ z ⎞
⎟;
ε yz = ε zy = ⎜⎜
+
2 ⎝ ∂z ∂y ⎠⎟
36
(3.29)
1 ⎛ ∂υ ∂υ y ⎞ ;
⎟
ω x = ⎜⎜ z −
2 ⎝ ∂y ∂z ⎟⎠
1 ⎛ ∂υ ∂υ ⎞
ωy = ⎜ x − z ⎟;
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
1 ⎛ ∂υ y ∂υ x ⎞
⎟.
−
ω z = ⎜⎜
2 ⎝ ∂x ∂y ⎟⎠
Возвратимся к системе уравнений (3.16) и преобразуем их с учетом
уравнений (3.29). Для преобразования первого уравнения (3.16) прибавим
⎛ ∂υ
⎞
∂υ
и вычтем величину 1 ⎜ y δy + z δz ⎟ , получим:
2 ⎜⎝ ∂x
⎟
⎠
∂υ ⎞
∂υ
∂υ
∂υ
1 ⎛ ∂υ
∂υ
υ x = υox + x δx + x δy + x δz ± ⎜⎜ y δy + z δz ⎟⎟ = υox + x δx +
∂x ⎠
∂x
∂y
∂z
2 ⎝ ∂x
∂x
∂x
1 ⎛ ∂υ ∂υ y ⎞⎟
1 ⎛ ∂υ y ∂υ z ⎟⎞
1 ⎛ ∂υ ∂υ ⎞
1 ⎛ ∂υ y ∂υ x ⎟⎞
δy + ⎜
δz + ⎜⎜ x − z ⎟⎟δz − ⎜
+ ⎜ x+
+
−
δy
2 ⎝⎜ ∂y ∂x ⎠⎟
2 ⎜⎝ ∂z ∂y ⎟⎠
2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
2 ⎝⎜ ∂x ∂y ⎟⎠
или υ x = υox + ε xx δx + ε xy δy + ε xz δz + ω y δz − ω z δy ,
(
) (
)
окончательно: υ x = υox + ω y δz −ω z δy + ε xx δx + ε xy δy + ε xz δz .
По аналогии другие два члена системы (3.16) принимают вид:
υ y = υoy + (ω z δx −ω x δz ) + (ε yxδx + ε yy δy + ε yz δz )
υ z = υoz + (ω x δy −ω y δx ) + (ε zx δx + ε zy δy + ε zz δz )
(3.30)
далее для удобства преобразований примем, что δx = x; δy = y и δz = z,
в данном случае предполагается смещение начала координат в точку Мо
(см. рис. 3.4).
Трехчлены в уравнениях (3.30) можно представить в виде частных
производных от некоторой функции Ф (x,y,z):
Ф ( x, y , z ) =
(
)
1
ε xx x 2 + ε yy y 2 + ε zz z 2 + 2ε xy xy + 2ε yz yz + 2ε zx zx ;
2
Продолжая преобразования уравнений (3.30), запишем выражения
(3.31) и (3.32) в следующем виде:
37
∂Ф
∂x
∂Ф
∂y
= ε xx x + ε xy y + ε xz z;
= ε yx x + ε yy y + ε yz z ;
(3.31)
∂Ф
= ε zx x + ε zy y + ε zz z.
∂z
ω y δz − ω z δy = (ω×δr )x ;
ω z δx − ω x δz = (ω×δr )y ;
(3.32)
ω x δy − ω y δx = (ω×δr )z .
С учетом проведеных преобразований уравнения (3.30) примут вид:
υ x = υox + (ω×δr )x +
υ y = υoy + (ω×δr )y +
υ z = υoz + (ω×δr )z +
∂Ф
∂x
∂Ф
∂y
∂Ф
∂z
υ = υo + ω × δr + gradФ.
;
;
(3.33)
;
Вектор угловой скорости ω можно выразить иначе через вектор ротора скорости (rot υ): ω =
1
2
представим в виде: υ = υo +
rotυ . Векторную форму уравнения (3.33)
1
2
rotυ × δr + grad Ф .
Уравнения (3.33) выражают содержание теоремы Гельмгольца, которую можно сформулировать следующим образом: скорость любой точки
жидкой частицы в данный момент времени можно представить геометрической суммой скорости поступательного движения, линейной скорости вращательного движения и скорости деформационного движения.
38
3.4.
Потенциальное и вихревое движение
Если в жидкости движение частиц происходит без вращения, то в
любой точке потока жидкости вектора угловой скорости и ротора скорости
равны нулю: ω = rotυ = 0. Вектор ротора (или вихря) скорости можно
представить следующим образом:
⎡i j k ⎤
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎥ = i⎛⎜ ∂υ z − ∂υ y ⎞⎟ + j⎛⎜ ∂υ x − ∂υ z ⎞⎟ +
rotυ = ∇ ×υ = ⎢
⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠
⎢
⎥
υ
υ
υ
⎣⎢ x y z ⎦⎥
⎛ ∂υ y ∂υ x ⎞ .
⎟=0
+ k⎜
−
⎜ ∂x ∂y ⎟
⎝
⎠
(3.34)
Движение жидкости, соответствующее условию (3.34), называется
безвихревым. Из уравнения (3.34) следует равенство смешанных производных:
∂υ z ∂υ y ∂υ x ∂υ z ∂υ y ∂υ x
=
=
=
;
;
.
∂y
∂z
∂z
∂x ∂x
∂y
(3.35)
Наличие равенств (3.35) позволяет заключить, что существует некоторая функция ϕ (x, y, z ), полный дифференциал которой можно представить следующим образом:
dϕ = υ x dx +υ y dy +υ z dz
(3.36)
Эту функцию называют потенциалом скорости, так как ее градиент
определяет значение вектора скорости, а производные по координатам –
соответственно значения составляющих вектора скорости:
υ = gradϕ ;
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
υx = , υ y = , υz = .
∂x
∂y
(3.37)
∂z
Таким образом, безвихревой поток жидкости с учетом равенства
(3.37), является также и потенциальным.
Рассмотрим далее вихревой поток, в котором движение частиц
жидкости сопровождается вращением. В этом случае помимо поля вектора
39
скорости для характеристики потока следует рассмотреть также поле
ротора скорости.
Для геометрического представления о поле вихрей испольуются
понятия вихревой линии и вихревой трубки (рис. 3.9).
Вихревая линия – это
кривая, в каждой точке которой вектор вихря (ротора) скорости или угловой скорости в
данный момент времени направлен по касательной.
Из определения вихревой
линии ее дифференциальное
уравнение можно представить
в виде:
rotυ × dr = 0
или
dx
rot xυ
=
dy
rot yυ
=
dz
rot zυ
.
(3.38)
Если в вихревом поле взять замкнутый контур L и через все его точки провести вихревые линии, то получим замкнутую вихревую поверхность. Жидкость, ограниченная этой поверхностью, составляет вихревую
трубку (рис. 3.9, б). Количественно вихревая трубка характеризуется
потоком вектора вихря скорости через поперечное сечение S вихревой
трубки, который принято называть интенсивностью вихревой трубки i:
i = ∫ rotυ ⋅nds = ∫ rot nυds = const.
(3.39)
s
s
Интенсивность вихревой трубки является величиной постоянной.
4.
ГИДРОДИНАМИКА ЖИДКОСТИ
В разделе ‹‹гидродинамика›› рассматриваются основные закономерности движения жидкостей (или газов). В основе выводов уравнений гидродинамики используются основные законы общей физики и механики:
40
законы постоянства массы, энергии, количества движения и момента количества движения.
4.1.
Общие уравнения движения жидкости
4.1.1. Силы и напряжения, действующие
в жидкости
Силы по характеру их действия на частицы жидкости делятся на массовые и поверхностные.
Массовые (иначе объемные) силы пропорциональны массе и действуют на все частицы выделенного объема жидкости. Примерами массовых сил служат силы тяжести, инерции, электростатического притяжения
и др.
Поверхностные силы действуют на поверхность выделенного объема и пропорциональны величине поверхности. К ним относятся силы давления и трения.
Распределение массовой силы в объеме ∆V задается с помощью вектора плотности (или напряжения) массовой силы F:
ΔF 1
ΔF ,
= lim
Δm → 0 Δm
ρ ΔV → 0 ΔV
F = lim
(4.1)
где F – напряжение массовой силы в данной точке жидкости; ∆F – главный вектор массовых сил, действующих на массу ∆m.
Размерность этой величины
[F ] = ⎡⎢ ΔF ⎤⎥ = H = кг⋅м2 = м2
⎣ Δm ⎦
кг
кг⋅с
с
совпадает с размерностью ускорения.
В частном случае действия силы тяжести плотностью распределения ее
служит вектор ускорения силы тяжести g и ∆F = g∆m.
Массовая сила, действующая на элемент массы dm = ρdV, будет
равна ρFdV. В общем случае напряжение массовой силы представляется
41
как функция координат точек исследуемого пространства: F = F(x,y,z).
Напряжение (или плотность распределения) поверхностных сил, действующих в данной точке поверхности, определяется вектором р:
ΔP ,
ΔS → 0 ΔS
p = lim
(4.2)
где ∆Р – главный вектор поверхностных сил, действующих на площадку
∆S.
Размерность р следующая
[ p] = [ΔP] = Н2 = Па = кг2 ⋅м2 = кг 2
[ΔS ] м
с ⋅м
м ⋅с
.
Поверхностная сила, действующая на элементарную площадку dS, будет
равна pdS .
В отличие от вектора массовых сил F, который является однозначной функцией координат точек пространства, напряжение поверхностной
силы определяется не только
координатами точки поверхности, но и зависит от ориентации
площадки, к которой приложена
сила.
Между напряжениями
сил, приложенных к разным
площадкам, проходящих через
данную точку и имеющих различную ориентацию, существует связь.
Для установления этой
связи выделим в движущейся
жидкости элементарный тетраэдр АВСМ с вершиной в точке М и с
боковыми гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 4.1).
Примем объем тетраэдра равным dV, а площади граней – dSx, dSy,
dSz и dSn. Основание тетраэдра dSn ориентировано орт=нормалью n.
Напряжения поверхностных сил px, py, pz и pn приложены к площад42
кам, имеющим аналогичные этим силам индексы (см. рис. 4.1).
Применим к выделенному элементу жидкости закон сохранения
количества движения:
d
dt
(mυ ) = m dυ = ∑ Fi = Fм + Fп ,
dt
(4.3)
где Fм и Fп – вектора массовых и поверхностных сил, действующих на
рассматриваемый тетраэдр. В нашем случае dFм = Fdm = ρFdV(dm =
= ρdV), dFп = ∑ pidSi.
С учетом уравнения (4.3) получим:
dυ
dV = ρFdV − pn dS n + p x dS x + p y dS y + p z dS z . (4.4)
dt
Уменьшаем далее объем тетраэдра (dV → 0). При этом массовые
ρ
силы, пропорциональные объему, являются величинами третьего порядка
малости, а поверхностные силы – второго порядка; в данном случае массовыми силами можно пренебречь, следовательно, имеем:
(4.5)
p dS = p dS + p dS + p dS
n
n
x
x
y
y
z
z
Далее можно показать, что существует количественная связь между
гранями тетраэдра (см. рис. 4.1):
dS x = dS n cos(n, x ) = n x dS n ; dS y = n y dS n ; dS z = nz dS n , (4.6)
где n x = cos (n, x ); n y ; n z – направляющие косинусы внешней нормали к
основанию тетраэдра АВС. Используя уравнения (4.5) и (4.6), получим:
(4.7)
p =n p +n p +n p .
n
x
x
y
y
z
z
В проекциях на оси координат:
pnx = nx pxx + n y p yx + nz pzx ;
pny = nx pxy + n y p yy + nz pzy ;
pnz = nx p xz + n y p yz + nz p zz .
(4.8)
Первый подстрочный индекс при напряжении р указывает на ориентацию площадки, а второй – на ось, на которую спроектировано напряжение.
Таким образом, уравнения (4.7) и (4.8) позволяют определить напряжение поверхностной силы рn в различных точках потока жидкости и при
43
любой ориентации площадки, на которую оно действует, с помощью трех
векторов px , py , pz или девяти скалярных напряжений. Совокупность
скалярных напряжений составляет тензор напряжений Р:
⎛ p xx p xy p xz ⎞
⎜
⎟
(4.9)
P = ⎜ p yx p yy p yz ⎟ .
⎜⎜
⎟⎟
p
p
p
⎝ zx zy zz ⎠
Величины p , p , p , расположенные на главной диагонали,
xx
yy
zz
представляют собой нормальные напряжения, а остальные – касательные
напряжения.
Сумма нормальных напряжений не зависит от ориентации в пространстве трех взаимно ортогональных площадок тетраэдра, на которые
действуют силы px ,py, pz, и определяет величину давления в данной
точке потока жидкости:
p=−
1
( pxx + p yy + pzz ).
3
(4.10)
Применив к рассмотренному элементу жидкости закон сохранения
момента количества движения (см. рис. 4.1), получим:
⎡
⎛
∑ (r × F )i = ∫ ⎢r × ⎜ ρF − ρ
V⎣
⎝
dυ ⎞ ⎤
⎟ dV + ∫ (r × pn ) dS = 0 ,
dt ⎠⎥⎦
S
на основе которого можно показать, что тензор напряжений (4.9) является
симметричным и, следовательно, касательные напряжения, расположенные симметрично относительно главной диагонали тензора напряжений,
равны:
(4.11)
p xy = p yx ; p xz = p zx ; p zy = p yz .
4.1.2. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности (иначе непрерывности) жидкости можно
получить путем применения к движущейся жидкости закона сохранения
массы. Рассмотрим произвольный объем жидкости V, ограниченный поверхностью S (рис. 4.2). Масса жидкости в элементарном объеме dV сос44
тавляет: dm = ρdV (кг), а в конечном объеме V соответственно:
mV = ∫ ρdV (кг).
V
Через элемент поверхности dS в единицу времени протекает количество
жидкости, равное ρυ dS (кг/с).
При этом величина ρυ имеет размерность
[ρυ ] = кг3⋅м =
м ⋅с
кг ,
м 2 ⋅с
с учетом которой следует,
что она представляет собой
вектор плотности потока
жидкости, определяя массу
жидкости, протекающую через единицу поверхности
за единицу времени (см. рис.
4.2).
Через конечную поверхность S за единицу времени вытекает масса
жидкости ∆m (кг/с):
Δm = ∫ ρυ n dS ,
(4.12)
S
где ρυn представляет собой нормальную составляющую вектора ρυ (рис.
4.2). За счет вытекания жидкости, убыль ее массы в объеме V за единицу
*
времени составит ∆m (кг/с):
Δm∗ = −
∂mV
∂t
=−
∂
∫ ρdV .
(4.13)
∂t V
*
По закону сохранения массы ∆m = ∆m :
∫ ρυ n dS = −
S
∂
∫ ρdV = − ∫
∂t V
∂ρ
V ∂t
dV .
(4.14)
Воспользуемся формулой Остроградского−Гаусса и преобразуем
поверхностный интеграл в объемный:
∫ ρυ n dS = ∫ div(ρυ ) dV .
S
(4.15)
V
45
И окончательно, с учетом равенств (4.14) и (4.15), получим:
⎡ ∂ρ
⎤
(
)
+
div
ρ
υ
dV = 0 .
∫⎢
⎥
∂
t
⎦
V⎣
(4.16)
Так как уравнение (4.16) справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение также должно быть равно нулю:
∂ρ
+ div(ρυ ) = 0 .
∂t
(4.17)
Полученную зависимость называют уравнением неразрывности (или
непрерывности).
В частном случае для стационарного потока жидкости уравнение
(4.17) упрощается и принимает вид:
div(ρυ ) = 0 ;
или
∂ρυ x ∂ρυ y ∂ρυ z
+
+
= 0.
∂x
∂y
∂z
(4.18)
В случае несжимаемой жидкости (ρ = const) соответственно получим:
divυ = 0 ;
∂υ x ∂υ y ∂υ z
+
+
= 0.
∂x ∂y ∂z
(4.19)
Равенство (4.19) иногда принято
называть уравнением несжимаемости.
Все полученные формы уравнения неразрывности должны быть
справедливы в любой точке потока
жидкости.
При решении практических гидродинамических задач представляет
интерес использование уравнения неразрывности в форме, применимой
для сечения потока в целом.
Рассмотрим поток жидкости, в котором S1 и S2 произвольно выбранные сечения в потоке (рис. 4.3).
46
Количество жидкости, протекающее через любое сечение Si в единицу времени, определяется потоком вектора ρυ и в соответствии с уравнением (4.12) составит:
mi = ∫ ρυ ni dS
(кг/с).
Si
В соответствии с законом сохранения массы массовый расход жидкости
через различные сечения потока должен быть одинаков:
m1 = m2 = mi = const (кг/с),
(4.20)
или, с учетом уравнения (4.12), получим:
i
1
2
∫ ρυndS = ∫ ρυn dS = ∫ ρυndS = const
S2
S1
(кг/с)
(4.21)
Si
Уравнение (4.21) выражает общий вид уравнения неразрывности для
сечения потока, применимое для сжимаемой жидкости.
В случае несжимаемой жидкости (ρ = const) уравнение (4.21) можно
упростить:
1
i
2
∫ υn dS = ∫ υn dS = ∫ υn dS =const =Q
S1
S2
(м3/с).
(4.22)
Si
Объемный расход несжимаемой жидкости одинаков в любом
сечении потока.
Скорость в различных точках сечения потока неодинакова, поэтому
удобно для практических расчетов пользоваться расчетной величиной
i
средней скорости, постоянной для всего сечения потока (υ ср = const), что
позволяет проинтегрировать уравнение (4.22):
1
2
i
υср
S1 = υср
S 2 = υср
Si = Q = const.
(4.23)
Полученное равенство (4.23) представляет собой наиболее простую
форму уравнения неразрывности, применимого для сечения потока .
4.1.3. Уравнение движения жидкости в напряжениях
Выделим в жидкости произвольный объем V, ограниченный поверхностью S и учтем все приложенные к нему силы.
Для получения искомого уравнения применим к движущейся жид47
кости закон постоянства количества движения.
В случае элементарного объема dV, ограниченного поверхностью
dS, получим:
d
(4.24)
[d (mυ )] = ρ dυ dV = ρFdV + pn dS ,
dt
dt
где ρFdV ; pn dS − объемная и поверхностная силы, действующие на выделенный объем dV.
Соответственно для конечного объема V, ограниченного поверхностью S (рис. 4.4), уравнение (4.24) примет вид:
∫ρ
V
dυ
dt
dV − ∫ ρFdV − ∫ pn dS = 0 .
V
(4.25)
S
Используем формулу Остроградского – Гаусса для замены поверхностного интеграла объемным:
⎛ ∂p x ∂p y ∂p z ⎞
⎟⎟ dV
+
+
∫ pn dS = ∫ ⎜⎜
∂y ∂z ⎠
S
V ⎝ ∂x
(4.26)
С учетом уравнений (4.25) и (4.26) получим:
⎡
⎛ ∂p x ∂p y ∂p z ⎞⎤
⎜⎜
⎟⎟⎥ dV = 0 ,
ρ
W
−
ρ
F
−
+
+
∫⎢
V⎣
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎦
где W =
(4.27)
dυ − ускорение
dt
жидкой частицы.
В силу произвольности
выбранного объема V подинтегральное выражение в
формуле (4.27) должно быть
равно нулю, следовательно,
получим:
48
ρW = ρF +
∂p x ∂p y ∂p z ,
+
+
∂x ∂y ∂z
(4.28)
или в координатной форме:
∂p xx ∂p yx ∂p zx ;
+
+
∂x
∂y
∂z
∂p
∂p
∂p
ρW y = ρFy + xy + yy + zy ;
∂x
∂y
∂z
∂p
∂p
∂p
ρWz = ρFz + xz + yz + zz .
∂y
∂z
∂x
ρWx = ρFx +
(4.29)
Равенства (4.28) и (4.29) называют уравнениями движения жидкости в напряжениях. Каждый член уравнения (4.28) представляет собой
одно из напряжений сил, действующих в жидкости.
Величина ρW = ρ
dυ имеет смысл инерционной силы, отнесенной к
dt
единице объема; ρF – массовая сила и сумма трех последних членов выражает результирующую поверхностную силу, отнесенную также к единице объема.
4.2.
Уравнения движения реальной жидкости
4.2.1. Обобщенный закон Ньютона
Для получения дифференциального уравнения движения реальной
(иначе вязкой) жидкости можно воспользоваться системой уравнений
движения жидкости в напряжениях (4.28), (4.29). Однако в них число неизвестных величин превосходит число уравнений, поэтому для решения данной системы необходимы дополнительные соотношения.
Указанные зависимости определяют связи между напряжениями и скоростями деформации, известные как обобщенный закон Ньютона.
Найдем связь между касательными напряжениями и скоростями угловой деформации жидких частиц.
Рассмотрим случай одномерного плоскопараллельного потока жид49
кости, обтекающего поверхность твердого тела.
Ранее профиль скоростного поля в таком потоке был показан на рис.
1.2. Наличие вязкости жидкости определяет появление при ее движении
сил внутреннего трения, которые вызывают деформацию жидких частиц
(рис. 3.6).
В соответствии с уравнениями (1.3), (3.24) касательные напряжения, возникающие между слоями прямолинейно движущейся жидкости,
определяются законом Ньютона, а также скоростью угловой деформации
γ:
τ zx = pzx = μ
∂υ x
=μγ
∂z
(4.30)
Рассмотрим далее плоский двухмерный поток жидкости. Как уже
ранее было показано (рис. 3.8), при движении плоской частицы abcd в
плоскости zox наблюдается ее угловая деформация, скорость которой γ
определяется уравнением:
⎛ ∂υ ∂υ ⎞
γ = γ1 + γ 2 = ⎜ x + z ⎟ = ε xz + ε zx .
⎝ ∂z ∂x ⎠
(4.31)
Следовательно, в этом случае касательные напряжения с учетом уравнений (4.11), (3.29), (4.30) находим в виде:
⎛ ∂υ ∂υ ⎞
p xz = p zx = μ⎜ x + z ⎟ = μ (ε xz + ε zx ) .
⎝ ∂z ∂x ⎠
(4.32)
Обобщая полученный результат, для случая движения объемной жидкой частицы с учетом уравнений (3.29), (4.32), окончательно имеем:
⎛ ∂υ ∂υ y ⎞
⎟⎟ ;
p xy = p yx = μ⎜⎜ x +
y
x
∂
∂
⎝
⎠
⎛ ∂υ ∂υ ⎞
p xz = p zx = μ⎜ x + z ⎟ ;
⎝ ∂z ∂x ⎠
⎛ ∂υ y ∂υ z ⎞
⎟⎟ .
p yz = p zy = μ⎜⎜
+
z
y
∂
∂
⎝
⎠
(4.33)
Полученные уравнения (4.33) выражают зависимость между касательными
напряжениями и скоростями угловой деформации, причем эта зависимость
50
носит линейный характер.
На основе использования закона Ньютона была также установлена
связь нормальных напряжений pxx, pyy, pzz c линейными скоростями деформации растяжения или сжатия элементарной жидкой частицы:
⎛ ∂υ 1
⎞
p xx = − p + 2μ⎜ x − divυ ⎟ ;
⎝ ∂x 3
⎠
⎛ ∂υ y 1
⎞
− divυ ⎟⎟ ;
p yy = − p + 2μ⎜⎜
⎝ ∂y 3
⎠
(4.34)
⎛ ∂υ 1
⎞
p zz = − p + 2μ⎜ z − divυ ⎟ .
⎝ ∂z 3
⎠
Уравнения (4.33), (4.34) принято называть обобщенным законом
Ньютона.
4.2.2. Дифференциальные уравнения движения реальной
жидкости
Для вывода дифференциального уравнения движения реальной (или
вязкой) жидкости воспользуемся уравнениями движения жидкости в напряжениях (4.28), (4.29) и обобщенным законом Ньютона (4.33), (4.34).
Введем обозначения:
R=
∂p x ∂p y ∂p z ,
+
+
∂x ∂y ∂z
(4.35)
или в координатной форме:
∂p xx ∂p yx ∂pzx ;
+
+
∂y
∂z
∂x
∂p
∂p
∂p
R y = xy + yy + zy ;
∂z
∂x
∂y
∂p
∂p
∂p
Rz = xz + yz + zz ;
∂x
∂y
∂z
Rx =
(4.36)
где R – равнодействующая поверхностных сил.
Преобразуем далее величину Rx, используя уравнения (4.28), (4.29):
51
Rx =
∂ ⎡
⎛ ∂υ x 1
⎞⎤ ∂ ⎛ ∂υ x ∂υ y ⎞ ∂ ⎛ ∂υ x ∂υ z ⎞
⎟⎟ + μ⎜
+
υ
2
μ
div
+
−
−
p
+
⎟.
⎜
⎟⎥ + μ⎜⎜
⎢
∂x ⎣
⎝ ∂x 3
⎠⎦ ∂y ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂z ⎝ ∂z ∂x ⎠
При μ = const, т.е. в случае изотермического потока жидкости, μ
можно вынести из под знака дифференциала и записать
2
∂ 2υ x 2 ⎛⎜ ∂ 2υ x ∂ υ y ∂ 2υ z ⎞⎟
∂p
+
+
+
Rx = − + 2μ 2 − μ
3 ⎜⎝ ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂z ⎟⎠
∂x
∂x
⎛ ∂ 2υ x ∂ 2υ y ∂ 2υ x ∂ 2υ z ⎞
⎟,
+ μ⎜ 2 +
+
+
⎜ ∂y ∂x∂y ∂z 2 ∂x∂z ⎟
⎠
⎝
далее имеем:
2
∂p 1 ⎛⎜ ∂ 2υ x ∂ υ y ∂ 2υ z ⎞⎟
Rx = − + μ
+
+
+
∂x 3 ⎝⎜ ∂x 2 ∂x∂y ∂x∂z ⎠⎟
⎛ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞
∂p 1 ∂
+ μ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = − + μ divυ + μ∇ 2υ x ,
∂x 3 ∂x
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
2
2
2
где ∇ 2 = ∂ + ∂ + ∂ – дифференциальный оператор Лапласа.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Аналогичные выражения можно получить и для других составляющих результирующей поверхностных сил (Ry и Rz):
∂p 1 ∂
+ μ divυ + μ∇ 2υ y
∂y 3 ∂y
∂p 1 ∂
Rz = − + μ divυ + μ∇ 2υ z .
∂z 3 ∂z
Ry = −
Суммируя составляющие, получим выражение для вектора R:
1
R = −gradp + μ grad divυ + μ ∇ 2υ.
3
(4.37)
Подставляя выражение (4.37) в уравнения (4.28), (4.29) и поделив все
члены уравнения на ρ (имея также в виду, что μ/ρ = ν – кинематический
коэффициент вязкости), получим:
52
W=
ν
dυ ∂υ
1
+ (υ ⋅∇ )υ = F − gradp + grad divυ + ν ∇ 2υ , (4.38)
=
3
dt ∂t
ρ
или в координатной форме:
1 ∂p ν ∂
dυ x ∂υ x
divυ + ν∇ 2υ x ;
=
+ (υ ⋅∇ )υ x = Fx −
+
ρ ∂x 3 ∂x
∂t
dt
(4.39)
dυ
∂υ
1 ∂p ν ∂
+
divυ + ν∇ 2υ y ;
W y = y = y + (υ ⋅∇ )υ y = Fy −
dt
∂t
ρ ∂y 3 ∂y
dυ ∂υ
1 ∂p ν ∂
Wz = z = z + (υ ⋅∇ )υ z = Fz −
+
divυ + ν∇ 2υ z .
dt
∂t
ρ ∂z 3 ∂z
Wx =
Полученные выражения (4.38) и (4.39) носят название уравнений
Навье–Стокса, которые определяют движение реальной (иначе вязкой)
жидкости.
Каждый член уравнения (4.38) имеет размерность ускорения и представляет собой напряжения сил, действующих в жидкости (сила, отнесенная к единице массы движущейся жидкости). Левая часть уравнения
определяет силу инерции, причем первый член определяется нестационарностью скоростного поля, а второй – обусловлен конвективным
ускорением. В правой части последовательно представлены массовая (или
объемная) сила, сила давления и последние два члена представляют собой
напряжение силы сопротивления (трения), обусловленной вязкостью
жидкости.
Для случая несжимаемой жидкости div υ = 0 и уравнение Навье–Стокса
упрощается:
1
dυ ∂υ
+ (υ ⋅∇ )υ = F − gradp + ν∇ 2υ ;
=
ρ
dt ∂t
dυ
∂υ
1 ∂p
+ν ∇ 2υ x ;
Wx = x = x + (υ ⋅∇ )υ x = Fx −
ρ ∂x
dt
∂t
d υ y ∂υ y
1 ∂p
=
+ (υ ⋅∇ )υ y = F y −
+ ν ∇ 2υ y ;
Wy =
ρ ∂y
∂t
dt
(4.40)
1 ∂p
dυ z ∂υ z
=
+ (υ ⋅∇ )υ z = F z −
+ ν ∇ 2υ z .
Wz =
∂t
ρ ∂z
dt
W=
53
В процессе решения практических задач, связанных с движением несжимаемой жидкости, необходимо помимо уравнений (4.40) использовать
также уравнение неразрывности (4.19).
При интегрировании дифференциальных уравнений (4.40), (4.19)
появляются произвольные постоянные, для нахождения которых необходимо сформулировать краевые условия. К ним относятся начальные и
граничные условия.
Начальные условия задаются для нестационарного движения жидкости. В этом случае в начальный момент времени t =to (t = 0) необходимо
задать значения скорости и давления:
υ о = υ (xo , yo, zo );
pо = p (xo , yo, zo ).
(4.41)
Граничные условия включают значение скорости потока на границе
соприкосновения жидкости с поверхностью твердого тела. В частном случае при обтекании неподвижного тела граничное условие представляется в
виде:
υп = 0 .
(4.42)
Следует обратить внимание, что в общем случае система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости аналитического решения
не имеет.
4.3.
Уравнения движения идеальной жидкости
4.3.1.
Идеальная жидкость. Давление в идеальной
жидкости
Под идеальной жидкостью понимают гипотетическую модельную жидкость, которая не обладает вязкостью. Принимают также, что в
идеальной жидкости отсутствуют процессы теплообмена как внутри
самой жидкости, так и между жидкостью с окружающей средой. Таким
образом, движение идеальной жидкости рассматривается как адиабатическое. Модель идеальной жидкости удобна для решения ряда практических
задач, касающихся движения реальной (вязкой) жидкости, когда можно
54
пренебречь силами вязкости по сравнению с другими силами, действующими в жидкости.
Так как в идеальной жидкости вязкость отсутствует (μ = ν = 0), при
ее движении силы внутреннего трения не возникают, следовательно, касательные напряжения в любой точке жидкости равны нулю:
(4.43)
p = p = p = p = p = p = 0.
xy
yx
xz
zx
yz
zy
Для нормальных напряжений в идеальной жидкости, в соответствии с
уравнением (4.34), получим:
(4.44)
p = p = p = − p.
xx
yy
zz
Отсюда следует, что нормальные напряжения в идеальной жидкости
не зависят от ориентации площадки, на которую они действуют, и равны
давлению в данной точке потока жидкости.
4.3.2.
Уравнения движения идеальной жидкости
Уравнение движения идеальной жидкости можно получить, используя уравнение движения реальной жидкости (4.40) без учета сил трения,
обусловленных вязкостью, так как в рассматриваемом случае μ = ν = 0:
W=
dυ ∂υ
1
=
+ (υ ⋅∇ )υ = F − gradp ,
dt ∂t
ρ
(4.45)
или в координатной форме:
dυ x ∂υ x
1 ∂p
=
+ (υ ⋅∇ )υ x = Fx −
;
dt
∂t
ρ ∂x
∂υ
dυ
1 ∂p
;
W y = y = y + (υ ⋅∇ )υ y = Fy −
ρ ∂y
∂t
dt
1 ∂p
∂υ
dυ
.
Wz = z = z + (υ ⋅∇ )υ z = Fz −
ρ ∂z
∂t
dt
Wx =
(4.46)
Уравнения (4.45), (4.46) называют уравнениями Эйлера.
Уравнение Эйлера справедливо как для безвихревого (потенциального) движения идеальной жидкости, так и в случае вихревого потока.
Для дальнейших преобразований уравнение Эйлера удобно представить так, чтобы эти случаи движения различались, что и сделано россий55
ским ученым И.С. Громека. Для проведения преобразования воспользуемся известным векторным соотношением:
или
⎛υ 2 ⎞
grad⎜ ⎟ = (υ ⋅∇ )υ + υ × rotυ ,
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
⎛υ 2 ⎞
(υ ⋅∇ )υ = grad⎜⎜ ⎟⎟ + rotυ × υ .
⎝ 2⎠
(4.47)
Пользуясь выражением (4.47), уравнения Эйлера приведем в виде:
∂υ x ∂ ⎛ υ 2 ⎞
1 ∂p
+ ⎜⎜ ⎟⎟ + (rotυ ×υ )x = Fx −
;
∂t ∂x ⎝ 2 ⎠
ρ ∂x
∂υ y ∂ ⎛ υ 2 ⎞
1 ∂p
+ ⎜⎜ ⎟⎟ + (rotυ ×υ )y = Fy −
;
∂t ∂y ⎝ 2 ⎠
ρ ∂y
(4.48)
∂υ z ∂ ⎛ υ 2 ⎞
1 ∂p
+ ⎜⎜ ⎟⎟ + (rotυ ×υ )z = Fz −
.
∂t ∂z ⎝ 2 ⎠
ρ ∂z
Эти уравнения принято называть уравнениями движения идеальной
жидкости в форме Громека.
Для приведения уравнения Громека к виду, удобному для последующего
его интегрирования, сделаем два предположения.
Во-первых, предполагаем, что массовая сила F, действующая в жидкости, имеет потенциал, в качестве которого выберем некоторую функцию π (x,y,z). По определению понятия потенциала при этом будут
удовлетворяться условия:
F = −gradπ;
∂π
Fx = − ;
∂x
∂π
Fy = − ;
∂y
∂π
Fz = − .
∂z
56
(4.49)
Примером такой силы, имеющей потенциал, является сила тяжести,
которая обычно и учитывается при решении большинства практических
гидродинамических задач. Потенциал силы тяжести равен: π = gz, где g –
ускорение силы тяжести, а z – высота уровня, на котором находится исследуемая точка в жидкости.
Во-вторых, считаем, что движение жидкости является баротропным,
т. е. предполагаем, что плотность жидкости зависит только от давления:
(4.50)
ρ = ρ( р )
Тогда силу давления в уравнении (4.48) можно преобразовать:
1
ρ
где
()
gradp =
P p =∫
dp
ρ( p )
1 dp
ρ dr
=
dP
dr
= gradP ,
+ const .
(4.51)
(4.52)
Величина Р (р) представляет собой некоторую функцию давления.
Используя равенства (4.49), (4.51), преобразуем уравнение Громека (4.48):
⎛υ 2
⎞
∂υ
+ grad⎜⎜ + π + P ⎟⎟ = υ × rotυ .
∂t
⎝ 2
⎠
(4.53)
Упростим уравнение (4.53), рассматривая стационарный (или
установившейся) поток жидкости. В этом случае локальная производная
∂υ
= 0 и уравнение (4.53) примет вид:
∂t
⎛υ 2
⎞
grad⎜⎜ + π + P ⎟⎟ = υ × rotυ .
⎝ 2
⎠
(4.54)
Уравнение Громека в форме (4.54) может быть проинтегрировано для
ряда частных случаев, при условии равенства нулю правой части.
Во-первых, этому условию соответствует потенциальное (или безвихревое) движение жидкости (rot υ = 0).
В данном случае равенство (4.54) принимает вид:
⎛υ 2
⎞
grad⎜⎜ + π + P ⎟⎟ = υ × rotυ = 0 ,
⎝ 2
⎠
(4.55)
57
откуда получаем интегральный вид уравнения:
υ2
2
+ π + P = const.
(4.56)
Уравнение (4.56) справедливо для всех точек потенциального потока
и его называют интегралом Лагранжа–Коши, применимым для стационарного движения жидкости.
Дифференциальное уравнение (4.54) можно также проинтегрировать
для случая винтового движения жидкости. При этом наблюдается совпадение линий тока и вихревых линий, что является условием совпадения векторов скорости и ротора скорости. В таком случае произведение векторов
будет равно нулю:
(4.57)
υ × rotυ = 0 .
В уравнении (4.54) правая часть также обращается в ноль:
⎛υ 2
⎞
grad⎜⎜ + π + P ⎟⎟ = 0 , что позволяет получить интеграл, аналогичный
⎝ 2
⎠
2
υ
рассмотренному выше:
2
+ π + P = const , который применим для всех
точек винтового движения жидкости, так называемый интеграл Громека.
Для последующего интегрирования уравнения (4.54) необходимо дополнительное преобразование. Умножим обе части уравнения (4.54) скалярно на элемент dr:
⎛υ 2
⎞
⎛υ 2
⎞
grad⎜⎜ + π + P ⎟⎟ ⋅ dr = d ⎜⎜ + π + P ⎟⎟ = (υ ×rotυ )⋅ dr. (4.58)
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
В правой части векторно-скалярного произведения уравнения (4.58)
проведем последовательно две циклических замены сомножителей:
⎛υ 2
⎞
d ⎜ + π + P ⎟ = (υ ×rotυ )⋅ dr = (dr ×υ )⋅ rotυ = (rotυ ×dr )⋅υ. (4.59)
⎜ 2
⎟
⎝
⎠
Если рассматривать dr как элемент касательной к линии тока или
вихревой линии, то в соответствии с их уравнениями в векторной форме
(
) (
)
(3.10), (3.38) получим равенство dr×υ = rotυ ×dr = 0 , позволяющее
проинтегрировать уравнение (4.59) и получить снова вид интеграла, анало58
2
υ
гичный предыдущему:
+ π + P = const , который применим для точек в
2
жидкости, лежащих на одной линии тока или вихревой линии. Полученное
интегральное выражение носит название интеграла Бернулли.
4.3.3.
Уравнение Бернулли
Как следует из рассмотренного выше, полученные интегралы аналогичны, но различны области их применения. Наибольшее практическое
значение имеет интеграл Бернулли. Придадим этому интегралу более конкретную форму, сделав ряд дополнительных допущений:
Во-первых, предположим, что в качестве массовой силы в жидкости
действует сила тяжести. В этом случае потенциал массовой силы π = gz.
Во-вторых, ограничимся рассмотрением несжимаемой жидкости, для
которой ρ = const и выражение для функции давления Р принимает вид:
P=∫
dp
ρ
=
p
ρ
+ const.
(4.60)
С учетом указанных допущений интеграл Бернулли обретает конкретную форму:
υ2
2
+ gz +
p
= const.
ρ
(4.61)
Полученное выражение носит название уравнения Бернулли.
Равенство (4.61) с учетом рассмотренных интегралов применимо для
всех точек потенциального (безвихревого) потока или винтового движения, а также для всех точек данной линии тока или вихревой линии.
Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии в движу2
щейся идеальной жидкости. Величина υ /2 представляет собой кинетическую энергию единицы массы жидкости, а сумма величин gz + p
ρ
соответственно определяет потенциальную энергию единицы массы
движущейся жидкости. При этом gz –потенциальная энергия, обусловленная действием силы тяжести, и р/ρ – действием силы давления.
59
Уравнение (4.61) позволяет заключить, что при стационарном баротропном вихревом движении идеальной жидкости полная механическая
энергия в расчете на единицу массы сохраняет постоянное значение в
любой точке линии тока или вихревой линии.
Уравнению Бернулли (4.61) можно придать другой вид, разделив все
члены на g, где γ – удельный вес жидкости /γ = ρg (H/м3)/:
υ2
2g
+z+
p
= const = Н (м ).
γ
(4.62)
Аналогично рассмотренному выше равенству (4.61) уравнение (4.62)
по=прежнему выражает закон сохранения энергии при движении идеальной жидкости.
Все члены уравнения (4.62) имеют размерность длины (м) и определяют кинетическую или потенциальную энергию в расчете на единицу веса
движущейся идеальной жидкости. Их принято называть высотами или
2
напорами. Величина υ /2g является скоростной высотой и определяет
соответственно скоростной напор в данной точке жидкости. С другой стороны, она характеризует величину кинетической энергии, отнесенную к
единице веса жидкости. Z называют геометрической высотой, которая
определяет потенциальную энергию единицы веса жидкости, обусловленную действием силы тяжести, и высоту уровня расположения точки в
жидкости, в которой рассматривается уравнение Бернулли. р/γ – пьезометрическая высота (или напор), соответствующая давлению р в данной
точке жидкости. Она выражает потенциальную энергию в расчете на единицу веса жидкости, обусловленную действием силы давления.
Суммарную величину
z+
p
p
=z+
ρg
γ
принято называть пьезометрическим (или гидростатическим) напором,
который определяет суммарный напор в случае неподвижной жидкости.
Н – полный (суммарный) гидродинамический напор в данной точке жидкости.
Из уравнения (4.62) следует, что полный гидродинамический напор в
стационарном потоке идеальной жидкости будет постоянен для всех точек
60
потенциального (безвихревого) потока или винтового движения, а также
для всех точек данной линии тока или вихревой линии.
Умножив все члены уравнения (4.62) на γ, получим третью форму
записи уравнения Бернулли:
ρυ 2
+ γz + p = const (Па ).
2
(4.63)
Все члены уравнения (4.63)
имеют размерность давления, и
их, как и в предыдущем случае,
принято называть напорами.
Соответственно существу2
ют скоростной (ρυ /2), геометрический (γz) и пьезометрический (р) напоры.
Уравнение Бернулли, полученное для линии тока, можно
использовать при анализе движения жидкости в трубке тока.
Выделим в стационарном потоке
идеальной несжимаемой жидкости элементарную трубку тока (рис. 4.5) и применим к ее сечениям 1 и 2
уравнение Бернулли в форме равенства (4.62):
υ12
p
p1 υ 22
+ z1 + =
+ z2 + 2 = const.
2g
ρg 2 g
ρg
(4.64)
Анализ уравнения (4.64) позволяет заключить, что при переходе от
сечения 1 к сечению 2 в трубке тока скорость возрастает, поэтому растет
2
скоростной напор υ /2g, а пьезометрический напор соответственно
cнижается.
Для проведения практических расчетов в трубке тока конечных размеров необходимо рассмотреть возможность применения уравнения
Бернулли для сечения потока в данной трубке тока. Так как скорость в различных точках потока неодинакова, принято при оценке скоростного напора использовать расчетную величину средней скорости υср = const
61
(рис. 4.6).
Уравнение (4.64) в этом случае принимает вид:
2
α1υср
1
2
p1 α 2υср 2
p
+ z1 +
=
+ z2 + 2 = const.
2g
ρg
2g
ρg
(4.65)
Дополнительные коэффициенты α1 и α2 связаны с заменой истинной
скорости в сечении потока на
среднюю скорость, и их принято называть коэффициентами кинетической энергии
(или коэффициенты Кориолиса).
При ламинарном движении жидкости в цилиндрической трубе можно принять
α = 2,0; а при турбулентном
режиме α ≈ 1,05÷1,1.
В процессе решения практических задач, кроме уравнения Бернулли
(4.65), используют также уравнение неразрывности в форме (4.23), применимое для сечения потока жидкости:
1
2
i
υср
S1 = υср
S 2 = υср
Si = Q (м3/с).
Трубку тока можно отождествить с реальными гидродинамическими
сооружениями (к примеру с трубопроводом), что позволяет проводить с
помощью уравнения Бернулли количественные расчеты технологических
параметров этих сооружений, если жидкость можно рассматривать как
идеальную (т. е. пренебречь силами трения, обусловленными вязкостью
жидкости).
В случае реальной (вязкой) жидкости уравнение (4.65) не применимо. Однако его используют для расчетов и в этом случае, введя поправку
на потерю напора, связанную с преодолением сил трения. Так, для рассмотренной выше трубки тока для сечений 1 и 2 (см. рис. 4.5) уравнение
Бернулли представляют в виде:
62
2
α1υ ср
1
p αυ
p
+ z1 + 1 = 2 ср 2 + z2 + 2 + Δhтр . (4.66)
2g
ρg
2g
ρg
2
Где ∆hтр – потеря напора, идущая на преодоление силы трения в потоке
вязкой жидкости на участке между сечениями 1 и 2.
4.3.4. Определение потерь напора при стационарном движении
вязкой жидкости
В случае реальной (вязкой) жидкости в соответствии с уравнением
(4.66), для проведения количественных расчетов различных гидравлических сооружений необходимо оценить потери напора ∆hтр, обусловленные
силами внутреннего трения, возникающими в потоке вязкой жидкости.
Рассмотрим для примера оценку потерь напора при движении вязкой
жидкости на определенном участке трубопровода (рис. 4.7). Принято разL
личать потери напора по длине трубопровода ∆hтр и местные потери нам
пора ∆hтр .
Общая потеря напора определяется суммированием ∆hi:
i
Δhтр = ∑ ΔhLi + ∑ ΔhМ
(4.67)
Для оценки потерь
напора используют расчетные формулы, в которых ∆hi выражается в долях скоростного напора
υ2ср/2g.
L
Для определения ∆hтр
пользуются формулой
Вейсбаха–Дарси:
L
Δhòð
L υñð ,
= λ òð
d 2g
2
(4.68)
где L и d – соответственно длина и диаметр трубопровода; λтp – безразмерный коэффициент гидравлического сопротивления (трения).
63
м
Для оценки местных потерь ∆hтр используют формулу Вейсбаха:
М
Δhтр
=ξ
2
υср
2g
,
(4.69)
где ξ – коэффициент местного сопротивления, который определяется
опытным путем.
4.3.5.
Примеры применения уравнения Бернулли
Интегралы уравнения движения идеальной жидкости, полученные в
предыдущем разделе, имеют большое значение в теоретической и прикладной гидродинамике. Сказанное в особенности относится к уравнению Бернулли, на котором основано решение большого числа разнообразных гидродинамических задач. Рассмотрим дополнительно еще два простых примера применения уравнения Бернулли.
Измерение скорости движения жидкости при помощи
скоростной трубки (трубка Пито–Прандтля)
Если прямолинейный и равномерный поток жидкости встречает на
своем пути неподвижное твердое тело (рис. 4.8), то линии тока, проходящие вблизи этого тела,
отклоняются. Это отклонение будет тем больше,
чем ближе рассматриваемая линия тока к поверхности обтекаемого тела.
Точка А, в которой
происходит разветвление потока, называется критической точкой потока, где скорость жидкости
равна нулю.
Пусть скорость невозмущенного потока (т. е. скорость вдали от обтекаемого тела) равна U. Рассмотрим линию тока, проходящую через критическую точку.
Обозначим давление в точке В, лежащей на этой линии тока в невоз64
мущенной области, через ро, а в критической точке – р.
Применяя к точкам А и В рассматриваемой линии тока уравнение
2
U
ρ
Бернулли (4.63) и учитывая, что ZА = ZВ, получим p = p +
.
0
2
Отсюда следует, что динамический напор потока равен приращению дав2
ρ
U
ления в критической точке A:
= p − p0 . Давление р0 принято назы2
вать статическим давлением, а р – полным давлением.
Измерив полное и статическое давления, можно определить скорость
потока.
Простейшим прибором, позволяющим воспроизвести критическую
точку потока и измерить в ней полное давление р, является так называемая
трубка Пито (рис. 4.9), предложенная в 1732 г.
Критической точкой является открытый конец трубки,
обращенный навстречу потоку.
Статическое давление р0 измеряется обычным пьезометром,
помещенным в том же сечении
потока.
Скоростные трубки, применяемые в настоящее время
(трубка Пито–Прандтля и трубка ЦАГИ) позволяют измерять
одновременно полное и статическое давление.
Истечение несжимаемой жидкости из большого сосуда через
малое отверстие
Представим себе, что в сосуде, изображенном на рис. 4.10, находится
несжимаемая жидкость, плотность которой равна ρ. Обозначим давление
над свободной поверхностью жидкости через р1, высоту уровня жидкости
в сосуде через Z1 и высоту уровня оси отверстия через Z2.
65
Линии тока жидкости, вытекающей из сосуда в виде струи, можно
рассматривать как продолжение линий тока жидкости, движущейся внутри
сосуда, и считать, что они образуют одну и ту же трубку тока.
Применим к этой трубке тока уравнение Бернулли и запишем его
для двух сечений трубки:
ρυ12
ρυ22
+ γz1 + p1 =
+ γz2 + pат .
2
2
Учитывая, что сечение сосуда
много больше сечения струи и, следовательно, υ1<< υ2, мы можем отбросить первый член левой части уравнения. Тогда будем иметь (подстрочный
индекс при υ2 опускаем):
ρυ 2
2
= γ(z1 − z 2 ) + ( p1 − pат ),
откуда
υ=
2
[γ(z1 − z2 ) + ( p1 − pат )],
ρ
или, приняв, что Z1 – Z2 = h, окончательно имеем:
υ = 2 gh +
2
( p1 − pат ).
ρ
(4.70)
Полученная формула справедлива лишь при условии сохранения
постоянства напора, т. е. в том случае, когда уровень жидкости в сосуде Z1
и давление p1 поддерживаются постоянными.
Для открытого сосуда p1 = pат и формула (4.70) примет вид:
υ = 2gh.
(4.71)
Мы получили хорошо знакомую формулу Торричелли для скорости
истечения идеальной жидкости.
Для определения скорости истечения реальной жидкости пользуются
следующей формулой:
66
υ = ϕ 2 gh +
2
( p1 − pат ).
ρ
(4.72)
Здесь φ – безразмерный коэффициент скорости, определяемый равен-
ством
ϕ=
1
, где ξ – коэффициент сопротивления, учитывающий
1+ ξ
потери напора при истечении жидкости.
Объемный расход жидкости вычисляется по формуле
Q = ευS,
где S – сечение отверстия, a ε = Sc/S – коэффициент сжатия струи в выбранном сечении 2–2 (рис. 4.10) /Sc – сечение струи /.
Используя формулу (4.72), можем написать:
Q = εϕS 2 gh +
Q = μ ∗ S 2 gh +
или
2
ρ
2
ρ
( p1 − pат ),
( p1 − pат ),
(4.73)
*
где µ = ε·φ – коэффициент расхода жидкости.
Для случая, когда р1 = рат, вместо формул (4.72) и (4.73) будем иметь
соответственно:
υ = ϕ 2 gh
∗
Q = μ S 2 gh
(4.74)
5. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В гидродинамике вязкой жидкости экспериментально установлены
два различных режима движения: ламинарный и турбулентный.
Ламинарный (иначе слоистый) режим наблюдается при относительно низких скоростях в потоке жидкости и характеризуется упорядоченным параллельнослоистым движением, при котором слои жидкости
скользят друг по другу не перемешиваясь.
Турбулентный (или хаотичный) режим наблюдается при высоких
67
скоростях потока и характеризуется интенсивным перемешиванием жидкости, что обусловлено хаотическим перемещением конечных масс жидкости в различных направлениях.
Условия существования этих режимов движения и перехода из одного в другой подробно были изучены Рейнольдсом. Его опыты заключались
в следующем (рис. 5.1).
Через стеклянную трубу, имевшую на выходе кран для регулировки скорости течения жидкости, под напором протекала вода. Для того чтобы
сделать движение видимым, в трубу дополнительно вводили струйку водного раствора краски.
В ходе экспериментов варьировали диаметр трубы d, среднюю скорость
движения υср и кинематический коэффициент вязкости воды ν, изменяя ее
температуру.
Было установлено, что, пока
значение отношения
υ ср ⋅d
, коν
торое позже было названо числом Рейнольдса (Re), оставалось
ниже некоторой критической
величины, окрашенная струйка
воды на всем протяжении трубы
не смешивалась с остальной
массой воды, что указывало на ламинарный (слоистый) характер движения
жидкости. При значениях числа Рейнольдса выше критического окрашенная струйка уже при входе в трубу начинала пульсировать и далее быстро
смешивалась с основным потоком, что указывало на турбулентный
(хаотичный) режим движения.
Установлено, что критическое значение числа Рейнольдса Reкр заметно зависит от наличия возмущений при движении жидкости (возмущения при входе жидкости в трубу, вибрация установки и др.).
Но существует нижний предел Reкр, ниже которого ламинарный
режим устойчив и возникающие возмущения затухают. Для цилиндрической трубы Reкр
68
min
≈ 2300. В то же время ламинарный режим можно затя-
нуть, ликвидировав различные возможные возмущения потока, и достигmax
нуть более высоких значений Reкр
≈ (5–15).104. Но в этих случаях
наблюдался крайне неустойчивый ламинарный режим.
5.1.
Установившееся ламинарное движение вязкой жидкости в
цилиндрической трубе
В случае ламинарного стационарного режима движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе можно получить точное решение дифференциального уравнения Навье – Стокса. Рассмотрим горизонтальный стабилизированный ламинарный поток жидкости в направлении координаты x.
Запишем систему дифференциальных уравнений, определяющих движение
реальной (вязкой) жидкости. Она включает уравнения Навье–Стокса и
неразрывности:
(υ ⋅∇ )υ = F − 1 gradp + ν∇ 2υ;
ρ
(5.1)
divυ = 0.
Уравнения (5.1) можно упростить, имея в виду, во-первых, что труба
горизонтальная, поэтому можно пренебречь в потоке жидкости действием
массовых сил: F = 0. Во-вторых, так как рассматривается ламинарный
режим, то движение частиц происходит только в направлении оси x,
поэтому составляющие скорости υy = υz = 0.
С учетом этих допущений, уравнения (5.1) в координатной форме
можно записать следующим образом:
∂υ x
1 ∂p ⎛ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞
=−
+ν ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟;
υx
∂x
ρ ∂x ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
0=−
1 ∂p
;
ρ ∂y
0=−
1 ∂p
;
ρ ∂z
(5.2)
∂υ x
= 0.
∂x
69
Из анализа уравнений (5.2) следует, что скорость υx является функцией координат y и z, а давление зависит от координаты х.
Таким образом, система уравнений (5.2) сводится к равенству
∂ 2υ x ∂ 2υ x 1 dp
+ 2 =
= const.
2
μ dx
∂y
∂z
(5.3)
Так как левая часть уравнения (5.3) зависит от координат y и z, а
правая – от x, то ввиду независимости координат друг от друга, независимыми являются и обе части уравнения (5.3). Такое равенство возможно
только при условии, что оно равно постоянной величине. Отсюда следует,
что если μ = const, то и dp/dx = const.
Обозначив через ∆р падение давления на участке трубы, длиною L,
получим:
dp
Δp
=− ,
dx
L
(5.4)
где ∆p/L – так называемый движущий перепад давления, который расходуется на преодоление сил трения, обусловленных вязкостью жидкости.
С учетом равенства (5.4) и опуская подстрочный индекс x у скорости, уравнение (5.3) представим в виде:
∇ 2υ =
∂ 2υ
∂y
2
+
∂ 2υ
∂z
2
=−
Δp
.
μL
(5.5)
Распределение скоростей по сечению цилиндрической трубы симметрично
относительно ее оси, поэтому для последующих преобразований удобно
перейти к полярным координатам:
∂ 2υ
1 ∂υ 1 ∂ υ
Δp (5.5а)
.
∇υ=
+
+
=
−
μL
∂R 2 R ∂R R 2 ∂ϕ 2
2
2
В цилиндрической трубе имеет место осевая симметрия скоростного
поля (т. е. υ не зависит от φ), поэтому
∇υ=
2
70
d 2υ
dR 2
+
∂ 2υ
∂ϕ
2
= 0 . Таким образом, получим:
Δp
1 dυ 1 d ⎛ dυ ⎞
=
⎜ R ⎟ = − . (5.6)
R dR R dR ⎝ dR ⎠
μL
Интегрируем уравнение (5.6) и находим:
R
dυ
Δp 2
=−
R + C1 .
dR
2μL
(5.7)
При вторичном интегрировании имеем:
υ=−
Δp 2
R + C1 ln R + C2 .
4μL
(5.8)
Произвольные постоянные С1 и С2 найдем из граничных условий.
При R = 0 (на оси цилиндра) скорость имеет некоторое конечное значение
(т. е. υ ≠ ∞), поэтому С1 = 0. При R = Ro (Ro – радиус трубы) υ = 0 (на
поверхности трубы скорость υпов = 0), отсюда имеем:
С2 =
Δp 2 .
Rо
4μL
Таким образом, уравнение (5.8) можно представить в виде:
L
Δp 2 2 Δhтр γ 2 2 ,
υ=
Ro − R =
Ro − R
4μL
4μL
(
.
L
)
.
(
)
(5.9)
L
где ∆р = γ ∆h тр = ρg ∆h тр
(H/м2).
Из уравнения (5.9) следует,
что профиль скоростного
поля по сечению цилиндрической трубы носит параболический характер (рис.5.2).
Максимальная скорость
υmax наблюдается на оси
трубы (при R = 0): υ max = Δp Rо2 .
4μL
(5.10)
Определим далее расход жидкости через сечение трубы (рис. 5.3).
Элементарный расход через кольцевую полоску шириною dR и площадью
сечения dS = 2πRdR будет равен:
dQ = υ ⋅ 2πRdR.
(5.11)
Для определения расхода через все сечение трубы необходимо проинтегрировать уравнение (5.11):
71
R0
Q = ∫ υ 2 πRdR =
0
πΔp R0
2μL
∫
0
(
2
2
R0 − R
)RdR = 8μL
πΔp
L
R04
=
πρgΔhтр
8μL
R04 . (5.12)
Уравнение (5.12) выражает закон Пуазейля, согласно которому
объемный расход жидкости при ламинарном режиме движения жидкости
через сечение цилиндрической трубы пропорционален перепаду давления
и радиусу трубы в четвертой степени и обратно пропорционален вязкости
жидкости.
Разделив объемный расход Q на сечение трубы, определим среднюю
скорость по сечению трубы:
υ ср
L
Δp 2 ρgΔhтр 2
Q πΔpR04
R0 =
R0 .
= =
=
2
8μL
S 8μLπR0 8μL
(5.13)
Из сравнения уравнений (5.10) и (5.13) следует, что максимальная скорость
на оси трубы в два раза больше средней скорости:
(5.14)
υ = 2υ .
max
ср
Определим далее величину
гидравлического сопротивления при
ламинарном режиме движения жидкости в цилиндрической трубе. Этой
величиной служит перепад давления
∆р или потеря напора ∆hтр, который расходуется на преодоление сил
сопротивления (трения) при движении жидкости.
L
Для оценки значения ∆h тр
воспользуемся уравнением Вейсбаха – Дарси (4.68), в котором выразим
∆hLтр из уравнения (5.13):
L
Δhтр
L υср 8 μLυср 32 μLυср
= λ тр
=
=
,
2
2
d 2 g ρgR0
ρgd
2
откуда находим:
λ тр = 64
72
μ
ν
64
= 64
=
,
υср d ρ
υср d Re ср
(5.15)
где ν = μ/ρ и Reср = υсрd/ν.
Уравнение (5.15) выражает закон сопротивления при ламинарном
режиме движения жидкости в цилиндрической трубе.
С помощью уравнений (5.13) и (5.15) можно определить λтp и υср, что
позволит далее рассчитать потерю напора ∆h
L
тр
(или ∆р).
L
Зная ∆h тр, найдем величину напряжения силы трения у стенки
трубы (рис. 5.4).
Сила давления, приложенная к сечению трубы, уравновешивает силу
трения, действующую на боковую поверхность:
Δp ⋅ S сеч = τ w ⋅ S бок = Δp ⋅ πR02 = τ w ⋅ 2 πR0 L .
(5.16)
Откуда получим:
L
Δp R0 ρgΔhтр R0 .
=
τw =
L 2
L
2
(5.17)
Таким образом, напряжение силы трения на стенки цилиндрической
трубы равно перепаду давления на участке трубы, равном
половине ее радиуса.
Подставим в
равенство (5.17) знаL
чение ∆h тр из уравнения Вейсбаха–Дарси (4.68) и получим зависимость между напряжением силы трения на стенке цилиндрической трубы и коэффициентом гидравлического сопротивления λтp:
τw =
λ тр
8
2
ρυср
.
(5.18)
Следует отметить, что уравнения (5.17) и (5.18) справедливы для обоих
режимов движения жидкости, ламинарного и турбулентного, так как они
получены на основе общих условий равновесия сил.
73
5.2.
Основы теории турбулентного движения
При значениях числа Рейнольдса Re > Reкр ламинарный режим
движения жидкости переходит в турбулентный. Данный переход связан с
возрастанием сил инерции, оказывающих возмущающее воздействие и
усиливающих неупорядоченность движения.
Таким образом, турбулентный режим характеризуется хаотическим,
беспорядочным изменением скорости во времени в любой точке потока.
Скорость постоянно пульсирует вокруг некоторого среднего значения,
являясь случайной величиной (см. рис. 5.5).
Как видно, истинная скорость в произвольный момент времени при
турбулентном режиме движения жидкости представляет собой сумму
двух составляющих:
υ = υ +υ ' ,
(5.19)
где υ – средняя (или осредненная)
скорость и υ ' – пульсационная составляющая скорости.
Из вышесказанного следует,
что турбулентный поток всегда
является нестационарным и вихревым.
Причем вихревое движение обусловлено хаотическим характером
перемещения конечных масс жидкости в различных направлениях.
Возникающие в потоке вихри характеризуются различным масштабом
пульсационных явлений.
По мере возрастания числа Рейнольдса в начале появляются крупномасштабные пульсации, а затем более мелкие. Таким образом, турбулентность
в потоке можно представить как наличие совокупности вихреобразных
образований различного масштаба с разным периодом существования
вследствие их затухания за счет вязкости жидкости.
Основную роль в характере скоростного поля турбулентного потока
играют крупномасштабные пульсационные вихревые образования, а мел74
комасштабные вихри постепенно затухают.
Наличие многочисленных пульсационных вихревых образований в
турбулентном потоке, которые беспорядочно распределяются в пространстве и времени, обуславливает появление большого числа поверхностей
разрыва скоростного поля. Объем, ограниченный этими поверхностями
разрыва, включает определенное количество жидкости, называемое условно турбулентным «молем».
Принято характеризовать интенсивность (или степень) турбу*
лентности ε следующим образом:
ε∗
υ ′2 ,
=
υ
(5.20)
где υ ′2 – среднеквадратичная величина пульсаций скорости; υ – средняя
скорость движения жидкости.
Обычно интенсивность турбулентности не превышает ~10%, а величина пульсаций скорости находится в пределах 0,1 – 10 м/с.
Масштаб амплитуды пульсационных вихрей определяется посредством некоторого характерного линейного размера, который в случае крупномасштабных вихрей может иметь порядок геометрических размеров
пространства, в котором движется поток жидкости, в тоже время мелкомасштабные пульсации обладают значительно меньшими амплитудами.
При этом принято определять масштаб турбулентности с учетом используемого метода изучения движения жидкости: Лагранжа или Эйлера.
По методу Лагранжа изучают масштабы амплитуды отдельных вихревых образований в жидкости или поведение турбулентного «моля» в
разные моменты времени. В методе Эйлера определяют временные амплитудные изменения турбулентных пульсаций в различных точках пространства.
Соответственно получают интегральные масштабы турбулентности Лагранжа l La или Эйлера l Eu . Отношение этих величин с увеличением интенсивности турбулентности линейно растет и находится в диапазоне 0,5–0,8.
Обычно из-за простоты определения пользуются масштабом Эйлера.
При турбулентном течении жидкости в цилиндрической трубе для оцен75
ки масштаба турбулентности Эйлера можно пользоваться следующим
соотношением: l Eu ⋅ d ≈ 0,05, где d – диаметр трубы.
Для описания скоростного поля турбулентного потока вместо случайных мгновенных значений скорости (см. рис. 5.5) пользуются осредненными (средними) значениями. Для случая одномерного турбулентного потока жидкости величину осредненной скорости υ можно определить следующим образом:
υ=
1
T
t+
T
2
∫ υ dt ,
t−
(5.21)
T
2
где υ – мгновенная скорость, зависящая от времени (см. рис. 5.5);
Т – период осреднения скорости.
С учетом равенства (5.19), уравнение (5.21) можно представить:
υ=
1
T
t+
T
2
∫ (υ +υ ′)dt =
t−
T
2
1
T
t+
T
2
∫ (υ )dt +
t−
T
2
1
T
t+
T
2
∫ (υ ′) dt = υ + υ ′ .
t−
(5.22)
T
2
При достаточно большом периоде Т осреднения скорости, повторное
осреднение не должно привести к ее изменению (см. рис. 5.5), следовательно:
υ =υ и υ′ = 0 .
Если осредненная скорость во времени постоянна, то такое осредненное турбулентное движение называют стационарным.
С учетом рассмотренного следует, что при анализе турбулентного
движения удобно использовать модель осредненных полей всех величин,
определяющих характер движения, в частности, скоростного и давления.
5.2.1.
Турбулентное движение жидкости в гладкой
цилиндрической трубе
Как и в случае ламинарного движения, изучение турбулентного потока жидкости в цилиндрической трубе сводится к выяснению характера
распределения скорости по сечению трубы и установлению закона сопро76
тивления при этом режиме.
В настоящее время точное решение уравнения Навье–Стокса для
турбулентного режима отсутствует, поэтому для расчетов скорости и коэффициента гидравлического сопротивления используют эмпирические зависимости.
Универсальный закон для определения осредненной скорости по
сечению трубы в случае установившегося турбулентного движения (при
любых значениях числа Re) носит логарифмический характер (см. рис.
5.6) /Никурадзе/:
υ
υ y
= 5,75lg ∗ + 5,5 .
υ∗
ν
(5.23)
Здесь
τ w ⎛⎜ кг⋅м⋅м 3 м ⎞⎟
υ∗ =
=
ρ ⎜ с 2 ⋅м 2 ⋅кг с ⎟
⎝
⎠
– динамическая скорость;
y – расстояние от стенки
трубы; τ w – напряжение
трения на стенке трубы.
Заменив в уравнении
(5.23): y = R0, определим
максимальную скорость
на оси трубы:
υR
υ max
= 5,75 lg ∗ 0 + 5,5
υ∗
ν
(5.24)
С увеличением числа Рейнольдса наблюдается более равномерное
распределение скорости по сечению трубы /иначе более заполненный
профиль распределения скоростей (рис. 5.6)/.
Универсальному логарифмическому закону распределения скоростей
77
(5.23) соответствует и универсальный логарифмический закон сопротивления (Никурадзе):
(
)
1
= 2 lg Re λ тр − 0,8.
λ тр
(5.25)
Формула (5.25) справедлива при любых значениях числа Re, но ее
недостаток заключается не в прямой зависимости λтр от Re, поэтому
более удобной для расчетов служит эмпирическая формула Конакова:
λ тр =
1
(1,8 lg Re−1,5)
2
.
(5.26)
Наряду с логарифмическими формулами для оценки скорости и
коэффициента сопротивления в случае турбулентного движения предложены менее универсальные степенные зависимости (Блазиус):
1
⎛ υ∗ y ⎞ 7
υ = 8,57
⎜
⎟ ;
ν
υ∗
⎝
⎠
1
⎛ υ∗ Ro ⎞ 7
υ max
= 8,57⎜⎜
⎟⎟ ;
ν
υ∗
⎝
⎠
λ тр =
(5.27)
0,3164
.
0, 25
Re
5
Формулы (5.27) применимы при условии Re ≤ 10 .
5.2.2. Влияние шероховатости стенки трубы
на коэффициент сопротивления
Ранее рассмотренные формулы (5.25)–(5.27) применимы для расчетов в трубах с гладкой поверхностью. Реально поверхность труб всегда
имеет некоторую шероховатость.
Шероховатость бывает волнистой или зернистой. В общем случае
количественно оценить шероховатость достаточно сложно. Зернистую или
бугорковую шероховатость определяют по средним размерам высоты бугорков (зерен), которая характеризует таким образом абсолютную шероховатость стенки трубы, ∆ (мм). Но чаще пользуются понятием относи78
тельной шероховатости Δ = Δ , равной отношению абсолютной шерохо-
R0
ватости к радиусу (или диаметру) трубы. Величины абсолютной шероховатости труб, изготовленных из разных материалов, приведены в табл. 5.1.
Исследование влияния равнозернистой искусственной шероховатости
на коэффициент сопротивления (трения) круглых труб было проведено
Никурадзе.
Т а б л и ц а 5.1
Шероховатость стенок различных труб
Материал трубы
Стеклянные
Цельнотянутые из латуни, свинца, меди (новые)
Стальные цельнотянутые (новые)
Чугунные (новые)
∆, мкм
0,2 – 0,8
0,2 – 1,0
20 – 100
100 - 1000
Результаты его опытов приведены на рис. 5.7 в виде зависимости:
Рис. 5.7. Зависимость коэффициента сопротивления λтр от числа Re и
обратной относительной шероховатости стенки трубы (d/∆): a –30;
б–61,2; в–120; г–252; д–504; е–1014
lg λ тр
от
υср d ⎞
⎛
⎟⎟
lg⎜⎜ Reср =
ν
⎝
⎠
79
при различных значениях величины, обратной относительной шероховатости:
d
Δ
= (30 – 1014).
График можно разбить на три различных участка. Первая область,
отвечающая значениям числа Re ≤ 2300 (lg Re ≤ 3,35), соответствует
ламинарному режиму движения. При этом коэффициент сопротивления не
зависит от шероховатости стенки трубы. В этом случае выполняется линейный закон сопротивления, определяемый уравнением (5.15):
λ тр =
64
64 ν ,
=
Reср υср d
L
а ∆h тр (потеря напора, расходуемого на преодоление сил трения) определяется формулой (4.68):
L
Δhтр
L υср ,
= λ тр
d 2g
2
L
поэтому ∆h тр ~ υcр.
Вторая и третья области соответствуют турбулентному режиму движения.
Вторая область отвечает случаю гидродинамически гладких труб.
При этом
λ тр
также не зависит от шероховатости трубы, и его зависи-
мость от числа Re удовлетворительно описывается формулой (5.27)
λ тр =
0,3164 , полученной для гладких труб (в логарифмических коордиRe 0ср,25
натах, использованных на рис. 5.7, она изображается прямой линией).
Протяженность этой области оказывается больше для случая с меньшей
шероховатостью трубы. В этой области с учетом формул (5.15) и (5.27)
имеем:
L
Δhтр
~ υ1,75 .
λ тр
В третьей области, относящейся к большим значениям числа Re,
не зависит от числа Рейнольдса, а определяется значением шерохова-
тости стенок трубы, причем с ростом последней λ тр возрастает. В этой
80
области в соответствии с формулой (4.68) величина потери напора пропорциональна квадрату скорости: Δh L ~ υ 2 . Данную область принято натр
ср
зывать областью квадратичного сопротивления (или областью развитой шероховатости).
Между первой и второй областями находится участок перехода из
ламинарного в турбулентный режим движения жидкости соответствующий интервалу значений числа Рейнольдса: 2300 < Re < ~ 4000.
Аналогично между второй и третьей областями находится промежуточная область, в которой λ тр зависит как от числа Re, так и от шероховатости трубы. В этом случае ∆h
L
тр
пропорционально скорости в степени
m: Δh L ~ υ m , где 1,75< m < 2,0.
тр
ср
Особенности зависимости λ тр от числа Re при турбулентном режиме
движения можно объяснить характером обтекания бугорков шероховатости, а также можно отметить наличие двух существенно различных режимов (рис. 5.8).
Рис. 5.8. Условия обтекания бугорков шероховатости: а) ∆ << δ*; б) ∆ >> δ*.
В случае турбулентного движения ядро потока характеризуется турбулентностью, а у поверхности стенки за счет значительных сил трения,
обусловленных вязкостью, возникает тонкий слой, в котором движение
носит ламинарный характер. Это так называемый ламинарный подслой
δ*.
*
При относительно низких значениях числа Рейнольдса ∆ < δ , поэтому
бугорки шероховатости полностью покрыты ламинарным подслоем и их
обтекание не сопровождается возрастанием сопротивления.
81
В данном режиме шероховатость не влияет на коэффициент сопротивления и труба с шероховатыми стенками в гидродинамическом отношении аналогична гладкой трубе (см. рис. 5.8, а). При этом коэффициент
сопротивления
λ тр
рассчитывается по уравнению Блазиуса (5.27).
*
Толщина ламинарного подслоя δ уменьшается с ростом числа Re
и при достаточно больших его значениях достигается условие второго ре*
жима, при котором ∆ > δ . В этом случае (рис. 5.8, б) бугорки обтекаются
полностью турбулентным ядром потока с образованием вихрей (как плохо
обтекаемые тела). В таких условиях λ тр не зависит от числа Re и определяется только шероховатостью трубы (область квадратичного сопротивления, т. е. третья область на графике Никурадзе).
В этой области для оценки коэффициента сопротивления можно
воспользоваться формулой Прандтля:
λ тр =
0,25
⎛ Δ ⎞
⎜⎜ lg ⎟⎟
⎝ 3,7 ⎠
.
(5.28)
2
Рассмотренные особенности влияния шероховатости стенок трубы
на коэффициент гидравлического сопротивления в области турбулентного
режима движения, как отмечалось выше, были выявлены при использовании равнозернистой искусственной шероховатости. Естественная техническая шероховатость, образующаяся при изготовлении и различных изменениях в процессе практической эксплуатации труб, не является равнозернистой. В этом случае высота, форма и плотность ее распределения по
поверхности трубы будет различной. Для оценки технической шероховатости используют понятие эквивалентной шероховатости ∆э. Под
эквивалентной шероховатостью понимают такую равнозернистую шероховатость, при которой в квадратичной области сопротивления совпадают
значения λтр, полученные на графике Никурадзе (см. рис. 5.7), и в случае
рассматриваемой трубы. Для оценки эквивалентной шероховатости можно
воспользоваться следующей формулой:
lg Δ э = lg d + 0,57 − 0,5 λ тр .
(5.29)
Для труб промышленного изготовления независимо от области
82
турбулентного режима движения расчет коэффициента сопротивления
можно осуществить по формуле, предложенной Альтшулем:
0,25
⎛Δ
68 ⎞ .
(5.30)
⎟
λ тр = 0,11⎜ э +
⎜ d Re ср ⎟
⎝
⎠
Расчет λтр в квадратичной области сопротивления можно провести
также по формуле Шифринсона (при Reср > 500 d/∆э):
⎛Δ ⎞
λ тр = 0,11⎜ э ⎟
⎝ d ⎠
0, 25
.
(5.31)
6. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
6.1.
Понятие о пограничном слое
Ранее рассматривалась модель идеальной жидкости, в которой отсутствует вязкость, поэтому при движении в ней не возникают силы
внутреннего трения. Однако в потоке реальной жидкости, включая случаи,
когда вязкость жидкости мала и в ядре потока можно пренебречь силами
трения, считая такую жидкость идеальной, существует тонкий слой, прилегающий к поверхности твердого тела, на который указанное приближение не распространяется. В этой достаточно узкой области потока сказывается тормозящее влияние поверхности и наблюдается резкое изменение
скорости в направлении нормали к поверхности от нулевого значения
(υпов = 0) до значения скорости в ядре потока, т. е. вдали от поверхности
(рис. 1.2). При этом возникают большие градиенты скорости, что, с учетом
закона Ньютона (1.3), определяет появление в этом слое значительных сил
трения, которыми пренебречь нельзя. Этот тонкий слой жидкости получил
название гидродинамического пограничного слоя.
С другой стороны, деление жидкости на ядро потока (в котором можно пренебречь силами трения и рассматривать в этой области жидкость как
идеальную) и пограничный слой (в котором сосредоточены все силы трения) позволяет существенно упростить аналитическое решение уравнения
Навье–Стокса и проинтегрировать его.
83
Явления, происходящие в гидродинамическом пограничном слое,
играют решающую роль в определении гидродинамического сопротивления при движении жидкости и, как будет показано далее, оказывают
существенное влияние на интенсивность процессов тепло= и массообмена,
протекающих между жидкостью и поверхностью твердого тела.
Движение жидкости в пограничном слое в зависимости от числа Рейнольдса может быть как ламинарным, так и турбулентным.
6.2.
Уравнения ламинарного пограничного слоя
Рассмотрим для простоты двухмерное обтекание плоской поверхности тела несжимаемой
жидкостью. Направим
ось х вдоль поверхности
по направлению потока,
а ось у – перпендикулярно к поверхности (рис.
6.1). Будем полагать поток стационарным и
массовые силы отсутствующими.
Тогда уравнения
Навье–Стокса (4.40) и уравнение неразрывности (4.19) принимают вид:
1 ∂p ⎛ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞
∂υ x
∂υ x
υx
+ ν⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟;
=−
+υ y
ρ ∂x ⎝ ∂x
∂y
∂x
∂y ⎠
2
2
∂υ y
∂υ y
1 ∂p ⎛⎜ ∂ υ y ∂ υ y ⎞⎟
υx
;
+υ y
=−
+ν
+
ρ ∂y ⎝⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎟⎠
∂x
∂y
(6.1)
∂υ x ∂υ y
= 0.
+
∂y
∂x
Обозначим скорость за пределами пограничного слоя (скорость набегающего потока) через U.
84
Поскольку вне пограничного слоя жидкость рассматривается как
идеальная, движение частиц которой происходит без угловой деформации
и, следовательно, не сопровождается вращением, то в указанной области
поток можно считать потенциальным.
Преобразуем систему уравнений (6.1) к безразмерному виду, воспользовавшись для этой цели в качестве характерных величин протяженностью поверхности тела в направлении обтекания L и скоростью набегающего потенциального потока U. В качестве масштаба преобразования
2
давления выберем удвоенный динамический напор потока ρU .
Тогда x = L x; y = L y;
υ x = Uυ x ; υ y = U υ y ; p = ρU 2 p.
Подставив соответствующие величины в первое из уравнений системы (6.1), получим:
∂υ x ⎞
U 2 1 ∂ p Uν ⎛⎜ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞⎟
U 2 ⎛ ∂υ x
⎜υ x
⎟=−
,
+
+
+υ y
∂ y ⎟⎠
L ρ ∂ x L2 ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠
L ⎜⎝ ∂ x
2
или после деления обеих частей уравнения на U /L
1∂p ν
∂υ
∂υ
+
υ x x +υ y x = −
ρ ∂ x UL
∂y
∂x
⎛ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞
⎟.
⎜
+
⎜ ∂ x2 ∂ y2 ⎟
⎝
⎠
Придав аналогичный вид второй компоненте системы (6.1), преобразуя к безразмерной форме уравнение неразрывности и замечая, что
UL/ν = Re – число Рейнольдса, определенное по скорости набегающего
потока, получим:
∂υ x
∂υ x
1 ∂ p 1 ⎜⎛ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞⎟
+υ y
=−
υx
;
+
+
∂x
∂y
ρ ∂ x Re ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠
1 ∂ p 1 ⎛⎜ ∂ 2υ y ∂ 2υ y ⎞⎟
∂υ y
∂υ y
υx
;
+υ y
=−
+
+
ρ ∂ y Re ⎝⎜ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠
∂x
∂y
(6.2)
∂υ x ∂υ y
+
= 0.
∂x
∂y
Такая форма записи уравнений движения удобна для осуществления
85
анализа порядка величины отдельных членов, входящих в эти уравнения, и
для выявления тех упрощений, которые могут быть сделаны при применении этих уравнений к пограничному слою.
Обозначим толщину пограничного слоя через δ и будем понимать
под этой величиной то расстояние от поверхности, на котором скорость
становится близка к скорости основного ядра потока U (см. рис. 6.1).
Прежде чем приступить к анализу уравнений (6.2), отметим, что безразмерная координата x изменяется в пределах от нуля до единицы (при
х = L). Безразмерной координатой y приходится в данной задаче оперировать только в пределах пограничного слоя, где ее значение изменяется в
интервале от нуля до δ , здесь δ = δ /L – безразмерная толщина пограничного слоя.
Безразмерная компонента скорости
υ x изменяется в пределах от
нуля до единицы (при υx= U, т. е. на внешней границе пограничного
слоя).
Обратимся далее к уравнению неразрывности:
∂υ x ∂υ y
+
=0
∂x ∂ y
Определяя порядок производной ∂υ x как отношение предельных
∂x
изменений величин υ x и x , находим, что она равна единице. Из рассматриваемого уравнения следует, что производная ∂υ y также имеет порядок,
∂y
равный единице, а так как предельное значение безразмерной координаты
y равно δ , то и предельный порядок величины y должен быть таким же.
Запишем теперь под членами первых двух уравнений системы (6.2) их
порядки и при сопоставлении отдельных членов этих уравнений друг с
другом будем считать δ << 1. Производную ∂ p , поскольку она не связа-
∂x
на с δ , следует рассматривать как величину конечную, и ее порядок можно
86
принять равным единице. Относительно порядка производной ∂ p нельзя
∂y
сделать никаких предварительных предположений. Таким образом, можем
написать:
1 ∂ p 1 ⎛⎜ ∂ 2υ x ∂ 2υ x ⎞⎟
∂υ x
∂υ x
+υ y
=−
+
+
;
υx
ρ ∂ x Re ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠
∂x
∂y
1⋅1
δ⋅
1
δ
1
1
1
δ
2
1 ∂ p 1 ⎛⎜ ∂ 2υ y ∂ 2υ y ⎞⎟
∂υ y
∂υ y
+
.
υx
+υ y
=−
+
ρ ∂ y Re ⎜⎝ ∂ x 2 ∂ y 2 ⎟⎠
∂x
∂y
1⋅ δ
δ⋅
δ
δ
δ
δ
δ
2
Очевидно, что в правой части первого уравнения можно пренебречь
величиной ∂ υ x
2
∂x
2
по сравнению ∂
υ x , порядок которой много больше
2
∂y
2
⎛
⎞
единицы. Из этого уравнения следует, что величина 1 ⎜ ∂ υ x ⎟ должна
Re ⎜⎝ ∂ y 2 ⎟⎠
2
иметь порядок, равный единице, т. е. такой же, как и все остальные члены
⎛ ∂ 2υ x ⎞
1
этого уравнения:
⎜
⎟ ~ 1. Отсюда вытекает, что порядок величины
2 ⎟
⎜
Re ⎝ ∂ y ⎠
1/Re равен δ 2 , а δ ~ 1 , или, учитывая, что δ = δ , имеем:
L
Re
L
(6.3)
δ~
Re
Поскольку в основе теории пограничного слоя лежит предположение
о том, что число Рейнольдса, характеризующее поток, велико, то из соотношения (6.З) становится очевидным, что толщина пограничного слоя δ
представляет ничтожно малую величину по сравнению с размерами обте87
каемого тела.
Как будет показано в дальнейшем, зависимость δ от числа Re,
выраженная соотношением (6.3), подтверждается точным расчетом.
Обратимся теперь ко второму уравнению. Порядок членов, содержащихся в левой части этого уравнения, равен δ , слагаемые, стоящие в скобках, после умножения на 1/Re приобретают соответственно порядки δ 3 и
δ , поэтому производная ∂ p также должна иметь порядок δ .
∂y
Следовательно, рассматриваемое уравнение можно полностью отбросить
и, в частности, пренебречь изменением давления в пограничном слое в
направлении, нормальном к поверхности, считая, что ∂ p = 0 .
∂y
Это означает, что в принятом приближении давление в пограничном
слое остается таким же, как вне пограничного слоя, и является функцией
только координаты х, поэтому в первом уравнении системы (6.2) можно
вместо частной производной ∂ p написать полную производную d p .
∂x
dx
Таким образом, из системы уравнений (6.2) второе уравнение можно
целиком исключить, а в первом сделать указанные упрощения. Возвращая
оставшимся уравнениям размерную форму, получим:
∂ 2υ
1 dp
∂υ x
∂υ x
x;
υx
=−
+ν
+υy
2
ρ dx
∂y
∂x
∂y
∂υ x ∂υ y
= 0.
+
∂y
∂x
(6.4)
Уравнения (6.4) называются уравнениями Прандтля для пограничного слоя. Будучи получены из уравнения Навье–Стокса, в котором пульсационные скорости в явной форме не представлены, поэтому они пригодны лишь для описания движения в ламинарном пограничном слое.
Применим к внешней границе пограничного слоя уравнение Бернулли для потенциального потока (4.63), в котором для данного случая геометрический напор γz рассматривается как величина постоянная:
88
ρU
2
2
+ p = const.
Дифференцируя это уравнение по х, находим
−
1 dp
ρ dx
=U
dU
dx
.
Подставляя это выражение в уравнение Прандтля, получим систему
уравнений ламинарного пограничного слоя в более удобной форме:
∂ 2υ
∂υ x
∂υ x
dU
x;
υx
=U
+ν
+υ y
2
∂y
∂x
dx
∂y
∂υ x ∂υ y
+
= 0.
∂x
∂y
(6.5)
Эти уравнения, полученные для случая обтекания плоской поверхности, пригодны и для искривленных поверхностей, если радиус кривизны
намного превосходит толщину пограничного слоя δ.
Граничные условия для указанных уравнений имеют вид:
при
у = 0; υx = υy = 0;
y = δ; υx = U.
(6.6)
Так как нами рассматривается случай, когда скорость в ядре потока
(вдали от поверхности твердого тела) U = const (см. рис. 6.1), то производная dU = 0 и уравнения (6.5) принимают более простой вид:
dx
∂υ
∂υ
∂υ
υ x x + υ y x = ν 2x ;
∂x
∂y
∂y
∂υ x ∂υ y
+
= 0.
∂x
∂y
2
(6.7)
Граничные условия для этих уравнений принимают вид:
при у = 0; 1.υx = υy = 0; 2.
∂ 2υ
∂y
x = 0;
2
89
y = δ; 3. υx = U;
4. ∂υ x = 0 .
∂y
(6.8)
6.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании
тонкой плоской пластины в продольном направлении
Рассмотрим двухстороннее обтекание плоской тонкой пластины стационарным потоком жидкости в условиях ламинарного режима движения.
Скорость набегающего потока U = const (рис. 6.2).
У поверхности пластины образуется пограничный слой жидкости δ, движение в котором описывается системой дифференциальных уравнений
Прандтля (6.7).
Наиболее простой, но приближенный метод решения системы уравнений (6.7) основан на сведении этой системы к так называемому уравнению импульсов Кармана:
d ⎡δ υ x ⎛
υx ⎞ ⎤ τw
1
−
⎟dy ⎥ = 2 ,
∫ ⎜
⎢
U
U
dx ⎣0 ⎝
⎠ ⎦ ρU
где
(6.9)
⎛ ∂υ ⎞
τ w = μ⎜⎜ x ⎟⎟ .
⎝ ∂y ⎠ y = 0
Уравнение Кармана решается с
учетом граничных условий (6.8).
Для решения уравнения (6.9)
необходимо найти вид функциональной зависимости υx = f (y) в пограничном слое δ.
Если распределение скорости в
пограничном слое выразить при помощи полинома, то в соответствии с числом граничных и дополнительных
условий, привлекаемых к решению рассматриваемой задачи (6.8), этот
полином должен иметь четыре члена
(6.10)
υ = a + a y + a y 2 + a y 3.
x
0
1
2
3
Применяя к полиному (6.10) поочередно условия (6.8), получим:
90
a0 = 0, a2 = 0;
a1δ + a3δ3 = U ;
a1 + 3a3δ 2 = 0.
Из последних двух уравнений находим: a1 =
(6.11)
3U
1U
; a3 = − 3 .
2δ
2δ
Подставив найденные значения коэффициентов в выражение (6.10),
получим уравнение распределения скоростей в пограничном слое:
⎡ 3 y 1 ⎛ y ⎞3 ⎤
− ⎜ ⎟ ⎥.
υx = U ⎢
2
δ
2 ⎝ δ ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
(6.12)
Далее находим значение интеграла в уравнении (6.9):
3
3 ⎫
δ⎧
⎤
⎤⎪
⎡
⎡
3
1
3
1
υ
y
y
y
y
39
⎪
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎞
x 1− x dy =
1
−
−
+
δ.
⎟
⎜ ⎟ ⎥⎢
⎜ ⎟ ⎥ ⎬dy =
∫ ⎨⎢
∫ ⎜
U ⎠
280
0U ⎝
0⎪
⎩⎢⎣ 2 δ 2 ⎝ δ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 δ 2 ⎝ δ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭
δυ
Определим также напряжение трения на поверхности пластины τw, причем значение градиента скорости находим, дифференцируя уравнение
(6.12) по у.
Имеем:
3 U
⎛ ∂υ ⎞
τ w = μ⎜ x ⎟ = μ .
⎝ ∂y ⎠ y = 0 2 δ
(6.13)
Подставляя полученные значения интеграла и τw в уравнение импульсов
(6.9), получаем следующее дифференциальное уравнение:
или
39 dδ 3 μ ,
=
280 dx 2 ρUδ
140 ν
δdδ =
dx.
13 U
(6.14)
В результате интегрирования уравнения (6.14)получаем:
δ=
280νx
+ C.
13U
Постоянная интегрирования С должна быть равна нулю, поскольку
при x = 0; δ = 0.
91
Следовательно, окончательно имеем:
δ = 4,64
νx .
(6.15)
U
Из уравнения (6.15) видно, что толщина ламинарного пограничного
слоя растет по мере удаления рассматриваемой точки от передней кромки
пластины по параболическому закону (см. рис.6.1, 6.2).
Умножив и разделив правую часть уравнения (6.15) на
дать ему более удобную форму:
δ = 4,64
x ,
Re x
x , можно при(6.16)
где Rex = Ux/ν – значение числа Рейнольдса, отвечающее расстоянию x
от передней кромки пластины.
Это равенство подтверждает общую зависимость (6.3), полученную из
анализа безразмерной формы уравнения Навье–Стокса.
Подставляя выражение (6.16) для δ в равенство (6.13), находим
значение напряжения трения на поверхности пластины как функцию x:
3
τ w = 3 μ U = 3 μU = 0,324 μρU .
x
2 δ 2⋅4,64 νx
U
(6.17)
При более точном решении уравнений (6.7) пограничного слоя вместо
(6.17) получим:
μρU 3
.
τ w = 0,332
x
(6.18)
Если поток жидкости обтекает пластину с обеих сторон, то при длине
L и ширине, равной единице, полное сопротивление трения будет равно:
L
F = 2 ∫ τ w dx.
0
При подстановке выражения (6.18) имеем:
3
L
dx
0
x
F = 2 ⋅ 0,332 μρU ∫
92
= 1,328 μρU 3 L .
(6.19)
Часто вместо силы сопротивления оперируют коэффициентом сопротивления, определяемым как безразмерное отношение силы сопротивле2
ния F к динамическому напору потока ρU /2 и смоченной поверхности S
(в данном случае S = 2L·1):
μ ,
1,328 μρU 3 L
F
Cf =
1
,
328
=
=
ULρ
ρU 2
ρU 2 L
⋅S
2
1,328 ,
или
(6.20)
Cf =
Re
где Re = ULρ/μ – число Рейнольдса, определенное по длине пластины L.
6.4.
Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской
пластины
Ранее было показано [уравнение (6.15) или (6.16)], что по мере удаления от передней кромки пластины толщина пограничного слоя δ растет.
При этом увеличивается и выраженное через δ число Рейнольдса:
Reδ = Uδ/ν. За сечением, в котором это число достигает критического
значения Reδ = Reδкр, течение в пограничном слое становится турбулентным (рис. 6.3). Однако и в этом случае в непосредственной близости к поверхности пластины движение остается ламинарным. Данная область течения жидкости представляет собой знакомый нам ламинарный подслой.
Рис. 6.3. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине.
93
Перестройка ламинарного пограничного слоя в турбулентный в действительности совершается не сразу в критическом сечении, а в некоторой,
следующей за ним, переходной области.
Значение числа Reδкр зависит от состояния поверхности (степени ее
шероховатости) и степени турбулентности набегающего потока.
По имеющимся экспериментальным данным можно принять, что для
пластины Reδкр = 1650 – 5750.
Указанным пределам для Reδкр отвечают следующие значения числа
Reхкр = Uxкр/v, выраженного через координату х критического сечения:
Reхкр = 9·104 – 1,1· 106.
При больших значениях числа Re = UL/ν xкр может оказаться величиной, относительно малой по сравнению с длиной пластины L.
7
5
Так, например, при Re = UL/v = 10 и Reх кр = 10 будем иметь:
xкр Re x кр 105
=
= 7 = 0,01.
L
Re
10
Это означает, что длина ламинарного участка пограничного слоя составляет всего лишь один процент длины пластины. В подобных случаях
наличием этого участка пограничного слоя можно пренебречь и считать
его турбулентным для всей длины пластины.
Для описания поля скоростей в турбулентном пограничном слое применяют законы распределения скоростей для турбулентного движения в
цилиндрической трубе, как логарифмический, так и степенной.
Мы ограничимся применением степенного закона.
Заменив в уравнениях (5.27) обозначение осредненной скорости υ нa
υx и введя вместо максимальной скорости на оси трубы υ max скорость
набегающего потока U, а вместо радиуса трубы R0 толщину пограничного слоя δ, можем написать:
1
⎛ υ∗ y ⎞ 7
υ x = 8,57
⎜
⎟ ;
ν
υ∗
⎝
⎠
94
1
⎛ υ∗ δ ⎞ 7
U
= 8,57⎜
⎟ ;
υ∗
⎝ν ⎠
(6.21)
1
y ⎞7
υx
⎛
=⎜ ⎟ .
U ⎝δ⎠
Соотношения (6.21) выражают распределение скорости по толщине
турбулентного пограничного слоя.
Опуская подробный вывод, укажем, что использование равенств (6.21)
совместно с уравнением Кармана (6.9), которое для турбулентного пограничного слоя имеет тот же вид, что и для ламинарного слоя, позволяет
получить выражение для толщины турбулентного пограничного слоя:
δ тур = 0,376
x
Re 0x,2
(6.22)
Из уравнения (6.22) видно, что толщина турбулентного пограничного
4/5
слоя растет пропорционально х , тогда как при ламинарном пограничном
слое [уравнение (6.15)] она меняется пропорционально x .
Следовательно, турбулентный пограничный слой растет по координате х более интенсивно, чем ламинарный.
На основе уравнения (6.22) для толщины пограничного слоя можно
получить выражение для коэффициента сопротивления при турбулентном
течении вдоль пластины:
Cf =
0,074
Re0,2
(6.23)
Сравнение этой формулы с формулой (6.20) показывает, что в турбулентном пограничном слое коэффициент сопротивления значительно
6
выше, чем в ламинарном. Так, например, если Re = 10 , коэффициент сопротивления при ламинарном пограничном слое согласно формуле (6.20)
составит: C = 1,328 = 1,328 ⋅10 − 3 , тогда как по формуле (6.23) для турf
106
булентного пограничного слоя получим: C = 0,074 = 5,6 ⋅10− 3 ,
f
(10 )
6 0,2
95
т. е. в четыре с лишним раза больше, чем при ламинарном слое.
Таким образом, переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный сопровождается резким увеличением коэффициента сопротивления.
Опыты показывают, что формула (6.23), как и лежащий в ее основе закон
корня седьмой степени, применимы лишь при не слишком больших числах
Рейнольдса (<107). При более высоких значениях Re эта формула дает
заниженные результаты. Хорошее согласие с экспериментом для чисел
Re, больших 107, дает эмпирическая формула Фолкнера:
0,0367
(6.24)
Cf =
.
1/ 7
Re
Ламинарный подслой
Так как у поверхности турбулентность исчезает, то Прандтль выдвинул гипотезу, что между поверхностью твердого тела и турбулентным
пограничным слоем существует ламинарный (или вязкий) подслой толщиной δ* (рис. 6.3).
В ламинарном подслое отсутствует турбулентное перемешивание и
ламинарный режим движения обусловлен значительными силами трения
при μ >> μтур6. В основном ядре потока теплопроводностью и трением
можно пренебречь в сравнении с интенсивностью турбулентного обмена:
μ << μтурб, λ << λтурб.
Интенсивность теплообмена определяется переносом теплоты в вязком подслое у поверхности твердого тела, и ее увеличение возможно за
счет интенсификации процессов переноса именно в ламинарном слое.
В пределах ламинарного подслоя от у = 0 до у = δ* скорость υx меняется линейно от 0 до υ*. Для оценки толщины ламинарного подслоя δ*
и скорости на его границе υ* можно использовать эмпирические формулы:
δ∗ = 194
υ
∗
U
96
=
δ
;
0, 7
Re x
2,12
.
Re 0x,1
(6.25)
6.5. Отрыв пограничного слоя при обтекании плохообтекаемых тел.
Кризис сопротивления
В отличие от пластины при обтекании тел с искривленными поверхностями давление не остается постоянным вдоль поверхности, а меняется
с изменением скорости во внешнем по отношению к пограничному слою
потоке идеальной жидкости (т. е. вдали от поверхности) в соответствии с
уравнением Бернулли (4.63).
В точке набегания потока скорость минимальна, а давление имеет
максимальное значение. По мере удаления от точки набегания потока скорость будет расти, а давление уменьшаться до некоторого минимального
значения (в точке М на рис. 6.4). В дальнейшем скорость во внешнем потоке начинает уменьшаться, а давление соответственно возрастать.
Такое распределение давления вдоль обтекаемой поверхности вызывает изменение картины распределения скоростей в пограничном слое по
мере перехода от лобовой части тела к кормовой.
В области, расположенной вниз по течению от точки М, движение
частиц жидкости должно сопровождаться преодолением возрастающего
давления, что происходит с частицами, находящимися во внешнем потоке,
Рис. 6.4. Отрыв пограничного слоя при обтекании плохообтекаемого тела
и обладающими достаточно большим запасом кинетической энергии.
Кинетическая энергия частиц жидкости, движущихся в пограничном слое,
мала, и их продвижение в области растущего давления не может быть значительным. В точке S кинетическая энергия частиц иссякает, они вынуж97
дены остановиться, а правее указанной точки в пограничном слое начинается обратное движение жидкости. Этот процесс способствует отрыву пограничного слоя от поверхности и определяет начало образования вихря.
∂υ x ⎞
Точка S, в которой ⎛⎜
⎟
⎝ ∂y ⎠ y = 0
= 0, называется точкой отрыва пог-
раничного слоя.
Образование вихрей на кормовой стороне поверхности сопровождается понижением давления. Вследствие этого между лобовой и кормовой
частями поверхности возникает перепад давления, который сказывается
как дополнительное сопротивление тела, называемое сопротивлением
давления, или лобовым сопротивлением.
Сопротивление давления, которое прибавляется к сопротивлению,
обусловленному вязкостью, часто во много раз превосходит последнее.
При достаточно больших значениях числа Рейнольдса оно может
составить до 90 % общего сопротивления.
Типичными плохообтекаемыми телами являются шар и цилиндр,
обтекаемый в поперечном направлении.
Если обтекание такого тела происходит с образованием ламинарного
пограничного слоя, то точка отрыва располагается впереди экваториального сечения, примерно под углом φ = 82 – 83° к направлению потока (рис.
6.5).
При Re = Ud/v > Reкр
(где d – диаметр шара или цилиндра) ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный, в котором частицы жидкости благодаря более интенсивному
обмену количеством движения
с внешним потоком обладают
большим запасом кинетической
энергии, чем в ламинарном слое, вследствие чего возможно продвижение
указанных частиц несколько дальше в области растущего давления.
По этой причине точка отрыва смещается за экваториальное сечение
98
до
φ = 120 –140° (рис. 6.6).
Одновременно сужается вихревая область, что приводит к уменьшению лобового и, следовательно, общего сопротивления.
Таким образом, турбулизация пограничного слоя у поверхности
плохо обтекаемых тел вызывает резкое понижение сопротивления, тогда
как для хорошо обтекаемых тел этот процесс, наоборот, сопровождается
ростом сопротивления. Это явление называется кризисом сопротивления
или кризисом обтекания.
Часто, чтобы вызвать кризис обтекания, прибегают к искусственной
турбулизации течения в пограничном слое. С этой целью устанавливают,
например, впереди шара решетку, которая турбулизует поток. Такого же
эффекта можно добиться, если надеть на переднюю часть шара узкое проволочное кольцо (рис. 6.7).
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ДИФФУЗИИ
7.1. Дифференциальные уравнения молекулярной и
конвективной теплопроводности
Закон молекулярной теплопроводности Фурье (2.1) описывает стационарные процессы переноса тепла в неподвижной среде. Мы перейдем к
рассмотрению нестационарных процессов теплообмена. В этих процессах
основной интерес представляет изменение температуры с течением времени, что на языке математики может быть описано с помощью производной
99
dT/dt. Наша задача состоит в том, чтобы определить эту производную для
любой точки пространства, в котором происходит теплообмен.
Рассмотрим вывод дифференциального уравнения молекулярной теплопроводности, который можно получить на основе закона сохранения
энергии.
Как известно, молекулярный перенос тепла происходит в твердых
телах и неподвижных жидкостях или газах.
Однако если жидкость или газ находятся в неоднородном температурном поле, то движение возникает за счет конвекции и конвективный
перенос тепла может быть в этом случае определяющим.
Рассмотрим твердое тело, нагреваемое внешним источником и, следовательно, находящееся в неоднородном температурном поле.
Для вывода дифференциального уравнения выделим элемент объема
тела в форме параллелепипеда с размерами ребер δx, δy, δz (рис. 7.1) и
найдем количество тепла
dQ1 , которое поглощается элементарным объемом за бесконечно малый
промежуток времени dt.
Поскольку за время dt
температура нашего элементарного объема изменится на дифференциальную величину dT, его теплофизические характеристики (λ, ρ и Ср) можно
считать постоянными.
Пользуясь законом молекулярной теплопроводности Фурье (2.1),
составим тепловой баланс для выделенного элемента. Рассмотрим расчет в
качестве примера тепловых потоков через грани, нормальные к оси x.
Тепловой поток, входящий в элемент в направлении координаты x за время dt, составит dQx, а выходящий соответственно – dQx+δx.
100
Разность входящего и выходящего из элементарного объема тепловых
потоков составит:
(dQ¹)x = dQx – dQx+δx.
Пользуясь разложением в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми двумя членами разложения вследствие малости δх, имеем:
∂ (dQx )
δx .
∂x
∂ (dQx )
(dQ1 ) x = −
δx
∂x
dQx +δx = dQx +
Тогда
Количество тепла, входящее в левую грань элементарного параллелепипеда, подсчитаем с помощью закона молекулярной теплопроводности
Фурье (2.1):
q =− λ
q=
где
dT
dn
Q
(Вт/м2)
S ⋅t
Тогда выражение для входящего теплового потока dQx получим в
dQx = qx δSx dt,
∂T
qx = − λ
и
∂x
виде:
где
δS x = δyδz .
Далее находим:
∂T
δyδzdt
∂x
∂
∂T
(dQ1 ) x = − ( − λ
δyδzdt )δx .
∂x
∂x
d Qx = − λ
и
Отсюда
(dQ ) x = λ
или
(dQ ) x = λ
1
1
∂ 2T
∂x
2
∂ 2T
∂x
2
δxδyδzdt ,
δVdt .
Аналогично
101
(dQ ) y = λ
1
(dQ ) z = λ
1
∂ 2T
∂y
2
∂ 2T
∂z
2
δVdt ;
δVdt ,
где δV – элемент объема.
Таким образом, количество тепла, поглощенное элементарным объемом за время dt, равно
dQ = λ(
1
или
∂ 2T
∂x
2
+
∂ 2T
∂y
2
dQ1 = λ∇2T δV dt.
+
∂ 2T
∂z
2
)δVdt ,
(7.1)
Это же количество тепла с учетом закона сохранения энергии можно
также подсчитать с учетом изменения температуры элемента:
dQ1 = Сpδm dT,
или
(7.2)
dQ1 = СpρδV dT.
Установим связь изменения температуры со временем:
dT = ∂T dt .
∂t
(7.3)
Тогда получим:
dQ1 = Сpρ δV ∂T dt.
∂t
(7.4)
Приравнивая правые части уравнений (7.1) и (7.4), находим:
или
∂T
λ
=
∇ 2Т ,
∂t С р ⋅ ρ
(7.5)
∂T
= а∇ 2Т .
∂t
(7.6)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением молекулярной
теплопроводности Фурье. Оно устанавливает связь между временным и
пространственным изменениями температуры при распространении тепла
в неподвижной среде.
102
Если внутри рассматриваемого элемента имеется источник тепла с
объемной производительностью Qв (Вт/м3), то за время dt в элементе
объема δV выделится QвδVdt (Дж). Это количество тепла должно быть
учтено в общем тепловом балансе.
В таком случае имеем:
Сpρ δV ∂T dt = λ ∇2T δV dt + Qв δV dt,
∂t
откуда, после сокращения на δV·dt и деления обеих частей уравнения на
Сpρ, получим дифференциальное уравнение теплопроводности при
наличии внутренних источников тепла:
∂T
Q
= a∇ 2T + в .
∂t
Ср ⋅ρ
(7.7)
Если неоднородное температурное поле в неподвижной среде поддерживается постоянным во времени, то для любой точки среды
∂T = 0 и
∂t
уравнение (7.6) для молекулярной теплопроводности при отсутствии внутренних источников тепла принимает вид:
∇ 2Т = 0 .
(7.8)
Это выражение называют уравнением Лапласа. Из него следует, что
характер температурного поля в неподвижной среде в отсутствие внутренних источников тепла не зависит от физических свойств среды. Иногда
уравнение Лапласа используют и для нестационарных процессов с целью
определения мгновенного распределения температуры в сплошной среде.
Если перенос тепла происходит в движущейся среде, то тепло переносится вместе с массами движущейся жидкости и имеет место конвективный теплообмен. Дифференциальное уравнение конвективной теплопроводности можно вывести аналогичным способом, который мы использовали для получения дифференциального уравнения молекулярной теплопроводности. Но мы должны учесть, что при рассмотрении теплообмена в
движущейся среде полная производная от температуры по времени будет
складываться как из локальной, так и из конвективной составляющих.
В самом деле, если частицы жидкости движутся, то через каждую
точку пространства за время dt будут проходить разные частицы, и если
103
температурное поле неоднородное, то при вычеслении производной
dT нужно учесть, что T = f(x, y, z). Тогда получим:
dt
dT = ∂T + ∂T dx + ∂T dy + ∂T dz ,
dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
или
dT ∂T ∂T
∂T
∂T
=
+
υx + υ y + υz .
∂y
dt ∂t ∂x
∂z
Окончательно имеем:
dT = ∂T + (υ ⋅ ∇)T .
dt ∂t
(7.9)
Таким образом, в случае конвективного теплообмена в уравнении
Фурье следует заменить локальную производную на полную, т. е. дополнить локальную составляющую конвективной производной:
∂T
+ (υ ⋅ ∇)T = a∇ 2T .
∂t
(7.10)
Последнее уравнение именуется дифференциальным уравнением
конвективной теплопроводности Фурье.
Поскольку в уравнение конвективной теплопроводности входит скорость потока, при анализе процессов конвективного теплообмена уравнение Фурье должно быть дополнено основными уравнениями гидродинамики: уравнением движения вязкой жидкости Навье–Стокса (4.38) и уравнением неразрывности (4.19). Для несжимаемой жидкости, наиболее часто
используемой на практике, эти уравнения имеют вид:
∂υ
1
+ (υ ⋅ ∇)υ = F − gradP + ν∇ 2υ ;
∂t
ρ
div υ = 0 .
7.2.
Условия однозначности. Временные и граничные условия для
тепловой задачи
Для решения дифференциального уравнения Фурье требуется двукратное интегрирование, следовательно, решение будет содержать две
произвольные постоянные.
104
Отсюда следует, что уравнение имеет множество решений, описывающих семейство тепловых явлений. Для того чтобы получить однозначное
решение для конкретной тепловой задачи, необходимо задать так называемые условия однозначности, т. е. ряд дополнительных условий, которые
выделяют рассматриваемое тепловое явление из множества, ему подобных.
Условия однозначности включают:
– геометрические условия, определяющие форму и размер пространства, в котором протекает тепловой процесс;
– физические условия, задающие теплофизические свойства среды
(теплоемкость, плотность, теплопроводность);
– временные условия, которые характеризуют распределение температуры в пространстве в определенный момент времени;
– граничные условия, формулирующие условия теплообмена на границе раздела двух сред.
Условия однозначности – это по существу данные, которые задаются
в условии задачи. Временные условия чаще всего являются начальными,
так как задают распределение температуры в начальный момент времени,
причем используются в случае нестационарных задач и исключаются для
стационарных. Математическая формулировка временного условия:
Tо= f (x, y, z) для t = tо (обычно t = 0).
Граничные условия могут быть заданы по-разному. Граничное условие первого рода сводится к заданию распределения температуры на поверхности рассматриваемой среды как функции координат поверхности и
времени:
Тп = f (x, y, z, t).
Граничное условие второго рода заключается в задании распределения плотности теплового потока на поверхности среды как функции координат и времени:
qп = f (x, y, z, t).
Наибольшее практическое значение имеет граничное условие треть-
105
его рода, которое формулируется на основе закона сохранения энергии на
границе раздела ‹‹ твердое тело – окружающая среда ›› (газ или жидкость).
Это условие заключается в задании температуры поверхности твердого
тела Тп , контактирующей с ним среды Тср и закона теплообмена на
границе двух сред.
Для определенности будем считать, что Тср > Тп, т. е. тепло переносится от среды к поверхности твердого тела. На границе раздела двух сред
можно выделить два тепловых потока: от среды к поверхности и поток,
распространяющийся в тонком поверхностном слое твердого тела.
На основе закона сохранения энергии плотности этих двух тепловых
потоков должны быть равны.
Плотность теплового потока в твердом теле можно подсчитать по
закону молекулярной теплопроводности Фурье:
q1 = − λ ( dT )п ,
dn
где градиент температуры берется в тонком поверхностном слое твердого
тела.
Плотность теплового потока от среды к поверхности твердого тела
рассчитывают по закону нагревания или охлаждения Ньютона –
Рихмана:
q = α (Tср − Tп)
(7.11)
2
Согласно уравнению (7.11) закон теплообмена устанавливает пропорциональность между плотностью теплового потока и температурным
напором на границе двух сред. Коэффициентом пропорциональности служит величина, называемая коэффициентом теплоотдачи или теплообмена. Размерность коэффициента теплоотдачи следующая:
[α] = Дж/(м2·с·К) = Вт/(м2·К).
Коэффициент теплоотдачи – это плотность теплового потока при
единичном температурном напоре (единичном перепаде температур между
твердым телом и контактирующей средой).
В отличие от коэффициента теплопроводности, коэффициент теплоотдачи не является теплофизической характеристикой среды. Его численное значение определяется условиями теплообмена на границе раздела
двух сред: скорости обтекающего потока, характера потока (ламинарный,
106
турбулентный), формы обтекаемого тела, природы контактирующих фаз и
др. Среди этих факторов решающая роль принадлежит скорости движения
жидкости или газа.
Приравнивая плотности двух тепловых потоков на границе раздела
двух сред, получим математическое выражение граничного условия третьего рода для процессов молекулярной теплопроводности:
α (Tср − Tп) = − λ (
∂T
)п .
∂n
(7.12)
Если температура окружающей среды меньше температуры поверхности твердого тела, направление переноса тепла меняется на противоположное, вследствие чего в уравнениях (7.11) и (7.12) величины Тср и Тп
следует поменять местами.
Граничные условия для дифференциального уравнения конвективной
теплопроводности Фурье устанавливают значения скорости и температуры поверхности раздела между жидкостью и обтекаемым ею твердым телом. Граничное условие для скорости вязкой жидкости – равенство ее нулю
на поверхности твердого тела. Граничное условие для температуры фиксирует тот факт, что тонкий слой жидкости, непосредственно примыкающий
к поверхности твердого тела, имеет такую же температуру, как и сама
поверхность.
Для решения задач конвективного теплообмена широко используется
граничное условие третьего рода. В нем также приравниваются две плотности теплового потока. Как и для процессов молекулярной теплопроводности, первая из них характеризует перенос тепла от среды к поверхности
обтекаемого твердого тела:
q = α (Tср − Tп ) .
2
Эта плотность теплового потока приравнивается к плотности теплового
потока в тонком слое жидкости, примыкающем к поверхности твердого
тела. Поскольку скорость данного слоя близка к нулю, перенос тепла в нем
подчиняется закону молекулярной теплопроводности Фурье:
107
q = −λ (
1
∂T
,
)
∂n вбл.пов
где градиент температуры берется в тонком поверхностном слое со стороны жидкости.
Таким образом, по внешнему виду граничное условие третьего рода
α (Tср −T1) = −λ ( ∂T ) вбл. пов
∂n
(7.13)
для конвективной теплопроводности почти не отличается от соответствующего условия для молекулярной теплопроводности. Однако различие в
физическом содержании этих условий для молекулярного и конвективного
теплообмена весьма велико. Оно состоит в том, что теплопроводность в
граничном условии третьего рода для конвективной теплопроводности
относится не к твердому телу, как для молекулярной теплопроводности, а
к контактирующей с ним среде (жидкости или газу), а градиент температуры берется в тонком поверхностном слое со стороны жидкости, а не
твердого тела. Кроме того, коэффициент теплоотдачи в задачах молекулярной теплопроводности должен быть известен из условия задачи, в то
время как в задачах конвективного теплообмена он является определяемой
величиной.
Чтобы составить представление о порядке величины коэффициента
теплоотдачи α, приведем его численные значения для некоторых процессов теплообмена (Вт/(м2· K):
Вынужденная конвекция газов.. 30 – 5·102
Свободная конвекция воды........ 102 – 103
Кипящая вода …………………. 2·103 – 4·104
7.3.
Дифференциальные уравнения молекулярной
и конвективной диффузии
Дифференциальное уравнение молекулярной диффузии может быть
выведено точно таким же путем, каким было получено дифференциальное
уравнение молекулярной теплопроводности. Для этого нужно рассмотреть
108
выделенный в неподвижной среде элементарный параллелепипед с гранями, нормальными к координатным осям, который находится в неоднородном концентрационном поле (рис. 7.2).
Тогда указанный элементарный объем будет пронизывать поток диффундирующего вещества, и количество вещества, входящее в параллелепипед, окажется больше количества вещества, выходящего из него.
Задача состоит в том, чтобы найти, изменение концентрации растворенного вещества со временем в каждой точке пространства, в котором происходит перенос вещества.
С этой целью следует подсчитать изменение количества диффундирующего вещества в нашем элементарном объеме за время dt, что можно
осуществить двумя способами.
С одной стороны, количество вещества можно найти как разность
1
массы вещества, входящей и выходящей из элементарного объема dm .
Количество входящего вещества (dmx, dmy и dmz) рассчитывается с
помощью значения плотности диффузионного потока:
dmi = ji ·dSi· dt.
Используя закон молекулярной диффузии Фика
(2.4), опустив все промежуточные выкладки, напишем
по аналогии с уравнением
(7.1):
dm1 = D∇2 С· δV· dt. (7.14)
То же самое количество вещества определим с
учетом увеличения концентрации в элементарном
объеме за время dt, поэтому имеем:
dm1 = dС δV,
или
dm1 = (∂С/∂t)dt δV.
(7.15)
109
Приравнивая выражения (7.14) и (7.15) и производя сокращения, получаем:
∂С = D ∇ 2С .
∂t
(7.16)
Получили дифференциальное уравнение молекулярной диффузии
Фика.
По своему физическому содержанию уравнение (7.16) аналогично
дифференциальному уравнению молекулярной теплопроводности Фурье.
Оно выражает связь между временным и пространственным изменением
концентрации при переносе вещества в неподвижной среде.
Коэффициент диффузии D играет роль параметра, от которого зависит скорость изменения концентрационного поля.
Для стационарного поля концентраций ∂C/∂t = 0 уравнение (7.16)
2
упрощается и переходит в уравнение Лапласа ∇ C = 0.
Условия однозначности для диффузионных задач аналогичны таковым
для задач теплопроводности. Временные условия задают распределение
концентрации в пространстве для определенного (обычно начального)
момента времени. Граничное условие первого рода сводится к заданию
концентрации диффундирующего вещества в тонком поверхностном слое
как функции координат и времени:
Сп = f (x, y, z, t).
Граничное условие второго рода задает плотность диффузионного потока
на поверхности:
jп = f (x, y, z, t).
В граничном условии третьего рода для молекулярной диффузии задаются концентрации диффундирующего вещества в среде Сcр и на поверхности твердого тела Сп, а также закон массообмена между поверхностью тела и окружающей средой, форма выражения которого аналогична
закону нагревания или охлаждения Ньютона–Рихмана:
j = α д (Сср − Сп ) ,
(7.17)
где αд именуется коэффициентом массоотдачи или массообмена.
Он имеет смысл плотности диффузионного потока при единичном
концентрационном напоре между средой и поверхностью твердого тела:
110
[ j]
кг/м 2 с м
= =
= .
[α д ] =
3
[ΔC ]
с
кг/м
Подобно коэффициенту теплоотдачи α, величина αд зависит от условий
обтекания поверхности твердого тела окружающей средой, в первую
очередь от скорости потока жидкости или газа.
По закону сохранения массы количество вещества, поступающее благодаря конвекции из окружающей среды к поверхности твердого тела (или
переходящее в обратном направлении, если Cп > Cср), должно быть равно
массе вещества, которое диффундирует от поверхности раздела фаз в
объем твердого тела (или подводится к этой границе изнутри тела) посредством молекулярной диффузии, поэтому имеем:
α д (Сср − Сп ) = − D (
∂C
)п .
∂n
(7.18)
Здесь градиент концентрации относится к тонкому поверхностному
слою со стороны твердого тела. Уравнение (7.18) представляет математическую форму выражения граничного условия третьего рода для молекулярной диффузии.
Если в уравнении (7.16) для молекулярной диффузии заменить локальную производную ∂С/∂t на полную производную от концентрации по
времени, получим дифференциальное уравнение конвективной диффузии
Фика:
dС = ∂С + (υ ⋅ ∇)C = D ∇ 2С .
dt ∂t
(7.19)
К уравнению переноса вещества в движущейся среде следует присоединить уравнение движения жидкости и уравнение неразрывности. Для
вязкой жидкости эти уравнения соответствуют соотношениям (4.38) и
(4.19).
Выбор граничных условий в задачах конвективной диффузии может
определяться характером кинетики химического взаимодействия поверхности тела с диффундирующим веществом.
Если при этом скорость реакции намного превосходит скорость диффузии, то концентрация диффундирующего вещества у поверхности будет
близка к нулю и граничное условие примет вид:
111
Cп ≅ 0.
В обратном случае, когда скорость диффузии преобладает над скоростью реакции, можно принять, что вблизи поверхности концентрация
диффундирующего вещества практически постоянна и граничное условие
приобретает вид:
(
∂С
) вбл. пов = 0 .
∂n
В случае, если твердое тело растворяется в обтекающей его жидкости,
концентрация в тонком слое жидкости, непосредственно примыкающем к
поверхности, соответствует насыщенному раствору и граничное условие
имеет вид: Cп = Cнас.
Может быть также использовано граничное условие третьего рода
для конвективной диффузии, которое по внешнему виду аналогично
таковому для молекулярной диффузии:
α д (Сср − Сп ) = − D (
∂C
) вбл. пов .
∂n
(7.20)
Различие в физическом содержании состоит в том, что, во-первых,
градиент концентрации относится к тонкому слою жидкости, примыкающему к поверхности твердого тела. Во-вторых, коэффициент диффузии D
относится к растворенному веществу в жидкости. Также следует отметить,
что в задачах конвективной диффузии αд является определяемой характеристикой процесса.
8. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА И
РАСТВОРЕННОГО ВЕЩЕСТВА
8.1. Стационарный перенос тепла через плоскую стенку
Рассмотрим пластину толщиной δ, находящуюся в стационарном
неоднородном поле температур (рис. 8.1). Если длина и высота пластины
значительно превосходят ее толщину, то такая пластина называется неограниченной. В теплотехнике неограниченную пластину принято имено112
вать плоской стенкой.
Пусть заданы температуры на поверхностях пластины Т1 и Т2 (граничные условия первого рода). Так как температурное поле стационарное,
температуры Т1 и Т2 являются постоянными. Совместим направление оси
x с направлением теплового потока.
В нашем случае температура
будет меняться только в направлении оси x, т. е. мы имеем дело с
одномерной тепловой задачей.
Дифференциальное уравнение молекулярной теплопроводности Фурье в этом случае представим в виде:
∂T = a ∂ 2T .
∂t
∂x 2
Поскольку поле температур стационарное, то ∂Т/∂t = 0 и, следовательно,
2T
d
приходим к одномерному уравнению Лапласа:
= 0 . (8.1)
dx 2
Определим закон распределения температуры по толщине пластины.
Для этого интегрируем дважды последнее уравнение:
dТ/dx = C1,
T= C1x + C2.
(8.1, а)
Постоянные интегрирования определим из граничных условий:
при
x = 0; T = T1;
x = δ; T = T2.
Следовательно, имеем:
C1= (Т2 – Т1)/δ.
Подставив значения C1 и C2 в уравнение (8.1), получим распределеC2 = Т1 и
ние температуры по толщине стенки:
113
T=
T2 − T1
x + T1 .
δ
(8.2)
Согласно уравнению (8.2) в стенке, не содержащей внутренних источников
тепла, температура является линейной функцией от координаты.
Определим далее плотность теплового потока, проходящего через
пластину. С учетом закона молекулярной теплопроводности Фурье (2.1)
получим:
q=− λ
dT
.
dx
Дифференцируя уравнение (8.2) по x, находим:
dT T2 − T1
.
=
δ
dx
T −T
T − T2
Следовательно, имеем: q = − λ 2 1 = λ 1
.
δ
δ
(8.3)
Таким образом, плотность теплового потока через плоскую стенку
прямо пропорциональна теплопроводности материала, температурному
напору ΔТ и обратно пропорциональна толщине стенки.
Сокращенно последнее уравнение можно записать:
q=
ΔT
.
δ/λ
(8.4)
Сравним это уравнение с выражением для плотности электрического
тока, записанным в соответствии с законом Ома:
ΔU
j = ΔU =
R ⋅S l / χ
⎛
⎜R =
⎜
⎝
l ⎞⎟
.
χ ⋅ S ⎟⎠
Рассмотрим единичную поверхность и сопоставим смысл величин,
входящих в тепловое и электрическое уравнения. Можно видеть, что
понятие плотности тока (заряд, переносимый через единичную поверхность за единицу времени) по своему смыслу аналогично понятию плотности теплового потока. В числителях правых частей уравнений также
стоят разности соответствующих величин: перепад температур в тепловом
уравнении и перепад напряжений в электрическом. Естественно приписать
знаменателям уравнений родственный смысл. Так, по аналогии с электри114
ческими процессами отношение δ/λ для тепловых процессов получило
наименование теплового сопротивления. Для процессов молекулярной
теплопроводности δ/λ называется удельным внутренним тепловым
сопротивлением, размерность которого следующая:
2
⎡δ⎤ м ⋅ м ⋅ К м К
⎢⎣ λ ⎥⎦ = Вт = Вт .
Понятие теплового сопротивления существенно облегчает анализ
процесса переноса тепла в многослойной стенке.
Рассмотрим плоскую стенку, состоящую из трех слоев (рис. 8.2).
Пусть толщины слоев соответственно равны δ1, δ2 и δ3, а их теплопроводности – λ1, λ2, и λ3. Определим температуры на стыках слоев.
То, что мы рассматриваем стационарный процесс, означает, что нагрев пластины осуществляется внешним источником с постоянной мощностью.
Следовательно, тепловой поток и
соответственно плотность теплового
потока есть величины постоянные.
Выразим плотность теплового потока
для каждого слоя:
q=
T1 −T2
;
δ1 / λ1
q=
(8.5)
T2 − T3
T − T4
и q= 3
.
δ2 / λ 2
δ3 / λ 3
(8.6)
С учетом уравнений (8.6) имеем:
T2 = T1 − q
δ
δ1
и T3 = T4 + q 3 .
λ1
λ3
Плотность теплового потока можно найти, просуммировав уравнения
(8.5 – 8.6):
115
q
Отсюда:
δ
δ1
δ
+ q 2 + q 3 = T1 − T4 .
λ1
λ2
λ3
q=
T1 − T4
.
δ1 δ 2 δ3
+
+
λ1 λ 2 λ 3
(8.7)
Это уравнение можно обобщить для случая пластины, состоящей из n
слоев:
q=
T1 − Tn +1
.
δi
∑ λ
i
n
(8.8)
Искомые температуры T2 и T3 на стыках слоев можно найти графически
(рис. 8.3). Для этого по оси
абсцисс следует отложить
значения тепловых сопротивлений отдельных слоев,
а по оси ординат значения
известных температур на
внешних поверхностях
стенки.
Их соединяют прямой линией. Восстановив
перпендикуляры на границах слоев до пересечения с
этой прямой, мы получим значения искомых температур на стыках слоев.
Действительно, наклон прямой ΔТ/(δ/λ) равен плотности теплового
потока, которая в нашей задаче является величиной постоянной.
Во многих случаях значения температур наружных поверхностей
стенки оказываются неизвестными, а бывают заданы лишь температуры
сред, которые их омывают (Tср,1 и Tср,2).
Если температуры различны, то происходит перенос тепла от одной среды
к другой через разделяющую их стенку. Такой процесс в теплотехнике
называют теплопередачей (рис. 8.4) .
116
Для решения задачи определения температур на поверхностях стенки и плотности теплового потока в ее условии должны быть заданы толщина стенки δ и теплопроводность λ, а также коэффициенты теплоотдачи α1
и α2.
Рассмотрим теплопередачу через однослойную стенку (см. рис. 8.4).
Пусть Tср,1 > Tср,2. Запишем
тремя разными способами выражение для плотности теплового потока:
q = α1 (Tср,1 − Tп,1 ) ; (8.9)
Tп,1 − Tп,2
q=
;
(8.10)
δ/λ
q = α 2 (Tп,1 − Tср,2 ) .
(8.11)
Из этих уравнений следует:
Tп,1 = Tср,1 – q/α1 ;
(8.12)
Tп,2 = Tср,2 + q/ α2.
(8.13)
Плотность теплового потока найдем путем сложения уравнений
(8.9), (8.10) и (8.11):
q
откуда
1
δ
1
+q +q
= Tср,1 − Tср,2 ,
α1
λ
α2
q=
Tср,1 − Tср,2
.
1
1
+ δ/λ +
α1
α2
Входящее в последнее уравнение отношение 1/αi получило наименование внешнего теплового сопротивления. Последнее уравнение можно обобщить для случая стенки, состоящей из n слоев:
117
q=
Tñð,1 − Tñð,2
δi 1
1 +
+
α1 ∑
α2
λ
i
n
.
(8.14)
Если ввести обозначение:
Ê=
1
,
δ
1 +
i + 1
∑
α1 n λ i α 2
то уравнение (8.14) можно представить в более простой форме:
q = К (Tср,1 − Tср,2 ) .
(8.15)
Величина К называется коэффициентом теплопередачи, что отвечает физическому содержанию уравнения (8.15), так как оно описывает
перенос тепла от одной среды к другой через разделяющую их стенку.
Единицы измерения коэффициента теплопередачи (Вт/м2·К) и
коэффициента теплоотдачи совпадают. Численно он выражает
количество тепла, которое передается за единицу времени через
единицу поверхности стенки от
одной среды к другой при единичном температурном напоре
между ними.
Температуры наружных
поверхностей пластины можно найти аналитически из уравнений (8.12) и
(8.13) или их определяют графически, используя понятие теплового сопротивления (рис. 8.5).
Для рассмотренного случая по оси абсцисс откладывают тепловые
сопротивления, а по оси ординат – температуры омывающих сред Tср,1 и
Tср,2. Последние соединяют прямой линией, после чего восстанавливают
перпендикуляры из абсцисс, соответствующих границам раздела фаз. Их
пересечение с прямой определяет температуры поверхностей пластины.
Отложив на рис. 8.5 найденные таким образом значения температур
118
Tп,1 и Tп,2, находим распределение температуры по толщине пластины.
Показанное на рисунке распределение температур в средах, омывающих
стенку, носит условный характер, поскольку в действительности оно
определяется условиями обтекания стенки окружающей жидкой средой.
8.2. Стационарный перенос тепла через цилиндрическую стенку
Рассмотрим неограниченную цилиндрическую трубу с внутренним
радиусом R1 и внешним радиусом R2 (рис. 8.6). Пусть температуры внутренней и внешней поверхностей трубы T1 и Т2 поддерживаются постоянными за счет теплообмена с обтекающими их средами. Положим, что T1>Т2.
В нашем случае температура будет меняться только по
радиальному направлению.
Тепловой поток также будет
иметь только радиальное направление. Таким образом, тепловая задача может быть сведена к
одномерной.
Определим закон изменения температуры. В случае математического анализа температурного поля в цилиндрической трубе уравнение Лапласа (7.8) следует
представить в цилиндрической системе координат:
∂ 2T
1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T
∇ T= 2+
+ 2
+ 2 =0
2
R
R
∂
∂R
R ∂ϕ
∂z
2
Поскольку температура в нашей задаче не зависит от z и ϕ, лапласиан
2
температуры ∇ Т будет содержать только радиальную составляющую:
119
2
∇ T=
Отсюда
d 2T
dR
2
+
1 dT 1 d
dT
=
(R ) = 0 .
R dR R dR dR
(8.16)
d ( R dT ) = 0 .
dR
Интегрируя, находим:
R dT = С1 .
dR
Разделив переменные и выполняя вторичное интегрирование, получаем:
T = C1 ln R+C2.
(8.17)
Постоянные интегрирования находим из граничных условий:
R = R1,
Т =Т1;
T = T2.
R = R2,
Соответственно, имеем:
T1 = C1lnR1 + C2 ;
T2 = C1lnR2 + C2.
Откуда находим:
С1 =
T1 − T2
;
ln( R1 / R2 )
C2 = T1 – C1ln R1 .
Подстановка этих выражений в уравнение (8.17) дает:
Т = Т1 +
T1 − T2
R
ln .
ln(R1 / R2 ) R
(8.18)
1
Распределение тeмпepaтypы в цилиндрической стенке носит логарифмический характер (8.18).
Кривая распределения температуры показана на рис. 8.6.
Вычислим далее тепловой поток через цилиндрическую стенку, для
чего воспользуемся законом молекулярной теплопроводности Фурье (2.1):
q =− λ
dT
.
dR
При этом следует учесть, что плотность теплового потока на внут120
ренней и внешней поверхностях стенки будет различной. Ее значение
будет наибольшим для внутренней поверхности и меньшим – для внешней.
Обозначим через Q* = Q/t (Вт) тепловой поток, пронизывающий
стенку. Эта величина не зависит от цилиндрической поверхности и имеет
одно и то же значение для внутренней и внешней поверхностей трубы:
Q* = q1S1 =q2S2 .
Пользуясь данными, относящимися к внутренней поверхности стенки,
можем написать:
Q* = − λ (
dT
) R = R ⋅ 2πR1L,
1
dR
(8.19)
где L – длина трубы.
Градиент температуры находим, дифференцируя уравнение (8.18) по R:
(
T1 − T2
dT
) R= R =
.
R1 ln(R1 / R2 )
1
dR
Подставив данное выражение в уравнение (8.19), находим тепловой поток
через стенку трубы:
Q* =
2πλL(T1 − T2 )
.
ln( R2 / R1 )
(8.20)
Характеристикой интенсивности теплового потока для цилиндрической стенки, не зависящей от радиуса цилиндрической поверхности, является так называемая линейная плотность теплового потока [Дж/(с·м)]
qл = Q*/L .
Из уравнения (8.20) находим:
qл =
или
qл =
2πλ (T1 − T2 )
,
ln( R2 / R1 )
T1 − T2
1
ln( R2 / R1 )
2πλ
.
Входящая в выражение (8.21) величина
(8.21)
1
ln( R2 / R1 ) именуется
2πλ
линейным тепловым сопротивлением цилиндрической стенки.
121
Для многослойной цилиндрической стенки в результате аналогичного
вывода, как и для многослойной плоской стенки, получим:
qл =
T1 − Tn +1
1
Σ
ln( Ri +1 / Ri )
2 πλ i
,
(8.22)
где n – число слоев.
Температуры стыков между слоями определяются по тепловым сопротивлениям точно таким же образом, как и в случае многослойной плоской стенки.
Если вместо температур поверхностей цилиндрической стенки заданы
температуры контактирующих с ней сред Tср,1 и Tср,2 и известны коэффициенты теплоотдачи α1 и α2 (заданы граничные условия третьего рода),
то для однослойной цилиндрической стенки (см. рис. 8.6) можем написать:
S1
(Tср,1 − Т1 ) ,
L
Tср,1 − Т1
qл = α1
или
qл =
qл =
1
2πR1α1
;
T1 − T2
1
ln( R2 / R1 )
2 πλ
T2 − Т ср,2
.
qл =
1
2πR2α 2
;
В уравнениях (8.23) величины
(8.23)
1
1
и
представляют
2πR1α1 2 πR2 α 2
внешние линейные тепловые сопротивления цилиндрической стенки,
относящиеся соответственно к внутренней и внешней поверхностям.
122
Определяя из уравнений (8.23) частные температурные перепады и
суммируя полученные для них выражения, находим:
Tñð,1 − Òñð,2 = që (
1 + 1 ln R2 + 1 ) .
2πR1α1 2πλ R 2πR2α 2
1
Отсюда получим:
që
=
Tñð,1 − Òñð,2
.
R
1 + 1 ln 2 + 1
2πR1α1 2πλ R 2πR2α 2
1
(8.24)
Температуры поверхностей цилиндрической стенки T1 и Т2 (см.
рис. 8.6) можно найти либо аналитически из уравнений (8.23), либо графически, как было показано для плоской стенки.
Для многослойной цилиндрической стенки вместо уравнения (8.24)
можно написать:
që
=
1 +
2πR1α1 ∑
n
Tñð,1 − Òñð,2
. (8.25)
R
1
1
ln i + 1 +
2πRn +1α 2
2πλ i
Ri
Последнее уравнение перепишем в виде:
qл = k л (Tср,1 − Т ср,2 ) ,
kë
где
=
1 +
R1α1 ∑
n
2π
.
1 ln Ri + 1 + 1
Rn+1α 2
λi
Ri
(8.26)
Величина kл именуется линейным коэффициентом теплопередачи через цилиндрическую стенку.
Величина, обратная kл, называется полным термическим сопротивлением цилиндрической стенки и обозначается rл:
rë =
d
1
1
1
+
ln 2 +
,
πd1α1 2πλ d1 πd 2 α 2
(8.26 а)
где d1 и d2 – внутренний и наружный диаметры трубы.
Таким образом, как и в случае плоской стенки, термическое сопротивление
теплопередачи цилиндрической стенки представляет сумму внешних
123
термических сопротивлений и внутреннего теплового сопротивления
стенки. Из формулы (8.26 а) следует, что при постоянном значении d1 с
ростом d2 увеличивается внутреннее термическое сопротивление стенки
1
d
(rл,с): rë, ñ =
ln 2 и уменьшается тепловое сопротивление тепло2πλ d
1
отдачи со стороны холодного теплоносителя (rл,2): rë,2 =
1
.
πd 2α 2
Такой характер зависимости полного термического сопротивления
rл цилиндрической стенки означает, что существует значение d2,кр, при
котором rл имеет экстремальное значение.
Дифференцируем rл по d2 и приравниваем производную нулю:
drë
= 1 − 1 2 = 0 , откуда находим : d 2,êð = 2λ .
α2
d (d2 ) 2λd 2 α d
2 2
Зависимость тепловых сопротивлений rл, rл,с и rл,2 от
величины d2 приведена на
рис. 8.7. При увеличении
наружного диаметра до d2,кр
тепловые потери цилинрической стенки растут. Для
уменьшения потерь тепла
изолированным трубопроводом
необходимо, чтобы наружный
диаметр (с учетом толщины
изоляции) был больше d2,кр.
Это положение следует учитывать при выборе теплоизоляции
трубопроводов.
8.3. Стационарный перенос тепла в цилиндрическом стержне
при наличии теплообмена с окружающей средой
Один из экспериментальных методов определения теплопроводности
твердых материалов состоит в следующем. Из исследуемого материала
изготавливают цилиндрический стержень радиуса r. Один конец стержня
124
нагревается источникам тепла с постоянной мощностью (рис. 8.8).
В стационарном состоянии производят измерение температуры в
разных точках по длине стержня.
Если закон изменения температуры по длине стержня известен, можно
определить теплопроводность материала стержня. Установим этот закон.
Обозначим температуру нагреваемого конца стержня T1. Будем
считать стержень достаточно длинным: L >> r. Кроме того, будем
пренебрегать потерями тепла с правого торца. Рассмотрим поток тепла
через элементарный кольцевой слой толщиной δx. Температуру этого
слоя обозначим T.
В стационарном состоянии количество тепла, входящее в слой за счет теплопроводности (δQвх), равно количеству тепла, уходящему в окружающую среду с боковой поверхности
стержня (δQух). Количество тепла,
уходящее за время dt с боковой
поверхности стержня, равно:
δQух = qух δSбокdt.
Так как qух = α(Т – Тср);
δSбок = 2πrδx,
то
δQух = α(Т – Тср) 2πr δx dt.
Количество тепла, которое входит в
наш слой за счет теплопроводности,
подсчитаем по разности:
∂ (δQx ) ⎤
∂ (δQx )
⎡
δQвх = δQx − δQx + δx = δQx − ⎢δQx +
δx ⎥ = −
δx .
∂
x
x
∂
⎦
⎣
Используя закон молекулярной теплопроводности Фурье, имеем:
δQx = q x S сеч dt = − λ
dT 2
π r dt.
dx
125
Таким образом,
δQвх = λ
∂ 2T
∂x
2
π r 2δx dt.
Приравнивая количество тепла, которое входит в слой и уходит из
него в окружающую среду (поскольку задача является одномерной, можно
использовать символ полного дифференциала), получим:
α(Т − Tср )2 π rδx dt = λ
d 2T
dx 2
π r 2δx dt.
Применяя последнее выражение, приходим к следующему дифференциальному уравнению, определяющему перенос тепла вдоль стержня:
d 2T
dx 2
=
2α
(Т − Tср ).
λr
Считая, что коэффициенты теплоотдачи и теплопроводности являют2
ся постоянными и, обозначив (2α/λr) = k , получим:
d 2T
dx
2
= k 2 (Т − Tср ).
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
Т − Tср = С1e kx + С2e − kx .
Воспользуемся граничным условием первого рода:
x = 0;
T = T1.
Тогда
T1 – Tср = С1 + С2.
Считая стержень неограниченным, запишем еще одно уравнение для определения постоянных интегрирования:
x → ∞;
T → Tср.
Отсюда следует, что
Т ср − Tср = С1e k∞ + С2e − k∞ .
126
Так как e
–k∞
= 0, правая часть уравнения равна нулю только в том случае,
если С1 = 0. Тогда приходим к следующим значениям постоянных интегрирования:
С1 = 0; С2 = T1 – Tср.
Окончательно получаем:
–kx
T– Tср = (T1– Tср)e
.
Или, введя обозначение избыточной температуры (θ = T – Tср), имеем:
–kx
θ = θ1 e
.
(а)
Это уравнение в полулогарифмическом масштабе выражается прямой
линией (рис. 8.9).
Таким образом, если в стационарном режиме измерить температуру
вдоль стержня и построить вышеуказанный график, то из него следует, что
tg β = k =
2α
.
λr
Из последнего выражения,
считая коэффициент теплоотдачи
известным, можно вычислить коэффициент теплопроводности материала стержня. Если же α неизвестен, то предварительно аналогичный опыт проводится на стержне с известным коэффициентом
теплопроводности. По результатам
опыта и определяют коэффициент
теплоотдачи.
Для короткого стержня длиной L закон изменения температуры по
длине стержня описывается уравнением:
e kx e − kL + e − kx e kL
θ = θ1
.
e kL + e − kL
(б)
Количество тепла, отдаваемого стержнем в окружающую среду за единицу
времени (тепловой поток), можно рассчитать по закону Фурье для сечения
127
S, совпадающего с левым торцом стержня:
dθ
Q* = −λ( ) x = 0 S .
dх
(в)
Поскольку с учетом уравнения (а) можно записать
(
dθ
) x = 0 = (− θ1kε − kx ) x = 0 = −θ1k ,
dх
из уравнения (в) получим:
Q* = λ k S θ1.
Для короткого стержня, длиной L, дифференцируя уравнение (б),
находим:
dθ
e kL − e − kL
( ) x = 0 = θ1k kL
= θ1k th (kL ) .
− kL
dх
e +e
(г)
С учетом уравнений (в) и (г) для теплового потока в коротком стержне имеем:
Q* = λ k S θ1 ⋅ th (kL),
где th(kL) – гиперболический тангенс, равный:
th (kL ) =
e kL − e − kL
e kL + e − kL
.
8.4. Стационарный теплоперенос в шаровой стенке (полый шар)
Рассмотрим полый шар, имеющий внутренний радиус R1 и внешний
– R2 (рис. 8.10). Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в
сферических координатах имеет следующий вид:
d 2T
dR
2
+
2 dT 1 d ⎛⎜ 2 dT ⎞⎟
R
=
= 0.
R dR R 2 dR ⎜⎝ dR ⎟⎠
(8.27)
Интегрируя уравнение (8.27), получим
R2
C
dT
= C1 и T = − 1 + C2 .
R
dR
(8.28)
Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 воспользуемся
128
граничными условиями первого рода (заданы температуры поверхностей
шара):
1. R = R1; T = T1. 2. R = R2; T = T2.
С учетом уравнения (8.28) и граничных условий находим
C1 =
T2 − T1
T2 − T1
; C2 = T1 +
.
1
1
⎞
⎛
1
1
−
R1 ⎜⎜ − ⎟⎟
R1 R2
⎝ R1 R2 ⎠
Подставляя значения С1 и С2 в уравнение (8.28), получим:
Т =−
T2 − T1
T2 − T1
.
+ T1 +
⎞
⎞
⎛
⎛1
1
1
1
⎜⎜ − ⎟⎟ R
R1 ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ R1 R2 ⎠
⎝ R1 R2 ⎠
(8.29).
В соответствии с уравнением (8.29) температура в шаровой стенке
меняется по закону гиперболы.
Используя закон молекулярного теплопереноса Фурье (2.1) и определяя производную dT/dR путем дифференцирования уравнения (8.29),
найдем плотность теплового потока:
129
⎛
⎜
λ ⎜ T1 − T2
dT
q = −λ
=
dR R 2 ⎜ 1 − 1
⎜R R
⎝ 1
2
⎞
⎟
⎟.
⎟
⎟
⎠
(8.30)
Из уравнения (8.30) следует, что плотность теплового потока через
шаровую поверхность зависит от радиуса и, следовательно, не может служить однозначной количественной оценкой теплопроводности в данном
случае. Поэтому далее найдем значение теплового потока Q с учетом
2
величины поверхности шара S = 4πR :
Q=
4 πλ(T1 − T2 )
T1 − T2
=
.
1
1
⎛
⎞
1 1
1
−
⎜⎜ − ⎟⎟
R1 R2
4 πλ ⎝ R1 R2 ⎠
(8.31)
Сопоставляя уравнение (8.31) и закон Ома, устанавливаем, что выражение:
1 ⎛1
1 ⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ представляет собой внутреннее тепловое сопротив4 πλ ⎝ R1 R2 ⎠
ление шаровой поверхности.
Соответственно для многослойной шаровой поверхности, имеющей
n слоев, получим следующее уравнение:
T1 − Tn +1
Q=
⎛
⎞
n
1 ⎜1
1 ⎟
∑ 4πλ ⎜⎜ R − R ⎟⎟
i =1
i
i
i +1
⎝
(8.32)
⎠
Если вместо температур поверхностей шаровой стенки заданы температуры контактирующих с ней сред Tср,1 и Tср,2 и известны коэффициенты теплоотдачи α1 и α2 (заданы граничные условия третьего рода),
то для однослойной шаровой стенки (рис. 8.11) по аналогии с ранее рассмотренными плоской и цилиндрической стенками можем написать:
Tñð1 − Tñð2
Q=
1
4πα1R12
130
+
⎛
1 ⎜1
⎜
4πλ ⎜ R1
⎝
−
⎞
1 ⎟
⎟+
R2 ⎟
⎠
.
1
4πα 2 R22
(8.33)
В уравнении (8.33) теплообмен шаровой поверхности с окружающими их
средами учтен, как и раньше, с помощью уравнения Ньютона–Рихмана:
(
)
(
)
Q = α i Tп − Tср ⋅ Si = α i Tп − Tср ⋅ 4πRi2 .
Выражение
1
4 παi Ri2
в уравнении (8.33) представляет собой внеш-
нее тепловое сопротивление шаровой поверхности.
В случае многослойной шаровой поверхности уравнение (8.33) имеет
вид:
Tñð1 − Tñð2
Q=
1
4πα1R12
n
+∑
1
⎛
1 ⎜1
⎜
4πλ i ⎜ Ri
⎝
−
⎞
1 ⎟
⎟+
Ri +1 ⎟
⎠
. (8.34)
1
4πα 2 Rn2+1
8.5. Перенос растворенного вещества в стационарном
одномерном поле концентраций
8.5.1.
Плоская стенка
Для решения задачи о распределении концентраций в неподвижной
среде при стационарном процессе диффузии (
∂c
= 0 ), следует воспользовать∂t
ся дифференциальным уравнением
Фика (7.16), которое для рассматриваемого случая неограниченной пластины
(рис.8.12) должно быть записано в виде:
d 2С
dx 2
= 0.
(8.35)
Для решения задачи воспользуемся
граничными условиями первого рода:
x = 0, С = С1;
x = δ,
С = С2 .
131
Уравнение (8.35) и граничные условия к нему по своему виду не
отличаются от уравнения (8.1) и граничных условий для аналогичной тепловой задачи. Поэтому решение данного уравнения по форме совпадает с
уравнением (8.2) для температурного поля в плоской стенке:
С = С1 +
С2 − С1
x.
δ
(8.36)
Последнее уравнение показывает, как меняется концентрация диффундирующего вещества по толщине пластины.
Используя закон молекулярной диффузии Фика (2.2), имеем:
j = − D dC .
dx
Определим градиент концентрации путем дифференцирования уравнения (8.36) и получим выражение для плотности диффузионного потока,
проходящего через пластину:
j=
С2 − С1
.
δ/ D
Здесь δ/D – внутреннее диффузионное сопротивление, отнесенное к
единице поверхности пластины толщиной δ.
Если концентрации диффундирующего вещества на поверхностях
пластины заранее неизвестны, а заданы концентрации Cср,1 и Cср,2 в средах, омывающих пластину (см. рис. 8.12), и известны коэффициенты массоотдачи αд,1 и αд,2, то по аналогии с результатами, полученными для
соответствующей тепловой задачи, имеем:
j=
Cср,1 − Cср, 2
1
1
+ δ/ D +
α д,1
α д, 2
.
(8.37)
Здесь 1/αд,1 и 1/αд,2 – внешние диффузионные сопротивления, отнесенные к единице поверхности пластины. Введя понятие коэффициента
массопередачи (КД) получим:
132
Кд =
1
1
1
+ δ/ D +
α д,2
α д,1
.
Следовательно, можно уравнение (8.37) для плотности диффузионного потока переписать в виде:
j = КД(Cср,1 – Cср,2).
Единицы измерения коэффициента массопередачи (м/с) и коэффициента
массоотдачи αд совпадают.
Использование диффузионных сопротивлений облегчает определение концентраций диффундирующего вещества на поверхностях пластины
С1 и С2 с помощью тех же графических построений, которые подробно
разобраны в соответствующей тепловой задаче (см. раздел 8.1).
8.5.2.
Цилиндрическая стенка
Для данного случая уравнение (8.35) должно быть записано в виде:
1 d ( R dС ) = 0 .
R dR dR
При задании концентраций С1 и С2 на внутренней и внешней поверхностях цилиндрической стенки выражения для распределения концентрации по толщине стенки и для линейной плотности диффузионного потока
имеют вид, аналогичный уравнениям (8.18) и (8.21) соответствующей тепловой задачи:
С = С1 +
jл =
С1 − С2
R
ln ,
ln( R1 / R2 ) R1
C1 − C2
1
ln( R2 / R1 )
2πD
.
В случае задания концентраций диффундирующего вещества в средах, контактирующих с внутренней и наружной поверхностями цилиндрической стенки, выражение для линейной плотности диффузионного потока
133
принимает вид:
jë
=
C ñð,1 − C ñð,2
,
R
1
1
+ 1 ln 2 +
2π R1α ä ,1 2πD R 2π R2α ä ,2
1
или
jл = Кд л (Cср,1 – Cср,2),
где КД Л – линейный коэффициент массопередачи, равный:
Ê äë
=
2π
.
1 + 1 ln R2 + 1
R1α ä ,1 D R R2α ä ,2
1
Вследствие весьма малых значений коэффициента диффузии задачи
по стационарной диффузии в твердых телах могут встречаться лишь для
очень тонких пластин и тонкостенных трубок.
Тем более редкими являются задачи, связанные с стационарной диффузией через многослойные стенки.
8.5.3.
Испарение жидкой капли
Рассмотрим каплю жидкости, имеющую сферическую форму и находящуюся в неподвижной газообразной среде (рис. 8.13). Если на некотором расстоянии от нее (L) поместить поглотитель паров жидкости, то начнется диффузионный
перенос паров с поверхности капли, который приведет к испарению жидкости.
Найдем закон, по которому радиус капли
будет меняться со временем. С этой целью
сначала составим дифференциальное уравнение испарения капли, т. е. установим связь между R и t в дифференциальной форме.
Для этого рассчитаем массу жидкости, испаряющуюся за элементарное время dt.
134
К подсчету этой массы можно подойти с двух исходных позиций.
С одной стороны, массу испарившейся жидкости можно связать с толщиной испарившегося слоя. Если за время dt испаряется слой толщиной dR,
тогда получим:
ж
ж
dm = ρ dV = ρ S dR
(8.38)
С другой стороны, испарение жидкости вызывается диффузионным
переносом паров с поверхности капли и массу испарившейся жидкости
можно связать с диффузионным потоком паров от поверхности капли к
поглотителю (см. рис. 8.13):
dm = j S dt.
По закону молекулярной диффузии Фика имеем:
dC
)r = R ;
dr
dm = − DSdt ( dC ) r = R .
dr
j = − D(
(8.39)
Поскольку речь идет об одной и той же массе жидкости, можно приравнять правые части уравнений (8.38) и (8.39):
ρ ж SdR = − DSdt (
dC
)r = R .
dr
Откуда
dR = −
D dC
( ) r = R dt.
ж dr
ρ
(8.40)
Для того чтобы найти градиент концентрации паров, определим
мгновенное распределение концентрации. Для данного момента t это
время распределение можно найти с помощью дифференциального уравнения Фика (7.I6), которое в этом случае переходит в уравнение Лапласа:
2
∇ C = 0.
Для облегчения математического решения задачи перейдем к сферическим координатам, в которых лапласиан концентрации (для нашего случая концентрация не зависит от ϕ и ϑ) содержит только радиальную
составляющую (рис. 8.14).
135
Тогда уравнение Лапласа примет вид:
1 d (r 2 dC ) = 0 .
2
dr
r dr
(8.41)
После первого интегрирования имеем:
2
r dC = C1 ,
dr
и далее
dC = C1
dr
r
2
.
После второго интегрирования
получим:
С=−
С1
+ C2 .
r
Для нахождения постоянных
интегрирования можно воспользоваться граничным и добавочным условиями. Если размер капли до начала процесса мал по сравнению с расстоянием
до поглотителя, т. е. R0 << L, то первое условие имеет вид:
r → ∞;
С = 0.
На поверхности капли, т. е. при r = R, концентрация паров постоянна и ее
численное значение определяется давлением насыщенного пара. Отсюда
получаем второе (добавочное) условие:
R = R;
C = Cп.
Из первого условия получаем:
С1
+ C2 ,
∞
С2 = 0 .
0=−
или
Из второго условия имеем выражение:
136
Сп = −
С1
,
R
C1 = − С п R .
или
Таким образом, мгновенное распределение концентрации выражается уравнением: C = Сп R / r ,
отсюда
dС
Сп
( )r = R = −
.
dr
R
Возвращаясь к исходному дифференциальному уравнению (8.40),
имеем:
или
D Сп
dR =
dt ,
ж R
ρ
RdR =
DСп
ρ
ж
dt.
Так как R и t меняются противоположным образом, в уравнение следует
ввести знак минус. Тогда получим:
R
∫ RdR = −
Ro
откуда
или
DС п
ρж
t
∫ dt ,
0
R 2 Rо2
DС п
−
=− ж t,
2
2
ρ
R
2
2
−R
o
=−
2 DС п
ρж
t.
Считая, что пар подчиняется уравнению состояния идеального газа,
концентрацию паров на поверхности капли можно рассчитать через давление насыщенного пара:
Сп =
Рнас М
,
RT
где R – универсальная газовая постоянная.
Тогда имеем:
137
R
2
2
=R
o
−
2 DРнас М
ρ ж RT
t.
(8.42)
На использовании последнего уравнения основан метод определения
коэффициента диффузии паров жидкостей в газах. Для этого каплю исследуемой жидкости помещают на плохо смачиваемой поверхности (вследствие чего она принимает форму, близкую к сферической) и накрывают ее
прозрачным колпаком, внутри которого создают атмосферу определенного
газа.
На некотором расстоянии от капли помещают пакетик с поглотителем паров жидкости и с помощью катетометра наблюдают за изменением
размера капли со временем.
Если на основании экспериментальных данных построить график
зависимости R2 от t , то, как это следует из уравнения (8.42), должна
получиться прямая линия (рис.
8.15), наклон которой составляет:
tgα =
2DРнас М
.
ρ ж RT
Отсюда искомый коэффициент
диффузии равен:
RTρ ж
tgα .
D=
2 Рнас М
При расчетах коэффициента
диффузии с помощью последнего
уравнения следует обратить внимание на размерности входящих в него
величин.
Если плотность жидкости выражать в г/см3, давление насыщенного
пара – в МПа, молекулярную массу М – в г/моль, то для универсальной
газовой постоянной R следует использовать значение 8,314 см3 ·МПа/
/(моль·К). Тогда коэффициент диффузии будет иметь размерность см2/с,
если время t выражено в секундах.
138
9.
ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ, ТЕПЛОВЫХ И
ДИФФУЗИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ
9.1. Понятие о подобии физических явлений
Как уже отмечалось ранее, решение дифференциальных уравнений
гидродинамики, конвективной теплопроводности и конвективной диффузии оказывается возможным лишь для некоторых частных случаев и при
существенных упрощениях. Если же характер поставленной задачи исключает возможность внесения упрощений, без которых эти уравнения не могут быть решены, приходится прибегать к помощи эксперимента. Для того
чтобы результаты экспериментального исследования могли быть использованы не только в конкретном случае, для которого они были получены,
но и в целом ряде аналогичных случаев, необходимо соблюдение определенных условий как при постановке самого эксперимента, так и при обработке полученных опытных данных. Формулирование этих условий составляет предмет теории подобия.
Понятие подобия впервые сложилось в геометрии. Как известно, две
фигуры геометрически подобны друг другу, если у них пропорциональны
сходственные линейные размеры:
l1/
l /2
/
. . . = ln = С .
=
=
l
l1// l //2
l //n
(9.1)
Здесь подстрочные индексы обозначают сходственные линейные
размеры, а верхние – принадлежность их к первой или второй фигуре.
Безразмерная величина Сl представляет собой константу геометрического подобия.
Понятие подобия может быть распространено и на физические явления. Так, два физических явления подобны друг другу, если они протекают
в геометрически подобных системах и если отношения одноименных физических величин (например скорости, температуры) в сходственные моменты времени одинаковы во всех сходственных точках этих систем.
Например, признаками кинематического подобия двух потоков жидкости являются, во-первых, геометрическое подобие траекторий движения
139
сходственных частиц жидкости и, во-вторых, постоянство отношения
скоростей соответствующих частиц жидкости в сходственные моменты
времени:
υ1/ υ 2/ . . . υ n/
=
=
= // = Сυ .
υ1// υ 2//
υn
(9.2)
Величина Cυ представляет собой константу подобия скоростных полей.
Часто величинам Cl ,Cυ и им подобным присваивают название масштабных (переходных) множителей. Они показывают, во сколько раз нужно изменить ту или иную физическую величину, отвечающую данному
явлению, чтобы получить сходственную величину для подобного явления.
Сходственные величины, характеризующие два подобных явления, могут
быть выражены и в относительных единицах. Например, выбрав из всех
линейных размеров двух сопоставляемых фигур какую-нибудь одну пару
сходственных линейных размеров, которые мы обозначим через l0' и l0",
и, рассматривая их как характерные, можно воспользоваться ими как единицами для измерения всех остальных сходственных размеров этих фигур.
Последние будут выражены через безразмерные величины:
l1/ l /2 . . . l /n
, / ,
, / ;
/
l0 l0
l0
l1// l //2 . . . l /n/
, // ,
, // .
//
l0 l0
l0
Очевидно, что при помощи этих величин условия геометрического
подобия двух фигур должны быть записаны следующим образом:
l1/ l1//
=
=i ;
l /0 l //0 l(1)
l /2 l //2
=
=i
;
l /0 l //0 l(2)
l /n l //n
=
=i
.
l /0 l //0 l( n)
(9.3)
Действительно, преобразуя эти равенства так, чтобы в каждой части
находились величины с одинаковыми подстрочными индексами, можно
получить уравнения вида (9.1), выражающие условия геометрического
подобия.
140
Величины il (1), il (2) ,… il (n) именуют инвариантами геометрического подобия.
/
/
Введя обозначения l1 / l 0
−/ // // −//
= l1 , l1 / l 0 = l1 и так далее можно
уравнения (9.3) переписать в виде:
⎫
−/
−
//
l1 = l1 = il(1) . ⎪
⎪
⎪
. . . . . . . . .⎬
⎪
−/
−
⎪
l n = l n// = il( n) .⎪
⎭
(9.4)
Аналогичным образом могут быть выражены и условия подобия
полей любой физической величины. Так, например, подобие скоростных
полей у двух потоков жидкости имеет место при условии:
⎫
υ1/ υ1//
=
=
i
;
υ0/ υ0// υ (1) ⎪⎪
⎪⎪
υ2/ υ2//
=
=
i
;
⎬,
υ0/ υ0// υ (2) ⎪
(9.5)
⎪
υn/ υn//
=
=i
;⎪
υ0/ υ0// υ (n) ⎪⎭
где υ 0 И υ 0 – значения скоростей в каких-либо двух сходственных
точках сопоставляемых потоков, выбранные в качестве единиц для измерения скорости во всех других сходственных точках этих потоков.
/
//
Величины iυ(1), iυ(2),…, iυ(n) представляют собой инварианты подобия
скоростных полей.
Обозначив безразмерные величины скоростей, входящие в уравнения
(9.5), через ⎯ υ 1, ⎯υ
переписать в виде:
/
//
1, ⎯
υ /2, ⎯ υ //2 и так далее, можно эти уравнения
141
υ 1 = υ 1 = iυ ( 1) . ⎫
/
//
⎪
⎪
= iυ ( 2) ⎪
⎬
........................ ⎪
⎪
/
//
υ n = υ n = iυ ( n) ⎪⎭
/
υ2
//
=υ2
(9.6)
В отличие от констант подобия, которые остаются неизменными для
всех сходственных однородных величин, относящихся к двум подобным
явлениям, инварианты подобия меняются при переходе от одной пары
сходственных величин к другой.
Инварианты подобия вида il, iυ и так далее, представляющие отношения однородных величин, называются симплексами.
Однако при воспроизведении подобных явлений не все симплексы,
составленные из величин, характеризующих сопоставляемые явления,
могут быть заданы произвольно, поскольку между этими величинами
существуют уравнения связи. По этой причине при формулировании условий подобия между явлениями приходится преимущественно оперировать
не симплексами, а инвариантами, состоящими из разнородных величин,
причастных к данному явлению.
Рассмотрим в качестве примера в наиболее общей форме условие
механического подобия двух потоков жидкости. Согласно второму закону
Ньютона равнодействующая всех сил, приложенных к некоторой массе m
движущейся жидкости, равна:
f =m
dυ
dt
.
(9.7)
Выделим внутри этой массы жидкости какую-нибудь частицу и обозначим ее массу, скорость и действующую на нее силу соответственно
через m0, υ0 и f0, а время, в течение которого она проходит некоторый
характерный путь, через t0. Используя эти величины как единицы измерения, получим следующие безразмерные величины:
f
m
t
υ
= f;
= m;
= υ;
=t,
f0
m0
υ0
t0
142
отсюда
f = f0 f ; m = m0 m;
υ = υ 0υ ;
t = t0 t .
Подставив эти равенства в уравнение (9.7) и группируя все множители, выбранные в качестве единиц измерения, в левой части уравнения,
преобразуем его к безразмерному виду:
f 0t 0
dυ
f =m .
m0υ0
dt
(9.8)
Применим теперь уравнение (9.8) к двум подобным потокам жидкости.
/
Если частицы жидкости, характеризуемые величинами m 0,
υ /0, t/0, f /0 и
m//0, υ //0, t//0, f //0, выбраны в сходственных точках этих потоков, причем
массы этих частиц относятся друг к другу как конечные массы рассматриваемых систем, то безразмерные величины, входящие в уравнение (9.8),
представляют инварианты подобия, т. е.
/
//
f = f ;
/
//
/
//
m = m ; υ =υ ;
/
//
t = t . (9.9)
Так как по условию рассматриваемые потоки подобны, они должны
тождественно описываться одним и тем же уравнением (9.8). Для этого, с
учетом равенства (9.9), необходимо, чтобы безразмерный комплекс
f0t0 /m0υ0 был одинаков для обоих потоков, т. е.
f 0/ t 0/
f //0 t //0
= // // = idem .
m0/ υ /0
m0 υ0
(9.10)
Уравнение (9.10) справедливо не только для величин, выбранных в
качестве единиц измерения, но и для величин, относящихся к любым сходственным точкам рассматриваемых подобных потоков. Поэтому вместо
уравнения (9.10) можно написать:
f / t./
m/υ /
или
=
f // t //
m υ
ft
= idem.
mυ
// //
= idem ,
(9.11)
В общем случае численное значение этого комплекса оказывается для
разных сходственных точек различным.
Величина f t/mυ представляет инвариант механического подобия.
В отличие от рассмотренных ранее инвариантов подобия, составлен143
ных из однородных величин, этот инвариант подобия представляет безразмерный комплекс, состоящий из разнородных величин. Инварианты подобия комплексного вида принято называть именами ученых, внесших заметный вклад в развитие соответствующей области науки, и обозначать двумя
начальными буквами их фамилий. Их принято называть критериями или
числами подобия. Полученный из закона Ньютона инвариант механического подобия называется критерием (или числом) Ньютона:
ft
= Ne = idem .
mυ
(9.11а)
Из приведенных соображений следует, что у подобных явлений инварианты подобия имеют одинаковые численные значения.
9.2.
Теоремы подобия
В основе теории подобия лежат три теоремы. Первая из них – теорема Ньютона, которая гласит: в подобных явлениях критерии (или
числа) подобия равны. Данная теорема впервые была получена Ньютоном
для механических явлений, позволяя выявить критерии (или числа) подобия и установить их вид.
Для этого уравнение, описывающее процесс, следует привести к безразмерному виду и выделить комплексы, составленные из масштабных
величин. С точки зрения моделирования эта теорема позволяет ответить на
вопрос: какие параметры следует исследовать на модели?
Из теоремы Ньютона следует, что на модели нужно изучать те параметры, которые входят в критерии (или числа) подобия.
Вторая теорема подобия была установлена Федерманом и Букингемом. Согласно этой теореме: интеграл, являющийся точным решением дифференциального уравнения, может быть заменен эквивалентной функцией от безразмерных комплексов. Причем, если интеграл есть
функция, зависящая от т размерных переменных, для выражения которых
требуется l основных единиц измерения, ее можно преобразовать к функции от m – l безразмерных комплексов. Математическая формулировка
теоремы может быть представлена в виде: f ∼ F,
144
где
f ( k 1 , k 2 , k 3 , … , k m ) = 0,
F ( k 1 , k 2 , k 3 , … , k n ) = 0,
причем n = m – l .
В чем состоит практическое значение этой теоремы?
Во-первых, она устанавливает число критериев подобия, необходимых для описания рассматриваемого явления. Во-вторых, она отвечает на
вопрос: каким образом следует обрабатывать данные, полученные на модели? Из этой теоремы вытекает, что данные следует обрабатывать в виде
уравнений связи между критериями подобия, т. е. в критериальной форме.
Третья теорема подобия установлена Кирпичевым и Гухманом.
Она имеет следующую формулировку: необходимым и достаточным
условием подобия физических явлений является подобие их условий
однозначности и равенство критериев, составленных из величин, входящих в условия однозначности.
Третья теорема определяет условия осуществления подобия, т. е.
где, в каких явлениях и системах это подобие может быть реализовано.
Данная теорема подобия отвечает на вопрос: какие явления и системы можно считать подобными, а значит, на какие явления и системы можно распространить результаты, полученные на модели?
Теорема Кирпичева и Гухмана вводит понятие определяющего критерия (числа) подобия – это критерий подобия, составленный из величин,
входящих в условия однозначности, т. е. заданных в условии задачи.
Критерий (число) является определяемым, если в его составе присутствует хотя бы одна величина, подлежащая определению при решении
задачи.
В зависимости от типа задачи один и тот же критерий может быть
как определяющим, так и определяемым.
Что понимается под подобием условий однозначности? Условия однозначности будут подобны, если они содержат одни и те же физические
величины, а связь между ними устанавливается одними и теми же уравнениями.
145
9.3. Подобие гидродинамических явлений
Если в число Ньютона вместо равнодействующей сил, приложенных
к некоторой массе движущейся жидкости, последовательно вводить величины отдельных сил (силы тяжести, силы трения и т. д.), то из него можно
получить ряд инвариантов, определяющих условия подобия гидродинамических явлений в более детальной форме. Однако для установления этих
инвариантов подобия целесообразнее воспользоваться более общим методом, основанным на анализе дифференциального уравнения, описывающего изучаемое явление.
В случае вязкой несжимаемой жидкости необходимо проанализировать уравнение движения Навье–Стокса (4.40) и уравнение неразрывности
(4.19) для несжимаемой жидкости.
Плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости будем
рассматривать как величины постоянные.
Выберем в качестве масштаба для измерения длины некоторый характерный линейный размер тела l0 (диаметр трубы, длина обтекаемого тела
и др.). В качестве масштаба скоростей выберем некоторую характерную
скорость υ0 (например, среднюю скорость по сечению трубы или скорость
на значительном удалении от поверхности обтекаемого тела). За масштаб
времени примем некоторое характерное для данной задачи время t0 (например, время, в течение которого частица жидкости, выбранная в некоторой области потока, проходит какую-либо характерную длину). В качестве
масштаба давления примем давление р0, отсчитанное в какой-нибудь характерной точке потока. Наконец, за масштаб для измерения напряжения
массовой силы примем ускорение силы тяжести g.
Пользуясь выбранными единицами измерения, заменим размерные
переменные, входящие в уравнения (4.40) и (4.19), на безразмерные и
x
у
z
; у=
; z= ;
l0
l0
l0
получим:
υ
t
p
F
υ= ; t= ; p=
; F=
.
υ0
t0
p0
g
x=
146
Отсюда
x = l 0 x;
y = l 0 y; z = l 0 z;
υ = υ0υ ; t = t0 t; p = p0 p; F = g F
⎫
⎪
⎬
.⎪⎭
(9.12)
Подставив эти новые переменные в уравнения (4.40) и (4.19), имеем:
⎫
p0
υν
gradp + 02 ∇2υ⎪
t0 ∂t l0
l0 ρ
⎪
l0
(9.13)
⎬
υ0
⎪
divυ = 0.
⎪⎭
l
2
Разделив первое уравнение на υ0 /l0 , а второе на υ0/l0, преобразуем
υ0 ∂υ υ02
+
(υ ⋅ ∇)υ = gF −
эти уравнения к безразмерной форме:
gl
p
l0 ∂υ
ν 2 ⎫
+ (υ ⋅ ∇)υ = 20 F − 02 grad p +
∇ υ;⎪
υ0t0 ∂t
l
υ
ρυ0
υ0
0 0
⎬
⎪
divυ = 0.
⎭
(9.14)
Для полного гидродинамического подобия двух потоков жидкости
необходимо, чтобы они тождественно описывались уравнениями (9.14).
Поскольку все безразмерные переменные в этих уравнениях являются для
сходственных пространственно-временных точек инвариантами подобия,
то для выполнения указанного требования достаточно лишь, чтобы безразмерные множители l0 /υ0t0 , gl0 /υ0 , p0 /ρυ0 , ν /υ0l0 были одинаковы для обоих потоков жидкости. Эти величины являются инвариантами
гидродинамического подобия.
Согласно третьей теореме подобия, подобными можно считать те
явления, у которых подобны условия однозначности и одинаковы инварианты подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности. К числу последних относятся геометрические характеристики системы, физические константы сред, существенные для данного явления, и
краевые (начальные и граничные) условия. Все величины, содержащиеся в
условиях однозначности, задаются при формулировании задачи.
Например, в случае гидродинамической задачи к числу таких величин, помимо геометрических параметров системы и физических параметров жидкости, чаще всего относятся скорость, обычно задаваемая через
объемный расход жидкости, напряжение массовой силы и (в случае неста2
2
147
ционарного периодического процесса движения) время, в течение которого
скорость претерпевает определенный цикл изменений.
Как было указано ранее, безразмерные комплексы, состоящие из величин, входящих в условия однозначности и задаваемых произвольно,
называются критериями (или числами) подобия. Равенство этих величин
является единственным и достаточным признаком подобия явлений.
К категории критериев относятся и симплексы вида, рассмотренного
ранее, если они составлены из задаваемых величин.
Если безразмерный комплекс, полученный из анализа дифференциального уравнения, содержит хотя бы одну из величин, не входящих в условия
однозначности, а подлежащих определению, то он является определяемым
критерием подобия и представляет собой безразмерную форму выражения
определяемой величины.
Из полученных безразмерных комплексов определяющими критериями (или числами) подобия являются комплексы gl0 /υ02 и ν /υ0 l0.
Принято представлять их в следующей форме:
υl
= Re − критерий (число) Рейнольдса;
ν
υ2
gl
= Fr − критерий (число) Фруда.
(9.15)
(9.16)
Комплексу р0 /ρυ02 обычно придают форму Δр /ρυ02 , поскольку
для движения жидкости существенно не абсолютное давление в данной
точке, а перепад давления вдоль потока. Так как в большинстве гидродинамических задач перепад давления является величиной, подлежащей
определению, то и комплекс Δр /ρυ02 является величиной определяемой.
Он представляет собой безразмерный перепад давления Δ р и называется
критерием (числом) Эйлера: Eu =
Δp
= Δ р,
ρυ 2
(9.17)
где величина ρυ 2 служит маштабной единицей при измерении Δp .
Комплекс l0 /υ0t0 играет роль определяющего критерия подобия
только в случае периодического процесса, когда инерционные силы неустановившегося движения жидкости (силы, обусловленные локальным
148
ускорением) изменяются по какому-либо периодическому закону. Тогда
время t0 представляет собой длительность одного периода и задается как
параметр при формулировании краевых условий. В таких случаях рассматриваемый комплекс является определяющим критерием подобия и его
называют критерием (числом) Струхала:
υt
l
= Sh .
(9.18)
В случае апериодического нестационарного движения жидкости
никакое характерное время t не может быть задано и в этих условиях
комплекс υt/l служит определяемым критерием (числом) Струхала. Оно
представляет собой безразмерную форму выражения текущего времени:
t = t / (l/υ). Условие равенства этого комплекса для двух подобных нестационарных потоков определяет абсолютные значения текущего времени,
когда скоростные поля оказываются подобны между собою.
Полученные критерии подобия имеют определенный физический
смысл. Для его выяснения обратимся снова к первому из уравнений (9.13).
Каждый член этого уравнения имеет размерность ускорения и, следовательно, представляет собой определенную силу, отнесенную к единице
массы движущейся жидкости. Легко заметить, что критерий Струхала характеризует меру отношения масштаба инерционных сил установившегося
движения к масштабу инерционных сил неустановившегося движения:
Sh =
υ 0t 0
l0
υ02
=
l 0 ( м/с 2 )
υ0 ( м / с 2 )
=
сила инерции установившегося движения
сила инерции неустановившегося движения
.
t0
Критерий (или число) Фруда выражает меру отношения сил инерции
установившегося движения к массовым силам:
υ 20
υ 20
l 0 ( м/с 2 )
Fr =
=
=
g l0
g ( м / с2 )
сила инерции установившегося движения
массовая сила
.
Критерий (число) Эйлера представляет меру отношения сил давления
к силам инерции установившегося движения:
149
Eu =
p0
ρυ02
=
p0
ρl 0
υ02
p0l 20
=
l0
=
ρ l 30 ( м / с 2 )
υ02
2
(м /с )
=
l0
сила давления
сила инерции установившегося движения
.
В записи (9.17) критерий Эйлера выражает соотношение между перепадом давления и удвоенным динамическим напором.
Наконец, критерий (число) Рейнольдса представляет собой меру
отношения инерционных сил установившегося движения к силам трения,
обусловленным вязкостью:
Re =
=
υ0 l 0
ν
υ02
υ02
l0
l0
( м / с2 )
=
=
=
2
2
υ0 ν
μ υ0l 0 / l 0 ( м / с )
2
l0
ρ l 30
сила инерции установившегося движения
сила трения
.
Таким образом, рассмотренные инварианты гидродинамического подобия выражают меру отношения соответствующих сил, действующих в
данной точке движущейся жидкости.
Величины, из которых состоят полученные инварианты подобия,
связаны между собой определенной функциональной зависимостью, выражаемой уравнениями (4.40) или (9.14). Следовательно, между самими
инвариантами подобия также должна существовать функциональная связь.
Она может быть выражена в виде:
Eu= f (Sh, Fr, Re).
(9.19)
Уравнение вида (9.19) называется уравнением подобия.
В литературе это уравнение часто называют также критериальным уравнением. В общем случае оно может быть записано в форме:
π = f (π1, π2 , … , πi),
(9.20)
где π – определяемый безразмерный комплекс; πi – определяющий кри150
терий (или число) подобия.
Конкретный вид этой функции может быть найден только в результате решения соответствующего дифференциального уравнения. Несмотря
на это, уравнение подобия вида (9.20) представляет определенную ценность как форма выражения связи между величинами, определяющими
данное явление, которая, во-первых, дает возможность уменьшить число
переменных, подлежащих варьированию при экспериментальном изучении
этого явления, что достигается благодаря группированию этих переменных
в виде комплексов, и, во-вторых, позволяет обобщить экспериментальные
данные в виде аналогичной зависимости.
Для практических целей уравнениям, подобным (9.20), придают
степенной вид:
π = Сπ1m1π2m2 … π nmn ,
(9.21)
где С, m1 ,m2 , ..., mn – постоянные числа, определяемые опытным путем.
Формулу такого типа следует рассматривать лишь как удобную форму обобщения экспериментальных данных. Она не всегда совпадает с
видом зависимости, получаемой при аналитическом решении дифференциального уравнения, описывающего изучаемое явление.
Условия подобия могут быть использованы для целей моделирования. Соблюдение в процессе моделирования одинаковых значений критериев подобия для натурного явления и его модели предопределяет, как
следствие, тождественность значений определяемых безразмерных величин для обоих явлений.
Возвращаясь к уравнению подобия (9.19), отметим, что для установившегося движения жидкости локальная составляющая инерционной
силы в дифференциальном уравнении Навье–Стокса отсутствует и, следовательно, критерий Струхала из уравнения (9.19) выпадает, тогда будем
иметь:
Eu = (Re, Fr).
(9.22)
Условия моделирования, требующие одновременного соблюдения
для натурального объекта и его модели равенства критериев Re и Fr, а
именно
υ l
υ l
Re = н н = м м
νн
νм
и
Fr =
υн2
g lн
=
υм2
g lм
,
151
не всегда могут быть выполнены.
Предположим сначала, что в опытах на модели применяется та же
жидкость и в том же состоянии, что и в натуральном объекте, так что
νм = νн . Тогда, чтобы удовлетворить условию равенства критерия Re,
соотношение между скоростями течения жидкости на модели и в натуральном объекте должно быть равно:
l
υм
= н,
υн
lм
(а )
в то время как для соблюдения подобия по критерию Fr необходимо выполнение соотношения:
υм
=
υн
lм
.
lн
(б)
Несовместимость этих двух требований исключает (в рассматриваемом случае) возможность использования для модели жидкости с тем же
значением кинематического коэффициента вязкости, что и в натуральном
объекте. Соотношение между νм и νн должно быть определено из критерия Re так, чтобы одновременно было соблюдено соотношение (б), вытекающее из критерия Fr. Таким образом, находим, что
νм
νн
=
υм l м
υн l н
=
lм
lм
lн
lн
⎛l ⎞
= ⎜ м⎟
⎜l ⎟
⎝ н⎠
3/ 2
.
Естественно, что чем меньше будет масштаб модели, тем сложнее
окажется подбор «модельной» жидкости. Даже при таком, например,
сравнительно большом масштабе модели, как 1/4 натуральной величины,
«модельная» жидкость должна обладать кинематическим коэффициентом
вязкости в восемь раз меньшим, чем «натуральная». Подбор жидкости со
столь отличной кинематической вязкостью далеко не всегда оказывается
возможным.
В тех случаях, когда строгое моделирование, характеризующееся соблюдением условий, диктуемых обоими критериями подобия (Re и Fr),
оказывается невыполнимым, прибегают к так называемому приближен-
152
ному моделированию. При этом руководствуются лишь одним из названных критериев, а именно тем, который для данной задачи имеет более существенное значение.
Так, например, при моделировании истечения жидкости через отверстия или насадки оперируют критерием Фруда, так как главную роль в
этих процессах играет сила тяжести.
Для подобных случаев уравнение подобия принимает вид:
Eu = f (Fr).
(9.23)
При напорном движении жидкости по трубопроводу силы тяжести
либо оказываются очень малы по сравнению с силой, обусловленной перепадом давления, либо вовсе не сказываются (при горизонтальном расположении трубопровода). В данном случае решающую роль в определении
величины перепада давления играют силы вязкости, поэтому при моделировании указанного процесса в качестве определяющего руководствуются
критерием Рейнольдса, а уравнение подобия соответственно принимает
вид:
Eu = f (Re).
(9.24)
В области больших значений критерия Рейнольдса, отвечающих значительному преобладанию инерционных сил над силами вязкости, в уравнении Навье–Стокса этими последними можно пренебречь. Тем самым
критерий Рейнольдса окажется исключенным из числа критериев, определяющих существование гидродинамического подобия.
В таком случае для стационарного движения несжимаемой жидкости, происходящего при больших значениях критерия Рейнольдса и в отсутствие массовых сил, критерий Эйлера становится постоянной величиной:
Eu =
Δp
ρυ
2
= const .
(9.25)
В этом случае для установления подобия между двумя потоками жидкости достаточно задания подобия условий однозначности.
Область значений критерия подобия, в которой он практически лишается роли определяющего критерия (числа), называется автомодельной
относительно данного инварианта подобия.
153
9.4.
Подобие тепловых явлений
9.4.1. Условие подобия температурных полей в твердых телах
Для отыскания критериев, определяющих подобие температурных
полей в твердых телах, необходимо обратиться, во-первых, к дифференциальному уравнению молекулярной теплопроводности (7.6) и, во-вторых, к
уравнению, выражающему закон теплообмена между поверхностью тела и
окружающей средой (7.12). Производная (∂ Т/∂ n)п в данном случае относится к тонкому поверхностному слою твердого тела.
Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности твердого тела λ и а будем рассматривать как величины постоянные, т. е. не
зависящие от температуры.
Следуя методу, который был показан на примере гидродинамической
задачи, преобразуем написанные уравнения к безразмерному виду.
Заменим переменные, входящие в эти уравнения, произведениями их
масштабов на соответствующие безразмерные величины и будем иметь:
x = l0 x,
у = l0 у ,
z = l 0 z , n = l 0 n , T = T0 T ,
ΔT = T0 ΔT , t = t0 t , α = α 0 α ,
где l0 , Т0 , t0 и α0 – выбранные в качестве масштабов характерные значения длины, температуры, времени и коэффициента теплоотдачи, соответственно.
Подставляя эти величины в исходные уравнения, получим:
T0 ∂ T
T
= a 02 ∇ 2 T ;
t0 ∂ t
l0
α 0 T0 α ΔT = − λ
T0 ∂ T
(
)п .
l0 ∂ n
(9.26)
Разделив первое уравнение (9.26) на T0/t0, а второе – на λT0/l0, придадим им безразмерную форму:
∂T a t0 2
= 2 ∇ T;
∂t
l0
154
α0 l 0
⎞
⎛
α Δ T = − ⎜⎜ ∂ T ⎟⎟ ï .
λ
⎝ ∂n ⎠
(9.27)
2
Безразмерные комплексы аt/l и αl/λ представляют собой искомые
инварианты теплового подобия. Первый из них именуют критерием
(числом) Фурье:
at
l2
= F0 ,
(9.28)
а второй – критерием (числом) Био:
αl
= Bi .
λ
(9.29)
Для процессов, в которых температура среды, окружающей рассматриваемое тело, изменяется по какому-либо периодическому закону, критерий Фурье приобретает смысл определяющего критерия подобия, представляющего собой отношение двух характеристических длительностей:
длительности t, представляющей собой продолжительность задаваемого
произвольно периода изменения температуры в окружающей среде, и дли2
тельности, выраженной в форме l /а и определяющей темп перестройки
температурного поля внутри самого твердого тела, поэтому критерий
Фурье иногда называют критерием (числом) тепловой гомохронности.
Для периодического процесса соблюдение одинаковых значений
определяющего критерия Фурье для натурального объекта и его модели
является обязательной предпосылкой подобия и, следовательно, этим
критерием необходимо руководствоваться при постановке эксперимента.
Для апериодических процессов теплопроводности, т. е. для процессов,
характеризующихся монотонным изменением температуры тела, комплекс
аt/l2 является определяемым критерием подобия и представляет собой
относительную форму выражения текущего времени. При помощи
этого комплекса текущее время отсчитывается в долях масштаба, равного
l2/а.
Важная роль критерия Фурье в этом случае заключается в том, что он
определяет соотношение времен установления подобия температурных
полей на натуральном и модельном объектах.
155
При соблюдении геометрического подобия, подобия начальных условий и равенства критерия Bi температурные поля в натуральном объекте
и в модели будут подобны друг другу при одинаковых относительных
2
значениях текущего времени, выражаемых посредством комплекса аt/l .
Абсолютные значения текущего времени, отвечающие этому условию,
будут связаны между собой следующим соотношением:
aн
l 2н
=
.
tн ам
tм
(9.30)
l 2м
Критерий (число) Био, полученный из уравнения, формулирующего
граничное условие при заданном значении коэффициента теплоотдачи α,
сохраняет свою роль определяющего критерия подобия для любых процесссов изменения температуры в твердом теле, как периодических, так и
апериодических.
Этот критерий можно рассматривать, с одной стороны, как характеристику связи между температурным полем внутри тела и интенсивностью
теплоотдачи на его границах. Такой смысл придает ему содержание уравнения (9.29). С другой стороны, этот критерий можно трактовать как
меру отношения внутреннего и внешнего тепловых сопротивлений
l/λ
и 1/α.
Определяемой величиной в задачах нестационарной теплопроводнос-
ти в твердом теле является температура Т как функция координат и времени. Обычно эту переменную вводят в состав симплекса:
T − Tср
T0 − Tср
=
ϑ
=ϑ.
ϑ0
(9.31)
Здесь Тср – температура окружающей среды, рассматриваемая как
величина постоянная; Т0 – начальная температура, в простейшем случае
одинаковая во всех точках тела; ϑ ≡ Т – Тср и ϑ0 ≡ T0 – Тср – соответственно текущая и начальная температуры, отсчитанные от температуры
156
среды и имеющие смысл избыточных температур. Безразмерная величина
⎯ϑ представляет собой переменную избыточную температуру, выраженную в долях начального значения этой величины. Избыточные темпе-
ратуры ϑ и ϑ0 могут иметь как положительные, так и отрицательные значения.
Трехмерное температурное поле, характеризующееся равномерным
начальным распределением температуры, описывается следующим уравнением подобия:
ϑ= f(
l
l l
x y z
, , , Bi , F0 , 1 , 2 , ... , n ) . (9.32)
l0 l0 l0
l0 l0
l0
Здесь l1 /l0 , l2 /l0 , … ln /l0 – геометрические параметры тела, выраженные
в долях одного из них, имеющего значение l0 и выбранного в качестве
масштаба; x /l0 , y /l0 , z /l0 – переменные координаты, выраженные в долях того же масштаба l0.
В такой записи уравнение (9.32) относится к случаям апериодического изменения температуры, которые будут рассматриваться в дальнейшем. При изучении периодических процессов время должно быть введено
2
в уравнение подобия дважды: один раз в составе критерия F0 = аt/l0 в
качестве характеристической величины t (длительность одного периода) и
другой раз в виде симплекса t/t', выражающего текущее время в долях
характеристического, т. е. в виде:
ϑ= f(
l
x y z t
l l
, , , , Bi , F0' , 1 , 2 , ... , n ) .
l0 l0 l0 t'
l0 l0
l0
(9.32 а)
Уравнение (9.32), отвечающее случаю апериодического процесса,
представляет собой частную форму уравнения (9.32, а).
Действительно, для апериодического процесса никакого характеристического времени не существует и из уравнения (9.32, а) оно должно
быть исключено. Это достигается путем замены взятых порознь критерия
F0 и симплекса t/t' их произведением:
157
at' t at
= 2 = 2 = F0 .
t
l 0 t' l 0
t
F0' '
В результате приходим к уравнению (9.32).
Наиболее простой вид уравнение (9.32) приобретает применительно к
телам, форма и относительные размеры которых позволяют рассматривать
в них температурное поле как одномерное. К таким телам относятся неограниченные пластина и цилиндр, а также сфера. Каждое из этих тел имеет
единственный характерный линейный размер l0. Для пластины таким размером является ее полутолщина (l0 = δ), для цилиндра или сферы – их
радиус (l0 = R0) . Тот или иной из этих размеров и остается в критериальном уравнении в качестве единственного геометрического параметра.
Симплексы типа l1 /l0 , l2 /l0 , …, ln /l0 при этом автоматически отпадают.
Исчезнут также и две безразмерные координаты, поскольку температурное
поле является одномерным.
Таким образом, для рассматриваемых случаев уравнение (9.32) приводится к виду:
ϑ= f(
x
, Bi , F0 ) .
l0
(9.33)
В заключение необходимо сделать одно замечание, касающееся изучения температурного поля в твердом теле методом моделирования.
Выбрав для модели какой-либо определенный материал и создав на ее
границах с окружающей средой определенные условия теплообмена, мы
тем самым фиксируем значения коэффициента теплопроводности λм и
коэффициента теплоотдачи αм в критерии Био, выраженном через величины, относящиеся к модели Bi = αм lм / λм. В связи с этим масштаб модели не может быть выбран произвольно. Ее характеристический линейный размер должен определяться исходя из значения критерия (числа) Био:
lм =
158
λм
Bi .
αм
9.4.2. Условия подобия процессов конвективного теплообмена
Вынужденная конвекция
При обтекании твердого тела потоком жидкости, имеющей иную
температуру, чем поверхность самого твердого тела, между ними возникает процесс конвективного теплообмена.
Для определения критериев подобия, отвечающих этому процессу в
условиях вынужденного движения жидкости (ограничимся случаем стационарного процесса и жидкость рассматривается как несжимаемая), следует
воспользоваться системой уравнений (7.10), (4.38) и (4.23), дополнив ее
уравнением, выражающим закон теплообмена между поверхностью тела и
жидкостью (граничное условие третьего рода):
⎛ ∂T ⎞
α ΔT = − λ ⎜
⎟ вбл. пов .
∂
n
⎝
⎠
(9.34)
Уравнение (9.34) отличается по своему содержанию от аналогичного
уравнения (7.12), использованного в предыдущем случае, тем, что в нем λ
представляет коэффициент теплопроводности жидкости, а градиент температуры относится к тонкому слою жидкости, непосредственно контактирующему с поверхностью твердого тела.
Как было показано ранее, уравнение неразрывности (4.23) не дает никаких определяющих критериев, а из уравнения Навье–Стокса (4.38) вытекают определяющие критерии Re и Fr. Действием силы тяжести в большинстве задач по обтеканию тел вынужденным потоком жидкости можно
пренебречь. В таком случае критерий Фруда выпадает из рассмотрения.
Следовательно, для обсуждаемого здесь стационарного процесса теплообмена в качестве единственного определяющего критерия гидродинамического подобия остается критерий Рейнольдса.
В случае нестационарного процесса необходимо также учитывать
число Струхала, которое связано с отсутствующей в уравнении (4.38)
локальной производной ∂υ/∂t. В этом случае необходимо также воспользоваться и уравнением конвективной теплопроводности, написанным в
наиболее полной форме (7.10), содержащей локальную производную
∂Т/∂t, и тогда в качестве одного из тепловых инвариантов подобия допол159
нительно появляется число Фурье. Для частного, но наиболее распространенного случая стационарных задач оно отпадает. Для получения инвариантов подобия преобразуем уравнения (7.10) и (9.34) к безразмерному
виду.
Опуская детали этого преобразования, ничем не отличающегося по
своему характеру от проведенных ранее, перепишем уравнения в виде:
υ0 T0
l0
(υ ⋅ ∇ ) T =
α 0 T0 α ΔT
a T0
l 20
∇2T ;
λT ⎛ ∂T ⎞
⎟ вбл. пов .
= − 0 ⎜⎜
l 0 ⎝ ∂ n ⎟⎠
(9.35)
Отсюда
υ0 l 0
(υ ⋅ ∇ ) T = ∇ 2 T ;
a
α0 l 0
α ΔT
λ
⎛ ∂T ⎞
⎟⎟ вбл. пов .
= − ⎜⎜
∂
n
⎝
⎠
(9.36)
Уравнение (9.36) дает определяющий критерий подобия
υl
a
= Pe ,
(9.37)
который именуется тепловым критерием (числом) Пекле.
Физическое содержание этого критерия непосредственно обнаруживается, если записать его как отношение множителей при операторах
уравнения (9.35):
Pe =
υ 0 l0
a
υ 0T0
l
= 0 =
a T0
l 20
=
υ 0T0
l0
λ T0
c p ρ l 20
=
υ 0 c p ρT0 ( Дж/м 2 ⋅ с )
T
λ 0 ( Дж/м 2 ⋅ с )
l0
=
плотность теплового потока, обусловленного конвекцией
плотность теплового потока, определяемого молекулярной
теплопроводностью.
Следовательно, критерий Пекле выражает меру отношения конвективного и молекулярного переносов тепла в потоке.
160
Из уравнений (9.36) также получаем безразмерный комплекс
αl
= Nu ,
λ
(9.38)
называемый тепловым критерием (числом) Нуссельта.
Этот критерий, внешне тождественный критерию Био, характеризует связь между интенсивностью теплоотдачи и температурным
полем в пограничном слое потока жидкости.
От критерия Био критерий Нуссельта отличается, во-первых, тем, что
входящий в его состав коэффициент теплопроводности λ относится не к
твердому телу, а к омывающей его жидкости, и, во-вторых, тем, что в нем
коэффициент теплоотдачи α представляет величину искомую, а не задаваемую при постановке задачи.
Определение этой величины и является основной целью исследований в области конвективной теплопроводности. Критерий Нуссельта представляет собой безразмерную форму выражения коэффициента теплоотдачи.
Итак, в качестве определяющих критериев в уравнение связи должны
войти критерии Re и Ре. Но поскольку оба они имеют в своем составе
скорость, то целесообразно в качестве аргумента сохранить лишь один из
них (обычно сохраняют критерий Re), а вместо другого ввести их отношение:
Pe υ l υ l ν
=
:
= .
Re a ν
a
Данную безразмерную величину называют критерием (числом)
Прандтля:
ν
а
= Pr .
(9.39)
Этот определяющий критерий можно трактовать как выражение
меры подобия скоростного и температурного полей в потоке. Отличительная особенность критерия Прандтля заключается в том, что он состоит
из физических констант, зависящих только от состояния данной среды.
Следовательно, в целом этот критерий может рассматриваться как физическая постоянная.
161
Для газов критерий Прандтля обычно имеет значения меньше единицы. Для жидкостей диапазон значений этой величины очень широк: от
нескольких единиц до нескольких тысяч. Исключение составляют жидкие
металлы, отличающиеся высокой теплопроводностью. Для них критерий
Прандтля имеет очень малую величину (~ 10─ 3 ÷ 10─ 2).
К числу аргументов, определяющих величину коэффициента теплоотдачи и эквивалентную ей величину числа Нуссельта, необходимо присоединить безразмерные геометрические размеры омываемого потоком тела:
l1 /l0 , l2 /l0 , …, ln /l0 .
Следует также учесть, что локальное значение коэффициента теплоотдачи различно для разных точек поверхности и является функцией их
координат.
Таким образом, для описания стационарного процесса теплообмена
между твердым телом и вынужденным потоком жидкости будем иметь
следующее уравнение подобия:
Nu = f (
l
l l
x y z
, , , Re , Pr , 1 , 2 , ... , n ) . (9.40)
l0 l0 l0
l0 l0
l0
Для расчетных целей вместо локальных значений α обычно пользуются средним значением этой величины:
α ñð = 1 ∫ α d S ,
S
(9.41)
где S – величина обтекаемой поверхности. В таком случае безразмерные
координаты выпадают из числа аргументов и уравнение (9.40) приобретает
вид:
Nu ср =
α ср l 0
λ
= f ( Re , Pr ,
l
l1 l 2
, , ... , n ) .
l0 l0
l0
(9.42)
Для тел, имеющих только один характерный линейный размер (неограниченные пластина и цилиндр, а также сфера), уравнение подобия
упрощается и принимает вид:
Nucp= f (Re, Pr).
(9.43)
Обычно этому уравнению придают степенную форму:
Nucp = Re m · Pr n.
162
(9.44)
Уравнения (9.43) или (9.44) дают возможность показать в наиболее
простой форме преимущества, связанные с применением теории подобия
как метода обобщения экспериментальных данных. Для экспериментального изучения зависимости коэффициента теплоотдачи от определяющих
его величин в простейшем случае, описываемом уравнением (9.43) или
(9.44), необходимо провести всего две серии опытов, в которых бы порознь
варьировались значения критериев Re и Рr. При этом несущественно, за
счет каких именно величин, входящих в состав этих критериев, изменяется
их значение в опыте. При выборе этих величин руководствуются соображениями удобства.
Если экспериментальное изучение рассматриваемого здесь процесса
проводить, не опираясь на теорию подобия, то пришлось бы исследовать
зависимость вида
αср = f ( l, υ, ρ, μ, λ, cp ),
( 9. 45 )
которая потребовала бы проведения шести серий опытов вместо двух.
К тому же при такой постановке исследования было бы утрачено
универсальное значение полученных результатов.
На основе уравнения (9.44) можно также проиллюстрировать уменьшение числа аргументов, от которых зависит исследуемая функция, достигаемое в теории подобия посредством объединения переменных величин в
безразмерные комплексы.
В самом деле, задача о нахождении коэффициента теплоотдачи в процессах конвективного теплообмена сводится к уравнению (9.45), которое
перепишем в виде:
ϕ (αср , l, υ, ρ, μ, λ, cp ) = 0.
В данном случае мы имеем дело с функцией, зависящей от семи размерных переменных (m = 7). Для выражения этих переменных требуется
привлечение четырех основных единиц измерения: метр, килограмм,
секунда, Кельвин (l = 4). Согласно теореме Букингема наша функция
может быть преобразована к функции от n = m – l = 7 – 4 = 3 безразмерных комплексов.
Следовательно, уравнение (9.45) преобразуется к зависимости между
тремя безразмерными комплексами, что и дает уравнение (9.43).
163
Данное уравнение относится к случаю стационарного процесса
теплообмена. Для описания нестационарного процесса в уравнение (9.43)
следует ввести критерий Фурье, т. е. придать ему вид:
Nucp= f (F0, Re, Pr).
(9.46)
Свободная конвекция
Как уже отмечалось ранее, свободное движение жидкости возникает
под влиянием различия плотностей в отдельных ее областях. Наиболее
распространенным и вместе с тем практически важным случаем свободного движения является тепловая конвекция, когда неоднородность поля
плотностей обусловлена неоднородностью температурного поля.
Рассмотрим в качестве конкретного примера вертикальную стенку,
температура которой выше, чем температура окружающей жидкости.
Слой жидкости, соприкасающийся с поверхностью стенки, нагревается, и плотность его становится ниже, чем у основной среды. Разность
плотностей вызывает появление подъемной силы, под влиянием которой
нагретый слой жидкости поднимается вверх, уступая место новому более
холодному слою. В свою очередь, нагреваясь, этот слой перемещается в
том же направлении и т. д. Таким образом, вблизи стенки возникает циркуляция жидкости, сопровождающаяся непрерывным переносом тепла от
стенки к окружающей среде (см. рис. 1.1).
Особенность рассматриваемого явления заключается в том, что движение жидкости, обтекающей твердое тело, будучи следствием процесса
теплообмена между этими двумя средами, является в то же время причиной, поддерживающей протекание этого процесса с определенной интенсивностью.
Если температура стенки поддерживается постоянной, а объем пространства, занятого обтекающей ее жидкостью, достаточно велик, так что
температура жидкости вдали от стенки практически также остается постоянной, то через некоторое время после начала процесса как движение самой жидкости, так и тепловой поток приобретают стационарный характер.
Обозначим через ρ и ρ0 плотность жидкости вблизи и вдали от стенки. Тогда абсолютное значение подъемной силы, действующей на единицу
масссы нагретой жидкости, выразится через g(ρ0 – ρ) / ρ.
164
Приняв с достаточным приближением равенство температур слоя
жидкости, прилегающего к поверхности стенки, и самой поверхности с
учетом формул (1.1) – (1.2), выразим подъемную силу через соответствующую разность температур:
g
ρ0 − ρ
= g β т ΔT ,
ρ
где ΔТ = Тп – Т0, (Т0 – температура жидкости вдали от стенки).
Температурный коэффициент объемного расширения βт, как
известно, является функцией температуры.
Обычно его относят к температуре Т = (Тп + Т0) /2.
Для идеального газа имеем:
1
.
(9.47)
T
Величина βт gΔT должна быть введена в качестве масштаба массоβт =
вой силы в уравнение движения жидкости, написанное в проекциях на ось
z, в направлении которой действует подъемная сила.
Считая поток стационарным, будем иметь:
(υ ⋅ ∇ )υ z = Fz −
1∂p
+ν ∇ 2 υ z ,
ρ ∂z
(9.48)
переходя далее к безразмерным переменным, получим:
υ02
l0
(υ ⋅ ∇ )υ z = gβ т ΔT F z −
p0 ∂ р ν υ0 2
+ 2 ∇ υ z . (9.49)
ρ l0 ∂z
l0
Сопоставление инерционной силы с силой сопротивления и силой
давления дает уже знакомые нам критерии Re и Еu, которые является
несущественными для данной задачи. Из сопоставления инерционной
силы с подъемной получаем новый безразмерный комплекс:
υ2
g l β т ΔT
= idem .
(9.50)
Одна из существенных особенностей задач, связанных с исследованием свободного движения жидкости, заключается в том, что при их постановке не может быть задано какое-либо значение скорости. Можно лишь
165
утверждать, что как непосредственно у поверхности обтекаемого тела (неподвижного), так и на достаточном удалении от него скорость равна нулю.
В связи с этим ни критерий Re, ни только что полученный комплекс (9.50),
не могут быть заданы. Но из этих величин можно получить такой комбинированный определяющий критерий подобия, из которого скорость оказалась бы исключенной, а именно:
υ2
g l3
υ 2 l2
υ2
Re :
= 2 :
= 2 β т ΔT .
g l β т ΔT
g l β т ΔT
ν
ν
2
Полученный безразмерный комплекс называют критерием (числом)
Грасгофа:
g l3
ν
2
β ò ΔT = Gr .
(9.51)
Данный определяющий критерий характеризует отношение подъемной
силы, обусловленной неоднородностью поля плотностей, к силам трения.
Критерий Грасгофа и должен быть введен в качестве аргумента в
уравнение подобия, описывающее процесс теплообмена в условиях свободной конвекции. Для рассматриваемого случая теплоотдачи от вертикальной стенки будем иметь:
Nu ср =
α ср h
λ
= f ( Gr , Pr ) ,
(9.52)
где h – высота стенки.
В некоторых случаях теплообмен между поверхностью твердого тела
и омывающей ее средой происходит при одновременном влиянии вынужденной и свободной конвекции. Такие условия теплообмена, например,
создаются при медленном движении жидкости по нагретой вертикальной
трубе. Если скорость свободного движения жидкости оказывается соизмеримой со скоростью, обусловленной действием внешней силы, то интенсивность теплообмена будет зависеть как от критерия Re, так и от критерия Gr. Для подобного случая уравнение подобия процесса должно принять вид:
Nucp=f (Gr, Re, Pr),
166
(9.53)
причем численное значение определяющего критерия Re рассчитывается
по скорости вынужденного движения.
Часто в условиях свободного движения жидкости инерционные силы
оказываются настолько малы по сравнению с другими силами, действующими в жидкости, что ими можно пренебречь. Тогда инерционный член в
уравнении (9.49) должен быть опущен, и единственный существенный для
рассматриваемого процесса критерий получается из сопоставления подъемной силы и силы трения:
g β т ΔT :
νυ0
l 20
=
g l 20
νυ0
β т ΔT .
Для того чтобы из этого безразмерного комплекса исключить скорость, умножим его на критерий Ре, который также должен быть привлечен в
качестве теплового критерия. При этом получим:
ν g l3
υ
l
.
β ò ΔT
⋅ =
β ò ΔT . ν = Gr . Pr .
νυ
a ν
a
ν2
g l2
Таким образом, при малых значениях инерционной силы критерии Gr
и Рr сливаются в один сложный определяющий критерий, который именуется критерием (числом) Рэлея:
Ra = Gr · Pr .
В этом случае уравнение (9.52) приобретает вид:
Nucp=f (Ra).
(9.54.)
Слияние критериев Gr и Рr в один критерий имеет место и при сравнительно слабом проявлении сил трения. Как критерий Грасгофа, так и
критерий Рэлея характеризуют вклад естественной конвекции в общий
процесс теплообмена. Чем меньше численное значение этих критериев,
тем меньше вклад естественной конвекции. В металлургической практике
часто встречаются задачи, при решении которых используется уравнение
подобия (9.54). Для практических целей его представляют в степенной
форме:
Nuср = C Ra m .
(9.55)
Численные значения параметров С и m представлены в таблице 9.1.
167
Т а б л и ц а 9.1
Параметры критериального уравнения (9.55)
Ra
–2
2
1·10 – 5·10
5·10 2 – 2·10 7
2·10 7 – 1·10 13
C
m
1,18
0,54
0,135
1 /18
1/4
1/3
Следует помнить, что критерий Нуссельта является лишь промежуточной величиной теплового расчета. С учетом его значения, производят
расчет коэффициента теплоотдачи, после чего вычисляют величину теплового потока.
9. 5. Подобие диффузионных явлений
Ранее неоднократно указывалось на аналогию, существующую между
процессами переноса растворенного вещества и переноса тепла.
Эта аналогия находит свое выражение в общности структуры дифференциальных уравнений диффузии и теплопроводности, а также в тождественности форм задания граничных условий для этих процессов. Следовательно, инварианты подобия для диффузионных процессов должны иметь
такую же структуру, как и инварианты теплового подобия. Различие между ними должно сводиться к замене тепловых коэффициентов переноса
диффузионными.
9.5.1. Условия подобия полей концентраций в твердых телах
Пользуясь масштабными и безразмерными величинами, преобразуем
дифференциальное уравнение молекулярной диффузии (7.6) и уравнение
(7.18), выражающее граничное условие третьего рода, к безразмерной форме. Получим:
C0 ∂ C
C
= D 20 ∇ 2 C ;
t0 ∂ t
l0
168
αд 0 С0 αд ΔС = −
или
DC0 ∂C
( )п ,
l0 ∂ n
∂С D t0 2
= 2 ∇ C;
∂t
l0
αд 0 l 0
⎛ ∂C ⎞
αд Δ C = ⎜⎜ ⎟⎟ п .
D
⎝ ∂n ⎠
(9.56)
Эти уравнения дают два безразмерных комплекса: диффузионный
критерий (число) Фурье:
F0 д =
Dt
(9.57)
l2
и диффузионный критерий (число) Био
Bi д =
αд l
.
D
(9.58)
Здесь D – коэффициент диффузии растворенного вещества в твердом
теле. По своему физическому содержанию оба полученных комплекса
совершенно аналогичны одноименным тепловым величинам.
Уравнение подобия для распределения концентрации имеет для
общего случая трехмерного концентрационного поля вид, сходный с уравнением (9.32):
С − Сср
С0 − Сср
= f(
l
x y z
l l
, , , Bi д , F0д , 1 , 2 , ... , n ) . (9.59)
l0 l0 l0
l0 l0
l0
Здесь C0 – начальная концентрация диффундирующего вещества в твердом теле, в простейшем случае одинаковая во всех его точках; Сср – концентрация этого вещества в окружающей среде; С – текущая концентрация.
Для одномерного концентрационного поля уравнение (9.59) упрощается и принимает вид:
С − Сср
С0 − Сср
= f ( Bi д , F0д ,
х
).
l0
(9.60)
169
9.5.2. Подобие процессов массообмена в условиях вынужденной
конвекции
Приведем уравнение (7.19) для случая стационарной конвективной
диффузии и уравнение (7.20), определяющее граничное условие для этого
процесса, к безразмерной форме:
υ0 С0
l0
(υ ⋅∇)С =
DС0
l20
∇2C;
DC ⎛ ∂C⎞
αд0С0 αд ΔС = − 0 ⎜⎜ ⎟⎟ вбл.пов ,
l0 ⎝ ∂n ⎠
или
υ 0l0
(υ ⋅ ∇ ) С = ∇ 2 C
D
αд 0 l 0
D
(9.61)
⎛ ∂C ⎞
αд ΔС = − ⎜⎜ ⎟⎟ вбл. пов .
⎝ ∂n ⎠
(9.62)
Из этих уравнений находим следующие безразмерные комплексы:
диффузионный критерий Пекле
Pe д =
υl
(9.63)
D
и диффузионный критерий (число) Нуссельта
Nu д = Sh =
αд l
,
D
(9.64)
здесь D – коэффициент диффузии растворенного вещества в жидкости,
омывающей твердое тело.
В литературе диффузионный критерий Нуссельта часто называют
также критерием (числом) Шервуда (Sh).
Как и в аналогичной задаче по конвективному теплообмену, критерий
Шервуда является величиной определяемой, так как входящий в его состав
коэффициент массообмена αд представляет собой в данной задаче величину, подлежащую определению. Аргументами в данном случае являются
определяющие критерии Re и Ред. Однако вместо последнего критерия
удобнее пользоваться диффузионным аналогом критерия Прандтля. Его
170
получают путем деления критерия Ред на критерий Re:
υl υl
ν
:
=
D ν
D
= Prд = Sc .
(9.65)
Этот критерий обычно именуют критерием (числом) Шмидта
(Sc). Критерий Рrд = Sc представляет физическую постоянную. Его численные значения для газов и жидкостей существенно различны. У газов
значения коэффициентов переноса ν и D близки друг к другу, поэтому для
них критерий Рrд = Sc имеет порядок, близкий к единице. У жидкостей
значения коэффициентов ν и D отличаются друг от друга на несколько
порядков.
Так, например, коэффициент диффузии молекул и ионов в водных
растворах имеет порядок D ≅ 10 ─ 9 м2/сек, тогда как кинематический
коэффициент вязкости этих сред составляет v ≈ 10─ 6 м2/сек, поэтому для
воды и сходных с ней жидкостей Рrд = Sc ≈ 103. Связь между коэффициентом диффузии и вязкостью дается следующим приближенным законом:
D≈
const
ν
.
C увеличением кинематического коэффициента вязкости значение
критерия Рrд = Sc = ν / D растет пропорционально квадрату последнего.
Для жидкостей, отличающихся большой вязкостью, критерий Sc достигает
значений порядка 106 и более.
Поскольку Sc (Prд) · Re = Peд, очевидно, что большое численное
значение диффузионного критерия Шмидта, характерное для жидкости,
обусловливает значительное преобладание конвективного переноса растворенного вещества в этих средах над молекулярным даже при весьма
малых скоростях движения (т. е. при небольших значениях критерия Re).
Для газов Рrд = Sc ≈ Рr (≈1), следовательно, и Ред ≈ Ре, поэтому в газах
относительная интенсивность конвективного и молекулярного процессов
переноса той и другой субстанции (тепла и растворенного вещества)
должна быть одинаковой. Уравнения подобия для процесса массообмена
между твердым телом и обтекающей его средой в условиях вынужденной
конвекции имеют вид, аналогичный уравнениям (9.40)–(9.44).
171
В частности, для тел, имеющих только один характерный линейный размер
l0 , уравнение подобия принимает следующий вид:
α д ср l 0
Nu д ср = Sh ср =
= f ( Re, Sc ) .
D
(9.66)
10. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И ДИФФУЗИИ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
10.1. Нестационарная теплопроводность в неограниченных телах
К числу наиболее распространенных задач нестационарной теплопроводности относятся задачи, связанные с определением температурного
поля при нагревании или охлаждении твердых тел. Решение подобных
задач сводится к интегрированию дифференциального уравнения Фурье
(7.6):
∂T
= а ∇ 2T
∂t
Для решения данного уравнения целесообразно преобразовать его к
безразмерной форме, введя безразмерную избыточную температуру (9.31)
и безразмерные координаты:
_ x
x= ;
l0
_ y _ z
y= ; z = ,
l0
l0
где l0 – характерный размер тела.
Тогда имеем:
_
T = (T0– Tср) ϑ + Tср;
_
_
x = l0 x;
y = l0 y;
_
z = l0 z .
Подставив эти величины в уравнение (7.6), получим:
_
T0 − Tср 2 _
∂ϑ
(T0 − Tср )
=a
∇ ϑ.
∂t
l2
0
Перенесем а и l0 в левую часть уравнения:
172
∂ϑ
= ∇ 2ϑ ,
⎛ at ⎞
∂⎜ 2 ⎟
⎜l ⎟
⎝ 0⎠
_
или
_
∂ϑ
2
=∇ ϑ.
∂F0
(10.1)
Отсюда видно, что
_
_ __
ϑ = f (F0 , x, y; z ) .
Сформулируем временные условия, необходимые для решения уравнения Фурье (они не зависят от формы и размеров твердого тела).
В абсолютных координатах T – t процессы охлаждения и нагревания
описываются двумя различными кривыми (рис. 10.1), тогда как в безразмерных координатах ϑ – F0 обоим этим процессам отвечает одна и та же
кривая (рис. 10.2).
Таким образом, приходим к следующим временным условиям:
t = 0,
t → ∞,
ϑ = 1;
ϑ = 0.
Уравнение теплопроводности Фурье относится к классу однородных
173
и линейных дифференциальных уравнений с частными производными
второго порядка. Одним из общих методов решения таких уравнений является метод разделения переменных, предложенный Фурье. Этот метод заключается в том, что решение уравнения отыскивается в виде произведения
двух независимых функций. Для уравнения (10.1) одна из этих функций
(φ) должна зависеть от времени (или F0), другая (ψ) – от координат:
_
ϑ = ϕ (F0 ) ⋅ ψ(x, y, z ).
(10.2)
Дифференцируя это уравнение по переменным, находим:
∂ϑ
∂ϕ
=ψ
∂F0
∂F0
∇ 2ϑ = ϕ ∇ 2 ψ .
и
Следовательно, вместо уравнения (10.1) имеем:
ψ
∂ϕ
= ϕ ∇2ψ .
∂F0
Разделив переменные, получим:
1 ∂ϕ 1 2
= ∇ ψ.
ϕ ∂F0 ψ
(10.3)
Левая часть последнего уравнения зависит от критерия Фурье, а правая – от координат. Так как в каждой части уравнения находятся независимые друг от друга величины, то такое равенство может иметь место только
в одном единственном случае, когда обе части уравнения равны постоянной величине:
1 ∂ϕ
1
= ∇ 2 ψ = const.
ψ
ϕ ∂F0
В результате получаем систему из двух дифференциальных уравнений:
1 ∂ϕ
= const;
ϕ ∂F0
1 2
∇ ψ = const.
ψ
(10.4)
Рассмотрим первое из них. Разделив переменные, получаем:
dϕ
ϕ
= сonst · dF0.
Интегрирование этого уравнения дает:
174
(10.5)
ln ϕ = сonst F0 + ln C*,
ϕ = C* exp(сonst · F0).
или
Константу в показателе экспоненты найдем из временного условия:
t → ∞ (F0 → ∞);
T → Tср
_
ϑ = 0 (ϕ = 0).
Для того чтобы это условие выполнялось, константа в показателе
экспоненты должна иметь отрицательное значение, т. е. сonst < 0.
Для того чтобы знак минус сохранялся при любом значении постоянной,
2
положим: const = – β .
Таким образом, решение уравнения (10.5) приобретает вид:
2
ϕ = C* exp(– β F0).
Подставляя это выражение в уравнение (10.4), получим:
_
2
ϑ = ψ C* exp(– β F0).
Перейдем ко второму уравнению системы (10.4), которое можно переписать в виде
1 2
∇ ψ = сonst = − β 2
ψ
(10.6)
Сравнительно легко это уравнение можно решить для тел, в которых
распределение температуры зависит только от одной координаты, т.е. тепловая задача является одномерной. К таким телам относятся неограниченная пластина, неограниченный цилиндр и шар.
10.1.1.
Неограниченная пластина
Рассмотрим решение уравнения (10.6) применительно к неограниченной пластине (рис. 10.3).
Пусть обе поверхности пластины контактируют с одной и той же средой,
имеющей постоянную температуру Tср. Пусть также коэффициент теплоотдачи на обеих поверхностях имеет одно и то же значение и задается в
условии задачи. Учитывая одномерный характер задачи, перепишем уравнение (10.6) в виде:
175
d 2ψ
dx
= − β 2ψ
2
(10.7)
_
Здесь x = х / δ, где δ – полутолщина пластины, принятая в качестве характерного размера.
Уравнению (10.7) удовлетворяют два частных решения:
_
ψ1 = С1Cos(β x );
_
ψ 2 = С2Sin(β x ).
Действительно, после дифференцирования имеем:
dψ1
dx
_
= − βС1Sin(β x );
d 2 ψ1
dx
2
_
2
= − β C1Cos(β x ) = − β 2 ψ1.
Аналогично можно убедиться в том, что и функция ψ
2
удовлетворяет уравнению (10.7).
Однако одна из этих функций не
удовлетворяет физическому
содержанию рассматриваемой
задачи. Это вытекает из того, что
распределение температуры по
толщине пластины должно быть
симметричным относительно ее
оси, следовательно, оно должно
описываться четной функцией,
т. е. при перемене знака аргумента функция должна сохранять свой знак.
Этому условию не удовлетворяет функция синуса:
Sin(–х) = – Sin(+ х).
Следовательно, функцию ψ следует исключить из рассмотрения, приняв
2
176
С2 = 0. Тогда получим:
_
ψ = ψ1 = С1Cos(β x ).
Таким образом, решение исходного уравнения (10.1) имеет вид:
_
_
ϑ = С1Cos(β x ) C * exp( − β 2 F0 )
Объединив постоянные (С1 C*= С), имеем:
_
_
ϑ = С ⋅ Cos(β x ) exp( − β 2 F0 ) .
(10.8)
Произвольные постоянные этого уравнения должны быть определены
из начального и граничного условий. Для определения постоянной β воспользуемся граничным условием третьего рода:
⎛ ∂T ⎞
⎟
⎟
⎝ ∂õ ⎠ x = δ
α(Tï − Tñð ) = − λ⎜⎜
Преобразуем это уравнение к безразмерному виду. Поскольку имеем:
_
T = Tср + (T0 − Tср ) ϑ
_
x = δ x,
и
получим:
⎛ ∂T ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
õ
⎝
⎠õ = δ
или
=
⎛ _⎞
T0 − Tñð ⎜ ∂ϑ ⎟
δ
⎜
⎜
⎜
⎝
∂x
⎟
,
⎟
⎟
⎠x =1
⎛ _⎞
T0 − Tñð ⎜⎜ ∂ϑ ⎟⎟
α(Tï − Tñð ) = −λ
δ ⎜⎜ ∂ x ⎟⎟
⎝
.
⎠x = 1
Откуда имеем:
⎛ _⎞
⎜
⎟
αδ Tï
⎜ ∂ϑ ⎟
=
−
⋅
⎜
⎟
T0
λ
∂
x
⎜
⎟_
⎝
⎠õ =1
− Tñð
.
− Tñð
177
Tï − Tñð _
αδ
При этом
= Bi è
=ϑ x = 1.
T0 − Tñð
λ
⎛ _⎞
⎜
_
∂ϑ ⎟⎟
⎜
Окончательно получим: ⎜
= − Bi ⋅ ϑ x = 1 .
⎟
x
∂
⎜
⎟
⎝
(10.9)
⎠x = 1
Для нахождения безразмерной температуры и ее производной воспользуемся уравнением (10.8):
_
ϑ х = 1 = С ⋅ Cos(β) exp( − β 2 F0 ) ;
⎛ _⎞
⎜ ∂ϑ ⎟
⎟
= − β ⋅ С ⋅ Sin(β) exp( − β 2 F0 ) .
⎜
⎜⎜ ∂ x ⎟⎟ _
⎠х = 1
⎝
Подставив эти выражения в уравнение (10.9), получим:
− β ⋅ С ⋅ Sin(β) exp( − β 2 F0 ) = −Bi ⋅ С ⋅ Cos(β) exp( − β 2 F0 ) .
Отсюда
или
β ⋅ Sin(β) = Bi ⋅ Cos(β) ,
ctg(β) = β / Bi .
(10.10)
Рис. 10.4. Графическое решение трансцендентного уравнения (10.10)
178
Решая это трансцендентное уравнение графическим путем (рис. 10.4),
можно получить сколь угодно большое число корней уравнения (10.10),
отвечающих точкам пересечения функций y1 = ctg(β) и y2 = β/Bi.
Для двух предельных значений критерия Био ряд корней βi находится
просто. Если Bi= ∞, то прямая у2 совпадает с горизонтальной осью и
тогда (приводим лишь положительные значения β)
β1 = π/2, β2 = 3(π/2), β3 = 5(π/2) и т. д. Если Bi= 0, то y2 = ±∞ и в
таком случае β1 = 0π, β2 = 1π, β3 = 2π и т. д.
Конечным значениям критерия Био отвечают корни, лежащие в интервалах от 0 до π/2, π до (3/2)π, 2π до (5/2)π и т. д. В промежуточных областях корни βi отсутствуют. В табл. 10.1 приведены первые три корня βi
для различных значений Bi.
Т а б л и ц а 10.1
Корни уравнения (10.10)
Bi
β1
β2
β3
∞
1000
100
50
20
10
4
I
0,1
0,01
0
1,57= π/2
1,57
1,56
1,54
1,50
1,43
1,26
0,86
0,31
0,10
0
4,71=3(π/2)
4,71
4,66
4,62
4,49
4,30
3,93
3,42
3,17
3,14
3,14 = π
7,85 = 5(π/2)
7,84
7,77
7,70
7,49
7,22
6,81
6,43
6,30
6,28
6,28 = 2π
Как видно из этой таблицы, с увеличением Bi численное значение β
быстро возрастает, стремясь к своему предельному значению.
Таким образом, применение граничного условия (10.9) к уравнению
(10.8) дает ряд частных решений, каждое из которых отличается значением
постоянной βi. Общее решение рассматриваемой задачи должно быть
179
представлено как сумма частных peшений вида (10.8):
_
∞
ϑ= Σ
i =1
_
Сi ⋅ Cos(β i x ) exp( − β i2 F0 )
(10.11)
Значение произвольной постоянной Ci найдем из начального условия:
t = 0;
2
exp( − β F0 ) = 1;
F0= 0;
_
_
ϑ = ϑ 0 = 1.
Опуская промежуточные действия, запишем конечный результат:
Ci =
2Sin(β )
i
β i + Sin(β i )Cos(β i )
.
Подставляя значение Ci в уравнение (10.11), получаем окончательное
выражение для распределения температуры по толщине пластины в процессе ее охлаждения или нагрева:
_
∞
ϑ=2 Σ
i =1
_
Sin(β i )Cos(β i x )
β i + Sin(β i )Cos(β i )
exp( − β i2 F0 )
(10.12)
Благодаря резкому возрастанию коэффициентов βi с увеличением
порядкового номера члена в ряду (см. табл. 10.1), ряд быстро сходится,
причем сходимость ряда тем лучше, чем больше численное значение числа
Фурье и, следовательно, время протекания процесса t.
Во многих случаях можно получить достаточно точное решение,
ограничившись несколькими первыми членами.
Поскольку произвольные постоянные βi являются функциями критерия Био, последнее уравнение можно представить в форме
_
_
ϑ = f ( x , Bi, F0 ) ,
совпадающей с видом критериального уравнения (9.33), полученного методами теории подобия.
Практически интерес представляет оценка количества тепла (иначе
изменение энтальпии), которое получает пластина в процессе нагрева или
отдает в процессе ее охлаждения за время t, которое можно определить
180
+δ
Qt = C p ρ S ∫ (T0 − T ) dx ,
следующим образом:
(10.13)
−δ
где S – площадь поверхности пластины.
Полное изменение энтальпии пластины по достижении теплового равновесия с окружающей средой (Q0) составит:
(
)
Q0 = 2C p ρ Sδ Т 0 − Т ср .
(10.14)
Разделив уравнение (10.13) на (10.14), получим выражение для изменения относительной энтальпии пластины:
Qt
1 + δ T0 − T
=
dx.
∫
Q0 2δ − δ T0 − Tср
Переходя к безразмерным переменным, получим:
T0 − T
= 1 − ϑ;
T0 − Tср
x = δ x.
Следовательно, можно записать:
Qt
1 +1
= ∫ (1 − ϑ )d x.
Q0 2 −1
Используя значение
(10.15)
ϑ из уравнения (10.12) и учитывая началь-
ϑ 0 = 1, что позволяет заменить единицу в скобках, имеем:
ные условия
_
∞
ϑ0 = 2 Σ
i
_
Sin( β i ) Cos( β i x )
= 1 β + S in( β ) Cos( β )
i
i
i
,
получим:
Qt
Q0
=
∞
Σ
i =1
Sin (β i )
β i + S in( β i ) Cos( β i )
×
(10.16)
+1
× ⎡⎢1 − exp( − β i2 F0 ) ⎤⎥ ∫ cos ⎛⎜ β i x ⎞⎟ d x .
⎣
⎦
−1
⎝
⎠
После интегрирования находим:
181
Qt
Q0
=2
Sin 2 (β i )
∞
Σ
i =1
β
2
i
+ β i S in( β i ) Cos( β i
⎡
⎢⎣1 − exp(
)
− β i2 F0 ) ⎤⎥.
⎦
(10.17)
Выражение (10.17) можно представить в следующей общей форме:
Qt
= ϕ (Bi, F0 ).
Q0
(10.18)
Для практических расчетов нестационарной теплопроводности удобно
пользоваться графиками Д. В. Будрина и Г. Гребера, построенными с учетом уравнений (10.12) и (10.17).
На рис. 10.5 и 10.6 приведены графики для определения температуры в
средней плоскости ϑц и на поверхности пластины ϑп . Для этих случаев
уравнение (9.33) упрощается и принимает вид:
_
ϑ = f ( Bi, F0 ) ,
(10.19)
так как безразмерная координата, являющаяся одним из его аргументов,
становится постоянной величиной (для средней плоскости х = 0, а для
поверхности x = δ/δ = 1).
Рис. 10.5. Номограмма для расчета температуры в средней плоскости пластины
182
Рис. 10.6 Номограмма для расчета температуры на поверхности пластины
На рис. 10.7 дан график для определения относительного расхода
тепла при нагревании или охлаждении пластины.
Рис. 10.7. График относительного изменения теплосодержания пластины
10.1.2.
Сплошной неограниченный цилиндр
В случае неограниченного цилиндра следует перейти к цилиндрическим координатам и записать для лапласиана функции ψ выражение,
аналогичное (8.16). Тогда уравнение (10.6) примет вид:
183
_ dψ
(R
) = − β2 ψ ,
R dR dR
1 d
_
где R = R / R , a R0 – радиус цилиндра.
0
Не приводя деталей решения этого уравнения, по своему характеру
ничем не отличающегося от рассмотренного решения для неограниченной
пластины, запишем окончательное выражение:
_
∞
ϑ =2 Σ
i =1
1
β
i
⋅
_
J1 (β i ) J 0 (β i R)
J 02 (β i ) + J12 (β i )
exp( − β i2 F0 ) .
(10.20)
Здесь J0 – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а J1 – функция Бесселя первого рода первого порядка. Эти функции выражаются
следующим образом:
∞
Σ
J 0 ( x) = (−1) n
n =0
x 2n
2 2n (n!)2
∞
Σ
J1 ( x) = (−1) n
n=0
,
x 2n +1
2n +1
,
2
n!(n + 1)!
причем dJ0(х)/ dx= – J1 (х), что вытекает из почленного дифференцирования ряда для J0 (х).
Произвольные постоянные βi определяются как корни трансцендентного уравнения:
β J1(β) = Bi J0(β),
выражающего граничное условие третьего рода для данной задачи.
Нетрудно видеть, что и в этом случае решение дифференциального
уравнения Фурье можно представить в форме:
_
_
ϑ = f ( R, Bi, F0 ) ,
совпадающей с видом критериального уравнения (9.33), полученного методами теории подобия.
184
10.1.3.
Сплошной шар
Наконец, в случае шара необходимо перейти к сферическим коорди2
натам (см. рис. 8.13) и записать для ∇ ψ выражение, аналогичное (8.41).
Тогда уравнение (10.6) примет вид:
_
d
dψ ) = − β 2 ψ ,
(R 2
2
dR
R dR
1
_
где R = R / R , a R0 – радиус шара.
0
В этом случае окончательное выражение для безразмерной температуры имеет вид:
_
Sin(β i ) − β i Cos(β i ) Sin(β i R)
ϑ =2 Σ
⋅
exp( − β i2 F0 ) . (10.21)
βi R
i = 1 β − Sin(β )Cos(β )
i
i
i
_
∞
Постоянные βi находятся из граничного условия третьего рода,
Рис. 10.8. Безразмерная температура ϑ ц на оси цилиндра
185
Рис. 10.9. Безразмерная температура ϑ п на поверхности цилиндра
Рис. 10.10. График относительного изменения теплосодержания цилиндра
которое для рассматриваемого случая выражается трансцендентным
уравнением:
β ⋅ Cos(β) = (1 − Bi) ⋅ Sin(β) .
Таким образом, и в данном случае решение дифференциального уравнения Фурье можно представить в форме, совпадающей с видом критериального уравнения (9.33), полученного методами теории подобия.
Как и в случае пластины, полученные решения для цилиндра и шара
/уравнения (10.20) и (10.21) /представлены соответствующими графиками.
В качестве примера на рис. 10.8–10.10 приведены графики для цилиндра.
Сравнивая между собой уравнения (10.12), (10.20) и (10.21), полученные
186
для неограниченной пластины, неограниченного цилиндра и шара, замечаем, что их можно обобщить при помощи уравнения
_
ϑ = Σ Ñi ⋅ ψ(β i l ) exp( − β i2 F0 ) ,
_
∞
i =1
(10.22)
_
_
где l = x / δ – для пластины; l = R / R0 – для цилиндра и шара.
Временная часть безразмерной температуры не зависит от формы тела, а
ее пространственная часть является функцией координат.
10.2. Двух= и трехмерные задачи нестационарной
теплопроводности
Располагая решениями уравнения теплопроводности для неограниченных пластины и цилиндра, можно получить решения и для некоторых
более сложных тел, в которых температура является функцией двух или
трех координат.
К первым относятся
такие тела, как неограниченный прямоугольный
стержень и короткий цилиндр, ко вторым – параллелепипед.
К примеру, неограниченный прямоугольный
стержень можно рассматривать как тело, образованное пересечением двух
взаимно перпендикулярных неограниченных пластин (рис. 10.11).
Выделим внутри стержня точку с координатами х и у. Эта точка принадлежит одновременно двум неограниченным пластинам.
Если ее рассматривать как точку вертикальной пластины, то получим:
187
_
ϑ1 = f1 (Bi x , F0 x ) ,
2
где Bi x = α δ x / λ и F0 x = а t / δ x .
Если же эту точку считать принадлежащей горизонтальной пластине,
то аналогично имеем:
_
ϑ 2 = f 2 (Bi y , F0 y ),
где
Bi y = α δ y / λ,
F0 y = а t / δ 2y .
Если принадлежность точки к одной из пластин считать простым событием, а ее одновременную принадлежность обеим пластинам – сложным
_
событием, то связь между безразмерной температурой ϑ , относящейся к
_
_
стержню в целом, и безразмерными температурами ϑ 1 и ϑ 2 будет иметь
тот же характер, что и связь между вероятностями сложного события и
вероятностями простых событий. Как известно, эта связь дается законом
умножения:
_
или
_ _
ϑ = ϑ 1⋅ ϑ 2 ,
_
ϑ ( x, y, t ) = f1 (Bi x , F0 x ) ⋅ f 2 (Bi y , F0 y ) .
(10.23)
(10.24)
Аналогичным образом можно показать, что для трехмерных тел, например для параллелепипеда, который можно рассматривать как тело,
образованное пересечением трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин, безразмерная температура определится выражением:
ϑ ( x, y, z , t ) = f1 (Bi x , F0 x ) ⋅ f 2 (Bi y , F0 y ) ⋅ f 3 (Bi z , F0 z ) . (10.25)
Таким же образом можно определить температуру в коротком цилиндре,
который можно получить пересечением неограниченного цилиндра и пластины:
ϑ ( R, x, t ) = f1 (Bi R , F0 R ) ⋅ f 2 (Bi x , F0 x ) .
188
(10.26)
10.3.
Регулярный режим нагрева и охлаждения тел
Как было показано выше, для тел простой формы (неограниченные
пластина и цилиндр, шар) решение дифференциального уравнения теплопроводности выражается при помощи ряда, который в общей форме может
быть записан в виде уравнения (10.22):
_
ϑ = Σ Сi ⋅ ψ(β i l ) exp( − β i2 F0 )
_
∞
i =1
_
_
где l – безразмерная координата (для пластины l = x/δ, а для цилиндра и
_
шара l = R/R0).
Ранее отмечалось, что такой ряд быстро сходится, причем его сходимость улучшается с увеличением критерия Фурье, т.е. фактически с
ростом времени процесса. Следовательно, по мере увеличения времени
нагревания или охлаждения тела, т. е. по мере возрастания числа Фурье,
каждый последующий член ряда становится менее существенным по
сравнению с предшествующими. Через определенный промежуток времени после начала процесса все члены ряда оказываются малы по сравнению
с первым членом и ими можно пренебречь. Тогда вместо уравнения (10.22)
_
ϑ = C1ψ(β1 l ) exp( − β12 F0 ) .
_
получим:
Логарифмируя это выражение, находим:
_
lnϑ = ln ⎡⎢С1ψ(β1, l )⎤⎥ − β12 F0
⎣
⎦
или, обозначив: ln C1ψ(β1 , l ) = A,
β12 = B,
_
получаем:
lnϑ = A − B ⋅ F0 .
(10.27)
Режим нагрева или охлаждения тела, в котором наблюдается линей-
_
ная зависимость между ln ϑ и F0 в соответствии с уравнением (10.27),
получил название регулярного режима.
Перейдем к размерной температуре, и одновременно критерий Фурье
выразим через время процесса:
189
ln
ϑ
at
= A− B 2
ϑ0
l
(10.28)
0
Ba
или
ln ϑ = ln ϑ0 + A −
Обозначив:
ln ϑ0 + A = к * и
l02
t
Ba
l02
(10.28 а)
= m , получаем:
ln ϑ = к * − mt
(10.29)
Таким образом, в регулярном режиме в соответствии с уравнениями
(10.28) и (10.29) ln ϑ и lnϑ меняются линейно со временем (рис. 10.12, a
и b).
Отметим, что в координатах lnϑ – t может быть изображен только
процесс охлаждения тела, в ходе которого (Т – Тср) > 0.
Дифференцируя уравнения (10.28)–(10.28, а) по времени, находим
величину, характеризующую скорость изменения температуры в регулярном режиме, которая численно равна тангенсу угла наклона прямой на
Рис. 10.12. Изменение температуры во времени в регулярном режиме
рис. 10.12, m:
tgα = −
∂ lnϑ
∂ lnϑ
∂ϑ
a
a
=−
=−
= m = В = β12 . (10.30)
∂t
∂t
ϑ∂t
l2
l2
0
0
Величину m (1/с) называют темпом изменения температуры, и
она определяет относительную скорость изменения температуры в
регулярном режиме. Поскольку последнее уравнение не содержит пере190
менной координаты l, величина m сохраняет постоянное значение для
всех точек данного тела.
Так как β1 = f ( Bi) , то и темп регулярного режима также будет определяться критерием Био. С увеличением Bi параметр β растет, соответ1
ственно будет расти и темп регулярного режима. Для данного тела численное значение критерия Био зависит от коэффициента теплоотдачи α,
поэтому и темп регулярного режима будет также определяться величиной
коэффициента теплоотдачи.
В пределе, когда Bi → ∞, m → m∞, причем предельное значение
темпа регулярного режима можно определить расчетом, не прибегая к
эксперименту.
Если Bi → ∞, то β1 → β1 max причем β1 ≅ β1 max уже при сравнительно небольших значениях критерия Био (см. табл. 10.1).
a
2
,
1 max 2
l0
Таким образом, имеем: m∞ = β
или
a
m∞ =
l02 / β12max
=
a
.
kф
(10.31)
Величина kф зависит только от формы и размеров тела:
kф = (l0 / β1 max ) 2 .
(10.32)
Соответственно ее назвали коэффициентом формы. Для некоторых
тел коэффициент формы может быть легко вычислен. Так, для неограниченной пластины имеем:
l0 = δ ;
β1 max = π .
2
Следовательно,
kф = (
δ 2
δ
) = 4( ) 2 .
π
π/2
Для неограниченного цилиндра ( β1 max = 2,405 )
191
kф = ( R0 / 2,405) 2 = 0,173R02 .
Для шара
kф = (R0 / π) 2 .
Для цилиндра длиной l
kф =1 /[(2,405 / R0 ) 2 + ( π / l ) 2 ] .
Для параллелепипеда со сторонами l1, l2, l3
kф =1 /[( π / l1 ) 2 + ( π / l2 ) 2 + ( π / l3 ) 2 ] .
(10.33)
Уравнение (10.31) является математической формулировкой теоремы Г.М. Кондратьева для регулярного режима: при больших значениях
критерия Био темп изменения температуры пропорционален коэффициенту температуропроводности тела.
Бесконечно большое значение критерия Био означает, что интенсивность внешнего теплообмена бесконечно велика по сравнению с внутренним теплообменом. Отсюда следует, что температура поверхности тела
мгновенно становится равной температуре окружающей среды (которая
задана по условию задачи и является постоянной). В результате заданной
величиной оказывается температура поверхности тела, т. е. получаем задачу с граничными условиями первого рода. Таким образом, регулярный
тепловой режим при граничных условиях первого рода (Bi →∞ или
практически Bi ≥ 100) отличается тем, что темп нагрева или охлаждения
не зависит от критерия Био, а определяется только формой, размерами тела
и его температуропроводностью.
Для того чтобы строго установить соответствие реальных условий
тем условиям, при которых справедлива теорема Кондратьева, используют
соотношение между двумя безразмерными величинами:
М = т/т∞ и H = αkфS/λV,
где S – поверхность тела; V – его объем.
Первая величина именуется относительным темпом охлаждения,
вторая представляет собой модифицированную форму записи критерия
192
Био, так как величина kфS/V имеет размерность длины. Связь между
этими безразмерными величинами задается следующими данными:
50
25
20
15
∞
H
1
0,986
0,972
0,965
0,954
М
При Н → ∞, (α → ∞) m → m∞ и М = 1, т.е. условия, для которых справедлива теорема Кондратьева, выполняются точно.
При Н≥ 20 величина М отличается от единицы на (1 – 0,965)100 % =
= 3,5 %. Следовательно, с точностью до 3,5% можно считать, что регулярный режим с граничными условиями первого рода наступает при Н≥ 20.
Таким образом, задавая точность, можно подсчитать, какова должна
быть величина Н, а из нее вычислить, при каком коэффициенте теплоотдачи наступают условия теплообмена, для которых справедлива теорема
Кондратьева:
α = H λV .
kф S
(10.34)
Методом регулярного режима часто пользуются для оценки времени
нагревания или охлаждения тел. Для этого используют формулу (10.30),
придав ей следующий вид (рис. 10.12, b):
1 T1 − Tср
.
Δt = ln
m T2 − Tср
(10.35)
Здесь Δt = t2 – t1 – время, в течение которого температура в какой-либо
точке тела изменяется от Т1 до Т2 . Подобная задача может быть решена
чисто теоретическим путем, если известны коэффициенты формы тела kф
и температуропроводности a, необходимые для вычисления темпа изменения температуры m.
Большое практическое значение теоремы Кондратьева состоит в том,
что она лежит в основе экспериментального определения теплофизических
свойств различных материалов. Для этого из исследуемого материала
изготавливают образец, имеющий определенную геометрическую форму,
и проводят его нагрев или охлаждение в регулярном режиме.
Сняв зависимость ϑ = f(t), строят ее в полулогарифмическом мас193
штабе и определяют темп изменения температуры, после чего рассчитывают температуропроводность материала по уравнению (10.31).
10.4. Нестационарная диффузия в полуограниченном
твердом теле
Рассмотрим твердое тело, ограниченное плоскостью х = 0 и простирающееся в бесконечность по нормали к этой плоскости. Такое тело называется полуограниченным.
На практике любое тело, у которого один размер значительно больше двух других, может рассматриваться как полуограниченное. Если на
поверхности такого тела создать источник диффундирующего вещества,
то при повышенной температуре начнется диффузия этого вещества в
глубь полуограниченного тела.
Задача состоит в том, чтобы установить распределение концентрации диффундирующего вещества в твердом теле в любой момент времени от начала процесса диффузии.
Закономерности, которым подчиняется диффузия, определяются
свойствами источника диффундирующего вещества.
10.4.1.
Диффузия из ограниченного источника
Если на поверхности твердого тела создан тонкий слой диффундирующего вещества так, что его толщина δ → 0, то такой источник называется ограниченным. На практике эту модель можно использовать в том
случае, если δ << l, где l – длина твердого тела (рис. 10.13).
В нашем случае диффузия будет происходить вдоль оси x, т.е. диффузионная задача будет одномерной. Для ее решения представим дифференциальное уравнение Фика в виде:
∂С
∂ 2С
=D 2 .
∂t
∂x
(10.36)
Особенности нашего источника позволяют сформулировать добавочное условие, облегчающее решение этого уравнения. Если обозначить че194
рез Cs концентрацию диффундирующего вещества в источнике и S – поперечное сечение твердого тела, то количество вещества в источнике до
начала диффузии составит:
Рис. 10.13. Схема диффузии из ограниченного источника (a) и вид
концентрационной функции / С(t, x) / (b)
Ns = Cs V = Cs S δ.
Это количество вещества будет сохраняться постоянным в течение
всего времени процесса диффузии.
Если концентрацию диффундирующего вещества в элементарном
слое толщиной dx обозначить через С, то количество диффундирующего
вещества в этом слое равно
C S dx.
Для слоя конечной толщины, простирающегося от x1 до x2, количество диффундирующего вещества составит
x2
∫ C S dx
.
x1
Для любого момента времени диффузии общее количество диффундирующего вещества в твердом теле равно:
∞
∞
−δ
0
N s = ∫ C S dx = S ∫ C dx ,
так как δ → 0.
Итак, для любого момента времени t можно сформулировать сле195
дующее условие нормировки:
Ns ∞
= ∫ C dx .
S 0
(10.37)
Величина С дает нам концентрацию диффундирующего вещества в
произвольно выбранной точке пространства в любой момент времени. От
каких переменных зависит эта функция? Нетрудно видеть, что ее аргументами будут х , D и t. Вид этой функции и должен быть установлен с помощью решения дифференциального уравнения Фика.
Для облегчения решения задачи преобразуем функцию
С = f (х, D, t)
к функции от безразмерных комплексов. Это позволит нам уменьшить число аргументов, т. е. независимых переменных. Согласно теореме Букингема (см. раздел 9.2) число безразмерных комплексов равно числу размерных переменных минус число единиц измерения. В нашем случае три размерных переменных (х, D и t) требуют для своего выражения двух единиц измерения (метр и секунда). Следовательно, наша функция может
быть преобразована к функции от одного (3 – 2 = 1) безразмерного комплекса. Его можно записать в виде z =
x . Таким образом:
Dt
C = f ( z) = f ( x ) .
Dt
В условии нормировки (10.37) перейдем к новой переменной.
Поскольку это условие сохраняется для любого момента времени диффузии, т. е. от времени не зависит, следовательно, получим:
z=
x
;
Dt
dz =
dx
;
Dt
dx = Dt dz .
∞
Тогда
N s / S = ∫ Dt f ( z )dz
0
и условие нормировки принимает вид:
Ns ∞
= ∫ Dt f ( z )dz .
S 0
Дифференциальному уравнению (10.36) удовлетворяет функция
196
C = f ( z ) = к exp(− z 2 / 4) ,
(10.38)
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Постоянную к
найдем из условия нормировки:
∞
Ns
= к ∫ exp(− z 2 / 4))dz .
S Dt
0
(10.39)
В интеграле сделаем замену переменной:
z2/4 = y2;
∞
Тогда
z2 = 4y2;
z = 2y;
dz=2dy.
∞
2
2
∫ exp(− z / 4)dz = 2 ∫ exp(− y )dy .
0
0
Последний интеграл принадлежит к числу табличных и равен:
∞
2
∫ exp(− y )dy = π / 2 .
0
Таким образом, имеем:
∞
2
∫ exp(− z / 4)dz = 2( π / 2) = π .
0
Итак, уравнение (10.39) можно представить в виде:
Ns
S Dt
откуда
к=
=к π,
Ns
S πDt
.
Возвращаясь к уравнению (10.38), имеем:
C = к exp(− z 2 / 4) =
Ns
exp(− z 2 / 4) .
S πDt
Так как
z 2 ( х / Dt ) 2
х
=
=(
)2 ,
4
4
2 Dt
то
C=
Ns
х
exp[−(
)2 ] .
S πDt
2 Dt
197
Если умножить и разделить правую часть на δ, то с учетом того, что
S·δ = V, а Ns/V = Cs, окончательно получим:
Cs δ
х
exp[−(
)2 ] .
C=
πDt
2 Dt
10.4.2.
(10.40)
Диффузия из концентрационной ступени
Если источник диффундирующего вещества имеет конечные размеры и в начальный момент времени диффундирующее вещество распределено в нем равномерно, то такой случай массопереноса именуется диффузией из концентрационной ступени (рис. 10.14).
Для решения этой задачи
воспользуемся результатами, полученными при рассмотрении
диффузии из ограниченного
источника.
С этой целью разобьем
ступень на большое число ограниченных источников, т. е. на
слои малой толщины δ = Δх.
Тогда массоперенос из концентрационной ступени можно рассматривать как суммарный результат
диффузии из большого числа ограниченных источников. За основу
математического описания диффузии можно принять формулу (10.40),
полученную для диффузии из ограниченного источника.
Применяя формулу (10.40) к нашему случаю, необходимо учесть два
обстоятельства. Во-первых, диффузия из каждого отдельного источника
идет как в положительном, так и в отрицательном направлении оси x, а
поэтому эффективность действия источника уменьшится вдвое, в соответствии с чем правую часть уравнения (10.40) следует уменьшить в два
раза. Во-вторых, для каждого источника следует осуществить перенос оси
ординат:
x′ = x + m Δх,
198
где т = 1, 2, 3, …. , n.
Таким образом, уравнение (10.40) применительно к нашему случаю
диффузии перепишется в виде
C=
Cs Δx
х′ 2
exp[−(
) ].
2 πDt
2 Dt
На основании вышесказанного получим:
C=
∞
Cs Δx
х + mΔx 2
exp[−(
) ].
m = 0 2 πDt
2 Dt
Σ
(10.41)
Сделаем замену переменной:
х + mΔx
= z.
2 Dt
Поскольку при изменении переменной суммы т величины x и Δх
не меняются, получим
ΔmΔx
= Δz
2 Dt
и, следовательно, (поскольку Δm = 1)
Δx = 2 Dt ⋅ Δz .
Подставляя последнее выражение в уравнение (10.41), будем иметь:
∞
Cs
exp(− z 2 )2 Dt Δz ,
m = 0 2 πDt
C= Σ
или
Cs ∞
C=
Σ exp(− z 2 )Δz ,
π zо
где z = z m =0 =
0
x
.
2 Dt
Если концентрационная ступень разбита на достаточно большое число ограниченных источников, тогда получим:
199
Δх → 0 и Δz → 0.
Тогда суммирование можно заменить интегрированием:
Cs ∞
2
C=
∫ exp(− z )dz .
π z
(10.42)
о
Рассмотрим отдельно интеграл, разбив его на части:
∞
0
2
∞
2
∫ exp(− z )dz = ∫ exp(− z )dz + ∫ exp(− z )dz .
zо
2
zо
0
Второй интеграл принадлежит к числу табличных:
∞
2
∫ exp(− z )dz =
0
π
.
2
Если первый интеграл умножить и разделить на
π
и поменять пределы
2
интегрирования, то получим интеграл вероятности, или функцию ошибок
Гаусса (error function – erf ):
0
z
π 2 о
π
2
exp(
−
z
)
dz
=
−
∫
∫ exp(− z )dz = − erf ( z ) .
2 π 0
2
z
2
о
Таким образом, интересующий нас интеграл равен:
∞
2
∫ exp(− z )dz =
zо
π
π
π
−
erf ( z ) =
[1 − erf ( z )] .
2
2
2
Следовательно, возвращаясь к уравнению (10.42), получим:
C=
или
Cs
π
π
2
[1 − erf ( z )] ,
C
C = s [1 − erf ( z )] .
2
(10.43)
Функцию 1 – erf(z) = erfc(z) называют дополнительной функцией
ошибок (она дополняет функцию ошибок Гаусса до единицы).
Соответственно конечный результат для случая диффузии из концентрационной ступени можно записать так:
200
C
C
С = s erfc( z) = s erfc(
2
2
x
).
2 Dt
(10.44)
Остановимся коротко на свойствах функции ошибок Гаусса.
Ее предельные значения составляют:
erf (0) = 0;
erf (∞) = 1.
С увеличением аргумента функция ошибок Гаусса быстро возрастает,
причем уже при сравнительно небольших значениях z величина erf (z)
мало отличается от единицы. Так, при z = 3 функция ошибок erf (3) =
= 0,99998, т. е. с точностью 0,002 % равна единице.
Уточним понятие полуограниченного тела применительно к диффузии из концентрационной ступени. Очевидно, что образец, в котором происходит диффузия, может рассматриваться как полуограниченное тело,
если после окончания диффузии в нем остается область, не затронутая
диффузией, т. е. область, в которой С = 0. Оценим протяженность области
диффузии. Из уравнения (10.44) следует, что условие
x = L;
C=0
приводит к выражению:
0 = 1 − erf (
или
erf (
L
)
2 Dt
L
) = 1.
2 Dt
Как было указано выше, с точностью 0,002 %: erf (z) = 1 для z=3.
Следовательно, получим:
L
= 3 , откуда L = 6 Dt .
2 Dt
Таким образом, для заданных значений D и t образец, в котором
происходит диффузия, может рассматриваться как полуограниченное тело,
если выполняется условие l
≥ L , где l – длина образца.
201
10.4.3.
Диффузия из постоянного источника
Если концентрация диффундирующего вещества на поверхности
твердого тела в течение всего процесса диффузии поддерживается постоянной, то такой случай диффузии именуется диффузией из постоянного
источника. Для того чтобы получить закон диффузии для этого случая,
воспользуемся уравнением для диффузии из концентрационной ступени
(10.44).
Для поверхности твердого тела (х = 0):
erf (0) = 0 и С = Cs /2
для любого момента времени.
Следовательно, на границе раздела ‹‹ источник – твердое тело›› во время
диффузии сохраняется постоянная концентрация, равная Cs /2 . Поэтому
начиная с х = 0 массоперенос можно рассматривать как случай диффузии
из постоянного источника с концентрацией Cs /2 .
Следовательно, ветвь кривой для х≥ 0 описывает диффузию из постоянного источника.
Для произвольного постоянного источника с концентрацией Сп полу-
х
),
2 Dt
чим:
C = Cп erfc(
или
C = Cп [1 − erf (
х
)] .
2 Dt
(10.45)
Определим плотность диффузионного потока через поверхность
твердого тела. С этой целью воспользуемся законом молекулярной диффузии Фика:
j x = 0 = − D(
Так как
где z =
202
dC
) x =0 .
dx
2 z
2
erf z =
∫ exp(− z )dz ,
π0
x
2 Dt
(10.46)
(10.47)
∂С 2Cп
х2
1
=
(−
) exp(−
).
∂x
4 Dt
π
2 Dt
то
Следовательно,
(
dC
C
) x =0 = − п .
dx
πDt
(10.48)
Подставляя (10.48) в уравнение (10.46), имеем:
j x = 0 = Cп
D
D
= Cп
.
πt
πDt
Количество вещества, проходящее через единичную поверхность за
время t, равно:
t
t
0
0
N = ∫ j dt = ∫ Cп
D
D t dt
D 1/ 2 t
Dt
=
= 2Cп
.
2
dt = Cп
C
t
∫
п
0
πt
π0 t
π
π
Если концентрация диффундирующего вещества в твердом теле в начальный момент отличается от нуля, то следует изменить начало отсчета
концентрации: отсчитывать ее не от нуля, а от С0.
Тогда уравнение (10.45) примет вид:
C − Cо = (Cп − Cо )[1 − erf ( z )] .
Отсюда
C − Cо Cп − C
C − Cп _
erf ( z ) = 1 −
=
=
=С,
C п − C о C п − Cо C о − C п
т. е. приходим к понятию безразмерной концентрации.
Таким образом, уравнение (10.45) принимает вид:
_
С = erf ( z ) = erf (
х
).
2 Dt
(10.49)
10.5. Нестационарная теплопроводность в полуограниченном
твердом теле
Пусть полуограниченное твердое тело с начальной температурой Т0
помещено в среду, которая поддерживает постоянную температуру Тп
(рис. 10.15). Эта задача совершенно аналогична задаче диффузии из
203
постоянного источника.
Следовательно, закон изменения температуры со временем в каждой
точке твердого тела
будет совершенно
аналогичен тому, который мы получили
для соответствующей диффузионной
задачи (10.49).
Для перехода от
диффузионного процесса к тепловому
достаточно в уравнении (10.49) заменить концентрацию на температуру, а коэффициент
диффузии – на коэффициент температуропроводности:
_
θ = erf (
х
)
2 аt
(10.50)
При этом безразмерная температура определяется следующим образом:
_ T −T
п ,
θ=
Tо − Tп
откуда получим:
T − Tп = (Tо − Tп ) erf (
или
T = Tп + (Tо − Tп ) erf (
х
),
2 аt
х
).
2 аt
(10.51)
Плотность теплового потока на поверхности тела (х = 0) определим с помощью закона молекулярной теплопроводности Фурье:
qп = q x = 0 = −λ ( ∂T ) x = 0 .
∂x
Используя уравнения (10.51) и (10.47), имеем:
204
(10.52)
х
( ∂T ) x = 0 = (T0 − Tп ) ∂ [erf (
)]x = 0 = (T0 − Tп ) 1 .
∂x
∂x
πat
2 аt
Подставляя найденное выражение в уравнение (10.52), получаем:
qп = −λ (T0 − Tп )
1
= (Tп − T0 )
πat
λ
.
πat
Учитывая, что коэффициент температуропроводности а =
λ
,
С рρ
последнее уравнение перепишем в виде:
qп = (Tп − T0 )
λС р ρ
πt
.
(10.53)
Из этого выражения видно, что плотность теплового потока обратно
пропорциональна корню квадратному из времени, следовательно, принимает большое значение в первые моменты теплового процесса и обращается в нуль при t → ∞.
2
Расход тепла (Дж/м ) через единицу поверхности за время t найдем
путем интегрирования уравнения (10.53):
t
Qt = ∫ qп
0
λС р ρ t dt
2
(Tп − T0 ) λС р ρ t . (10.54)
dt = (Tп − T0 )
∫ =
π 0 t
π
Величина
λС р ρ , которую обозначим через b, представляет физи-
ческую константу. Как видно из уравнения (10.54), эта величина дает представление о количестве тепла, которое проникает через единицу поверхности за единицу времени при разности температур в один градус, т. е.
характеризует аккумулирующую способность тела, поэтому ее называют
коэффициентом теплоусвоения.
Размерность этой величины
[b] = [
]
λС р ρ = Дж/м ⋅ с ⋅ К × Дж/кг ⋅ К × кг/м 3 =
= Дж/м 2 ⋅ К ⋅ с1/2 .
205
Пользуясь коэффициентом теплоусвоения, можно уравнение (10.54)
представить следующим образом:
Qt =
2
π
(Tп − T0 )b t .
(10.55)
11. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛО – И МАССООБМЕН
11.1. Основные уравнения конвективного тепло= и массообмена
Процессы конвективного тепло= и массообмена имеют место в потоке жидкости (или газа) и всегда протекают совместно с соответствующими процессами молекулярного переноса (теплопроводностью и диффузией).
В зависимости от причины, которой обусловлено движение жидкости,
различают вынужденную конвекцию и свободную (или естественную).
В первом случае движение жидкости обусловлено внешними по отношению к рассматриваемому процессу тепло– или массообмена причинами, например, действием насоса, вентилятора, компрессора и т. п.
Во втором случае движение жидкости обусловлено самим процессом
тепло– или массообмена, а именно наличием подъемной силы, возникающей вследствие неоднородности поля плотности, что в свою очередь связано с неоднородностью поля температур (при теплообмене) или концентраций (при массообмене) /см. рис. 1.1/.
В металлургическом производстве конвективная теплоотдача играет
важную роль при нагреве металла как в низкотемпературных, так и в высокотемпературных печах. За счет конвективной массоотдачи происходят
различные процессы химико = термической обработки металла, связанные
с изменением его состава (обезуглероживание, науглероживание, азотирование и т. п.).
Конвективный перенос тепла и массы имеет большое значение и в
высокотемпературных пламенных печах, так как в значительной степени
определяет распределение температур и концентраций в высокотемпературном газовом потоке.
Как правило, при этом основную роль играет вынужденная конвек206
ция. Однако и свободный конвективный теплообмен имеет определенное
значение. Например, именно свободная конвекция определяет теплоотдачу от внешней поверхности печей в окружающую среду.
Количественно процессы тепло= и массообмена существенно зависят от гидродинамических параметров потока жидкости.
Конвективный теплоперенос в потоке происходит вместе с массой
движущейся жидкости, поэтому с учетом средней скорости ее движения и
температуры жидкости плотность конвективного теплового потока можно
представить следующим образом:
qконв = C p ρυсрT (Вт/м2),
(11.1)
где ρυср (кг/м2·с) – плотность потока массы жидкости, которая определяет
массу жидкости, протекающей через единицу поверхности за единицу
времени; СрТ (Дж/кг) – теплосодержание единицы массы жидкости.
Одновременно в движущейся жидкости происходит перенос тепла
молекулярной теплопроводностью. При этом плотность теплового потока
молекулярного теплопереноса в соответствии с законом Фурье (2.1) определится следующим образом:
qтепл = −λ
∂T
= −λ gradT (Вт/м2).
∂n
Суммарная величина плотности теплового потока в движущейся
жидкости должна быть записана в виде:
q = C p ρυсрT − λ gradT .
(11.2)
Точно так же плотность конвективного потока массы i-того компонента смеси (раствора) равна:
jiконв = υсрCi (кг/м2·с),
где в каждом килограмме массы движущейся жидкости, а содержится Ci
килограмм рассматриваемого компонента смеси. В соответствии с законом
Фика (2.6) плотность потока массы данного компонента смеси, обусловленного молекулярной диффузией, равна:
jiдиф = − Di
∂Ci
= − Di gradCi (кг/м2·с).
∂n
Суммарная величина плотности массового потока в движущейся жидкости запишется в виде:
207
ji = υсрCi − Di gradCi .
(11.3)
В технологической практике металлургического производства встречаются многочисленные случаи, когда необходимо учитывать тепло= или
массообмен между потоком жидкости и поверхностью твердого тела.
B случае конвективной теплоотдачи, т. е. конвективного теплообмена
между движущейся жидкостью и поверхностью твердого тела, плотность
теплового потока на поверхности очень существенно зависит от скорости
и режима движения жидкости. Кроме этого, она зависит от температур
поверхности твердого тела и жидкости; от физических свойств жидкости
(λ, ν, ρ и Ср); от формы и состояния поверхности твердого тела.
Процесс конвективной массоотдачи и величину плотности потока массы на поверхности аналогично определяют все указанные выше факторы.
Таким образом, процессы конвективной тепло= и массоотдачи являются достаточно сложными и зависят от большого числа переменных величин.
Для описания этих процессов пользуются эмпирическим законом
Ньютона–Рихмана для теплоотдачи (7.11):
q = α(Tср − Tп ) .
Соответствующее выражение для процесса массоотдачи имеет аналогичный вид / уравнение (7.17) /:
j = α д (Сср − Сп ) .
В этих уравнениях α – коэффициент теплоотдачи (или теплообмена),
Вт/м2·с и αд – соответственно коэффициент массоотдачи (или массообмена), м/с.
Основная трудность расчета процессов конвективной тепло= и массоотдачи, с учетом уравнений (7.11) и (7.17), заключается в определении
коэффициентов α и αд , так как именно эти коэффициенты зависят от
ранее перечисленных многочисленных факторов, влияющих на плотность
потоков тепло= и массообмена.
Во многих случаях значения коэффициентов тепло= и массоотдачи
определяют с помощью эмпирических формул, полученных путем обработки экспериментальных данных с использованием методов, разработан208
ных в теории подобия (см. главу 9) и в ряде случаев приводимых в справочниках. Это объясняется большими математическими трудностями,
связанными с аналитическим решением соответствующих задач конвективного тепло= и массобмена при сложной форме поверхности теплообмена (массообмена) и соответственно сложной гидродинамике потока
жидкости, или в случае недостаточной изученности механизма процессов
переноса (к примеру, при турбулентном режиме движения).
Однако с методической точки зрения несомненный интерес представляют именно аналитические методы определения указанных величин,
которые позволяют охарактеризовать физические особенности соответствующих процессов. Эти методы, позволяющие решать лишь наиболее
простые задачи тепло= и массообмена, дают результаты, которые в ряде
случаев удовлетворительно описывают и более сложные случаи.
Для аналитического решения задач конвективного тепло– и массообмена необходимо решить систему дифференциальных уравнений, которая
в случае процесса конвективного теплообмена включает уравнения конвективной теплопроводности (7.10), уравнения гидродинамики: уравнение
движения вязкой жидкости Навье–Стокса (4.38) и уравнение неразрывности (4.23), а также уравнение (7.13), определяющее граничные условия
третьего рода для рассматриваемой задачи конвективного теплообмена.
Аналогично при решении задач конвективного массообмена необходимо рассмотреть решение дифференциальных уравнений конвективной
диффузии (7.19), уравнений гидродинамики (4.38), (4.23) и граничное
условие третьего рода (7.20).
Для стационарных процессов конвективного тепло= и массообмена
указанные выше уравнения принимают следующий вид:
а) для конвективного теплообмена:
2
1. (υ ⋅ ∇)T = a∇ T
2.
(υ ⋅∇ )υ = F − 1 gradp +ν ∇ 2υ
ρ
3. divυ = 0
4. α(Tср − Tп ) = − λ (
(11.4)
∂T
) вбл. пов
∂n
209
б) для конвективного массообмена:
2
1. (υ ⋅ ∇)C = D ∇ С
2.
(υ ⋅∇ )υ = F − 1 gradp +ν ∇ 2υ
ρ
3. divυ = 0
(11.5)
4. α д (Сср − Сп ) = − D (
∂C
) вбл. пов
∂n
Как уже отмечалось ранее, в общем случае при рассмотрении задач
конвективного тепло= и массообмена системы уравнений (11.4) и (11.5)
аналитического решения не имеют.
Определение коэффициентов α и αд осуществляют экспериментально, причем обычно с использованием методов, разработанных в теории
подобия. Проведенный анализ уравнений (11.4) и (11.5) в теории подобия
(см. главу 9) позволил найти решение уравнений конвективного тепло= и
массообмена, представив его в виде уравнений подобия (9.43) и (9.66), в
которых коэффициенты тепло= и массообмена представлены в безразмерной форме в виде числа Нуссельта (Nu) или числа Шервуда (Sh):
Nu ср =
Sh ср =
α ср ⋅ l
= f ( Re , Pr ) ;
λ
α д ср ⋅ l
D
= f ( Re, Sc ) .
Полученные уравнения подобия лежат в основе моделирования процессов конвективного тепло= и массообмена. Путем проведения опытов
на модели, определяют значения коэффициентов α и αд натурального
объекта, соответствующего рассматриваемой задаче.
Существенным недостатком приведенных уравнений подобия служит
необходимость проведения экспериментов, и, кроме того, в этих уравнениях отсутствует конкретный вид функций, определяющих зависимость
коэффициентов тепло= и массообмена от критериев Re и Pr или Sc.
В связи с этим несомненный интерес представляет нахождение аналитического вида решения системы уравнений (11.4) и (11.5) с использованием приближенных методов при их решении.
210
Рассмотрим теорию пограничного слоя, которая в настоящее время
получила широкое распространение для решения различных задач конвективного тепло= и массообмена.
11.2. Тепловой и диффузионный пограничные слои
Ранее было дано понятие и рассмотрена теория гидродинамического
пограничного слоя δ (см. главу 6), который представляет собой тонкий
слой жидкости вблизи поверхности твердого тела. При этом предполагагалось, что в ядре потока жидкости (за пределами пограничного слоя) силы
трения отсутствуют (поток идеальной жидкости при условии Re >> 1).
Установлено, что явления, происходящие в гидродинамическом пограничном слое δ, играют решающую роль в определении гидродинамического сопротивления при движении жидкости и, как будет показано
далее, оказывают существенное влияние на интенсивность процессов
тепло= и массообмена, протекающих между жидкостью и поверхностью
твердого тела. Толщина гидродинамического пограничного слоя определяется изменением скорости потока жидкости вблизи поверхности твердого тела (см. рис. 6.1). При этом скорость на поверхности твердого тела
равна нулю, а на границе пограничного слоя и за его пределами скорость
постоянна и равна U (скорость в ядре потока, т. е. вдали от поверхности
твердого тела).
Понятия теплового и диффузионного пограничных слоев по существу аналогичны понятию гидродинамического пограничного слоя.
Если в потоке жидкости, омывающем поверхность твердого тела,
температуры жидкости Тср и поверхности твердого тела Тп не одинаковы,
между ними возникнет процесс конвективного теплообмена. При этом у
поверхности твердого тела по аналогии с гидродинамическим пограничным слоем возникает тепловой пограничный слой δт, толщина которого
определяется изменением температуры в тонком поверхностном слое
жидкости (рис. 11.1): Т = Тп – Тср.
За пределами теплового пограничного слоя δт температура жидкости
Тср= const.
211
Аналогичным образом можно определить понятие диффузионного пограничного слоя δд,
который возникает
при наличии разности концентраций в
жидкости и на поверхности твердого
тела:
∆С = Сп – Сср,
что служит причиной возникновения
конвективного процесса массообмена между ними.
Толщина диффузионного пограничного слоя δд определяется слоем
жидкости, в котором реализуется разность концентраций Сп – Сср (см. рис.
11.1). За пределами пограничного слоя δд концентрация Сср= const.
Как и в случае гидродинамического пограничного слоя, в тепловом и
диффузионном пограничных слоях движение жидкости может носить
ламинарный или турбулентный характер.
11.2.1.
Тепловой ламинарный пограничный слой
Рассмотрим образование теплового ламинарного пограничного слоя
на плоской пластине, обтекаемой потоком жидкости в продольном направлении.
Если поверхность тела обтекается потоком жидкости с температурой, отличающейся от температуры самого тела, то у поверхности тела
образуется тепловой пограничный слой, в котором сосредоточивается
разность этих температур (см. рис. 11.1).
В пределах этого слоя, сходного с гидродинамическим пограничным
слоем, наряду с конвекцией тепла существенное значение имеет перенос
тепла молекулярной теплопроводностью.
Роль этой формы переноса тепла возрастает по мере приближения от
внешней границы теплового пограничного слоя к поверхности тела, где
она становится единственно возможной. За пределами теплового погра212
ничного слоя процесс молекулярной теплопроводности играет ничтожную
роль по сравнению с конвективной теплопроводностью.
Рассмотрим ламинарный тепловой пограничный слой, который образуется на плоской пластине при продольном обтекании ее стационарным
двухмерным потоком несжимаемой жидкости.
Процесс конвективной теплопроводности в ламинарном тепловом
пограничном слое описывается системой уравнений (11.4). Для уравнений
Навье–Стокса и уравнения неразрывности, входящих в состав этой системы, упрощения уже были сделаны применительно к гидродинамическому
пограничному слою (см. раздел 6.2). Подобным же образом может быть
упрощено и уравнение конвективной теплопроводности.
Перепишем это уравнение в координатной форме
∂ 2Т ∂ 2Т
∂Т
∂Т
υх
= а( 2 + 2)
+υу
∂у
∂х
∂х
∂у
(11.6)
и преобразуем его к безразмерному виду.
Для этой цели воспользуемся в качестве множителей преобразования
протяженностью пластины в направлении обтекания l, скоростью набегающего потока U и температурой жидкости Tср.
Получим: х = l x , у = l⎯у,
следовательно, имеем:
υх = U⎯υх, υу = U⎯υу, T = Tср⎯T,
2
2
U Tср
∂Т
∂Т
а Т ср ∂ Т ∂ Т
(υ х
)= 2 (
),
+υ у
+
2
2
l
∂х
∂у
l
∂х
∂у
или после деления на множитель при левой части уравнения
∂Т
∂Т
a ∂ 2Т ∂ 2Т
υх
(
),
+
=
+υ у
∂ у Ul ∂ х 2 ∂ у 2
∂х
окончательно получаем:
∂Т
∂Т
1 ∂2Т ∂2Т
υх
(
),
+υ у
=
+
∂х
∂ у Pe ∂ х 2 ∂ у 2
(11.7)
где Ре = Ul/a – критерий (число) Пекле.
213
Обозначим толщину теплового пограничного слоя через δт и сохраним за толщиной гидродинамического пограничного слоя его прежнее
обозначение δ. Безразмерная толщина теплового пограничного слоя составит⎯δт = δт/l.
Оценим порядок величины отдельных членов, входящих в уравнение (11.7). При этом будем иметь в виду, что, как уже было установлено
(см. главу 6), порядок величины υy равен δ, а предельное значение координаты y имеет для теплового пограничного слоя порядок ⎯δт.
Величины ⎯х и ⎯υx изменяются в пределах от нуля до единицы.
Предельное изменение температуры Т в тепловом пограничном слое является величиной конечной, и ее порядок также можно принять равным единице.
Подпишем под каждым членом уравнения (11.7) порядок величины
∂Т
∂Т
1 ∂2Т ∂2Т
υх
=
+
+υ у
(
)
∂ у Pe ∂ х 2 ∂ у 2
∂х
его сомножителей:
1
1
1
.
1. 1
δ.
2
δт
δт
Поскольку ⎯δт << 1, поэтому очевидно, что в правой части этого уравнения можно пренебречь производной
∂2Т
∂х
2
по сравнению с
∂ 2Т
∂ у2
.
Далее, поскольку порядок обеих частей уравнения должен быть одинаковым, можно утверждать, что величина 1/Ре должна иметь порядок, равный
⎯δт2, т. е.
1/Ре ∼ δт2.
Отсюда находим:
δт ~
или иначе
214
δт ~
1
, или δ т ~
Pe
1
,
Re . Pr
l
,
Pe
(11.8)
где Pr = ν/a – критерий Прандтля.
Как будет показано в дальнейшем, найденный здесь характер зависимости
δт от числа Рейнольдса подтверждается расчетом, тогда как зависимость
этой величины от критерия Прандтля оказывается несколько иной.
Перепишем уравнение (11.7), возвращая ему размерную форму и исключая опущенную производную, стоящую в скобках, получим:
∂ 2Т
∂Т
∂Т
υх
.
=а
+υу
2
∂у
∂х
∂у
В таком виде это уравнение должно быть включено в систему уравнений (11.4). Уравнения движения жидкости и неразрывности должны
быть в этой системе также представлены в упрощенной форме, а именно в
форме (6.7), найденной для гидродинамического пограничного слоя на
плоской пластине (система дифференциальных уравнений пограничного
слоя Прандтля).
Таким образом, для ламинарного теплового пограничного слоя будем
иметь следующую систему дифференциальных уравнений:
∂ 2Т
∂Т
∂Т
υх
;
=а
+υу
∂у
∂х
∂у 2
∂υ x
∂υ x
∂ 2υ x
;
υх
+υу
=ν
∂х
∂у
∂у 2
∂υ x ∂υ y
+
= 0,
∂х
∂у
(11.9)
которая решается при следующих граничных условиях:
у = 0, υх = υу = 0, Т = Тп;
у = δ, υх = U;
у = δт, Т = Тср.
(11.10)
Здесь Тп – температура поверхности пластины.
Из сопоставления граничных условий для υx и Т следует, что решение
системы уравнений (11.9) возможно лишь для случаев, когда δт ≤ δ.
215
Система дифференциальных уравнений (11.9) после ряда преобразований сводится к уравнению, аналогичному уравнению Кармана (6.9):
d δт υ x
а ⎛ ∂θ ⎞
θ
(1 −
.
) dy =
⎜ ⎟
∫
dх 0 U
U θ ср ⎜⎝ ∂у ⎟⎠ у = 0
θ ср
(11.11)
Полином, при помощи которого может быть выражено распределение
температуры в тепловом пограничном слое, должен в соответствии с
числом привлекаемых граничных и дополнительных условий состоять из
четырех членов:
θ = b0 + b1 y + b2 y 2 + b3 y 3 .
(11.12)
В силу тождественности вида этого полинома и граничных условий
(11.10) с таковыми для скорости в гидродинамическом пограничном слое
[уравнения (6.10) и (6.11)] должны быть тождественны по форме и
выражения для температурного и скоростного полей в соответствующих
пограничных слоях. В связи с этим, опуская детальные вычисления, по
аналогии с уравнением (6.12) получим:
⎡ 3 у 1 ⎛ у ⎞3 ⎤
− ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ .
θ = θср ⎢
2
δ
⎢⎣ т 2 ⎝ δ т ⎠ ⎥⎦
(11.13)
Используя выражения (11.13) и (6.38), вычислим интеграл, входящий в
уравнение (11.11), при этом имеем:
3⎤
3 ⎡
δт ⎡
θ
3 у 1 ⎛ у ⎞ ⎤ ⎢ ⎡ 3 y 1 ⎛⎜ y ⎞⎟ ⎥
(1 −
) dy = ∫ ⎢
− ⎜ ⎟ ⎥. ⎢1 −
+
dy =
∫
⎟
⎜
⎥
⎢
θ
2
δ
2
δ
2
δ
2
δ
U
⎝
⎠
⎣
0
0 ⎢
ср
⎥⎦ ⎢
⎝ т ⎠ ⎦⎥
т
⎣
⎣
δт
υx
3 4⎞ 3 2
⎛ 3
= δ⎜ η 2 −
η ⎟≅
η δ,
280 ⎠ 20
⎝ 20
где η = δт / δ.
Поскольку мы приняли, что δт ≤ δ и, следовательно, δт / δ ≤ 1, то вторым членом в скобках можно пренебречь по сравнению с первым.
Далее, дифференцируя выражение (11.13), находим значение производной, стоящей в правой части уравнения (11.11):
216
⎛ ∂θ ⎞
3 θ ср
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ ∂y ⎠ y = 0 2 δ т
(11.14)
Если вычисленные значения интеграла и производной подставить в
уравнение (11.11), то получим:
( )
3 d
3 a
3 a
δη2 =
=
,
20 dx
2 Uδ т 2 Uηδ
или
1 U ⎛ 3 dδ
2 2 dη ⎞
⎜ η δ + 2η δ
⎟ = 1.
10 a ⎝
dx
dx ⎠
(11.15)
В том случае, когда тепловой пограничный слой зарождается одновременно с гидродинамическим слоем у передней кромки пластины,
отношение их толщин δт / δ = η не должно зависеть от х, т. е. dη/dx = 0.
Если кроме того учесть, что в соответствии с равенством (6.14) имеем:
δ dδ = 140 ν ,
dx 13 U
то уравнение (11.15) приобретет вид:
14 ν 3
η = 1.
13 a
3
Принимая 14/13 ≅ 1 и замечая, что ν/a = Pr, получаем η = 1/Рr,
или
η=
δт
=
δ
1
.
3
Pr
(11.16)
Это равенство уточняет оценку порядка зависимости величины δт от
критерия Прандтля, данную в выражении (11.8).
Подставляя в равенство (11.16) значение δ из выражения (6.16), получим формулу для толщины ламинарного теплового пограничного слоя:
δ т = 4,64
х
Re х 3 Pr
.
(11.17)
Так как эта формула получена в предположении, что δт / δ ≤ 1, то
она применима для случаев, когда Pr ≥ l, т. е. для газов и неметаллических
жидкостей.
217
Зная δт, можно определить значение местного коэффициента теплоотдачи αх . Примем для определенности, что Тп > Тср.
Имеем:
⎛ ∂Т
α x Т п − Т ср = − λ ⎜⎜
⎝ ∂у
или
⎛ ∂θ ⎞
αx θср = λ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝∂ у ⎠у=0
(
)
⎞
⎟⎟ ,
⎠ у =0
(11.18)
наконец, учитывая равенство (11.14), получаем:
αx =
3 λ
.
2 δт
(11.18а)
Отсюда видно, что местный коэффициент теплоотдачи обратно пропорционален толщине теплового пограничного слоя.
Подставляя в (11.18, а) значение δт из уравнения (11.17), получим:
α x = 0,324
λ
Re x 3 Pr .
х
Точное решение системы уравнений (11.4) несколько уточняет численный
множитель в полученной формуле:
α x = 0,332
λ
Re x 3 Pr .
х
(11.19)
Обычно вместо αх пользуются более удобным для расчетов средним и
постоянным по длине пластины значением коэффициента теплоотдачи,
1l
α ср = ∫ α х dx ,
αср:
l0
или, учитывая равенство (11.19), имеем:
α ср
λ U
= 0,332
l ν
3
l
Pr ∫
0
λ Ul 3
λ
dx
= 0,664
Pr = 0,664
Re 3 Pr .
l ν
l
x
Этому уравнению можно придать безразмерную форму:
α ср l
λ
218
= Nu ср = 0,664 Re 3 Pr .
(11.20)
Определив из этого уравнения число Нуссельта, можно найти количество тепла, отдаваемого жидкости одной стороной охлаждаемой пластины шириной, равной в, в единицу времени:
Q = α ср lв (Tп − Т ср ) =
11.2.2.
α ср l
λ
вλ ( Tп − Т ср ) = Nu ср вλ ( Tп − Т ср ) , Дж/с.
Диффузионный ламинарный пограничный слой
Аналогично гидродинамическому и тепловому пограничным слоям у
поверхности обтекаемого тела образуется диффузионный пограничный
слой, в котором концентрация растворенного вещества изменяется от значения данной величины в потоке, до значения у поверхности обтекаемого
тела (см. рис. 11.1).
Поскольку уравнения конвективного переноса растворенного вещества и тепла (11.4) и (11.5) по форме тождественны и одинаков характер
граничных условий для задач, которые решаются на основе теории пограничного слоя, то все решения для диффузионного пограничного слоя могут быть получены из аналогичных выражений для теплового пограничного слоя путем замены в них температур на концентрацию.
В связи с этим ограничимся записью конечных формул.
Обозначив толщину диффузионного пограничного слоя через δд ,
можем аналогично равенствам (11.16) и (11.17) написать:
δд
1
=
,
δ
Sc
δ д = 4,64
(11.21)
х
Re х 3 Sc
,
(11.22)
где Sc = ν / D – диффузионный критерий Шмидта (аналог теплового критерия Прандтля).
Так как Sc представляет собой величину либо близкую к единице
(для газов), либо много большую единицы (для жидкой среды), то в отличие от аналогичных равенств для теплового пограничного слоя, уравнения (11.21) и (11.22) пригодны для любой среды.
219
Для местного значения коэффициента массообмена будем иметь уравнение, аналогичное (11.19):
α д = 0,332
D
Re x 3 Sc ,
х
(11.23)
а для среднего безразмерного значения этой величины, т. е. для диффузионного числа Нуссельта (или числа Шервуда), можем по аналогии с
уравнением (11.20) написать следующее:
α д.ср l
= Nu д.ср = Sh ср = 0,664 Re 3 Sc . (11.24)
D
Определив Nuд.ср = Shср, можно вычислить количество вещества,
отдаваемого одной стороной пластины потоку жидкости в единицу времени J, кг/с:
J = α д, ср lв (Сп − Сср ) =
α д, ср l
вD ( Cп − Cср ) =
D
= Nu д, ср вD ( Cп − Cср ) = Sh ср вD ( Cп − Cср ),
где в – ширина пластины.
В случае, когда ν ≈ а ≈ D (это имеет место для газов), или, что все
равно, Pr ≈ Sc ≈ 1, все три пограничных слоя будут в соответствии с
уравнениями (6.16), (11.17) и (11.22) совпадать между собой по толщине,
т. е. δ = δт = δд .
Если скорость, температуру и концентрацию в пределах пограничного слоя выразить в безразмерных единицах:
υx =
υx
U
,θ =
T − Tп
С − Сп
,С =
,
Tср − Tп
Сср − Сп
то в рассматриваемом случае поля скоростей, температуры и концентраций
в пограничном слое будут описываться одной и той же кривой, о чем можно судить по предельным значениям этих величин:
при у = 0
υ x = 0 , Т = Т п , С = Сп , или иначе υ x = θ = С = 0 ;
при у = δ = δ т = δ д
υ х = U , Т = Т ср , С = Сср , или υ x = θ = С = 1.
Таким образом, при одинаковых значениях всех трех коэффициентов
переноса (ν, а и D) в пограничном слое имеет место полное подобие ско220
ростного, температурного и концентрационного полей.
11.2.3. Связь между теплоотдачей и трением вязкостного
течения жидкости в пограничном слое
Найдем соотношение между теплоотдачей и напряжением силы трения в ламинарном пограничном слое.
Уравнения для теплового потока и напряжения силы трения на поверхности твердого тела, обтекаемого потоком жидкости, можно представить в виде:
dυ x
U dυ x
=μ
;
dy
l dy
dT λ Т п − Т ср d θ
qw = − λ
=
,
dy
l
dy
τw = μ
(
)
где использованы соотношения
y = l y; υ x = U υ x ; θ =
(11.25)
(11.26)
(Tп − T ) ,
Tп − Tср
что позволило перейти к безразмерным величинам.
Поделим уравнения (11.26) и (11.25) друг на друга:
qw
=
τw
(
λ Т п − Т ср
) dd θy
dυ x
μU
dy
.
(11.27)
Если примем, что критерий Прандтля Pr = 1, что имеет место в случае газов и ряда жидкостей, как было показано ранее (см. раздел 11.2.2),
скоростное и температурное поля будут подобны и могут быть описаны
одной кривой.
Следовательно
d θ dυ x
=
.
dy dy
С учетом условия
221
ν μ C p ρ μC p
Pr = =
=
=1
λ
a ρ λ
находим, что μ = λ/Ср.
В результате принятых упрощений уравнение (11.27) принимает вид:
⎞
⎛
qw С p ⎜⎝Т п − Т ср ⎟⎠
=
τw
U
или
qw
С p ⎛⎜Т п
⎝
− Т ср ⎞⎟
⎠
=
,
τw
.
U
(11.28)
Но при этом
qw
ρU 2
,
= α и τw = C f
Т п − Т ср
2
где Cf – безразмерный коэффициент трения (см. раздел 6.2).
Подставим эти выражения в уравнение (11.28) и получим:
α = C ρU
f 2
Ср
или
,
α = Cf ,
С р ρU
2
и окончательно:
α = α l . ν . λ = Nu = St = C f , (11.29)
С р ρU
2
λ Ul νС р ρ Re ⋅ Pr
или
Nu = St ⋅ Re ⋅ Pr =
Cf
2
Re ⋅ Pr ,
(11.30)
где St – критерий (число) Стентона, который выражает меру отношения интенсивности теплоотдачи и удельной энтальпии потока
жидкости (иначе он характеризует соотношение скорости переноса
тепла и скорости потока жидкости).
Уравнения (11.29) и (11.30) выражают аналогию между теплообменом и сопротивлением трения, представленную в безразмерной форме.
222
Это так называемая аналогия Рейнольдса, которая справедлива и в
случае турбулентного пограничного слоя. Используя значение коэффициента трения, полученное ранее при рассмотрении турбулентного пограничного слоя (6.23), и с учетом уравнения (11.30), найдем в этом случае число
Нуссельта при Pr = 1:
Nu x =
Nu ср
αx l
= 0,03 Re 0x,8 ;
λ
α ср l
=
= 0,037 Re 0,8 ,
λ
(11.31)
(11.32)
где Nux и αx – местные значения, зависящие от координаты х, а Nuср и
αср – средние значения числа Нуссельта и коэффициента теплоотдачи.
Для практических расчетов теплоообмена в условиях вынужденной
конвекции уравнения (11.19), (11.20), полученные для ламинарного пограничного слоя, и уравнения (11.31), (11.32), полученные для турбулентного
слоя, требуют коррекции ввиду того, что температура в пограничном слое
меняется в пределах ΔТ = Тп – Тср. Следовательно, изменяются физические параметры жидкости (λ, μ, ν, ρ и др.) и коэффициент теплообмена.
Далее будут рассмотрены различные конкретные случаи конвективного теплообмена в зависимости от режима движения потока жидкости,
геометрии твердого тела и условий протекания процесса.
Расчетные уравнения для оценки коэффициента теплообмена (или
числа Нуссельта) при этом обычно носят эмпирический характер, но основаны на использовании полученных ранее теоретических зависимостей.
11.3. Теплообмен при обтекании поверхности пластины
Если плоская поверхность пластины омывается потоком жидкости
с постоянной скоростью U, то, начиная от передней кромки пластины, на
ней образуется гидродинамический пограничный слой δ (см. рис. 6.1). В
нем вследствие трения скорость жидкости изменяется от скорости, равной
скорости невозмущенного потока U, до нуля.
Течение жидкости в пограничном слое может быть как ламинарным,
так и турбулентным (см. рис. 6.3).
223
О режиме течения в пограничном слое судят по величине критерия
Рейнольдса.
11.3.1.
Ламинарный пограничный слой
Ламинарный режим течения в пограничном слое при обтекании пластины имеет место в изотермическом потоке при ReL < 5 · 105, а в неизотермическом – при ReL < 4 · 104 . Разрушение ламинарного слоя зависит от
степени турбулентности набегающего потока.
При наличии разности температур между потоком жидкости и пластиной у ее поверхности, кроме гидродинамического, образуется также и
тепловой ламинарный пограничный слой (см. рис. 11.1).
В пределах теплового пограничного слоя температура жидкости изменяется от температуры потока вдали от пластины Тср (или Тж) до температуры, равной температуре поверхности пластины (иначе температура
стенки Тс).
Анализ опытных данных показывает, что коэффициент теплоотдачи
зависит не только от изменений характера течения жидкости (скорость,
режим движения), но также от физических свойств жидкости (вязкость,
теплопроводность и др.), являющихся функцией температуры, температурного напора (Тс – Тж) и направления теплового потока.
Последнее связано с тем, что коэффициент теплообмена α зависит от
того, нагревается жидкость или охлаждается.
Согласно предложению М.А. Михеева, при установлении зависимости α от направления теплового потока в ранее полученные уравнения
подобия (11.19) или (11.20) необходимо ввести поправочный множитель
(Prж / Prс )0,25 .
При нагревании жидкости эта поправка будет больше единицы, а при
охлаждении – меньше единицы.
Таким образом, для определения местного (иначе локального) коэффициента теплоотдачи пластины αx, омываемой продольным потоком жидкости при ламинарном режиме в пограничном слое, можно рекомендовать
224
следующее выражение:
Nu x ж = 0,332 Re 0x,ж5
⎛ Pr
Prж0,33 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
.
(11.33)
Аналогично для определения среднего коэффициента теплоотдачи
пластины αср получим следующую зависимость:
⎛ Pr
Nu ср.ж = 0,664 Rel0ж,5 Prж0,33 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
.
(11.34)
Для газов значение Pr практически не зависит от температуры,
поэтому уравнение (11.34) можно упростить.
К примеру, для воздуха Pr = 0,71, и расчетное уравнение принимает
вид:
Nu ср.ж = 0,57 Rel0ж,5 .
Nu x ж =
Здесь
Rel ж =
(11.35)
α срl
αxx
Ux
; Nu ср.ж =
; Re x ж =
.
λж
λж
νж
Ul
νж
; Prж =
νж
aж
; Prс =
νс
aс
.
Индексы «ж» и «с» указывают, что физические параметры относятся
соответственно к Тж или Тс.
11.3.2.
Турбулентный пограничный слой
При турбулентном гидродинамическом пограничном слое под турбулентным ядром пограничного слоя жидкости у поверхности пластины образуется тонкий ламинарный слой текущей жидкости, называемый, как
*
уже ранее отмечалось, ламинарным подслоем δ , в котором происходит
основное изменение скорости потока (см. рис. 6.3).
Также в ламинарном подслое происходит изменение температуры
текущей жидкости ∆T = Тс – Тж, так как в турбулентном ядре пограничного слоя вследствие интенсивного перемешивания жидкости изменения
225
Рис.11.2. Средняя теплоотдача пластины при ламинарном режиме
движения жидкости. К = Nuср.ж·Prж-0,33(Prж/ Prс)-0,25: 1 – воздух;
2 – вода; 3 – трансформаторное масло
Рис.11.3. Локальная и средняя теплоотдача пластины при турбулентном
режиме течения жидкости. Кx = Nuxж·Prж-0,43(Prж/ Prс)-0,25 и
КL = Nuср.ж·Prж-0,43(Prж/ Prс)-0,25
температуры практически не происходит.
Следовательно, ламинарный подслой определяет основное гидродинамическое и термическое сопротивление в процессе конвективного теплообмена.
226
Для определения местного (локального) коэффициента теплоотдачи
пластины αx, омываемой продольным потоком жидкости при турбулентном режиме в пограничном слое, можно рекомендовать уравнение, полученное на основе ранее найденного критериального выражения (11.31), с
учетом эмпирической поправки, предложенной М.А. Михеевым:
Nu x ж = 0,03 Re 0x,ж8
⎛ Pr
Prж0, 43 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
.
(11.36)
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи капельных
жидкостей в турбулентном пограничном слое у поверхности пластины рекомендовано уравнение, полученное на основе выражения (11.32):
Nu ср.ж
⎛ Pr ⎞
= 0,037 Re 0ж,8 Prж0, 43 ⎜⎜ ж ⎟⎟
⎝ Prс ⎠
0, 25
.
(11.37)
Для газов, с учетом независимости критерия Прандтля от температуры, уравнение (11.37) упрощается. Так, в случае воздуха имеем:
Nu ср.ж = 0,032 Re 0ж,8 .
(11.38)
На рис. 11.2 и 11.3 приведены результаты обобщения опытных
данных теплоотдачи пластины при ламинарном и турбулентном режимах
движения жидкости в пограничном слое.
Анализ приведенных данных на рис. 11.2 – 11.3 показывает, что они
удовлетворительно описываются уравнениями (11.36) – (11.38).
11.4. Теплоотдача при течении жидкости в трубах
Расчет теплоотдачи при движении жидкости в трубах представляет
значительный практический интерес, так как трубчатые аппараты и теплообменники нашли самое широкое применение в различных отраслях промышленности, в частности, в металлургическом производстве.
Как отмечалось ранее (см. гл. 5,6), при движении жидкости в трубах
в зависимости от числа Рейнольдса возможен ламинарный или турбулентный режимы движения.
При этом число Рейнольдса определяется по формуле:
227
υср d
Re =
,
ν
где υср – средняя скорость потока жидкости; d – внутренний диаметр трубы; ν – кинематический коэффициент
вязкости.
Критическое значение
числа Рейнольдса при движении в трубах составляет
Reкр ≈ 2000 – 2300 (рис. 11.4).
Ламинарный режим
течения при низких скоростях в потоке соответствует
значению числа Рейнольдса Re < 2300, а при значениях Re > 104
устанавливается устойчивый турбулентный режим (см. рис. 11.4).
Режим течения, соответствующий значениям числа Рейнольдса
2300 < Re < 104, называется переходным.
Течение жидкости и теплопередача в трубах отличается рядом особенностей.
Понятия гидродинамического и теплового пограничного слоев в том
смысле, в каком они были использованы для расчета теплообмена при
плоском течении, сохраняют силу лишь для начального участка трубы,
пока пограничные слои, увеличиваясь по длине трубы, не сомкнутся,
заполнив полностью поперечное сечение трубы. Начиная с этого момента
влияние гидродинамического и теплового сопротивления распространяется на все сечение потока жидкости (рис. 11.5).
Как в случае ламинарного, так и в случае турбулентного движения,
стабилизация потока с характерным для этих режимов распределением
скоростей по сечению наступает не сразу при входе потока в трубу.
В начале трубы образуется ламинарный или турбулентный пограничный
слой, толщина которого растет по мере удаления от входного сечения, и
228
затем пограничные слои сливаются (см. рис. 11.5).
Начальный участок трубы, на котором устанавливается стабилизированное распределение
скоростей, называется
участком гидродинамической стабилизации Lн.
Длина этого участка
для ламинарного потока
определяется выражением:
Lн = 0,05 d Re. (11.39)
При турбулентном режиме
движения Lн ≈ 0,05 d, т. е.
не зависит от числа Re.
В ламинарной области течения теплоперенос осуществляется в
этом случае только путем теплопроводности, перпендикулярно направлению течения.
С ростом скорости ламинарное движение постепенно разрушается.
При Re > 104 устанавливается устойчивый турбулентный режим, при
котором происходит перемешивание жидкости, обусловленное вихревым
движением, что существенно интенсифицирует конвективный теплообмен.
Теплота передается теплопроводностью лишь в очень тонком лами*
нарном подслое δ (см. рис. 11.4, 11.5), далее она поступает в ядро турбулентного потока.
При увеличении скорости интенсивность турбулентного перемешивания растет, что ведет к уменьшению толщины пограничного слоя. При
этом снижается термическое сопротивление пограничного слоя, что также
ведет к интенсификации теплообмена.
Режим течения, соответствующий переходному, характеризуется
одновременным сосуществованием ламинарного и турбулентного режима
движения.
При ламинарном изотермическом течении жидкости внутри трубы
устанавливается параболический профиль скоростей. При турбулентном
потоке распределение скорости по поперечному сечению подчиняется
229
логарифмическому закону. Максимальный градиент скорости относится к
ламинарному подслою, а в ядре потока эпюра скоростей имеет пологий
характер (рис. 11.4, 11.5).
11.4.1.
Теплоотдача при ламинарном режиме
Как уже отмечалось, при ламинарном течении перенос тепла от
одного слоя жидкости к другому в направлении нормали к стенке осуществляется посредством молекулярной теплопроводности. В то же время каждый слой имеет в общем случае различную скорость продольного движения, поэтому наряду с поперечным переносом теплоты путем молекулярной теплопроводности происходит также конвективный перенос тепла в
продольном направлении. Вследствие этого теплообмен при ламинарном
режиме течения зависит от гидродинамики движения жидкости.
Рассмотрим развитие процесса теплообмена по длине трубы.
Пусть во входном сечении температура жидкости постоянна и по
величине отличается от температуры стенки трубы. По мере движения
потока между жидкостью и стенкой происходит процесс теплообмена и
температура жидкости постепенно меняется.
Вначале вблизи от входного сечения изменение температуры происходит лишь в тонком пограничном слое около поверхности. Затем по мере
удаления от входного сечения в связи с ростом толщины пограничного
слоя все большая часть потока вовлекается в процесс теплообмена. Таким
образом, развитие процесса теплообмена внутри труб вначале происходит
качественно так же, как и при ламинарном пограничном слое на пластине.
Около поверхности трубы образуется тепловой пограничный слой,
толщина которого постепенно увеличивается в направлении движения потока. На некотором расстоянии Lнт от входа трубы тепловые пограничные
слои смыкаются, и в процессе теплообмена участвует далее весь поток
жидкости (рис. 11.6). Расстояние Lнт представляет собой участок тепловой стабилизации и при ламинарном движении может быть оценен по
формуле:
Lнт = 0,055 d Re Pr = 0,055 d Pe.
230
(11.40)
Обычно на практике ламинарный режим имеет место при течении
достаточно вязких теплоносителей, для которых Pr >> 1.
На расстоянии большем, чем Lнт, профиль распределения температур
по сечению трубы продолжает изменяться, так как в рассматриваемом
случае температура нагретой жидкости постепенно снижается.
Если температуры стенки трубы и жидкости меняются вдоль трубы
(см. рис. 11.6), то для определения среднего коэффициента теплоотдачи
используют средние значения этих температур Тж.ср и Тс.ср . Во многих
случаях температура стенки меняется незначительно и можно принять
Тс = const.
Осреднение Тж по длине трубы проводят с учетом величины ее изменения. При небольшом изменении Тж.ср определяют как среднеарифметическую из крайних значений в начальном и конечном сечении трубы:
Тж,ср = 0,5 (Тжн + Тжк).
(11.41)
В общем случае осреднение проводится по формуле:
(
Tжн − Tжк )
Tж, ср = Tc ±
.
н
(T − T )
ln жк c
(Tж − Tc )
(11.42)
Знак «плюс» берется при охлаждении жидкости, а знак «минус» – при ее
нагревании.
При значительной разности температур в потоке возникает, как
следствие, разность плотностей различных слоев жидкости. В этом случае
на вынужденное движение накладывается свободное движение, турбулизирующее поток, и теплообмен интенсифицируется. Влияние свободной
конвекции заметно при Grж · Ргж > 8 · 105.
231
Средний коэффициент теплоотдачи можно определить, используя
эмпирическую зависимость (в случае, когда Grж · Ргж < 8 · 105, критерий
Grж при расчетах не учитывается):
0,33
Nu ср.ж = 0,15 Re 0ж,33
d Prж
⎞
⎟⎟
⎜⎜
Pr
⎝ с⎠
0,1 ⎛ Prж
(Grж d ⋅ Prж )
0, 25
× ε L . (11.43)
За определяющую температуру, при которой рассчитаны физические константы жидкости, берется Тж.ср.
Поправочный коэффициент εL зависит от отношения L/d:
L/d
εL
1
2
5
10
15
20
30
40
50
1,90 1,70 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02 1,0
Участок при L/d ≥ 50 соответствует области стабилизированного
конвективного теплообмена при L ≥ Lнт (см. рис. 11.6) и поправке
εL = 1,0.
Область при L/d < 50
характеризует нестабилизированный теплообмен на начальном
участке потока, для которого вводится поправка εL.
Для воздуха и двухатомных газов число
Прандтля практически не
зависит от температуры,
поэтому уравнение
(11.43) упрощается и в
случае воздуха принимает вид:
0,1
Nu ср.ж = 0,13 Re 0ж,33
d Grж d ε L .
(11.44)
Влияние свободной конвекции с увеличением числа Грасгофа в области ламинарного режима движения жидкости при Re < 2300, а также в пе232
реходной области: 2300 <Re < 104 приведено на рис. 11.7, где
K0 =
Nu ж d
Prж0,43 (Prж / Prс )0,25
0,1
= 0,15 Re 0ж,33
d Grж d . (11.45)
Как видно на рис. 11.7, в области переходного режима течения жидкости
опытные точки не объединены единой зависимостью. С увеличением числа Re теплоотдача резко возрастает, причем заметное влияние на теплообмен оказывает естественная конвекция, величину которой характеризует
число Grж d. С ростом числа Грасгофа увеличивается величина комплекса
К0 и, следовательно, коэффициента теплоотдачи α. При устойчивом турбулентном течении (Re ≥ 104) все кривые совпадают.
11.4.2. Теплоотдача при турбулентном движении жидкости
При турбулентном режиме движения перенос теплоты внутри жидкости осуществляется в основном путем перемешивания. При этом процесс
перемешивания протекает настолько интенсивно, что по сечению турбулентного ядра потока температура жидкости практически постоянна.
Резкое изменение температуры наблюдается внутри тонкого ламинарного подслоя δ* у поверхности трубы (см. рис. 11.4, 11.5).
Длина участка тепловой стабилизации (рис. 11.6) при турбулентном
режиме движения Lнт = 50 d.
Естественная конвекция при данном режиме не оказывает заметного
влияния на теплопередачу (см. рис. 11.7).
На основе анализа и обобщения результатов экспериментальных
исследований для расчета средней теплоотдачи при турбулентном режиме
течения жидкости в трубе предложена следующая зависимость:
Nu ср.ж = 0,021 Re 0ж,8d
⎛ Pr
Prж0, 43 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
× ε L . (11.46)
За определяющую температуру при расчетах принимается Тж.ср.
Коэффициент εL учитывает изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы. Если L/d >50, то εL = 1. При L/d <50 необходимо
233
учитывать влияние теплового начального участка Lнт.
Значения εL = f (L/d , Reж d) при турбулентном течении жидкости в
трубе приведены в табл. 11.1.
Т а б л и ц а 11.1
Значения зависимости εL = f (L/d , Reж,d) при турбулентном режиме
Reж,d
4
10
2·104
5·104
105
106
L/d
1
1,65
1,51
1,34
1,28
1,14
2
1,50
1,40
1,27
1,22
1,11
5
1,34
1,27
1,18
1,15
1,08
10
1,23
1,18
1,13
1,10
1,05
15
1,17
1,13
1,10
1,08
1,04
20
1,13
1,10
1,08
1,06
1,03
30
1,07
1,05
1,04
1,03
1,02
40
1,03
1,02
1,02
1,02
1,01
50
1
1
1
1
1
Как отмечалось ранее, в случае двухатомных газов и воздуха число
Прандтля практически не зависит от температуры, что позволяет упростить формулу (11.46). В частности, для воздуха (Pr ≈ 0,71), имеем:
Nu ср.ж = 0,018 Re 0ж,8d ε L .
(11.47)
При движении жидкости в изогнутых трубах (коленах, отводах, змеевиках) возникает центробежный эффект. Поток жидкости отжимается к
внешней стенке, и в поперечном сечении возникает вторичная циркуляция.
С увеличением радиуса кривизны R влияние центробежного эффекта
уменьшается и в пределе при R= ∞ (прямая труба) оно исчезает.
Вследствие возрастания скорости, вторичной циркуляции и, как
следствие этого, увеличения турбулентности потока, значение среднего
коэффициента теплоотдачи в изогнутых трубах выше, чем в прямых.
Расчет теплоотдачи в изогнутых трубах производится по формулам
для прямой трубы с дополнительным введением в качестве сомножителя
поправочного коэффициента εR, который для змеевиковых труб определяется соотношением:
εR = 1 + 1,77 (d/R),
где R – радиус змеевика; d – диаметр трубы.
Формулы (11.46) и (11.47) применимы при условии
Reж d = 104 – 5·106 и Рrж = 0,6 – 2500.
234
(11.48)
11.5.
Теплообмен при поперечном обтекании труб
В металлургической и химической отраслях промышленности большое распространение получили трубчатые теплообменники с перекрестным током. Трубы в этом случае обтекаются наружным поперечным (обычно перпендикулярным их оси) потоком жидкости.
При этом характерно образование в потоке жидкости вихревых зон
(см. раздел 6.4), что ведет к повышению теплоотдачи на внешней поверхности труб при поперечном их обтекании по сравнению с продольным
направлением.
11.5.1. Теплообмен при поперечном обтекании одиночной трубы
Процесс теплоотдачи при поперечном обтекании труб имеет ряд
особенностей, которые объясняются гидродинамикой движения жидкости
вблизи поверхности трубы (см. разд. 6.4). Опыт показывает, что плавный,
Рис. 11.8. Поперечное обтекание цилиндрической трубы потоком
жидкости: а – безотрывное (Re ≤5); б – отрыв ламинарного пограничного слоя; в – отрыв турбулентного пограничного слоя
безотрывный характер обтекания трубы имеет место при низких значениях
числа Рейнольдса (Re ≤5). При больших значениях числах Re обтекание
трубы сопровождается образованием в кормовой части вихревой зоны, как
это показано на рис. 6.6 и 11.8, б, в. При этом условия омывания передней
(фронтовой) и задней (кормовой) половины цилиндра значительно отличаются.
В лобовой точке набегающий поток разделяется на две части и обтекает переднюю часть периметра трубы. На поверхности трубы образуется
пограничный слой, который имеет наименьшую толщину в лобовой точке
и далее постепенно увеличивается.
235
Скорость жидкости, примыкающей к внешней границе пограничного слоя, растет вдоль периметра трубы, а давление в соответствии с уравнением Бернулли уменьшается (см. рис. 6.4.). При достижении точки периметра, отвечающей углу φ ≈ 90° (угол отсчитывается от лобовой точки),
скорость достигает наибольших значений и далее начинает уменьшаться,
что сопровождается соответствующим увеличением давления. При этом
пограничный слой становится неустойчивым, в нем возникает обратное
течение, которое оттесняет поток от поверхности. В результате происходит
отрыв потока и образование вихревой зоны, охватывающей кормовую
часть трубы (рис. 11.8, б, в). Положение точки отрыва пограничного слоя
зависит от значения Re и степени турбулентности набегающего потока.
При ламинарном режиме движения положение зоны начала отрыва
пограничного слоя характеризуется углом φ = 80 – 85° ( см. рис. 6.5).
При значениях числа Re = 1 · 105 ÷ 4 · 105 ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный, а отрыв пограничного слоя происходит при φ = 120 – 130° (рис. 6.6). Это смещение приводит к уменьшению вихревой зоны в кормовой части цилиндрической трубы.
Такая своеобразная картина движения жидкости при поперечном
обтекании одиночной трубы существенно влияет на значение коэффициента теплоотдачи по ее окружности.
На рис. 11.9 приведено изменение относительного коэффициента теплоотдачи по окружности трубы при Re = 1 · 104 в зависимости от угла φ.
В лобовой части трубы (при φ = 0) коэффициент теплоотдачи имеет
максимальное значение, что соответствует наименьшей толщине пограничного слоя. По мере движения жидкости вдоль поверхности трубы
толщина пограничного слоя увеличивается, а интенсивность теплообмена
236
Рис. 11.9. Обтекание цилиндрической трубы поперечным потоком
жидкости: а – зависимость отношения местного коэффициента теплоотдачи αφ к среднему коэффициенту теплоотдачи αср от угла φ по
окружности трубы; б – значение поправочного коэффициента εψ,
учитывающего влияния угла ψ; в – угол ψ между направлением потока жидкости и осью трубы x («угол атаки»)
соответственно снижается. При значении угла φ ~ 1000 интенсивность
теплообмена достигает минимального значения. Далее в кормовой части
цилиндрической трубы коэффициент теплоотдачи возрастает за счет
появления вихревой зоны в потоке и соответственно перемешивания
жидкости в этой области.
Рассмотренная зависимость местного коэффициента теплоотдачи по
периметру цилиндрической трубы очень существенно зависит от числа
Рейнольдса, с ростом которого и с учетом перехода ламинарного режима
течения жидкости в пограничном слое в турбулентный при Re > Reкр, о
чем говорилось выше, увеличивается турбулизация потока в кормовой
части трубы и соответственно растет интенсивность теплообмена.
Зависимость числа Нуссельта от Re приведена на рис. 11.10, которая наглядно демонстрирует отмеченные особенности зависимости
237
Nu = f (Re).
Рис. 11.10. Изменение числа Nu по периметру цилиндрической трубы
в зависимости от числа Re: 1 – Re = 39 800; 2 – 101 300; 3 – 170 000; 4 –
257 600; 5 – 426 000. Nu = 1300 (a); 1100 (b); 900 (c); 700 (d); 500 (e)
Средний коэффициент теплоотдачи также заметно зависит от угла ψ
(см. рис. 11.9, б, в) между направлениями потока жидкости и оси цилиндра
x («угол атаки»), что учитывается при расчетах поправочным коэффициентом εψ. Сложный характер теплообмена, связанный с особенностями движения жидкости при поперечном обтекании трубы (отрыв струи и образование вихрей), затрудняет теоретическое исследование процесса, поэтому
все приведенные ниже результаты получены экспериментальным путем.
Средний коэффициент теплоотдачи для случая поперечного обтекания одиночной трубы может быть определен по следующим формулам.
При условии 0,6 < Pr < 800 и Re = 5 – 103 :
Nu ср.ж d = 0,5 Re 0ж,5d
⎛ Pr
Prж0,37 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
m
⎞
⎟⎟ ε ψ .
⎠
При условии 0,6 < Pr < 800 и Re = 103 – 2·105 :
238
(11.49)
Nu ср.ж d = 0,25 Re 0ж,6d
⎛ Pr
Prж0,37 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
m
⎞
⎟⎟ ε ψ .
⎠
(11.50)
При условии 0,6 < Pr < 800 и Re = 2·105 –107 :
m
Nu ср.ж d = 0,023 Re 0ж,8d
⎛ Pr ⎞
Prж0, 47 ⎜⎜ ж ⎟⎟ ε ψ .
⎝ Prс ⎠
(11.51)
Для воздуха и двухатомных газов эти формулы упрощаются.
В случае воздуха получено следующее выражение:
при Re = 10 – 103
Nu ср.ж d = 0,43 Re 0ж,5d ε ψ ;
(11.52)
при Re = 103 – 2·105
Nu ср.ж d = 0,216 Re 0ж,6d ε ψ .
(11.53)
В формулах (11.49) – (11.51) значение показателя m в случае
нагрева жидкости равно 0,25, а при ее охлаждении – 0,2.
Значение поправочного коэффициента εψ в области ψ =30 – 900
можно определить по формуле:
εψ = 1 – 0,54 cos2 ψ.
11.5.2.
(11.54)
Поперечное обтекание пучка труб
Компоновка труб в пучки или пакеты нашла широкое распространение в конструкциях теплообменников, радиаторов и в тепловых аппаратах
различных технологических процессов металлургической и других отраслей промышленности.
На практике применяют шахматное (рис. 11.11, б) или коридорное
(см. рис. 11.11, а) расположение труб в пучке. Геометрию пучков задают
диаметром труб d, количеством рядов труб и относительными расстояниями между осями труб по ширине пучка s1/d и осями двух соседних рядов в
продольном направление пучка s2/d (см. рис. 11.11).
239
Рис. 11.11. Коридорная (а) и шахматная (б) компоновка трубных пучков
От расположения труб в пучке в значительной степени зависят гидродинамика потока жидкости и характер обтекания труб разных рядов, а
также интенсивность теплообмена. При этом если в канале было турбулентное движение жидкости, то оно сохранится и в пучке труб, причем степень турбулизации будет возрастать от ряда к ряду, так как пучок труб
является достаточно хорошим турбулирующим устройством.
Если же в канале перед пучком режим течения был ламинарным, то в
зависимости от числа Re в пучке труб может быть как ламинарное, так и
турбулентное течение жидкости.
При значениях числа Re < 103 ламинарный режим течения может сохраниться и в пучке труб.
При Re = 103 – 105 лобовая часть трубы обтекается ламинарным пограничным слоем, а кормовая находится в вихревой зоне, при этом в межтрубном пространстве движение жидкости будет турбулентным.
Такой режим называют смешанным режимом движения жидкости.
Рассмотрим его особенности. Обтекание труб первого ряда, независимо от
240
расположения труб в пучке, практически не отличается от обтекания одиночной трубы и зависит только от начальной турбулентности потока.
Характер обтекания следующих рядов труб в обоих пучках различен.
При коридорном расположении трубы любого ряда затеняются трубами предыдущего ряда, что ухудшает обтекание лобовой части и большая
часть поверхности трубы находится в слабой вихревой зоне (рис. 11.11, а).
При шахматном расположении труб загораживания одних труб другими не происходит (рис. 11.11, б).
Вследствие этого коэффициент теплоотдачи в шахматных пучках при
одинаковых условиях выше, чем в коридорных.
Теплообмен труб в первом ряду можно рассматривать как обтекание
одиночного цилиндра независимо от геометрии пучка.
Трубы второго и последующих рядов лежат в вихревой зоне потока,
создаваемой трубами первых рядов. Поэтому коэффициент теплоотдачи
пучка труб выше, чем одиночной трубы.
На рис. 11.12, a и б показано изменение локального коэффициента теп-
Рис. 11.12. Изменение относительного коэффициента теплоотдачи по
периметру труб шахматного (а) и коридорного (б) пучков труб
лоотдачи по окружности трубы в зависимости от угла φ для первого, второго и последующих рядов (1 – 7) шахматного (а) и коридорного (б) пучков при смешанном режиме течения потока жидкости.
В коридорных пучках максимум теплоотдачи наблюдается не в лобо241
вой точке, а при значениях угла φ ≈ 50°. Лобовая часть непосредственому
воздействию обтекающего потока не подвергается, поэтому здесь теплоотдача невысока.
В шахматных пучках максимум теплоотдачи для всех рядов остается
в лобовой точке.
Теплоотдача второго и третьего рядов по сравнению с первым
постепенно возрастает. Если теплоотдачу третьего ряда принять за 100 %,
то в шахматных и коридорных пучках теплоотдача первого ряда
составляет около 60 %, а второго – в коридорных пучках около 90% и в
шахматных – около 70 %.
Причиной возрастания теплоотдачи является увеличение турбулентности потока при прохождении его через пучок. Начиная с третьего ряда,
турбулентность потока принимает стабильный характер, присущий данной
компоновке пучка.
По абсолютному значению теплоотдача в шахматных пучках выше,
чем в коридорных, что обусловлено более высокой степенью турбулизации
потока жидкости, омывающей трубы.
На основе обобщения опытных данных для расчета среднего коэффициента теплоотдачи рекомендуются следующие соотношения (для расчета, начиная с третьего ряда в пучке труб):
1. В коридорном пучке труб.
При условии Re ж d < 103:
Nu ср.ж d = 0,56 Re 0ж,5d
⎛ Pr
Prж0,36 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
ε s ε ψ . (11.55)
При условии 103≤ Re ж d ≤ 105:
Nu ср.ж d
0,33 ⎛ Prж ⎞
Pr
= 0,26 Re 0ж,65
ж ⎜
d
⎜ Pr ⎟⎟
⎝ с⎠
0, 25
ε s ε ψ . (11.56)
2. В шахматном пучке труб.
При условии Re ж d < 103:
Nu ср.ж d =
242
0,5
0,56 Re ж d
⎛ Pr
Prж0,36 ⎜⎜ ж
⎝ Prс
⎞
⎟⎟
⎠
0, 25
ε s ε ψ . (11.57)
При условии 103≤ Re ж d ≤ 105:
Nu ср.ж d = 0,41 Re 0ж,6d
⎛ Pr ⎞
Prж0,33 ⎜⎜ ж ⎟⎟
⎝ Prс ⎠
0, 25
ε s ε ψ . (11.58)
Влияние компоновочных характеристик пучка труб определяется
поправочным коэффициентом εS, который определяется для шахматного
0,166
пучка при S1/S2 < 2 по формуле εS = (S1/S2)
и при S1/S2 > 2 εS = 1,12.
Для коридорного пучка εS = (S2/d) 0,15.
Если пучок труб омывается вынужденным потоком жидкости под
углом ψ < 90o («угол атаки»), то необходимо учитывать поправочный коэффициент εψ, значения которого приведены в табл. 11.2 в зависимости от
ψ.
В случае двухатомных газов и воздуха приведенные формулы
(11.55 – 11.58) можно упростить, приняв отношение Prж/Prс = 1.
Т а б л и ц а 11.2
Значения поправочного коэффициента
ψ
εψ
εψ для пучка труб
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1
1
0,98
0,94
0,88
0,78
0,67
0,52
0,42
Средний коэффициент теплоотдачи для всего пучка труб определяется с учетом средних коэффициентов теплоотдачи для отдельных рядов:
n
αп =
∑ α i ⋅ Si
i =1
n
,
(11.59)
∑ Si
i =1
где n – число рядов в пучке; Si – поверхность теплообмена i-го ряда труб.
11.6.
Теплоотдача при естественной конвекции
При свободной (или естественной) конвекции поток жидкости возникает под действием неоднородного поля плотности, причем обычно причиной неоднородности плотности жидкости служит неоднородность темпе243
ратурного поля. В этом случае движение возникает под действием разности плотностей нагретых и холодных масс неравномерно прогретой
жидкости. Свободное движение при этом определяется наличием теплообмена, который служит причиной возникновения естественной конвекции.
Как отмечалось ранее (см. гл. 1 и разд. 9.4.2) наличие неоднородного поля плотностей вызывает появление результирующих подъемных сил,
приводящих жидкость в движение (см. рис. 1.1), которое называют гравитационной свободной конвекцией.
Рис. 11.13. Теплообмен при свободной конвекции: а – характер движения и изменение местного коэффициента теплоотдачи у вертикальной
нагретой стенки; б – профиль скоростного и температурного полей в
пограничном слое у поверхности вертикальной стенки; в – характер
движения жидкости у нагретой горизонтальной пластины
Характер свободного движения у нагретой вертикальной или горизонтальной пластин, показан на рис. 11.13.
У поверхности вертикальной пластины образуется ламинарный слой,
толщина которого растет по мере движения жидкости вдоль пластины
(см. рис. 11.13, а).
На некоторой высоте ламинарный слой переходит в турбулентный с
образованием ламинарного подслоя. Коэффициент теплоотдачи вначале
уменьшается с увеличением толщины ламинарного пограничного слоя, но
в области турбулентного движения он заметно возрастает и далее процесс
теплообмена стабилизируется (см. рис. 11.13, а).
Распределение скорости и температуры в пограничном слое δ(z)
244
приведено на рис. 11.13, б. На поверхности стенки и за пределами пограничного слоя скорость равна нулю, а в пределах пограничного слоя проходит через максимум.
Температура в пограничном слое меняется от температуры стенки Tc
до температуры жидкости Tж (за пределами пограничного слоя).
Типичный вид возникающего свободного потока жидкости у нагретой
горизонтальной плиты приведен на рис. 11.13, в.
При оценке числа Нуссельта Nuср в случае естественной конвекции
определяющим критерием в критериальном уравнение служит критерий
Грасгофа (см. гл. 9), который характеризует гидродинамику свободного
потока жидкости (9.51):
Gr =
gβT L3ΔT
ν2
.
Рис. 11.14. Обобщение опытных результатов изучения теплоотдачи в
условиях свободной конвекции: 1 – вертикальные трубы и плиты (L=h);
2 – горизонтальные трубы (L=d)
С учетом протекающего теплообмена для характеристики интенсивности и гидродинамики свободного потока жидкости принято использо245
вать в критериальном уравнении сложный критерий Рэлея (9.54):
Ra = Gr·Pr.
Установлено, что переход ламинарного движения в пограничном слое
в турбулентный режим в свободном потоке происходит при условии
Raж = Grж z·Prж > 7·108,
(11.60)
где при расчете критерия Грасгофа принимается L = z – координата,
определяемая от нижней кромки вертикальной пластины (см. рис.11.13, а)
при условии Tc > Tж или от верхней кромки пластины при обратном соотношении температур.
На рис. 11.14 приведены обобщенные опытные данные теплопередачи при свободной конвекции для различных жидкостей. В результате
обобщения экспериментальных данных (см. рис. 11.14) для среднего числа
Нуссельта получено следующее соотношение:
n
Nu ср, ж, d = C ⎛⎜ Grж, d ⋅ Prж ⎞⎟
(11.61)
⎠
⎝
Значения коэффициентов С и n в уравнении (11.61) зависят от критерия
Рэлея Ra = Grж·Prж и приведены в табл. 11.3.
При Ra = Grж·Prж < 2·107 имеет место ламинарный режим движения,
а соответственно при Ra = Grж·Prж > 2·107 – турбулентный.
Формула (11.61) применима для любых жидкостей и газов при
Рr > 0,7 и для тел любой формы и размера. За определяющую температуру
Т а б л и ц а 11.3
Значения коэффициентов С и n в уравнении (11.61)
10-3 – 5·102
5·102 – 2·107
> 2·107
Ra = Grж·Prж
1,18
0,54(0,5< Pr <10
0,135
C
0,65(Pr >10)
1/8
1/4
1/3
n
взята средняя температура пограничного слоя Тср = 0,5 (Тж + Тс).
За определяющий размер для труб и шаров принимается диаметр, для
вертикальных плит – их высота и для горизонтальных плит – их меньшая
сторона. Для горизонтальных плит коэффициент теплоотдачи, определенный по формуле (11.61), увеличивается на 30 %, если нагретая сторона
246
плиты обращена вверх, и уменьшается на 30 %, если горячая сторона обращена вниз.
Ранее рассмотрены условия теплообмена в неограниченном пространстве, где протекало лишь одно явление, например, нагрев жидкости.
В ограниченном пространстве явления нагревания и охлаждения жидкости протекают вблизи друг от друга и разделить их невозможно.
В этом случае оба процесса надо рассматривать в целом.
Вследствие ограниченности пространства и наличия восходящих и
нисходящих потоков условия движения усложняются. Они зависят от
формы и геометрических размеров канала, от рода жидкости и температурного напора.
В вертикальных каналах и щелях в зависимости от их толщины циркуляция жидкости может протекать двояко. Если толщина δ1 достаточно
велика, то восходящий и нисходящий потоки протекают без взаимных
помех (рис. 11.15, а) и имеют такой же характер, как и вдоль вертикальной
поверхности в неограниченном пространстве. Если же толщина δ2 мала, то
вследствие взаимных помех внутри возникают различные циркуляционные
контуры (рис. 11.15, б).
Рис. 11.15. Естественная конвекция в ограниченном замкнутом пространстве:
а и б – вертикальные щели; в, г – шаровые или цилиндрические
пространства
В шаровых и горизонтальных цилиндрических прослойках в зависимости от их толщины (или соотношения диаметров) циркуляция протекает
247
по схемам рис. 11.15, в или г. В этом случае циркуляция развивается лишь
в зоне, лежащей выше нижней кромки нагретой поверхности.
Для облегчения расчета достаточно сложного процесса свободной
конвекции в ограниченном пространстве принято рассматривать его как
элементарное явление теплопроводности, вводя при этом понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности:
λэкв = qδ/ΔТ,
где λэкв – эквивалентная теплопроводность, учитывающая конвективный
теплоперенос; ΔТ = Tc1 – Tc2 – температуры горячей и холодной поверхностей, разделенных жидкостной прослойкой; δ – толщина щели и q –
плотность теплового потока в процессе свободной конвекции.
Если значение λэкв разделить на коэффициент теплопроводности λ
среды, то получим безразмерную величину εк = λэкв/ λ, которая характеризует собой влияние конвекции и называется коэффициентом конвекции.
Рис. 11.16. Зависимость εк = f(Grж·Prж) при естественной конвекции в
замкнутом пространстве: + – плоская горизонтальная газовая прослойка;
х – то же вертикальная; о – цилиндрическая газовая прослойка; ● – цилиндрическая жидкостная прослойка; ø – шаровая газовая прослойка.
1 – εк = 0,105(Grж·Prж)0,3; 2 – εк = 0,4(Grж·Prж)0,2; 3 – εк = 0,18(Grж·Prж)0,25
Так как циркуляция жидкости обусловлена разностью плотностей
248
нагретых и холодных частиц и определяется произведением Grж·Prж, то и
εк = f(Grж·Prж).
Эта зависимость представлена на рис. 11.16. При вычислении чисел
подобия независимо от формы прослойки за определяющий размер принимается ее толщина δ, а за определяющую температуру – средняя температура жидкости Тж = 0,5 (Tc1 + Tc2). Несмотря на условность такой обработки, опытные данные для плоских, цилиндрических и шаровых прослоек
хорошо описываются общей зависимостью.
Таким образом, λэкв определяется соотношением:
λэкв = εк λж,
(11.62)
где теплопроводность жидкости λж и поправочный коэффициент εк определяется графиком на рис. 11.16.
11.7.
Теплоотдача в жидких металлах
Рассмотренные выше уравнения для расчета коэффициента теплоотдачи, как правило, применимы для неметаллических жидкостей.
Металлы характеризуются очень высокой теплопроводностью
(см. разд. 2.1), поэтому число Прандтля для жидких металлов составляет
обычно Prж = ν/a << 1,0 (0,005 – 0,05).
Это условие означает, что в жидких металлах теплоперенос преимущественно осуществляется молекулярной теплопроводностью, которая в
этом случае заметно выше конвективного теплопереноса.
11.7.1. Теплообмен в условиях вынужденной конвекции
Ламинарный режим движения
Для жидких металлов при Prж << 1,0 и δ < δт тепловой пограничный слой проникает в ядро потока.
В случае ламинарного движения вдоль плоской поверхности решение
дифференциального уравнения (11.11) имеет вид:
δ т = 3,65
ах
.
(1 − δ / δ т )U
(11.63)
249
С учетом уравнения (11.19) и аналогично уравнению (11.20) в случае
ламинарного движения жидких металлов вдоль пластины для среднего
значения числа Нуссельта получим:
(
)
Nu ср.ж = 0,82 Re ж ⋅ Prж 1 − 1,026 Prж 0,33 . (11.64)
Для оценки местного значения числа Нуссельта можно при этом использовать уравнение:
Nu ж x =
Re ж x⋅ Prж
. (11.65)
1,55 Prж + 3,09 0,372 − 0,15 Prж
Турбулентный режим движения
Для металлических жидкостей при расчете среднего числа Нуссельта в случае турбулентного пограничного слоя при течении по плоской по-
верхности предлагается уравнение (103 < Reж · Prж< 105):
Nu ср.ж = 0,46(Re ж ⋅ Prж )0,65 .
(11.66)
Стабилизированный теплообмен жидких металлов при турбулентном
течении в цилиндрической трубе описывается уравнением (при L > 30d):
Nuср.ж = 3,4 + 0,014(Reж ⋅ Prж )0,8 .
11.7.2.
(11.67)
Теплообмен при свободной конвекции
Теплообмен жидких металлов в условиях естественной конвекции
при всех режимах движения характеризуется очень существенным влиянием молекулярной теплопроводности и при условии
Grж·Pr2ж = 10 ÷ 104
определяется соотношением
Nu ср.ж
= 0,53⎛⎜ Grж ⋅ Prж2 ⎞⎟
⎝
⎠
0, 25
.
(11.68)
В качестве определяющей температуры принимается средняя температура пограничного слоя Тср = 0,5 (Тж + Тс). Определяющий линейный
размер: диаметр – в случае горизонтальных труб и высота – для вертикальной трубы или плоской стенки.
250
11.8.
Теплообмен при изменении агрегатного
состояния вещества
11.8.1. Теплоотдача при кипении жидкостей
В металлургической промышленности многие технологические процессы связаны с испарением жидкости (дистилляция, ректификация, выпарка и др.).
Теплообмен при кипении используется не только в аппаратах, предназначенных для испарения жидкости, но и как возможный интенсивный
способ охлаждения поверхности твердого тела.
Коэффициент теплоотдачи при кипении может на несколько порядков
превышать коэффициент теплоотдачи при конвективном теплообмене
поверхности твердого тела с жидкостью.
Условием возникновения процесса кипения жидкости является ее
перегрев в сравнении с температурой Т0 – равновесной температурой
кипения жидкости при заданном давлении.
Перегрев жидкости Тж в процессе кипения связан с необходимостью
подвода дополнительной энергии, расходуемой на образование зародышей
паровой фазы (работа или энергия образования новой фазы):
ΔТ = Тж – Т0.
Шероховатость поверхности нагрева твердого тела или наличие в
жидкости растворенного газа и различного рода взвешенных частиц снижают энергию образования зародышей пара, что облегчает протекание
процесса парообразования и снижает величину необходимого перегрева
жидкости ΔТ. В этом случае пузырьки пара образуются в отдельных точках поверхности, называемых центрами парообразования.
Таким образом, процесс кипения в этом случае начинается в пограничном слое жидкости, контактирующем с нагретой поверхностью твердого тела и имеющем одинаковую с ней температуру Тс . По мере увеличения температуры поверхности нагрева Тс и соответственно температурного напора ΔТ = Тс – Т0 число действующих центров парообразования
растет, процесс кипения становится все более интенсивным.
251
Паровые пузырьки периодически отрываются от поверхности и,
всплывая к свободной поверхности, продолжают расти в объеме. Последнее объясняется тем, что температура в объеме кипящей жидкости не равна температуре насыщения Т0, а несколько превышает ее.
Например, для воды при атмосферном давлении перегрев в объеме
составляет ~ 0,4° (рис. 11.17). Плотность теплового потока q и коэффи-
Рис. 11.17. Распределение температуры в объеме кипящей воды при атмосферном давлении (105 Па): Тс=109,10С; а – вода (Тж=100,40С); б –
поверхность воды; в – пар (Т0=1000С); q = 22 500 Вт/м2; L – расстояние
от нагревающей стенки
циент теплоотдачи α зависят от величины перегрева ΔТ = Тс – Т0. Это
обусловлено существованием двух различных режимов кипения:
пузырькового, который характеризуется образованием на нагретой поверхности отдельных паровых пузырей, и пленочного, при котором образуется сплошная паровая пленка.
При пузырьковом кипении в большом объеме пограничный слой
жидкости разрушается образующимися пузырьками пара, которые всплывают, турбулизируя жидкость и интенсифицируя теплообмен.
252
При дальнейшем увеличении плотности теплового потока, что связано с ростом ΔТ = Тс – Т0, количество образующихся пузырьков возрастает и они образуют на поверхности нагретой стенки сплошную паровую
пленку. Этому условию отвечает пленочный режим кипения.
Интенсивность теплоотдачи при пленочном режиме на порядок
ниже, чем при пузырьковом. Это объясняется большим термическим сопротивлением парового слоя на поверхности теплообмена вследствие низкой теплопроводности пара.
На рис. 11.18 показана зависимость коэффициента теплоотдачи при
кипении воды от плотности теплового потока. Верхняя возрастающая
ветвь ОВА соответствует пузырьковому кипению, нижняя ветвь БГД –
Рис. 11.18. Зависимость коэффициента теплоотдачи при кипении воды в
большом объеме от плотности теплового потока: ОА – пузырьковый
режим кипения; БД – пленочный режим кипения; АБ – переходной режим;
АГ – мгновенный переход от пузырькового режима к пленочному кипению; БВ – обратный переход от пленочного режима к пузырьковому
кипению
режиму пленочного кипения. В точке А коэффициент теплоотдачи достигает максимального значения. При дальнейшем увеличении плотности
теплового потока пузырьковый режим переходит в пленочный и коэффи253
циент теплоотдачи резко падает до значений в области точки Г.
На участке АБ режим кипения называют переходным, в этом случае одновременно могут сосуществовать пузырьковый и пленочный режимы кипения. Однако при фиксированном тепловом потоке переходный
режим неустойчив и стационарно существовать не может. Возврат от
пленочного кипения к пузырьковому происходит при значительно меньших тепловых потоках (точка Б). Таким образом, наблюдается существование определенного гистерезиса при переходе от пленочного кипения к
пузырьковому.
Зависимость коэффициента теплообмена и величины теплового потока от температурного перегрева ΔТ = Тс – Т0 показана на рис. 11.19 для
кипения воды в большом объеме при нормальном давлении.
Рис. 11.19. Зависимость коэффициента теплоотдачи α и плотности
теплового потока q от температурного перегрева ΔТ = Тс – Т0 при кипении воды: ОЕА – пузырьковое кипение; БГ – пленочный режим кипения;
АБ – переходный режим; qкр1 – первая критическая плотность теплового потока; qкр2 – вторая критическая плотность теплового потока;
ΔТкр – переход пузырькового режима кипения в пленочный
о
При небольших значениях перегрева (ΔТ < 5 ) на участке ОЕ нагрев
254
воды до начала кипения протекает в условиях естественной конвекции.
о
При ΔТ > 5 число центров парообразования становится достаточно
большим для начала развитого пузырькового кипения (участок ЕА).
Переход пузырькового режима в пленочный наступает при ΔТ ≈ 25 – 35
о
в точке А, в которой наблюдается максимальное значение коэффициента теплоотдачи.
Стрелкой показано направление кризисного перехода («перескока»)
от пузырькового кипения к пленочному при постоянном значении теплового потока q (участок АГ).
В практическом отношении переход пузырькового режима кипения
в пленочный крайне нежелателен. При пленочном кипении температурный
перегрев ΔТ = Тс – Т0 резко возрастает и, в соответствии с законом
Фурье q = α ·ΔТ , коэффициент теплоотдачи очень заметно падает.
Температурный перегрев при пленочном кипении может достичь значений
нескольких сот градусов. Температура поверхности стенки при этом значительно возрастает, что может вызвать ее разрушение.
Максимальная плотность теплового потока в точке А называется
первой критической плотностью теплового потока qкр1.
Значение этой величины зависит от природы жидкости. Так, для во-
ды при атмосферном давлении она составляет: qкр1 = 1,2·106 Вт/м2.
При снижении q в точке Б происходит возврат пленочного режима
в пузырьковый. Значение плотности теплового потока в точке Б называется второй критической плотностью теплового потока qкр2.
Она определяет минимальную плотность теплового потока при пленочном режиме кипения, соответствующую его переходу к пузырьковому
кипению.
Изменение механизма теплоотдачи при переходе от пузырькового
кипения к пленочному или от пленочного к пузырьковому называют кризисами кипения, а параметры, им соответствующие, – критическими.
Гидродинамические условия процесса кипения определяются характеристиками возникновения зародышей, их роста и отрыва пузырьков пара.
255
К таким характеристикам относят минимальный или критический
радиус возникающего на поверхности нагрева парового пузырька Rкр, отрывной диаметр пузырька Do и среднюю скорость роста парового пузырька на поверхности нагрева υо = Do f (м/с). Величина f (1/с) соответствует
частоте отрыва паровых пузырьков.
Пар внутри пузырька испытывает давление жидкости и сжимающее
действие поверхностного натяжения.
Для сферической поверхности раздела фаз давление внутри парового
пузырька определяется уравнением Лапласа:
pп = pж +
или
Δр =
2σ
,
Rкр
2σ
.
Rкр
(11.69)
(11.70)
Соотношение между перегревом ΔТ = Тс – Т0 и Rкр получим из уравнения Лапласа (11.69) и уравнения Клапейрона–Клаузиуса:
⎞
1
Δр ΔН исп ⎛
⎜⎜
⎟,
=
Т 0 ⎝ 1 / ρ п − 1 / ρ ж ⎟⎠
ΔТ
(11.71)
где ΔНисп – удельная теплота испарения (кипения) жидкости (кДж/кг).
Далее, учитывая условие ρп << ρж и подставляя значение Δр из
уравнения (11.71) в уравнение Лапласа (11.70), находим соотношение
между величиной перегрева ΔТ и Rкр:
Rкр =
2σТ 0
.
ΔН испρ п ΔТ
(11.72)
Из уравнения (11.72) следует, что чем больше перегрев, тем больше
активных центров парообразования, так как тем меньшего размера Rкр
микронеровности поверхности становятся центрами парообразования.
На гладкой поверхности (например стекло) кипение может наступить при
больших перегревах – порядка нескольких десятков градусов.
Среднее число действующих центров парообразования при заданном
перегреве ΔТ определяется кроме рельефа поверхности также ее адгезией
256
и смачивающей способностью жидкости, которая определяется углом смачивания θ.
При θ < 90° (рис. 11.20, а) жидкость смачивает поверхность нагревающей стенки (многие металлические поверхности смачивают вода,
спирт, ацетон, бензол и керосин), а при θ > 90 (рис. 11.20, б) – не смачивает (на пример ртуть).
Если кипящая
жидкость смачивает
поверхность, то пузырек пара имеет
тонкую ножку и легко отрывается, а
если она не смачивает поверхность, то
пузырек имеет
широкое основание
и отрыв его от поверхности связан с большими усилиями и его объем к
моменту отрыва будет больше, чем для смачивающей жидкости.
Рост парового пузырька на поверхности теплообмена происходит
до определенного размера Do, и далее он отрывается от поверхности.
Отрыв пузырей осуществляется с помощью подъемной силы
g(ρж – ρп),
которая преодолевает силу поверхностного натяжения σ и гидродинамическое сопротивление при движении пузыря.
Отрывной диаметр пузырька Do (м) при данном давлении р (бар)
определяется формулой:
Do = 0,02
θ
р
σж
.
g (ρ ж − ρ п )
(11.73)
Скорость роста пузырей υо на поверхности нагрева в процессе кипения можно оценить следующим образом:
λ ж сж ρ3ж/ 2 ΔТ
υо = Do f =
.
θΔН испρ п σ ж
(11.74)
257
Таким образом, скорость роста пузырьков увеличивается с ростом
теплопроводности, теплоемкости, плотности жидкости и температурного
перегрева ΔТ, а также уменьшается с увеличением угла смачивания, поверхностного натяжения σж, плотности пара ρп и теплоты парообразования.
Скорость всплытия υп парового пузыря зависит от подъемной силы,
и ее можно представить следующим образом:
2 g (ρ ж − ρ п )Ro2
υп =
,
9μ ж
(11.75)
где Ro – отрывной радиус пузыря; μж – вязкость жидкости.
Время роста и всплытия пузырей составляет от сотых долей секунды
до нескольких секунд. Всплытие пузыря занимает значительно больше
времени, чем его развитие до Do на поверхности нагрева, поэтому пузырь
пара при подъеме увеличивает свой размер почти на порядок по сравнению с величиной отрывного диаметра Do.
Основное количество пара (≈ 95 % для Н2О) образуется при испарении жидкости в пузыре при его подъеме и лишь незначительная часть
(≈ 5 % для Н2О) в процессе развития пузырей на поверхности нагрева.
Ввиду сложного характера теплообмена при кипении в настоящее
время не существует его строгой количественной теории. Имеется ряд
подходов, развитых отечественными учеными (С.С. Кутателадзе, Г.Н.
Кружилин, А.И. Леонтьев, Д.А. Лабунцов, М.А. Михеев и др.).
Коэффициент теплоотдачи при развитом пузырьковом кипении зависит от природы жидкости, плотности теплового потока, перегрева ΔТ =
= Тс – Т0 и давления.
Так, приближенный метод оценки теплоотдачи при развитом кипении
был предложен Д.А. Лабунцовым и М.А.Михеевым.
Для расчета коэффициента теплоотдачи при кипении различных жидкостей может быть использовано выражение
1/ 3
⎛ λ 2ж ⎞
⎟
α = b′⎜⎜
⎟
⎝ ν ж σ жTo ⎠
q2 / 3 ,
где b′ – безразмерный коэффициент,
258
(11.76)
2/3
⎡
⎛ ρп ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥ .
b′ = 0,075⎢1 + 10⎜⎜
−
ρ
ρ
⎢⎣
⎥⎦
⎝ ж
п⎠
Все физические свойства жидкости и пара при расчете берутся при Т0.
В случае воды в диапазоне давлений (1 – 200 бар) для расчета α на
основе уравнения (11.76) М.А. Михеев получил более простые формулы:
3,4 р 0,18 2 / 3
α=
q ;
1 − 0,0045 p
α = 0,3162 ΔT 2,33 p 0,5 .
(11.76 а)
Первую критическую плотность теплового потока при кипении в
большом объеме жидкости можно определить по уравнению:
qкр1 = 0,14ΔН исп ρ п [σg (ρ ж − ρ п )]1 / 4 ,
(11.77)
где р (бар); q (Вт/м2) и α (Вт/м2·К).
При вынужденном движении кипящей жидкости интенсивность
теплоотдачи зависит от соотношения интенсивности процесса кипения и
гидродинамических параметров потока жидкости.
При небольших скоростях движения теплоотдача преимущественно
осуществляется в процессе кипения (α = αкип) и определяется уравнением (11.76).
При больших скоростях в турбулентном потоке (α = αо) теплоотдача
определяется ранее рассмотренными уравнениями конвективного теплопереноса в условиях турбулентного потока без учета процесса кипения.
При этом принимают:
αкип/ αо < 0,5, α = αо; αкип/ αо > 2, α = αкип.
В общем случае:
⎛α ⎞
α = α о 1 + ⎜⎜ кип ⎟⎟ .
⎝ αо ⎠
(11.78)
Для пленочного кипения характерно существование паровой пленки,
покрывающей поверхность нагрева. Пленочное кипение происходит
при большей разности температур между твердой поверхностью и жидко-
259
стью. Для воды (и большинства органических жидкостей) при атмосферном давлении этот температурный напор составляет > 100°.
При высоких температурах при пленочном кипении часть тепла передается излучением.
Интенсивность теплообмена при пленочном кипении определяется
термическим сопротивлением паровой пленки. Движение в ней носит ламинарный характер.
Зависимость для расчета коэффициента теплоотдачи при ламинарном
движении паровой пленки имеет следующий вид.
В случае горизонтальной трубы:
α ср
(
)
⎡ λ 3п ΔН испρ п g 1 + C p п ΔТ / 2ΔН исп (ρ ж − ρ п )⎤
= 0,62 ⎢
⎥
Тd
μ
Δ
⎢⎣
⎥⎦
п
0, 25
. (11.79)
Для вертикальной трубы:
α ср = 0,25 3
λ п2 С р п g (ρ ж − ρ п )
νп
.
(11.80)
Физические параметры пара относят к средней температуре:
Тср = 0,5(Тс + Тж).
Вторая критическая плотность теплового потока определяется выражением:
qкр2 = 0,9 (Тпр – То) αср,
(11.81)
где αср определяется по уравнениям (11.79) и (11.80); Тпр – температура
предельного перегрева, которая, к примеру, для воды составляет:
Тпр = 300 + 0,33 (р – 1), где р (бар).
11.8.2.
Теплоотдача при конденсации
При соприкосновении пара с поверхностью, температура которой Тс
ниже температуры насыщения Т0, пар начинает конденсироваться.
При этом выделяется теплота фазового перехода ΔНисп, которая
отводится через теплообменную поверхность. В случае, когда конденсат
образует на поверхности твердого тела сплошную устойчивую пленку,
260
такая конденсация называется пленочной.
Пленочная конденсация имеет место, если конденсат обладает способностью смачивать поверхность твердого тела.
Если же конденсат не смачивает поверхность, например при ее загрязнении, то поверхность покрывается отдельными каплями конденсата.
В этом случае конденсация называется капельной. При капельной конденсации пар непосредственно соприкасается с поверхностью теплообмена.
Пленочная конденсация устанавливается на шероховатых, металлических и покрытых оксидной пленкой поверхностях. Большинство промышленных аппаратов работает в режиме пленочной конденсации.
Коэффициент теплоотдачи при пленочной конденсации ниже, чем при
капельной, так как стекающая пленка конденсата имеет большое термическое сопротивление. Например, при пленочной конденсации паров воды
коэффициент теплоотдачи может достигать значений 1200, а при капельной – 105 Вт/м2·К. Исключение составляет пленочная конденсация паров
жидких металлов, для
которых характерна
высокая теплопроводность.
При образовании
пленки пар отделен от
стенки. Принято считать, что температура
поверхности пленки
Тпл, обращенной к пару, равна температуре
насыщения (Тпл = Т0).
При конденсации
пара на вертикальной стенке (рис. 11.21) толщина стекающей пленки конденсата δ увеличивается, начиная от верхней кромки стенки.
Режим течения конденсата определяется числом Рейнольдса:
Re = υсрδ/νж, где υср – средняя скорость течения пленки в рассматриваемом сечении; δ – толщина пленки.
261
Ламинарное течение наблюдается в верхней части пленки, когда толщина пленки и количество конденсата невелики.
При Re > Reкр течение пленки становится турбулентным.
Для конденсации неподвижного пара принято считать Reкр = 400.
Для определения среднего коэффициента теплоотдачи на вертикальной стенке или трубе, имеющих высоту h, при конденсации пара в условиях ламинарного течения пленки жидкости рекомендуется следующее уравнение:
α ср
3
λ
gΔH исп (ρ ж − ρ п )
= 0,943 4 ж
ε т ⋅ ε вол , (11.82)
hΔTν ж
где εт – коэффициент, учитывающий зависимость физических параметров
жидкости ρ, ν от температуры: ΔТ = Т0 – Тс; εвол – коэффициент,
который учитывает наличие волнового характера движения конденсата в
пленке, что было установлено П.Л. Капицей.
При этом εт определяется формулой:
1/ 8
⎡⎛ λ ⎞3 μ ⎤
ε т = ⎢⎜⎜ с ⎟⎟ о ⎥
⎢⎣⎝ λ о ⎠ μ с ⎥⎦
,
(11.83)
где индексы «с» и «o» соответствуют температурам Тс и Т0.
Коэффициент εвол зависит от числа Рейнольдса:
εвол = Re0,04 .
(11.84)
В случае горизонтальной трубы коэффициент теплоотдачи рассчитывается по формуле:
α ср
= 0,728 4
λ 3ж gΔH исп (ρ ж − ρ п )
.
d ΔT ν ж
(11.85)
За определяющий линейный размер в этом случае принимается внешний
диаметр трубы.
Значения параметров λ, ρ и ν в уравнениях (11.83) и (11.85) берутся
при средней температуре: Тср = 0,5 (Т0 + Тс).
Содержание в паре неконденсирующихся газов существенно снижает
коэффициент теплоотдачи. Так, содержание 1 % воздуха в водяном паре
262
снижает коэффициент теплоотдачи на ~ 60 %, а 2 % – почти в три раза. Это
уменьшение объясняется накоплением у стенки неконденсирующихся
газов, чему способствует снижение парциального давления пара в парогазовой смеси. Пограничный слой с неконденсирующимся газом создает
дополнительное термическое сопротивление.
Температурный напор ΔТ = Т0 – Тс в этом случае также снижается,
так как уменьшается температура насыщения Т0, соответствующая парциальному давлению пара.
В промышленных конденсационных установках воздух из пара удаляется с помощью насосов.
12.
ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ
Особенностью процесса теплообмена излучением является отсутствие
непосредственного контакта тел в отличие от теплопроводности и конвективного теплопереноса.
Излучение (или лучеиспускание) – это процесс распространения
электромагнитных волн, испускаемых телом при преобразовании внутренней энергии тела в лучистую энергию в результате внутримолекулярных и
внутриатомных взаимодействий различного рода.
Лучистой тепловой энергией является энергия колебаний непрерывного электромагнитного поля в интервале длин волн 0,4 − 800 мкм, которая включает видимое и инфракрасное (или тепловое) излучение.
Количество излучаемой энергии зависит от физических свойств и температуры излучающего тела.
Лучеиспускание может быть непрерывным (0 < λ > ∞) или селективным (происходит избирательное излучение в определенной области
длин волн). Оно также может быть диффузным, когда энергия излучается
равномерно по всем направлениям, или направленным.
Перенос лучистой энергии – это процесс ее распространения, определяемый физическими свойствами среды и спектральным составом излучения.
Поглощение – процесс превращения части лучистой энергии во внутреннюю энергию данного тела.
263
Отражение лучистой энергии от поверхности тела может быть диффузным (т. е. равномерным во всех направлениях) или зеркальным (в соответствии с законами геометрической оптики).
Совокупность процессов испускания, переноса, поглощения, отражения и пропускания теплового излучения называют лучистым теплообменом.
Лучистый теплообмен между телами одинаковой температуры является термодинамически равновесным.
Излучение электромагнитных волн свойственно всем телам. Для большинства твердых и жидких тел спектр излучения непрерывный, что означает, что эти тела излучают (и поглощают) лучи всего спектра длин волн.
Общее количество лучистой энергии, испускаемой телом в единицу
времени, называется интегральным лучистым потоком (Q, Вт). Поток
излучения Q, проходящий через единицу поверхности по всем направлениям полусферического пространства, является плотностью интегрального потока излучения (Е, Вт/м2):
E = dQ/dS,
(12.1)
где dQ – элементарный поток
излучения, испускаемый поверхностью dS.
Излучение в узком интервале длин волн называют монохроматическим излучением Qλ.
Отношение плотности потока
монохроматического излучения
(Eλ = dQλ/dS) в малом интервале длин волн dλ к этому
интервалу есть интенсивность
или спектральная плотность потока излучения Jλ:
Jλ = dЕλ/dλ, Вт/м2·м.
Интегральное (в диапазоне длин волн λ = 0 – ∞) и монохроматическое излучения связаны соотношениями:
264
∞
∞
Е = ∫ Еλ dλ и Q = ∫ Qλ dλ .
0
(12.2)
0
Излучение, которое излучается телом и зависит только от свойств и
температуры тела, называется собственным. Излучение, которое тело
получает от внешнего источника, называют падающим.
Закон сохранения энергии для падающего потока излучения Qпад
имеет вид (рис. 12.1):
Qпад = QА + QR + QD,
(12.3)
где QА – поглощенная часть энергии излучения; QR – отраженная и QD –
соответственно прошедшая сквозь тело.
Поделив соотношение (12.3) на величину Qпад, получим:
А + R + D = 1,
(12.3, а)
где А = QА/Qпад; R = QR/Qпад; D = QD/Qпад – соответственно коэффициенты поглощения, отражения и пропускания.
Эти коэффициенты являются безразмерными величинами, которые
характеризуют способность тела поглощать, отражать или пропускать тепловое излучение. В предельном случае имеем:
R = 0; А = 0; D = l (абсолютно прозрачное или диатермичное
тело);
R = 1; А = 0; D = 0 (абсолютно белое или зеркальное тело);
R = 0; A = l; D = 0 (абсолютно черное тело).
В дальнейшем все величины, относящиеся к абсолютно черному телу, принято обозначать индексом «0», например Ао = 1.
Абсолютно черных, белых и прозрачных тел в природе не существует. Для реальных тел коэффициенты A, R и D заключены в диапазоне от
0 до 1.
К абсолютно черному телу наиболее близки: сажа и бархат
(А ~ 0,90 – 0,98), к абсолютно белому телу – полированные металлы
(R ~ 0,97). Одно= и двухатомные газы (O2, N2, H2, инертные газы)
практически прозрачны для теплового излучения (А + R ~ 0, D ~ 1).
Большинство твердых и жидких тел не являются абсолютно черными
телами, и для них A < 1.
265
Тела, у которых коэффициент поглощения 0 < А < 1 и поглощательная способность не зависит от длины
волны падающего излучения, называются серыми телами. Большинство
твердых тел можно рассматривать как
серые тела и для многих из них выполняется условие: А + R ~ 1 и D ~ 0.
Общая энергия, излучаемая
телом, состоит из двух составляющих:
собственного излучения Е, зависящего
от физической природы тела и его температуры, и отраженной лучистой
энергии ER.
Сумма собственного и отраженного излучений носит название эффективного излучения Eэф (рис. 12.2):
Еэф = Е + Е R = E + REпад = E + (1 − A)Eпад . (12.4)
Лучистый перенос теплоты характеризуется результирующим излучением Eрез, которое определяется разностью между собственным излуче-
нием Е и поглощенным лучистым потоком (Eпогл = А Eпад):
Eрез = Е – А Eпад,
(12.5)
или с учетом уравнений (12.4) и (12.5) имеем:
Eрез = Еэф – Eпад .
12.1.
(12.6)
Основные законы теплового излучения
Излучение абсолютно черного тела подчиняется законам, которые
ранее были изложены в курсе общей физики.
Закон Планка
Закон Планка устанавливает связь между спектральной плотностью потока излучения абсолютно черного тела Jо, длиной волны λ
и температурой Т:
266
J λ, о
dE0
c1λ − 5
=
=
.
dλ exp c2 − 1
λT
(12.7)
2
Здесь с1 = 2πhcо = 3,7418·10−16 Вт·м2; c2 = hcо/k = 0,014387 м·К,
где h = 6,625·10−34 Дж·с – постоянная Планка; k = 1,38·10−23 Дж/К – постоянная Больцмана; сo – скорость света в вакууме.
Характер изменения Jλо от λ для разных значений Т приведен на рис. 12.3.
Спектральная плотность потока излучения растет с увеличением λ
и достигает максимального значения при длине волны λмакс, которая зависит от температуры.
Рис.12.3. Зависимость спектральной интенсивности излучения абсолютно
черного тела от длины волны и температуры (Т, К): 1 – 600; 2 – 800; 3 –
1000; 4 – 1200; 5 – 1400 К
Зависимость λмакс от температуры определяется формулой Вина (закон
смещения):
λмаксТ = 2,898 мм·К .
(12.8)
С ростом температуры максимум смещается в область более коротких волн.
267
Подставив значение λмакс из (12.8) в уравнение (12.7) можно определить максимальную интенсивность излучения Jλо макс (Вт/м3) при данной
температуре: J λo макс
5
c1λ -макс
=
= 1,2895 ⋅ 10 − 5 Т 5 . (12.9)
c2
exp
−1
λ максT
Если в уравнении (12.7) при условии λТ >> c2 и c2/ λТ << 1 разложить в ряд exp (c2/ λТ) и ограничиться двумя членами, можно
получить уравнение Рэлея–Джинса:
J λо =
c1 − 4
λ T .
c2
(12.10)
Также при условии λТ << c2 (λТ < 0,2 c2) имеем формулу Вина:
J λо = c1λ − 5 exp(−c2 / λT ) .
(12.11)
В указанном диапозоне значений λТ более простые формулы (12.10)
и (12.11) позволяют получить хорошее согласие с законом Планка (12.7).
Закон Стефана–Больцмана
Данный закон позволяет определить плотность лучистого потока Ео абсолютно черного тела путем интегрирования уравнения (12.7).
Исходя из закона Планка Стефаном и Больцманом показано, что Ео
определяется формулой:
∞
Eo = ∫ J o dλ = σ oT 4 ,
(12.12)
0
где σо = 5,6686·10−8 Вт/м2·К4 – константа излучения абсолютно черного
тела.
В технических расчетах закон Стефана–Больцмана удобно применять в форме:
Ео = Со (Т/100)4,
где Со = σо·108 = 5,67 Вт/(м2·К4) – коэффициент излучения абсолютно
черного тела.
Для серых тел, у которых интенсивность излучения меньше, чем у
268
черных тел, при той же температуре Е < Ео. Отношение Е/Ео < 1
называют степенью черноты серого тела: ε = Е/Ео.
Пользуясь понятием степени черноты ε, плотность лучистого потока
для серого тела можно выразить следующим уравнением:
Е = ε Ео = ε Со (Т/100)4 = С (Т/100)4,
где С = ε Со – коэффициент излучения серого тела.
(12.13)
Закон Кирхгофа
Закон Кирхгофа устанавливает связь между излучательной и
поглощательной способностью тел.
Составим баланс лучистого теплообмена между параллельно распо-
ложенными неограниченными пластинами: серой 1, имеющей температуру Т, и абсолютно черной 2 с температурой То (рис. 12.4). Примем
Т > То.
Тогда количество теплоты, которое передает серое тело черному
будет равно:
Ерез = Е – ЕоА,
(12.14)
где Е – плотность потока излучения серого
тела, поглощенная абсолютно черным телом;
ЕоА – плотность потока
излучения абсолютно
черного тела, поглощенная серым телом.
Отраженный от
серого тела лучистый
поток Ео (1 – А) полностью поглощается абсолютно черным телом.
В условиях теплового равновесия пластин Т = То и Ерез = 0.
Тогда из уравнения (12.14) получим:
Е/А = Ео.
(12.15)
269
Уравнение (12.15) математически выражает закон Кирхгофа:
Отношение плотности потока излучения тела Е к его поглощательной способности А одинаково для всех тел и равно плотности
потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре.
С учетом уравнений (12.15), (12.12) и (12.13) можно записать:
А = Е/Ео = ε .
(12.16)
Таким образом коэффициент поглощения тела А равен степени его черноты ε.
Закон Ламберта
Закон Ламберта позволяет определить значение плотности
потока излучения в зависимости от его направления по отношению к
излучающей поверхности тела.
Наибольшей плотностью обладает поток излучения по нормали к
поверхности, его называют яркостью излучения и обозначают Еn (рис.
12.5).
Плотность потока по остальным направлениям Еφ, определяется по
формуле:
Еφ = Еn cos φ,
(12.17)
где φ – угол между направлением излучения и нормалью.
Ранее рассмотренный закон
Стефана–Больцмана позволяет
определить интегральную плотность излучения Е в полусферическое пространство по отношению к излучающей поверхности.
В соответствии с законом
Ламберта рассчитывается плотность потока излучения в определенном направлении, определяемом углом φ (см. рис. 12.5).
Показано, что поток излучения по нормали к поверхности Еn связан
с интегральной плотностью потока излучения тела Е с учетом уравнения
(12.13) следующим образом:
270
E С (T / 100 )4 ε Сo (T / 100 )4
En = =
=
.
π
π
π
(12.18)
12.2. Лучистый теплообмен между твердыми телами
12.2.1. Лучистый теплообмен между параллельными
пластинами
Рассмотрим теплообмен излучением между двумя серыми параллельными пластинами, разделенными прозрачной средой. Размеры пластин значительно больше расстояния между ними, так что излучение одной
из них будет полностью попадать на другую.
Обозначим: температуры пластин T1 и T2, коэффициенты поглощения А1 и А2; собственные излучения пластин, определяемые по закону
Стефана–Больцмана, Е1 и Е 2; эффективные излучения пластин Е1эф и
Е2эф коэффициенты излучения С1 и С2. Полагаем, что T1 > T2.
Первая пластина излучает на вторую энергию; вторая пластина часть
этой энергии поглощает, а часть отражает обратно на первую, где снова
первая пластина часть этой энергии поглощает и часть излучает обратно на
вторую и т. д.
Суммарный поток излучения первой пластины, состоящий из собственного излучения Е1 и отраженного излучения второй пластины
(1 – А1)Е2эф, находим с учетом уравнения (12.4):
Е1эф = E1 + (1 − A1 )E2эф .
(12.19)
Аналогично найдем суммарное излучение второй пластины:
Е2эф = E2 + (1 − A2 )E1эф .
(12.19 а)
Решая эти два уравнения относительно Е1эф и Е2эф, получаем:
Е1эф =
Е1 + Е2 − А1Е2
Е + Е2 − А2 Е1
. (12.20)
; Е2 эф = 1
А1 + А2 − А1 А2
А1 + А2 − А1 А2
Результирующее тепловое излучение, получаемое второй пластиной
от первой пластины, находим из уравнения:
271
q = E1эф − Е2эф .
(12.21)
Подставляя значение Е1эф и Е2эф в выражение (12.21), с учетом
уравнений (12.13), (12.16), произведя соответствующие преобразования,
имеем:
ε 2ε1Co (T1 /100)4 − ε 2ε1Co (T2 /100)4
A2 E1 − A1E2
q=
.
=
ε1 + ε 2 − ε1ε 2
A1 + A2 − A1 A2
Окончательно расчетную формулу для лучистого теплообмена
между параллельными серыми пластинами получим в виде:
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
q = ε прCo ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ .
⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
(12.22)
При этом использовано обозначение:
ε пр =
1
,
1/ε1 + 1/ε 2 − 1
(12.23)
где εпр – приведенная степень черноты для рассмотренного случая двух
серых параллельных пластин.
12.2.2. Лучистый теплообмен между телами, образующими
замкнутую систему
Описанным методом можно решить задачу определения лучистого
теплообмена между двумя серыми поверхностями в замкнутом пространстве.
Рассмотрим стационарный лучистый теплообмен
между телами 1 и 2, которые
образуют замкнутую систему,
причем степень черноты этих
тел не зависит от температуры
272
(рис. 12.6).
Обозначим температуру, поверхность и степень черноты внутреннего тела T1, S1 и ε1, а внешнего – T2, S2 и ε2. Примем, что T1 > T2.
При произвольном расположении в пространстве тел, участвующих в лучистом теплообмене, в отличие от параллельных пластин не вся лучистая
энергия, излучаемая одним телом, падает на другое.
В рассматриваемом случае на внутреннее тело попадает доля лучистого потока внешнего тела Q2эфφ, которая определяется угловым коэффициентом излучения, или коэффициентом облученности φ.
Остальная часть излучения, определяемая величиной (1– φ), падает на
поверхность внешнего тела.
Эффективное излучение внутреннего тела включает собственное излучение и отраженное от внешнего тела:
Q1эф = E1S1 + 1 − A1 ϕ Q2эф .
(12.24)
(
)
Эффективное излучение внешнего тела включает собственное излучение, отраженное от внутреннего тела, и отраженного собственного излучения:
Q2эф = E2 S 2 + 1 − A2 Q1эф + 1 − A2 (1 − ϕ )Q2эф . (12.25)
(
)
(
)
Величина теплообмена излучением в данном случае составит:
Q = Q1эф – Q2эф .
(12.26)
С учетом выражений (12.13), (12.16) и (12.24), (12.25) решение для
уравнения (12.26) принимает вид:
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
Q = ε прCo S1 ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ ,
⎣⎢⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎦⎥
где ε пр =
1
⎞
S ⎛1
1 / ε1 + 1 ⎜⎜ − 1⎟⎟
S2 ⎝ ε 2 ⎠
(12.27)
– приведенная степень черноты данной
системы.
Формула (12.27) применима для любых тел при условии, что внутреннее тело имеет выпуклую форму.
273
12.2.3.
Экранирование тел
Чтобы уменьшить теплообмен, необходимо снизить температуру
излучающего тела и уменьшить степень черноты. В тех же случаях, когда
температуру изменить нельзя, для снижения лучистого теплообмена
применяются экраны. Обычно экран представляет собой тонкий металлический лист с большой отражательной способностью.
Рассмотрим влияние экрана на простом примере. Возьмем две плоские параллельные поверхности и между ними поместим тонкостенный
экран, причем степени черноты экрана и поверхностей пластин одинаковы.
При отсутствии экрана теплообмен излучением между поверхностями
1 и 2 определяется уравнением (12.22):
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
q1,2 = ε прCo ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ .
⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
(12.28)
При наличии экрана интенсивность лучистого теплообмена между
этими поверхностями изменится. Вследствие стационарности процесса
потоки излучения, передаваемые от первой поверхности к экрану и от
экрана ко второй поверхности, будут одинаковы:
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
э
1
qэ = ε прCo ⎢⎜
⎟ ⎥ = ε прCo ⎢⎜ э ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ . (12.29)
⎟ −⎜
⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
⎣⎢⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
Из этого соотношения определим температуру экрана:
4
4
4
1 ⎡⎛ T1 ⎞ ⎛ T2 ⎞ ⎤
⎛ Tэ ⎞
(12.30)
⎜
⎟ = ⎢⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎥.
2 ⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
⎝ 100 ⎠
Подставим значение Тэ из уравнения (12.30) в (12.29) и получим:
⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
1
qэ = ε прCo ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ .
2
⎣⎢⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎦⎥
(12.31)
Сравнение тепловых потоков лучистого теплообмена в уравнениях
(12.28) и (12.31) показывает, что установка одного экрана снижает тепло-
274
отдачу излучением в два раза.
В случае n экранов лучистый теплообмен снижается в (n +1) раз.
Еще больший эффект снижения наблюдается, если применяются экраны с
малой степенью черноты.
Так, если между двумя плоскими поверхностями со степенью черноты ε установлено n экранов со степенью черноты εэ, то имеем:
qэ
=
q1, 2
1
.
2
ε
−
ε
⎛
э⎞
1 + n⎜
⎟
⎝ 2 − ε ⎠ εэ
(12.32)
Из уравнения (12.32) следует, что в случае одного экрана с εэ = 0,1
между поверхностями с ε = 0,8 приведет к снижению лучистого теплообмена ~ в 13,7 раза.
12.3. Лучистый теплообмен в газах
Излучение газообразных тел существенно отличается от излучения
твердых тел. Одноатомные и многие двухатомные газы (N2, O2, H2, инертные газы) обладают очень низкой излучательной и поглощательной способностью. Они практически являются прозрачными для тепловых лучей.
Ряд двух=, трехатомных (CO, СО2, Н2О, SO2 и др.) и многоатомных
газов, имеющих несимметричные молекулы, обладает более значительной
излучательной и поглощательной способностью.
Излучение газов происходит в результате изменения энергии активных молекул, обладающих значительной кинетической энергией при их
столкновениях в процессе теплового движения. В результате столкновений
может меняться энергия вращательного движения молекул, колебательного движения атомов и т. д. Изменения энергии атомов сопровождаются
излучением определенных квантов энергии. При этом в интервале температуры до ~ 2800 °С излучение обусловлено изменением энергии вращательного движения молекул и лежит в диапазоне длин волн 1−30 мкм, т. е.
в инфракрасной части спектра.
Излучение газов, образующихся при сгорании топлива, в различных
металлургических агрегатах имеет большое значение для работы этих уст275
ройств.
Обычно газовая среда в пламенных металлургических печах содержит смесь следующих газов: СО2, Н2О, N2 и O2. В ряде случаев дополнительно содержится СО, а в печах цветной металлургии при обжиге сульфидных материалов – SO2.
При этом наибольшее значение имеет излучение СО2 и Н2О, так как
остальные газы обычно имеют небольшие концентрации или практически
не участвуют в процессе газового излучения (N2, O2).
Излучение газов
в отличие от твердых
тел имеет объемный и
селективный (избирательный) характер,
т. е. излучение (или
поглощение) электромагнитных волн происходит лишь в отдельных участках
спектра, соответствующих энергии определенного квантового перехода и зависящего от природы газа (рис. 12.7).
В табл. 12.1 для ряда газов приведены границы полос спектра λ,
мкм, имеющих наибольшую спектральную плотность потока излучения
J λ.
Т а б л и ц а 12.1
Основные полосы спектров излучения для ряда газов
Газ
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
λ6
CO2
CO
H2O
SO2
1,7-2,3
-
2,4-3,0
2,3-3,4
3,8-4,0
4,0-4,8
4,4-4,95
4,8-8,5
4,1-4,6
6,9-7,6
6,9-7,6
8,0-9,5
8,0-9,5
12,5-16,5
15,8-23,2
15,8-23,2
Излучаемая газом энергия зависит от толщины газового слоя и концентрации излучающих молекул в объеме газа, которая оценивается пар276
циальным давлением газа рi, а также от температуры.
При практических расчетах для определения плотности потока излучения
газа обычно пользуются уравнением Стефана–Больцмана (12.13):
Ег = εг Со (Тг/100)4,
(12.33)
где εг – степень черноты газового слоя.
Степень черноты слоя газа εг, как и излучаемая им энергия, также
зависит от температуры, давления рi и толщины слоя l, которую в случае
произвольного направления излучения следует заменить на среднюю (или
эффективную) длину пути луча lср (м). Величину lср можно рассчитать
по формуле А.С. Невского:
lср = 4mэфV/S ,
(12.34)
где V – объем газа, м3; S – облучаемая поверхность, м2; mэф – коэффициент эффективности газа, зависящий от формы газового объема и степени
Рис. 12.8. Зависимость степени черноты εСО2 = f (p·lср, Т) для
углекислого газа
его черноты.
277
При lср ≤ 1 м величина mэф = 0,85 и при lср > 1 м – mэф = 0,9.
В случае углекислого газа и воды степень черноты εг находят по графикам, приведенным на рис. 12.8 – 12.10, которые построены по опытным
данным (номограммы В.Н. Тимофеева и Э.С. Карасиной).
Для пользования этими графиками необходимо знать температуру
газов Т °С и произведение парциального давления газа на среднюю длину
пути луча: р · lср (м·МПа).
Для водяного пара степень черноты εH2O зависит от рH2O и lср различным образом, поэтому найденную величину εH2O
278