Lecture 7

Лекция 7
Интерференция света.
Когерентность волн
Понятие "когерентность"
соответствует понятиям "согласование",
"корреляция", "связанность".
В общем случае под
когерентностью в оптике понимают
корреляцию (связь) каких-либо
характеристик поля световой волны
(например, фазы волны), рассмотренных
в разных точках пространства в разные
моменты времени.
Рассмотрим две плоские волны с
одинаковыми частотами и
поляризациями. Эти две
когерентные волны с
одинаковыми поляризациями  к
плоскости чертежа исходят из
источников S1 и S2, наблюдение
производится в точке М.
d1
S1
d2
M
n
S2
E x1  a1 cost  kd1   1 
Ex 2  a2 cost  kd2   2 




Ex  Ex1i  Ex 2i  Ex1  Ex 2 i
Результирующая волна
остается линейно
поляризованной.
Пусть эти волны образуют
суперпозицию и в точке М
измерена результирующая
интенсивность I, усредненная
по времени наблюдения t1.
Необходимость усреднения связана с
тем, что частота  поля световой
волны очень велика: при =500 нм
/2~61014 Гц. По этой причине
любой приемник света способен
зарегистрировать лишь величины,
усредненные по времени наблюдения
t>>T=1/ (=/2)
1 2
2
E  a  E x1  E x 2   E x21  E x22  2 E x1 E x 2 
2
1 2 1 2
 a1  a2  2a1a2 cost  kd1   1  cost  kd2   2  
2
2
2
x

1 2 1 2
1
 a1  a2  2a1a2 cos2t  kd1  kd2    1   2  
2
2
2

 cosk d 2  d1    1   2 
cos2t  kd1  kd2    1   2   0
т.к. двойная оптическая частота
a1 и a2 от времени не зависят, т.к. Ex1 и
Ex2 - монохроматические волны
a  a  a  2a1 a 2 cosk d 2  d1    1   2 
2
2
1
2
2
I  I1  I 2
I  I1  I 2  2 I1 I 2 {cosk d 2  d1    1   2 }
Наблюдается интерференция
света - усиление или гашение
I  I1  I 2
I  I1  I 2  2 I1 I 2 {cosk d 2  d1    1   2 }
 1 ,  2 - случайные начальные фазы волн определяются источниками света - их
когерентностью.
Для полностью когерентных
источников:
 1   2  const
тогда усреднение не нужно.
При
1   2  0
I  I1  I 2  2 I1 I 2 cos[k (d 2  d1 )]
Eсли
I1  I 2  I 0 , то
I  2I 0 1  cosk d 2  d1 
k
2n
0

2

I max  4I 0
т.е.
2

d 2  d1  m  2m

2
d 2  d1   2m
, m=0,1,2,...
I min  0
т.е.
2

d 2  d1   2m  1
1


d 2  d1   m    2m  1
2
2

I
4I
0
2I0
0
0


2

3

2
5

5
2
k(d
d
)
2
1
d2-d
1
Если волны линейно поляризованы во
взаимно перпендикулярных плоскостях, то
I  I1  I 2
при разности фаз
k d 2  d1 



т.к. E  E x i  E y j
и
2

2

2
2
E  Ex i  E y j   Ex  E y  2Ex E y i j  Ex2  E y2
т.к.
 
i  j
При этом волна в общем
случае поляризована
эллиптически, а
интерференционная картина в
виде чередующихся min и max
не наблюдается.
Время когерентности,
временная когерентность,
длина когерентности
Рассмотрим точечный источник
света (пусть это будет атом),
который излучает
немонохроматический свет. Будем
предполагать, что атом испускает
световое излучение определенной
частоты  0 , но лишь в течение
некоторого конечного промежутка
времени .
Такое излучение нельзя считать
монохроматическим, т.к.
монохроматичность означает
бесконечно длящийся
гармонический процесс. В
рассматриваемом случае это как бы
"оборванная волна", "кусок волны",
будем называть это волновым цугом.
Пусть из точки А испущен волновой
цуг, который в точке В расщепляется
на два цуга. Далее эти два цуга,
пройдя разные пути, встречаются в
точке С. Если
d 2  d1  c
то в точке С встретятся части одного
и того же цуга.
l
c
A
c=lc
M
1
C
B
эк
р
ан
lc
/
B
M
2
BC=d
1
B/ C=d
2
Имеет место взаимная корреляция
двух лучей - лучи когерентны
Если
d 2  d1  c
то в точке С встречаются части
разных волновых цугов.
Между разными цугами
корреляции нет, они не
когерентны.
В случае
d 2  d1  c
следует говорить о частичной
корреляции (частичной
когерентности).
Время , характеризующее
длительность цуга, называют
временем когерентности.
Расстояние
 c  c
называют длиной
когерентности.
Указанную когерентность
называют временной. Чем
больше , тем на большем
временном интервале
наблюдается корреляция
световых колебаний, тем выше
степень временной
когерентности (при   
полная когерентность).
У лазера предельная
когерентность:
1
5
c  c
 7.5 10
 ‘
км,
 ‘  0.4 Гц.
Это больше, чем расстояние от
Земли до Луны: 3.8105 км.
Рассмотрим два частично когерентных
цуга волн.
l=
c

l=
c

d
d
2
1
/
/
l=
c

  
 
 
Введем
- характеризует степень
перекрытия цугов или степень
(коэффициент) временной когерентности
l=
c

l=
c

d
d
2
1
/
/
l=
c

  
  0
    
   0
  1 - полная когерентность
  0 - полная некогерентность
l=
c

l=
c

d
d
2
1
/
/
l=
c

когер.
некогер. часть
I1  I1  1   I1 

I 2  I 2  1   I 2 

когер.
некогер. часть
I  I1  I 2   I1  I 2   1   I1  I 2  


  I1  I 2  2 I1I 2 cosk d 2  d1   1   I1  I 2  
 I1  I 2  2 I1 I 2 cosk d 2  d1 
I 1  I 2  2 I 1 I 2 cosk d 2  d1 
I1  I 2  I 0 
I  2I 0 1   cosk d 2  d1 
Видность или контраст
интерференционной картины
I1 I 2
I max  I min 4 I1 I 2
V

 2
I max  I min 2I1  I 2 
I1  I 2
При I1  I 2  V  
2I0(1+)
I
2I0
2I0(1- )
0
0


2

3
2
5
5
2
k(d2 - d
1 )
d2 -d1
Осуществление когерентных
волн в оптике
Для получения двух когерентных волн
излучение различных независимых
атомов непригодно.
Однако даже от теплового
(некогерентного) источника света
можно получить когерентные потоки,
если путем отражения или
преломления разделить излучение на
новые пучки и заставить их
встретиться после прохождения ими
различных путей d1 и d2. Очевидно,
что d1 - d2 не должно превышать
среднюю длину цуга излучения атома.
  10  10
8
10
сек
Бизеркала Френеля
S1
S2

S
экран
Лазеры - мощные источники
когерентного излучения, lc = 1
см - 106 км. Непрерывные
лазеры излучают бесконечно
длящуюся синусоиду.
Временная когерентность и
степень монохроматичности
излучения
Волновой цуг, испускаемый
атомом - это "оборванная
синусоида", т.е. длится
ограниченное время, т.е.
представляет собой
непериодический процесс.
Поэтому волновой цуг с
частотой 0 и длительностью 
можно представить в виде
суперпозиции
монохроматических волн с
различными частотами 
(спектральное разложение
Фурье; периодическая функция,
как известно, может быть
разложена в ряд Фурье):

E (t ) 
i 2t
S
(

)
e
d


S ( ) d
2
- есть вероятность
обнаружить в суперпозиции
монохроматические волны с
частотами в интервале от  до
+d.
Функцию S() называют частотным
спектром сигнала E(t). Используя
известные свойства преобразования
Фурье, имеем
S ( ) 

 E (t )e

i 2t
dt
Т.о. всякий непериодический процесс
приводит к образованию сплошного
спектра, ширина которого определяется
длительностью . Если моделировать
цуг волн выражением:
от - /2 до /2
 A0 exp  i 2 0t 
E (t )  
от -  до - /2 и от /2 до 
0

E
(t)

_
/2
0
A
0
0

/2
Принимая во внимание, что E(t)0 только
в пределах от -/2 до /2 , получаем
S ( ) 
 /2
 E(t )e
 /2
i 2t
 /2
dt A0
 e
i 2   0 t
 /2
A0
i 2 (  0 ) t
e
i 2 (   0 )
 /2
 / 2

dt 
A0
sin  (   0 )
1 i 2 (  0 ) / 2
i 2 (  0 ) / 2

 e
e
 A0 
 (   0 ) 2i
 (   0 )

 sin  (  0 )
S ( )   A0  
  (  0 )
2
2

2

2  sin  
  A 
  I ( )
  

2
Функция I имеет:
(i) главный максимум I=A2 при =0
(ii) минимум I=0 при =k (k=1,2,3,...)
(iii) побочный максимум
A2
I
2 2
k  1 / 2 
при (k+1/2) (k=1,2,3,...)
( )
E
2
2
A


1
~_
ты
Высо
(_
=
0)
_
 _ 0   2
 _2
3
=
0


3
_

0
Итак, с точностью порядка 5% вся
энергия волны сосредоточена в пределах
главного максимума.
S ( )
2
имеет мах при =0 , где 0 - частота
квазимонохроматических колебаний
S ( )
2
обращается в ноль при = 
(0)=, интервал частот между =0
и = обозначим через , т.к. =,
то
 
1

Итак, чем больше длительность ,
тем уже спектр.
• 1) при =  =0   c  c  
• 2) при   0    c  
c





0

0
Уширение спектра может быть
вызвано не только обрывом
синусоиды, но также скачками
(флуктуациями) частоты, фазы
и амплитуды. Эти причины
важны для когерентных
источников света - лазеров.
Свет становится не идеально
монохроматическим.
“Обрыв”
Флуктуации
частоты
Флуктуации
ф
азы
Флуктуации
ам
плитуды
Самый короткий обрыв можно сделать с
помощью лазеров - 1,5 колебания.
=3 фс=310-15 сек
Влияние конечности времени
излучения на ширину
спектральной линии.
Естественная ширина линии.
 
1
называют
естественной

шириной линии излучения. Это
соотношение является основным
для теории
квазимонохроматических (т.е.
частично когерентных) волн.
В общем случае
1 или 2, т.к.
  ck
c

c


k 
c

 
k 

c 
 c  c 
c
  ck    c k  2
c
Обозначим  c через х:
x  k  2
Ограниченная пространственная
протяженность x некоторого цуга
волн связана с наличием у него
принципиальной
немонохроматичности - интервала 
возможных частот или интервала k
волновых чисел монохроматических
волн, составляющих этот цуг.
Газы низкого давления излучают:
=10-8 - 10-9 с  =300 - 30 см
Нагретые металлы: =10-11 - 10-12 с 
=0,3 - 0,03 см
"Белый лазер": =310-15 с  1 мкм
Общая интерференционная
схема
d1
S1
0
S2
M
h
l
N
l
D
экран
S1 и S2 - источники излучения, могут быть
как действительными (опыт Юнга, лазер),
так и мнимыми (бизеркала Френеля).
d1
S1
0
S2
M
h
l
N
l
D
экран
Если S1 и S2 синфазны (11=0), то
центральный max лежит на средней линии в
т. N (d2d1=0).
d  D  h  l  


2
2
d  D  h  l  
2
2
2
1
2
2
d  d  4lh
2
2
2
1
4lh
2lh
d 2  d1 

d1  d 2
D
d 2  d1  2D , т.к. D  h.
2 2lh 

2  2lh
I  2 I 0 1  cos k d 2  d1   2 I 0 1  cos

 4 I 0 cos


 D
 D

min:
2 2lh1

 2m  1
 D
соседний min:
2 2lh2

 2m  3
 D
2 2l
D
 h2  h1   2  B 


2l
 D
B
Определение длины волны 
Для белого источника света
интерференционная картина чередование цветных полос. Измерение
расстояния В между соседними max
для данного цвета позволяет оценить 
для данного цвета.
п
о
л
о
са
4
I0
h
0
h
1
B
h
2