Курс лекций по физике А. Б. Климовский Электромагнетизм. Волны. Оптика. Квантовая физика y E k x z H Ульяновск 2005 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный технический университет А. Б. Климовский Курс лекций по физике Часть 2 Электромагнетизм. Волны. Оптика. Квантовая физика Для студентов заочно-вечерней формы обучения Издание второе, исправленное Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлениям 551100 и 654300 «Проектирование и технология электронных средств» и специальностям 200800 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» и 220500 «Проектирование и технология электронно-вычислительных средств» Ульяновск 2005 УДК 53 (075) ББК 22.3я7 К49 Рецензенты: доцент кафедры общей физики УлГПУ В. П. Бондина доцент кафедры экспериментальной физики УлГУ А. П. Балашов Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Климовский А.Б. К49 Курс лекций по физике. Часть 2. Электромагнетизм. Волны. Оптика. Квантовая физика.– 2-е изд., испр.– Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 144 с. ISBN 5-89146-670-0 Составлен в трех частях в соответствии с программой по физике для студентов заочновечернего факультета УлГТУ. Во второй части рассмотрены электромагнетизм, физика волновых процессов, волновая и квантовая природа излучения и элементы квантовой физики. Подготовлен на кафедре физики Ульяновского государственного технического университета. Предназначен для студентов технических вузов. УДК 53 (075) ББК 22.3я7 © © ISBN 5-89146-670-0 © Климовский А. Б., 2001 Климовский А. Б., 2005, с изменениями Оформление. УлГТУ, 2005 КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Указания для студентов 1. Курс физики состоит из трех частей. Каждая часть курса разбита на разделы, которые содержат несколько тем. Каждый раздел рассчитан на целое число лекций, каждая тема – на целое число часов (полулекций). 2. В начале каждой темы приведен перечень вопросов, которые рассмотрены в данной теме. Эти вопросы могут быть включены в качестве теоретических вопросов в билеты на экзамен или зачет, которым заканчивается изучение каждой части курса. 3. Основные определяемые понятия выделены в тексте п р я м ы м п о л у ж и р н ы м ш р и ф т о м в р а з р я д к у . Текст определений выделен курсивом. 4. Основные формулы определений и полученные выражения, записанные в их окончательном виде, выделены рамкой (например, R T ). * 4 5. Условия, определяющие справедливость приведенных выражений, выделены полужирным курсивом. 6. Важные термины там, где они рассматриваются впервые, выделены прямым полужирным шрифтом. Прочие термины и условия, на которые следует обратить внимание, выделены курсивом. 7. В приложении приведены номера и названия КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ для студентов заочно-вечерней и ускоренной формы обучения, которые должны быть выполнены в данной части курса, и СПИСОК ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ, из которого необходимо выполнить назначенные преподавателем работы. 8. В приложении приведен СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ, к которой можно обратиться для более глубокого изучения материала, а также при подготовке к контрольным работам и выполнению лабораторных работ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Введение В настоящее время, строго говоря, ф и з и к о й считают науку, изучающую простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материального мира. Изучаемые физикой явления (механические, тепловые и др.) присутствуют во всех более сложных явлениях (химических, биологических и др.). Поэтому они, будучи наиболее простыми, являются наиболее общими. Изучение физики выполняет двойную функцию, во-первых, – это формирование правильного физического мировоззрения, и, во-вторых, – создание фундаментальной базы теоретической подготовки, без которых невозможна успешная деятельность специалиста. Первая функция – содержательно- мировоззренческая, может быть реализована при знакомстве с физическими моделями объектов и процессов реального мира, с физическими теориями, в которых, пользуясь модельными представлениями, описываются явления окружающего мира, и с законами физики, отражающими общее в характеристиках происходящих явлений. Вторая функция – познавательнометодологическая, способствующая развитию мышления, реализуется в знакомстве и освоении логики и технологии познавательного процесса на примерах лучших образцов научной мысли, созданных в процессе кропотливой многовековой работы огромного числа физиков-исследователей и обобщенных гениальными умами человечества. Как и в первой части курса, мы во второй части будем начинать с простых моделей, с каждой темой включая в рассмотрение новые свойства явлений, что будет приводить сначала к постепенному, а затем к принципиальному усложнению используемых моделей и изучаемых теорий. Где это возможно, мы будем следовать историческому изменению физической картины мира, проходя путь, по которому шла физика в своем развитии. Лекционный курс построен в соответствии с программой курса физики, читаемого в трех семестрах, что отражено в структуре курса лекций, который состоит из трех частей. В первую часть включены два больших раздела – физические основы механики и электричество. Во второй части рассмотрены три раздела – электромагнетизм, физика волновых процессов и квантовая физика. В третьей части – оставшиеся разделы курса – статистическая физика и термодинамика, элементы физики твердого тела и физика атомного ядра и элементарных частиц. Каждый раздел состоит из нескольких тем, каждая тема снабжена перечнем вопросов, которые в ней рассмотрены и могут быть включены в билеты экзамена или зачета. Выполнение лабораторных работ позволит дополнить теоретический материал знакомством на практике с основными физическими явлениями и понятиями соответствующих разделов, а также познакомиться с техникой физического эксперимента. Решение задач в контрольных работах даст возможность применить полученные знания в простейших модельных ситуациях, шире и глубже усвоить изучаемый материал. 4 Магнитное поле в вакууме Электромагнетизм В предыдущей части курса физики мы начали рассмотрение электрических явлений. Мы рассмотрели электростатическое взаимодействие неподвижных зарядов и научились описывать движущиеся заряды – ввели основные понятия для описания электрического тока и познакомились с основными законами. При этом о взаимодействии между движущимися зарядами мы пока не говорили, поскольку это взаимодействие не сводится к электростатическому. Для его описания необходимы другие законы – законы магнетизма, которыми мы и займемся в данном разделе. Сегодня нам известно, что между электричеством и магнетизмом существует тесная связь, более того, знаем, что это проявления одного электромагнитного взаимодействия, однако впервые эту связь обнаружили лишь в XIX веке, во второй половине которого установили единство электрического и магнитного взаимодействий. История же магнетизма уходит в глубокую древность к античным цивилизациям Малой Азии, на территории которой, в Магнезии, впервые нашли горную породу, образцы которой притягивались друг к другу. Такие образцы, по названию местности, стали называть магнитами. Изучение магнитных явлений мы начнем с самого простого – с магнитного поля в вакууме (в отсутствии магнитных сред). При этом сначала рассмотрим стационарные (не изменяющиеся во времени) поля. Затем перейдем к изучению влияния магнитных сред на магнитные поля – магнитному полю в веществе. Далее рассмотрим систему основных уравнений электромагнетизма – уравнения Максвелла. И закончим тему электромагнитными колебаниями. Тема: Магнитное поле в вакууме Вопросы: 1. Магнитное поле и его характеристики. Источники магнитного поля. 2. Принцип суперпозиций магнитных полей. Вектор индукции магнитного поля. Способы определения индукции магнитного поля в вакууме. Закон Ампера. 3. Вращение контура с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент контура с током. 4. Закон Био–Савара и его применение для расчета магнитных полей. 5. Магнитное поле кругового контура с током. 6. Магнитное поле прямолинейного проводника. 7. Магнитное поле соленоида. 8. Взаимодействие прямолинейных проводников с током. 9. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца. 10. Явление Холла. 11. Циркуляция вектора магнитной индукции. Закон полного тока. 12. Магнитный поток. Теорема Гаусса. 13. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея для ЭДС магнитной индукции. Правило Ленца. 14. ЭДС индукции при вращении контура с током в магнитном поле. Электрический генератор. 15. Явление самоиндукции и взаимоиндукции. Понятие об индуктивности. 16. Энергия магнитного поля. 17. Изменение силы тока в цепи при подключении и отключении источника. 5 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ В 1820 г. датский физик Ханс Эрстед (H. Ørsted, 1777–1851) показывал студентам тепловое действие тока. При включении тока отклонилась стрелка случайно оказавшегося рядом компаса. Описание этого опыта вызвало лавину новых открытий. Так родилась новая область физики – электродинамика. Частью электродинамики (электромагнетизма) является м а г н и т о с т а т и к а , изучающая не изменяющиеся во времени (стационарные, или постоянные) магнитные поля, с которых мы начнем наше рассмотрение. М а г н и т н о е п о л е – силовое поле (подобное гравитационному или электрическому), окружающее токи и постоянные магниты. Магнитное поле не действует на неподвижные заряды, оно может создаваться только движущимися зарядами и действует только на движущиеся заряды. Магнитные силы, действующие со стороны магнитного поля на движущиеся заряды, могут: – искривлять их траекторию (если заряд движется в свободном пространстве); – отклонять проводник (если заряды движутся в проводнике); – поворачивать контур (если проводник образует замкнутый контур). Все объекты, на которые действует магнитное поле: движущиеся заряды, проводники с током, контуры с током, постоянные магниты, а также изменяющееся электрическое поле, являются источниками магнитного поля. Последний источник мы упоминаем пока лишь для полноты картины, говорить о нем будем в самом конце темы, когда будет идти речь об электромагнитной индукции. Пока рассмотрим только первые четыре источника. Для описания магнитного поля нужно ввести его характеристики. Естественно это сделать так же, как, например, в электричестве, по силовому действию поля. Сделать это можно несколькими способами. В качестве объекта, на который действует сила со стороны магнитного поля, можно выбрать любой из объектов или движущийся заряд, или проводник с током, или контур с током, или магнит. Принципиальной разницы нет. Обычно используют какой-нибудь из первых двух способов. Мы рассмотрим оба и покажем их равнозначность. Воспользуемся сначала первым способом – рассмотрим движущийся заряд. На заряд, движущийся в магнитном поле, будет действовать сила, которую будем на зывать магнитной силой FM . Экспериментально установлено: вектор силы перпендикулярен вектору скорости ( FM V ); если изменить направление скорости заряда, то сила изменит свое направление, но при этом останется перпендикулярной некоторому направлению, совпадающему с направлением магнитной стрелки, помещенной в точку, где находится заряд; если изменить величину заряда, то сила по величине пропорциональна величине заряда q ( FM ~ q ); 6 Магнитное поле в вакууме если изменить модуль скорости, то величина силы пропорциональна скорости его движения V ( FM ~ V ). При изменении условий опыта, измеряя величину силы, действующей на заряд q , можно убедиться, что отношение FM не зависит от величин q , V и угла межVq sin α ду направлениями скорости и магнитной стрелки и принимает определенные значения в каждой точке пространства. Исходя из этого, для описания магнитного полявведем некоторый вектор, называемый в е к т о р о м м а г н и т н о й и н д у к ц и и B , который является силовой ха рактеристикой магнитного поля. Направлением вектора B выбирается направление магнитной стрелки (которому перпендикулярна сила FM , действующая на движущийся заряд) в ту сторону, куда направлен ее северный конец. Величину магнитной индукции в данной точке пространства определим так: B FM . qV sin α Учтем, что FM B и, кроме того, FM V , то, следовательно, FM V , B где V , B – векторное произведение векторов V V , B VB sin . и , B , и его модуль Суммируя все перечисленное, можно записать FМ kq V , B , где k – коэффициент пропорциональности. Поскольку индукция магнитного поля является новой физической величиной, и для нее нет единицы измерения, то выберем единицу измерения индукции магнитного поля так, чтобы коэффициент пропорциональности был равным единице k 1 . Тогда, используя введенную характеристику магнитного поля – индукцию маг нитного поля B , для силы, действующей на заряд q , движущийся со скоростью V в магнитном поле, получим выражение FM q V , B . Эту силу, называют м а г н и т н о й с и л о й Л о р е н ц а (H. Lorentz, 1853–1928), или иногда ее называют магнитной составляющей силы Лоренца. В последнем слу- B + чае с и л о й Л о р е н ц а называют силу F qE q V , B , действующую на движущийся заряд в электрическом и магнитном полях. По определению векторного произвеFM дения – модуль магнитной силы V FM qVB sin α , где α – угол между векV торами V и B . Направлена магнитная сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы V и B . Заметим, что если FM B 7 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением векторного произ- ведения V , B . В случае отрицательного заряда q , направления векторов FM и V, B противоположны. Как мы видим, предложенное определение вектора индукции магнитного поля полностью согласуется с экспериментом. Перейдем ко второму способу определения индукции магнитного поля B – рассмотрим прямолинейный проводник длиной l , по которому течет ток силой I . Экспериментально установлено, что на проводник в магнитном поле действует магнитная сила FA , которая пропорциональна силе тока ( FA ~ I ), пропорциональна длине проводника ( FA ~ l ), перпендикулярна проводнику ( F A l ), при изменении ориентации проводника с током перпендикулярна некоторому направлению, совпадающему с ориентацией магнитной стрелки. Таким образом, сила, действующая на проводник с током, называемая с и л о й А м п е р а (A. Ampere, 1775–1836), пропорциональна силе тока и длине проводника, а по направлению перпендикулярна l и B . Направление индукции определим так же, как в первом случае, а величину индукции определим из выражения FA I l , B , где l , B – векторное произведение и l , B lB sin α . Не будем обсуждать детали второго определения, сразу покажем эквивалентность двух определений. Сила, действующая на проводник F A , должна быть равна сумме сил FM , действующих на все заряды, протекающие по проводнику. Рассмотрим участок проводника длиной dl , площадью поперечного сечения проводника S , с концентрацией n зарядов q , которые движутся со скоростью dl V q V . Тогда суммарная сила, действующая на все заряды участка проводника dl , будет равна S n F qdn V ,B , M где dn n S dl – количество зарядов на участке проводника dl , а qdn – суммар ный движущийся заряд на этом участке проводника. Тогда FM nSdlq V , B , учитывая, что j qnV – плотность тока, получим FM Sdl j , B . Если ввести вектор dl , такой, что dl j dl j , то можем записать I F Sj d l , B . По определению плотность тока j . Тогда суммарная маг M S нитная сила, действующая на участок проводника, будет равна 8 Магнитное поле в вакууме F I d l ,B . M Это и есть сила Ампера, действующая на участок проводника dl с током силой I , помещенный в магнитное поле с индукцией B под углом между отрезком про- водника dl и магнитной индукцией B , dFA I dl , B . Величина силы dFA dFA IBdl sin α . Величину магнитной индукции этим способом можно определить, например, как B FA max , Idl где FA max – максимальная сила, действующая со стороны магнитного поля на участок dl проводника с током. Оба определения совершенно эквивалентны. Обе силы – сила Лоренца (магнитная составляющая силы Лоренца) и сила Ампера – в принципе являются одной и той же силой, только первая – это сила, действующая на один движущийся заряд, а вторая – на все заряды в участке проводника. Мы получили пока выражение для силы Ампера, действующей на участок проводника бесконечно малой длины dl . Рассмотрим прямолинейный проводник с током конечной длины, по которому протекает ток постоянной силы I , помещенный в однородное магнитное поле B (одинаковое во всех точках пространства). На проводник действует сила, равная сумме сил, действующих на каждый бесконечно малый участок проводника, dl , B или FA dFA I dl , B I FA I l , B . Подчеркнем, что полученное выражение справедливо только для прямолинейного проводника при B const , I const . Суммарная сила Ампера, действующая на замкнутый контур с постоянным током ( I const ), помещенный в однородное магнитное поле, будет равна нулю FA I dl , B 0. Это значит, что сила Ампера не может передвинуть замкнутый контур. При этом силы, действующие на отдельные участки контура, не будут равны нулю. Они будут сжимать или растягивать замкнутый контур. Кроме того, силы, приложенные к различным участкам контура, могут его поворачивать. Если суммарный момент сил будет равен нулю, тогда контур будет только сжиматься либо растягиваться, если не равен – то в этом случае будет поворачиваться. 9 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Поместим в однородное магнитное поле B рамку с током. Для простоты рассмотрим квадратную рамку (которая расположена перпендикулярно плоскости рисунка) со сторонами длиной l . В верхней стороне рамки ток (на рисунке) направлен «на нас», что принято изображать точкой в кружочке F2 (символическое изображение наконечника стрелы, направленного на нас). В нижней – «от d1 нас», что изображается крестиком в кружочке (символическое изображение оперения стрелы, направленной от нас). Силы, действующие на B стороны квадрата, параллельные плоскости рисунка, будут растягивать контур, но не будут его поворачивать. d2 Поворот рамки будут обеспечивать силы F 1 F1 pm и F2 , действующие на стороны контура, перпен- дикулярные плоскости рисунка. Вращающий момент этих сил M F1d1 F2 d 2 , где l d1 и d 2 – плечи сил ( d1 d 2 cos φ ). 2 Силы, действующие на стороны контура, являются силами Ампера. По величине l 2 они равны F1 F2 IlB , следовательно, M 2 IlB cos φ . Так как l S – пло2 щадь плоской поверхности, ограниченной контуром, то M ISB cosφ , причем cosφ sin α , где φ – угол между плоскостью контура и вектором B , а α – угол между нормалью к плоскости контура и B . Направление нормали выбирается п о п р а в и л у п р а в о г о б у р а в ч и к а : за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения буравчика, который вращается в направлении тока, текущего в рамке. Для контура с током вводят м а г н и т н ы й м о м е н т pm ISn – это вектор, который по направлению совпадает с нормалью к контуру n и по величине равен p m IS . Тогда величина вращающего момента M pm B sin α . Вектор вращающе- го момента M pm B . Полученные для квадратной рамки выражения для магнитного момента p m и вращающего момента M справедливы для любого плоского контура. Заметим, что, как мы уже говорили, по вращающему действию магнитного поля также можно определить индукцию магнитного поля. Например, так B 10 M max . pm Магнитное поле в вакууме Заметим, что если проводник представляет собой катушку, содержащую несколько витков, то магнитный момент катушки будет равен сумме магнитных моментов всех витков. Величина магнитного момента p m для катушки с N витками равна p m NIS , где S – площадь витка. F2 Рамка с током будет поворачиваться в магнитном поле до тех пор, пока вращающий момент не станет равным нулю. В этом случае магнитный момент pm будет направлен по магнитному полю, так как тогда sin α 0 и M 0 . Следовательно, магнитное поле поворачивает магнитные моменты так, чтобы они были направлены по полю. pm B Если магнитное поле неоднородно, то суммарная сила Ампера не будет равна нулю и контур с током будет втягиваться в область более сильного поля. F1 Для индукции магнитного поля можно ввести еще одно определение на основании закона Био–Савара (J. Biot, 1774–1862, F. Savart, 1791–1841), экспериментально установленного французскими физиками в 1820 году. Индукция магнитного поля при этом вводится исходя не из силового действия магнитного поля, а через характеристики источника поля, в качестве которого выбирается бесконечно малый участок проводни- ка с током – Idl , принятый в качестве элементарного источника. Это определение эквивалентно предыдущим. По з а к о н у Б и о – С а в а р а индукция dB магнитного поля элемента тока dl определяется: I dB 0 4 dl, r . dl r3 I Направление вектора индукции совпадает с направлением движения правого буравчика при его вращении от r вектора dl к r в сторону меньшего угла между векто- A рами. Величина индукции будет равна dB μ 0 Idl sin α 4πr 2 dB . Здесь r – вектор, проведенный от dl к точке, в которой определяется магнитная ин- дукция; α – угол между векторами dl и r ; 0 4 10 называется магнитной постоянной. 7 Гн/м – константа, которая Закон Био–Савара является аналогом выражения для напряженности электрического поля точечного заряда в электростатике E 1 q . Он определяет индукцию 4 0 r 2 магнитного поля, создаваемого бесконечно малым участком (аналогом точечного заряда в электростатике) любого проводника с током. 11 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Закон Био–Савара позволяет найти индукцию магнитного поля, создаваемого любым током, поскольку для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции. П р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и (наложения) м а г н и т н ы х п о л е й : магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими источниками, (например движущимися зарядами или участками проводника) равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым источником в отдельности B B1 B2 ... Bn или n B Bi . i 1 Для бесконечно большого числа бесконечно малых элементарных источников принцип суперпозиции записывается в виде интеграла B dB . Для того чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемую произвольным током в некоторой точке, нужно найти с помощью закона Био–Савара магнитное поле каждого участка и воспользоваться принципом суперпозиции. Нахождение индукции магнитного поля произвольного проводника достаточно сложно. Однако, если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био–Савара позволяет довольно просто рассчитать индукцию. Воспользуемся этим способом для нахождения магнитного поля, создаваемого простыми симметричными источниками. 1. Круговой виток радиусом R , по которому протекает ток силой I . Найдем индукцию магнитного поля в центре витка. При выбранном на рисунке направлении тока индукция любого элемента dl будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка «на нас». Все элементы dl проводника будут создавать магнитные поля dB , направ ленные в одну сторону, тогда суммарный вектор B будет направлен в ту же сторону, при этом его длина равна сумме длин векторов dB . I R dB r По принципу суперпозиции B dB . С учетом со- dl направленности всех B B dB dB . По закону Био–Савара dB векторов dB , μ 0 Idl , так как угол α 4π r 2 dl равен 90 и sin α 1. Тогда μ 0 Idl μ0 I dB 4π r 2 . Так как r R const , то B 4π R 2 dl , где dl 2πR – длина между r и проводника. Следовательно, магнитная индукция в центре кругового проводника радиуса R с током силой I радиуса R равна B μ0I . 2R 2. Прямолинейный проводник длиной l , по которому протекает ток силой I . Найдем индукцию магнитного поля, создаваемую прямолинейным проводником на расстоянии a от него. 12 Магнитное поле в вакууме По закону Био–Савара каждый элемент длины проводника dl создает поле с маг- μ 0 Idl sin α . Поле всех элементов будет направлено в одну 4π r 2 сторону (на рисунке – «на нас»). Вектор индукции суммарного поля B будет направ лен в ту же сторону и его длина равна сумме длин B dB . нитной индукцией dB a P 2 E d d r a r dB d D rd dl A l 1 dl C μ 0 Idl sin α 4π r 2 . Переменными под знаком интеграла являются три величины, связанные друг с другом: r , α и l . Выразим их через одну, проще всего через PE a . Тогда r PC . Из прямоугольного треугольника ADC находим sin α sin α AD rdα adα . Подставляя r , можем записать dl . Тогда dl DC sin α sin α sin 2 α Тогда B B α2 α1 α μ 0 Ia sin α sin 2 α μ0 2 μ0I d α sin α d α cos α 4π sin 2 α a 2 4πa 4πa α1 α2 α1 μ0I (cos α1 cos α 2 ) . 4πa Таким образом, для конечного участка прямолинейного проводника индукция магнитного поля на расстоянии a от проводника в точке, расположенной на пересечении прямых, идущих под углами 1 и 2 из концов проводника, равна B μ0I (cos α1 cos α 2 ) . 4πa Если же проводник бесконечный, то α1 0 и cos α1 1, а α 2 π и cos α 2 1, тогда индукция магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника равна 13 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ μ0I , 2πa B где a – расстояние от проводника. 3. Соленоид – свернутый в спираль изолированный проводник, по которому течет электрический ток. Соленоид характеризуют числом витков n N , приходящихL ся на единицу длины соленоида, где N – полное число витков, L – длина соленоида. R O1 r1 1 r 2 B A r2 l dl L O2 Магнитная индукция B в любой точке A , лежащей на оси соленоида O1O2 , направлена вдоль оси по правилу правого буравчика и численно равна алгебраической сумме индукций магнитных полей, создаваемых в точке A всеми витками, поскольку магнитные поля витков сонаправлены. Проведем из точки A к какому-либо витку вектор r , образующий с осью O1O2 угол . Индукция B1 магнитного поля витка с током в точке A численно равна (получить из закона Био–Савара самостоятельно) μ 0 IR 2 μ 0 B1 2 r3 2 R IR 2 2 l 2 3 . На малый участок длины соленоида dl приходится ndl витков, создающих в точке A магнитное поле, величина индукции которого μ dB 0 2 R IR 2 2 l 2 3 ndl . R 2 l 2 r через одну переменную – Rdα угол α . Как видно из рисунка, расстояние l Rctgα , откуда dl . Длина sin 2 α R 2 2 вектора r равна r R l . Тогда получим sin α Выразим переменные величины l и μ 0 IR 2 sin 3 α Rdα 1 dB n μ In sin αdα . 2 2 0 R3 sin 2 α Следовательно, 14 Магнитное поле в вакууме α 2 1 B μ 0 nI sinαdα . 2 α1 После интегрирования найдем магнитную индукцию B в произвольной точке оси соленоида 1 B μ 0 nI (cos α 2 cos α1 ) , 2 где 2 1 . Максимальное значение индукции, достигаемое в центре соленоида при cos α 2 cos α1 L/2 L / 22 R 2 , будет равно Bmax μ 0 nIL 4 R 2 L2 . Снаружи соленоида поле будет сильно убывать с удалением от соленоида. Его мы находить не будем. Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков ( L R ), то соленоид можно считать бесконечно длинным α1 π и α 2 0 . Поле в н у т р и бесконечно длинного соленоида будет однородным, и его индукция по величине будет равна значению на его оси B μ 0 nI . С н а р у ж и поле бесконечно длинного соленоида равно нулю. Если точка A находится на одном из концов длинного соленоида, либо α1 π / 2 и α 2 0 , либо α1 π и α 2 π / 2 , то индукция магнитного поля в т о ч к а х о с и длинного соленоида, с о в п а д а ю щ и х с е г о к о н ц а м и , равна: B μ 0 nI . 2 Мы нашли магнитное поле наиболее часто используемых источников. Перейдем к рассмотрению действия источников друг на друга. Наиболее простым является взаимодействие прямолинейных проводников. Поскольку проводники с током создают вокруг себя магнитное поле, а магнитное поле действует на другие проводники с током, то естественно, что проводники взаимодействуют друг с другом. Рассмотрим взаимодействие двух параллельных бесконечно длинных прямолинейных проводников с током, расположенных на расстоянии b друг от друга. Найдем силу взаимодействия, с которой один проводник действует на другой. Пусть dF2 – сила, с которой первый проводник действует на элемент dl 2 второ- μ I го проводника. По закону Ампера dF2 I 2 dl2 , B1 . Здесь B1 0 1 – индукция 2π b магнитного поля, создаваемого первым проводником в точках, где находится второй 15 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ проводник (на рисунке направлена «на нас»). По моду- I1 90 . Тогда dF2 I 2 dl2 dl1 B1 F1 F2 лю dF2 I 2 dl 2 B1 , так как угол между dl 2 и B1 равен I2 μ 0 I1 μ 0 I1I 2 dl . 2π b 2π b 2 Или dF2 μ 0 I1I 2 – сила, действующая на единицу длиdl2 2πb dl 2 B2 ны проводника. В данном случае это сила, действующая со стороны первого проводника на второй. По третьему закону Ньютона на первый проводник будет действовать dF μ II 1 0 1 2, сила dF2 dF1 , равная по величине dl1 2πb но противоположная по направлению. С учетом направления сил получаем, что однонаправленные токи притягиваются, разнонаправленные – отталкиваются. Заодно отметим, что в результате притяжения в магнитном поле, создаваемом движущимися зарядами (токами), плотность тока в центре любого реального (не бесконечно тонкого) проводника будет несколько больше, чем у поверхности проводника. Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на характер движения в свободном пространстве отдельной заряженной частицы. В магнитном поле на нее будет дейст- вовать сила Лоренца FM q V , B , равная по величине FM qVB sin α . Пусть заряженная частица движется вдоль линий индукции магнитного поля. Тогда угол между векторами скорости V частицы и индукции B будет α 0 или α π , в любом случае sin α 0 , и сила Лоренца будет равна нулю. Магнитное поле не будет действовать на частицу. Если другие силы не действуют, то она будет двигаться равномерно и прямолинейно. Пусть теперь частица, имеющая заряд q , движется перпендикулярно линиям магнитной индукции одноB родного поля. Тогда сила Лоренца будет равна по вели FM чине FM q VB и направлена перпендикулярно векто- V рам V и B . Движение частицы будет происходить в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции, причем сила Лоренца будет обеспечивать центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона ma F получим mV 2 FM , r где m – масса частицы, r – радиус кривизны ее траектории. Подставляя силу Лоренца, найдем р а д и у с к р и в и з н ы траектории r m V . q B В однородном стационарном поле ( B const ) величина скорости частицы не будет изменяться, так как сила Лоренца не совершает работу ( FM V ) и поэтому не 16 Магнитное поле в вакууме изменяет кинетическую энергию, а следовательно, величину скорости. Сила Лоренца изменяет только направление скорости. Поскольку B const и V const , радиус кривизны траектории частицы будет постоянным. Частица будет равномерно вращаться по окружности с радиусом r . П е р и о д о б р а щ е н и я частицы, время ее одного полного оборота, равен T 2πr 2π m . V B q Период обращения обратно пропорционален произведению индукции магнитного поля на удельный заряд частицы и не зависит от ее скорости. Теперь пусть заряженная частица движется в однородном магнитном поле под углом α к вектору индукции B . Разложим вектор скорости V на две составляю щие V V|| V , где V|| V cos α – со ставляющая скорости, параллельная индук ции B , V V sin α – составляющая, перпен- V V| | V дикулярная B . Частица будет одновременно участвовать в двух движениях: она будет равномерно вращаться со скоростью V по окружности, радиус которой r r B h m V m V sin α , q B q B и двигаться поступательно с постоянной скоростью V| | вдоль вектора B (в направлении, перпендикулярном плоскости вращения). Поэтому траектория заряженной частицы будет представлять собой винтовую линию, ось которой параллельна линиям индукции магнитного поля. Ш а г в и н т о в о й т р а е к т о р и и (расстояние между соседними витками) равен 2π m V cos α . B q Если помимо магнитного поля с индукцией в области движения заряда есть и B электрическое поле с напряженностью E , тогда результирующая сила F , приложенh V|| T ная к заряду, будет равна векторной сумме электрической и магнитной сил F qE q VB , и характер движения будет зависеть от взаимной ориен тации векторов V , E и B . В частности, движение может быть прямолинейным и равномерным, если V E , B а направления векторов V , E и B образуют правую E B V тройку векторов (на рисунке). 17 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Если заряды движутся в жестко закрепленном проводнике, то возникает я в л е н и е Х о л л а (E. Hall, 1855–1938) – появление поперечного электрического поля в проводнике с током, помещенном в магнитном поле. Напряженность возникающего элек трического поля перпендикулярна индукции поля B и плотности тока j . Рассмотрим это явление. При движении зарядов в проводнике, расположенном в магнитном поле, действие силы Лоренца FM приведет к перераспределению зарядов. В результате этого в проводнике возникает электрическое поле, компенсирующее действие магнитного поля, со стороны которого на заряд будет действовать сила FЭ . Тогда в стационарных условиях FM FЭ 0 или qE qVB . Мы знаем, что j qnV и I jS , где n – концентрация зарядов в проводнике, I B , где S ad . Электрическое поле будет однородV – их скорость. Тогда E qnS но при B const , и разность потенциа- FЭ B d a E I V лов между передней и задней сторонами проводника будет равна Δφ E a . Следовательно, Δφ FM I 1 IB aB . qnad qn d Поперечную (холловскую) разность потенциалов принято записывать Δφ R IB , d где B – магнитная индукция, I – сила тока, d – толщина пластины вдоль направления магнитного поля, R 1 qn – постоянная Холла. Далее перейдем к рассмотрению свойств собственно магнитного поля. Введем несколько важных определений и получим законы, связывающие характеристики магнитного поля. Ц и р к у л я ц и я в е к т о р а м а г н и т н о й и н д у к ц и и – интеграл по замкнутому контуру L проекции вектора магнитной индукции на направление обхода контура ( L) Bdl Bl dl , ( L) где dl – элемент контура, направленный вдоль обхода контура; Bl B cos α – со ставляющая вектора B в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), – угол между векторами B и dl . 18 Магнитное поле в вакууме Найдем циркуляцию вектора индукции магнитного поля B , создаваемого прямолинейным проводником с током I . В качестве контура выберем окружность радиуса R с центром на проводнике. Обходить контур будем по направлению индукции. Величина индукции магнитного поля прямолинейного I l R μ I B проводника на расстоянии R от него B 0 . При вы2πR бранном контуре и направлении обхода dl B и cosα 1, тогда μ0I . Так как , то B B d l dl dl 2 π R dl μ 0 I . Получив последнее выра 2πR ( L) ( L) ( L) жение, мы в частном случае доказали теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля. З а к о н п о л н о г о т о к а для магнитного поля в вакууме (т е о р е м а о ц и р к у л я ц и и в е к т о р а B ): циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ 0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром n Bdl Bi dl μ 0 I k , L где μ 0 – магнитная постоянная, L k 1 n Ik – алгебраическая сумма токов, охватываемых k 1 контуром. Заметим, что каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Ток считается положительным, если его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика при вращении буравчика по направлению обхода контура. Противоположно направленный ток считают отрица тельным. То есть I i 0 , если I i n , I i 0 , если I i n . Циркуляция вектора B магнитного поля, в отличие от циркуляции электростатического поля, не равна нулю. Такое поле называется в и х р е в ы м п о л е м , в отличие от потенциального поля, для которого циркуляция всегда равна нулю. Пример потенциального поля – электростатическое поле, рассмотренное нами ранее, для него E dl 0 . П о т о к о м в е к т о р а м а г н и т н о й и н д у к ц и и или м а г н и т н ы м п о т о к о м dФm сквозь малую площадку dS называется физическая величина, равная произведению площади этой площадки и проекции Bn вектора B на направление нормали n к площадке dS : dФm Bn dS BdS cosα BdS , где dS ndS – вектор нормали к площадке, α – угол между n и B . n S B dS 19 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Поток Фm через площадку конечных размеров S можно найти, разбив ее на элементы dS и сложив потоки dФ через них Фm Bn dS (S ) B dS . (S ) S плоская, то Bn B cosα Если поле однородное, а поверхность Фm BS cos α . и Для магнитного поля, как и для электростатического, можно сформулировать теорему Гаусса. Т е о р е м а Г а у с с а д л я м а г н и т н о г о п о л я : магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю: B dS (S ) Bn dS 0 . (S ) Это равенство отражает факт, что для любой замкнутой поверхности, сколько линий индукции входит в нее, столько и выходит. Линии индукции всегда замкнуты и нет магнитных зарядов, на которых они могли бы закончиться или начаться. Если магнитный поток меняется с течением времени, то возникает явление электромагнитной индукции. Магнитный поток через контур будет изменяться со временем, если или магнитное поле, или площадь контура, или его ориентация зависят от времени, то есть, B B(t ) , или S S (t ) , или α α(t ) , но в чистом виде явление электромагнитной индукции будет лишь при изменении магнитного поля. При изменении площади «натянутой» на реальный проводник поверхности или при изменении угла между нормалью к этой поверхности и индукцией магнитного поля происходит перемещение проводника, и движение зарядов по проводнику, возникающее при этом в магнитном поле, вызвано действием силы Лоренца, а не явлением электромагнитной индукции. Физическое содержание явления электромагнитной индукции заключается в том, что всякое изменяющееся магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электри ческое поле E B . Причем, если в этом поле E B находится замкнутый проводник, то оно является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Математически движение зарядов в проводнике при B const , S const и α const описываются одними и теми же выражениями, так что мы будем описывать эти три случая, несмотря на различную физическую природу, не разделяя. Мы будем рассматривать частный случай я в л е н и я э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и , заключающийся в том, что в проводящем контуре, поток магнитного поля через который не постоянен, возникает электродвижущая сила индукции i и электрический ток, называемый индукционным током. ε З а к о н э л е к т р о м а г н и т н о й и н д у к ц и и Ф а р а д е я (M. Faraday, 1791– 1867): ЭДС электромагнитной индукции i в контуре равна по величине и противопо- ε ложна по знаку скорости изменения магнитного потока Фm сквозь поверхность, ограниченную этим контуром: 20 Магнитное поле в вакууме εi dФm . dt Знак минус перед производной потока по времени определяется п р а в и л о м Л е н ц а (Э. Х. Ленц, 1804– 1865): возникающий индукционный ток должен быть направлен так, чтобы создаваемое им магнитное поле уменьшало изменение магнитного потока. dФ m 0 dt dФ m 0 dt Ii Ii Заметим, что в отличие от электростатического поля, которое создается не подвижными зарядами, электрическое поле E B , созданное изменяющимся магнит- ным полем, не является потенциальным, поскольку циркуляция вектора E B по любому неподвижному контуру L не равна нулю, а представляет собой ЭДС электромагнитной индукции εi E B dl ( L) dФm . dt Рассмотрим случай вращения плоского витка в однородном магнитном поле, когда ось вращения лежит в плоскости витка и перпендикулярна вектору магнитной индукции. Плоскость витка AC и ось его вращения n плоскости рисунка. ПроO перпендикулярны ведем вектор n , нормальный к плоскости витка, С и обозначим через угол между векторами n и B . Выберем начало отсчета времени t так, чтобы при t 0 угол α 0 . Если угловая скорость вращения витка постоянна и равна ω , то в произвольный момент времени угол α ωt . Магнитный поток сквозь площадь S , ограниченную витком, найдем по формуле Фm 0 B A Bn dS , (S ) где проекция индукции поля на нормаль Bn B cos α одинакова на всей поверхности интегрирования S . Поэтому Фm B cos α d S BS cos α BS cos ωt . (S ) Подставив значение Фm в закон электромагнитной индукции, найдем выражение для электродвижущей силы индукции, возникающей в витке, 21 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ m εi dФ dt BSω sin ωt . ε ЭДС индукции изменяется во времени по гармоническому закону, причем i обращается в нуль при α ωt 0, π, 2π и т. д., то есть когда плоскость рамки перпендику- лярна вектору магнитной индукции B . ЭДС максимальна в те моменты времени, когда плоскость рамки располагается параллельно направлению поля, εmax BSω , поэтому εi εmax sin ωt . На рассмотренном принципе работают генераторы электрической энергии, вырабатывающие электрический ток при вращении замкнутых контуров в магнитном поле. До сих пор мы говорили о проводящем контуре, находящемся во внешнем магнитном поле. Если по контуру протекает ток, то контур будет находиться в собственном магнитном поле, и его будет пронизывать собственный магнитный поток. Если ток в контуре не постоянный, то и магнитный поток через контур будет меняться во времени. В этом случае возникает явление с а м о и н д у к ц и и – появление ЭДС, называемой ЭДС самоиндукции, и тока самоиндукции в проводящем контуре при изменении в нем силы протекающего тока. Природа явления самоиндукции понятна – когда по контуру протекает изменяющийся по силе ток, он создает изменяющееся магнитное поле и соответственно контур будет пронизывать непостоянный поток собственного магнитного поля. Собственный магнитный поток Фm , пронизывающий контур, пропорционален силе тока I в контуре I Фm LI , где коэффициент пропорциональности L называется к о э ф ф и ц и е н т о м с а м о и н д у к ц и и или и н д у к т и в н о с т ь ю контура B L Фm . I Индуктивность контура зависит в вакууме только от геометрических параметров контура, а в общем случае зависит еще от магнитных свойств вещества, в котором находится контур. Если N витков образуют катушку, то суммарный поток, пронизывающий все витки катушки, равен сумме потоков Фm , пронизывающих каждый виток, и индуктивность катушки будет равна L NФm . I ЭДС самоиндукции замкнутого проводника может быть найдена из закона Фарадея 22 εs dФm , тогда dt Магнитное поле в вакууме εs L dI , dt где L – индуктивность замкнутого проводника. Поскольку индукция магнитного поля контура l в любой точке может быть най- дена по закону Био–Савара B μ 0 dl , r dB 4π r 3 , то по определению индуктив(l ) (l ) ности можно записать μ L 0 4π dl r dS r 3 . ( S ) (l ) Если магнитные свойства среды не зависят от тока и контур не деформируется, то индуктивность L постоянна. Рассмотрим длинную катушку (длина которой много больше радиуса) из N витков (соленоид), создающую однородное поле внутри катушки N N I μ 0 nI , где n . l l N Фm μ 0 IS – магнитный поток, l B μ0 Тогда N витков пронизывающий один виток и, по определению индуктивности L длинного соленоида NФm , I L 0 индуктивность S N 2S . l l Мы рассмотрели влияние собственного магнитного потока на ток в контуре. Но магнитный поток может быть создан током, протекающим в другом контуре. В этом случае, если этот ток не постоянный, возникнет явление взаимной индукции. В з а и м н а я и н д у к ц и я – возникновение ЭДС в I1 одном из контуров при изменении силы тока в другом. Рассмотрим два неподвижных контура, расположенных близко друг к другу. Пусть I 1 – изменяющийся ток первого контура, создающий магнитное поле B1 , которое пронизывает второй контур. Поскольку индукция магнитного поля пропорциональна силе тока, то и магнитный поток, пронизывающий второй контур Ф21 , будет пропорционален току в первом контуре. То есть Ф21 M 21 I 1 , I2 B1 где M 21 – коэффициент взаимной индукции. 23 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Поскольку I1 const , то во втором контуре возникает ЭДС, которая будет ЭДС взаимной индукции ε21 dФ21 M 21 dI1 . dt dt Все то же самое можно сказать и про первый контур. Если ток во втором контуре I 2 const , то изменяющийся ток второго контура создает ЭДС взаимной индукции в первом контуре ε12 M12 dI 2 . dt Коэффициенты взаимной индуктивности контуров равны друг другу M 12 M 21 M . Взаимная индуктивность двух катушек с числом витков N1 и N 2 на общем основании (трансформатор) определяется выражением M 12 M 21 μ 0 N1 N 2 S, l где l – длина основания по средней линии, S – площадь поперечного сечения основания. В произвольном случае I1 const , I 2 const , в контурах будет возникать и ЭДС взаимной индукции, и ЭДС самоиндукции, тогда суммарная ЭДС будет равна ε1 L1 dI1 M dI 2 , ε2 L2 dI 2 M dI1 , dt dt dt dt так как контуры будут пронизывать потоки Ф1 L1 I1 MI 2 и Ф2 L2 I 2 MI1 . Посмотрим, к чему приводит явление электромагнитной индукции. Для того чтобы создать ток в замкнутом контуре, необходимо совершить работу против ЭДС самоиндукции, которая всегда возникает при подключении контура к источнику. Найдем энергию этого магнитного поля. Рассмотрим контур, в котором будем увеличивать ток от нуля до некоторой силы тока I . При этом магнитный поток, пронизывающий контур, будет увеличиваться, и возникнет ЭДС самоиндукции, которая препятствует увеличению тока. Энергия созданного магнитного поля будет равна работе против ЭДС самоиндукции I I I dI LI 2 dI A εIdt , где ε L , тогда A L dt LIdI . dt 2 dt 0 0 0 Полученное выражение определяет э н е р г и ю м а г н и т н о г о п о л я , создаваемого током силой I , протекающего в замкнутом контуре индуктивностью L LI 2 W . 2 24 Магнитное поле в вакууме Заметим, что для бесконечной катушки индуктивности (соленоид) магнитное поле сосредоточено внутри катушки. Внутри катушки локализована и энергия магнитного поля, точно так же, как между обкладками конденсатора сосредоточена энергия электрического поля. В этом случае можно легко найти о б ъ е м н у ю п л о т н о с т ь W , где V – объем области, где сосредоточеV LI 2 на энергия W магнитного поля. Тогда w . Так как для катушки индуктивности 2V N 2S 2 μ0 I N 2S N 2I 2 l и V Sl , то w . Учитывая, что поле внутри μ0 L μ0 2Sl l 2l 2 N соленоида равно B μ 0 I , получим выражение для объемной плотности энергии l энергии магнитного поля w магнитного поля B2 w . 2μ 0 Записанное выражение, полученное для частного случая, справедливо для любой области пространства (вакуума), где есть магнитное поле. Рассмотрим, как влияет явление инL R дукции на процессы в замкнутом проводящем контуре при включении и выключении в нем тока. Любая катушка индуктивности имеет электрическое сопротивление. Поэтому реальную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивности L и резистора R . ε Посмотрим, что произойдет, если к катушке подключить источник ЭДС. В момент подключения в катушке начинает течь ток, и в ней возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая увеличению тока. По мере возрастания силы тока падение напряжения на резисторе увеличивается, а на индуктивности уменьшается, так как суммарное напряжение равно внешней ЭДС. Ток в цепи постепенно нарастает, приближаясь к максимальному, при котором все напряжение источника оказывается приложенным к резистору. Найдем зависимость силы тока от времени I (t ) , используя второе правило Кирхгофа ε L dI dt εk I n Rn . В нашем случае правило Кирхгофа будет иметь вид IR , так как кроме внешней ЭДС ε в катушке будет ЭДС индукции εi L dI . Перепишем равенство dt L dI RI ε . dt 25 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Мы получили линейное дифференциальное уравнение. Проинтегрируем его, заI Откуда 1 ε IR t ln R ε L t dI dt ε IR L . 0 0 dI dt писав в виде , то есть найдем ε IR L или t ε I 1 e R , L называется постоянной времени. Значение соответствует времени, за R 1 которое сила тока достигает значения I 1 I max 0,63I max или 63 % своего e где τ максимального значения. Если отключить источник ЭДС, то в результате возникновения ЭДС самоиндукции, препятствующей убыванию силы тока, сила тока уменьшится до нуля не мгновенно. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее происходящий процесс, будет иметь вид L dI RI 0 , так как ε 0 . После интегрирования получим dt I I 0e t , L – та же постоянная времени, а I 0 – начальная сила тока. За время R тока убывает в e 2,71...раз. I где τ I max ε сила I 0 I max R 0,63I max 0,37 I 0 t 26 Магнитные свойства вещества Тема: Магнитные свойства вещества Вопросы: 1. Магнитные свойства вещества. Намагниченность. 2. Закон полного тока в магнитных средах. 3. Магнитное поле в веществе. Напряженность магнитного поля. 4. Классификация магнетиков. Свойства. Характеристики. 5. Диамагнетики. Классическое описание. 6. Парамагнетики. Закон Кюри. 7. Ферромагнетики. Природа ферромагнетизма. 8. Намагничивание ферромагнетиков. Гистерезис. Точка Кюри. 9. Магнитное поле на границе магнетиков. В прошлой теме мы рассматривали токи, текущие по проводникам, и токи, обусловленные движением зарядов в свободном пространстве, – их называют м а к р о токами. Кроме макротоков в веществе существуют м и к р о т о к и , обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микротоки создают внутреннее магнитное поле – собственное поле магнетика. Результирующее магнитное поле B в веществе складывается из внешнего B0 и собственного B магнитных полей B B0 B . Для количественного описания магнитных свойств вводят понятие н а м а г н и - ч е н н о с т и J – магнитный момент единицы объема вещества J lim 1 pmi , V 0 V V где p m – магнитный момент i -го атома или молекулы, pmi – суммарный магнитV ный момент в объеме V . Pm В однородных материалах J , где Pm p m – суммарный магнитный V V момент всех атомов или молекул в объеме материала V . Найдем индукцию собственного магнитного поля магнетика. Для простоты рассмотрим область вещества, S представляющую собой цилиндр длиной l , площадью поперечного сечения S . Допустим, что все микротоки текут в плоскостях, параллельных основанию цилиндра. Тогда все микротоки в объеме вещества компенсируют друг друга, так как они протекают навстречу друг другу. Реально действие всех микротоков сводится к тому, что по поверхности потечет ток I . Следовательно, суммарное внутреннее магнитное поле, созданное микроток I l 27 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ микротоками, будет полем, созданным протекающим по поверхности током I , и его индукция будет равна индукции магнитного поля соленоида N I I μ0 . l l Мы рассматриваем как бы один виток ( N 1), «размазанный» по длине l . IV Магнитный момент этого тока I будет равен p m I S , где V – объем l B μ 0 вещества. Pm I Подставляя I Jl в выражение для . V l индукции B , получим B μ 0 J . Тогда суммарное поле будет равно B B0 B B0 μ 0 J . Тогда намагниченность J Посмотрим, как изменятся законы, описывающие магнитное поле при наличии вещества. Запишем с учетом микротоков закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорему о циркуляции вектора B ): циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру будет равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную B dl ( L) Bl dl μ 0 ( I I ) , ( L) где dl – элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура; Bl – состав- ляющая вектора B в направлении касательной контура L произвольной формы; I – суммарная сила тока свободных зарядов (макротоков или токов проводимости) и I – суммарная сила молекулярных токов (микротоков), охватываемых контуром L . С учетом, что B B0 B B0 μ 0 J , закон полного тока примет вид B0 μ 0 J dl μ 0 I I . ( L) В отсутствии вещества ( J 0 и I 0 ) получим J dl I B 0 dl μ 0 I , тогда ( L) (L ) – циркуляция намагниченности равна суммарному току намагничивания (сумме микротоков). Выразив B0 B B B μ 0 J и учитывая, что B 0 dl μ 0 I , можем за- ( L) писать 28 Магнитные свойства вещества B μ0 J μ 0 dl I . ( L) B μ0 J Мы получили, что циркуляция некоторого выражения по замкнутому контуμ0 ру равна суммарному макротоку. Этому выражению приписан физический смысл н а пряженности магнитного поля B0 B μ 0 J H . μ0 μ0 Тогда закон полного тока для напряженности будет иметь вид H dl I . ( L) Здесь I – сила суммарного макротока, охватываемого контуром L . Циркуляция напряженности магнитного поля равна суммарной силе тока, текущего по проводникам (реального тока), охваченного контуром, независимо от присутствия магнитных веществ. Вектор H обычно ассоциируется со свободными токами (макротоками), век тор намагниченности J – с токами намагничивания (микротоками), а вектор B – со всеми токами. Суммарное поле теперь мы можем записать в виде выражения B B0 B μ 0 H μ 0 J μ 0 ( H J ) , связывающего между собой векторы индукции магнитного поля B, напряженности H и намагниченности J . В не очень сильных магнитных полях и однородных и изотропных средах можно считать, что намагниченность пропорциональна напряженности магнитного поля J ~ H или J χH , коэффициент пропорциональности χ называют магнитной восприимчивостью вещества. М а г н и т н а я в о с п р и и м ч и в о с т ь в е щ е с т в а – безмерная величина, характеризующая свойство вещества намагничиваться в магнитном поле и равная отношению намагниченности вещества к напряженности магнитного поля. Кроме восприимчивости, для описания магнитных свойств веществ используют магнитную проницаемость μ 1 χ . Тогда в однородных и изотропных средах B μ 0 (1 χ ) H μ 0μH . Поскольку микротоки существуют во всех веществах, то все вещества являются магнетиками, то есть обладают магнитными свойствами. 29 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Классификацию веществ по магнитным свойствам можно изобразить так. Вещества, обладающие диамагнитными свойствами Вещества, обладающие ферромагнитными свойствами Вещества, обладающие парамагнитными свойствами Поясним рисунок. Все вещества обладают диамагнитными свойствами. Диамагнетиками являются только те из них, которые другими свойствами не обладают. Оставшиеся вещества обладают парамагнитными свойствами, значительно более сильными, чем диамагнитные свойства, в связи с чем, в парамагнетиках диамагнитными свойствами можно пренебречь. Часть парамагнетиков обладает более сильными ферромагнитными свойствами. Д и а м а г н е т и к и – вещества, в которых во внешнем магнитном поле возникает собственное магнитное поле, направленное противоположно внешнему намагничивающему полю. В отсутствии внешнего поля собственное поле диамагнетика равно нулю. Свойства диамагнетиков: B B0 ; выталкиваются из внешнего магнитного поля; магнитная проницаемость μ 1; магнитная восприимчивость отрицательна χ 0 и χ 10 6 10 5 . К диамагнетикам относятся почти все газы (кроме кислорода), золото, серебро, медь, органические вещества. Диамагнитные свойства обусловлены наведением в веществе внешним магнитным полем магнитных моментов атомов, магнитный момент которых в отсутствии поля равен нулю. П а р а м а г н е т и к и – вещества, в которых вектор магнитной индукции собственного магнитного поля сонаправлен с вектором магнитной индукции намагничивающего поля. В отсутствии внешнего магнитного поля собственное поле парамагнетика равно нулю. Свойства парамагнетиков: B B0 ; втягиваются во внешнее магнитное поле; магнитная проницаемость μ 1; 5 3 магнитная восприимчивость положительна χ 0 и χ 10 10 . Парамагнетиками являются кислород, платина, алюминий, все редкоземельные металлы. 30 Магнитные свойства вещества Атомы диэлектрических парамагнетиков имеют ненулевой магнитный момент в отсутствии магнитного поля, но намагниченность в отсутствии поля равна нулю, что связано с разупорядоченностью магнитных моментов атомов. При наличии внешнего магнитного поля происходит упорядочивание магнитных моментов атомов по внешнему полю. У металлов значительный вклад в намагниченность дают свободные электроны (не связанные с атомами). Ф е р р о м а г н е т и к и – вещества, обладающие спонтанной намагниченностью (намагничены) даже при отсутствии внешнего магнитного поля. Свойства ферромагнетиков: B B0 ; магнитная проницаемость μ 10 ...10 ; 3 5 магнитная восприимчивость положительна χ 0 и χ 10 10 . К ферромагнетикам относятся металлы группы железа – железо, кобальт, никель и др. Зависимость индукции магнитного поля и намагниченности от напряженноJ B сти H для разных типов магнетиков имеет вид (не в масштабе): 3 В 5 J ферромагнетик ферромагнетик парамагнетик парамагнетик Н Н диамагнетик диамагнетик Рассмотрим качественно классическую теорию диамагнетизма и парамагнетизма. По классическим представлениям электроны в атоме вращаются вокруг ядра. Магнитный момент p mi электрического тока, вызванного движением i -го электрона по орбите, называется орбитальным магнитным моментом электрона. Вектором орбитального м а г н и т н о г о м о м е н т а а т о м а p m называется векторная сумма орбитальных магнитных моментов всех его электронов (магнитный момент ядра примерно в 2000 раз меньше, и им пренебрегают) Z p m p mi . i 1 Будем считать, что электрон в атоме движется со скоростью V по круговой орбите радиусом r . Направления движения электрона и тока I указаны на рисунке стрелками. Согласно определению магнитного момента тока величина орбитального магнитного момента i -го электрона равна V I pmi 31 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ pmi IS I r 2 , где S – площадь орбиты электрона. Вектор pmi направлен в ту же сторону, что и маг2πr нитное поле в центре кругового тока I . Обозначим через T период обращения V электрона. Тогда I eVr e eV и p mi . T 2πr 2 В атомах диамагнетиков четное число электронов, и в среднем половина электронов имеет магнитные моменты, направленные в одну сторону, половина – в противоположную сторону. Суммарный магнитный момент атома равен нулю. Во внешнем магнитном поле электроны, имеющие магнитные моменты, проекция которых на направление поля отрицательна, получат дополнительное вращение. Наоборот, электроны, проекция магнитных моментов которых на направление поля положительна, замедлят свое вращение. Магнитный момент первых увеличится, а вторых – уменьшится. И суммарный момент атома станет неравным нулю по величине и направленным в среднем против внешнего поля. При этом атом будет создавать собственное магнитное поле, направленное против внешнего. В атомах парамагнетиков число электронов нечетное и суммарный магнитный момент атома в отсутствии внешнего поля отличен от нуля. Направлены магнитные моменты атомов хаотически, в результате чего суммарный момент всех атомов будет равен нулю. Намагничивание парамагнетиков связано с поворотом магнитных моментов атомов (контуров с микротоками) магнитным полем по направлению поля. Упорядочивающему действию магнитного поля препятствует разупорядочивающее действие теплового движения. Зависимость магнитных свойств парамагнетиков от температуры описывается законом Кюри χ~ 1 . T Ферромагнетизм имеет квантовую природу и не может быть объяснен с позиции классической физики. Ферромагнетики состоят из областей спонтанной намагни3 2 ченности – д о м é н о в , размером 10 10 см . Каждый домен имеет ненулевую намагниченность. Суммарная намагниченность ферромагнетика может быть любой – от нулевой намагниченности до максимальной намагниченности, которая достигается, когда магнитные моменты домены всех доменов сонаправлены. Согласованная намагниченность атомов в домене связана с перекрытием квантовомеханических волновых функций электронов, входящих в атомы, которое приводит к ориентации спинов электронов параллельно друг другу. О квантовомеханическом описании электронов и атомов мы будем говорить дальше, в разделе квантовая физика. Рассмотрим, как происходит намагничивание ферромагнетиков. I этап (слабые магнитные поля) – намагничивание (увеличение намагниченности), связанно с движением границ доменов. Домены, магнитный момент 32 Магнитные свойства вещества которых направлен по полю, имеют минимальную энергию (находятся в состоянии устойчивого равновесия). Домены, имеющие направление магнитного момента, близкое к направлению действующего внешнего поля, увеличиваются по размеру. Домены, имеющие магнитные моменты, направленные навстречу полю, имеют максимальную энергию (их состояние неустойчиво), они уменьшаются в размерах. На первом этапе процесс намагничивания обратим. II этап – необратимое смещение границ доменов. Вследствие наличия дефектов сильное смещение границ происходит скачкообразно с потерями энергии. Маленькие домены поглощаются увеличивающимися доменами. В конце этапа остается один домен с наиболее «благоприятной» ориентацией магнитного момента. III этап – магнитный момент оставшегося домена ориентируется по полю, то есть происходит доворачивание магнитных моментов. Это парапроцесс – увеличение намагниченности в результате упорядочивания магнитных моментов отдельных атомов. B0 0 B0 B0 I Процесс намагничивания на втором этапе является необратимым, и при уменьшении внешнего поля кривая намагниченности BH будет иметь другой вид. B0 II III B I II III Явление, связанное с различным значением намагниченности в одном и том же магнитном поле (в зависимости от предыстории), называется H я в л е н и е м г и с т е р е з и с а ( от греч. hysteresis – отставание, запаздывание), а график – п е т л е й г и с т е р е з и с а . H C – коэрцитивная сила (от лат. coercitio – удерживание), значение напряженности магнитного поля, необходимого для достижения нулевой намагниченности или нулевой магнитной индукции в ферромагнитном веществе. Различают коэрцитивную силу мН C , когда становится равной нулю намагниченность J , и коэрцитивную силу вН C , когда в веществе становится равной нулю магнитная индукция. Технология размагничивания ферромагнетиков заключается в перемагничивании с уменьшением петли гистерезиса. Изменяя направление намагничивающего поля, постепенно уменьшают его величину. Жесткие ферромагнетики имеют большую по площади петлю гистерезиса, их трудно В H 33 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ перемагничивать, из них делают постоянные магниты. У мягких ферромагнетиков петля гистерезиса меньше, они легче перемагничиваются, и их используют в электромагнитах. Ферромагнетики обладают явлением м а г н и т о с т р и к ц и и – изменением размеров и формы тела при намагничивании. Это вызывается изменением энергетического состояния кристаллической решетки в магнитном поле и, как следствие, расстояний между узлами решетки. При высоких температурах ферромагнетики становятся парамагнетиками (фазовый переход второго рода). Температура, при которой теряются ферромагнитные свойства, называют точкой Кюри. Все ферромагнетики имеют свою точку (температуру) Кюри. Для железа точка Кюри соответствует 770 ºС, для никеля 360 ºС, а для пермалоя (сплав 70 % Fe и 30 % Ni) всего 70 ºС. На границе раздела двух магнетиков магнитное поле претерпевает скачкообразное изменение. Граничные условия, определяющие магнитное поле на границе раздела двух магнетиков, можно получить из теоремы о циркуляции напряженности магнитного поля в отсутствии токов и теоремы Гаусса для индукции магнитного поля – H dl 0 и ( L) B dS 0 . (S ) B1 H1 H 2 ; B1τ μ1 ; B2 τ μ 2 H1n B1n B2n ; H1n μ 2 , H 2 n μ1 H 1 H1 H 2 H 2n H2 1 B1n B1 2 B2 n B2 1 2 B2 где H , B , и H n , Bn – соответственно тангенциальные и нормальные составляю- щие векторов H и B, μ1 и μ 2 – магнитные проницаемости (на рисунке μ1 μ 2 ). 34 Уравнения Максвелла Тема: Уравнения Максвелла Вопросы: 1. Ток смещения. 2. Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме. Мы уже рассмотрели в предыдущих темах почти все законы, входящие в систему уравнений Максвелла (J. Maxwell, 1831–1879). Перечислим их. Начнем с закона электромагнитной индукции Фарадея, определяющего ЭДС индукции, возбуждаемую в неподвижном замкнутом проводящем контуре, дФm E dl дt . ( L) Изменяющееся магнитное поле создает в любой точке пространства вихревое электрическое поле независимо от того, находится в этой точке проводник или нет. Сформулированное таким образом последнее равенство является одним из у р а в н е н и й М а к с в е л л а : циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на контур. B dS . Считая поверхность интегриро- По определению магнитный поток Фm (S ) вания S , образованную неподвижным контуром L , неподвижной, получим дФm д дB BdS dS . дt дt ( S ) дt (S ) Поэтому рассматриваемое уравнение Максвелла можно записать в виде дB дt dS , ( L) (S ) где направление обхода контура L и вектор dS согласованы между собой по правилу E dl правого буравчика. Следующий закон – закон полного тока, определяющий циркуляцию магнитного поля B dl μ 0 ( I I ) , ( L) H dl I , ( L) где I и I – сила результирующего макротока и микротока, соответственно, сквозь поверхность, образованную замкнутым контуром L . Максвелл обобщил закон полного тока. Согласно гипотезе Максвелла, кроме токов (макротоков в проводниках и микротоков в магнетиках), существует еще одна причина возникновения магнитного поля. Точно так же, как изменение магнитного поля приводит к появлению электрического, изменение электрического поля должно приводить к возникновению магнитного. Максвелл проделал мысленный эксперимент. Он рассмотрел заряжающийся конденсатор. 35 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ В области подводящих проводов при протекании тока заряда конденсатора возникает магнитное поле. Поле не может оборваться в области, где расположен конденсатор, хотя там нет проводов, и между пластинами конденсатора ток не протекает. Что же является источником магнитного поля внутри конB B B денсатора? Изменяющееся при заряде конденсатора электрическое поле между обкладками конденсатора создает магнитное поле подобно некоторому гипотетическому току, названному Максвеллом I током смещения. Этот ток смещения Максвелл использовал в B B B качестве количественной характеристики «магнитного действия» изменяющегося электрического поля. Посмотрим, как он его определил. По теореме Гаусса, которую мы получили в первой части нашего курса, поток вектора D (электрического смещения) сквозь замкнутую поверхность S Фe D dS q , (S ) где q – алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S . Продифференцируем это выражение по времени dq dФe d DdS . dt dt dt ( S ) Если поверхность S неподвижна и не деформируется, то изменение во времени потока вектора электрического смещения D сквозь поверхность S вызывается только изменением электрического смещения с течением времени. Поэтому полную производную, стоящую в правой части уравнения, можно заменить частной производной по времени и дифференцирование внести под знак интеграла: dq дD dS . dt S дt Левая часть этого выражения имеет размерность силы тока dq I j dS , тоdt S дD гда производная имеет размерность плотности тока. Поэтому Максвелл предлодt дD жил назвать величину п л о т н о с т ь ю тока смещения: дt дD jсмещ . дt П л о т н о с т ь т о к а с м е щ е н и я в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке. 36 Уравнения Максвелла Т о к о м с м е щ е н и я сквозь произвольную поверхность S называется некоторый гипотетический (несуществующий) ток, сила которого численно равна потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность: I смещ jсмещ dS (S ) дD дt dS . (S ) Тогда в случае нестационарных полей закон полного тока примет вид H dl ( L) дD j дt dS . (S ) Добавив теорему Гаусса для электрического и магнитного полей, получим полную систему уравнений Максвелла, которая в интегральной форме записи имеет вид: дB дt dS (S ) – Закон электромагнитной индукции Фарадея. dV – Теорема Гаусса для электрического поля. E dl ( L) D dS (S ) H dl ( L) (V ) дD j дt dS – Закон полного тока. (S ) B dS 0 – Теорема Гаусса для магнитного поля. (S ) Величины, входящие в левые части уравнений Максвелла, не являются независимыми, и между ними существует связь, которая для изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред будет иметь вид D ε 0 εE , B μ 0μH , j σE , где ε 0 и μ 0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, – удельная проводимость вещества. Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Если поля не изменяются с течением времени, такие поля называются стационарными полями, то уравнения Максвелла в пустом пространстве (вакууме) примут вид 37 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ E dl 0 ; D dS Q ; ( L) (S ) ( L) (S ) H dl I ; B dS 0 . Источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды Q , источниками магнитного – только токи проводимости I . В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля, как мы и поступали до сих пор. У р а в н е н и я М а к с в е л л а – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Уравнения Максвелла выражают основные законы электромагнетизма. Они столько же фундаментальны, как три закона движения и закон всемирного тяготения Ньютона в механике. В некотором смысле уравнения Максвелла даже более фундаментальны, так как в отличие от законов Ньютона они справедливы и в релятивистском случае. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда порождает электрическое поле, а переменное электрическое поле всегда порождает магнитное, то есть электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое э л е к т р о м а г н и т н о е п о л е . Теория Максвелла объединила в одно два взаимодействия – электрическое и магнитное, до того рассматриваемые как отдельные, независимые взаимодействия. Важным следствием взаимопорождаемости переменных электрических и магнитных полей являются электромагнитные волны, существование которых вытекает непосредственно из уравнений Максвелла. 38 Электромагнитные колебания Тема: Электромагнитные колебания Вопросы: 1. Уравнения, описывающие электромагнитные колебания в колебательном контуре. Решение. 2. Затухающие колебания в колебательном контуре. Характеристики. 3. Вынужденные колебания в колебательном контуре. Резонанс заряда и тока. 4. Цепи переменного тока. Реактивное сопротивление. Импеданс (полное сопротивление). 5. Закон Ома и закон Джоуля–Ленца для цепей переменного тока. 6. Эффективное (действующее) значение силы тока и напряжения. Как мы отметили в предыдущей теме, из уравнения Максвелла непосредственно вытекает существование электромагнитных волн, которые являются распространением в пространстве колебаний электрического и магнитного полей. Прежде чем перейти к электромагнитным волнам, мы рассмотрим электромагнитные колебания. Основные определения для колебательного процесса мы рассмотрели в первой части курса, когда говорили о механических колебаниях. В этой теме мы рассмотрим только то, что относится к электромагнитным колебаниям. Простейшей системой, в которой возникают колебания электрического и магнитного поля, является колебательный контур. К о л е б а т е л ь н ы й к о н т у р – электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L , конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R , используемая для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний. I K Мы рассмотрим последовательный колебательный контур, в котором все элементы соединены последовательно. 1 По закону Ома для неоднородного C L участка цепи (1 L R 2 ) имеем 2 IR φ1 φ 2 , ε R ε где I , Δφ φ 2 φ1 и – мгновенные значения соответственно силы тока в цепи, разности потенциалов между обкладками 1 и 2 конденсатора и алгебраической суммы ЭДС, приложенных на участке цепи (1 L R 2 ). На рассматриваемом участке цепи действует только ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании по ней изменяющегося тока. Поэтому ε L dI , dt следовательно, IR L dI Δφ . dt Обозначим заряд одной обкладки конденсатора через q . Тогда по определению силы тока dq I dq и dI d 2 q . dt dt 2 Разность потенциалов между обкладками конденсатора равна Δφ φ 2 φ1 q . C 39 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Подставив полученные выражения в закон Ома, получим дифференциальное уравнение второго порядка вида L d 2q dt 2 R dq q 0 dt C или q R 1 q q 0. L LC Уравнения такого типа x 2βx ω0 x 0 нам уже встречались в первой части курса физики, когда рассматривали затухающие механические колебания. Его решением при слабом затухании ( β ω0 ) будет функция 2 x(t ) Aeβt sin ωt α 0 , где ω ω0 β – частота затухающих колебаний. Сравнивая уравнение, полученное для колебательного контура, с уравнением, полученным ранее, видим, что для колебательного контура коэффициент затухания 2 β 2 1 R , и частота гармонических колебаний ω 0 . Следовательно, решени2L LC ем полученного для колебательного контура дифференциального уравнения будет функция вида q(t ) qm e R t 2L sin( ωt α 0 ) , 1 R2 где частота затухающих колебаний в колебательном контуре ω , а LC 4 L2 2π 2π период T . Начальные фаза α 0 и амплитуда колебаний q m 2 ω 1 R 2 LC 4 L зависят от способа возбуждения колебаний, то есть от начальных условий. Таким образом, при подключении заряженного конденсатора к цепи, состоящей из последовательно соединенных индуктивности и резистора, заряд на обкладках конденсатора будет совершать затухающие колебания, если сопротивление резистора не слишком велико (затухание мало). С увеличением сопротивления R контура период колебаний в нем возрастает, и при R 2 L / C обращается в бесконечность. При R 2 L / C решением дифференциального уравнения является апериодическая функция q A1e t e kt A2 e t e kt , где k β 2 ω02 . Если сопротивление велико, то в контуре будет происходить апериодический процесс убывания заряда на конденсаторе. Мы далее в этой теме будем говорить только о колебательных процессах, то есть будем считать, что затухание мало R 2 L / C . 40 Электромагнитные колебания Амплитуда q(t ) колебаний заряда q конденсатора экспоненциально убывает q(t ) qm e R t 2L qm e βt . q q(t ) qm e βt qm t Разность потенциалов Δφ между обкладками конденсатора пропорциональна заряду. Поэтому T R q q t Δφ m e 2 L sin( ωt α 0 ) . C C Сила тока в колебательном контуре R t dq R I qm e 2 L sin( ωt α 0 ) ω cos(ωt α 0 ) . dt 2L Пусть в начальный момент времени ( t 0 ) заряд конденсатора q q 0 и ток в цепи отсутствует. Тогда начальные условия будут иметь вид R sin α 0 ω cosα 0 0 , 2L откуда для начальной фазы 0 и начальной амплитуды q0 получим следующие выраqm sin α 0 q0 , жения: tg α 0 qm 1 ω ω 4L 1; 2 R / 2L β R C q0 β2 q0 1 ctg2 α 0 q0 1 2 sin α 0 ω R 1 q0 1 2 , R C 4L R2 так как ω 0 , β , а ω ω0 β . LC 4 L2 LC 2L Таким образом, начальные фаза и амплитуда колебаний в контуре могут быть выражены через параметры контура: емкости, индуктивности и сопротивления. Причем вид выражений будет разным в зависимости от способа возбуждения колебаний (начальных условий). 2 2 2 Если сопротивление R контура уменьшить, то затухание колебаний в нем также уменьшится. В пределе, при R 0 (β 0) , такой контур называют идеальным колебательным контуром, свободные электромагнитные колебания в контуре становятся незатухающими. В идеальном колебательном контуре заряд конденсатора, разность потенциалов между его обкладками, сила тока в цепи и ЭДС самоиндукции изменяются по гармоническому закону q qm sin(ω0t α 0 ) ; Δφ qm sin( ω0t α 0 ) ; C 41 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ π I qm ω0 cos(ω0t α 0 ) qm ω0 sin ω0t α 0 ; 2 ε qmω02 sin ω0t α0 qmω02 sin ω0t α0 π, где ω0 1/ LC – циклическая частота свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре. Период свободных незатухающих колебаний определяется формулой Томсона (J.-J. Tomson, 1856–1940) T (2π / ω0 ) 2π LC . Как видим из записанных выражений, сила тока отстает по фазе от разности потенциалов между обкладками конденсатора на π / 2 и опережает ЭДС индукции тоже на π / 2 . Амплитуда I m силы тока и амплитуда m разности потенциалов обкладок конденсатора соответственно равны I m qm ω 0 qm q , m m , C LC поэтому для этих амплитуд можно записать I m m C / L m . L/C Величина L / C называется волновым сопротивлением контура. Полная электромагнитная энергия контура в любой момент времени будет равна суммарной энергии, запасенной в конденсаторе и катушке индуктивности q 2 LI 2 W , 2C 2 где q – заряд на обкладках конденсатора, I – сила тока в контуре. Электрическое сопротивление R любого реального колебательного контура отлично от нуля. Поэтому, как мы получили, свободные электромагнитные колебания в реальном колебательном контуре постепенно затухают. Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо подводить энергию, компенсирующую потери на джоулево тепло. Если эту энергию будет поставлять источник переменной ЭДС, мы будем иметь дело уже не со свободными, а с вынужденными электромагнитными колебаниями. Рассмотрим простейший случай вынужденных электромагнитных колебании в контуре, происходящих под действием синусоидальной внешней ЭДС m sin t , ε ε где ε m – амплитуда ЭДС, Ω – циклическая частота. Для получения уравнения вынужденных электромагнитных колебаний необходимо в закон Ома, записанный для контура, подставить суммарную ЭДС, равную сумме вынуждающей ЭДС 42 ε εm sin t и ЭДС самоиндукции εi dL : dt Электромагнитные колебания L d 2q dt 2 R dq q εm sin t . dt C Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения мы уже рассмотрели – это затухающие колебания или апериодическое убывание заряда конденсатора. В любом случае, спустя время t τ 1 , этим слагаемым решения можно пренебречь. Тогда реβ шением уравнения останется только частное решение неоднородного уравнения, которое будем искать в виде dq I m sin( t ) . dt То есть найдем такие значения амплитуды тока I m и начальной фазы , чтобы дифI dq d 2 q ференциальное уравнение обращалось в тождество. Выразим q , , через силу dt dt 2 тока I I I q m cos(t ) m sin t ; 2 dq I m sin( t ) ; dt d 2q I m cos(t ) I m sin t . 2 2 dt Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, получим I I m L sin t I m R sin( t ) m sin t εm sin t . 2 C 2 Левая часть этого тождества представляет собой сумму трех гармонических колебаний одной частоты, но имеющих разные начальные фазы. Для их сложения удобно воспользоваться методом векторных диаграмм, рассмотренным в первой части курса. Из рисунка видим, что (1 / C ) L tg ; R Im где Z εm R 2 (1/ ΩC ) ΩL2 R 1/ ΩC ΩL . 2 2 εm , I m LΩ ImR εm Im I LΩ CΩ m Z Im CΩ 43 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Мы получили, что амплитуда I m и фаза α вынужденных колебаний зависят от частоты Ω вынуждающей ЭДС. Зависимость амплитуды колебаний от частоты называется амплитудно– частотной характеристикой (АЧХ). Im АЧХ тока qm АЧХ заряда Увеличение R Ω p ω0 Увеличение R Ω pq Ω Ω Величина Z называется и м п е д а н с о м (impedance, от лат. impedio – препятствую) или п о л н ы м с о п р о т и в л е н и е м э л е к т р и ч е с к о й ц е п и переменного тока. Оно складывается из активного (омического) сопротивления R , реактивного индуктивного сопротивления ΩL и реактивного емкостного сопротивления 1/ ΩC . Амплитуда силы тока в контуре зависит не только от параметров контура R , L и C и амплитуды ε m вынуждающей ЭДС, но и от циклической частоты Ω . Независимо от величины R активного сопротивления контура амплитуда силы тока в контуре достигает максимального значения I max εm / R при одном и том же значении Ω p циклической частоты вынуждающей ЭДС, равном Ωp 1 ω0 . LC При Ω Ω p полное сопротивление контура минимально и равно его активному сопротивлению. В этом случае 0 – сила тока совпадает по фазе с вынуждающей ЭДС. Явление возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при приближении циклической частоты вынуждающей ЭДС к значению Ω p называется я в л е н и е м р е з о н а н с а т о к а в электрической цепи, а частота Ω p – р е з о н а н с ной циклической частотой тока. Для амплитуды заряда также будет наблюдаться явление резонанса, но только при слабом затухании ( 2β ω0 ), на резонансной частоте 2 Ω pq 44 2 ω02 1 2R 2 2β 2 . LC L 2 Электромагнитные колебания Колебательный контур с переменной внешней ЭДС представляет собой цепь переменного тока. Для цепей переменного тока законы Ома и Джоуля–Ленца применительно к мгновенным значениям приложенных напряжений и ЭДС, токов и мощностей не справедливы. Чтобы основными законами электрического тока можно было пользоваться для цепей переменного тока, кроме приложенного напряжения, нужно учитывать возникающую в цепи переменного тока ЭДС самоиндукции. Действительно, мгновенное значение внешней ЭДС не пропорционально мгновенному значению силы тока, так как ток отстает от приложенной ЭДС по фазе. Амплитудные значения – пропорциональны, а мгновенные – нет. З а к о н О м а д л я п е р е м е н н о г о т о к а применим только для амплитудных значений εm I m Z , где Z – полное сопротивление цепи переменного тока. Для цепи с последовательно включенными элементами мы получили, что 2 1 2 2 Z R ΩL R X , ΩC 2 где R активное сопротивление, а X ΩL 1 – реактивное сопротивление, которое состоит из ΩC xL ΩL – реактивного индукционного сопротивления, 1 xC – реактивного емкостного сопротивления. ΩC Напряжения на емкости и индуктивности находятся в противофазе, следовательно, X x L xC . Напряжения на активном сопротивлении R и на реактивном сопротивлении X сдвинуты по фазе на π π или , в зависимости от величин L и C . 2 2 Найдем мощность, выделяющуюся в цепи переменного тока. Выберем начало отсчета времени так, чтобы I I m cosΩt и m cos(Ωt α) , как на векторной диаграмме, которую мы рассматривали. I 0, 0 , но среднее знаСредние значения тока и ЭДС равны нулю ε ε ε P Iε 0 . Скобками чение мощности отлично от нуля обозначено среднее значение. Найдем среднее значение мощности P I m cosΩt εm cos(Ωt α) . Учитывая, что cosβ cos γ 1 cosβ γ cosβ γ , получим 2 1 1 1 P I mεm cos(2Ωt α) cosα I mεm cos(2Ωt α) I mεm cosα . 2 2 2 45 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Поскольку cos(2Ωt α) 0 , а cosα cosα , получаем окончательное выражение для з а к о н а Д ж о у л я – Л е н ц а д л я ц е п е й п е р е м е н н о г о т о к а 1 P I mεm cos α . 2 Множитель cosα , называемый к о э ф ф и ц и е н т о м м о щ н о с т и , отражает сдвиг фаз между внешней ЭДС и током. Тогда I m R εm cosα и 1 P I m2 R . 2 В законе Джоуля–Ленца, записанном через амплитудные значения переменного тока, появился коэффициент 1 , то есть выражение закона получилось разным для по2 стоянного и переменного токов. Это весьма неудобно. Чтобы избежать этого неудобства, для характеристики переменного тока и переменного напряжения вместо амплитудных значений используют эффективные (действующие) значения тока и напряжения: Im ε , U эф m , 2 2 I эф для которых, с одной стороны, закон Ома справедлив так же, как и для амплитудных значений I эф Z U эф , а, с другой стороны, закон Джоуля–Ленца может быть записан в таком же виде, как и для постоянного тока. Действительно, закон Джоуля–Ленца для эффективных значений имеет вид P I эфU эф cos α . С учетом закона Ома имеем P I эфZ cosα . Поскольку R Z cos α , то для эффективного значения силы тока можем записать закон Джоуля–Ленца в окончательном виде 2 2 P I эф R. Если цепь содержит только реактивное сопротивление ( R 0 ), то cosα 0 и средняя мощность будет равна нулю при любых токах и напряжениях. Если коэффициент мощности cos мал, то для передачи мощности при заданном напряжении необходимо увеличивать силу тока, что либо приведет к увеличению джоулевых потерь, либо, чтобы этого не происходило, потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередач. Поэтому на практике в качестве наименьшего допустимого значения принимают cos α 0,85 . 46 Волновая физика Физика волновых процессов И в первой части курса физики, и в предыдущем разделе мы рассматривали процессы, периодически повторяющиеся во времени. Это механические колебания, в первой части, и электромагнитные колебания, только что нами рассмотренные. Если колебательный процесс происходит в пространстве, части которого «связаны» друг с другом, то в периодический процесс вовлекается все большая область пространства. В этом случае говорят о распространении колебаний или о волновом процессе. Волновые процессы встречаются во многих областях физики. Это и волны на воде, и звуковые волны, и свет. Как мы увидим позже в этой же части курса, электроны и другие частицы в некотором отношении тоже подобны волне. К изучению волновых процессов мы и переходим в данном разделе. Сначала мы рассмотрим общие определения волновой физики, применимые для всех волн, при этом основное внимание мы будем уделять электромагнитным волнам, частным случаем которых является свет. Далее на примере световых волн рассмотрим два основных явления волновой физики – интерференцию и дифракцию волн. И закончим раздел изучением основных явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом. Тема: Волновая физика Вопросы: 1. Волновые процессы. Определение. 2. Классификация волновых процессов. 3. Трехмерное и одномерное волновое уравнение в однородной изотропной среде. 4. Характеристики волновых процессов 5. Электромагнитные волны. Свойства. Уравнение и график монохроматической плоской бегущей волны. 6. Понятие о световых волнах. Характеристики. Оптический показатель преломления. Мы знаем, что колебательный процесс – это процесс, при котором изменение параметров, описывающих состояние системы, периодически повторяется со временем. Колебательный процесс, или колебание, происходит в ограниченной области пространства. Он характеризуется периодом T или частотой колебаний . В отличие от колебаний в о л н о в о й п р о ц е с с является периодически повторяющимся процессом, который распространяется в пространстве с некоторой конечной скоростью. Другими словами, волновой процесс или в о л н а – это процесс распространения колебаний. При этом вещество (или поле) не переносится волной, а только вовлекается в колебательный процесс, происходящий относительно равновесных состояний. В волновом процессе переносится энергия и импульс. Волновой процесс характеризуется ч а с т о т о й (распространяющихся) к о л е б а н и й ν (циклической частотой 2 ) и с к о р о с т ь ю р а с п р о с т р а н е н и я (колебаний) V . В о л н о в ы м ф р о н т о м называется поверхность, которая разделяет пространство на две области: в одной из них колебания уже происходят, до второй области колебания еще не дошли. 47 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В о л н о в о й п о в е р х н о с т ь ю называют поверхность, в точках которой колебания имеют одинаковую фазу. Форма волновой поверхности в однородных изотропных средах совпадает с формой волнового фронта. Рассмотрим классификацию волн, исходя из определения волны. По характеру периодического процесса волны бывают с к а л я р н ы е , когда невозможно указать пространственное направление колебаний (волна температуры) и в е к т о р н ы е , когда колебания происходят в определенном направлении (колебание частиц воздуха в звуковой волне). При этом сам колеблющийся параметр также может быть скалярным (давление в звуковой волне) или векторным (напряженность электрического поля в электромагнитной волне). По частотным характеристикам волны делятся на две группы: м о н о х р о м а т и ч е с к и е в о л н ы – распространяется гармоническое колебание с частотой ω ; н е м о н о х р о м а т и ч е с к и е в о л н ы – одновременно распространяются различные колебания с разными частотами. По природе волны делятся на: м е х а н и ч е с к и е – распространение упругих (механических) колебаний вещества (например, звук). э л е к т р о м а г н и т н ы е – распространение колебаний электромагнитного поля (например, свет). В зависимости от направления колебаний волны делятся на два типа: п р о д о л ь н ы е в о л н ы – колебания происходят вдоль направления распространения волны (например, звук); направление распространения волны направление колебаний п о п е р е ч н ы е в о л н ы – колебания происходят перпендикулярно распространению волны, такая волна называется (например, электромагнитные волны). направление распространения волны направление колебаний Среди волн по форме волнового фронта выделяют: с ф е р и ч е с к и е в о л н ы – волновой фронт является сферой. Например, излучение точечного источника в однородной изотропной среде. Волновой фронт 48 Волновая физика п л о с к и е в о л н ы – волновой фронт является плоскостью. Волновой фронт Направление распространения волны Волновые процессы описываются волновым уравнением, решением которого они являются. Вспомним колебания. Уравнение свободных гармонических колебаний имеет вид d 2x ω02 x 0 . 2 dt Его решением является функция, описывающая гармонический колебательный процесс x(t ) x0 cos(ω0t φ) . В о л н о в о е у р а в н е н и е имеет несколько похожий вид, оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных 2ξ V 2 Δξ 0 2 t или Δξ 1 2ξ V 2 t 2 . Здесь греческой буквой ξ («кси») обозначен колеблющийся параметр, Δ – дифференциальный оператор Лапласа (P. Laplace, 1749–1827), для которого используется гре ческая буква «дельта» Δ (не путать с приращением). Поскольку ξ (r , t ) является функцией нескольких переменных, уравнение записывается не в полных производных, как для колебаний, а в частных производных. Используемый дифференциальный оператор Лапласа можно представить через другой дифференциальный оператор Δ . Дифференциальный оператор («набла») определяется в декартовой системе координат как формальный вектор с проек2 , , или i j k , тогда его действие на скалярную x y z dx y z функцию можно записать φ φ φ 2φ 2φ 2φ 2 φ i j k , тогда Δφ φ 2 2 2 , dx y z x y z где i , j , k – орты декартовой системы координат. Оператор ставит в соответствие произвольной скалярной функции φ векторную функцию с проекциями на оси декарφ φ φ , , товой системы координат . x y z циями В развернутом виде в декартовой системе координат, учитывая, что Δξ 2ξ x 2 2ξ y 2 2ξ z 2 , трехмерное волновое уравнение записывается следующим образом: 49 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 2ξ x 2 2ξ y 2 2ξ z 2 1 2ξ V 2 t 2 . Любая функция вида ξ(r , t ) ξ(Vt r ) является решением волнового уравнения, здесь ξ(r , t ) ξ( x, y, z, t ) , где r – радиусвектор, которому можно сопоставить три декартовые координаты ( x, y, z ) . Таким об разом, любая периодическая функция, зависящая от времени t и координат r , яв ляется волной, если r и t связаны по закону r Vt . Если волна распространяется вдоль одного направления, тогда уравнение становится одномерным волновым уравнением. Одномерное волновое уравнение при распространении волны вдоль оси Ox имеет вид 2ξ 1 2ξ . x 2 V 2 t 2 Являющиеся его решением функции вида ξ (Vt x) описывают плоские волны: ξ(Vt x) – плоская бегущая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси x ; ξ(Vt x) – плоская бегущая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси x . Здесь t – время, x – координата, V – скорость распространения волны. Характеристики волн естественно связаны с характеристиками колебаний волны. Безразмерный аргумент функции ξ (r Vt ) , описывающей волновой процесс, называется ф а з о й в о л н ы . Фаза плоской волны ξ (Vt x) ξ ω t вид ω t x имеет V x . Здесь ω – частота колебаний, называемая для волнового процесса V частотой волны. Скорость распространения колебаний, которую мы назвали скоростью волны, является ф а з о в о й с к о р о с т ь ю в о л н ы . Она определяет скорость, с которой перемещается поверхность постоянной (одинаковой) фазы волны. Минимальное расстояние между двумя точками, в которых фаза колебаний одинакова в один и тот же момент времени, называется д л и н о й в о л н ы λ . Волна (плоскость постоянной фазы волны) проходит за один период колебаний T путь, равный длине волны λ . То есть, λ VT . Волна называется г а р м о н и ч е с к о й , если распространяющиеся колебания являются гармоническими. 50 Волновая физика График плоской волны График монохроматической плоской волны x x Для гармонических волн вводят понятие а м п л и т у д ы в о л н ы , которая равна амплитуде гармонических колебаний в данной точке пространства. И н т е н с и в н о с т ь ю в о л н ы называется количество энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную распространению волны. Для гармонических волн интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны. В о л н о в ы м ч и с л о м называют величину, равную отношению частоты колебаний к фазовой скорости волны k ω 2π 2π . Тогда плоскую волну, являю V TV λ щуюся решением одномерного волнового уравнения, можно представить в виде ξ(ωt kx) . Если волновое уравнение трехмерное, то его решением может быть плоская вол- на, которую можно записать в виде ξ (ωt k r ) , где k – в о л н о в о й в е к т о р , направление которого совпадает с направлением распространения волны, а величина равна волновому числу k волну. 2π ; r – радиус-вектор точки, в которой рассматриваем λ Основные понятия физики волн мы определили, и далее мы будем рассматривать волновые процессы на примере э л е к т р о м а г н и т н ы х в о л н , частным случаем которых являются световые волны или свет. Э л е к т р о м а г н и т н а я в о л н а – процесс распространения в пространстве возмущения электромагнитного поля. Существование электромагнитных волн является следствием уравнений Максвелла. Для электромагнитного поля вдали от порождающих его свободных зарядов и макротоков эти уравнения имеют вид дB дt dS ; ( L) (S ) дD H dl дt dS ; ( L) (S ) Edl D dS 0 ; (S ) B dS 0 . (S ) 51 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Если среда однородна и изотропна, то D εε 0 E и B μμ0 H . В этом случае уравнения Максвелла можно переписать дH дt dS ; ( L) (S ) дD H dl εε 0 дt dS ; E dl μμ0 ( L) E dS 0 ; (S ) H dS 0 . (S ) (S ) Если из этих уравнений вывести уравнения для векторов напряженностей E и H , то получим волновые уравнения 2H 2E ΔE ε 0μ 0 εμ 2 и ΔH ε 0μ 0 εμ 2 . t t Это значит, что напряженности E и H переменного электромагнитного поля в однородной, изотропной, непроводящей, нейтральной среде должны удовлетворять волновому уравнению, то есть переменное электромагнитное поле будет распространяться в пространстве в виде волны. Сравнивая полученные уравнения с волновым уравнением, записанным в общем виде, Δξ 1 2ξ V 2 t 2 , находим фазовую скорость электромагнитных волн 1 ε 0μ 0 V 1 м 1 c 3 108 . или V , где c с εμ 0 0 εμ В вакууме ε μ 1 c 3 108 и, соответственно, V c . Таким образом, величина м есть скорость распространения электромагнитных волн в вакууме. c Из уравнений Максвелла следует также, что в однородной и изотропной среде k, E k k, H μμ0 H, εε 0 k εε 0 E, μμ0 где квадратные скобки обозначают, как обычно, векторное произведение векторов. Откуда видно, что электромагнитные волны в однородной изотропной среде пред- ставляют собой поперечные волны ( E k и H k ), кроме того, вектор напря женности электрического поля E перпендикулярен вектору напряженности маг нитного поля Н , и оба поля колеблются в фазе. Векторы E и Н вместе с волновым вектором k образуют правую тройку векто- ров ( E , H , k ) . То есть при вращении правого буравчика от первого вектора ко второму в сторону меньшего угла его поступательное движение будет направлено по третьему вектору. Циклические перестановки векторов H , k , E или k , E , H также будут образовывать правую тройку. 52 Волновая физика Если ось Ox выбрана по направлению распространения волны, то ось Oy можно выбрать так, что вектор напряженности электрического поля плоской монохроматической электромагнитной волны будет направлен по оси Oy E y E0 cos(ωt kx φ) , тогда E x E z 0 . Вектор напряженности магнитного поля этой волны будет иметь составляющие H z H 0 cos(t kx ) и H x H y 0 . На рисунке представлен случай и x 0 при t 0 , тогда E y E0 sin( ωt kx) и H z H 0 sin(ωt kx) . 2 y E V x z B Электромагнитные волны, как любые волны, не переносят вещество – это распространяющиеся электрические и магнитные поля, они переносят электромагнитную энергию. Для характеристики переноса энергии используют векторное произведение напряженностей электрического и магнитного поля – в е к т о р П о й н т и н г а (J. Poynting, 1852–1941), введенный Джоном Пойнтингом в 1884 году S E, H . Вектор S является вектором плотности потока электромагнитной энергии. Он показывает, в каком направлении и какое количество энергии переносится за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно распространению волн. По определению интенсивности волны она равна среднему значению модуля вектора Пойнтинга, при этом усреднение должно проводиться или за целое число периодов или за время, много большее периода колебаний, I S εε 0 2 μμ0 E H2 . μμ0 εε 0 Электромагнитные волны кроме энергии переносят импульс, и поскольку волны поглощаются и отражаются, они передают импульс поглощающей или отражающей поверхности, то есть оказывают на нее давление. Полученное Дж. Максвеллом в 1873 году выражение для давления плоской монохроматической электромагнитной волны при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения R P 1 εε 0 E 2 (1 R) 2 53 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ было экспериментально доказано в 1900 году П. Н. Лебедевым (1866–1912). Из-за малости величины давления, например, давление света Солнца на поверхность Земли составляет P 5 мкПа , измерение давления потребовало изобретательности и мастерства. При падении плоской волны на поверхность под углом давление, оказываемое волной на поверхность, описывается выражением 1 P 0 E 2 (1 R) cos2 . 2 То, что свет ведет себя подобно волне, было установлено за много лет до Максвелла. Но никто не мог сказать, что это за волна, то есть распространением каких именно колебаний является свет. Максвелл, основываясь на своей теории, утверждал, что свет – это электромагнитная волна. Эта точка зрения постепенно получила признание, хотя большинство ученых поначалу считали волны, получающиеся из уравнений Максвелла, абстрактными волнами, не имеющими физического смысла. Окончательно точка зрения Максвелла получила признание лишь после того, как в 1887 году Генриху Герцу (H. Hertz, 1857–1894) впервые удалось генерировать и наблюдать электромагнитные волны на опыте. В качестве источника электромагнитных волн был использован колебательный контур. Герц, уменьшая число витков катушки индуктивности, а также разворачивая пластины конденсатора, чтобы они лежали в одной плоскости, перешел от закрытого колебательного контура, переменное электрическое поле в котором сосредоточено между пластинами конденсатора, а магнитное – внутри катушки индуктивности, к открытому колебательному контуру – в и б р а т о р у Г е р ц а , переменное поле которого заполняет окружающее его пространство. Имея широкий диапазон частот ν ω V (или длин волн λ VT ), электро2π ν магнитные волны отличаются друг от друга по способам создания и регистрации, а также по своим свойствам. Электромагнитные волны условно делят на несколько групп: Радиоволны Световые волны инфракрасное излучение видимый свет ультрафиолетовое излучение Рентгеновское излучение -излучение ν , Гц λ,м 103 10 4 5 104 109 5 10 4 7,5 10 7 3 105 3 1012 6 1011 3 1017 6 1011 4 1014 7,5 10 7 4 10 7 4 1014 7,5 1014 4 107 109 2 109 6 1012 7.5 1014 3 1017 1.5 1017 5 1019 меньше 6 10 12 больше 5 1019 О п т и ч е с к и м и з л у ч е н и е м или с в е т о м называются электромагнитные 9 4 волны, длины волн которых лежат в диапазоне 10 5 10 м . Свет включает в себя инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение. 54 Волновая физика Границы между диапазонами волн условны и в разных справочниках слегка отличаются. Для видимого диапазона удобнее запоминать интервал длин волн (0,4 0,75) 10 6 м и интервал частот (0,4 0,75) 1015 Гц , так как в этом случае они имеют похожий вид. Следует помнить то, что длина волны 0,4 10 6 м соот15 ветствует частоте 0,75 10 Гц , а 0,75 10 м – частоте 0,4 10 Гц . 6 15 В произвольной среде скорость света не превосходит скорости света в вакууме V с с , так как ε 1, μ 1 . Это выражение можно записать так εμ c V , где n εμ . n Введенная новая величина n называется о п т и ч е с к о й п л о т н о с т ь ю с р е д ы или абсолютным показателем преломления среды . Он показывает, во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме n c . Или, V другими словами, во сколько раз длина волны света в среде λ меньше длины волны света в вакууме λ 0 c cT λ 0 λ VT T . n n n Для немагнитных сред (например, вода, стекло и многие другие прозрачные среды) μ 1 и, следовательно, n ε. 55 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Тема: Интерференция волн Вопросы: 1. Понятие об интерференции волн. Примеры. 2. Классические опыты по интерференции. 3. Когерентные волны. Условие когерентности. Характеристики когерентности. 4. Оптическая разность хода и геометрическая разность хода. 5. Условия максимумов и минимумов интерференции. 6. Пространственная когерентность волн. Условие хорошей контрастности и условие исчезновения интерференционной картины. 7. Временная когерентность волн. Ограничение порядка наблюдаемых максимумов. 8. Стоячая волна. Условия ее образования. 9. Опыт Юнга. Ширина интерференционных максимумов. 10. Интерференция в тонких пленках. Полосы равной толщины, полосы равного наклона. Просветление оптики. 11. Кольца Ньютона. И н т е р ф е р е н ц и е й в о л н называется взаимодействие конечного числа волн, при котором происходит устойчивое во времени их усиление в одних точках пространства и ослабление в других точках. Интерферировать могут только когерентные волны. Волны называются к о г е р е н т н ы м и (от лат. cohaerentia – связь), если разность фаз между колебаниями волн в одной точке пространства постоянна. И н т е р ф е р е н ц и е й с в е т о в ы х в о л н называется устойчивое перераспределение светового потока при взаимодействии конечного числа (двух и более) когерентных волн. Если на пути света установить непрозрачный экран, то в результате перераспределения светового потока на экране возникает и н т е р ф е р е н ц и о н н а я к а р т и н а , состоящая из чередующих более светлых и более темных областей. Для возникновения интерференционной картины световые волны должны быть когерентными. В классических экспериментах по интерференции когерентные волны получают от одного источника, для чего один световой луч разделяют на несколько лучей. Описывая свет, обычно говорят о векторе Е , который называют световым вектором. Это связано с тем, что действие света обычно обусловлено действием именно электрического поля. Мы, рассматривая свет, также будем говорить о напряженности электрического поля Е . Рассмотрим классические опыты по интерференции. S1 S И S2 56 Э 1. Опыт Юнга (1801 г.) В эксперименте источником света служит ярко освещенная щель S , световая волна от которой проходит две равноудаленные щели S1 и S 2 , параллельные щели S . Интерференционная картина наблюдается на экране Э (область И ) . Интерференция волн 2. Зеркала Френеля (1816 г.) Для опыта использовались два зеркала, расположенные под углом друг к другу, близким к 1800, и источник света S , который отражается в обоих зеркалах. Световые лучи, отразившиеся от зеркал, можно считать вышедшими из мнимых источников S1 и S 2 , являющихся мнимыми изображениями S в зеркалах. Мнимые источники когерентны, и исходящие из них пучки света интерферируют в области перекрытия. Интерференционная картина наблюдается на экране Э в области И , закрытой защитным экраном З от прямого попадания света. З Э S И S1 S2 2. Бипризма Френеля Для получения интерференции использовалась бипризма, состоящая из двух сложенных основаниями одинаковых призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах. Преломленные лучи можно считать исходящими из мнимых источников S1 и S 2 , являющихся когерентными. На экране Э в области И наблюдается интерференционная картина. Э S1 И S S2 3. Билинза Бийе В опыте использовалась собирающая линза, разрезанная пополам, с раздвинутыми половинами. На полученную билинзу направляют свет от щели S , параллельной плоскости разреза. В S1 и S 2 получаются действительные изображения щели. Пучки света, проходящие через S1 и S 2 , когерентны, и на экране в области перекрытия и будет наблюдаться интерференционная картина. Э S1 И S S2 Независимо от способа получения интерференционной картины в любом случае необходимы когерентные источники, испускающие когерентные волны. Опыты по интерференции отличаются используемыми приспособлениями для создания этих источников, например, устройствами для отражений и преломлений, обеспечивающих наложение одной световой волны на другую. Рассмотрим наложение волн более подробно. Будем рассматривать колебания одного направления и ограничим наше рассмотрение только наложением двух лучей 57 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ (двухлучевой интерференцией). По принципу суперпозиции напряженность результирующего электрического поля световой волны будет равна сумме напряженностей электрического поля обеих волн E E1 E2 . Частота световых волн такова, что ни один приемник света не позволяет измерить мгновенное значение электрического (или магнитного) поля в световой волне. Все приемники (в том числе и глаз) инерционны и могут измерять только величины, квадратичные по полю, усредненные по времени. В явлениях интерференции, дифракции и пр. представляют интерес не абсолютные, а только относительные значения этих величин, например, относительное распределение освещенности на экране, куда попадает свет. Поэтому нет необходимости точно знать значение энергетической или фотометрической величины, которую мы регистрируем. Все значения будут относиться к любой усредненной по времени величине, квадратичной по напряженности электрического поля. Такой величиной является введенная нами ранее интенсивность волны. Для световых волн интенсивность волны называют и н т е н с и в н о с т ь ю с в е т а I ~ E 2 . Эту величину мы и будем использовать для описания интерференции. Найдем интенсивность света в некоторой точке пространства, где перекрываются два пучка света I ~ E 2 ( E1 E2 ) 2 E12 E22 2 E1E2 или I I1 I 2 I12 , здесь I1 , I 2 – интенсивности первой и второй световых волн. Последнее слагаемое I12 2 E1E2 , учитывающее взаимодействие световых волн, называется интерференционным слагаемым. Угловые скобки означают усреднение за время, много большее периода колебаний. Если источники первой и второй волны независимы, то волны некогерентные и I12 0 , а I I1 I 2 . Этот результат согласуется с повседневным опытом. Две одинаковые лампы светят в два раза сильнее, чем одна. Все естественные источники света некогерентны. Если световые пучки не независимы, например, один получается отражением другого, то в некоторых точках пространства I12 0 (пример – рассмотренные опыты по интерференции). В одних точках пространства I12 0 и I I1 I 2 , в других I12 0 и I I1 I 2 . Это и есть явление интерференции. Рассмотрим более подробно, что собой представляет интерференционное слагаемое, определяющее результат интерференции. Когда обе волны монохроматичны, в точке наблюдения будут гармонические колебания E1 E10 sin(ω1t φ1 ) и E2 E20 sin(ω2t φ 2 ) . Интерференционное слагаемое будет равно I12 2 E10 E20 sin(ω1t φ1 ) sin(ω2t φ 2 ) E10 E20 cos(ω1 ω2 )t (φ1 φ 2 ) cos(ω1 ω2 )t (φ1 φ 2 ) . 58 Интерференция волн Поскольку среднее суммы равно сумме средних, то I12 E10 E20 cos(ω1 ω2 )t (φ1 φ 2 ) E10 E20 cos(ω1 ω2 )t (φ1 φ 2 ) . Заметим, что среднее значение функции типа cos(Ωt φ) будет равно нулю, если частота Ω 0 . Ненулевое среднее значение такой функции может быть только в случае, если частота колебаний Ω 0 . Во втором слагаемом выражения для I12 частота Ω ω1 ω2 0 , поскольку и ω1 0 , и ω2 0 , поэтому значение этого слагаемого будет нулевым E10 E20 cos(ω1 ω2 )t (φ1 φ 2 ) 0 . В первом слагаемом, если ω1 ω2 , то частота колебаний Ω ω1 ω2 0 . В этом случае I12 E10 E20 cos(φ1 φ 2 ) . При этом, если разность начальных фаз 2 1 меняется случайным образом с течением времени, то cos(φ1 φ 2 ) 0 . Тогда интерференционное слагаемое I 12 будет равно нулю. И только в случае, когда φ1 φ 2 const , интерференционное слагаемое I12 будет отлично от нуля, I12 E10 E20 cos(φ 2 φ1 ) 0 . Так как I1 E10 cos(ω1t φ1 ) 2 1 2 1 2 2 E10 cos2 (ω1t φ1 ) E10 и I 2 E20 , то 2 2 интерференционное слагаемое будет равно I12 2 I1 I 2 cos(φ 2 φ1 ) . Таким образом, мы выяснили, что интерференционное слагаемое может быть отлично от нуля ( I12 0 ) только, когда ω1 ω2 и φ 2 φ1 const , и мы нашли выражение для интерференционного слагаемого при данных условиях. Необходимые для интерференции условия ω1 ω2 и φ 2 φ1 const и есть у с л о в и я к о г е рентности волн. Пользуясь полученным выражением для интерференционного слагаемого, разберемся с тем, что же будет наблюдаться на экране при интерференции. В точках, где колебания первой и второй волн будут в фазе (синфазны), то есть, где φ 2 φ1 0 или φ 2 φ1 2mπ , здесь m 1,2,... – целое число, значение cos(φ 2 φ1 ) 1 и интенсивность света будут максимальна (максимумы интерфе- ренции) I I1 I 2 2 I1 I 2 – усиливающая (конструктивная) интерференция. Условие Δφ 2mπ называется условием максимумов интерференции. 59 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Если обе волны имеют одинаковую интенсивность I1 I 2 I 0 , то результирующая интенсивность света в точках, где выполняется условие максимумов, будет в четыре раза больше, чем интенсивность одной волны I 4I 0 . В точках, где колебания будут в противофазе, то есть, где φ 2 φ1 (2m 1) π , здесь m 1,2,... – целое число, там cos(φ 2 φ1 ) 1 , и результирующая интенсивность света будет минимальна (минимумы интерференции) I I1 I 2 2 I1 I 2 – ослабляющая (деструктивная) интерференция. Условие Δφ (2m 1) π называется условием минимумов интерференции. Если I1 I 2 I 0 , то I 0 – света в данных точках экрана нет. Волны полностью погасят друг друга. Результат интерференции в некоторой точке пространства (экрана) зависит от разности фаз колебаний когерентных волн в этой точке. Фаза же колебаний волны в данной точке зависит от пройденного волной пути. Обеспечим прохождение одной светоL1 вой волны от источника S в точку наблюn1 дения P по пути длиной L1 через среду с S P E0 cost L2 n2 показателем преломления n1 , а второй световой волны – через среду с n 2 по пути длиной L2 . Колебания первой световой волны в L L точке P имеют вид E1 E0 cos t 1 . И 1 t 1 – фаза колебаний V1 V1 первой волны в момент времени t в точке P . Колебания в этой же точке второй волны L L E2 E0 cos t 2 , и фаза колебаний 2 t 2 . Здесь V1 и V2 – фазовые V2 V2 скорости первой и второй волн, соответственно. Тогда разность фаз будет равна 2 1 t 2 (n2 L2 n1L1 ) , L2 t L1 V2 V1 c ω 2π 2πc ω ω n , здесь λ cT n , так как V , или – длина волны света n V λ ω V c ω 2π ω 2π n1 и n . в вакууме. То есть, V1 λ V2 λ 2 Выражение n2 L2 n1L1 называют о п т и ч е с к о й р а з н о с т ь ю х о д а . Если n1 n2 1 , то оптическая разность хода равна г е о м е т р и ч е с к о й р а з н о с т и х о д а r L2 L1 . где 60 Интерференция волн В общем случае 2 1 2π 2 (n2 L2 n1L1 ) или Δφ Δ . λ Если n1 const и n2 const , то оптическая разность хода находится интегри- рованием n 2 dl n1 dl . Здесь первый интеграл берется по пути второй волны в своей среде, а второй – по пути первой волны в своей среде. Условия максимумов и минимумов можно записать для оптической разности хода, так как Δφ 2π 2π Δ , то при Δ 2mπ получаем λ λ Δ mλ 2m λ – условие максимумов 2 – оптическая разность хода равна целому числу длин волн или четному числу полуволн. Соответственно, 1 λ Δ m λ (2m 1) – условие минимумов 2 2 – оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн или нечетному числу полуволн. Почему же мы не наблюдаем интерференции света, например, от двух ламп. Дело в том, что все естественные источники дают некогерентный свет. Более того, абсолютно когерентных источников не существует. Это идеализация. В реальных случаях более уместно говорить о степени когерентности света. Для определения степени когерентности рассматривают по отдельности п р о с т р а н с т в е н н у ю к о г е р е н т н о с т ь , для количественного описания которой используют ρ ког – радиус когерентности, и в р е м е н н ỳ ю к о г е р е н т н о с т ь , для описания которой используют τ ког – время когерентности и Lког cτ ког – длину когерентности. Рассмотрим сначала пространственную когерентность. Если свет монохроматичен, тогда в идеальном случае точечного источника на экране будет наблюдаться устойчивая интерференционная картина. Увеличение размеров источника приводит к ухудшению ее контрастности и к полному исчезновению. Это связано с тем, что максимумы интерференционных картин точечных источников части протяженного источника наложатся на минимумы интерференционных картин точечных источников другой части протяженного источника, и общая интерференционная картина исчезнет. Для получения интерференционной картины необходимо, чтобы размер каждого источника не превосходил определенного предела, зависящего от взаимного расположения источников и расстояния между ними, а также положения экрана. Источники называются пространственно когерентными, если их размеры и положения позволяют наблюдать интерференцию. 61 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Если волны от крайних точек S и S протяженного источника выходят симметрично для некоторой точки экрана P , и α – угловой размер источника, то условие хорошей контрастности для этого источника будет иметь вид S P S l sin α λ , или l 2 2 λ α 2 sin 2 . Под р а д и у с о м к о г е р е н т н о с т и понимают минимальное расстояние между двумя точками протяженного источника, расположенными на плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны, при котором интерференционная картина от световых волн, излучаемых этими точечными источниками, исчезает. Для источника, размеры которого равны радиусу когерентности, интерференционные картины от двух половин источника, накладываясь, дают равномерную освещенность экрана. Радиус когерентности определяется из условия исчезновения интерференционной картины при l ρ ког . Тогда радиус когерентности можно выразить через угловой размер источника ρ ког λ 2 sin α 2 . При малых углах sin ρ ког α α , следовательно, 2 2 λ . α Радиус когерентности обратно пропорционален угловому размеру источника из точки наблюдения, чем меньше α , тем больше радиус когерентности. Для строго плоских идеальных волн (излучаемых бесконечно удаленным источником) все направления лучей параллельны, α 0 , и они пространственно абсо- λ лютно когерентны ρ ког . Для реальных источников (не бесконечно удаленα ных) пространственная когерентность повышается (растет ρ ког ) по мере удаления от источника. Например, свет звезд обладает высокой степенью когерентности. Высокой пространственной когерентностью обладает излучение лазеров, световые лучи которых характеризуются высокой направленностью. В классическом опыте Юнга (T. Young, 1773–1829) источником света S служила освещенная узкая щель угловым размером 5 10 4 рад . За щелью S на расстоянии d друг от друга были расположены две щели S1 и S 2 . Для наблюдения инλ терференции должно выполняться условие d ρ ког . Чтобы выполнить это услоα вие для средней длины волны излучения 550 нм, Юнг расположил щели S1 и S 2 на расстоянии d ную картину. 62 5,5 10 7 1 мм , и ему удалось наблюдать интерференцион 5 10 4 Интерференция волн При d λ интерференционная картина пропадает. Опыт, аналогичный опыту α Юнга, за 150 лет до него был осуществлен в 1665 году Франческо Гримальди (F. Grimaldi, 1618–1683). В опыте Гримальди первой щели S не было, и свет падал прямо от Солнца. Угловой размер Солнца 30 0,0087 рад , тогда для получения интерференционной картины было необходимо, чтобы щели S1 и S 2 находились на расстоянии d 6 10 4 нм 0,06 мм . Это условие в опыте Гримальди не было выполне но, и интерференционную картину Гримальди получить не удалось. Перейдем к рассмотрению временнòй когерентности. Мы рассматривали строго монохроматические волны одной и той же частоты. Такие волны, излучаемые идеальными (точечными) источниками, когерентны, то есть всегда интерферируют. Интерференционная картина таких источников устойчива, распределение интенсивности на экране неизменно во времени. Излучение реальных источников не является строго монохроматичным и, если они независимы, то усиление и ослабление светового потока при их наложении недоступны наблюдению. Поясним это на модели идеализированных источников, излучающих почти монохроматические волны, амплитуда и фаза которых хаотически изменяется за время, много большее периода колебаний. Такая волна представляет собой совокупность «обрывков» гармонических волн разной амплитуды и фазы. Примером может служить излучение изолированного атома, который в 8 течение 10 с испускает ряд волн или, как при нято говорить, ц у г в о л н , независимо следующих друг за другом. При наложении света цугов двух атомов на экране получится некоторая интерференционная картина, которая определяется разностью фаз между колебаниями обоих цугов. За одну секунду сотни миллионов раз сменятся пары цугов, хаотически изменится разность фаз, и столько же интерференционных картинок промелькнет на экране. Глаз или другой приемник света не в состоянии уследить за этой сменой картин и фиксирует только равномерную освещенность экрана. Рассмотрим идеализированный немонохроматический источник. Допустим, что свет источника S представляет волны с длинами волн из диапазона (λ, λ δλ) . Если для некоторой точки экрана разность хода для волн с длинами волн λ и λ λ δλ 2 1 λ , то волны с длиной волны λ 2 придут в эту точку в фазе, а с длиной волны – в противофазе. В этом случае максиδλ мумы интерференционных картин диапазона λ, λ наложатся на минимумы ин2 будет определяться выражением Δ Nλ N 63 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ терференционных картин диапазона λ δλ , λ δλ , и интерференционные полосы 2 исчезнут. Условие исчезновения полос будет Nλ N N 1 λ или 2 λ λ . 2(λ λ) δλ Максимумы и минимумы с номерами, меньшим, чем N , будут видны, а с номером порядка N и более будут смазаны. Это означает, что квазимонохроматические волны, когерентные при низких порядках интерференции, перестают быть когерентными при высоких порядках N λ . δλ Нарушение когерентности в данном случае связано с запаздыванием одних волн по сравнению с другими. Поэтому и говорят о временнòй когерентности, количественной характеристикой которой является τ ког – время запаздывания между волнами, при котором интерференционная картина пропадает, которое называют в р е м е н е м к о г е р е н т н о с т и . За время когерентности волна проходит расстояние, равное длине когерентности. Д л и н о й к о г е р е н т н о с т и называется минимальная разность хода между двумя волнами вдоль направления распространения волны, при которой интерференционная картина пропадает, и волны нельзя считать когерентными. По определению Lког – разность хода между волнами, при которой пропадает интерференционная картина, таким образом Lког λ2 Nλ . δλ Lког λ2 Тогда время когерентности τ ког , где V – фазовая скорость волны. V Vδλ 1 V Vδλ Поскольку частота волны ν , то δν 2 , и тогда τ ког . δv λ λ Принято считать, что наибольший порядок наблюдаемого максимума интерференции определяется из условия N max Lког . λ Для теплового источника (например, электрической лампочки), испускающего весь диапазон длин волн 10 15 соответственно, Гц , время когерентности, ког 1 10 15 с и, Lког 10 7 м . Для этих источников в видимой области при ~ 10 7 м максимальный порядок N max 1 , и интерференционная картина не наблюдается. Для лазерных источников, генерирующих достаточно монохроматические волны с 64 10 2 Гц , время когерентности ког 10 2 с , и длина когерентности Интерференция волн Lког 106 м . В принципе, используя лазерные источники, можно наблюдать интерференцию с разностью хода в несколько километров, но в реальности при большой разности хода сказываются неоднородность земной атмосферы и трудности создания стабильного интерференционного устройства таких размеров. После обсуждения понятия когерентности света перейдем непосредственно к рассмотрению интерференции, и далее всегда будем считать волны когерентными, то есть расстояние между источниками будем считать меньше радиуса когерентности, а разность хода меньше длины когерентности. При необходимости будем указывать условия, обязательные для выполнения этих требований. Самый простой случай интерференции – образование с т о я ч е й в о л н ы , являющейся результатом наложения распространяющихся навстречу друг другу бегущих волн (часто это падающая и отраженная от преграды волны). Пусть накладываются две плоские волны, распространяющиеся вдоль оси Ox , первая – в положительном направлении, вторая – навстречу, E1 E0 cos(ωt kx) и E2 E0 cos(t kx ). φ φ Е Е1 Е2 2 Е0 соs kx cos ωt является 2 2 φ с т о я ч е й в о л н о й , представляющей собой колебания A( x) cos ωt с ампли2 φ тудой A( x) 2 E0 cos kx , зависящей от координаты х точки стоячей волны. 2 Суммарная волна Точки, в которых амплитуда стоячей волны равна нулю, A( x) 0 , называются у з л а м и , их положение определяется условием φ 1 k узл ( m ) x m π или 2 2 Пучности A(x) 2π φ 1 x узл ( m ) m π . λ 2 2 Расстояние между узлами λ Δx узл х узл ( m 1) х узл ( m) . 2 x Узлы Точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна, A( x) max 2 E0 , называются пучностями, их положение определяется условием φ 2π φ mπ или хпуч ( m ) mπ . Расстояние между пучностями также, 2 λ 2 как и для узлов равно половине длины волны, х пуч . 2 kxпуч ( m ) 65 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Для стоячих электромагнитных волн положения пучностей напряженности электрического поля E совпадает с узлами индукции магнитного поля B , и наоборот. Это позволяет разделить магнитное и электрическое поле в стоячей волне. Получение стоячих электромагнитных волн сопряжено с трудностями, связанными с малостью длины волны. Кроме того, необходимо, чтобы между областью интерференции и отражающей поверхностью было расстояние меньше длины когерентности Lког . Получение стоячих звуковых волн с частотами, например, около v 1 кГц , не вызывает никаких проблем. Скорость звука в воздухе приблизительно равна V 330 м/с (точное значение зависит от температуры воздуха). Нестабильность частоты может быть легко достигнута порядка 10 Гц . Следовательно, для этих волн 1 33 м . Наблюдение пучностей (и узлов), расстоя ние между которыми l 15 см , в столбе воздуха длиной 1 м не представляет экспе 33 см , а Lког V ког V риментальных трудностей. Заметим, что стоячая волна в отличие от бегущей волны не переносит энергию. Можно сказать, что падающая волна переносит энергию в одну сторону, а отраженная навстречу, в результате энергия не переносится. Для стоячих электромагнитных волн энергия, не распространяясь, колеблется, переходя из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и обратно. Перейдем к подробному рассмотрению другого примера интерференции (уже неоднократно упоминавшемуся опыту Юнга). Найдем положение точек экрана, соответствующих максимумам или минимумам (светлым и темным областям). Для этого нужно найти разность хода L2 L1 для произвольной точки с координатой x , где L L1 – путь, проходимый светом до точки х 1 х S1 d от источника S1 , L2 – от источника S 2 . 0 2 Сначала найдем разность квадратов d S2 L2 L дв d 2 экран 2 L22 2 d d L x и L12 L2 x , 2 2 2 2 2 2 d 2 d d2 d2 2 2 L x L x x xd x xd 2 xd . 2 2 4 4 2 2 Тогда ( L2 L1 )(L2 L1 ) ( L2 L1 ) 2 xd . В опыте Юнга расстояние d между источниками мало (для пространственной когерентности), x мало (для временной когерентности), то есть d L и x L . При этом можно считать, что L1 L2 L и L1 L2 2 L . xd Тогда получаем Δ 2L 2 xd , и разность хода Δ . L L22 66 L12 Интерференция волн Соответственно, используя условие максимумов интерференции Δ mλ и усло- 1 Δ m λ , получаем для 2 xmax d x d 1 mλ , и минимумов min m λ . Тогда их координаты L 2 L 1 m λL 2 mL xmin xmax , . d d вие минимумов интерференции Расстояние между максимумами Δxmax xmax ( m1) xmax ( m) Расстояние между минимумами Δxmin xmin ( m1) xmin ( m ) максимумов (m 1)λL mλL λL . d d d 1 (m 1) λL 2 λL . d d Таким образом, светлые и темные области при использовании щелей в качестве источников будут представлять собой полосы, равноотстоящие друг от друга, при этом середина светлой полосы будет расположена строго межI ду темными, а середина темной полосы строго посередине между светлыми. Ширина полос Δx λL . Распредеd ление интенсивности света представлено на рисунке. x Заметим, что условия максимумов и минимумов 2L L L 2L зависят от длины волны, сле d 0 d d d довательно, если свет не монохроматический (содержит волны разной длины волны), то для каждой волны получится своя картина интерференции. Полосы для различных длин волн будут иметь разную толщину и будут находиться на разном расстоянии друг от друга (в зависимости от длины волны). Перейдем к следующему примеру интерференции – интерференция в тонких пленках. Пусть тонкая пленка толщиной d с оптической плотностью n находится в воздухе, и под углом i на пленку падает пучок монохроматического света. Для тонких пленок, если d Lког , будет наблюдаться интерференция волн (лучей), отраженных от передней и задней поверхностей пленки. Результат интерференции определяется разностью фаз 1 -го и 2 -го лучей. Если свет белый, то, как мы получили ранее, Lког , тогда для наблюдения интерференции толщина пленки d должна быть d Lког λ . При этом, если d , 67 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ то, как мы увидим, будет наблюдаться только центральный минимум, и пленка в отраженном свете становится темной. Рассмотрим монохроматическую волну с длиной волны λ . Найдем разность хода Δ лучей 1 1 и 2 2 . До отрезка АВ волны 1 и 2 пройдут одинаковый путь. И от точки D вол1 2 ны 1 и 2 пройдут одинаковый путь. 2 Точки отражения луча 2 и выхода луча 1 B r 1 i совпадают, хотя на рисунке они для наглядности разнесены. Тогда C Δ n( AE ED) BD . n A D d Из рисунка AE ED d ; cos γ BD ADsin r , где γ – угол преломления, r – угол отражения. Так как E AD 2 AC , AC d tgγ , r i , то разность хода будет равна 2nd 2nd 2nd sin γ Δ 2d tgγ sin i sin γ 2nd cos γ . cos γ cos γ cos γ Воспользовавшись законом преломления sin i n sin γ , получим Δ 2nd cos γ 2nd 1 sin 2 γ 2d n 2 sin 2 i . Окончательное выражение для оптической разности хода получим, если учтем скачкообразное изменение фазы на при отражении луча от более плотной среды – λ Δφ π или Δ . Тогда оптическая разность хода будет равна 2 λ Δ 2d n 2 sin 2 i . 2 Заметим, что здесь законы отражения, преломления и изменения фазы волны при отражении мы использовали без обоснования, поскольку все эти законы мы рассмотрим, когда будем изучать взаимодействие света с веществом. Запишем условия максимумов и минимумов интерференции в тонких пленках ( m – целое число). Условие максимумов 2d n 2 sin 2 i 1 λ mλ или 2d n 2 sin 2 i m λ . 2 2 Условие минимумов 2d n 2 sin 2 i λ λ mλ или 2d n 2 sin 2 i mλ . 2 2 При этих условиях максимумы и минимумы будут наблюдаться в отраженном от пленки свете. 68 Интерференция волн Чтобы получить условия максимумов и минимумов в проходящем свете, нужно найти разность хода лучей 1 и 2 . Геометрическая разность хода будет такая же, как и для отраженных лучей 1 и 2 , но луч 1 дважды отражается от более плотной среды, поэтому для нахождения оптической разности хода Δ нужно прибавить не λ , 2 λ λ , или, что для интерференции то же самое, ниче2 го не прибавлять. Тогда условия максимумов и 1 2 как для отраженного света, а 2 минимумов будут иметь вид, обратный по сравнению с условиями для отраженного света i 2d n 2 sin 2 i mλ – максимумы, 1 2d n sin i m λ – минимумы. 2 2 n 2 A B C D d Соотношение между отраженным и преE 2 ломленным светом легко объяснимо из закона 1 сохранения энергии. Когда максимум света отражается, то минимум света проходит, и наоборот. Полная энергия световой волны сохраняется, распределяясь между отраженными и прошедшими лучами. Если пленка имеет постоянную толщину, то условия максимумов и минимумов интерференции зависят только от угла падения. Получающиеся при этом полосы интерференции называются п о л о с а м и р а в н о г о н а к л о н а . Интерференционную картину можно наблюдать либо на бесконечности, либо на экране с помощью собирающей линзы. Для света с разными длинами волн минимумы и максимумы будут наблюдаться при разных условиях (углах), так как условия максимумов и минимумов зависят от . Если толщина пленки не постоянна, то при освещении пленки параллельными лучами оптическая разность хода будет меняться от точки к точке. Условие интерференции будет одинаковыми, для точек с одинаковой толщиной пленки d . Получаемые интерференционные полосы называются п о л о с а м и р а в н о й т о л щ и н ы , их можно 2 3 1 увидеть на самой пленке. Поскольку условие максимумов интерференции зависит от длины волны, то для света разных длин волн максимумы будут в d1 d2 разных точках пленки. При освещении пленки d3 белым светом на пленке наблюдаются окраd1 шенные полосы равной толщины, например, радужная пленка бензина на воде. Еще раз отметим, что для наблюдения интерференции в тонких пленках, необходимо, чтобы разность хода Δ 2d n sin i была меньше длины когерентности. При нормальном падении i 0 , это требование примет вид 2dn Lког . Поэтому ин2 2 терференция в белом свете, для которого Lког 10 для субмикронных пленок. 6 10 7 м , наблюдается только 69 ФИЗИКА ФОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ На явлении интерференции в тонких пленках основано п р о с в е т л е н и е о п т и к и . Качественные оптические системы (например, объектив хорошего фотоаппарата) состоят из большого числа линз, что делается для компенсации искажений. При прохождении света через линзы часть света отражается от поверхностей линз ( 4 10 % от каждой поверхности) и не проходит за оптическую систему. Для повышения освещенности за оптической системой на поверхность линз наносится тонкая пленка, имеющая толщину и оптическую плотность, обеспечивающие минимум отраженного света с длиной волны из середины видимого спектра 0,55 мкм и дающие, тем самым, максимум проходящего света. Частным случаем интерференции в тонких пленках я в л я ю т с я к о л ь ц а Н ь ю т о н а , получающиеся при интерференции света на тонком воздушном клине, который образуется, если стеклянную линзу с большим радиусом кривизны поместить на толстую плоскую стеклянную пластину. Толщина воздушного клина d должна быть меньше Lког , а толщина пластины D , на которую помещена линза, должна быть намного больше длины когерентности D Lког , чтобы не происходила интерфесвет ренция световых волн, отраженных от передней и задней поверхностей пластины. Обычно R R рассматривают нормальное падение – угол падения i 0 . Так как клин воздушный, то полинза r d казатель преломления n 1 . Тогда оптическая пластина D разность хода равна Δ 2d λ . Максималь2 ное отражение будет при условии 2d 1 λ mλ или 2d m λ . 2 2 На поверхности пластины мы можем наблюдать полосы равной толщины – кольца Ньютона. Радиус светлых колец в отраженном свете можно получить из усло- d R R 2 r 2 , получим R 2 r 2 ( R d ) 2 R 2 2d d 2 . Откуда 2Rd d 2 r 2 , при вия максимумов при отражении. Учитывая, что этом слагаемым d 2 можем пренебречь, поскольку d R и d 2 Rd . Тогда найдем d жение в условие r2 . Подставив последнее выра2R максимумов в отраженном свете 2 r 1 1 m λ . Тогда радиус свет2d m λ , получим R 2 2 1 лых колец в отраженном свете r m Rλ . Из закона сохранения энергии 2 этому же условию соответствует радиус темных колец в проходящем свете. Радиус темных колец при отражении или радиус светлых колец в проходящем свете r 70 mRλ можно найти из условия минимума 2d mλ . Дифракция волн Тема: Дифракция волн Вопросы: 1. Понятие о дифракции волн. Принцип Гюйгенса–Френеля. 2. Зоны Френеля. Метод зон Френеля. 3. Дифракция Френеля на круглом отверстии. 4. Дифракция Фраунгофера на щели. 5. Дифракционная решетка. 6. Области дифракции и прямолинейного распространения. Д и ф р а к ц и е й называют совокупность явлений, наблюдающихся при распространении света (волн) в среде с резко выраженной неоднородностью, например, при наличии препятствий. Дифракция наблюдается при размерах неоднородности среды порядка длины волны. Часто дифракцию определяют как явление огибания волнами препятствий. Действительно, это одно из характерных явлений, наблюдающееся при дифракции. Между интерференцией и дифракцией нет принципиального физического различия, оба явления заключаются в перераспределении светового потока при суперпозиции (наложении) когерентных волн. Когда речь идет о суперпозиции конечного числа волн, говорят об интерференции, если – бесконечного числа волн, то говорят о дифракции. Для количественного описания явления дифракции не требуется никаких новых принципов. Дифракционная задача для электромагнитных волн сводится к решению уравнений Максвелла. Однако в такой строгой постановке дифракционные задачи, в виду их сложности, допускают аналитическое решение лишь в очень простых случаях. Нас будет интересовать дифракция только световых волн. И рассматривать мы будем только те методы решения дифракционных задач, которые основаны на нестрогих принципах. Несмотря на свою нестрогость данные методы имеют в оптике большее значение. Для качественного описания огибания волной препятствий, нахождения формы и положения фронта волны, используют принцип Гюйгенса (H. Huygens, 1629–1695). П р и н ц и п Г ю й г е н с а : все точки волнового фронта можно рассматривать как источники вторичных сферических волн, распространяющихся только вперед. Положение волнового фронта исходной (первичной) волны, есть огибающая волновых фронтов всех вторичных волн. Каждая точка волнового фронта точечного источника представляет собой вторичный сферический источник, и спустя некоторое время огибающая фронтов вторичных волн представляет собой сферу. Для плоской волны волновой фронт представляет собой плоскую поверхность. Если на пути плоской волны есть препятствие, то огибающая фронтов вторичных волн не будет плоской, в волновые фронты этом случае волновой фронт изменит свою форму. вторичных волн Интенсивность световых волн за препятствием на основании принципа Гюйгенса рассчитать нельзя, поскольку принцип Гюйгенса является чисто геометрическим. Для нахождения интенсивности света принцип Гюйгенса был уточнен Френелем (O. Fresnel, 1788–1827) и получил название п р и н ц и п а Г ю й г е н с а – Ф р е н е л я . Он состоит из неволновой фронт скольких основных положений: первичной волны 71 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 1. При расчете амплитуды световой волны первичный источник S 0 можно заменить системой эквивалентных ему вторичных P источников, расположенных на любой S0 замкнутой поверхности S , такой, чтобы источник S 0 находился внутри поверхности, а точка наблюдения P – снаружи. Для точечных источников в качестве поверхности S удобно выбирать сферу с центром, совпадающим с источником. 2. Волны вторичных источников когерентны и распространяются во всех направлениях. Световое поле, возникающее в результате их интерференции в пространстве снаружи поверхности S , совпадает с полем реального источника S 0 . Если в качестве поверхности S выбрана волновая поверхность первичной волны (для точечного источника – сфера), тогда все вторичные волны будут иметь одинаковую начальную фазу. 3. Амплитуда колебаний световой волны dE каж дого вторичного источника (элемента поверхноn сти dS ) в точке наблюдения P пропорциональна площади этого источника dS , обратно P dS пропорциональна расстоянию r от него до точки наблюдения P и пропорциональна амплитуr де волны вторичного источника E0 , и некото- S рой функции угла f () dE f () E0 dS . r Про функцию угла f () можно сказать, что 1, при 0; f ( ) 0, при / 2, и она монотонно убывает от 1 до 0 при изменении угла от 0 до π / 2 . 4. Если часть поверхности закрыта непрозрачным экраном, то закрытые участки не излучают, а открытые излучают так же, как если бы не было экрана. Принцип Гюйгенса–Френеля положен в основу м е т о д а Ф р е н е л я решения дифракционных задач. Воспользуемся методом Френеля при рассмотрении дифракции световой волны точечного источника S 0 на круглом отверстии в плоском непрозрачном экране. Рассмотрим точку P , находящуюся на перпендикуляре к непрозрачному экрану, проходящему через середину отверстия. Радиус сферического волнового фронта, достигшего отверстия, обозначим a . Поверхность вторичных источников S выберем совпадающей с этим волновым фронтом. Расстояние от точки наблюдения P до поверхности S обозначим b . 72 Дифракция волн b3 P S0 S0 2 P a a S b 2 b b2 2 Опишем из точки P , как из центра, концентрические сферы с радиусами λ λ λ b, b , b 2 , b 3 , ... Они разобьют поверхность S на кольцевые области, по2 2 2 лучившие название з о н Ф р е н е л я . Центральный круг – первая зона Френеля, первое кольцо – вторая зона и т. д. Подчеркнем две важных особенности примененного метода. Во-первых, мы разбили волновой фронт на зоны мысленно, увидеть зоны невозможно. Во-вторых, мы построили зоны Френеля для конкретной точки, для другой точки получатся свои зоны Френеля. первая зона вторая зона третья зона Найдем амплитуду результирующей волны в точке P , исходя из принципа суперпозиции, который в методе зон Френеля означает суммирование амплитуд волн, приходящих в точку P , от каждой зоны с учетом фаз этих волн. Определим сначала амплитуду волны, дошедшей в точку P от одной зоны Френеля. По принципу ГюйгенсаФренеля амплитуда волны вторичного источника пропорциональна площади, следовательно, амплитуда волны от зоны Френеля пропорциональна площади зоны Френеля. Площадь сферического сегмента сферы радиусом а , вырезаемого конусом с вершиной в точке P и образующей, Sn а hn λ равной b n , будет равна S n 2πahn , где hn – «высота» 2 сегмента. Найдем hn из условия, что 2 λ rn b n (b hn ) 2 , тогда a (a hn ) 2 n 2 λ2 2 2 2 2 2 a a 2ahn hn b bnλ b 2bhn hn2 S 0 4 или 2(a b)hn bnλ . Мы пренебрегли слагае- rn2 2 2 2 и rn n 2 λ2 мым , который много меньше bnλ и тем бо4 лее меньше ahn и bhn . Отсюда a bn 2 P a b hn 73 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ hn bnλ . 2(a b) Подставляя полученное выражение для высоты сегмента, найдем площадь сферического сегмента Sn πabλn . ab Заодно, из условия rn a (a hn ) 2ahn hn , найдем радиус зоны 2 2 2 2 Френеля. Пренебрегая hn , так как hn a и hn 2ahn , получим rn 2 2 2ahn . Подставляя hn , найдем rn abλn – радиус n-й зоны Френеля. ab Вернемся к нахождению площади. Площадь n -й зоны Френеля будет равна ΔS n S n S n 1 πabλn πabλ(n 1) πabλ . ab ab ab Откуда следует, что все зоны Френеля имеют одинаковую площадь, то есть, ΔS n πabλ const – не зависит от номера зоны n . ab На самом деле, при более точном вычислении, если бы мы не пренебрегали слагаемыми, то мы бы получили, что площади зон немного убывают с увеличением номера зоны. Кроме того, амплитуда световой волны зоны Френеля пропорциональна функции угла f (α) , убывающей с ростом угла, который увеличивается с номером зоны. Указанные факторы, вместе с увеличением расстояния r от зоны до точки наблюдения с номером зоны Френеля, приводят к тому, что суммарная амплитуда волн каждой зоны Френеля медленно и монотонно убывает с ростом номера зоны n E1 E2 E3 ... , где E1 – величина суммарной амплитуды световых волн, дошедших в точку P из первой зоны, E 2 – из второй, E3 – из третьей зоны и т. д. Из монотонности убывания мы можем выразить амплитуду волны, приходящей от зоны с номером k , через амплитуды соседних зон Ek Отсюда получаем, что Ek 1 Ek 1 . 2 Ek 1 E Ek k 1 0 . 2 2 В силу построения зон Френеля волны, приходящие из соседних зон, будут в противофазе, поскольку в каждых соседних зонах можно выделить пары эквивалентных вторичных источников с разностью хода между ними, равной фаз суммарная амплитуда будет равна E E1 E2 E3 E4 ... , 74 λ . Тогда с учетом 2 Дифракция волн где E1 – суммарная амплитуда световых волн, дошедших в точку P из первой зоны, ( E2 ) – из второй, E3 – из третьей зоны и т. д. Или E E E E E1 E1 E2 3 3 E4 5 ... 2 2 2 2 2 Здесь, как мы отметили ранее, все выражения в скобках будут равны нулю. Из последнего выражения мы получаем, что если открыты все зоны – это будет при отсутствии препятствий, то E E1 . 2 Если открыто m зон и, если m 2k 1 нечетно, то E E1 Em . В выра2 2 жении для амплитуды суммарной волны останутся половины амплитуд волн от первой и последней зоны. E1 Em 1 Em . 2 2 E E E m , то E 1 m . 2 2 2 Если число открытых зон m 2k Поскольку можем считать, что Em Em 1 2 четно, то E Таким образом, мы получили, что результат суперпозиции волн вторичных источников в точке P зависит от того, четный или нечетный номер имеет последняя зона Френеля, открываемая отверстием. Если открыто нечетное число зон, в точке наблюдения будет максимальная интенсивность света, складываются амплитуды первой и последней зоны – точка P будет светлой. Точка будет самой светлой, если открыта одна зона Френеля ( m 1). Если открыто четное число зон, то интенсивность света в точке P будет минимальной, амплитуды первой и последней зон вычитаются – точка наблюдения будет темной. Самая темная точка будет, если открыты две зоны ( m 2 ). До сих пор мы рассматривали точку наблюдения, находящуюся на перпендикуляре к непрозрачному экрану, проходящему через центр отверстия. Если мы сместимся в точку наблюдения Р , то для нахождения амплитуды суммарной волны нужно также построить зоны Френеля, но уже для точки P . Зоны Френеля для этой точки будут смещены относительно центра отверстия. Мы рассмотрим эту ситуацию, только качественно. Для точки Р в нижней части отверстия откроется часть зоны Френеля, закрытой для точки P , но при этом непрозрачный экран закроет вверху часть зоны, открытой P S 0 для точки P . P Допустим, что для точки P открыто нечетное число зон, тогда амплитуда волны в точке P будет E E1 E2 E3 ... Em . В точке P амплитуда волны будет 75 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ E E1 E2 E3 ... αEm βEm1 , где 0 α 1 и 0 β 1, тогда E E , и точка P будет темнее, чем P . Если для точки P открыто четное число зон, то E E1 E2 E3 ... Em . Тогда E E1 E2 ... αEm βEm1, где 0 α, β 1, следовательно, E E , и тогда Р будет светлее точки P . В точках за отверстием интенсивность света будет определяться структурой открытых зон Френеля. На экране, находящемся за отверстиI I ем, будут симметрично расположены S более светлые и более темные области. Схематично распределение интенсивности света на экране за отверстием представлено на рисунке. Интенсивность света в точке наблюдения можно значительно усилить, закрыв все четные или все нечетные зоны Френеля. На этом основано действие амплитудной зонной пластинки. А м п л и т у д н а я з о н н а я п л а с т и н а представляет собой пластину, в которой вырезаны прозрачные кольца, закрывающие только четные или только нечетные зоны Френеля для некоторой точки P . Тогда, в точке P амплитуда будет равна E E2 E4 E6 ... (открыты четные зоны), E E1 E3 E5 ... (открыты нечетные зоны) и будет во много раз превышать амплитуду первой зоны E1 E и амплитуду волн всех зон E 1 . Заметим, что увеличение освещенности будет 2 только в точке P , другие точки будут сильно затемнены – фокусирующее действие зонной пластинки. Полный световой поток не усиливается, а только перераспределяется. Если мы будем не закрывать четные или нечетные зоны, а менять фазу волн, идущих от соседних зон на π , то мы получим ф а з о в у ю з о н н у ю п л а с т и н к у , принцип действия которой основан на переворачивании фаз для соседних зон. Проще всего это сделать, обеспечив, чтобы волны от соседних зон проходили дополнительную разность хода, равную λ . Тогда амплитуда волны в точке наблюдения будет 2 E E1 E2 E3 ... в два раза больше, чем для амплитудной зонной пластинки, а интенсивность света будет в четыре раза больше, так как I ~ E 2 . Мы рассмотрели дифракцию на круглом отверстии. Если отверстие не круглое (прямоугольное или щель), то метод Френеля применим, но разбивать волной фронт на кольца нецелесообразно. Метод Френеля применим также и в случае, если первичный 76 Дифракция волн источник не точечный, только в этом случае волновой фронт не будет сферическим, а будет определяться формой источника. Если волна не сферическая, а плоская, то естественнее разбить волновой фронт на прямолинейные полосы. Остальной анализ остается без изменений. Рассмотренная дифракция, когда все вторичные волны сходились в точке наблюдения называется д и ф р а к ц и е й Ф р е н е л я или дифракцией в сходящихся лучах. Немецкий физик Йозеф Фраунгофер (J. Fraunhofer, 1787–1826) рассмотрел дифракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах, которая получила название д и ф р а к ц и и Ф р а у н г о ф е р а . Дифракция Фраунгофера наблюдается, когда источник и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызывающего дифракцию. Дифракционная задача Фраунгофера может быть решена строго, но условия максимумов и минимумов дифракционной картины можно получить, пользуясь методом Френеля. Рассмотрим плоскую волну, на пути которой установим бесконечно протяженную щель, шириной b . На рисунке щель расположена перпендикулярно плоскости рисунка. Для наблюдения дифракционной картины на экране, расположенволновой фронт ном на конечном расстоянии, между препятствием и экраном поb местим фокусирующую линзу, а экран установим в фокальной λ плоскости линзы. 2 2λ Применим метод Френеля. 3λ 2 Для волн, распространяющихся 2 под углом α к первоначальному линза (до щели) направлению, разобьем волновой фронт плоской волны, экран достигший щели, по ширине щели b на зоны Френеля. Полученные зоны представляют собой полосы, параллельные щели. Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла α , под которым наблюдаем дифракцию. При α 0 щель открывает только часть первой зоны. При α 0 число зон N определяется выражением N λ 2b sin α b sin α , или N , 2 λ где b – ширина щели. На рисунке получилось три полосы (зоны Френеля). Результат наложения всех вторичных волн в точке наблюдения на экране зависит от числа зон, открываемых щелью. По определению зон Френеля разность хода от краев зон равна λ . Следовательно, волны, приходящие от соседних зон, будут в противо2 фазе, и, поскольку пощади полос (зон) Френеля одинаковы, они будут гасить друг друга. Если число зон четно N 2b sin α 2m или λ λ b sin α 2m , 2 77 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ где m = ±1, ±2, ±3…, то на экране в точке схождения (после линзы) волн, идущих от щели под углом , будет дифракционный минимум (темная полоса на экране). Если число зон, укладывающихся на ширине щели, нечетное, N 2b sin α 2m 1 λ или λ b sin α (2m 1) , 2 то в точке схождения лучей будет дифракционный максимум (светлая полоса на экране). При α 0 разность хода всех вторичных источников равна нулю (все они из одной первой зоны) и под этим углом всегда наблюдается центральный дифракционный максимум – наиболее светлая область. При точном решении щель разбивается на бесконечное число бесконечно узких полосок. Результирующее колебание световой волны в точке экрана будет равно сумме колебаний всех вторичных источников, которое при бесконечно большом числе бесконечно малых слагаемых является интегралом E dE , который с учетом сдвига фаз, между волнами вторичных источников, идущими под углом α , примет вид b 2 E0 dx 2π cos ωt x sin α , b λ b E 2 где x – координата вторичного источника (полоски шириной dx ), измеренная от центра щели. После интегрирования получим E E0 I I0 πb sin α λ . И для интенсивности так πb sin α λ 2 как I ~ A , sin πb πb sin α λ I I0 . 2 πb sin α λ sin 2 sin 2m b При m b m b 2m b πb sin α mπ интенсивность равна нулю. Другими словами, мы получили λ условие минимумов дифракции b sin α mλ , при котором интенсивность света равна нулю. Это условие, естественно, точно такое же, как полученное с помощью метода Френеля. 78 Дифракция волн Для нахождения максимумов интенсивности приравняем производную от интенсивности по углу к нулю, tg dI 0 . Решая уравнение, получим условие максимумов dα πb sin α πb sin α , где m 1, 2, ... . Записанное трансцендентное уравнение не λ λ имеет точного решения, приближенное решение этого уравнения имеет вид, близкий к найденному приближенным методом Френеля, 1 b sin α m λ – условие максимумов дифракции. 2 Поскольку sin α не может больше единицы, sin α 1 , то существует наибольший порядок (номер) mmax максимума, который будет наблюдаться. Его можно найти из быть m 2 m2 1λ условия sin α m 1. 2b m 1 m 1 m0 экран b 1 Откуда m , тогда 2 b 1 mmax . Здесь прямые скобки означают взятие целой части. Количество λ 2 максимумов, которые могут наблюдаться, равно k max 2mmax 1 . На рисунке приведен случай mmax 2 и k max 5 . b Если ширина щели b λ , тогда mmax 1 и будет один центральный максиλ мум. При b λ , экран за щелью будет практически равномерно освещен. И чем меньше ширина щели, тем равномернее будет освещенность экрана. Если на щель падает не монохроматический, а белый свет, то для разных длин волн будут наблюдаться максимумы при разных углах α λ , кроме α 0 , который соответствует максимуму для волны с любой длиной волны. Таким образом, все дифракционные максимумы, кроме центральной полосы, будут окрашены. Если щель не одна, а N щелей, и они периодически расположены на расстоянии d друг от друга, то такая система щелей называется дифракционной решеткой. Распределение света на экране, расположенном за дифракционной решеткой, получается в результате интерференции N дифракционных потоков света, идущих от каждой щели. Дифракционная решетка – a b периодически расположенный набор щелей. Величина d a b – называется пространственным периодом или постоянной дифракционной решетки. d 79 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ линза экран Изобретателем первой дифракционной решетки некоторые исследователи считают Фраунгофера. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на дифракционной решетке. Разность хода световых волн, исходящих от одинаковых точек соседних щелей, будет равна Δ d sin α . Когда Δ mλ , световые волны, идущие от соседних щелей, при интерференции будут усили- вать друг друга, а при Δ m 1 λ 2 – ослаблять. Помимо этого, свет будет усиливаться или ослабляться, когда будут выполняться условия максимумов или минимумов для несоседних щелей. Естественно, что в тех направлениях, в которых не распространяется свет ни одной щелью, он не будет распространяться и N щелями – это главные (дифракционные) минимумы интенсивности света b sin α mλ , m 1, 2, 3, ... Минимумы света будут также в тех направлениях, в которых световые волны от разных щелей будут гасить друг друга – дополнительные (интерференционные) минимумы. Для N 2 условие дополнительных минимумов будет иметь вид 1 d sin α m λ , m 0, 1, 2, ... 2 Для N 2 условие дополнительных минимумов запишем чуть позже. В направлениях, в которых свет от щелей при интерференции будет усиливать друг друга, будут наблюдаться главные (интерференционные) максимумы. При любом N условие главных максимумов будет определяться выражением d sin α mλ , m 0, 1, 2... При N 2 других максимумов не будет, а при N 2 появятся дополнительные максимумы. Все эти условия можно получить и при точном решении задачи дифракции Фраунгофера на дифракционной решетке. Выражение для интенсивности света, прошедшего дифракционную решетку, будет иметь вид πb sin α Nπd sin α sin 2 λ λ I I0 . 2 π d sin α 2 π b sin α sin λ λ sin 2 дифракционный сомножитель 80 интерференционный сомножитель Дифракция волн Из точного решения задачи дифракции Фраунгофера можно легко получить условие наблюдения дополнительных минимумов для произвольного числа щелей. Числитель первого (дифракционного) сомножителя обращается в ноль, и интенсивность I равна нулю, при b sin α mλ – условие главных минимумов. Когда πd sin α mπ , выполняется условие главных максимумов d sin α mλ . λ При этом и числитель, и знаменатель второго (интерференционного) сомножителя обращается в ноль, а сам сомножитель становится равным единице. Когда m Nπd sin α mπ или d sin α λ , где m 1,2,..., N 1 , числитель N λ интерференционного сомножителя будет равен нулю, а знаменатель будет отличен от нуля. Следовательно, при этом условии I 0 . Таких дополнительных минимумов будет N 1. Между дополнительными минимумами будут N 2 дополнительных максимума. В результате дифракционная картина, например, для 4-х щелей, будет выглядеть так, как изображено на рисунке. I sin 2 d b d 0 d b d1 белый свет Если N велико, между узкими главными максимумами будет практически темная область. Если на дифракционную решетку падает белый свет, то для каждой длины волны будут наблюдаться максимумы под разными углами, так как угол, под которым наблюдается максимум, зависит от длины волны. Дифракционная решетка раскладывает белый свет в спектр и дает возможность пространственно выделять в спектре монохроматические волны. 2 d Дифракционная решетка К m2 Ф К m 2 Ф К m 1 Ф Б m0 Ф К m 1 К – красный свет, Ф – фиолетовый свет. Как мы отмечали в начале рассмотрения темы, задача распространения световой волны в среде с неоднородностями может быть решена на основании уравнений Максвелла. Общее решение в этом случае при точном решении задачи записывается в интегральном виде. Для получения аналитического решения необходимо использовать при81 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ближения, которые будут различными, в зависимости от значения волнового параметра Z d2 , где λ – длина волны, d – характерный размер отверстия в непрозрачном экране (например, диаметр круглого отверстия или ширина щели), Z – характерное расстояние от отверстия до точки наблюдения, где определяется интенсивность волны. Задача естественным образом может быть разделена на три задачи, имеющие качественно различные решения. В области за экраном с отверстием, где λZ d2 1 , то есть Z d2 наличие экλ рана не влияет на распространение световой волны, и решением будет являться прямолинейное распространение света. Заметим, что в этом случае отверстие открывает для рассматриваемой точки наблюдения очень много зон Френеля. d2 В области за экраном, где , задача сводится к случаю, ко 1, или Z λ d2 λZ гда отверстие открывает часть одной (первой) зоны Френеля. При этом распределение интенсивности будет соответствовать дифракции Фраунгофера. d2 В области, где , отверстие будет открывать несколько зон 1 , или Z λ d2 λZ Френеля, и распределение интенсивности будет описываться дифракцией Френеля. Для световых волн видимого диапазона ~ 10 7 м , если взять в качестве отвер- 2 стия окно d ~ 1 м , то d ~ 10 7 м 10 4 км . Следовательно, например, при Z 10 км 10 4 км будут справедливы законы геометрической оптики. Но на Луне ( Z 10 км ), если бы это было возможно, мы бы наблюдали отклонение от прямолинейного распространения (дифракцию) при прохождении света через окно. В диапазоне радиоволн, допустим при 0,01 м , для того же размера отверстия 5 d2 d ~ 1 м получим ~ 100 м 0,1 км . То есть, в области на расстоянии более ста метров от метрового препятствия при распространении радиоволн рассматриваемого диапазона будет заметно сказываться дифракция, и волны в этой области будут огибать препятствия такого размера. В области Z 10 км , рассмотренной в примере световых волн, для рассматриваемых радиоволн будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. 82 Взаимодействие электромагнитных волн с веществом Тема: Взаимодействие электромагнитных волн с веществом Вопросы: 1. Взаимодействие света с веществом. Отражение и преломление света на границе двух сред. 2. Интенсивность преломленной и отраженной волн. 3. Явление полного внутреннего отражения. Оптическое волокно. 4. Виды поляризованного света. Закон Малюса. 5. Поляризация света при преломлении и отражении. Угол Брюстера. 6. Оптически активные вещества. 7. Поглощение света. Закон Бугера–Ламберта. 8. Нормальная и аномальная дисперсия. Групповая скорость. При прохождении электромагнитной волны в веществе происходит действие электрических и магнитных полей на заряженные частицы атомов вещества. Под действием периодического поля электромагнитных волн заряженные частицы начинают колебаться. Колеблющиеся заряженные частицы создают собственное электрическое и магнитное поле. Таким образом, электромагнитное поле распространяющейся в веществе волны становится отличным от электромагнитного поля падающей волны. Характер распространения в веществе электромагнитных волн зависит от свойств вещества, в котором с волной может происходить ряд явлений. 1. Отражение. 2. Преломление. 3. Поляризация. 4. Поглощение. 5. «Размытие» волновых импульсов (дисперсия) и т. д. Перечисленные эффекты называются линейными, так как при этом не происходит изменение частоты волны. При очень интенсивных световых потоках возможны нелинейные эффекты, например, генерация второй и более высоких гармоник, то есть появление такой волны, частота которой в два, или более, раз больше частоты исходной волны. Мы будем рассматривать только линейные эффекты. 1. Отражение происходит, когда есть граница между средами с разной оптической плотностью. З а к о н о т р а ж е н и я , заключающийся в том, что отраженный и падающий лучи лежат в одной плоскости, плоскости падения, и угол отражения равен углу падения, β α , может быть получен на основании принципа Гюйгенса. n1 n1 n2 n2 Рассмотрение взаимодействия световых (электромагнитных) волн с веществом позволяет обосновать принципы Гюйгенса и Гюйгенса–Френеля. Переменное электрическое поле электромагнитной волны возбуждает колебания зарядов в среде. Колеблющиеся заряды движутся с ускорением и являются источником электромагнитной волны – это и есть вторичные источники. Таким образом, волна «переизлучается». 83 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ При отражении от границы раздела двух сред в результате интерференции переизлученных волн максимум интерференции получается при угле β α . 2. Преломление происходит также на границе двух сред с разными оптическими плотностями. Получим закон преломления из принципа Гюйгенса. По определению оптической плотности среды, в первой среде скорость волны будет V1 c c , а во второй среде V2 . n1 n2 n1 n2 n1 l1 l2 l Пусть l1 – путь, который проходит волна в первой среде за время Δt , а l 2 – во второй среде, тогда l1 V1Δt l sin α ; l2 V2Δt l sin γ . Разделим первое выражение на второе и получим sin α V1 . sin γ V2 c c , V2 , то можем записать з а к о н п р е л о м л е н и я – n2 n1 преломленный луч лежит в плоскости падения, и угол преломления связан с углом падения и оптическими плотностями сред соотношением Поскольку V1 sin α n2 . sin γ n1 Или используя другую форму записи этого закона n1 sin α n2 sin γ , закон преломления можно представить в более общем виде n sin α const , n1 n2 n1 84 где α – угол между направлением волны в среде с оптической плотностью n и нормалью к границе раздела. Если оптическая плотность второй среды меньше оптической плотности первой среды n2 n1 , то угол преломления γ больше угла падения α , γ α . Взаимодействие электромагнитных волн с веществом С помощью граничных условий для напряженностей электрического и магнитного поля на границе раздела сред можно найти соотношения между фазами, амплитудами и интенсивностями падающей, отраженной и преломленной волн. Эти соотношения носят название ф о р м у л Ф р е н е л я . Мы рассмотрим только самый простой случай нормального падения световой волны на границу раздела. При нормальном падении света α β γ 0 из среды с оптической плотностью n1 в среду с оптической плотностью n 2 формулы Френеля для светового вектора записываются в виде E отр E 0 n 21 1 n 21 1 и E пр E 0 2 , n 21 1 где E 0 , E отр , E пр – амплитуды падающей, отраженной и преломленной волн, соот- n ветственно, n 21 2 – относительный показатель преломления сред. n1 Выражение для амплитуды преломленной волны всегда положительно, что свидетельствует о совпадении фаз преломленной и падающей волн. Выражение для амплитуды отраженной волны может быть как положительным, так и отрицательным. Последнее означает, что при отражении происходит изменение на фазы колебаний вектора напряженности электрического поля волны (переворачивание фазы). Это скачкообразное изменение фазы происходит, когда n 21 1, то есть n 2 n1 – при отражении от более плотной среды. С таким случаем мы сталкивались при рассмотрении интерференции в тонких пленках. Соотношение между интенсивностями легко получить, так как I ~ E I отр n 1 I 0 21 n21 1 2 , 2 2 и I пр 2 . I 0 n 1 21 К о э ф ф и ц и е н т о м о т р а ж е н и я R электромагнитной волны называется отношение интенсивностей отраженной и падающей волн. При нормальном падении коэффициент отражения равен R I отр I0 2 n 1 . 21 n 21 1 При падении волны на оптически менее плотную среду возможно я в л е н и е п о л н о г о в н у т р е н н е г о о т р а ж е н и я . Как следует из закона преломления, при некотором угле падения α 0 , угол преломления может стать равным γ π и sin γ 1. При этом угле падения 2 преломленная волна не будет входить во вторую среду. При углах α α 0 наступает полное внутреннее отражение, называемое внутренним, поскольку вторая среда часто рассматривается как внешняя по отношению к первой среде, в которой распространяется свет. 0 0 85 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ При γ 90 и sin γ 1 из закона преломления n1 sin α 0 n2 sin γ следует условие полного внутреннего отражения sin α 0 n2 . n1 Примером использования этого явления является оптическое волокно. В оптическом волокне свет распространяется в веществе с оптической плотностью n1 , которое покрыто n2 n1 n2 оболочкой с оптической плотностью n2 n1 , выходя наружу только в торцах волокна, независимо от его формы. Это позволяет «доставлять» излучение (свет) в труднодоступные места, что широко используется в медицине. 3. Поляризация Мы отмечали, что векторы напряженности электрического и магнитного поля световой волны E и Н перпендикулярны направлению распространения волны. При этом в естественном свете векторы E и Н колеблются во всех направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Говорят, что естественный свет не поляризован. z Поляризованным свеE т о м называется световая волна, в которой вектор напряженности элек трического поля E колеблется упоряy доченно. Вектор Н тоже будет колеО баться упорядоченно, но, описывая свет, мы, каквсегда, говорим о светоx вом векторе Е . Когда вектор E вращается по кругу, говорят, что волна имеет к р у г о в у ю п о л я р и з а ц и ю. Световая волна, вектор напряженности E которой колеблется в одной плоскости, называется п л о с к о п о л я р и з о в а н н ы м с в е т о м . Плоскость, в которой колеблется вектор E , называется плоскостью поляризации. Плоскополяризованная волна, представленная на рисунке, распространяется вдоль оси Oy , плоскость ее поляризации совпадает с плоскостью zOy Получить плоскополяризованные волны можно с помощью поляризаторов. Это вещества, пропускающие только те электромагнитные волны, вектор E которых колеблется в определенной плоскости. Эта плоскость проходит через направление падающей на поляризатор волны и направление, зависящее от свойств вещества поляризатора, называемое оптической осью (или главным направлением) поляризатора. Рассмотрим случай, когда ось поляризатора вертикальна, то есть поляризатор пропускает волны, поляризованные в вертикальной плоскости. Поляризатор расположен в плоскости рисунка, волна распространяется перпендикулярно плоскости рисунка. Представим вектор Е0 как сумму составляющих – параллельной оси поляризато ра и перпендикулярной ему, E 0 E|| Е . После прохождения поляризатора пер86 Взаимодействие электромагнитных волн с веществом пендикулярная составляющая E поглощается, пройдет через поляризатор только параллельная составляющая E| | . E Если E – величина светового вектора прошедшего поляризатор света, то E E|| . Тогда E E0 cos γ , где γ – угол E|| между вектором E0 падающей волны и направлением поляриE зации (осью поляризатора), E0 – величина светового вектора падающей волны. Интенсивность I света, прошедшего через поляризатор, будет определяться вы- 2 ражением I ~ E E0 cos γ . Если падающий свет естественный, то есть угол γ является случайной величиной, тогда cos γ 2 2 2 1 1 и I I 0 – через поляризатор проходит половина интен2 2 сивности падающего естественного света. Если падающий свет плоскополяризован, то угол γ – угол между осью поляризатора и плоскостью поляризации падающей волны, в этом случае const . Тогда cos2 γ cos2 γ и I I 0 cos2 γ . Полученные соотношения носят название з а к о н а М а л ю с а (E. Malus, 1775– 1812), соответственно для естественного и плоскополяризованного света. Есть другой способ поляризации света, основанный на явлении отражения от границы раздела. Если падающий свет естественный, то при условии, что преломленный луч перпендикулярен отраженному, то есть, β γ 90 , отраженная волна получается Б плоскополяризованной, так как колеблющиеся заряды, являющиеся вторичными источниками, не излучают в направлении колебаний. Плоскость поляризации отраженной волны будет проходить через отраженный луч и будет перпендикулярна плоскости падения (плоскости рисунка). Преломленный свет будет частично поляризован. Угол падения α Б , при котором происходит поляризация отраженной волны, называется у г л о м Б р ю с т е р а (D. Brewster, 1781–1868). Из условия поляризации отраженного света βγ π 2 можем записать sin α Б n2 π π sin γ sin( β) sin( α Б ) cosα Б . Из закона преломления . sin γ n1 2 2 sin α Б n tg α Б 2 . Тогда угол Брюстера определяется из условия cos α Б n1 Многие кристаллы и растворы поворачивают плоскость поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. Такие вещества называются о п т и ч е с к и а к т и в н ы м и . Вещество, поворачивающее плоскость поляризации вправо по 87 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ ходу луча, называются правовращающими, поворачивающие влево – левовращающими. Обычный сахар относится к правовращающим веществам. Угол поворота плоскости поляризации в растворе зависит от длины пути l света в веществе и от концентрации раствора c φ αlc . Постоянная α характеризует оптическую активность вещества и называется удельным вращением или удельной оптической активностью ( α зависит от температуры и длины волны света). Оптическая активность (угол поворота плоскости поляризации) служит стандартным методом определения концентрации оптически активных веществ. Угол поворота плоскости поляризации в твердых телах зависит от длины пути l φ αl , α в этом случае называется постоянной вращения. Стекло и пластмасса приобретают оптическую активность в деформированном состоянии. В области с максимальным механическим напряжением вращение плоскости поляризации наибольшее. Модели деталей машин из прозрачной пластмассы, помещенные между поляризаторами, используют для визуализации областей наибольшей напряженности. 4. Поглощение света обусловлено тем, что электромагнитная волна при прохождении через вещество теряет свою энергию. Поглощение света при прохождении слоя толщиной x х описывается з а к о н о м Б у г е р а – Л а м б е р т а (P. Bouguer, 1698–1758, J. Lambert, 1728–1777) I0 I I 0 e x , I где κ – коэффициент поглощения вещества, через который проходит свет, I 0 – интенсивность падающего света, I – интенсивность света, прошедшего слой вещества толщиной x . 1 В металлах коэффициент поглощения 10 10 м , в диэлектриках коэф6 8 10 1 м 1 . То есть в металлы электромагнитные волны видимого диапазона проникают на глубину 0,01 1 мкм , а в диэлектриках с укафициент поглощения 10 2 занным коэффициентом ослабления уменьшение интенсивности света приблизительно в три раза происходит при прохождении толщины 10 100 м . Величина коэффициента поглощения зависит от длины волны κ κ (λ) . Зависимость κ (λ) используется при изготовлении светофильтров – веществ, которые характеризуются сильной зависимостью коэффициента поглощения от длины волны κ (λ) . Например, вещества, сильно поглощающие зеленые и синие лучи, при освещении белым светом будут пропускать только красные лучи и будут выглядеть красными в проходящем свете. 5. Размытие волновых импульсов Допустим, что в вещество попадает пучок (импульс) света длительностью τ , который, естественно, является немонохроматическим. Если показатель преломления 88 Взаимодействие электромагнитных волн с веществом среды зависит от длины волны n n(λ) , то скорости волн также зависят от длины волны, V V (λ) . Это значит, что в веществе какие-то волны будут двигаться медленнее, какие-то быстрее, и световой пучок «расползется». Это явление обусловлено дисперсией – зависимостью показателя преломления (скорости волны) от длины волны. Для количественной характеристики дисперсии используют величину Области длин волн, где dn . dλ dn 0 , то есть с ростом длины волны оптическая dλ плотность среды уменьшается (как на рисунке), называются областью нормальной дисперсии. Например, стекло в видимой области спектра n обладает нормальной дисперсией. В некоторых диапазонах длин волн λ наблюдается обратное поведение dn 0 , которое получило название dλ аномальной дисперсии. dn 0 , скорость волн в импульсе dλ различна, то для характеристики скорости импульса вводят групповую скорость u . Скорость V является фазовой скоростью, которая в диспергирующих средах зависит от длины волны V (λ) , эта скорость определяет распространения фазы монохроматического света с длиной волны λ . Поскольку в дисперсирующих средах, где Мы знаем, что плоская монохроматическая волна, распространяющаяся вдоль оси Ox , описывается функцией E E0 cos(ωt kx δ) , где ω 2πν – частота колебаний волны, k k – волновое число (модуль волнового вектора). Плоскость ωt kx δ const есть плоскость постоянной фазы, перпендикулярная оси Ox , где x – координата этой плоскости (фазы) на оси Ox . Взяв производную по времени от левой и правой частей этого выражения, получим ωk где dx dx ω 0 , откуда , dt dt k dx и есть скорость распространения фазы (скорость движения плоскости постоdt янной фазы). Таким образом, V ω . k Для нахождения групповой скорости рассмотрим простейшую группу волн, которая является наложением двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ox , с 89 ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ одинаковыми амплитудами E 0 , близкими частотами ω и ω dω и волновыми числами k и k dk E E0 sin(ωt kx) E0 sin(ω dω)t (k dk ) x tdω xdk 2 E0 cos sin( ωt kx) . 2 tdω xdk медленно меняется в 2 Амплитуда этой группы волн E0 2 E0 cos зависимости от координаты x и времени t . Скорость распространения этой несинусоидальной волны есть скорость движения амплитуды. Амплитуда будет постоянна при tdω xdk const . Это постоянное значение амплитуды будет перемещаться со E скоростью «мгновенная» фотография волны dx dω , которая dt dt и является групповой скоростью. Таким образом, групповая скорость u x dω dk является производной от частоты по волновому числу. Найдем связь между групповой и фазовой скоростями. Циклическая частота ω связана с фазовой скоростью V соотношением ω kV . dω d dk dV dV 2π . Поскольку k , то (Vk ) V k V k dk dk dk dk dk λ c dV dV dV V dn . Так как V , то k . Выражение для групповой скорости k λ dk dλ dk n dλ n Тогда u можно переписать в виде u V k dV dV 1 dn V λ V 1 . dk dλ n dλ Групповая скорость является скоростью переноса световым импульсом энергии. При нормальной дисперсии u V , при аномальной u V . В недиспергирующей среде, в которой дисперсия отсутствует, вая скорость совпадает с фазовой u V . 90 dn 0 , группоdλ Квантовая природа излучения Квантовая физика К концу XIX века в физике насчитывалось немало выдающихся достижений. Созданные и развитые за предшествующие три столетия теории позволяли весьма успешно объяснять широкий круг явлений природы. Ньютоновская механика объясняла движение предметов на Земле и небесных тел. Электромагнитная теория Максвелла объясняла с единых позиций электрические и магнитные явления. Кроме того, теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн, возникли представления о волновой электромагнитной природе света. Казалось, что в целом физика правильно описывает все происходящие в мире процессы и явления. Во всяком случае, почти все. Некоторые существующие «белые пятна», не поддающиеся пока объяснению, должны были, по ожиданиям, найти свое решение в ближайшие 10 20 лет. Но все оказалось не так просто. Для объяснения, казалось бы, отдельных экспериментальных фактов потребовался пересмотр основных устоев физического знания, что привело к созданию двух принципиально новых теорий, существенно изменивших наши представления о природе. В результате этого, в начале ХХ века была создана новая физика, которую принято называть современной физикой, в отличие от физики, сложившейся до ХХ века, получившей название классической физики и являющейся частным случаем современной физики. Одну из новых теорий теорию относительности мы рассмотрели в первой части нашего курса. Там же мы говорили об экспериментальных результатах, для объяснения которых потребовалось создание теории относительности. Вторую теорию и условия ее создания мы будем рассматривать в данном разделе. Она получила название квантовой теории. Исторически сложилось так, что зарождение квантовой теории связано с объяснением спектральной плотности теплового излучения. С изучения этого явления мы и начнем. Тема: Квантовая природа излучения Вопросы: 1. Тепловое излучение. Свойства. Характеристики. 2. Модель абсолютно черного тела. Законы Кирхгофа, Стефана–Больцмана. Закон смещения Вина. 3. Теории Рэлея–Джинса и Вина. Формула Планка. 4. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. 5. Корпускулярно-волновой дуализм излучения. Фотон. Характеристики. 6. Эффект Комптона. Т е п л о в ы м и з л у ч е н и е м называется излучение электромагнитных волн нагретыми телами за счет внутренней энергии тел. Если тело имеет температуру больше абсолютного нуля (обладает внутренней энергией), то оно излучает. Если окружающие его тела имеют более высокую температуру, то количество поглощаемой телом энергии больше, чем излучаемой. Количество излучаемой энергии будет больше поглощаемой тогда, когда температура тела выше температуры окружающей тело среды (окружающих тел). Тепловое излучение в отличие от других свечений является равновесным, оно находится в равновесии с излучаемыми телами. Эта способность теплового излучения 91 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры и уменьшается при понижении температуры. Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено, и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться. Понижение температуры будет происходить до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, то есть количество излучаемой энергии будет меньше, чем поглощаемой, то температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким образом, нарушение равновесия в системе «тело–излучение» вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие. Независимо от начальной температуры, температура тела стремится стать равной температуре окружающей среды, в результате тело приходит в равновесие со средой и излучением. Для количественного описания теплового излучения введем его характеристики. Самой общей характеристикой является п о т о к э н е р г и и количество энергии, испускаемой нагретым телом в единицу времени. Более детальной характеристикой, которая учитывает неравномерность излучения с поверхности тела, является э н е р г е т и ч е с к а я с в е т и м о с т ь тела R количество энергии, излучаемой нагретым телом в единицу времени с единицы площади поверхности. Энергетическая светимость, как и поток энергии, зависит от температуры. Если излучение одинаково по всей поверхности, то по определению энергетической светимости R , S здесь S – площадь поверхности излучающего тела. Если излучение в разных точках поверхности различно, то R d , dS где d – поток энергии излучения участка поверхности тела площадью dS . И в полном потоке, и в светимости учитывается вся энергия, уносимая всеми электромагнитными волнами с длинами волн от нуля до бесконечности. Характеристикой, учитывающей спектральный состав излучаемой энергии, является с п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь э н е р г е т и ч е с к о й с в е т и м о с т и , которую еще называют и с п у с к а т е л ь н о й с п о с о б н о с т ь ю , rλ (или rν ). Она определяет энергию, уносимую в единицу времени с поверхности единичной площади электромагнитными волнами, длины волн (частоты) которого находятся в единичном интервале длин волн (частот). Для испускательной способности используют два выражения – rλ dRλ – dλ часть энергетической светимости, приходящейся на единичный интервал длин волн 92 Квантовая природа излучения dRν – часть энергетической светимости, приходяdν щейся на единичный интервал частот вблизи частоты ν . с Найдем связь между rλ и rν . Мы знаем, что для электромагнитных волн λ , ν c c тогда dλ или dv dλ . Для этих интервалов dν и dλ величины d ν λ2 ν2 dRλ и dRν должны совпасть, то есть dRλ rλ dλ rv dv dRν . Следовательно, вблизи длины волны λ , и rν ν2 rλ rν c и λ2 rν rλ . с С излучательными свойствами тел связана способность тел поглощать энергию, которая характеризуется п о г л о щ а т е л ь н о й с п о с о б н о с т ь ю или с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т ь ю п о г л о щ е н и я . Это доля энергии излучения, поглощенного поверхностью dWпогл (λ) (или dWпогл ( ν) ), от энергии излучения, достигшего поверхности dWпад (λ) (или dWпад ( ν) ), переносимого волнами с длинами волн (частотами) из бесконечно узкого диапазона (λ, λ dλ) (или ( ν, ν dν) ), aλ dWпогл (λ) dWпад (λ) или aν dWпогл (v) . dWпад (v) Экспериментально установлено, что отношение испускательной способности к поглощательной способности является универсальной функцией, не зависящей от свойств материала. Этот факт носит название з а к о н а К и р х г о ф а rλ φ( λ, T ) aλ или rν f ( ν, T ) . aν Универсальная функция, выраженная через длину волны – φ(λ, T ) , или через частоту – f (v,T ) , называется ф у н к ц и е й К и р х г о ф а . По поглощательным свойствам все вещества делятся на две группы: 1. Вещества, у которых поглощательная способность не зависит от длины волны, aλ a const , называются серыми телами. 2. Вещества, у которых поглощательная способность является некоторой функцией, зависящей от длины волны, aλ a(λ) , называются несерыми или окрашенными. Среди серых тел выделяют идеальную модель – а б с о л ю т н о ч е р н о е т е л о (АЧТ), полностью поглощающее все попадающее на его поверхность излучение (a 1) . Иногда говорят об абсолютно белом теле (a 0) . У серых тел поглощательная способность, называемая коэффициентом поглощения, находится в интервале 0 a 1 . Абсолютно черных тел в природе не существует, сажа и платиновая чернь, близкие по своим свойствам к АЧТ, имеют поглощательную способность около единицы 93 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА лишь в ограниченном интервале длин волн (частот). Однако можно создать реальный объект, сколь угодно близкий по свойствам к абсолютно черному телу. Таким свет объектом является малое отверстие в замкнутой полости. Чем меньше отверстие, тем ближе его свойства к свойствам АЧТ. Излучение, проникшее через отверстие внутрь полости, прежде чем выйти обратно претерпевает многократные отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение поглощается такой полостью. Если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т , то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Запишем закон Кирхгофа для АЧТ. Поскольку a 1 , то rλ rλ φ(λ, T ) (звездочкой * мы будем отмечать характеристики, относящиеся к АЧТ). Таким образом, оказывается, что функция Кирхгофа описывает испускательную способность АЧТ. Следовательно, функцию Кирхгофа можно исследовать экспериментально, изучая спектральный состав излучения объекта, обладающего свойствами АЧТ (например, отверстия в полости). Результаты исследований для разных температур приведены на рисунке. * Перейдем от спектральной плотности к энергетической светимости. Поскольку rλ dR , то dR rλ dλ , тогда энергетическая светимость dλ R dR rλ dλ 0 равна площади под графиком функции rλ (λ) для любого тела. Для а б с о л ю т н о ч е р н о г о т е л а R * 0 rλ*dλ φ(λ, Τ)dλ . 0 В 1879 году австрийский физик Йозеф Стефан (J. Stefan, 1835–1893), анализируя экспериментальные результаты, пришел к выводу, что энергетическая светимость про4 порциональна 4-й степени температуры – закон Стефана R ~ T . Через пять лет, в 1884 году, Людвиг Больцман (L. Boltzmann, , T r 1844–1906), исходя из термодинамических соображений, получил T1 T2 T3 этот результат теоретически и показал, что для АЧТ R* σT 4 , 8 1 94 2 3 Вт/м K – где σ 5,7 10 постоянная Стефана-Больцмана. Это соотношение называют з а к о ном Стефана–Больцмана. 2 4 Квантовая природа излучения Если серое тело не абсолютно черное, то Rсер aσT , где a – поглощательная 4 способность (коэффициент поглощения) серого тела (степень черноты). При исследовании функции Кирхгофа немецким физиком Вильгельмом Вином (W. Wien, 1864–1928) было установлено, что длина волны, соответствующая максимальной спектральной плотности, связана с температурой по закону λ max b , T 3 который получил название з а к о н а с м е щ е н и я В и н а , здесь b 2,9 10 K м – постоянная Вина. Было предпринято несколько попыток объяснения спектрального состава теплового излучения с позиций классической физики. Наиболее удачными были теория Рэлея–Джинса (J. Rayleigh, 1842–1919, J. Jeans, 1877–1946) и теория Вина. В теории Вина (1896 г.) было получено выражение спектральной плотности излучения АЧТ, согласующееся с экспериментом в области коротких волн и удовлетворяющее закону смещения Вина. При этом теория Вина в длинноволновой области качественно расТеория , T ходилась с результатами экспериментов. Рэлея–Джинса Рэлей в 1900 году предложил теоретический метод определения объемной плотности энергии теплового излучения, основанный на статистическом описании и теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы. Используя метод Рэлея, английский физик Джеймс Джинс в 1905 Теория году получил выражение для функции Кирхгофа φλ, T 2πc 4 Вина kT . λ Откуда следовало, что при λ 0 функция Кирхгофа φ . Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», поскольку если бы теория Рэлея-Джинса соответствовала действительности, то вся энергия практически мгновенно бы была излучена короткими волнами. В то же время теория Рэлея–Джинса удовлетворительно описывала экспериментально полученную спектральную плотность излучения АЧТ φ(λ) в области больших длин волн. С позиции классической физики, рассуждения и выводы Рэлея–Джинса и Вина являлись безупречными. Расхождение классических теорий с результатами экспериментов указывало на существование закономерностей, несовместимых с классическим описанием. Согласующееся с опытом выражение для спектрального состава теплового излучения было предложено в 1900 году Максом Планком (M. Planck, 1858–1947). Выражение Планка, описывающее экспериментальные результаты и называемое сейчас ф о р м у л о й П л а н к а , имеет вид: φλ, T 2πc 2 h λ5 1 hc λ e kT , 1 95 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА где h 6,63 10 34 Дж с – постоянная, известная сейчас под названием постоянной 23 Планка, k 1,38 10 Дж/ K – постоянная Больцмана, c – скорость света в вакууме. Первоначально М. Планк нашел функцию, описывающую экспериментальные данные и приводящую к результатам, полученным в теории Вина и Рэлея–Джинса, в тех областях, где указанные теории были справедливы. Лишь позже, через несколько месяцев, обдумывая теоретические предпосылки и физическую сущность полученного выражения, он пришел к заключению, что мог бы вывести найденную им функцию на основе нового, весьма радикального, чуждого классическим представлениям, предположения, что энергия колеблющихся атомов в твердых телах не может изменяться непрерывно, то есть, не может принимать любые значения. По гипотезе Планка минимальная порция изменения энергии ΔE колебания, имеющего частоту ν , равна ΔE hv . Г и п о т е з а П л а н к а – атомные осцилляторы (колеблющиеся атомы) могут изменять свою энергию только порциями (квантами) – принципиально расходилась с представлениями классической механики и явилась основой квантовой теории. По Планку колеблющийся атом твердого тела является не классическим, а квантовым осциллятором, и его энергия может быть равна только целому числу порций энергии ΔE Ε nΔE nhν n hc , λ где n 1, 2, 3... – целое число. Средняя энергия одного такого квантового осциллятора, равная E hc / λ hc λ e kT , 1 не будет равна средней энергии классического осциллятора E kT , где k – постоянная Больцмана. Законы Стефана–Больцмана, закон Вина, формула Рэлея–Джинса в согласующихся с экспериментом областях длин волн могут быть получены из формулы Планка. Действительно, найдем энергетическую светимость АЧТ, используя формулу Планка. По определению R* φ(λ, T )dλ , тогда 0 R* 0 2 2πc h λ5 1 hc λ e kT 2πk 4 x 3dx 4 T , где dλ 2 3 x c h 0 e 1 1 x hc . λkT 2π 5 k 4 x3dx 4 4 4 R * σ T T Так как x , то R* или , 2 3 15 15 c h e 1 0 где постоянная Стефана–Больцмана σ чина, которая выражается через константы. 96 2π 5 k 4 15c 2 h 3 действительно постоянная вели- Квантовая природа излучения Поскольку постоянная Больцмана была измерена экспериментально, то полученное для σ выражение впервые позволило вычислить введенную Планком постоянную. Оказалось, что h 6,6 10 34 Дж с . Теперь, получим формулу Рэлея-Джинса, справедливую для больших длин волн. Учтем, hc λ e kΤ что 1 при λ можно записать hc λ e kΤ 1 hc , λkT следовательно, hc . Подставляя в формулу Планка записанные приближенные выражеλkT ния, получим формулу Рэлея–Джинса ( λ, T ) 2πc 2 h λ5 1 hc λ e kT λ 1 2πc 2 h λkT 2πc 4 kT . hc λ5 λ Для получения закона смещения Вина, нужно найти max , при которой произ- φ 0 . Поскольку λ hc hc λ kT 2 e φ 2πc h λ kT 5 , hc hc λ 6 λkT λ kT e 1 λ e 1 водная от функции Кирхгофа равна нулю, то hc φ 0 при 4,965 (точного решения не существует). Таким образом, λ max kT получается закон смещения Вина λ max hc 1 b , 4,956k T T из которого находим постоянную Вина b hc 2,9 10 3 K м . 4,956k Гипотеза Планка была развита Эйнштейном. Поскольку по Планку энергия осцилляторов квантована, то из закона сохранения энергии следует, что энергия должна поглощаться и излучаться тоже порциями. Для проверки этой гипотезы Эйнштейн предложил провести количественные измерения в н е ш н е г о ф о т о э ф ф е к т а – испускания электронов металлами при облучении светом. Испускание заряженных частиц было открыто Г. Герцем в 1887 году, систематически исследовано А. Г. Столетовым (1838–1896) в 1888-89 годах. В 1898 году Ф. Ленардом (F. Lenard, 1862–1947) и Дж. Дж. Томпсоном было установлено, что испускаемыми заряженными частицами являются электроны. 97 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Из волновой теории света применительно к фотоэффекту, следовало, что: 1. Кинетическая энергия вылетевших электронов должна зависеть от интенсивности света Eкин f (I ) . 2. Кинетическая энергия электронов не должна зависеть от частоты света. Исходя из корпускулярной теории, Эйнштейн предсказывал, что: 1. Кинетическая энергия вылетевших электронов не должна зависеть от интенсивности облучения. 2. Кинетическая энергия должна линейно зависеть от частоты, когда ν ν 0 , где ν 0 – некоторая частота, названная к р а с н о й г р а н и ц е й ф о т о э ф ф е к т а , зависящая от свойств облучаемого металла. Свои выводы Эйнштейн получил, используя квантовые (корпускулярные) представления, согласно которым электрону передается световая энергия hv . Электрон при выходе из твердого тела расходует часть полученной энергии на совершение работы против удерживающих его в металле сил. Часть энергии может быть потеряна в результате столкновений. Неизрасходованная энергия останется у электрона в виде кинетической энергии. Она будет максимальной, если при выходе электрона он будет расходовать энергию только на работу выхода. Из этих рассуждений Эйнштейн получил для фотоэффекта соотношение hν A mV 2 max , 2 названное у р а в н е н и е м Э й н ш т е й н а д л я ф о т о э ф ф е к т а , являющееся по сути законом сохранения энергии, где hν порция (квант) энергии света, A работа mV 2 max Eкин – максимальная кинетическая выхода электрона из твердого тела, 2 энергия вылетевших электронов. Тогда Eкин hν A , и электроны покидают металл, при hν A , или ν Α ν0 , h где ν 0 и есть красная граница фотоэффекта. Предсказания квантовой теории света (теории Эйнштейна) были подтверждены в 1913-14 годах экспериментами талантливого экспериментатора Роберта Милликена (R. Millikan, 1868–1953). Количественные измерения фотоэффекта сильно зависели от состояния (чистоты) поверхности металла. Вакуумные условия, в которых проводились измерения до Милликена, были недостаточными, поэтому получаемые результаты были не воспроизводимы. Милликену удалось решить задачу получения и сохранения чистой поверхности металла. Схема опыта Милликена приведена на рисунке. Между двумя электродами, катодом ( K ) и анодом ( A ), подавалось напряжение U . При освещении фотокатода электроны при достаточной энергии кванта света покидали катод и, если поле между катодом и анодом позволяло, достигали анода. В этом случае с помощью амперметра ( I ) регистрировался ток фотоэлектронов (фототок). Если на анод подать отрицательное 98 Квантовая природа излучения относительно катода напряжение некоторой величины U З напряжение (потенциал) задержки, то протекание фототока прекратится. Потенциал задержки U З – это потенциал анода относительно катода, при котором на совершение работы против сил электрического поля тратится вся кинетическая энергия вылетевших фотоэлектронов. По определению 2 mVmax eU З . 2 Схема опыта Милликена по измерению фотоэффекта hv A V - K I U () () Для объяснения фотоэффекта было достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями, как и испускается. Однако Эйнштейн выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц, названных первоначально световыми квантами. Существование световых квантов экспериментально было доказано Вальтером Боте (W. Bothe, 1891–1957) в 1924 г. В опыте Боте тонкая металлическая фольга помещалась между двумя газозарядными счетчиками. Фольга освещалась слабым пучком рентгеновских лучей, под действием которых она сама становилась источником рентгеновского излучения. Вследствие малой интенсивности первичного пучка, если свет испускается квантами, то количество квантов, испускаемых фольгой, также должно быть невелико. С двух противоположных от фольги сторон располагались два датчика. Если бы излучаемая энергия распространялась равномерно во все стороны, то оба счетчика срабатывали бы одновременно. В действительности же наблюдалось совершенно беспорядочная, несинхронная, регистрация датчиками рентгеновского излучения. Это можно было объяснить только тем, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в одном, то в другом направлении. Таким образом, ряд экспериментов, в частности, фотоэффект и опыт Боте свидетельствовали, что свет ведет себя как поток частиц. Другие эксперименты, например, рассмотренные нами ранее дифракция и интерференция, показывали, что свет ведет себя как волна. Оба эти представления считались несовместимыми, но оба подтверждались экспериментами. В силу принципиальной невозможности разрешить это противоречие, физики пришли к выводу о двойственной природе света. Стало ясно, что свет является более сложным явлением, чем просто волна или поток частиц, и ни тот, ни другой способ описания света не позволяет учесть все его свойства. Датский физик Нильс Бор (N. Bhor, 1885–1962) сформулировал п р и н ц и п д о п о л н и т е л ь н о с т и – для объяснения данных эксперимента необходимо использовать либо волновые, либо квантовые (корпускулярные) свойства света, но не те и другие одновременно. Оба этих аспекта поведения света дополняют друг друга, являясь упрощенными и, в силу этого, ограниченными моделями сложного явления, каким является свет. Двойственная природа света получила название к о р п у с к у л я р н о – в о л н о в о г о д у а л и з м а с в е т а . Трудности восприятия дуализма обусловлены, прежде всего, тем, что используемые нами для понимания сложных явлений образы и модели ограничены повседневным опытом. 99 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Свет не является ни волной, ни потоком частиц. В некоторых процессах и явлениях свет удобнее описывать волновой моделью, в других экспериментах удобней пользоваться корпускулярной моделью. Частица, несущая минимальную порцию световой энергии E hν , получила впоследствии окончательное название ф о т о н . Энергия фотона равна E hν hc . λ Поскольку, как мы знаем из первой части курса физики, энергия связана с массой hν E hν h . Это р е л я т и в и с т c 2 c 2 λс с к а я м а с с а . Так как скорость фотона равна скорости света V с , то м а с с а п о к о я ф о т о н а равна нулю m0 0 . E mc 2 , мы можем найти массу фотона mф h . И м п у л ь с ф о т о н а pф mф с c λ Выражения для энергии, импульса и массы фотона связывают между собой корпускулярные и волновые свойства света. Свет может быть описан с помощью волны с длиной волны λ, частотой ν и фазовой скоростью с , или с помощью фотона с энергией E , импульсом p ф и массой mф . Некоторые явления, например, давление света можно описать с помощью и корпускулярной, и волновой теории. Давление света в волновой теории находится как P w (1 R) cos2 φ , где w – среднее значение объемной плотности энергии волны, R – коэффициент отражения света, φ – угол падения света. Среднее давление света в корпускулярной теории будет равно P hνnф (1 R) cos2 φ , где nф – концентрация фотонов в световом пучке, падающем на поверхность, и nф hν w – объемная плотность энергии падающего пучка. Результаты других экспериментов объясняются только с позиций одной из теорий. Например, выполненные в начале 20-х годов Артуром Комптоном (A. Compton, 1892–1962) опыты, в которых было открыто явление, получившее название э ф ф е к т а К о м п т о н а , объясняются только квантовой теорией света. Они явились еще одним доказательством справед ' ливости корпускулярных представлений. 100 Рассмотрим результаты, полученные Комптоном. Если вещество облучать рентгеновским излучением с длиной волны λ , то рассеянное под некоторым углом излучение будет иметь длину волны λ , которая больше длины волны падающего излучения на Квантовая природа излучения Δλ λ λ h (1 cos Θ) mc или Δλ Λ e (1 cos Θ) , где h – постоянная Планка, m – масса покоя электрона, c – скорость света в вакууме, e о h 0,24 нм 0,024 A – комптоновская длина волны электрона. mc Этот результат может быть легко объяснен на основании законов сохранения энергии и импульса при рассмотрении рассеяния рентгеновского излучения, как процесса упругого столкновения рентгеновского кванта с электронами облучаемого тела. pф ,' (рассеянный фотон) pф , (падающий фотон) Энергия электрона до столкнове2 ния равна mc (здесь m – масса покоя электрона), и импульс его равен нулю. После столкновения электрон будет обладать импульсом p и энергией p (электрон после столкновения – электрон отдачи) с p 2 m2c 2 . Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса hc hc mc 2 c p 2 m 2c 2 ; λ λ p, pф pф h h – импульс рассеянного фотона. где pф – импульс падающего фотона, pф λ λ' Разделим выражение закона сохранения энергии (первое равенство) на скорость света с и перепишем его в виде 1 1 p 2 m 2 c 2 h mc . λ λ' Возведение в квадрат дает 2 2 2 1 2 1 1 1 p m c h 2hmc m 2 c 2 . λ λ' λ λ' 2 Откуда 1 2 1 1 1 p2 h2 2 2 2hmc . λλ' λ' λ λ λ' 101 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА . После Из закона сохранения импульса (второе равенство) следует p pф pф 2 возведения в квадрат: p pф pф 2 или p 2 pф2 pф2 2 p ф p ф . h h pф pф cosΘ , и учитывая, что pф и pф , получим Поскольку pф pф λ λ' p2 h2 h2 h2 2 cos Θ . 2 2 λ λ λ λ Сравнивая с выражением, полученным из закона сохранения энергии h 2 2h 2 1 1 p 2 2 2hmc , 2 h2 находим 2 1 1 2h 1 cosΘ . 2hmc λ λ λλ Откуда mc(λ λ) h (1 cos Θ) . λλ λλ И окончательно получаем выражение формулы Комптона Δλ λ λ h (1 cosΘ) . mc Отметим, что мы рассмотрели рассеяние рентгеновских квантов на свободных электронах металла. Полное поглощение фотона свободным электроном невозможно. При таком поглощении не могут одновременно выполняться закон сохранения энергии и импульса. Если рассматривать рассеяние излучения на связанных электронах, находящихся в атомах, то вместо массы электрона надо брать массу атома. Следующий шаг в создании квантовой теории был связан с созданием и развитием модели атома, которую мы рассмотрим в следующей теме. 102 Модели атома Тема: Модели атома Вопросы: 1. Модели атома Томсона и Резерфорда. 2. Линейчатые спектры излучения водорода. Формула Бальмера. 3. Теория Бора. Постулаты. 4. Энергетический спектр атома в теории Бора. 5. Экспериментальное подтверждение теории Бора. 6. Спектр излучения атомов. Опыт Франка и Герца. 7. Значение и недостатки теории Бора. К началу ХХ века представление об атомарном строении вещества принималось большинством ученых. После открытия в 1898 году электрона, атом стали представлять имеющим внутреннюю структуру, элементом которой считали электрон. В 1902 году Кельвин предположил, что атом представляет собой некоторую положительно заряженную область, а в ней маленькие отрицательные электроны. Модель атома была уточнена Дж. Дж. Томсоном, который, сохранив гипотезу Кельвина о равномерном распределении положительного заряда, предположил, что электроны в атоме движутся. В модели атома Томсона был оценен размер атомов, который оказался по8 рядка 10 м . В течение 10-ти лет теория Томсона пользовалась всеобщим признанием, и на ее основе был объяснен ряд явлений. В дальнейшем выяснилась несостоятельность этой модели, и в настоящее время она представляет лишь исторический интерес, как одно из звеньев в цепи развития представлений о строении атомов. Распределение положительных и отрицательных зарядов в атоме можно выяснить экспериментально, произведя зондирование внутренних областей атома. Такое зондирование предложил провести Эрнест Резерфорд (E. Rutherford, 1871–1937) с помощью открытых им -частиц, наблюдая рассеяние частиц при прохождении через тонкие слои вещества. В 1910-11 годах в лаборатории Резерфорда были проведены эксперименты по рассеянию -частиц (-частица 2 Не – ядро атома гелия). В экспериментах Резерфорда узкий пучок ускоренных -частиц налетал на тонкую фольгу из золота. При прохождении через нее -частицы меняли направление движения. Рассеянные -частицы ударялись об экран Э , Э покрытый серебристым цинком и, вызываемые ими свечения (сцинтилляции) наблюдались в микроскоп. Микроскоп и экран можно было установить под любым углом к оси, проходящей через центр фольги. Если модель Томсона была бы справедлива, то частицы двигались бы почти прямолинейно, они не должны были отклоняться на большие углы. Результаты экспериментов противоречили этим предсказаниям. Были обнаружены -частицы, которые отклоняются на большие углы, близкие к 180 . Такое могло происходить только, если частицы испытывали отталкивание от массивного положительного объекта, сосредоточенного в малой области пространства. Основываясь на полученном из опытов выводе, Резерфорд в 1911 году предложил я д е р н у ю м о д е л ь а т о м а , согласно которой весь положительный заряд атома так же, как и вся масса атома, сосредоточен в малой 4 103 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА области атома, которая получила название я д р а (по аналогии с ядром клетки в биологии). Используя созданную им ядерную модель атома, Резерфорд рассчитал углы рассеивания -частиц, которые оказались в полном согласии с экспериментом. Размеры ядра, полученные из теории рассеяния Резерфорда, оказались порядка 10 15 м . Электроны, находящиеся в атоме, являясь значительно более легкими частицами (в 7300 раз легче -частиц), не могли существенно повлиять на движение -частиц. Поэтому про положение электронов в атоме эксперименты Резерфорда не могли дать никакой информации. И Резерфорд предположил, что электроны вращаются по некоторым орбитам вокруг ядра. Модель Резерфорда получила название п л а н е т а р ной модели атома. Планетарная модель атома Резерфорда явилась значительным шагом на пути к современному представлению о строении атома. Однако она не была совершенной. Эта модель обладает рядом недостатков, которые связаны с тем, что поскольку электроны в соответствии с планетарной моделью должны вращаться по окружностям, то есть двигаться с ускорением, то по представлениям классической теории электромагнетизма, как все движущиеся с ускорением заряды, они должны излучать энергию. Таким образом, в результате излучения, во-первых, электроны должны терять энергию. И, в конечном счете, электроны должны потерять всю свою энергию и упасть на ядро (за счет уменьшения энергии и радиуса орбиты). Время падения элек7 тронов на ядро должно составлять по оценкам 10 с . Во-вторых, атомы должны иметь непрерывный спектр излучения, с длинами волн от 0 до . С первым недостатком все понятно, если бы модель Резерфорда соответствовала действительности, то через 10 существование. 7 с после возникновения Вселенная прекратила бы свое Посмотрим, как обстоит дело со спектром излучения атомов. Мы уже рассматривали тепловое излучение твердых тел, которое обладает непрерывным спектром, что связано с колебаниями атомов и молекул, обусловленными их взаимодействием. Другая ситуация для атомов, которые не взаимодействуют. Для исследования излучения отдельных атомов используют разреженный газ. После пропускания электрического разряда через газ (для возбуждения атомов) газ начинал светиться. При этом излучение практически невзаимодействующих атомов разреженного газа оказалось состоящим из отдельных спектральных линий, каждая из которых соответствовала излучению электромагнитной волны с определенной длиной волны. Таким образом, как показал эксперимент, излучение атомов имеет не непрерывный, а л и н е й ч а т ы й с п е к т р . Для каждого вещества характерен свой спектр (набор длин волн). Для водорода, имеющего самый простой спектр (представлен на рисунке), было подобрано точное выражение, описывающее длины волн в спектре излучения, называемое о б о б щ е н н о й ф о р м у л о й Б а л ь м е р а (J. Balmer, 1825–1898) 1 1 1 R 2 2 , λ l n 104 Модели атома 1 4101,7Å Эти линии сейчас относят к серии Бальмера ( n 2 , l 3, 4,...). Первые че- 4340,5Å 1 1 1 R 2 2 . λ l 2 4861,3Å 7 6562,9Å где R 1,10 10 м – постоянная Ридберга (J. Rydberg, 1854–1919), n, l – целые числа, где l m . Первоначально, в 1885 году, Бальмер установил для четырех линий в видимой области спектра закон тыре линии ( H α , H β , H γ , H δ ) соответствуют l 3, 4, 5, 6 . Впоследствии было обнаружено, что серия Бальмера продолH H H H жается в ультрафиолетовой области при больших l . Выполненные позднее исследования спектра атомарного водорода показали, что в ультрафиолетовой и инфракрасной области спектра имеются другие серии линий, аналогичные серии Бальмера. Например, серия Лаймана (T. Lyman, 1874–1954) содержит линии с длинами волн в ультрафиолетовой области, описываемые законом 1 1 1 R 2 2 , l 2, 3,... λ 1 l Серия Пашена (F. Paschen, 1865–1947) – в инфракрасной области 1 1 1 R 2 2 , l 4, 5,... λ l 3 Модель Резерфорда оказалась не в состоянии объяснить линейчатые спектры атомов, так же, как и устойчивость атомов. Выход был предложен в 1913 году Н. Бором, который работал несколько месяцев в лаборатории Резерфорда и был убежденным сторонником планетарной модели атома. Для устранения недостатков Бор посчитал необходимым использовать представления начинавшей создаваться в то время квантовой теории. Следуя за Планком и Эйнштейном, Бор предположил, что электроны в атомах также не могут терять энергию непрерывно, и построил, исходя из этого предположения, атомную теорию, названную т е о р и е й Б о р а . В основе этой теории лежат п о с т у л а т ы Б о р а : 1. В атоме электроны могут находиться на некоторых орбитах, которые называются стационарными, не излучая энергии. 2. Атом излучает (или поглощает) энергию при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. Излучение (поглощение) происходит в виде светового кванта с энергией hv , равной разности энергий электрона на стационарных орбитах, между которыми осуществляется переход электрона. Для определения стационарных орбит, Бор ввел дополнительное условие – условие квантования – момент импульса электрона L на стационарной орбите может принимать только дискретные значения – только такая орбита будет стационарной L mVr h n n , 2π 105 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА h 1,05 10 34 Дж с также называется постоянной Планка, 2π здесь V – скорость электрона на орбите, r – радиус орбиты. где константа Это условие ниоткуда не может быть получено, оно является гениальным предположением Бора, позволившим ему получить результаты, согласующиеся с экспериментом. Посмотрим, что можно получить из постулатов Бора и условия квантования. Рассмотрим электрон в атоме водорода. F На единственный электрон в атоме со стороны ядра действует сила Кулона, которая равна Сила Кулона 1 е2 F , 4πε 0 r 2 где e – заряд электрона, которому в атоме водорода равен и заряд ядра, r – радиус орбиты электрона. По второму закону Ньютона для электрона ma F , причем ускорение вращаю- V2 щегося электрона будет центростремительным, a . R mV 2 1 е2 . Тогда второй закон Ньютона примет вид r 4πε 0 r 2 Похожий результат справедлив для всех атомных систем с одним электроном, ко торые называют водородоподобными ионами (атомами) ( He , Li ,...). Заряд ядра водородного атома равен Ze , тогда для водородоподобных атомов второй закон Ньютона вместе с условием квантования образует систему из двух уравнений с двумя неизвестными, где rn – радиус n -й стационарной орбиты и Vn – скорость электрона на n -й стационарной орбите. 2 1 Ze 2 mVn ; 4πε 0 rn2 rn h mVn rn n. 2π Решая систему уравнений, найдем радиусы стационарных орбит электрона rn n 2 h 2ε 0 πmZe 2 Ze 2 и скорость электрона на них Vn . 2nhε 0 o При n 1 и Z 1 получим r1 rB 0,53 A – наименьший радиус орбиты – радиус первой орбиты в атоме водорода, который называется р а д и у с о м Б о р а или боровским радиусом. 106 Модели атома Энергия электрона, находящегося на n -й орбите, складывается из его кинетической и потенциальной энергий En ( Eкин Eпот ) n . Эта энергия равна mVn2 1 Ze 2 Z 2e 4 m 1 En 8ε 2 h 2 n 2 . 2 4 πε r 0 n 0 Подставив константы, можем записать En 2,17 10 18 ( Дж) 19 Z n 2 13,6 ( эВ) Z n2 , где 1 эВ 1,6 10 Дж . В теории Бора энергия электрона в атоме может принимать только дискретный набор значений. Отметим, что теория Бора, по результатам, полученным теорией, является квантовой теорией, а по исходным уравнениям – это классическая теория, так как использован второй закон Ньютона – закон классической механики. Состояние атома, когда электрон находится на орбите с n 1 , называется о с н о в н ы м с о с т о я н и е м . Энергия атома водорода в основном состоянии E 13,6 эВ . Энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы вырвать его из атома, то есть перевести на орбиту с n , называется э н е р г и е й и о н и з а ц и и . Для атома водорода энергия ионизации Ei 13,6 эB . Энергия, необходимая, чтобы перевести электрон с первой орбиты на вторую, называется э н е р г и е й в о з б у ж д е н и я . Энергия возбуждения атома водорода Eв Е2 Е1 10,2 эВ . Энергетическая диаграмма (схема уровней энергий – энергетический спектр) для атома водорода имеет вид E n = n =3 n =2 0 –1,5 эВ (3-я орбита) –3,4 эВ (2-я орбита) Eв 10,2 эВ n =1 Ei 13,6 эВ –13,6 эВ (1-я орбита) Если электрон переходит с орбиты l на n , то при n l атом излучает энергию E El E n , если же n l , то атом поглощает энергию E E n El . По теории Бора разность энергий Z 2e 4 m 1 1 hc ΔE El En 2 2 , 2 8ε 0 h n l λ 107 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА будет унесена фотоном с длиной волны , и отсюда получаем выражение для обратной длины волны 1 Z 2e 4 m 1 1 2 2 2 2 . λ 8ε 0 ch n l Если Z 1 (атом водорода), полученное выражение является обобщенной формулой Бальмера, из которой находим значение постоянной Ридберга R e4m 8ε 0 ch 2 1,10 10 7 м 1 , совпадающее со значением, полученным из эксперимента. Спектр излучения атома водорода является экспериментальным подтверждением теории Бора. Другим подтверждением дискретности энергий электронов являются о п ы т ы Ф р а н к а и Г е р ц а (J. Franck, 1882–1964, G. Hertz, 1887–1975), проведенные в 1913 году. (Упрощенный вариант опыта Франка–Герца, в несущественно измененном виде, может быть выполнен в качестве лабораторной работы в лабораторном практикуме на кафедре физики.) В этих опытах изучалось прохождение через газ пучка электронов, ускоренного в электрическом поле. Первые опыты были проведены с прохождением электронов через пары ртути. Схема опыта представлена на рисунке. A K С G UУ UТ Накаленный катод К , испускающий электроны, сетчатый электрод С и анод А помещались в стеклянный сосуд, в котором находились ртутные пары при давлении около 0,1 мм рт. ст. Между катодом и сеткой создавалось электрическое поле, ускоряющее электроны до энергии eU У , где U У – разность потенциалов между катодом и сеткой, e – заряд электрона. Между сеткой и анодом создавалось слабое тормозящее поле с разностью потенциалов U T не более 0,5 В. Электроны, встречающие на своем пути атомы ртути, могут испытывать с ними соударения двоякого рода. Первый тип соударения – упругие столкновения, в результате которых энергия электронов не изменяется, а лишь изменяется направление движения электронов. Второй тип соударения – неупругие столкновения, при которых электроны теряют свою энергию, передавая ее атому ртути. Упругие соударения электронов с атомами ртути не могут воспрепятствовать электронам попадать на анод. Ускоряющее электрическое поле между катодом и сеткой 108 Модели атома по мере возрастания разности потенциалов U У должно вызывать возрастание анодного тока в трубке, и упругие столкновения не могут нарушить этой закономерности. В результате неупругих столкновений электроны теряют энергию. При определенных условиях они могут потерять всю свою энергию. В этом случае они не смогут преодолеть тормозящее поле, их энергии E не хватит для совершения работы против сил поля, если E eU T , и анодный ток через гальванометр G будет равен нулю. В соответствии с постулатами Бора атом не может принять энергию в любом количестве. Атом может принять лишь определенную порцию энергии и перейти в одно из возбужденных состояний. Ближайшим к основному, невозбужденному состоянию, является первое возбужденное состояние, для атомов ртути отстоящее от основного по шкале энергий на 4,86 эВ . До тех пор, пока UУ 4,86 В , электроны, ускоряемые по- лем, не приобретут энергию eU 4,86 эВ , и неупругое соударение электронов с атомами ртути невозможно. При UУ 4,86 В энергия электрона становится равной eU 4,86 эВ , и в результате неупругого удара с атомом ртути электрон полностью отдает свою энергию атому. Такой электрон не сможет преодолеть задерживающее поле между сеткой и анодом и не попадет на анод. Таким образом, при разности потенциалов между катодом и сеткой, равной 4,86 В , должно происходить резкое падение анодного тока. При разности потенциалов 2 4,86В , 3 4,86 В и так далее, когда электроны могут испытать два, три и т. д. неупругих соударения с атомами ртути, должно происходить то же самое. Действительно, Франком и Герцем было обнаружено резкое падение анодного тока при ускоряющем напряжении UУ 4,86 В , 9,72 В и 14,58 В , подтверждающее справедливость первого постулата Бора. I 4,9 9,8 14,7 UУ , В Второй постулат Бора также экспериментально подтвердился в опытах Франка и Герца. Ртутные пары, возбужденные электронным ударом, оказались источником ультрафиолетового излучения с длиной волны 253,7 нм . Это излучение соответствует переходу атома ртути, возбужденного электронным ударом на уровень с энергией E 2 , в основное энергетическое состояние с энергией E1 . Согласно постулату Бора 109 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА E2 E1 hv . Зная энергии E1 и E2 для ртути, можно вычислить длину волны излучения, которая оказывается в полном согласии с экспериментом. Выдающийся успех теории Бора заключается в том, что она объясняла линейчатый спектр атомов и точно предсказывала для атома водорода длины волн излучения. Кроме того, теория Бора также снимала вопрос о стабильности атомов. Вместе с тем эта теория имела свои недостатки: 1. Теория Бора не является ни последовательно классической, ни последовательно квантовой. Рассмотрение Бора по существу является классическим, но Бор сделал ряд допущений, противоречащих классическим представлениям. 2. Теория Бора не объясняет интенсивность линий. В спектре излучения даже атома водорода все линии имеют разные интенсивности, о которых нет даже речи в теории Бора. 3. Теория Бора не объясняет тонкую структуру спектра. В спектре водорода, кроме основных линий, удовлетворяющих формуле Бальмера, экспериментально наблюдались существенно более слабые по интенсивности линии, наличие которых теория Бора не объясняет. 4. Теория Бора не описывает более сложные объекты, чем водородоподобные атомы. Постепенно становилось очевидно, что теория Бора, правильно объяснившая одни факты и неспособная истолковать целый ряд других, представляет собой лишь переходный этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений. В настоящее время теория Бора имеет только историческое и познавательное значение, поскольку просто и наглядно вводит квантовые представления. Ряд результатов теория Бора предсказывает неправильно. Как оказалось, неверно и само условие квантования, лежащее в основе теории. Но многое выяснилось лишь после создания новой последовательной квантовой теории – квантовой механики, о которой мы поговорим в следующей теме. 110 Элементы квантовой механики Тема: Элементы квантовой механики Вопросы: 1. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. Гипотеза де Бройля. 2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. 3. Временное и стационарное уравнение Шрѐдингера. 4. Физический смысл волновой функции. 5. Решение уравнений Шрѐдингера для одномерной бесконечной потенциальной ямы. Собственные значения энергии. 6. Туннельный эффект. В 1923 году Луи де Бройль (L. de Broglie, 1892–1987) расширил представления о корпускулярно-волновом дуализме. Он задался целью определить, какой физический смысл имеет скорость фотона V h с точки зрения волнового описания. Причем он λm рассмотрел фотон как частицу, имеющую массу покоя (отличную от нуля), правда, взяв 50 ее за пределами экспериментального обнаружения m0 10 кг . Ему пришлось так поступить, поскольку в то время его оппоненты не признали бы частицей объект с нулевой массой. В результате де Бройль обнаружил, что таким образом определенная скорость частицы в волновой теории тоже имеет физический смысл – это групповая скорость волнового пакета (волнового импульса). Но поскольку его частица имела ненулевую массу, то тем самым он фактически доказал наличие волновых свойств у любого материального объекта, а не только у фотона, поскольку все выводы де Бройля были применимы к любому объекту. Из полученного результата де Бройль сделал предположение о к о р п у с к у л я р н о – в о л н о в о м д у а л и з м е всей м а т е р и и . Сформулируем основной результат де Бройля, называемый г и п о т е з о й д е Б р о й л я – поведение частицы массой m , движущейся со скоростью V , может быть описано как поведение волны с длиной волны , определяемой по формуле де Бройля λ h h . mV p То есть, любой объект с массой m и скоростью V , обладает свойствами некоторой волны, которая получила название – в о л н ы д е Б р о й л я . Оценим величину длины волны де Бройля. Сначала рассмотрим макрообъект, в качестве которого возьмем пылинку массой m 10 5 кг , падающую со скоростью V 10 2 м / с . Волна де Бройля пылинки будет иметь длину волны 6,6 10 34 λ 5 ~ 10 26 м . 2 10 10 Чтобы обнаружить волновые свойства пылинки, требуется дифракционная решетка с м . Но, поскольку минимальный размер ядра 10 15 м , а рас10 108 м , такую решетку создать нестояние между атомами в твердых телах 10 периодом порядка 10 26 возможно, и волновые свойства пылинки не могут быть экспериментально обнаружены. 111 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Теперь найдем длину волны де Бройля для микрообъекта, в качестве которого рассмотрим электрон массой m 9,1 10 длина волны де Бройля 31 кг и скоростью V 105 м / с . Для него 6,6 10 34 λ ~ 10 8 м . 31 5 9,1 10 10 Чтобы обнаружить волновые свойства электрона, необходима дифракционная решетка 10 8 с периодом решетки d ~ 10 10 м . Такой дифракционной решеткой может быть любой кристалл и, если электрон действительно обладает волновыми свойствами, то дифракция электронов должна наблюдаться экспериментально. Решающий эксперимент был проведен К. Дж. Дэвиссоном (C. Davisson, 1881– 1958) и Л. Х. Джермером (L. Germer, 1896–1971), которые в то время занимались исследованием дифракции рентгеновских волн, имеющих длину волны такого же порядка, что и дебройлевская волна электрона. Поэтому к ним и обратился А. Эйнштейн за экспериментальным подтверждением гипотезы де Бройля, которую он сразу очень высоко оценил. В 1927 году дифракция электронов была обнаружена, и измеренная в экспериментах Дэвиссона–Джермера длина волны совпала с дебройлевской длиной волны. Рассмотрим, каким образом была получена дифракция электронов. В электронной пушке ЭП создавался поток электронов, энергия и скорость которых определялись ускоряющим напряжением внутри пушки. Узкий пучок электронов с заданной скоростью направлялся на заземленный монокристалл ниЭП М келя М и отражался от него. Никелевую мишень можно было вращать вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Подвижный приемник электронов П вращался по изображенной на рисунке дуге вокруг той же оси и регистрировал электроны, рассеянные мишенью в разных направлениях, лежащих в плоскости рисунка. Опыты показали, что интенсивность рассеяния электронов имеет резкие максимумы в некоторых наП правлениях, что является следствием дифракции электронов. Применяя те же методы, которые они использовали для наблюдения дифракции на монокристалле рентгеновских лучей, Дэвиссон и Джермер экспериментально определили длину волны рассеянных электронов по распределению интенсивности отраженного монокристаллом электронного пучка. Вычислим дебройлевскую длину волны электронов в опытах Дэвиссона и Джермера. Кинетическая энергия Екин электрона зарядом е , прошедшего в ускоряющем его электрическом поле разность потенциалов Δφ , будет равна mV 2 Екин eΔφ . 2 2eΔφ Тогда скорость электронов V . m Подставляя ее в выражение для длины волны де Бройля, найдем 112 Элементы квантовой механики h h . mV 2emΔφ Подставив численные значения h , e и m , получим окончательное выражение, λ по которому можно вычислить дебройлевскую длину волны электрона λ 1,225 нм . Δφ Экспериментальные значения λ , полученные в опытах Дэвиссона и Джермера, находились в полном согласии с вычисленными по полученной формуле. В том же 1927 году Дж. П. Томсон (сын открывателя электрона как частицы, Дж. Дж. Томсона, автора первой модели атома), используя другую схему эксперимента, также обнаружил дифракцию электронов, еще раз доказав волновую природу электрона. Таким образом, гипотеза де Бройля, заключающаяся в утверждении о корпускулярно-волновом дуализме вещества, получила экспериментальное подтверждение. Отметим, что волны де Бройля не являются электромагнитными волнами. Эти волны связаны с движущимися частицами вещества, являются квантовыми по природе и не имеют аналога в классической физике. Корпускулярно-волновой дуализм материальных объектов вносит существенные ограничения в применение для описания движения объектов понятий координат и импульса в классическом смысле. Действительно, как можно говорить, например, о координате волны. Как следует из корпускулярно-волнового дуализма материи, при описании не только света, но и поведения любых объектов, которые мы привыкли считать материальными телами, необходимо применять принцип дополнительности Бора, о котором мы говорили при рассмотрении корпускулярно-волнового дуализма света. Сформулируем его применительно к веществу. Для объяснения данных эксперимента необходимо использовать либо волновые, либо квантовые (корпускулярные) свойства вещества, но не те и другие одновременно. Оба этих способа описания (волновой и квантовый) дополняют друг друга. Количественно ограничения описания поведения объектов выражаются соотношениями неопределенностей Гайзенберга. (W. Heisenberg, 1901–1976) – важными соотношениями, устанавливающими границы волнового и корпускулярного способов описания. Посмотрим, в чем заключаются эти ограничения. Допустим, что волна, описывающая частицу, монохроматична, следовательно, ей соответствует точное значение длины волны , и она имеет бесконечную протяженность. Тогда положение частицы, соответствующей этой волне, абсолютно не определено. Если волна немонохроматична, и волновой пакет (цуг) имеет вдоль оси Оx конечные размеры Δx , то есть положение частицы, соответствующей волне, по оси Оx может быть установлено с неопределенностью Δx , то указать длину этой волны мы можем только с некоторой погрешностью Δλ , поскольку ограниченный волновой импульс формируется волнами с длинами волн из диапазона от λ Δλ до λ Δλ , где λ – средняя длина волны диапазона. 113 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Допустим теперь, что частица имеет точную координату x , то есть ей соответствует волновой импульс бесконечно малой ширины. Тогда входящие в импульс волны будут иметь длины волн, значения которых находятся в диапазоне 0 λ . Это следствия корпускулярно-волнового дуализма материи. Получается, что, если мы знаем точно импульс частицы p (а значит, длину волны λ h ), то есть неопределенность импульса Δp 0 , то мы не можем знать, где эта p частица находится, принципиальная неточность определения координаты будет равна Δx Если мы точно знаем положение частицы x , то есть неопределенность координаты Δx 0 , то в принципе мы не можем знать импульс частицы (или длину волны), то есть неопределенность импульса Δp . Наиболее полно и точно этот факт был выражен В. Гайзенбергом в с о о т н о шениях неопределенностей h 2π h Δy Δp y 2π h Δz Δp z 2π Δx Δp x Обобщая все записанные соотношения, можно сказать, произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных, каковыми, в частности, являются координата и проекция импульса на эту же ось, не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка. Это утверждение носит название принципа (соотношения) неопределенностей Гайзенберга. Поскольку h ~ 10 34 Дж с , то неопределенности Δp x и Δx нахождения им2π пульса и координаты для макротел оказываются пренебрежимо малыми, много меньшими экспериментальных погрешностей реальных измерений. Например, для мяча массой m 0,5 кг , летящего со скоростью V 30 м / c , которая пусть определена с точностью ΔV 0,1 м / с , неопределенность координаты будет равна h 1 1 10 34 Δx 2 10 33 м . 2π mΔV 0,5 0,1 Это существенно меньше, чем любая разумная погрешность измерения координаты мяча. Таким образом, принцип неопределенности позволяет макрообъекты описывать как вполне классические частицы определенных размеров, как мы и поступаем в классической физике и обыденной жизни. В то же время для микрообъектов ограничения, устанавливаемые соотношениями неопределенностей, весьма существенны. Для электрона массой m 9,1 10 10 31 кг , на- м (порядка Боровского радиуса), неопредеходящегося в атоме размером Δx 10 Δ V ленность определения скорости будет равна 114 Элементы квантовой механики ΔV h 1 1 10 34 30 106 м / с . 10 2π mΔx 10 10 Это сравнимо с самой скоростью электрона, которая на первой орбите в атоме водорода равна V1 2 10 м / c . Таким образом, принцип неопределенности не позволяет описывать микрообъекты как привычные для нас классические частицы. Микрообъектами являются любые элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и др.), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т. п.). Всякий микрообъект представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны. Он не способен воздействовать на наши органы чувств – ни видеть, ни осязать его нельзя. Микротела «не похожи ни на что из того, что нам хоть когда-нибудь приходилось видеть». Сочетая в себе свойства частицы и волны, микротела не ведут себя ни как волны, ни как частицы. Отличие микрочастиц от волны заключается в том, что она всегда обнаруживается как неделимое целое. Никто никогда не наблюдал, например, половину электрона. 6 Вернемся к соотношениям неопределенности. Сопряженными переменными также являются энергия и время, следовательно, нельзя точно знать энергию микрообъекта, она будет неопределенной в пределах ΔЕ в течение по меньшей мере времени Δt h . То есть, ΔЕ ΔE Δt h . 2π Это еще одно из соотношений неопределенности Гайзенберга. Накапливающиеся «нагромождения» физических представлений, которые, может быть, и верно отражали важные, но частные результаты, привели к тому, что в начале 20-х годов многие физики стали все больше осознавать необходимость создания целостной и последовательной теории. Практически сразу после появления гипотезы де Бройля о волнах материи, в 1925-27 годах такая теория была создана Вернером Гайзенбергом и Эрвином Шрѐдингером (E. Schrödinger, 1887–1961) – к в а н т о в а я м е х а ника. Построенная В. Гайзенбергом матричная квантовая теория основана на формальном аппарате математических операторов. Она является инструментом физиковтеоретиков. Мы будем рассматривать более наглядную и не очень формальную волновую квантовую теорию Э. Шрѐдингера. Эквивалентность обеих теорий была доказана Э. Шрѐдингером. Шрѐдингер был осведомлен и о новых веяниях матричной теории, основные идеи которой В. Гайзенберг изложил в 1925 году. Но сложные методы матричной механики и недостаток наглядности не привлекали Шрѐдингера. Его на создание квантовой теории вдохновила гипотеза де Бройля, с которой он познакомился в 1925 году. Шрѐдингер, отталкиваясь от закона распространения световой волны в среде с меняющимся показателем преломления, поставил себе задачу получить волновое уравнение для волны де Бройля. Такое волновое уравнение в 1926 году им было найдено Δψ 2m 2 E U ψ 0 . 115 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Это было только началом новой теории. Это уравнение теперь носит название стационарного уравнения Шрёдингера. Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не выводимые, уравнение Шрѐдингера в квантовой механике постулируется. Справедливость уравнения Шрѐдингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в полном согласии с опытом. Уравнение Шрѐдингера, записанное в самом общем виде, называется н е с т а ц и о н а р н о е или в р е м е н н ò е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а и имеет следующее выражение: Ψ 2 i ΔΨ U ( x, y, z, t ) Ψ . t 2m h 1,05 10 34 Дж с – постоянная Планка, m – масса частицы, 2π U ( x, y, z, t ) – потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором частица на- Здесь ходится, Δ 2 x 2 2 y 2 2 z 2 – оператор Лапласа, который мы использовали при рассмотрении волнового уравнения, Ψ Ψ( x, y, z, t ) – волновая функция частицы, i 1 – мнимая единица. Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью V c ( с – скорость света в вакууме). В релятивистской области, при V c , вместо уравнения Шрѐдингера нужно использовать более сложное релятивистское уравнение Дирака, рассмотрение которого выходит за рамки нашего курса. Уравнение Шрѐдингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию Ψ( x, y, z, t ) , являющуюся решением уравнения: 1) функция Ψ должна быть конечной, непрерывной и однозначной; 2) производные Ψ , x Ψ , y Ψ , z Ψ t должны существовать и быть непрерывны; 3) квадрат модуля функции Ψ 2 должен быть интегрируем, то есть интеграл 2 xyz должен быть конечным (область определения интеграла по всем переменным от до ). 2 Третье условие относительно интегрируемости Ψ связано с тем, что физический 2 смысл имеет не сама функция Ψ , а квадрат ее модуля Ψ . Основное уравнение носит название в р е м е н н ò г о уравнения Шрѐдингера, потому что оно содержит производную от функции Ψ по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например, для описания поведения электрона в атоме, в ряде случаев важно уметь находить стационарное решение уравнения Шрѐдингера, не содержащее времени. Для решения этой задачи можно ис- 116 Элементы квантовой механики пользовать стационарное уравнение Шрѐдингера, в котором исключена зависимость Ψ от времени. Покажем, как получается стационарное уравнение из временнòго. Будем искать решение нестационарного уравнения в виде произведения ( x, y, z, t ) ( x, y, z ) (t ) , в котором разделены переменные – ψ является функцией координат, – функцией только времени. Подставляя Ψ во временное уравнение и производя дифференцирование, получим 2 i U ( x, y, z ) . t 2m Разделим правую и левую части уравнения на произведение 2 1 1 U ( x, y, z ) i . 2m t Полученное уравнение имеет ненулевое решение при единственном условии, когда обе части равны постоянной величине, поскольку слева стоит выражение, зависящее от пространственных переменных x , y , z , а справа - от времени t . Обозначим эту постоянную величину, имеющую смысл энергии, через E , тогда 2 1 1 φ Δψ U ( x, y, z ) E . i E и 2m ψ φ t Второе уравнение обычно записывают в виде Δψ 2m 2 ( E U )ψ 0 . Это и есть с т а ц и о н а р н о е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а . Введенная Шрѐдингером некоторая волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрѐдингера, вообще говоря, является комплексной функцией, и это уже не волна де Бройля, от которой отталкивался Шрѐдингер и которая на самом деле физического смысла не имеет. Далее мы будем рассматривать только стационарное уравнение Шрѐдингера и говорить о стационарных волновых функциях ψ , являющихся его решением. Волновая функция ψ является физической величиной, которая вместе с энергией Е полностью определяет состояния квантового объекта, то есть любой частицы, для описания которой используется квантовая механика. Физический смысл волновой функции долгое время был предметом дискуссии физиков. Сам Шрѐдингер предлагал в течение одного года три различных варианта ее понимания. Принятую сейчас интерпретацию ψ -функции дал Макс Борн (M. Born, 1882– 1970) в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля волновой функции частицы определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV 2 dP ψ dV . 117 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Интеграл от этого выражения должен равняться единице (взятый по всему объему) dP ψ 2 dV 1 – условие нормировки. Этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, то есть вероятность достоверного события, которая, естественно, равна единице. В соответствии с интерпретацией Борна, квадрат модуля ψ -функции является плотностью вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства. Если плотность вероятности не зависит от времени, как для функции ψ ψ( x, y, z ) , то состояния, которые описывает эта функция – называются с т а ционарными состояниями. Из физического смысла волновой функции следует, что квантовомеханическое описание имеет статистический характер. Оно не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая механика дает значительно менее точное и менее полное описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точные» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности же это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц, она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории не имеют смысла. В одномерном случае волновая функция зависит только от одной координаты, допустим x , ψ ψ( x) , тогда ψ x – плотность вероятности обнаружения частицы в 2 точке с координатой x . Вероятность обнаружения электрона dP в бесконечно малой окрестности dx точки x – x; x dx равна 2 dP ψ( x) dx . Чтобы найти квантовую частицу в конечной области пространства, необходимо сложить вероятности dP ее нахождения в бесконечно малых областях внутри конечной области. Для одномерного случая P Px1 , x2 – вероятность обнаружения электрона в области, ограниченной координатами x1 и x 2 , по определению будет равна x2 P dP x1 x2 2 ψ( x) dx . x1 Рассмотренная интерпретация волновой функции носит название копенгагенской интерпретации. Сам Шрѐдингер предлагал другую интерпретацию. Электрон представлялся ему электрически заряженным облаком вокруг ядра. По представлениям Шрѐдингера, фи2 зический смысл имело выражение e ψ , являющееся плотностью заряда электрона. Тогда полный заряд электрона равен e e ψ dV . 2 118 Элементы квантовой механики В окончательном сформулированном виде свое понимание физического смысла волновой функции Шрѐдингер предложил уже после принятия копенгагенской интерпретации. Кроме того, полуклассическое представление Шрѐдингера расходилось с квантовой идеологией. И хотя в физике твердого тела используют модели, основанные на интерпретации Шрѐдингера, тем не менее, общепринятой считается копенгагенская интерпретация. Теперь перейдем к решению стационарного уравнения Шрѐдингера. Рассмотрим простой случай электрона в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Для определения состояния электрона найдем значения энергии и соответствующие им волновые функции для частицы, находящейся в глубокой одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Поскольку яму считаем одномерной, то все характеристики зависят только от одной переменной. Это эквивалентно тому, что электрон может двигаться только вдоль одной оси, пусть это будет ось Ox . Ширину ямы обозначим a . Яма U имеет бесконечно высокие потенциальные стенки. То есть движение электрона ограничено непроницаемыми для него стенками при x 0 и x a . Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (см. рисунок), она равна нулю при 0 x a и обращается в бесконечность 0 a x при x 0 и x a . Поскольку яма одномерна и потенциал зависит только от координаты x , для решения задачи воспользуемся одномерным уравнением Шрѐдингера d 2ψ dx 2 2m 2 ( E U )ψ 0 , где ψ ψ( x) . Вне потенциальной ямы частица находиться не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы тождественно равна нулю. Соответственно, и функция ψ за пределами ямы равна нулю. Из требования непрерывности волновой функции следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, то есть ψ(0) ψ(a) 0 . Это краевое условие, которому должны удовлетворять волновые функции электрона, являющиеся решением уравнения Шрѐдингера. В области 0 x a , где ψ -функция не равна нулю, а потенциальная энергия электрона равна нулю, уравнение имеет вид d 2 ψ 2m Eψ 0 . dx 2 2 d 2ψ k 2 ψ 0 , решением Вводя обозначение k 2 E , придем к уравнению 2 dx 2 2m которого является любая функция вида ψ( x) Asin( kx α) . Из условия ψ(0) = 0 следует, что A sin α 0 , откуда находим, что 0 . Далее должно выполняться второе краевое условие (a) 0 , откуда 119 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Asin ka 0 , что возможно лишь в случае, если ka nπ (n 1, 2, 3,...). При этом n 0 отпадает, поскольку при этом получается ψ 0 – частица нигде не находится, что противоречит условию задачи. Подставив найденные выражения для k nπ , найдем значения энергии элекa k 2 2 трона E , которые называются с о б с т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и энергии 2m π 2 2 2 En n , (n 1, 2, 3,...). 2ma 2 Мы получили, что энергия электрона в потенциальной яме может принимать только дискретный набор значений. Причем, в теории Шрѐдингера дискретность энергии естественно получается из краевых условий, а не из искусственных условий, типа условий квантования, как в теории Бора. Соответствующие собственным значениям энергии волновые функции, описывающие возможные состояния электрона в яме, имеют вид ψ n ( x) A sin nπ x. a Пространственный период волновых функций, равный длине волны λ , находится из условия nπ λ λ 2π или n a . a 2 Последнее условие означает, что возможные состояния электрона в яме описываются только теми волновыми функциями, у которых на ширине ямы a укладывается полуцелое число длин волн. Несколько первых ( n 1, 2, 3 ) волновых функций и квадраты их модулей ψ 2 представлены на рисунке. E 3 2 3 1 2 120 3x a E2 4E1 , 2 A sin 2x a 2 2 x 2 2 E1 , 1 A sin 2ma a 1 0 E3 9E1 , 3 A sin a Элементы квантовой механики Неопределенная до сих пор в выражении волновой функции константа A может быть найдена из условия нормировки a ψ 0 2 a dx 1 или A sin 2 0 Если стенки ямы будут не бесконечными, то вероятность обнаружения электрона за пределами ямы не будет равна нулю, а будет стремиться к нулю при удалении от ямы. Если же ширина стенки конечна, то получается не стенка, а барьер, и наблюдается чисто квантовый эффект, который называется т у н нельным эффектом – электрон с некоторой вероятностью можно обнаружить сколь угодно далеко от ямы, в области, запрещенной с классической точки зрения. Эта вероятность сильно зависит от ширины барьера d и определяется величиной п р о зрачности барьер а D , которая равна 2 nπx dx 1 , откуда A . a a E 2 n2 1 n 1 x a 0 E n 0 a ad x 2 ad D D0 exp 2mU x E dx a для барьера произвольной формы U (x) . Для прямоугольного барьера U ( x) U 0 , после интегрирования получим 2 D D0 exp 2mU 0 E d , где D0 – постоянный коэффициент, близкий к единице. Мы рассмотрели основные понятия и определения квантовой механики и применение квантовомеханического описания для простых случаев. Результаты решения уравнения Шрѐдингера для более реальных моделей мы рассмотрим в следующей теме. 121 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Тема: Физика атомов и молекул Вопросы: 1. Решение уравнения Шрѐдингера для атома водорода. 2. Полная система квантовых чисел. 3. Распределение элементов в атоме по состояниям. Принцип Паули. 4. Электронная конфигурация атома. 5. Периодическая система химических элементов Менделеева. 6. Характеристическое рентгеновское излучение. Закон Мозли. 7. Молекулярные спектры излучения. 8. Электронные состояния молекул. Полная энергия молекулы. Мы уже рассматривали строения атома, используя теорию Бора. С помощью этой теории мы находили возможные значения энергии электрона в атоме водорода. Квантовая теория более полно и точно описывает строение атомов. Согласно ее результатам не существует вполне определенных боровских орбит. В силу волновой природы электрон «размазан» по пространству атома. Характеристики «электронного облака» в атоме водорода можно найти, решив уравнение Шрѐдингера для атома водорода, где электрон находится в электрическом поле ядра и имеет потенциальную энергию 1 Ze 2 U (r ) . 4 0 r Для атома водорода Z 1, для водородоподобных атомов Z – заряд ядра. Это задача с бесконечной ямой (яма радиально (цилиндрически) симметричная). Стационарное уравнение Шрѐдингера для водородоподобных атомов будет иметь вид U r 2m 1 Ze 2 Δψ 2 E ψ 0. 4πε 0 r Как следует из теории дифференциальных уравнений, записанное дифференциальное уравнение второго порядка имеет решение при любых положительных значениях E (при этих значениях энергии электрон находится вне атома) и не при любых отрицательных значениях E (электрон в атоме), а только при некоторых значениях E n , которые зависят от некоторого целого числа n , получаются в процессе решения уравнения и называются собственными значениями. С о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я э н е р г и и электрона в атоме водорода при решении уравнения Шрѐдингера получаются такие же, что и в теории Бора En 1 n2 Z 2 me 4 8h 2 ε 02 . Но при этом, если у Бора дискретность энергии получалась из некоторого непонятного условия квантования, здесь дискретность получается непосредственно при решении уравнения Шрѐдингера. 122 Физика атомов и молекул Решать уравнение Шрѐдингера мы не будем. Рассмотрим уже полученное (известное) решение. Волновая функция, описывающая состояния электрона в атоме, то есть являющаяся решением записанного уравнения для водородоподобных атомов, зависит от трех переменных (от расстояния до центра r атома и двух углов Θ, φ ), и от трех целых чисел n, l , ml . Формально это принято записывать так: ψ ψ n, l , ml r , Θ, φ . Для основного состояния атома водорода (n 1) волновая функция не зависит от угловых переменных Θ, φ , а зависит только от r и имеет вид r ψ1 (r ) 1 е rB , 3 πrB где rB – боровский радиус. В общем случае n, l , ml – квантовые числа, которые полностью определяют состояние электрона в водородоподобном атоме. Г л а в н о е к в а н т о в о е ч и с л о n определяет энергию электрона me 4 Z 2 En 2 2 2 . 8ε 0 h n О р б и т а л ь н о е ( а з и м у т а л ь н о е ) к в а н т о в о е ч и с л о l определяет орбитальный момент (момент импульса электрона) L l (l 1) . М а г н и т н о е к в а н т о в о е ч и с л о ml определяет проекции орбитального момента на выделенную ось LZ ml . Орбитальное (азимутальное) квантовое число l может принимать целые значения от l 0 до l n 1 (то есть 0,1,2 и т. д. до n 1 ). Магнитное квантовое число может принимать целые значения от до (то есть ml l ml l l , (l 1),...,1,0,1,...,(l 1), l ). Если электрон в атоме представить как некоторое «электронное облако», то от чисел n и l зависит размер и форма «электронного облака», а от ml – его ориентация. 2 В атоме водорода каждому уровню энергии соответствует n состояний, которые описываются разными волновыми функциями и отличаются квантовыми числами l и ml , то есть различаются значениями орбитальных моментов и их проекций. В частности, на первом уровне на втором уровне на третьем уровне n 1 l n2 l l l n3 l l 0 0 1 0 1 2 ml ml ml ml ml 0 0 0, 1 0 0, 1 одно состояние одно состояние одно состояние четыре состояния три состояния одно состояние три состояния ml 0,1,2 пять состояний девять состояний и так далее. 123 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Так распределены состояния в атоме водорода. Традиционно, вместо чисел для описания электронных состояний принято использовать буквы. l 0 , называют s -состоянием, Состояние, при котором l 1 , называют p -состоянием, l 2 , называют d -состоянием, l 3 , называют f -состоянием и т. д. Исторически эти первые четыре буквенных символа произошли от спектроскопических терминов, использованных в 1890-е годы при описании спектров щелочных металлов: s (sharp – резкий); p (principal – главный); d (diffuse – диффузный); f (fundamental – фундаментальный). Эти буквы не являются сокращениями слов, описывающих «форму электронного облака». Значение главного квантового числа указывается перед буквой, а количество x электронов в этом состоянии указывается верхним индексом в символе nl . Если электроны в атоме находятся в некоторых состояниях с определенными значениями квантовых чисел n и l , то считается заданной, так называемая э л е к т р о н н а я к о н ф и 2 2 1 г у р а ц и я . Например, 3s 3 p 3d ... s E p l 0 1 d f 2 3 В такой записи серия Лаймана – это переходы между состояниями np 1s ; серия Бальмера – np 2s , ns 2 p , или или nd 2 p и так далее. Здесь учтена особенE2 Серия Бальмера ность переходов, получающаяся в квантовой механике и названная правилом отбора – испускание энергии (фотона) будет происходить при переходе электрона между соE1 Серия Лаймана стояниями, когда орбитальное квантовое число меняется на единицу, то есть l 1. Правило отбора является следствием закона сохранения момента импульса. E4 E3 Максимум 2 для электрона в 1s состоянии (основном состоянии n 1 , l 0 ) атома водорода Z 1 соответствует расстоянию до центра атома, равному о радиусу Бора rB 0,53 A . В общем случае при произвольных n основной максимум плотности вероятности обнаружения электрона ψ n ский радиус. 124 2 приходится точно на n -й боров- Физика атомов и молекул 2 1s 2s 3s rБ 4rБ 9rБ r После решения квантовомеханической задачи для водорода, были решены задачи для более сложных элементов. В 1927 году Вальтер Гайтлер и Фриц Лондон (W. Heitler, 1904–1981, F. London, 1900–1954) решили квантовомеханическую задачу для H 2 (два протона, два электрона) в приближении неподвижных протонов. Затем были найдены спектры энергии для других молекул. Теория Шрѐдингера была в 1928-32 годах модифицирована Полем Дираком (P. Dirac, 1902–1984), который установил, что электрон обладает еще одним свойством (квантовым числом), которое получило название с п и н (от англ. spin – верчение) или с п и н о в о е к в а н т о в о е ч и с л о . Первоначально спин связывали с вращением электрона вокруг своей оси. Но на самом деле это не более чем иллюстрация, спин – это чисто квантовое явление и классического аналога не имеет. Спиновое квантовое число ms является четвертым квантовым числом. Для 1 1 . Говорят, что спин электрона может быть направлен вверх 2 2 1 1 или вниз . 2 2 Спиновое квантовое число ms связано с проекцией собственного момента, кото- электронов ms , рый для электрона равен Ls 1 1 3 1 . 2 2 2 Проекция собственного момента на выделенную ось может принимать значения 1 Lsz ms . 2 Понятие «спин» не укладывается в наши «макропредставления» о пространстве. При всех способах его регистрации спин всегда направлен вдоль той оси, которую наблюдатель выбрал за исходную. Значение спина 1/2 означает, что электрон становится идентичным сам себе при обороте на 7200, а не 3600, как в нашем трехмерном мире. Можно сказать, что мы в некотором смысле лишь наполовину воспринимаем мир, дос125 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА тупный электрону. Некоторое представление о «двойном повороте» дает замкнутая двухвитковая петля с бусинкой на ней. В результате «двойного поворота» создаваемое электроном магнитное поле вдвое больше того, которое мог бы дать вращающийся заряженный шарик. Спин принято считать одним из фундаментальных свойств природы (то есть он невыводим, как гравитация и электричество). Таким образом, полную систему квантовых чисел электрона в атоме образуют четыре числа n, l , ml , ms , которые полностью определяют состояние электрона, то есть волновую функцию состояния. Введение спина позволило объяснить тонкую структуру спектра атома водорода, полученную из опытов, которая была необъяснима в теории Бора. Поскольку спин электрона полуцелый, он относится к частицам, которые имеют полуцелый спин, и называются ф е р м и о н а м и . Частицы, имеющие целый спин, называются б о з о н ы (примером бозона является фотон). Для всех фермионов выполняется п р и н ц и п з а п р е т а П а у л и (W. Pauli, 1913–1958): в квантово механической системе фермионы не могут занимать состояния с одинаковым набором квантовых чисел. Значение хотя бы одного квантового числа у двух электронов в атоме должно быть различным. В соответствии с этим принципом происходит заполнение электронами состояний в атоме. Пользуясь принципом Паули, можно найти максимальное число электронов в атоме, имеющих заданные значения трех (n, l , m) , двух (n, l ) и одного n квантовых чисел. Найдем максимальное число Z 2 (n, l , m) электронов, находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел n, l и m , то есть отличающихся лишь ориентацией спинов электронов. Поскольку число ms может принимать лишь два зна- 1 1 и , очевидно, имеем Z 2 (n, l , m) 2 . Вычислим далее максимальное 2 2 число электронов Z 3 (n, l ) , находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами n и l . Момент импульса может иметь (2l 1) различных ориентаций в пространстве, поскольку орбитальное квантовое число l может принимать 2l 1 значение, то число электронов Z 3 (n, l ) будет равно Z 3 (n, l ) 2(2l 1) . Значения Z 3 (n, l ) для разных l приведены в таблице. чения: Значение орбитального квантового числа l Символ соответствующего состояния электронов Максимальное число электронов Z 3 (n, l ) 0 s 2 1 p 6 2 d 10 3 f 14 4 g 18 Наконец, найдем, пользуясь принципом Паули, максимальное число Z (n) электронов, находящихся в состояниях, определяемых значением n главного квантового числа. Так как l при заданном n может принимать значения от 0 до (n 1) , то суммируя Z 3 (n, l ) по l от 0 до (n 1) , получим 126 Физика атомов и молекул n 1 Z (n) 2(2l 1) 2n 2 . l 0 В таблице приведены максимальные числа электронов, находящихся в состояниях, характеризуемых одинаковыми значениями главного n и орбитального l квантовых чисел. Заданные квантовые числа n, l , m, ms 1 Максимальное число электронов n, l , m 2 n, l 2(2l 1) n 2n 2 Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с одинаковыми значениями главного квантового числа n , образуют э л е к т р о н н у ю о б о л о ч к у или э л е к т р о н н ы й с л о й , которые обозначаются буквами K , L, M и т. д. для n 1 , 2 , 3 , …, соответственно. В каждой оболочке электроны распределяются по подгруппам, или подоболочкам, каждая из которых соответствует определенному значению орбитального квантового числа l . В таблице приведены максимальное число электронов, находящихся в состояниях, характеризуемых данными значениями главного n и орбитального l квантовых чисел. Количество электронов в подоболочках N 1 2 3 4 5 Слой (оболочка) K L M N O s(l 0) p(l 2) d (l 2) f (l 3) g (l 4) Количество электронов в оболочке 2 2 2 2 2 6 6 6 6 10 10 10 14 14 18 2 8 18 32 50 Для непосредственного «строительства» электронных оболочек атомов необходимо использовать еще одно правило, сформулированное в 1927 г. Фридрихом Хундом (F. Hund, 1896): наиболее устойчивы при данном l состояния с наибольшим суммарным спином, то есть количество заполненных орбиталей на данном подуровне должно быть максимальным (по одному электрону на орбиталь). Принцип Паули сыграл важную роль в развитии современной атомной и ядерной физики. Без принципа Паули невозможно было бы создать современную теорию твердых тел. Но самое главное, с помощью принципа Паули удалось теоретически обосновать периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1834–1905). В 1869 г. Д. И. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов в зависимости от их атомных весов. Если расположить химические элементы в порядке возрастания их атомных весов, то через правильные промежутки, называемые периодами, элементы обнаруживают сходные физикохимические свойства, что позволило расположить элементы в виде таблицы, каждая строка которой соответствовала одному периоду. Однако сам Менделеев, расположив 127 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА известные в его время 64 химических элемента в таблицу, отражающую периодическое изменение химических свойств элементов, был в ряде случаев вынужден отступить от принципа возрастания атомных весов. Менделеев ввел понятие о порядковом номере элемента и, расположив химические элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодичность в изменении химических свойств элементов. При этом часть клеток периодической системы осталась свободной, так как соответствующие им элементы тогда еще не были известны. Таким образом, Менделееву удалось на основании открытого им закона предсказать ряд новых химических элементов (галлий, скандий, германий и др.) и описать их химические свойства. В дальнейшем все эти элементы были открыты, и предсказания Менделеева полностью подтвердились. Менделееву удалось также внести уточнения в значения атомных весов и некоторые свойства ряда элементов. Атомные веса бериллия, титана, цезия и урана, вычисленные на основе закона Менделеева, оказались правильными, а экспериментальные данные о них, полученные до этого, – ошибочными. Это явилось подлинным триумфом закона Менделеева. Являясь одним из важнейших законов природы, периодический закон Менделеева составляет основу современной химии, атомной и ядерной физики. Физический смысл порядкового номера Z элемента в периодической системе элементов был установлен в ядерной модели атома Резерфорда: Z совпадает с числом положительных элементарных зарядов в ядре, закономерно возрастающих на единицу при переходе от предыдущего элемента к последующему. Химические свойства элементов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, так называемых валентных, электронов атомов. Квантовое обоснование периодической системы основывается на следующих положениях: 1) порядковый номер химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента; 2) состояние электронов в атоме определяется набором их квантовых чисел n, l , m и ms . Распределение электронов в атоме по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума потенциальной энергии: с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией; 3) заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули и правилом Хунда. Процесс застройки электронных оболочек первых 36 элементов периодической системы представлен в таблице. Электронная конфигурация натрия, например, имеет 2 2 6 вид: 1s 2s 2 p 3s . У следующих за натрием элементов нормально заполняются подоболочки 3s и 3 p . Подоболочка 3d при данной общей конфигурации оказывается энергетически выше подоболочки 4 s , в связи с чем при незавершенном в целом заполнении оболочки M начинается заполнение оболочки N . Подоболочка 4 p лежит уже выше, чем 3d , так что после 4 s заполняется подоболочка 3d . С аналогичными отступлениями от обычной последовательности осуществляется застройка электронных уровней всех атомов. При этом периодически повторяются сходные электронные конфигурации сверх полностью заполненных подоболочек (например, 1s, 2s, 3s и т. д.). Периодичность химических свойств элементов объясняется повторяемостью электронных конфигураций во внешних электронных подгруппах у атомов родственных элементов. 128 Физика атомов и молекул Периодическая система элементов Д. И. Менделеева Элемент 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn F Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr К 1s 2s 2p 3s M 3p 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 L конфигурация неона конфигурация аргона конфигурация меди N 3d 4s 4p 1 2 3 5 5 6 7 8 10 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 Теоретическое объяснение периодического закона Менделеева – одного из важнейших законов естествознания – явилось величайшим достижением современной физики. 129 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Как мы видим, квантовая механика позволила объяснить известные к тому времени особенности строения и свойства атомов химических элементов. Обоснованные в квантовой механике законы строения химических элементов нашли полное подтверждение в экспериментах по излучению атомов. В отличие от атома водорода, спектры излучения атомов с большим номером Z находятся в рентгеновской области спектра. Это излучение происходит при бомбардировке ускоренными электронами материала, который в рентгеновской установке называется антикатодом. Известно два вида р е н т г е н о в с к о г о и з л у ч е н и я – тормозное и характеристическое. При не слишком больших энергиях бомбардирующих антикатод электронов наблюдается лишь тормозное излучение, обладающее сплошным спектром и не зависящее от материала антикатода. Это излучение является, как следует из названия, излучением тормозящих в веществе электронов, которые как любая заряженная частица, движущаяся с ускорением, испускает электромагнитное излучение. Максимальная энергия рентгеновских квантов hν равна энергии электронов eU , ускоренных разностью потенциалов U . Когда энергия бомбардирующих электронов становится достаточной для вырывания электронов из внутренних оболочек атома, на фоне тормозного излучения появляются резкие линии характеристического рентгеновского излучения, имеющего линейчатый спектр. Свое название излучение получило, потому что особенности спектра (положение линий) полностью определяются химическими элементами антикатода рентгеновской трубки, являясь тем самым их характеристиками. Атомы каждого химического элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, имеют свой, вполне определенный (характерный) линейчатый спектр характеристических рентгеновских лучей. Посмотрим, что собой представляют характеристические рентгеновские спектры, которые отличаются заметной простотой. Они состоят из нескольких серий, обозначаемых буквами K , L, M , N и т. д., в соответствии с обозначениями электронных слоев. Каждая серия насчитывает небольшое число линий, обозначаемых индексами α, β, γ... (в порядке возрастания частоты). Спектры разных элементов имеют сходный характер. При увеличении атомного номера Z весь рентгеновский спектр в целом лишь смещается в коротковолновую часть, не меняя существенно своей структуры. 33 As 34Se 35Br 37 Rb 38Sr 41Nb 45Rh 130 Физика атомов и молекул Схема возникновения рентгеновских спектров представлена на рисунке. E0 N M M серия L M Возбуждение L серии L L L серия K Возбуждение K серии K K K K серия Возбуждение атома заключается в удалении одного из внутренних электронов. Если вырывается один из двух электронов K -слоя, то освободившееся место может быть занято электроном из какого-либо внешнего слоя ( L, M , N и т. д.). При этом возникает K -серия. Аналогично возникают и другие серии. Английский физик Генри Мозли (H. Moseley, 1887–1915) установил в 1913 году закон, связывающий частоты линий рентгеновского спектра с атомным номером испускающего их элемента. З а к о н М о з л и устанавливает, что корень квадратный из частоты является линейной функцией атомного номера Z ν C ( Z σ) , ( С и σ – константы). На рисунке изображены построенные по экспериментальным точкам графики зависимости ν от Z для линий K α и Lα . По таким графикам можно судить, насколько точно выполняется закон Мозли. Этот закон позволяет по измеренной длине волны рентгеновских линий точно установить атомный номер данного элемента. Он сыграл большую роль при размещении элементов в периодической системе. , с-1/2 8·109 К-серия (К) 9 6·10 4·109 L-серия (L) 2·109 0 20 40 60 80 Z 131 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Мозли дал теоретическое объяснение найденного им закона. Закон Мозли имеет такое же физическое содержание, как и формула Бальмера для водородоподобных атомов 1 1 ν RZ 2 2 2 , m n где R – постоянная Ридберга для частот , которая выражается через постоянную Ридберга R для длин волн: R сR . Только для многоэлектронных атомов за счет экранирования ядра электронами эффективный заряд ядра меньше Z , причем он разный для разных оболочек. С учетом экранировки заряда ядра закон Мозли имеет вид Z σ n 2 Z σ m 2 ν R , 2 2 n m где σ n , σ m – постоянные экранирования для соответствующих уровней. При σ n σ m σ мы получим экспериментально установленное выражение закона Мозли ν R n2 m2 Z σ или ν C Z σ . Благодаря различному поглощению рентгеновских лучей при прохождении их через неоднородные препятствия эти лучи нашли широкое применение в медицине для просвечивания и в различных областях науки и техники для дефектоскопии. Например, при просвечивании человеческого тела поглощение в костях, состоящих главным образом из фосфорнокислого кальция, приблизительно в 150 раз превышает поглощение в мягких тканях тела, где поглощает в основном вода. Поэтому при просвечивании резко выделяется тень от костей. Рентгеновская дефектоскопия твердых тел также основана на зависимости поглощения рентгеновских лучей от атомного номера Z в оптически непрозрачных твердых телах. В зависимости от атомного номера Z материала дефектных включений в теле при его просвечивании границы дефектов будут на экране обозначены по-разному. Если дефекты имеют атомные номера Z меньше, чем вещество тела, то область, занятая дефектами, окажется более светлой, чем остальное поле зрения. В противоположном случае дефектная область окажется затемненной. Методом рентгеновской дефектоскопии определяется не только площадь, занимаемая дефектом, но и его толщина. Для этого тщательно измеряется ослабление рентгеновских лучей в области нахождения дефекта и вне ее. Кроме рассмотренных нами линейчатых спектров (оптических и рентгеновских) спектр излучения может быть полосатым. Возникновение п о л о с а т ы х с п е к т р о в , получающихся при излучении молекул, связано не только с внутриатомными процессами, но и с процессами, происходящими в молекулах. Характер этих спектров, наряду с движением электронов, определяется колебанием и вращением ядер атомов, образующих молекулу. При большом разрешении спектрографов полосатые спектры раскладываются более или менее отчетливо на отдельные близко расположенные линии. С квантовой точки зрения, так же, как и в случае атомных спектров, каждая линия молекулярного спектра обусловлена переходом молекулы с одного стационарного энергетического уровня на другой. 132 Физика атомов и молекул В самом простом случае двухатомной молекулы ее энергия складывается из трех частей: 1) энергии электронной оболочки молекулы; 2) энергии колебаний ядер атомов, входящих в молекулу; 3) энергии вращения ядер вокруг общего центра масс. Все три вида энергии могут принимать только набор дискретных значений. Различают два типа молекул: гомеополярные и гетерополярные. Гомеополярные молекулы при увеличении расстояния между ядрами распадаются на нейтральные части. К числу гомеополярных молекул относятся молекулы H 2 , O2 и N 2 . Гетерополярные молекулы при увеличении расстояния между ядрами распадаются на положительный и отрицательный ионы. Характерным примером гетерополярных молекул являются молекулы солей, например NaCl , KJ и т. д. Э н е р г е т и ч е с к и е с о с т о я н и я э л е к т р о н н о г о о б л а к а гомеополярной молекулы определяются в значительной мере волновыми свойствами электронов. Рассмотрим очень простую и грубую модель самой простой молекулы (ионизиро ванной молекулы водорода H 2 ), представляющую две потенциальные «ямы», находящиеся на близком расстоянии друг от друга и разделенные «барьером». Каждая из «ям» соответствует одному из атомов, входящих в состав молекулы. При большом расстоянии между атомами электрон в каждом из них обладает квантованными значениями энергии, соответствующими электронным состояниям в каждой из «ям» в отдельности. На рисунках a и б изображены две одинаковые волновые функции , описывающие состояние электронов, находящихся в изолированных атомах. Этим волновым функциям соответствует один и тот же энергетический уровень. в a б г При сближении атомов в молекулу «барьер» между «ямами» становится «прозрачным». В результате этого возникает обмен электронами между атомами сквозь «барьер», и теряет смысл говорить о принадлежности электрона тому или иному атому. Волновая функция теперь может иметь две формы в и г , представленные на рисунке. Случай в приближенно может рассматриваться как результат сложения кривых a и б , случай г – как разность a и б , но энергии, соответствующие состояниям в и г , уже не равны точно друг другу. Энергия состояния в несколько меньше энергии состояния г . Таким образом, из каждого атомного уровня возникают два молекулярных электронных уровня. 133 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Это для ионизированной молекулы водорода, обладающей одним электроном. В нейтральной молекуле водорода два электрона, что приводит к необходимости учитывать взаимное расположение их спинов. В соответствии с принципом Паули электроны с параллельными спинами «избегают» друг друга, поэтому плотность вероятности нахождения каждого электрона распределена так, что электроны чаще всего находятся вне промежутка между ядрами (верхний рисунок). Поэтому, при параллельных спинах не может образоваться устойчивая молекула. Наоборот, антипараллельные спины соответствуют наибольшей вероятности нахождения обоих электронов внутри промежутка между ядрами (нижний рисунок). В этом случае отрицательный электронный заряд притягивает к себе оба положительных ядра, и вся система и целом образует устойчивую молекулу. У гетерополярных молекул картина распределения плотности электронного заряда имеет гораздо более классический характер. Около одного из ядер группируется избыток электронов, около другого, наоборот, имеет место недостаток электронов. Таким образом, в составе молекулы образуются два иона, положительный и отрицательный, которые притягиваются друг к другу: в NaCl , например, Na и Cl . К о л е б а т е л ь н а я э н е р г и я м о л е к у л ы , связанная с колебаниями ядер, квантуется, исходя из учета волновых свойств ядер. Принимая, что ядра в молекуле связаны квазиупругой силой (потенциальная энергия частицы пропорциональна квадрату смещения), из уравнения Шрѐдингера получаются следующие возможные значения колебательной энергии этой системы (гармонического осциллятора): 1 Eкол hν n , 2 где n 0, 1, 2 … – квантовое число (номер уровня колебательной энергии), ν – частота собственных колебаний ядер, определяемая, как для маятника на пружине: ν 1 k , 2π M M 1M 2 – приведенная масса ядер; M 1 и M 2 – массы ядер; k – M1 M 2 квазиупругая константа молекулы. Вследствие большой величины массы M частота лежит в инфракрасной области спектра. Квазиупругая константа k зависит от конфигурации электронной оболочки и погде M этому различна для различных электронных состояний молекулы. Эта константа тем больше, чем прочнее молекула, то есть, чем сильнее химическая связь. 134 Физика атомов и молекул Колебательным уровням энергии соответствует система равноотстоящих энергетических уровней, расстояние между которыми равно hν . На самом деле при больших амплитудах колебаний ядер уже начинают сказываться отступления возвращающей силы от закона Гука. В результате расстояние между энергетическими уровнями уменьшается с увеличением энергии. При достаточно больших амплитудах наступает диссоциация молекулы на части. Для гармонического осциллятора разрешены переходы только при n 1 , что соответствует испусканию или поглощению света частоты ν . За счет отступлений от гармоничности появляются переходы, соответствующие n 2, 3 . Согласно квантовому условию для частот в спектре излучения должны появиться Колебательные линии, соответствующие частотам 2 ν , 3ν , ..., Электронные уровни что и наблюдается в спектрах молекул. уровни Колебательная энергия представляет собой сравнительно небольшую добавку к энергии электронного облака молекулы. Колебания ядер приводят к тому, что каждый электронный уровень превращается в систему близких уровней, соответствующих различным величинам колебательной энергии. Этим не исчерпывается сложность системы энергетических уровней молекулы. Для полноты картины необходимо еще учесть самую маленькую составляющую молекулярной энергии – в р а щ а т е л ь н у ю э н е р г и ю . Возможные значения вращательной энергии определяются, согласно квантовой механике, на основании принципа квантования углового момента (момента импульса). Как мы отмечали, момент импульса любой квантовой системы равен L m(m 1) , целое число m , соответствующее номеру уровня вращательной энергии, в данном случае является аналогом квантового числа l атома и равно 0, 1, 2, 3 и т. д. Кинетическая энергия вращающегося тела, как мы получили в первой части курса, когда рассматривали механику твердых тел, будет равна Iω 2 , 2 где I – момент инерции, ω – угловая Eвр скорость вращения. Мы там же определили, что момент импульса равен L Iω . Отсюда получаем Eвр L2 , 2I или, подставляя выражение для момента импульса, окончательно находим h Враща Колеба тельные Электрон тельные уровни ные уровни уровни 135 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Eвр 2 [m(m 1)] . 2I В отличие от колебательных и атомных уровней расстояние между вращательными уровнями увеличивается с ростом m . Между вращательными уровнями разрешены переходы при m 1 , при этом испускаются линии с частотами Eвр m Eвр m1 h 2 m, I где m 1, 2, 3, 4... Мы получаем равноотстоящие спектральные линии, лежащие в далекой инфракрасной части спектра. Измерение частот этих линий дает возможность определить момент инерции молекулы I . Оказалось, что моменты инерции молекул порядка 10 39 кг м 2 . Следует заметить, что сам момент инерции I увеличивается с ростом скорости вращения молекулы. Наличие вращения приводит к расщеплению каждого колебательного энергетического уровня на ряд близких подуровней, соответствующих различным значениям вращательной энергии. При переходах молекулы из одного энергетического состояния в другое могут одновременно изменяться все три вида энергии молекулы. В результате каждая спектральная линия, которая испускалась бы при электронно-колебательном переходе, приобретает тонкую вращательную структуру и превращается в типичную молекулярную полосу. На этом мы закончим рассмотрение квантовых свойств микрообъектов. В следующей части курса мы займемся описанием поведения систем, содержащих большое число молекул или атомов, рассмотрим их свойства и особенности, а также объектом нашего рассмотрения будет субатомное строение вещества. 136 Приложение А КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Контрольная работа № 2 «Электромагнетизм. Волны. Оптика. Квантовая физика» СПИСОК ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Электромагнетизм 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Определение удельного заряда электрона методом магнетрона Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли с помощью тангенс-буссоли Эффект Холла Индуктивность Исследование однофазного трансформатора напряжений Исследование магнитного поля внутри короткого соленоида Исследование магнитных характеристик ферромагнитного образца с помощью петли гистерезиса Колебания. Волны. Оптика 1. RLC –контур 2. Определение длины и частоты стоячей электромагнитной волны в двухпроводной передающей линии 3. Кольца Ньютона 4. Определение длины волны монохроматического света с помощью дифракционной решетки 5. Определение показателя преломления стекла с помощью микроскопа 6. Определение показателя преломления жидкости с помощью рефрактометра 7. Определение концентрации и показателя преломления раствора методом полного внутреннего отражения 8. Проверка закона Малюса 9. Определение концентрации оптически активного вещества с помощью поляриметра 10. Поляризационный метод исследования механических напряжений Квантовая и атомная физика 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Исследование характеристик теплового излучения лампы накаливания Исследование свойств фотоэлемента Определение постоянной Планка, работы выхода электронов и красной границы фотоэффекта Определения потенциала возбуждения атома методом Франка и Герца Определение постоянной Ридберга по спектру атомов водорода Изучение спектра поглощения иона празеодима Изучение спектра поглощения молекул йода 137 Приложение Б СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Трофимова Т. В. Курс физики/ Т. В. Трофимова.– М.: Высшая школа, 1999, 2001. 2. Савельев И. В. Курс общей физики: в 3 т./ И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989.– Т. 2, 3 3. Савельев И. В. Курс общей физики: 5 кн./ И. В. Савельев. – М.: Наука, 1998. – Кн. 2, 3, 4 4. Яворский Б. М. Справочник по физике/ Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. – М.: Наука, 1985. 5. Детлаф А. А. Курс физики/ А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высшая школа, 1999. 6. Яворский Б. М. Основы физики/ Б. М. Яворский, А. А. Пинский. – М.: Наука, 1974 . – Т. 1, 2 7. Чертов А. Г. Физика: Методические указания и контрольные задания/ А. Г. Чертов. – М.: Высшая школа, 1987. 8. Климовский А. Б. Сборник задач для контрольных работ по физике. Электромагнетизм. Волны. Оптика. Квантовая физика. (Для студентов заочновечерней формы обучения)/ А. Б. Климовский.– Ульяновск: УлГТУ, 2005. 9. Браже Р. А. Колебания и волны. Сборник лабораторных работ по физике для студентов всех специальностей/ Р. А. Браже, Т. А. Новикова.– Ульяновск: УлГТУ, 2000. 10. Браже Р. А. Квантовая оптика и электроника. Сборник лабораторных работ по физике/ Р. А. Браже.– Ульяновск: УлПИ, 1992. 11. Лукс Р. К. Сборник лабораторных работ по физике/ Р. К. Лукс.– Ульяновск: УлГТУ, 1999. 12. Сальников А. Н. Физический практикум/ А. Н. Сальников.– Саратов, 1990.– Ч.1. 13. Баус В. А. Обработка результатов электрических измерений/ В. А. Баус.– Ульяновск: УлПИ, 1987. 14. Балашов А. П. Обработка экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов/ А. П. Балашов.– Ульяновск: УлПИ, 1982. 15. Савиновская Г. А. Электродинамика. Методические указания к решению задач по физике/ Г. А. Савиновская.– Ульяновск: УлПИ, 1986. 16. Балашов А. П. Электромагнитные колебания и волны. Методические указания к решению задач по физике/ А. П. Балашов.– Ульяновск: УлПИ, 1988. 17. Савиновская Г. А. Волновая оптика. Методические указания к решению задач по физике/ Г. А. Савиновская.– Ульяновск: УлПИ, 1989. 18. Балашов А. П. Тепловое излучение. Квантовая оптика. Методические указания к решению задач по физике/ А. П. Балашов.– Ульяновск: УлПИ, 1991. 19. Кодратова Т. Н. Элементы квантовой механики и атомной физики/ Т. Н. Кодратова.– Ульяновск: УлПИ, 1992. 138 Приложение В ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ Наименование Приближенное значение Округленное значение 8 310 м/с 6,6710-11 Нм2/кг2 9,8 м/с2 10 м/c2 Скорость света в вакууме Гравитационная постоянная с = 2,99792108 мс-1 G = 6,672010-11 Нм2кг-2 Ускорение свободного падения на g = 9,80665 мс-2 поверхности Земли 0 = 8,8541810-12 Фм-1 Коэффициент пропорциональности 1 k= = 8,99772109 Нм2Кл-2 в законе Кулона 4 0 Заряд электрона е = 1,6021910-19 Кл Масса покоя электрона me = 9,1095310-31 кг Удельный заряд электрона е/me = 1,758811011 Клкг-1 Масса покоя протона mр = 1,6726510-27 кг Масса покоя нейтрона mn = 1,6749510-27 кг Электрическая постоянная 8,8510-12 Ф/м 9109 Нм2/Кл2 1,610-19 Кл 9,110-31 кг 1,761011 Кл/кг 1,67310-27 кг 1,67510-27 кг ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Физическая величина Единица Наименование Обозначение Через осн. и доп. ед. Основные единицы Длина Масса Время Сила электрич. тока Температура Количество вещества Сила света метр килограмм секунда ампер кельвин моль кандела Плоский угол Телесный угол радиан стерадиан м кг с А К моль кд - - - - Дополнительные единицы рад ср Производные единицы, имеющие специальное наименование Частота Сила, вес Давление Работа, энергия, тепло Мощность Электрический заряд ЭДС, потенциал, напряжение Электрическая емкость Электр. сопротивление Электр. проводимость герц ньютон паскаль джоуль ватт кулон вольт Гц Н Па Дж Вт Кл В Нм-2 Нм, ВАс Джс-1 ДжКл-1 с-1 мкгс-2 м-1кгс-2 м2кгс-2 м2кгс-3 сА м2кгс-3А-1 фарад ом сименс Ф Ом См КлВ-1 ВА-1 Ом-1 м-2кг-1с4А2 м2кгс-3А-2 м-2кг-1с3А2 139 ОГЛАВЛЕНИЕ Указания для студентов ................................................................ 3 Введение ............................................................................................ 4 Электромагнетизм Тема: Магнитное поле в вакууме ................................................................. 5 1. Магнитное поле и его характеристики. Источники магнитного поля. 2. Принцип суперпозиций магнитных полей. Вектор индукции магнитного поля. Способы определения индукции магнитного поля в вакууме. Закон Ампера. 3. Вращение контура с током в однородном магнитном поле. Магнитный момент контура с током. 4. Закон Био–Савара и его применение для расчета магнитных полей. 5. Магнитное поле кругового контура с током. 6. Магнитное поле прямолинейного проводника. 7. Магнитное поле соленоида. 8. Взаимодействие прямолинейных проводников с током. 9. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца. 10. Явление Холла. 11. Циркуляция вектора магнитной индукции. Закон полного тока. 12. Магнитный поток. Теорема Гаусса. 13. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея для ЭДС магнитной индукции. Правило Ленца. 14. ЭДС индукции при вращении контура с током в магнитном поле. Электрический генератор. 15. Явление самоиндукции и взаимоиндукции. Понятие об индуктивности. 16. Энергия магнитного поля. 17. Изменение силы тока в цепи при подключении и отключении источника. Тема: Магнитные свойства вещества ................................................. 27 Магнитные свойства вещества. Намагниченность. Закон полного тока в магнитных средах. Магнитное поле в веществе. Напряженность магнитного поля. Классификация магнетиков. Свойства. Характеристики. Диамагнетики. Классическое описание. Парамагнетики. Закон Кюри. Ферромагнетики. Природа ферромагнетизма. Намагничивание ферромагнетиков. Гистерезис. Точка Кюри. Магнитное поле на границе магнетиков. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Тема: Уравнения Максвелла ............................................................... 35 1. Ток смещения. 2. Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме. Тема: Электромагнитные колебания ......................................................... 39 1. Уравнения, описывающие электромагнитные колебания в колебательном контуре. Решение. 2. Затухающие колебания в колебательном контуре. Характеристики. 140 3. Вынужденные колебания в колебательном контуре. Резонанс заряда и тока. 4. Цепи переменного тока. Реактивное сопротивление. Импеданс (полное сопротивление). 5. Закон Ома и закон Джоуля–Ленца для цепей переменного тока. 6. Эффективное (действующее) значение силы тока и напряжения. Физика волновых процессов Тема: Волновая физика ....................................................................... 47 Волновые процессы. Определение. Классификация волновых процессов. Трехмерное и одномерное волновое уравнение в однородной изотропной среде. Характеристики волновых процессов Электромагнитные волны. Свойства. Уравнение и график монохроматической плоской бегущей волны. 6. Понятие о световых волнах. Характеристики. Оптический показатель преломления. 1. 2. 3. 4. 5. Тема: Интерференция волн ................................................................. 56 1. Понятие об интерференции волн. Примеры. 2. Классические опыты по интерференции. 3. Когерентные волны. Условие когерентности. Характеристики когерентности 4. Оптическая разность хода и геометрическая разность хода. 5. Условия максимумов и минимумов интерференции. 6. Пространственная когерентность волн. Условие хорошей контрастности и условие исчезновения интерференционной картины. 7. Временная когерентность волн. Ограничение порядка наблюдаемых максимумов. 8. Стоячая волна. Условия ее образования. 9. Опыт Юнга. Ширина интерференционных максимумов. 10. Интерференция в тонких пленках. Полосы равной толщины, полосы равного наклона. Просветление оптики. 11. Кольца Ньютона. Тема: Дифракция волн ........................................................................ 71 1. 2. 3. 4. 5. 6. Понятие о дифракции волн. Принцип Гюйгенса – Френеля. Зоны Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на щели. Дифракционная решетка. Области дифракции и прямолинейного распространения. Тема: Взаимодействие электромагнитных волн с веществом ............ 83 1. Взаимодействие света с веществом. Отражение и преломление света на границе двух сред. 2. Интенсивность преломленной и отраженной волн. 3. Явление полного внутреннего отражения. Оптическое волокно. 4. Виды поляризованного света. Закон Малюса. 5. Поляризация света при преломлении и отражении. Угол Брюстера. 141 6. Оптически активные вещества. 7. Поглощение света. Закон Бугера – Ламберта. 8. Нормальная и аномальная дисперсия. Групповая скорость. Квантовая физика Тема: Квантовая природа излучения .................................................. 91 1. Тепловое излучение. Свойства. Характеристики. 2. Модель абсолютно черного тела. Законы Кирхгофа, Стефана – Больцмана. Закон смещения Вина. 3. Теории Рэлея – Джинса и Вина. Формула Планка. 4. Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. 5. Корпускулярно-волновой дуализм излучения. Фотон. Характеристики. 6. Эффект Комптона. Тема: Модели атома ...........................................................................103 Модели атома Томсона и Резерфорда. Линейчатые спектры излучения водорода. Формула Бальмера. Теория Бора. Постулаты. Энергетический спектр атома в теории Бора. Экспериментальное подтверждение теории Бора. Спектр излучения атомов. Опыт Франка и Герца. Значение и недостатки теории Бора. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Тема: Элементы квантовой механики ...............................................111 Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Временное и стационарное уравнение Шрѐдингера. Физический смысл волновой функции. Решение уравнений Шрѐдингера для одномерной бесконечной потенциальной ямы. Собственные значения энергии. 6. Туннельный эффект. 1. 2. 3. 4. 5. Тема: Физика атомов и молекул ........................................................122 Решение уравнения Шрѐдингера для атома водорода. Полная система квантовых чисел. Распределение элементов в атоме по состояниям. Принцип Паули. Электронная конфигурация атома. Периодическая система химических элементов Менделеева. Характеристическое рентгеновское излучение. Закон Мозли. Молекулярные спектры излучения. Электронные состояния молекул. Полная энергия молекулы. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Приложение А Контрольные работы. Список лабораторных работ ........................................137 Приложение Б Список дополнительной литературы ...........................................................138 Приложение В Физические постоянные. Единицы физических величин 142 .....................................139 Содержание остальных частей курса лекций Часть 1 Физические основы механики Кинематика материальной точки Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Законы сохранения в механике Механика твердого тела Элементы специальной теории относительности Механические колебания Электричество Электрическое поле в вакууме Электрическое поле в веществе Электрический ток Часть 3 Статистическая физика и термодинамика Основы термодинамики Основы молекулярной физики газов Реальные газы и фазовые превращения Элементы физики твердого тела Симметрия кристаллов. Тепловые свойства кристалла Электрические свойства твердых тел Электрические свойства полупроводников и полупроводниковые приборы Физика атомного ядра и элементарных частиц Физика атомного ядра Физика элементарных частиц 143 Учебное издание КЛИМОВСКИЙ Андрей Борисович Курс лекций по физике Часть 2. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. ВОЛНЫ. ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА. Учебное пособие Корректор Л. В. Рыжова Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага писчая. Уч.-изд. л. 8,37. Усл. печ. л. 8,12. Тираж 200 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.
