ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Санкт-Петербургский Горный Университет Реферат По дисциплине: Тема: Математическое моделирование Виды моделирования Автор: студент гр. ТОА-14 Мельников А.Д. Проверила: Алексеева Л.Б. доцент Санкт-Петербург 2017 1 Оглавление Введение .........................................................................................................................................3 Особенности, структура и применение математических моделей ...........................................4 Виды математических моделей ....................................................................................................6 Классификация моделей ...............................................................................................................8 Материальное моделирование……………………………………...………………... 9 Идеальное моделирование……………………………………………………………………..11 Библиографический список ……………………………………………………………..…….17 2 Введение Математическое моделирование – это исследование явлений, процессов, систем или объектов путем построения и изучения их моделей и использования последних для определения или уточнения характеристик и рациональных способов построения вновь конструируемых технологических процессов, систем и объектов. Математическая модель – это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями. Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений и (или) неравенств, характеризующих функционирование моделируемой реальной системы. Искусство построения математических моделей состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность в ее математическом описании с достаточной точностью модельного воспроизводства именно тех сторон анализируемой реальности, которые интересуют исследователя. Перевод реального мира на язык математики позволяет получить более точное представление о наиболее существенных его свойствах и в некотором смысле предсказать будущее. Математическая модель позволяет заранее исследовать свойства системы и наметить пути ее наилучшей реализации. Моделирование – творческий процесс, требующий серьезной подготовки и переработки большого объема информации, сочетающий в себе трудоемкость и эвристические начала и носящий вероятностный (стохастический) характер. 3 Особенности, структура и применение математических моделей Современные представления о структуре математических моделей в машиностроении вытекают из анализа методов исследований физико-ме- ханических условий обработки материалов, характера и содержания задач конструкторского и технологического проектирования. Ознакомление с данными литературы и опытом работы предприятий по проектированию технологических процессов обработки показывает, что развитие математических моделей для решения задач машиностроения происходит в нескольких направлениях. К первому из них относятся модели, основанные на решении задач механики твердого деформируемого тела. Такими задачами являются опи- сание термомеханических условий процессов резания и механики пластического деформирования при обработке металлов давлением. Хотя теоретическое описание процессов резания в работе устанавли- вает связь между компонентами напряжений и скоростью деформаций, рассмотренные модели не доведены до универсальных расчетных методик, пригодных для решения технологических задач. Поэтому применение та- ких моделей ограничивают анализом термомеханических условий. Наиболее широкое применение в мировой практике получили мате- матические модели процессов горячей объемной штамповки. В последнее время их применяют в технологических бюро заготовительных произ- водств при проектировании новых технологических процессов горячей объемной штамповки заготовок шестерен, валов, фланцев, шатунов, рыча- гов, коленчатых валов. Широкой известностью пользуется пакет программ QFORM3D, разработанный российской фирмой Квантор Софт для реше- ния названных задач в технологических бюро. С помощью данной программы выполняют анализ пластического те- чения металла, на основе которого выбирают рациональную заготовку, температурные и деформационные режимы, проектируют гравюру штам- пов. Решение технологических задач с помощью данной конечно-элемент- ной системы базируется на результатах математического моделирования процессов пластического деформирования металла на основе анализа по- лей скоростей, напряжений и деформаций при механическом и тепловом взаимодействии с гравюрой штампов. 6 Решение названных задач позволяет на стадии разработки процесса установить характер заполнения штампа металлом, изучить особенности формирования облоя, путем рационального подбора параметров гравюры и других условий подойти к повышению стойкости штампов, снижению расхода металла. К другому направлению относятся модели процессов механической обработки, не рассматривающие механику течения металла. Такие модели в виде программных продуктов и баз данных помогают принимать реше- ние путем выбора из существующих типовых. В число таких задач входят: разработка маршрута, выбор оборудования и инструмента, расчет режимов обработки, разработка средств технологического оснаще4 ния, нормирова- ние станочных операций и разработка технологической документации. Например, автоматизированное проектирование процессов механической обработки с помощью существующих систем EUCLID (“Евклид”) фирмы EADS MATRA Datavision (Франция), программного комплекса “ТехноПро”, разработанного группой “Вектор”, и других систем осуществляется путем поиска в базе данных процесса аналога и его последующей корректировки на основе имеющегося опыта. При этом технолог сам выбирает оптимальный режим или их сочетание. При таком подходе качество и скорость проектирования зависят от опыта технолога. В последнем случае руководствуются концепцией, основанной на блочно-иерархическом подходе к процессу проектирования. Например, систему “Евклид” называют системой высшего уровня, так как она предна- значена для автоматизации проектирования, подготовки производства, управления проектами и моделирования технологических процессов изго- товления изделий машиностроения любой сложности. Кроме этого, сис- тема позволяет организовать единый комплекс взаимосвязанных рабочих мест дизайнеров, конструкторов и технологов, в том числе использующих другие системы типа SolidWorks. Распределенная между компьютерами общая база данных обеспечивает согласованную коллективную работу не- ограниченного количества разработчиков с разделением доступа к инфор- мации о проектах. Для технологических машин различают следующие технологические уровни: I − система машин, II − агрегат, III − узел, IV – деталь. Данной ие- рархии конструкций соответствует иерархия математических моделей. Выходными параметрами моделей деталей являются статические параметры, которые будут внутренними при проектировании узлов. 7 Типичными выходными параметрами моделей узлов являются дина- мические параметры, определяющие качество движения (скорости движе- ния, ускорения, частоту и т.п.). Выходными для моделей агрегата являются параметры, характеризующие качество выполнения операций, производительность. По аналогии проектирование технологических процессов (ТП) меха- нической обработки в машиностроении включает следующие уровни: - разработку принципиальной схемы технологического процесса; - проектирование маршрута; - проектирование технологических операций; - разработку управляющих программ для ЧПУ. Каждому уровню соответствует определенная степень детализации получаемых описаний технологического процесса. 5 Виды математических моделей Табличная модель описывает одну конкретную структуру ТП. Сете- вая модель описывает множество структур технологического процесса, от- личающихся количеством и составом элементов структуры при неизмен- ном отношении порядка. Перестановочная модель описывает множество структур технологического процесса, отличающихся количеством и соста- вом элементов структуры при изменении отношений порядка. Эти модели представляют в виде графа, который определяет состав и последователь- ность (маршрут) выполнения этапов, операций, переходов и рабочих ходов при обработке или сборке. Вершины графа соответствуют элементам ТП (этапам, операциям, рабочим ходам), а ребра, или дуги, характеризуют по- следовательность выполнения элементов ТП. Функциональные модели, рассмотренные выше, отражают физиче- ские процессы, протекающие в технологических системах, инструменте, приспособлении. По форме связей между выходными, внутренними и внешними параметрами при обработке или сборке изделий различают 8 модели в виде систем уравнений (алгоритмические модели) и модели в виде зависимостей (например, параметров точности от режимов резания) выходных параметров от внутренних и внешних (аналитические модели). Математические модели применяют в проектных процедурах ана- лиза и оптимизации. В качестве критериев оптимальности используют: - приведенные затраты; - технологическую себестоимость; - штучную производительность; - штучное время; - оперативное и основное время; - вспомогательное время. В конкретных условиях могут применяться другие критерии: точ- ность, стойкость инструмента, расход инструмента и другие. Наиболее типичными технологическими задачами при использо- вании функциональных моделей являются: - нахождение наилучшей последовательности выполнения технологи- ческих переходов или рабочих ходов; - объединение переходов для распределения их по позициям станков; - определение оптимального маршрута обработки поверхности с оптими- зацией параметров обработки; - оптимизация параметров обработки или сборки при выполнении техно- логического перехода. Недостатком моделей, построенных в виде детерминированных за- висимостей, является элемент неопределенности, влияющий на величину целевой функции. Наилучшие режимы резания для конкретных условий обработки могут существенно отличаться от режимов резания, определен- ных по усредненным данным. На практике большинство констант, показа- телей степени в эмпирических зависимостях, характеризующих материал заготовки, метод обработки, применяемый инструмент и т.д., всегда имеют случайные отклонения от значений, принятых в математических моделях. При разработке ТП традиционным методом (без ЭВМ) технолог на основе собственного опыта стремится полностью выполнить заданные требования к детали. Автоматизированное проектирование полностью ве6 дется по типовым решениям. Алгоритмы принятия решений в этом случае разрабатывают заранее. Однако все типовые решения имеют локальный характер, так как действительны для ограниченного круга требований. 9 Понимание многовариантного характера задачи проектирования ука- зывает путь повышения надежности и рациональности ее решения с по- мощью ЭВМ. При наличии надежных критериев задачу проектирования стремятся рассматривать и решать как оптимизационную. 7 Классификация моделей Отмеченная неоднозначность термина «модель», огромное количество типов моделирования и их быстрое развитие затрудняют в настоящее время построение логически законченной, удовлетворяющей всех классификации моделей. Любая подобная классификация условна в силу того, что она отражает, с одной стороны, пристрастия авторов, а с другой – ограниченность их знаний в конечном числе областей научного знания. Классификацию, которую мы рассмотрим, следует рассматривать как попытку построения некоторого инструмента или модели для исследования свойств и характеристик самого процесса моделирования. В настоящее время существует несколько подходов к моделированию, которые условно можно объединить в две большие группы: материальное («овеществленное», предметное) и идеальное (мысленное или теоретическое) моделирование. Материальное моделирование – это моделирование, при котором исследование объекта выполняется с использованием его материального аналога (от греческого analogia – соответствие, соразмерность), воспроизводящего основные физические, геометрические и функциональные характеристики данного объекта. К таким моделям, например, можно отнести использование макетов в архитектуре, моделей и экспериментальных образцов при создании различных транспортных средств. Идеальное моделирование отличается от материального тем, что оно основано не на материализованной аналогии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер. 8 Материальное моделирование Основными разновидностями материального моделирования являются физическое (натурное) и аналоговое. При этом оба вида моделирования основаны на свойствах геометрического и физического подобия. Две геометрические фигуры подобны, если отношения всех соответственных длин и углов одинаковы. Если известен коэффициент подобия – масштаб, то простым умножением размеров одной фигуры на величину масштаба определяются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры. Два явления физически подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. Изучением условий подобия занимается теория подобия. Натурное моделирование – это такое моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на основе теории подобия. К примерам натурных моделей можно отнести макеты в архитектуре, модели судов в судостроении. Именно с натурных моделей судов в середине XIX века моделирование стало развиваться как научная дисциплина, а сами модели – активно использоваться при проектировании новых технических устройств. Середина XIX века связана в судостроении с окончанием эпохи парусных судов и началом эпохи парового флота. Оказалось, что использование паровых машин требует принципиального изменения конструкции судов. В первую очередь это осознали строители военных кораблей. Как известно, в условиях морского сражения время жизни судна зависит главным образом от его маневренности и скорости. Для парусных судов в результате многовекового опыта были выработаны оптимальные сочетания форм корпуса и парусов. Для кораблей с паровой машиной скорость определяется в значительной степени мощностью последней. В тот же период тепло для машин получали от сжигания угля в топках котлов. Поэтому, чем выше требуемая мощность машины, тем большее количество котлов необходимо использовать и иметь на судне большой запас угля. Все 9 это утяжеляло судно и снижало его скорость, сводя к нулевому эффекту увеличение мощности машины. Учитывая, что строительство одного крейсера занимало несколько лет, а его стоимость была весьма значительной, можно понять стремление судостроителей найти более быстрый и дешевый ( по сравнению с традиционным методом проб и ошибок) способ поиска оптимальных параметров судна. Выход был найден в моделировании. Протягивая в бассейнах небольшие модели будущих судов и измеряя силу сопротивления, конструкторы нашли рациональные решения, как по форме корпуса судна, так и по мощности силовой установки. В настоящее время методы натурного моделирования находят самое широкое применение в судостроении, авиастроении, автомобилестроении, ракетостроении других областях. Например, при разработке нового самолета большое значение имеют эксперименты с натурными моделями, испытываемыми в аэродинамической трубе. Проведенные исследования позволяют изучить особенности обтекания фюзеляжа воздушными потоками, найти наиболее рациональную форму корпуса и отдельных узлов. Натурные модели используют и при исследовании причин крупных аварий и катастроф. Аналоговое моделирование – это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами). В основу аналогового моделирования положено описание различных объектов. Примерами аналоговых моделей могут служить электрические и механические колебания, которые с точки зрения математики описываются одинаковыми соотношениями, но относятся к качественно различающимся физическим процессам. Поэтому изучение механических колебаний можно вести с помощью электрической схемы и наоборот. При некоторых допущениях аналогичными можно считать процессы распространения тепла в теле, диффузии примесей и просачивания жидкости. К числу интересных примеров можно отнести в теории упругости аналогию Прандтля, который показал, что уравнения для функции напряжений (по которой простым дифференцированием по координатам определяются компоненты тензора напряжений) в задаче о кручении стержня 10 произвольного сечения идентичны уравнениям, определяющим прогиб нерастяжимой мембраны, натянутый на упругий контур той же формы, под действием равномерного давления. Это позволяет заменить отнюдь не простые эксперименты по определению компонент тензора напряжений в скручиваемом стержне простыми измерениями прогибов мембраны. Модели физического и аналогового типов являются материальным отражением реального объекта и тесно связаны с ним своими геометрическими, физическими и прочими характеристиками. Фактически процесс исследования моделей данного типа сводится к проведению ряда натурных экспериментов, где вместо реального объекта используется его физическая или аналоговая модель. 11 Идеальное моделирование Основными разновидностями материального моделирования являются физическое (натурное) и аналоговое. При этом оба вида моделирования основаны на свойствах геометрического и физического подобия. Две геометрические фигуры подобны, если отношения всех соответственных длин и углов одинаковы. Если известен коэффициент подобия – масштаб, то простым умножением размеров одной фигуры на величину масштаба определяются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры. Два явления физически подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. Изучением условий подобия занимается теория подобия. Натурное моделирование – это такое моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на основе теории подобия. К примерам натурных моделей можно отнести макеты в архитектуре, модели судов в судостроении. Именно с натурных моделей судов в середине XIX века моделирование стало развиваться как научная дисциплина, а сами модели – активно использоваться при проектировании новых технических устройств. Середина XIX века связана в судостроении с окончанием эпохи парусных судов и началом эпохи парового флота. Оказалось, что использование паровых машин требует принципиального изменения конструкции судов. В первую очередь это осознали строители военных кораблей. Как известно, в условиях морского сражения время жизни судна зависит главным образом от его маневренности и скорости. Для парусных судов в результате многовекового опыта были выработаны оптимальные сочетания форм корпуса и парусов. Для кораблей с паровой машиной скорость определяется в значительной степени мощностью последней. В тот же период тепло для машин получали от сжигания угля в топках котлов. Поэтому, чем выше требуемая мощность машины, тем большее количество котлов необходимо использовать и иметь на судне большой запас угля. Все 12 это утяжеляло судно и снижало его скорость, сводя к нулевому эффекту увеличение мощности машины. Учитывая, что строительство одного крейсера занимало несколько лет, а его стоимость была весьма значительной, можно понять стремление судостроителей найти более быстрый и дешевый ( по сравнению с традиционным методом проб и ошибок) способ поиска оптимальных параметров судна. Выход был найден в моделировании. Протягивая в бассейнах небольшие модели будущих судов и измеряя силу сопротивления, конструкторы нашли рациональные решения, как по форме корпуса судна, так и по мощности силовой установки. В настоящее время методы натурного моделирования находят самое широкое применение в судостроении, авиастроении, автомобилестроении, ракетостроении других областях. Например, при разработке нового самолета большое значение имеют эксперименты с натурными моделями, испытываемыми в аэродинамической трубе. Проведенные исследования позволяют изучить особенности обтекания фюзеляжа воздушными потоками, найти наиболее рациональную форму корпуса и отдельных узлов. Натурные модели используют и при исследовании причин крупных аварий и катастроф. Аналоговое моделирование – это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами). В основу аналогового моделирования положено описание различных объектов. Примерами аналоговых моделей могут служить электрические и механические колебания, которые с точки зрения математики описываются одинаковыми соотношениями, но относятся к качественно различающимся физическим процессам. Поэтому изучение механических колебаний можно вести с помощью электрической схемы и наоборот. При некоторых допущениях аналогичными можно считать процессы распространения тепла в теле, диффузии примесей и просачивания жидкости. К числу интересных примеров можно отнести в теории упругости аналогию Прандтля, который показал, что уравнения для функции напряжений (по которой простым дифференцированием по координатам определяются компоненты тензора напряжений) в задаче о кручении стержня 13 произвольного сечения идентичны уравнениям, определяющим прогиб нерастяжимой мембраны, натянутый на упругий контур той же формы, под действием равномерного давления. Это позволяет заменить отнюдь не простые эксперименты по определению компонент тензора напряжений в скручиваемом стержне простыми измерениями прогибов мембраны. Модели физического и аналогового типов являются материальным отражением реального объекта и тесно связаны с ним своими геометрическими, физическими и прочими характеристиками. Фактически процесс исследования моделей данного типа сводится к проведению ряда натурных экспериментов, где вместо реального объекта используется его физическая или аналоговая модель. Идеальное моделирование Идеальное моделирование разделяют на два основных типа: интуитивное и научное. В качестве наиболее яркого примера интуитивной модели окружающего мира можно считать жизненный опыт любого человека. К данному типу моделирования можно отнести умения и знания, накопленные многовековым опытом и передающиеся от поколения к поколению. Любое эмпирическое (т.е. полученное из эксперимента или в процессе наблюдения) знание без объяснения причин и механизмов наблюдаемого явления также следует считать интуитивным. Интуитивное моделирование – это моделирование, основанное на интуитивном (не обоснованной с позиций формальной логики) представление об объекте исследования, не поддающемся формализации и не нуждающимся в ней. Необходимо подчеркнуть чрезвычайно важную роль интуиции, интуитивных моделей в науке, без них не обходится не одно сколько-нибудь новое знание. Новое знание недостижимо только методами формальной логики. В связи с этим интересным представляется высказывание А.де Сент-Экзюпери: «Теоретик верит в логику. Ему кажется, будто он презирает мечту, интуицию, поэзию. Он не замечает, что они, эти три феи, просто переоделись, чтобы обольстить его, как влюбчивого мальчишку… Они являются ему под именем «рабочих гипотез», «произвольных гипотез», «аналогий», и может ли теоретик подозревать, что, слушая их, он изменяет суровой логике и внемлет напевам муз». 14 Научное моделирование – это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. Главное отличие научного моделирования от интуитивного заключается не только в умении выполнять необходимые операции и действия по собственно моделированию, но и в знания «внутренних» механизмов, которые используются при этом. Можно сказать, что научное моделирование знает не только, как необходимо моделировать, но и почему так нужно делать. Необходимо заметить, что в основу любого логического рассуждения лежат гипотезы или аксиомы, применяемые на веру и не противоречащие имеющемуся опыту или эксперименту. Поэтому можно говорить об интуитивной первооснове любого научного знания. В то же время следует подчеркнуть, что во многих областях знаний, особенно в естественных науках, аксиомы являются, как правило, обобщением огромного количества накопленных эмпирических данных. В результате познания человек разбирается в причинах тех или иных явлений, отодвигая границы своих интуитивных представлений об окружающей мире. Учитывая бесконечность этого процесса, можно предположить, что интуитивная первооснова любого научного знания будет всегда. О мере интуитивности знания можно судит по числу использования гипотез и аксиом. В указанном смысле деление моделирования на интуитивное и научное следует признать относительным. Знаковым называют моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, иероглифы, руны, наборы символов, включающее также совокупность законов и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами. В качестве примеров таких моделей можно назвать любой язык человеческого общения, алгоритмический, химических формул, живописи, нот для записи музыкальных произведений и т.д. Знаковая форма используется для передачи как научного, так и интуитивного знания. Моделирование с помощью математических соотношений также является примеров знакового моделирование. Интуитивное и научное (теоретическое) моделирование ни в коей мере нельзя противопоставлять одно другому. Они хорошо дополняют друг друга, разделяя области своего применения. Привычная буквенно-цифровая (знаковая) форма применения научного знания 15 исторически сложилась как технология «передела» готового знания. Создание же качественно нового знания, рождение принципиально новых научных идей не может быть сведено к процессу чистой дедукции, к процессу формально-логического вывода следствий из множества уже открытых, готовых фактов, гипотез, теорий, составляющих информационную базу сегодняшней науки. «Подлинной ценностью, – говорил А.Эйнштейн, - является, в сущности, только интуиция. Для меня не подлежит сомнению, что наше мышление протекает, в основном минуя символы (слова) и к тому же бессознательно». Не менее определенно в пользу внелогического характера научного творчества высказывался А.Пуанкаре: «Чистая логика всегда привела бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового, сама по себе она не может дать начало никакой науке… Для того, чтобы создать арифметику, как и для того, чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова «интуиция». Даже в самой абстрактной области фундаментальной науки – математике – интуиция играет определяющую роль: «Вы должны догадаться о математической теореме прежде, чем вы ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем вы его проведете в деталях…; доказательство открывается … с помощью догадки». Сходные мысли высказывал Ф.Клейн: «Извечный секрет необычайной продуктивности гения – в его умении находить такие постановки задач, интуитивно предугадывать теоремы, приводящие к новым значительным результатам и к установлению важных зависимостей. Не будь новых концепций, новых идей, математика с присущей ей строгостью логических выводов вскоре исчерпала бы себя и пришла в упадок, ибо весь материал оказался бы израсходованным. В этом смысле можно сказать, что математику движут вперед в основном те, кто отмечен даром интуиции, а не строгого доказательства». Итак, интуитивное знание является генератором нового знания. Однако далеко не все догадки и идеи выдерживают последующую проверку экспериментом и методами формальной логики, свойственными научному подходу, выступающему в виде своеобразного фильтра для выделения наиболее ценных знаний. Говоря о научном моделировании, следует пояснить смысл таких терминов, как модель и теория. 16 В современной научной литературе данные понятия трактуются неоднозначно, а граница между ними размыта. В методологии науки признаны следующие трактовки. Модель – инструмент, ориентированный в первую очередь на исследование поведения и свойств конкретного объекта в целях управления им или предсказания его свойств. Теория – более абстрактное, чем модель, средство, основной целью которого является объяснение поведения или свойств не конкретного объекта, а некоторого класса объектов. Можно сказать, что теория содержит конечную или даже бесконечную совокупность конкретных моделей. Например, для описания течения ньютоновской или нелинейно- вязкой жидкости в канале заданной формы разрабатывается соответствующая модель. При создании конкретной модели используются законы и уравнения соответствующей теории, в данном случае – механики жидкостей. Можно сказать, что модель дает ответы на вопросы: «Каким образом?» и «Почему?» для конкретного объекта, а теория – для целого семейства объектов, обладающих схожими свойствами. Следует, однако, отметить, что при разработке моделей сложных процессов и явлений зачастую приходится использовать понятия и соотношения нескольких теорий, относящихся к различным разделам, дисциплинам и даже областям знаний. 17 Библиографический список 1) ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ»/ Ю. В. Псигин Ульяновск УлГТУ 2014/4стр. 2)Методы оптимизации в теории управления/И.Г.Черноруцкий/Москва 2004/ 46стр 3) ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В МАШИНОСТРОЕНИИ»/ А.В. БЕЛЕВИЧ/Владимир 2003/стр 22 4) НЕКОТОРЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ/ В. М. Ковеня/ 2002/ стр 12 18
