МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ «АМУРСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» (ГПОАУ АТК) ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛУ «ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» Предмет: Алгебра Преподаватель: Андреева Анна Викторовна Оценка письменных работ обучающихся по математике: рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала). решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки); выполнено без недочетов не менее 3/4 заданий. выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме; без недочетов выполнено не менее половины работы. обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере; правильно выполнено менее половины работы отсутствие у обучающегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно. Критерии оценки сообщений и презентаций: «отлично» выставляется, если задание выполнено своевременно, коротко и точно раскрыты основные параметры, работа защищена; «хорошо» выставляется, если задание выполнено своевременно, содержание раскрыто не полностью, работа защищена; «удовлетворительно» выставляется, если задание выполнено несвоевременно, содержание неконкретно, работа не защищена. Критерии оценки любой работы: Если практическая работа выполнена в полном объеме и правильно оформлена, то ставится оценка «5». Если практическая работа выполнена более чем на 80-89%, ставится оценка «4». Если практическая работа выполнена более чем на 70-79 %, ставится оценка «3». В противном случае работа не засчитывается. Практическая работа №1 «Решение задач на взаимное расположение прямых и плоскостей» Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «Взаимное расположение прямых и плоскостей»; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач Теоретические сведения к практической работе: Теорема Две прямые называются скрещивающимися,если одна из них лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскостьв точкене принадлежащей 1 прямой. Определение. 2 прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Теорема Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Задание для самостоятельного решения: Вариант 1. 1) Треугольники АВС и АДС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны АД, точка К – середина ДС. а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ? б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если угол АВС равен 40º, а угол ВСА = 80º. Ответ обобщите. 2) Прямые а и в лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти прямые быть а) параллельными б) скрещивающимися? Сделать рисунок для каждого возможного случая. 3) Точка В не лежит в плоскости ∆ АДС. Точки М, N и Р – середины отрезков ВА, ВС, ВД соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (АДС) параллельны; б) Найдите площадь треугольника MNP, если S∆АДС = 48 см2 . Вариант 2. 1) Основание трапеции АВСД лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно. 1) Каково взаимное расположение EF и АВ? 2) Чему равен угол между прямыми EF и АВ, если угол АВС = 150º. Ответ обоснуйте. 2) Прямые а и в лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть а) параллельными б) скрещивающимися? Сделать рисунок для каждого случая. 3) В тетраэдре ДАВС точки M, N и P – середины рёбер ДА, ДВ, ДС соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (АВС) параллельны. б) Найти площадь ∆ АВС, если S∆MNP = 14 см2 . Контрольные вопросы: 1. Какие две прямые в пространстве называются параллельными? 2. Какие две плоскости называются параллельными? 3. Сформулируйте теорему о параллельности прямой и плоскости. Практическая работа №2 «Решение задач на определение углов между прямыми в пространстве» Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «Нахождение углов между прямыми в пространстве»; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач Теоретические сведения к практической работе: Определение. Подуглом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс угла φ между двумя прямыми, угловые 𝑘2 −𝑘1 коэффициенты которых равны к1 и к2 , вычисляется по формуле 𝑡𝑔 = ± |1+𝑘 |, 𝑘 1 2 (1) причем знак "плюс" соответствует острому углу φ, а знак "минус"- тупому. Заметим, что если хотя бы одна из данных прямых параллельна оси Oy, то формула (1) не имеет смысла. В этом случае острый угол φ вычисляется непосредственно по формуле φ = |φ1 − φ2 |, где φ1 и φ2 - углы наклона прямых к оси Ox. Примеры Найти острый угол между прямыми 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0и 2𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0 Решение. 1 1 Угловые коэффициенты данных прямых таковы:𝑘1 = 3, 𝑘2 = − 2. Тангенс острого угла между этими прямыми найдем по формуле (1): 𝑡𝑔φ = | 1 1 2 3 1 1 1+ ×(− ) 2 3 − − |=1 Отсюда φ=45° Задания для самостоятельного выполнения: Вариант 1. 1. Вычислить острый угол между прямыми: 1) 𝑦 = 3𝑥 − 5 и 𝑦 = −2𝑥 + 3; 2) 8𝑥 − 2𝑦 − 5 =0 и 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0; 2. Найти острый угол между прямыми 9𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0 и прямой, проходящей через точку 𝐴(1; −1)и 𝐵(5; 7). 3. Стороны треугольника заданы уравнением 3𝑥 − 2𝑦 = 6 = 0 (𝐴𝐵); 2𝑥 + 𝑦 − 10 = 0 (𝐵𝐶); 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0(𝐴𝐶). Найдите углы, которые медиана, проведенная из точки B, образует со сторонами AB и BC. 4. Найти внутренние углы треугольника ABC с вершинами A(1;2), B(2;2), C(0;3). 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точу М(-1;2) и составляющий угол 45° с прямой 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 Вариант 2. 1. Вычислить острый угол между прямыми: 1) 𝑦 = 3𝑥 − 5 и 𝑦 = −2𝑥 + 3; 2) 8𝑥 − 2𝑦 − 5 =0 и 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0; 2. Противоположные вершины квадрата находятся в точках В(-2;2) и D(0:-3). Составить уравнения сторон квадратов. 3. Найти острый угол между прямыми 9𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0 и прямой, проходящей через точку 𝐴(1; −1)и 𝐵(5; 7). 4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС даны вершина острого угла А(1;3) и уравнение противолежащего катета: 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0(𝐵𝐶). Составить уравнение двух других сторон треугольника. 5. Найти острый угол между прямыми 9𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0 и прямой, проходящей через точку 𝐴(1; −1)и 𝐵(5; 7). › Контрольные вопросы: 1.Угол между двумя прямыми, определение. 2. Формула нахождения tg . 3. Какому углу соответствуют "+" и "-" в формуле. 4. Формула нахождения угла φ , если хотя бы одна из данных прямых параллельна оси 𝑂𝑦. Практическая работа №3 «Параллельность плоскостей и прямых в пространстве» Цель работы: закреплять умения решать задачи на параллельность прямых, прямой и плоскости и плоскостей в пространстве Теоретические сведения к практической работе: Признаки параллельности прямой и плоскости 1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости. 2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Признаки параллельности плоскостей 1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Признаки параллельности прямых в пространстве 1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны. 2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. Параллельные прямые Возьмём, например, две такие прямые АВ и DЕ, из которых одна пересекает некоторую плоскость Р, а другая лежит на ней, но не проходит через точку (С) пересечения первой прямой и плоскости Р. Через такие две прямые нельзя провести плоскость, потому что в противном случае через прямую и точку С проходили бы две различные плоскости: одна Р, пересекающая прямую АВ, и другая, содержащая её, а это невозможно. Две прямые, не лежащие в одной плоскости, конечно, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали; однако их не называют параллельными. Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Прямая и плоскость параллельные между собой Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Если прямая (АВ) параллельна какой-нибудь прямой (СD), расположенной в плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость (R) проходит через прямую (АВ), параллельную другой плоскости (Р), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (СD) параллельна первой прямой (АВ). Если прямая (АВ) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей (Р и Q), то она параллельна линии их пересечения (СD). Если две прямые (АВ и СD) параллельны третьей то они параллельны между собой. прямой (ЕF), Параллельные плоскости Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Если две пересекающиеся прямые (АВ и АС) одной плоскости (Р) соответственно параллельны двум прямым (А1В1 и А1С1) другой плоскости(Q), то эти плоскости параллельны. Прямые АВ и АС параллельны плоскости Q. Задания для самостоятельного решения: Решите следующие задачи (выполнить чертеж, дать подробные пояснения): 1) Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны. 2) Сколько существует плоскостей, проходящих через данные прямую и точку в пространстве? 3) В пространстве даны прямая a и точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных прямой a? 4) Даны плоскость и точка M вне плоскости. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных плоскости? 5) В пространстве даны две параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b? 6) Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует пар параллельных плоскостей, одна из которых проходит через a, а другая – через b? 7) В пространстве даны две пересекающиеся прямые a, b и не лежащая на них точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и параллельных прямым a и b? Контрольные вопросы: 1. Сформулируйте признаки параллельности прямой и плоскости. 2. Сформулируйте признаки параллельности плоскостей. 3. Сформулируйте признаки параллельности прямых в пространстве. Практическая работа №4 «Решение задач на свойства параллелепипеда» Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «Параллелепипед и его свойства»; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач Теоретические сведения к практической работе: Параллелепипедом называется призма, у которой в основании лежит параллелограмм. Все грани параллелепипеда являются параллелограммами Параллелепипеды бываю прямыми (боковое ребро перпендикулярно основанию) и наклонными. Параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, в противном случае – смежные. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой параллелепипеда. В прямом параллелепипеде высота совпадает с боковым ребром. Свойства параллелепипеда 1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. 2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Задания для самостоятельного решения: 1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны 3 см и 4 см, а боковое ребро 12 см. Найти диагональ параллелепипеда. 2. В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно 10 см, а перпендикулярное к нему сечение является прямоугольником со сторонами 5 см и 7 см. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. Контрольные вопросы: 1. Какая фигура называется параллелепипедом? 2. Какой параллелепипед называется прямыми? 3. Из каких элементов состоит параллелепипед? 4. Перечислите свойства параллелепипеда Практическая работа №5 «Построение сечений» Цель работы: Формировать умения строить сечения с помощью теоретических знаний и практических навыков. Теоретические сведения к практической работе: План построения сечения тетраэдра : 1.Если секущая плоскость и грань имеют общие точки, то сторону сечения строим сразу, как отрезок, проходящий через две эти точки. 2.Если секущая и грань имеют одну общую точку и секущая плоскость параллельна, то строим сторону сечения параллельно грани. 3.Если только одна общая точка, то ищем дополнительную точку: Точку пересечения ребра этой грани со стороной сечения, лежащей в одной плоскости. Дальше проводим прямую, проходящую через общую точку и дополнительную. Затем обозначаем точку пересечения ребра этой грани и этой прямой и обводим сторону сечения. План построения сечения параллелепипеда: 1. Если секущая плоскость и грань имеют две общие точки, то строим сторону сечения сразу как отрезок, проходящий через две эти точки. 2. Если секущая плоскость и грань имеют одну общую точку, и секущая плоскость параллельна, то строим сторону сечения параллельно ребру грани. 3. Если только одна общая точка, то ищем дополнительную точку – точку пересечения ребра этой грани со стороной сечения, лежащей в одной плоскости. Дальше проводим прямую, проходящую через общую точку и дополнительную точку. Затем обозначаем точку пересечения ребра этой грани и этой прямой и обводим сторону сечения. 4. Если грань имеет с сечением одну общую точку, то смотрим, в параллельной ей грани есть сторона сечения или нет; если да, то строим сторону сечения параллельно той стороне сечения; если нет, то строим дополнительную точку. Дополнительная точка – точка пересечения ребра грани и стороны сечения, лежащей в одной другой грани. Проводим прямую, проходящую через дополнительную и общую точку. Обводим сторону сечения. Задания для самостоятельного решения: 1. Построить сечение тетраэдра АВС D , плоскостью, проходящей через точки Е, К, Р, если Е лежит на ребре AD , К лежит на ребре BD , Р лежит на ребре DC . 2. Построить сечение тетраэдра АВС D плоскостью, проходящей через точку К, лежащей на ребре АС и параллельно грани BDC . 3. Построить сечение тетраэдра АВС D плоскостью, проходящей через точки Е,М,Р, если Е лежит на ребре А D (ближе к D ), P лежит на ребре АВ (ближе к А), М – середина ВС. 4. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К, F , если М лежит на АВ, к лежит на ВС, F лежит на ребре ВВ1. 5. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, К, Р, если Е лежит на ребре А1В1 (ближе к А1), К – середина А D , Р лежит на ребре В1С1. 6. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М, К и параллельно ребру СС1, если М лежит на ребре А1В1, К лежит на ребре В1С1. Контрольные вопросы: 1. По какому плану строится сечение тетраэдра? 2. По какому плану строится сечение параллелепипеда? Практическая работа №6 «Решение задач на перпендикуляр и наклонную» Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «Перпендикуляр и наклонная»; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач Теоретические сведения к практической работе: Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной. AH- перпендикуляр AM- наклонная HM – проекция наклонной на данную плоскость а - прямая, проходящая через основание наклонной Задания для самостоятельного решения 1. Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 450? 2. Из точки А, удаленной от плоскости на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 300 к плоскости. Их проекции на плоскость образуют угол в 1200. Найдите ВС. Контрольные вопросы: 1. Что такое наклонная? 2. Что такое перпендикуляр и его длина? 3. Что такое проекция наклонной? Практическая работа №7 «Решение задач на теорему о трех перпендикулярах» Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «Перпендикулярность в пространстве»; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач Теоретические сведения к практической работе: Опр. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. В задачах часто используется теорема о 3-х перпендикулярах: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Обратная теорема Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции. Задания для самостоятельного решения: Вариант 1 №1. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины C, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см. №2. Дан прямоугольник ABCD. Через вершину Bпроведена прямая BM перпендикулярно к его плоскости. Найдите AD, если AM=5 см, MD=8см. №3. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной 5 см проведена прямая ОК=6 см перпендикулярно к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки А до вершины квадрата №4.Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного ABC, AB=AC=5, BC=6, AD=12, AE-высота ABC. Найдите AE, DE, BD, DC Вариант 2 №1. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины A, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см. №2. Дан прямоугольник ABCD. Через вершину Bпроведена прямая BM перпендикулярно к его плоскости. Найдите AD, если AM=3 см, MD=7см. №3. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной 10 см проведена прямая ОК=5 см перпендикулярно к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки А до вершины квадрата. №4.Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного ABC, AB=AC=5, BC=6, AD=12, AE-высота ABC. Найдите AE, DE, BD, DC Контрольные вопросы: 1. Какие две прямые называются перпендикулярными? 2. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. 3. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. Практическая работа №8 «Прямоугольный параллелепипед» Цель работы: Проверить уровень усвоения теоретических знаний по свойствам прямоугольного параллелепипеда. Формировать у обучающихся навык применения изученных свойств при решении задач. Теоретические сведения к практической работе: Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины. 1)Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам; 2) Диагональ d можно найти по формуле: d2 = a2 + b2 +c2. Задания для самостоятельного решения. 1. В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани AA1D1D равна 5, а AB=26. Найдите диагональ параллелепипеда. 2.Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами 2, 3 и 6. Найдите его диагональ. Контрольные вопросы: 1. Дайте определение прямоугольного параллелепипеда. 2. Сформулируйте свойства прямоугольного параллелепипеда
