zadach~2

ЗАДАНИЕ 2
Стержневые системы
Задача 2.1. Стержневая система с шарнирно закрепленным жестким брусом
Дано:
Жесткий невесомый брус ОВ закреплен с помощью шарнира О и системы из
трех стержней (рис.2.2.1). Брус нагружен силой Р, стержень СВ нагрет на dТ.
Рис.2.1.1. Стержневая система
Площадь поперечного сечения F , модуль упругости Е и коэффициент теплового расширения  одинаковы для всех стержней.
a
4.5 kN
0.5 m
E
5
2 10 MPa
P
dT
b
8 K
0.5 m

F 100 mm
5
1
1.2 10 K
2

45 deg
Требуется:
Определить усилия и напряжения, возникающие в стержнях, а также абсолютные деформации стержней.
Решение.
На рис.2.1.2 показана схема перемещений в предположении, что брус ОВ в
результате нагружения займет положение ОВ2. Этой схеме перемещений соответствует система сил, показанная на рис.2.1.3.
Неизвестных сил - пять, число уравнений равновесия для плоской фигуры три, следовательно, система два раза статически неопределима. Но реакции X и
Y нас не интересуют, поэтому запишем только одно уравнение равновесия, в
которое X и Y не входят - уравнение для моментов относительно шарнира О.
Рис.2.1.2. Схема перемещений концов стержней
Рис.2.1.3. Силовая схема
Для решения системы уравнений равновесия и совместности перемещений
воспользуемся функцией Find. Число неизвестных будет шесть: три - усилия в
стержнях (N1, N2, N3) и три - удлинения стержней (d1,d2,d3). Зададим их некоторые приближенные значения, без чего использование функции Find невозожно:
N1
d1
100 N
5
10 mm
N2
d2
400 N
N3 500 N
5
5
2 10 mm d3 4 10 mm
2
Given
Уравнение равновесия:
N1 a
2 N2 a cos (  )
2 N3 a
2 P a 0
Два уравнения совместности перемещений:
2 d1 d3
d2
cos (  )
d3
Три остальных уравнения - закон Гука для одноосного растяжения каждого из
трех стержней с учетом термодеформационного нагружениия второго стержня:
d1
N1 b
EF
d2
N2 b
EF cos (  )
d3
N3 b
EF
 dTb
cos (  )
Решение системы уравнений выводится в виде вектора, определяемого следующим образом
N1
N2
N3
d1
Find ( N1  N2  N3  d1  d2  d3 )
d2
d3
( N1 2 N2 cos (  ) 2 N3 ) 2 P  0 N
Проверим решение
Уравнение равновесия удовлетворяется.
N2  0.094 kN N3  3.653 kN
Усилия в стержнях равны: N1  1.826 kN
Напряжения, соответствующие этим усилиям в стержнях системы, равны со-
ответственно
1
2
3
N1
F
N2
F
N3
1  18.265 MPa
2  0.935 MPa
3  36.529 MPa
F
Удлинения стержней системы равны
d1  0.046 mm
d2  0.065 mm
d3  0.091 mm
Задача решена.
3
Дадим другой вариант решения той задачи в среде Mathcad.
Зафиксируем положение абсолютно жесткого бруса ОВ так, чтобы внешняя
сила воспринималась дополнительной связью полностью. Тогда все стержни,
кроме наклонного стержня СВ, будут ненагруженными. Стержень СВ будет
сжат вследствие повышения его температуры на dT.
Поставим перед собой задачу определить, на какой угол нужно отклонить
жесткий брус ОВ, чтобы удовлетворить условиям равновесия.
Зададим приближенные значения неизвестных:

0.001
1000 N
N11
Given
2000 N
N22
N11
EF  
a
b
N22
EF cos (  )    
2 a  cos (  )
b
N33
EF   
2a
b
N11 a
N22 2 a cos (  )
N33
 dTb
cos (  )
N33 2 a
P 2 a 0

N11
N22
Find (   N11  N22  N33 )
N33
  9.132 10
d11
5
N1  1.826 kN
N2  0.094 kN
N3  3.653 kN
a 
d1  0.046 mm
d2  0.065 mm
d3  0.091 mm
d22
N11  1.826 kN
N22  0.094 kN
N33  3.653 kN
2 a  cos (  )
d33
d11  0.046 mm
d22  0.065 mm
d33  0.091 mm
4
2 a 
1300 N