УПРАВЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ СТРУКТУРАМИ АРМИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ Н. А. Федорова Сибирский Федеральный Университет 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, Россия [email protected] В работах [1,2,3] на основе структурной модели в рамках линейной неоднородной осесимметричной задачи упругости получена разрешающая система уравнений, описывающая поведение армированной кольцевой пластины. Система сформулирована относительно перемещений u , u в полярной системе координат (, ) . Система и граничные условия представляют собой обобщенную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Коэффициенты системы содержат полный набор структурных характеристик: число семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокна, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования. Для численного решения разрешающая система сводилась к системе 4-х дифференциальных уравнений первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и аппроксимировались краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей решалась методом ортогональной прогонки. Проверка условий разрушения упруго армированного материала имеет свои особенности [4]. Пусть материал изотропного связующего имеет различные пределы прочности при растяжении c и сжатии c . Тогда в случае плоского напряженного состояния условие прочности Мизеса-Баландина для неоднородного материала через напряжения c , c , c в связующем для полярной системы координат имеют вид c 2 (c )2 (c )2 3( ) (c )(c ) (c c )(c c ) c c (1) Для семейств армирующих волокон предполагаем, что пределы прочности m го семейства волокон при растяжении m и сжатии m различны. Армирующие семейства волокон остаются упругими, если выполняются неравенства m Emm m (2) Таким образом, для проверки прочности армированного материала необходимо анализировать два условия: условие на прочность материала связующего (1) и условие на прочность армирующих волокон (2). На основании выше изложенного следует ввести понятие предельного упругого состояния в некоторой точке рассматриваемой конструкции. После достижения этого состояния хотя бы в одной точке конструкции либо в связующем, либо в во- Федорова Н.А., 2013 локне, происходит выход за пределы упругости (напряжение превышает предел текучести). В данной точке может возникнуть микроразрушение. Постановка исходной задачи свелась к реализации единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки задачи. Рассмотрены примеры численного решения задачи для одного, двух и трех семейств армирующих волокон, представляющих собой семейства алгебраических спиралей и им изогональных траекторий для различных материалов с разными типами нагружения. В численном эксперименте рассмотрена кольцевая пластина со следующими структурами армирования двумя семействами волокон: траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и логарифмических спиралей (рис.1), семейства спиралей и «спицы велоколеса», семейство изогональных траекторий (рис. 2) [2], семейство спиралей (логарифмических или Архимеда) c радиальными направлениями армирования (рис. 3). Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Для анализа рассматриваемых структур армирования вводится характеристика P – «степень нагружения волокна», определяемая как отношение напряжений в волокне к пределу прочности соответствующего материала, выраженное в процентах. Для различных амплитуд внешней нагрузки и начальных условий выхода арматуры ( 01 , 02 ) получены зависимости P для рассматриваемых структур армирования, представленные в таблице. Таблица. Степень нагружения волокна P, выраженная в процентах Структура армирования 01 0,3 ; 02 0,3 01 0,0376 01 0,1; 01 0,318 Семейство спиралей Архимеда и логарифмических Семейство спиралей Архимеда и «спицы велоколеса» Семейство логарифмических спиралей и «спицы велоколеса» 6 40 6 9 70 10 14 80 22 01 0, 05 ; В рамках данного подхода, не решая задачи оптимизации, оцениваем предельную амплитуду внешней нагрузки. За счет управления геометрическими параметрами пластины и криволинейной укладкой семейств волокон, без использования часто дорогостоящих армирующих волокон, можно получить армированную конструкцию с заранее заданными свойствами. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. 4. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов. Красноярск: СФУ, 2010. 136 с. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Журнал Сибирского федерального университета, математика и физика, 2011 4(3). С. 400 – 405. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат. Материалы III международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара, 27 августа – 1 сентября 2012 г. С. 211-213. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1986. 165 с.