Федорова_НА

УДК 539.3+539.4
Н. А. Федорова
Управление криволинейными структурами армирования плоских
конструкций
На основе структурной модели решена задача рационального армирования
криволинейными волокнами осесимметричной кольцевой пластины в полярной
системе координат. Изучено влияние структурных параметров на предельное
нагружение конструкции.
Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории.
N.A. Feodorova
Control of Curvilinear Structures For Planer Constructions Reinforcement
The problem of curvilinear fibers rational reinforcement for axially symmetric ringshaped lamel in polar coordinate system is solved by reference to the structural
model. The effect of structural parameters for a construction limit stressing is studied.
Keywords: reinforcement, structural model, curvilinear trajectories.
Введение. В различных отраслях современной промышленности широко
используются
тонкостенные
элементы
из
волокнистых
композитных
материалов, при этом материал и изделие создаются одновременно в рамках
одного технологического процесса. До недавнего времени армирование
проводилось преимущественно прямолинейными волокнами. Такой способ
армирования не применим для конструкций с большими градиентами полей
напряжений и деформаций в зоне отверстий и переходных элементов. В этом
случае необходимо создавать конструкции со специальными криволинейными
структурами армирования.
Задача поиска криволинейных структур армирования выполняется на основе
структурной модели в рамках плоской неоднородной линейной задачи
упругости.
Армирование
конструкций
по
криволинейным
траекториям
проводится на основе трех подходов: по сетке координатных линий
ортогональной системы координат, определяемой заданным конформным
отображением [1-3]; по изогональным траекториям, построенным к данным
1
кривым [4]; по спиралевидным траекториям в осесимметрической постановке
задачи. В настоящей статье рассматривается армирование по спиралевидным
траекториям.
2. Постановка осесимметричной задачи в полярной системе координат.
Пусть армирование выполнено
m*
семействами
волокон,
m 
углы
армирования m -ым семейством волокон ( m  1,..., m* ), m  деформация в
m 
волокне,
интенсивность армирования
m -ым семейством волокон.
Деформации в волокне определим по структурной модели [5]
 cos2 m   sin 2 m   cos m sin m   m .
(1)
Соотношения Коши, связывающие компоненты тензора деформаций и
компоненты вектора перемещений
в условиях осесимметричной
u , u 
деформации имеют вид
 
u

,  
u

,  
u u
 .
 
(2)
Закон Гука для неоднородного армированного материала запишем в виде
  
m*
E
1 
2
(   )    m m cos m ,   
m 1
m*
E
2
1 
2
(     )    m m sin 2  m ,
m 1
(3)
*

m
E

    m m cos m sin m ,
1 
m 1
где E ,   соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона связующего
материала,
m*
  1   m 
удельная интенсивность прослоек связующего между
m1
армирующими слоями. В соотношения (3) входят напряжения в волокне m ,
они удовлетворяют закону Гука, Em  модули Юнга m  го семейства волокон.
При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон [6]
интенсивность армирования m удовлетворяет следующим соотношениям в
полярной системе координат


(m cos m )  (m sin m )  0.


2
(4)
Интенсивность m найдем из (4) после определения углов армирования при
задании уравнений конкретных траекторий армирования   () и начальных
условий выхода арматуры на внутреннем контуре кольцевой пластины [7].
Подставим (3) в уравнение равновесия



  


 0,

2


 0.
с учетом (2) получим относительно компонент перемещений систему
дифференциальных уравнений:
d 2u
a11
a13
d
2
d 2u
d 2
(
 a13
 a33
d 2u
d
2
(
d 2u
d 2
a
da du
da
a u
da11 a11 du
da
a u

)
 ( 23  13 )   ( 12  22 )  ( 13  23 )   0,
d
 d

d d
d
 
d
 
(
du
a23 da13 2
a
da
2a du

 a13 )
 ( 33  33  33 )  

d 
d

d
 d
(5)
da23 a23 u
a
da u

)  ( 33  33 )   0,
d
 

d 
где введены коэффициенты
m*
m*
m 1
m 1
a11  m1   Em m cos 4 m , a12  m1   Em m sin 2 m cos 2 m ,
*
m*
m 1
m 1
m
a13   Em m cos3 m sin m , a22  m1   Em m sin 4 m ,
*
m*
m
a23   Em m cos m sin 3 m , a33  m2   Em m sin 2 m cos 2 m , m1  
m 1
m 1
E
1 
2
, m2  
E
.
1 
Полученная система (5) – является системой обыкновенных дифференциальных
уравнений четвертого порядка относительно компонент перемещений u , u с
четырьмя граничными условиями на внешнем и внутреннем контуре кольцевой
пластины. Система и граничные условия представляют собой обобщенную
двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Коэффициенты системы содержат полный набор структурных
характеристик:
число
семейств
характеристики
материалов
армирующих
связующего
и
волокон,
волокна,
механические
интенсивность
и
тригонометрические функции углов армирования. Для численного решения
3
разрешающая система сводилась к системе 4-х дифференциальных уравнений
первого порядка, затем строилась разностная схема, аппроксимирующая
систему дифференциальных уравнений и аппроксимировались краевые условия
со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных
уравнений с трехдиагональной матрицей решалась методом ортогональной
прогонки.
2. Условия разрушения. Проверка условий разрушения упруго армированного
материала имеет свои особенности [8]. Пусть материал изотропного
связующего имеет различные пределы прочности при растяжении
c .
c
и сжатии
Тогда в случае плоского напряженного состояния условие прочности для
c
c
c
неоднородного материала через напряжения  ,  ,  в связующем для
полярной системы координат имеют вид
c 2
(c )2  (c )2  3(
)  (c )(c )  ( c   c )(c  c )   c c
(6)
Для семейств армирующих волокон предполагаем, что пределы прочности
m  го
семейства волокон при растяжении
m
и сжатии
m
различны.
Армирующие семейства волокон остаются упругими, если выполняются
неравенства

m  Emm  m
(7)
Таким образом, для проверки прочности армированного материала необходимо
анализировать два условия: условие на прочность материала связующего (6) и
условие на прочность армирующих волокон (7). Поэтому вводится понятие
предельного упругого состояния в некоторой точке рассматриваемой
конструкции. После достижения этого состояния хотя бы в одной точке
конструкции либо в связующем, либо в волокне, происходит выход за пределы
упругости. В данной точке может возникнуть микроразрушение.
3. Численные примеры. Постановка исходной задачи свелась к реализации
единой схемы, которая учитывает разнообразные механические формулировки
задачи. Рассмотрены примеры численного решения задачи для одного, двух и
4
трех семейств армирующих волокон, представляющих собой семейства
алгебраических спиралей и им изогональных траекторий для различных
материалов с разными типами нагружения. В численном эксперименте
рассмотрена кольцевая пластина со следующими криволинейными структурами
армирования
двумя
семействами
волокон.
Траекториями
армирования
являются семейства спиралей Архимеда и логарифмических спиралей,
обозначим «A+L (рис.1); семейства логарифмических спиралей и «спицы
велоколеса», обозначим «L+V» (рис. 2); семейства спиралей Архимеда и
«спицы велоколеса», обозначим «А+V»; семейство изогональных траекторий
[4] к логарифмической спирали показано на рис. 3.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Для анализа рассматриваемых структур армирования вводится характеристика
P – «степень нагружения волокна», определяемая как отношение напряжений в
волокне к пределу прочности соответствующего материала, выраженное в
процентах. Для различных амплитуд внешней нагрузки и начальных условий
выхода арматуры 01 , 02 на внутреннем контуре кольцевой пластины
получены зависимости
P
для рассматриваемых структур армирования,
представленные в таблице.
Таблица. Степень нагружения волокна P , выраженная в процентах
Структура
01  0,3 ;
01  0, 05 ;
01  0,1;
армирования
02  0,3
01  0,0376
01  0,318
Семейство (A+L)
6
40
6
Семейство (A+V)
9
70
10
5
Семейство (L+V)
14
80
22
Результаты, представленные в таблице, иллюстрируют существенное влияние
структурных параметров на поведение композита. Предлагаемая методика в
рамках единой схемы позволяет создавать конструкцию с заранее заданным
свойствами и содержит широкий выбор возможностей криволинейного
армирования.
Библиографический список
1. Немировский Ю.В., Кургузов В. Д. Прочность и жесткость стеновых
железобетонных панелей со сложными структурами армирования //
Известия вузов. Строительство, № 2, 2003. С. 4-11.
2. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование
плоских конструкций из армированных волокнистых материалов.
Красноярск: СФУ, 2010. 136 с.
3. Немировский Ю.В., Федорова Н.А. Армирование плоских конструкций по
криволинейным ортогональным траекториям // Вестник Сам. Гос. Техн. Унта. Сер. Физ.-мат. наук. Самара, 2010. С. 96-104.
4. Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых
пластин в полярной системе координат // Журнал Сибирского федерального
университета, математика и физика, 2011 4(3). С. 400 – 405.
5. Nemirovsky Yu.V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech.
Sci. 1970. Vol.12. P. 898-903.
6. Бушманов С. Б., Немировский Ю. В. Проектирование пластин,
армированных равнонапряженными волокнами постоянного поперечного
сечения // Механика композитных материалов. 1983. №2. С. 278 – 284.
7. Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных
структур криволинейного армирования в полярной системе координат.
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. наук. 2013. № 1(30). С.233-244.
8. Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из
композитных материалов. Новосибирск: Наука, 1986. 165 с.
6
Сведения об авторе: Федорова Наталья Александровна, к.ф.-м.н., доцент,
доцент, Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования «Сибирский
федеральный университет» ( ФГАОУ ВПО «СФУ»), 8-923-375-69-70, 660036, г.
Красноярск, Академгородок, д.21 кв. 99, feodorova.natalia@mail.ru
7