Topolov-Kriv-Fizfak - Южный федеральный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Тополов В.Ю.
Криворучко А.В.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
«Элементы тензорного анализа в курсе
физики твердого тела»
для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону
2007
Методические указания разработаны доктором физико-математических
наук, профессором кафедры физики полупроводников В.Ю. Тополовым и
аспирантом кафедры физики полупроводников А.В. Криворучко
Компьютерный набор и
полупроводников А.В. Криворучко
верстка
аспиранта
кафедры
физики
Печатается в соответствии с решением кафедры физики полупроводников
физического факультета ЮФУ (протокол N 41 от 26 июня 2007 г.)
2
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия методы векторного и тензорного анализа активно
используются при изложении курса физики твердого тела, при анализе
особенностей физических свойств твердых тел, а также при описании
анизотропии их физических свойств. Известно, что физические свойства твердых
тел описываются скалярными, векторными или тензорными величинами. В
кристалле, например, векторы воздействия и явления в общем случае не
совпадают по направлению, а связь между этими векторами тесно связана с
симметрией кристалла и анизотропией физического свойства. Cвязь между
явлением (эффектом), воздействием и физическим свойством определяется
символической формулой
Явление = Физическое свойство  Воздействие.
При количественном описании физического свойства важную роль играет выбор
ориентации осей системы координат. Переход от одной системы координат к
другой приводит к изменениям количественных характеристик кристалла, и эти
изменения описываются с помощью тензоров. В настоящих методических
указаниях приводятся основные сведения о тензорах, рассматриваются свойства
тензоров второго ранга, примеры тензорных физических величин, а также
примеры решения задач по тензорной тематике. Навыки, приобретенные
студентами при изучении и использовании представленных методических
указаний, должны способствовать эффективному применению элементов
тензорного анализа в курсе физики твердого тела, при решении ряда задач и при
изложении других спецкурсов для студентов, обучающихся по специальности
«Микроэлектроника и твердотельная электроника».
1 ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА
Как известно из курса физики, скаляр имеет одну компоненту, а вектор –
три. В любой системе координат для полного описания скаляра достаточно
использовать одно число, а для описания вектора – три числа. Однако многие
3
физические величины не удается описать введением одного или трех чисел.
Экспериментально
установлено, что для описания деформации упругих тел в
2
некоторой точке P(x1 , x2 , x3) необходимо ввести 3 = 9 чисел, а для описания
4
упругих свойств анизотропных тел – 3 = 81 число. В связи с этим возникла
потребность введения новых математических объектов, представляющих собой
n
совокупности 3 компонент (n = 0; 1; 2;...) и преобразующихся по определенным
правилам при переходе от одной системы координат к другой. Все эти
компоненты характеризуются одинаковой размерностью и
«участвуют» в
однотипных соотношениях, связывающих различные физические величины.
Такие объекты называются т е н з о р а м и,
а ранг тензора n
n
определяет общее число компонент (3 ).
Отметим, что компоненты тензора могут иметь различные значения в разных
системах координат. Однако в связи с тем, что каждый раз эти компоненты в
совокупности определяют одну и ту же физическую величину, закон
преобразования компонент при изменении системы координат должен быть тесно
связан с природой рассматриваемой физической величины. Произвольность
выбора системы координат является экспериментально установленным фактом и
отражает однородность пространства. Равноправность любой ориентации осей
координат также подтверждена многочисленными экспериментами и отражает
изотропность пространства. Законы преобразования компонент тензоров ранга от
нулевого по четвертый включительно при преобразовании осей прямоугольной
декартовой системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) представлены в таблице 1.
Обобщая вышеизложенное, можно дать следующее определение тензора n-го
ранга. Тензор n-го ранга – это величина, определяемая в декартовой системе
n
координат (X1X2X3) совокупностью 3 чисел или функций Aik...r (число нижних
индексов равно n), которые при изменении системы координат (X1X2X3) →
(X1′X2′X3′) преобразуются по закону
3
Aik...r  =
3
3
 ...
s 1 t 1
w 1
lislkt... lrw Ast...w ,
где lis = cos (OXi, ^ OXs) – косинус угла между i-й осью системы координат
(X1′X2′X3′) и s-й осью осью системы координат (X1X2X3).
4
Таблица 1 – Преобразование компонент тензора n-го ранга (n = 0; 1: 2; 3; 4)
Тензор и его
ранг n
Число
компонент
тензора
Закон преобразования компонент
тензора n-го ранга
Скаляр, n = 0
30 = 1
α' = α
Вектор, n = 1
31 = 3
3
ai ' =  l ik a k
(Т1)
k 1
Тензор второго
ранга, n = 2
32 = 9
Тензор третьего
ранга, n = 3
33 = 27
Тензор четвертого
ранга, n = 4
34 = 81
3
3
bij' =  l ik l jm bkm
k 1 m 1
3
3
cijk' =  
m 1 p 1
3
(Т2)
3
l
q 1
3
dijkm' =  
p 1 q 1
l l c
im jp kq mpq
3
(Т3)
3
 l
r 1 s 1
l l l d pqrs (Т4)
ip jq kr ms
Примечания: 1 lik = cos(OXi', ^ OXk) – направляющие косинусы.
Первый нижний индекс i относится к оси штрихованной (новой) системы
координат.
2 В соответствии с правилом Эйнштейна суммирование от 1 до 3
проводится по повторяющимся индексам k (n = 1; 2), m (n = 2; 3), р, q (n =
3; 4), r и s (n = 4).
2 СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА
Тензоры второго ранга – это величина, определяемая в любой системе
координат девятью числами или функциями, которые при изменении системы
координат преобразуются по формуле (Т2). Тензор второго ранга А удобно
представлять в виде матрицы размером 3 × 3, т.е.
5
 A11

|| Aik || =  A21
A
 31
A12
A22
A32
A13 

A23  .
A33 
Свойства тензора А эквивалентны свойствам квадратной матрицы || Aik ||,
построенной из компонент этого тензора, и эти свойства можно сформулировать
следующим образом.
а) Тензор А является симметричным, если для любых индексов i и k
справедливо равенство Aik = Аki.
б) Тензор В является антисимметричным, если для любых индексов i и k
справедливо равенство Bik = – Bki.
в) Произвольный тензор второго ранга С можно представить в виде
суммы симметричного А и антисимметричного В тензоров: Cik = Aik + Bik ,
где Aik = (Cik+ Cki) / 2, Bik = (Cik – Cik) / 2.
г) Если для тензора А существуют векторы х, удовлетворяющие условию Ах
= λх, то направления, определяемые этими векторами, называются главными
(собственными) направлениями тензора А. Оси этих направлений называются
главными осями тензора. Значения компонент тензора в системе координат
главных осей называются главными значениями тензора (обозначены λ).
Итак, система уравнений, из которой находятся главные направления и
главные значения тензора А, в матричной форме имеет вид
 A11

 A21
A
 31
A12
A22
A32
A13   x1 
 x1 
 
 
A23   x 2  = λ  x 2  .
x 
A33   x3 
 3
Эта система линейных однородных уравнений относительно координат xi имеет
ненулевое решение, если
det || A – λ I || = 0,
(1)
где I - единичная матрица (3 × 3). Таким образом, главные значения λ
определяются из характеристического уравнения тензора А
A11  
A21
A12
A22  
A13
A23
A31
A32
A33  
= 0,
(2)
6
являющегося кубическим уравнением относительно λ. В системе главных осей
(Х1°Х2°Х3°) тензор А записывается в матричном виде как
 1

||Aik|| =  0
0

0
2
0
0

0 ,
3 
(3)
причем три главных оси OXi° этого тензора взаимно перпендикулярны.
Если λ1 = λ2 = λ3, тензор называется шаровым. Такой тензор пропорционален
единичному (т.е. выполняется условие А = λi I) и имеет одинаковый вид во всех
системах координат. Если два главных значения тензора одинаковы, а третье
отлично от них (например, λ1 = λ2 ≠ λ3) , то тензор называется симметрическим.
Если все три главных значения тензора различны, то тензор называется
асимметрическим.
Интерпретация тензор второго ранга может быть дана при проведении
слелующей геометрической аналогии. Центральная поверхность второго порядка
с центром в начале O(0; 0; 0) прямоугольной системы координат (X1X2X3)
описывается уравнением
3
S
i , j 1
ij
xi xj = 1,
(4)
причем коэффициенты Sij подчиняются условию Sij = Sji. В новой системе
координат (X1′X2′X3′) уравнение (4) принимает вид
3
S
k ,m 1
km
′ xk′ xm′ = 1,
3
где коэффициенты Skm′ =  lkilmjSij преобразуются по формуле, аналогичной
i , j 1
формуле (Т2) из таблицы 1. Компоненты симметричного тензора второго ранга
преобразуются при переходе из системы координат (X1X2X3) в (X1′X2′X3′) подобно
коэффициентам Sij из уравнения (4). Для симметричного тензора второго ранга
можно ввести х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю п о в е р х н о с т ь – поверхность
второго порядка с коэффициентами, равными компонентам тензора. Как показано
выше, симметричный тензор второго ранга приводится к главным осям (см.
формулу (3)), а соответствующая ему характеристическая поверхность задается
уравнением
7
λ1 x12 + λ2 x22 + λ3 x32 = 1.
(5)
Уравнение (5) легко приводится к канонической форме
(x1 / a1)2 + (x2 / a2)2 + (x3 / a3)2 = 1.
(6)
Если в матрице (3) все λi > 0, то поверхность, описываемая уравнением (6),
представляет собой эллипсоид с полуосями длиной 1/ i (i = 1; 2; 3). Если два
элемента λi из (3) положительны, а один отрицателен, то поверхность (6) является
однополостным гиперболоидом. Наоборот, если два элемента λi из (3)
отрицательны, а один положителен, то поверхность (6) является двухполостным
гиперболоидом.
Наряду с характеристической поверхностью при описании физических
свойств, выражающихся тензорами второго ранга, используют у к а з а т е л ь –
н у ю п о в е р х н о с т ь. В прямоугольной системе координат (X1X2X3)
уравнение указательной поверхности для свойства, описывающегося тензором
(3), имеет вид
(x1 / λ1)2 + (x2 / λ2)2 + (x3 / λ3)2 = 1.
(7)
Уравнение (7) характеризует эллипсоид с полуосями длиной | λi | (i = 1; 2; 3). В
общем случае по форме указательной поверхности можно определять
кристаллографические направления, вдоль которых данное физическое свойство
характеризуется минимальным или максимальным численным значением.
Примеры характеристических поверхностей свойств, описываемых
тензором второго ранга, в кристаллах различной симметрии представлены в
таблице 2.
3 ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Для описания физических свойств кристаллов часто используются тензоры,
позволяющие учитывать симметрию кристаллической структуры и связанную с
ней анизотропию свойств. Вследствие анизотропии свойств кристаллов
физическое явление, вызванное каким-либо воздействием, как правило, не
совпадает по направлению с этим воздействием. Если воздействие и вызванное
8
Таблица 2 – Влияние симметрии кристалла на физические свойства,
описываемые тензором второго ранга
Сингония
Кубическая
Тетрагональная,
гексагональная или
тригональная
Ромбическая
Ненулевые
компоненты тензора
b11 = b22 = b33
b11 = b22; b33 ≠ b11
b11 ≠ b22 ≠ b33
Моноклинная
b11 ≠ b22 ≠ b33; b13 = b31
Триклинная
b11 ≠ b22 ≠ b33;
b12 = b21; b13 = b31;
b23 = b31; b12 ≠ b13 ≠ b23
Характеристическая
поверхность
Сфера
Эллипсоид вращения
(сфероид) вокруг
главной оси симметрии
Трехосный эллипсоид с
осями, параллельными
кристаллографическим
осям
Трехосный эллипсоид,
одна из осей которого
параллельна главной
кристаллографической
оси
Трехосный эллипсоид
им явление изотропны (т.е. описываются скалярами), то и соответствующее
свойство будет изотропным. Если при скалярном воздействии на кристалл
возникающее явление описывается тензором, то и соответствующее свойство
кристалла будет тензорным. Тензорные свойства могут обнаруживаться, кроме
того, и при векторных, и при тензорных воздействиях. Характерные примеры
связей рангов тензоров воздействия n1, свойства n и явления n2 приведены в
таблице 3. Нетрудно заметить, что между рангами вышеуказанных тензоров
существует следующая связь: n = n1 + n2.
В п. 4 таблицы 3 закон Гука
3
σab =
c
j ,k 1
abjk
 jk
(8)
записан в тензорной форме (модули упругости cabjk образуют тензор четвертого
9
Таблица 3 – Взаимосвязь тензоров, характеризующих свойство, воздействие
и явление в твердом теле
Ранг
тензора
свойства n
Воздействие,
ранг тензора
n1
Явление, ранг
тензора n2
Свойство и тензор,
используемый для его
описания
1
∆T – изменение
температуры,
скаляр (n1 = 0)
∆Р – изменение поляризованности
кристалла,
вектор (n2 = 1)
Пироэлектричество – свойство
некоторых диэлектрических
кристаллов изменять величину
электрической поляризованности
при изменении температуры.
∆Р = γ∆T, где γ – вектор
пироэлектрических коэффициентов.
2
Е – напряженность электрического поля,
вектор (n1 = 1)
D – электрическое смещение, вектор
(n2 = 1)
Диэлектрическая проницаемость
характеризует поляризованность
тел под действием электрического поля.
3
Di = ε0

k 1
ik
E k , где  ik – компо-
ненты тензора относительных
диэлектрических проницаемостей.
2
ω – угловая ско- М – момент
рость, псевдовек- импульса,
тор (n1 = 1)
псевдовектор
(n2 = 1)
Момент инерции характеризует
инертные свойства тела при его
вращении.
3
Mf =
I
k 1
fk
 k , где Ifk – компо-
ненты тензора инерции (реже –
тензора моментов инерции).
10
Продолжение таблицы 3
Ранг Воздействие,
тен- ранг тензора
зора
n1
свойства n
Явление,
ранг
тензора n2
Свойство и тензор, используемый
для его описания
2
∆T – изменение температуры, скаляр
(n1 = 0)
ξjk – механическая деформация, тензор
(n2 = 2)
Тепловое расширение – изменение
размеров тела в процессе его
нагревания.
ξjk = βjk∆T, где βjk – компоненты
тензора коэффициентов линейного
теплового расширения твердого тела.
3
σjk – механическое напряжение, тензор
(n1 = 2)
Р – поляризованность,
вектор
(n2 = 1)
Пьезоэлектричество – изменение поляризованности некоторых диэлектрических кристаллов при приложении
внешнего механического напряжения.
При прямом пьезоэффекте
3
------------------Pi =  d ijk jk , при обратном
ξjk – механиj ,k 1
3
ческая
деформация, пьезоэффекте ξjk =  d ijk Ei ,
i 1
тензор
где dijk – компоненты тензора
(n2 = 2)
пьезоэлектрических модулей
(реже – тензора пьезокоэффициентов).
ξjk – механи- σab– механиче- Упругость – свойство тел изменять
ческая
ское напряформу под действием нагрузок и
деформация, жение, тензор самопроизвольно восстанавливать
тензор
(n2 = 2)
исходную форму при прекращении
(n1 = 2)
внешних воздействий. При малых
деформациях справедлив закон Гука
-----------------Е – напряженность
электрического поля,
вектор
(n1 = 1)
4
3
σab =
c
j ,k 1
abjk
 jk , где cabjk – компоненты
тензора модулей упругости.
11
ранга). В силу симметричности тензоров механических деформаций ξjk и
механических напряжений σab для модулей упругости выполняются равенства cabjk
= cbajk и cabjk = cabkj (a, b, j, k = 1; 2; 3). Из термодинамики следует, что если
деформирующие кристалл силы являются консервативными, то выполняется
условие перестановки пар индексов cabjk = cjkab (a, b, j, k = 1; 2; 3). Вследствие
вышеупомянутых равенств для модулей упругости число независимых компонент
тензора cabjk различных кристаллов составляет от 21 (триклинная сингония) до 3
(кубическая сингония).
Вследствие симметричности индексов у модулей упругости cabjk формула
закона Гука (8) представляется в матричной форме как
3
σ =
c   ,


(9)
1
где σ – механическое напряжение ( = 1; 2; …; 6),  – механическая деформация
( = 1; 2; …; 6), с – элементы матрицы модулей упругости (6  6). Матрицы
механических напряжений || σ || и деформаций ||  || выражаются через
компоненты соответствующих тензоров σ и ξjk следующим образом:
1  6  5 


|| σ || =  6  2  4  =
   
4
3
 5
 1

|| ξ || =   6

 5
  11  12  13 


  12  22  23  ;


 13  23  33 
 6  5   11 212 213 
 

 2  4  =  212  22 2 23  .
 4  3   213 2 23  33 
Следует помнить, что матрица модулей упругости || cab || (см. формулу (9)) не
является тензором, а ее элементы не преобразуются по формулам, аналогичным
(Т2) или (Т4) из таблицы 1.
Если деформированное состояние кристалла описывается в соответствии с
законом Гука (см. формулы (8) и (9)), то объемная плотность энергии упругой
деформации данного кристалла определяется как
wупр = (1 / 2)
6
6
1
1
c   .

 
(10)
12
Выражение (10) по форме напоминает формулу энергии упругой деформации
пружины Wупр = k x2 / 2, где k – жесткость пружины, x – смещение.
4 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
З а д а ч а 4.1. В прямоугольной системе координат (X1X2X3) тензор
относительных диэлектрических проницаемостей тетрагонального кристалла
имеет ненулевые компоненты 11 , 22 = 11 и 33 . Определить все ненулевые
компоненты тензора относительных диэлектрических проницаемостей km в
системе координат (X1′X2′X3′), повернутой относительно (X1X2X3) вокруг оси ОX3
на угол  против часовой стрелки.
Тензор ij – тензор второго ранга (см., например, таблицу 3). Преобразование
компонент тензора ij проводим в соответствии с формулой (Т2) из таблицы 1:
km =
3
3
 l
i 1 j 1
l  ,
(11)
ki mj ij
где lki = cos(OXk', ^ OXi). Преобразование осей координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′)
(рисунок 1) описывается формулами
x1' = x1 cos  + x2 cos (90 –  ) + x3 cos 90;
x2' = x1 cos (90 +  ) + x2 cos  + x3 cos 90;
x3' = x1 cos 90 + x2 cos 90 + x3 cos 0.
Cледовательно, матрица преобразования (вращения) имеет вид
 cos  sin  0 


|| lab || =   sin  cos  0  .
 0
0
1 

(12)
C учетом формул (11) и (12) компоненты тензора km записываются как
13
Рисунок 1 – Поворот осей координат
11 = l11211 + l12222 + l13233 = (l112 + l122)11 = 11;
22 = l21211 + l22222 + l23233 = (l212 + l222)11 = 11;
33 = l33233 = 33,
т.е. не наблюдается зависимости от угла поворота  . Нетрудно проверить, что для
кристаллов тетрагональной сингонии 12 = 13 = 23 = 0 при любом угле поворота
.
О т в е т: 11 = 22 =11; 33 = 33.
З а д а ч а 4.2. Определить все ненулевые компоненты тензора km из задачи
4.1 в системе координат (X1′X2′X3′), повернутой относительно (X1X2X3) вокруг оси
ОX2 на угол  по часовой стрелке.
В данном случае матрица преобразования осей координат (X1X2X3) →
(X1′X2′X3′) имеет вид
 cos 

|| lab || =  0
  sin 

0 sin  

1
0 
0 cos  
(13)
14
(обратим внимание на то, что (OX3′, ^ OX1) = 90 + , а (OX1′, ^ OX3) = ). С
учетом формул (11) и (13) компоненты тензора km определяются как
11 = l11211 + l12222 + l13233 = 11 cos2 + 33 sin2;
22 = l21211 + l22222 + l23233 = 22 = 11;
33 = l31211 + l32222 + l33233 = 11 sin2 + 33 cos2;
12 = l11l2111 + l12l2222 + l13l2333 = 0;
23 = l21l3111 + l22l3222 + l23l3333 = 0;
13 = l11l3111 + l12l3222 + l13l3333 = –11 cos sin + 33 sin cos = (33 –
– 11)sin cos.
Проверка полученных формул показывает, что при  = 0 мы имеем равенства
11 = 22 = 11; 33 = 33 и 12 = 13 = 23 = 0. Поворот на угол  против часовой
стрелки приводит к замене во всех выражениях для km угла  на угол (–): в
итоге значения 11, 22 и 33 не изменяются, а знак 13 изменяется на
противоположный.
О т в е т: 11 = 11 cos2 + 33 sin2; 22 = 11; 33 = 11 sin2 + 33 cos2;
13 = (33 –11)sin cos.
З а д а ч а 4.3 [3]. Какова указательная поверхность пироэлектрического
эффекта?
Пусть в системе координат (X1X2X3) вдоль полярного направления ОА
пироэлектрический эффект определяется вектором  (А1; А2; А3) (рисунок 2).
Выберем произвольное направление и совместим с ним ось ОX3′ новой
системы координат (X1′X2′X3′). Тогда по этому направлению пироэлектрический эффект будет определяться компонентой А3, для которой
справедливо условие
А3 2  х12  х 22  х32 .
(14)
А 3 выражается через компоненты исходного вектора  (А1; А2; А3) следующим
образом:
А3  С31 А1  С32 А2  С33 А3 .
(15)
15
Рисунок 2 – К определению указательной поверхности
пироэлектрического эффекта
Проведем через начало координат перпендикулярно вектору  плоскость Р
(см. рисунок 2). Проекция вектора  на ось ОX3′ (т.е. компонента А3) будет
положительной для точек, лежащих «выше» плоскости Р и отрицательна для
точек, лежащих «ниже» плоскости Р. Тогда коэффициенты из (15) равны
С31   х1 / А3 ; С32   х 2 / А3 ; С33   х3 / А3 , где знак плюс соответствует точкам
над плоскостью Р, а минус – точкам под плоскостью Р. Следовательно,
х

х
х
А3   1 А1  2 А2  3 А3 ;
А3
А3 
 А3
А3 2  ( х1 А1  х 2 А2  х3 А3 ).
(16)
Сравнивая выражения (14) и (16), получаем
х12  х22  х32  х1 А1  х2 А2  х3 А3
(17)
для точек А 3(х1; х2; х3), лежащих «выше» плоскости Р, и уравнение
16
х12  х22  х32   х1 А1  х2 А2  х3 А3
(18)
для точек А 3(х1; х2; х3), лежащих «ниже» плоскости Р. Уравнения (17) и (18)
приводятся к виду
А3 2 А12 А22 А32
А1 2
А2 2
( х1  )  ( х2  )  ( х3  ) 


2
2
2
4
4
4
(19)
А3 2 А12 А22 А32
А1 2
А2 2
( х1  )  ( х2  )  ( х3  ) 


2
2
2
4
4
4
(20)
и
соответственно. Уравнения (19), (20) представляют собой уравнения
указательной поверхности пироэффекта. Геометрический образ данной
указательной поверхности –
две сферы, соприкасающиеся в начале
координат. Центр сферы, заданной уравнением (19), лежит в точке,
определяемой радиус-вектором  / 2, а центр сферы, заданной уравнением (20),
лежит в точке, определяемой радиус-вектором (– )/ 2.
О т в е т: уравнения (19) и (20).
З а д а ч а 4.4 [3]. Найти величину и направление вектора плотности тока j (в
системе координат (X1X2X3)), возникающего в кристаллической пластинке
площадью S и толщиной d ( S >> d) под действием внешнего поля
Е = 150 В / см в направлении ( 2 / 2; 2 / 2; 0), если удельная проводимость
кристалла (в 10-7 Ом-1 см-1) в этой системе координат (X1X2X3) описывается
тензором
||  ij(c )
 9 2 8 


||    2 16 0  .
 8
0 25 

Компоненты вектора напряженности внешнего электрического поля Е (Е1;
Е2; Е3) равны Е1  150  2 / 2 В / см; Е2  150  2 / 2 В / см; Е3  0. Согласно
17
закону Ома в дифференциальной форме, компоненты вектора плотности тока j (j1;
3
j2; j3) в кристалле определяются по формуле ji =

k 1
(c)
ik
Ek :
j1 =  11(c ) E1 +  12(c ) E2 +  13( c ) E3;
j2 =  (21c ) E1 +  (22c ) E2 +  (23c ) E3;
(c)
(c)
(c)
j3 =  31
E1 +  32
E2 +  33
E3.
Численные значения равны j1 = 7,4.10-5 А / см2; j2 = 14,7.10-5 А / см2;
j3 = 8,46.10-5 А / см2; | j | = 18,5.10-5 А / см2. Направление вектора j определяется
углами 1, 2, 3 c помощью формулы cos i = ji / | j | (i = 1; 2; 3). Эти углы равны
1 = 66; 2 = 37; 3 = 63.
О т в е т: | j | = 18,5.10-5 А / см2; 1 = 66; 2 = 37; 3 = 63.
З а д а ч а 4.5. Состояние упругой деформации кристалла тетрагональной
симметрии задается в прямоугольной системе координат (X1X2X3) тензором
|| ab
0
 0

|| =  0  2 0
 / 4
0
 0
0 / 4

0  , где
3 0 
0 > 0. Матрица модулей упругости
кристалла имеет вид
|| с






|| = 






c11 c12 c13 0
0
0
c12 c11 c13 0
0
0
c13 c13 c33 0
0
0
0
0
0
0
c 44 0
0
0
0
0 c 44 0
0 0
0
0
0
c 66






.







Определить а) ненулевые компоненты тензора механических напряжений σjk,
возникающих в кристалле; б) объемную плотность упругой энергии wупр данного
кристалла.
18
Перейдем к одноиндексной форме записи деформаций ab  .
Соответствующая матрица принимает вид
|| 
0
 0

|| =  0  2 0
 / 2
0
 0
0 / 2

0  (при записи данной матрицы учтено, что
3 0 
недиагональные компоненты тензора деформаций удовлетворяют условию 5 =
213 = 0 / 2). Подставляя элементы матриц || с || и ||  || в формулу (9), получим
σ11 = σ1 = с111 + с122 + с133 = с110 + с12 (–20) + с13.30 = (с11 – 2с12 + 3с13)0;
σ22 = σ2 = с211 + с222 + с233 = с120 + с11 (–20) + с13.30 = (с12 – 2с11 + 3с13)0;
σ33 = σ3 = с311 + с322 + с333 = с13(0 – 20) + с33.30 = ( – с13 + 3с33)0;
σ13 = σ5 = с555 = с440 / 2;
σ12 = σ6 = 0; σ23 = σ4 = 0.
Объемная плотность упругой энергии определяется по формуле (10). Для
упругой деформации данного кристалла получаем следующее выражение:
wупр = (1 / 2)( с1112 + с2222 + с3332 + 2с1212 + 2с1313 + 2с2323 + с5552) =
= (1 / 2)[с1102 + 4с1102 + 9с3302 – 4с1202 + 6с1302 – 12с1302 + (с4402 / 4)] =
= (1 / 2)[5с11– 4с12 – 6с13 + 9с33 + (с44 / 4)]02.
О т в е т: σ11 = (с11 – 2с12 + 3с13)0; σ22 = (с12 – 2с11 + 3с13)0;
σ33 = ( – с13 + 3с33)0; σ13 = с440 / 2; wупр = (1 / 2)[5с11– 4с12 – 6с13 + 9с33 + (с44 / 4)]02.
5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
5.1. Сколько компонент имеют а) скаляр; б) вектор; в) тензор n-го ранга?
5.2. Чем характеризуется тензор n-го ранга?
5.3. Как преобразуются компоненты тензора второго ранга при переходе из
прямоугольной системы координат (X1X2X3) в прямоугольную систему координат
(X1′X2′X3′)?
5.4. Что такое а) главные оси тензора второго ранга; б) главные значения
тензора второго ранга?
19
5.5. В чем состоит отличие указательной поверхности от
характеристической? Для каких тензоров вводятся эти поверхности?
5.6. Какую информацию можно получить, изучая указательную
поверхность?
5.7. Как представляются механические напряжения и деформации в
одноиндексной форме?
6 ЗАДАЧИ
6.1. Определить тензор относительных диэлектрических проницаемостей
km кристалла моноклинной сингонии в системе координат (X1′X2′X3′), если в
исходной системе координат (X1X2X3) ненулевые компоненты тензора равны 11,
22, 33 и 13 = 31. Система координат (X1′X2′X3′) повернута относительно
(X1X2X3) по часовой стрелке на угол а) 45 вокруг оси ОX1; б) 30 вокруг оси ОX2;
в) 60 вокруг оси ОX3.
6.2. Диэлектрическая проницаемость некоторого кристалла в системе
координат (X1X2X3) характеризуется тензором
12 5 0 


 5 24 0  0. Каким образом следует вырезать тонкую кристаллическую
 0 0 32 


пластинку для достижения наибольшей емкости плоского конденсатора на основе
данного кристалла?
6.3. Определить характеристическую поверхность упругих деформаций,
задаваемых тензором
 2 0 0

 . -4
 0  3 0  10 .
 0 0 9


6.4. Удельная электропроводность кристалла ромбической сингонии
описывается в системе координат (X1X2X3) тензором
20
 0

 0
 0

0
0,8 0
0
0 

0  , где 0 > 0. Определить плотность тока j при приложении к
1,3 0 
кристаллу внешнего электрического поля E(E0, 0, –E0), где E0 > 0.
6.5. Деформация кристалла кубической сингонии с модулями упругости
|| с






|| = 






c11 c12 c12 0
0
0
c12 c11 c12 0
0
0
c12 c12 c11 0
0
0
0
0
0
0
c 44 0
0
0
0
0 c 44 0
0 0
0
0
 0

|| ij || =  0  2 0
 / 8
0
 0
0
0
c 44






 характеризуется тензором







0 / 8

0  , где 0 > 0. Определить компоненты тензора
 0 / 3 
механических напряжений 11, 22 и 33, а также объемную плотность упругой
энергии wупр данного кристалла.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления [Текст]: учеб. пособие для вузов. – Харьков: Вища шк.; Изд-во при
Харьк. гос. ун-те, 1986. – 216 с.
2. Шаскольская М. П. Кристаллография [Текст]: учеб. пособие для втузов. – 2-е
изд. – М.: Высш. шк., 1984. – 376 с.
3. Переломова Н.В., Тагиева М.М. Задачник по кристаллофизике [Текст]: учеб.
пособие для вузов. – 2-е изд. – М.: Наука, 1982. – 288 с.
4. Савельев И.В. Основы теоретической физики. Т. 1. Механика и
электродинамика [Текст]: учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1991. – С.412–
430.
21