Тензорный анализ

Аннотация программы учебной дисциплины
«Тензорный анализ»
Направление 010100.62 – «Математика».
Профиль: Вычислительная математика и информатика.
Общее количество часов — 108 (3 зачетные единицы). Семестр – 6.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целями освоения дисциплины являются: изучения основных теоретических положений векторного и тензорного анализа и освоение способов их
применение для решения задач механики сплошных сред, математической
физики и др. областей.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
способностью к критике и самокритике (ОК-5); способность применять
знания на практике (ОК-6); исследовательские навыки (ОК-7); фундаментальной подготовкой по основам профессиональных знаний и готовностью к
использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11); способностью
к анализу и синтезу (ОК-14); определение общих форм, закономерностей и
инструментальных средств отдельной предметной области (ПК-1); умение
понять поставленную задачу (ПК-2); умение формулировать результат (ПК3); умение строго доказать утверждение (ПК-4); умение на основе анализа
увидеть и корректно сформулировать результат (ПК-5); умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК-6); умение
грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7); умение ориентироваться в постановках задач (ПК-8); знание корректных постановок классических задач (ПК-9); понимание корректности постановок задач (ПК-10);
глубокое понимание сути точности фундаментального знания (ПК-13).
В результате освоения данной дисциплины обучающийся должен:
знать: основы тензорного анализа и их приложений для решения задач
механики сплошных сред;
уметь: применять математический аппарат тензорного анализа для исследования и численного решения различных математических моделей;
владеть: методологией и навыками решения научных и практических
задач, применения современного математического инструментария для решения и анализа задач вычислительной математики.
3. Содержание дисциплины. Основные разделы.
Тензорное исчисление. Основной базис. Взаимный базис. Выражение
взаимного базиса. Ориентация основного и взаимного базисов. Касательный
базис – действительный базис. Ковариантные и контрвариантные компоненты вектора и векторное произведение. Системы координат. Ковариантные и
контрвариантные компоненты. Связь между ковариантными и контрвариантными компонентами. Способы поднятия/опускания индексов у компонентов.
Пример на свойства компонентов. Физические составляющие вектора. Связь
с помощью метрической матрицы основного базиса взаимных. О существовании координат с нижним индексом. Неголономные координаты. Алгебра
векторов в тензорном представлении. Скалярное произведение. Символ Леви-Чивита. Понятие дискрименантные тензора. Векторное произведение.
Векторное произведение векторов основного и взаимного базиса. Произведение дискриминантных тензоров. Свертка результата произведения дискриминантных тензоров. Вывод выражений базисных векторов через векторные
произведения. Преобразования координат. Формулы преобразования векторов основного базиса. Формулы преобразования векторов взаимного базиса.
Формулы преобразования компонентов вектора. Математическое определение вектора. Примеры абсолютных скалярных величин. Примеры тензорных
величин. Тензоры первого и второго рангов. Тензоры первого ранга. Преобразование компонентов тензора первого ранга. Формулировка понятия вектора. Тензоры второго ранга. Полиадное произведение и его свойства. Формулы преобразования компонентов тензора. Операции жонглирования индексами. Правила записи формул преобразования компонентов. Умножение
тензора на скаляр и сложение тензоров. Симметричные и антисимметричные
тензоры. Метрический тензор. Свертывание тензора. Примеры полиадного
произведения тензоров. Скалярное произведение тензора. Двойное скалярное
произведение тензора. Умножение метрического тензора. Дифференцирование тензоров. Символы Кристоффеля и дифференциалы тензоров. Дифференцирование векторов основного базиса. Символы Кристоффеля. Выражение символов Кристоффеля через метрические коэффициенты. Дифференцирование векторов взаимного базиса. Свойства символов Кристоффеля.
Свертка символов Кристоффеля. Оператор Гамильтона. Физический смысл
градиента. Дифференциал тензора первого ранга. Дифференциал тензора
произвольного ранга. Ковариантная производная контрвариантных компонент тензора. Дивергенция и ротор тензора. Оператор Лапласа. Дивергенция
тензора. Ротор тензора I ранга. Ротор тензора II ранга. Ротор тензора произвольного ранга. Оператор Лапласа. Обратный тензорный признак. Собственные значения симметричного тензора II ранга. Собственные вектора симметричного тензора II ранга. Псевдотензоры. Инварианты симметричного тензора. Псевдовектор. Преобразование компонент антисимметричного тензора.
Правило определения псевдотензора. Тензор деформации. Выражение тензора деформации через вектор перемещений. Тензор Коши-Грина и тензор
Альманси. Компоненты тензора деформаций. Физический смысл компонент
тензора деформаций. Физический смысл диагональных компонент тензора
деформаций. Физический смысл недиагональных компонент тензора деформаций. Тензор скоростей деформаций и распределение скоростей жидкой частицы. Тензор скоростей деформаций. Распределение скоростей жидкой частицы. Физический смысл слагаемых формулы распределения скоростей
жидкой частицы. Вихревое движение жидкой частицы. Составляющая скорости жидкой частицы от её деформации. Тензоры напряжений и плотности потока импульса. Тензорная поверхность тензора напряжения. Главные направления тензора напряжения. Тензор плотности потока импульса. Ортогональные тензоры. Векторная алгебра в индексных обозначениях. Тензоры в ортонормированных системах координат. Ортогональные тензоры в механике и
физике. Главные оси симметричного тензора второго порядка. Тензорный
анализ в трехмерном евклидовом пространстве. Метрика в косоугольных координатах. Взаимные системы. Фундаментальный объект. Метрика в криволинейных координатах. Тензоры в косоугольных и криволинейных координатах. Параллельный перенос в криволинейных координатах. Ковариантное
дифференцирование. Тензор Римана—Кристоффеля. Тождества Ляме. Применение ковариантного дифференцирования в механике и физике. Поверхность как двумерное риманово пространство. Двумерные объекты. Криволинейные координаты на поверхности. Тензоры на поверхности. Метрика на
поверхности. Параллельный перенос на поверхности. Специальные системы
координат на поверхности. Поверхность, вложенная в трехмерное пространство. Четырехмерные тензоры теории относительности. Преобразование Лоренца и 4-тензоры специальной теории относительности. Инвариантность
уравнений электродинамики и релятивистской механики относительно преобразования Лоренца. Риманово пространство событий общей теории относительности. Уравнения Эйнштейна в неопределенных координатах. Решение Шварцшильда. Движение планет.
Составитель: доцент каф. МАиМ Рыженко А.В.