Свойство трехгранного угла как ключевая задача

Свойство трехгранного угла как ключевая задача
Г.И. Ковалева
Решая задачу № 681 из учебника «Геометрия 10-11» под редакцией
Л.С. Атанасяна: «Все грани параллелепипеда – равные ромбы, диагонали
которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда», испытываешь
трудность при нахождении высоты параллелепипеда.
С1
B1
Нельзя решить эту задачу, не ответив
на вопрос: куда упадет основание
перпендикуляра,
А1
D1
B
С
скажем,
к
проведенного,
плоскости
 АВС 
из
вершины А1 ?
O
А
D
Ответить на этот вопрос можно, зная свойство трехгранного угла: если
в трехгранном угле два плоских угла равны, то проекция их общего ребра на
плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.
Если эту задачу решает учитель, то перед ним встает еще ни один
вопрос: как объяснить учащимся решение этой задачи? Как сделать, чтобы
используемое в задаче свойство трехгранного угла запомнилось и
применялось учащимися при решении других задач?
Одним из способов решения этой проблемы является использование в
практике обучения системы задач, составленной методом ключевой.
Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них
состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта, результат
решения которой может быть использован при решении каждой из задач
системы. Зачастую такая ключевая задача (как в нашем случае) оказывается
дополнительной теоремой школьного курса.
Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как
задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно
отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых,
учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных
требований по изучаемой теме.
Итак, свойство трехгранного угла формулируем как ключевую задачу.
Ключевая задача. Если в трехгранном угле два плоских угла равны, то
проекция их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его
биссектрисой.
Дано: ВАМ  ВАК , ВО   АМК  .
В
Доказать, что АО – биссектриса
МАК .
Доказательство.
Пусть ОМ  АМ и ОК  АК . Тогда
по теореме о трех перпендикулярах
К
ВМ  АМ и ВК  АК .
Треугольники ВАМ и ВАК равны
О
А
как прямоугольные по гипотенузе и
М
острому
углу.
Следовательно,
АМ  АК .
Треугольники АМО и АКО равны как прямоугольные по гипотенузе и
катету. Следовательно, ОАМ  ОАК , а значит,
АО – биссектриса
МАК .
Рассмотрим задачи системы:
1. Все грани параллелепипеда ромбы со стороной а и острым углом  .
Найдите объем параллелепипеда.
Решение задачи начинается с
анализа – что надо знать, чтобы
B1
С1
найти
объем
параллелепипеда?
Объем
параллелепипеда
равен
произведению площади основания
А1
D1
на высоту. Основанием данного
параллелепипеда является ромб со
стороной а и острым углом  ,
B
следовательно, площадь основания
С
можно найти по формуле S  a 2 sin  .
O
Чтобы найти высоту, надо ее
построить. Где будет лежать
D
А M
основание
перпендикуляра,
проведенного,
допустим,
из
вершины А1 к плоскости основания?
Ответ на этот вопрос даст ключевая задача. Далее решение задачи
сводится к вычислению элементов параллелепипеда.
Из треугольника АА1М АМ  a  cos . Из треугольника АОМ
AM
a  cos
. По теореме Пифагора из треугольника АА1О
AO 



cos
cos
2
2


3
a

.
A1O 
cos2  cos2  . V  2a 3 sin
sin sin

2
2
2
2
cos
2
Варьируя условие задачи, то есть, задавая различные элементы ромба,
можно составить систему задач. Найдите объем параллелепипеда, все грани
которого ромбы со стороной а и высотой h ; со стороной а и радиусом
вписанной окружности r; со стороной а и диагональю m; с диагоналями m и
n; c диагональю m и углом  ; c диагональю m и высотой h ; со стороной а и
площадью S; и так далее.
Эти задачи можно использовать для домашней или самостоятельной
работ, в общем виде или подобрать «удобные» числовые данные. Но главное,
составлять эту систему задач надо вместе с учащимися. Чтобы они видели,
что решение такого количества на первый взгляд различных задач зависит от
1) знания свойства трехгранного угла, 2) умения находить неизвестные
элементы ромба, 3) умения решать прямоугольный треугольник.
Для получения обратной связи об усвоении учащимися свойства
трехгранного угла и для развития пространственного воображения
желательно попросить учащихся построить (на том же чертеже)
перпендикуляры из А1 на плоскость DCC1  ; из C1 на плоскость  АВС  ; из D на
плоскость  АВВ1  и так далее.
После такой работы над задачей можно переходить к следующей
задаче системы.
2. Основанием параллелепипеда служит прямоугольник со сторонами
a и b. Боковое ребро параллелепипеда равно с, а углы между одним из
боковых ребер и прилежащими к нему сторонами основания –  . Найдите
объем параллелепипеда.
В1
С1
А1
D1
В
К
С
O
А M
Объем
параллелепипеда
можно
вычислить по формуле V  Sосн  H .
Основанием является прямоугольник
со сторонами a и b, следовательно,
Sосн  a  b .
Проведем высоту параллелепипеда из
вершины А1 . По ключевой задаче
проекцией ребра АА1 на плоскость
основания АВС будет биссектриса
угла ВАD – АК .
D
Далее
решение
задачи
сводится
к
решению
прямоугольных
треугольников. Из треугольника АА1М АМ  с  cos . Из треугольника АОМ
AO 
AM
2с  cos

 2с  cos . По теореме Пифагора из треугольника
0
cos 45
2
АА1О A1O  c 1  2 cos2   c  cos 2 . V  abc  cos 2 .
3. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной а.
Боковое ребро призмы равно b, а углы между одним из боковых ребер и
прилежащими к нему сторонами основания –  . Найдите объем призмы.
A1
C1
V  Sосн  H , Sосн
А1О   АВС 
B1
а2 3

.
4
и
А1 АВ  А1 АС ,
следовательно, по ключевой задаче
АО – биссектриса угла ВАС .
A
C
M
O
B
Из треугольника АА1М АМ  b cos .
Из
треугольника
АОМ
AM
2b cos
.
AO 

0
cos 30
3
4
cos 2  .
3
По теореме Пифагора из треугольника АА1О A1 O  b 1 
V
1 2
a b 3  4 cos2  .
4
4. В треугольной пирамиде все четыре грани – равные равнобедренные
треугольники с основанием а и боковой стороной b. Найдите объем
пирамиды.
Так как треугольники AFC и AFB
F
равны
по
трем
FAC  FAB .
a
b
то
Следовательно,
проекция ребра AF на плоскость ABC
является биссектрисой, то есть АО –
b
В
О
А
сторонам,
a
b
биссектриса угла ВАС .
С
Далее
после
вычисления
элементов
пирамиды,
получаем
1
V  a 2 4b 2  2a 2 .
12
Итак, в каждой задаче системы использовался факт, доказанный в
ключевой задаче. Неоднократное повторение формулировки свойства
трехгранного угла, его использование при нахождении высот, как призм, так
и пирамид – достоинства данного урока одной задачи.