Примеры расчета переходных процессов в электрических цепях

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Волгоградский государственный технический университет (ВолгГТУ)
Кафедра «Электротехника»
Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях
Задания и методические указания к выполнению семестровой работы
Волгоград, 2005
УДК 621.3.011.7(075)
Расчет переходных режимов в линейных электрических цепях:
Задания и методические указания к выполнению семестровой работы.
/Сост.
канд. тех. наук,
доцент С.И. Николаева, Волгоград. гос. ун-т. –Волгоград, 2005.
-22с.
В работе приведены варианты заданий для выполнения семестровой работы
по теме «Переходные процессы в линейных электрических цепях». Даются
методические указания и приводятся примеры расчета переходных процессов в
сложных цепях классическим и операторным методами. Работа рассчитана на 6
часов аудиторных и 6 часов домашних занятий.
Работа предназначена для студентов всех форм обучения и может быть
использована в курсах «Теоретические основы электротехники», «Общая
электротехника» и «Электротехника и электроника».
Рис. 10.
Табл. 1. Библиогр.: 6 наименований.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского
государственного технического университета (ВолгГТУ)
Рецензент: ст. препод. Л.В.Хоперскова
© Волгоградский государственный
технический университет
2
Задание на семестровую работу № 2
“Расчёт переходных режимов в линейных электрических цепях”
по курсу “Теоретические основы электротехники”
1. УКАЗАНИЯ ПО ВЫБОРУ ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ
Электрическая схема и значения её параметров выбираются по номеру
варианта задания. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в
журнале.
Для студентов, номера которых от 1 до 10-го, выбирается схема,
соответствующая номеру варианта (рис. 1 – 10).
Для вариантов, больше 11-го, номер схемы (номер рисунка) соответствует
второй цифре варианта. При этом варианты 10, 20 и т.д. используют схему №10
(рис. 10).
Параметры схемы (значение R, L, C) и реакция цепи, которую требуется
определить, приведены в таблице и соответствуют номеру варианта.
2. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ
1) Определить реакцию электрической цепи, если воздействие, задаваемое
электродвижущей силой источника напряжения или током источника тока,
постоянно и равно:
е(t) = 100 В;
I (t) = 1 А.
Расчёт выполнить классическим методом.
2) Определить эту же реакцию при заданном воздействии операторным
методом.
3) Построить зависимость искомой реакции от времени на промежутке
времени t = (4 – 5) τ.
Если корни характеристического уравнения р1 и р2 действительные и
различные, то
τ
1
р min
где рmin – наименьший из корней р1 и р2.
В случае комплексно сопряжённых корней характеристического уравнения
р1,2  α  jω
τ
1

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1) Коммутация электрической цепи осуществляется включателем S.
Контакты выключателя
- замыкающие;
- размыкающие.
3
2) Независимо от того, какую реакцию требуется определить по варианту
задания (таблица 1), рекомендуется определить ток в индуктивном элементе или
напряжение на емкостном элементе (iL или uC). Искомую реакцию удобно выразить
позже, использовав законы Кирхгофа для мгновенных значений цепи после
коммутации.
3) При анализе переходного процесса в цепи классическим методом можно
использовать следующий порядок расчёта:
- записать полную систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после
коммутации;
- из расчёта установившегося режима цепи до коммутации определить ток в
индуктивности (iL (0-)) и напряжение на ёмкости (uC(0-)).
Применив затем законы коммутации, получить начальное значения
uC (0) и iL (0).
- рассчитать установившийся режим цепи после коммутации и написать
значение принуждённой (установившейся) составляющей искомой величины;
- составить характеристическое уравнение и определить его корни;
- в зависимости от вида корней характеристического уравнения записать
решения для свободных составляющих;
- искомую величину записать в виде принуждённой (установившейся) и
свободной составляющей;
- применив законы коммутации при определённых ранее начальных условиях,
найти постоянные интегрирования;
- если требуется, выразить реакцию цепи через iL или uC.
4) Характеристическое уравнение можно получить с помощью входного
операторного сопротивления z(р). Для этого необходимо:
- изобразить схему цепи после коммутации, исключив из неё источники.
Источник напряжения закорачивается, а источник тока исключается из схемы;
- разорвать полученную схему в любом месте и относительно двух точек
разрыва выразить эквивалентное сопротивление, как для резистивной цепи. Следует
учесть, что при определении операторного сопротивления индуктивность L
заменяется сопротивлением рL, а ёмкость С заменяется сопротивлением 1/С  р .
5) выражение для свободных составляющих, например, тока, записывается по
разному в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Если корни р1, р2, …рn – действительные и различные, то
iсв  А1е р1t  А2е р2t  ...
Для каждой пары комплексно – сопряжённых корней
р1,2= α ± jω – свободная составляющая
iсв  А1еt Sint  А2 еt Cost  Аеt Sin (t   )
В таких выражениях А1, А2, …Аn, А, φ – постоянные интегрирования.
6) Для расчёта операторным методом предлагается следующий порядок
расчёта:
- изображается операторная схема замещения заданной электрической цепи в
режиме после коммутации. Значение iL (0+) и uC (0+) взяты из предыдущего расчёта;
- к операторной схеме применяется любой из известных методов расчёта
сложной резистивной цепи (метод, основанный на законах Кирхгоффа, метод
4
контурных токов или метод узловых потенциалов) и определяется изображение по
Лапласу искомой величины (I (p) или U(р));
- к полученному выражения применяется теорема разложения и получается
зависимость от времени реакции цепи i(t) или u(t).
СХЕМЫ ЦЕПИ.
Рис. П.1.
Рис. П.2.
Рис. П.3.
Рис. П.4.
Рис. П.5.
Рис. П.6.
I(t)
S
R1
R1
R2
e(t)
C
S
R2
L
C
Рис. П.7.
L
Рис. П.8.
S
e(t)
C
L
R1
R2
e(t)
R1
S
L
R2
Рис. П.9.
Рис. П.10.
5
C
Таблица параметров цепи и искомой реакции
Таблица 1
Номер
варианта
R1
Ом
R2
Ом
L
мГн
С
мкФ
Искомая реакция
цепи
1.
1
14
15
340
iR 2
2.
15
2
14
360
3.
3
16
18
350
4.
5.
17
5
4
11
18
20
370
390
6.
12
13
22
380
7.
8.
7
20
13
8
24
28
400
420
9.
9
18
28
410
10.
19
10
30
430
iL
iR1
uС
iL
iR 2
uС
iL
iR 2
iL
11.
2
9
11
360
u R2
12.
13.
1
6
4
3
13
15
340
370
14.
5
8
17
350
15.
16.
10
8
7
3
19
21
380
390
17.
5
6
23
420
18.
4
7
25
400
19.
7
2
29
430
20.
21.
9
10
10
4
27
11
410
410
22.
9
6
12
430
uС
iL
iR 2
uС
iL
iR1
uС
iR1
uС
iL
iR1
23.
8
8
13
400
iR 2
24.
7
10
14
420
25.
8
2
15
390
26.
27.
5
4
1
3
16
17
380
350
28.
3
5
18
370
29.
2
7
19
340
30.
1
9
20
360
iL
iR 2
uС
iL
iR1
uС
iR 2
6
Примеры расчета переходных процессов в электрических
цепях классическим и операторным методами.
ПРИМЕР 1
S
i
R1
iс
Ri
Rk
E
uc
2К
C
1К
L
R2
Дано:
E =10В;
R1=60 Ом;
R2=15 Ом;
RK=5 Ом;
R i =10 Ом;
L=1 мГн;
С=10 мкФ
Найти:
iL
Классический метод расчета
1) Система уравнений по закону Кирхгофа для схемы цепи после коммутации:
i  iC  iL  0;

( R1  RK )  iL  L  diL  uC  0;

dt

u

(
R

R
)

i

E;
2
i
 C

duC
.
iC  C 
dt

2) Независимые начальные условия, т.е.
uC(0+) и iL(0+)
Для получения этих значений воспользуемся первым и вторым законами
коммутации:
iL(0-) =iL(0) = iL(0+) и uC(0-) =uC(0) =uC(0+)
Изобразим схему цепи до коммутации:
R1
IL(0-)
uc(0-)
C
Rk
L
7
В этой цепи отсутствуют источники, следовательно:
iL(0-)=0 и uC(0-)=0
Тогда:
uC(0+)=0
iL(0+) =0
3) Расчет принужденного режима.
Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет
соответствовать схеме:
R1
i Lпр
Ri
C
Rk
E
R2
iLп р 
E
10

 0,111А
R1  R2  RK  Ri 60  15  5  10
iLпр= 0,111 А.
4) Определение корней характеристического уравнения.
Для определения корней изобразим схему:
R1
Rk
Ri
1/рС
pL
R2
Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:
1
 ( R 1  R K  p  L)
pC
Z(p)  R i  R 2 
1
 R1  R K  p  L
pC
8
Приравняем его к нулю:
Ri  R2 
R1  R K  p  L
0
1  ( R 1  R K  p  L)  p  C
R 2  (1  (R 1  R K  p  L)  p  C)  R i  (1  (R 1  R K  p  L)  p  C)  R 1  R K  p  L  0
C  L  ( R 2  R i )  p 2  ( R 1  R 2  C  R K  R 2  C  R i  R 1  C  R i  R K  C  L)  p 
 (R 1  R 2  R i  R K )  0
Подставим числовые значения:
10-5.10-3(10+15).p2+(10.10-5.(60+5)+15.10-5.(60+5)+10-3).p+60+15+10+5=0
25.10-8p2+17,25.10-3.p+90=0
p2+6,9.104.p+3,6.108=0
Тогда:
p1, 2  3,45  10 4  (3,45  10 4 ) 2  3,6  108  (3,45  2,88)  10 4
p1  0,57  10 4 1/с
p 2  0,63  10 4 1/с
Корни вещественные и различные, следовательно, переходной процесс будет
апериодическим.
Вид свободной составляющей:
iLсв  А1  е 0,5710 t  A2  e 6.3310 t
4
4
Полный ток в индуктивности:
i L  0,111  А1  е 0,5710 t  A 2  e 6.3310 t
4
4
5) Определение постоянных интегрирования А1 и А2 :
Первое уравнение для определения А1 и А2 получим, используя значения п.2.
Выразим:
iL(0+) = iL(0) =0,111+ А1 + А2
Учтем независимые начальные условия:
А1 + А2+0,111=0
(1)
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 для
момента времени t(0+):
9
i (0  )  iL (0  )  iC (0  )

( R1  RK )  iL (0  )  L  diL t 0  uC (0  )  0


dt

uC (0  )  ( R2  Ri )  i (0  )  E

duC
iC (0  )  C 
t 0
dt

Подставим в нее независимые начальные условия и из второго уравнения
системы следует:
di
L  L t 0  0 т.е.
dt
di L
(*)
t 0  0
dt


Теперь продифференцируем выражение тока iL, полученное в п.5:
diL
 0,57  10 4  A1  e 0,5710 t  6,33  10 4  A 2  e 6,3310 t
dt
4
4
В момент времени t=0+ :
di L
4
4
t 0  0,57  10  A1  6,33  10  A 2
dt

Учтем полученное выше равенство (*) и получим второе уравнение:
 0,57  10 4  A1  6,33  10 4  A 2  0
Решаем систему:
A1  A 2  0,111

4
4
 0,57  10  A1  6,33  10  A 2  0
Отсюда:
А1 = -0,122;
А2 = 0,011.
И окончательно получим:
i L (t )  0,111  0,122  e 0,5710 t  0,011  e 6,3310 t , А.
4
4
10
(2)
ПРИМЕР 2.
Дано
е(t) = E = 26 В;
R1 = 2 Ом;
R1 = 9 Ом;
L = 11 мГн;
С = 360 мкФ.
R1
S
i
i1
C
i2
e(t)
_
R2
Найти:
L
u R2 (t )
Классический метод решения
1) Система уравнений по законам Кирхгофа.
 i  i1  i2  0;
di
 E;
dt
i1 R1  uc  0;
uc  R2i  L
iR  C
duc
dt
Сначала определяем ток i (t ) .
2) Независимые начальные уравнения.
uc(0-) = uc(0) = uc(0+);
ic(0-) = ic(0) = ic(0+).
До коммутации.
uc(0-) = 0 и ic(0-) = 0, следовательно,
uc(0) = uc(0+) = 0;
i(0) = i(0+) = 0.
3) Принуждённый режим.
В принуждённом режиме схема имеет вид:
R1
E
R2
iпр
iпр 

R1  R2

26
 2,36 А
29
11
4) Определение корней характеристического уравнения и вида свободной
составляющей тока.
R1
1/р С
Для схемы
R2
pL
Найдём z (р).
1
C p
z ( p )  R2  pL 
1
R1 
C p
R1 
получим уравнение:
R1
R2  pL 
0
R1C  p  1
Преобразуем его:
R1R2C·p + R2 + R1CLp2 + pL + R1 = 0
R1CLp2 + (R1R2C + L)p + (R1 + R2) = 0
Подставляем числовые значения:
2·360·10-6·11·10-3р2 + (2·9·360·10-6 + 11·10-3)p + (2 + 9) = 0.
Получаем:
7,92·10-6р2 + 17,48·10-3р + 11 = 0.
или:
р2 + 2,21·103р + 1,39·106 = 0.
Решаем его:
Д = (2,21·103)2 - 4·1,39·106 = -0,68•106.
р1, 2
 2,21103  j 0.82 103

 (1,105  j 0,41) 103 1/с.
2
Поскольку корни характеристического уравнения комплексно – сопряжённые,
то свободная составляющая тока имеет вид:
iсв  Aе 1,10510 t Sin (410t   ) .
3
Процесс носит колебательный характер.
12
5) Полный ток:
i  iпр  iсв  2,36  Aе1105t Sin(410t   ) , А.
6) Определение постоянных интегрирования А и φ.
Первое уравнение для расчёта А и φ получаем из условия i(0) = 0, т.е.
2,36 + А·Sin φ=0.
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений по закону
Кирхгофа (п.1) для момента t = 0+:
(1)
 i (0  )  i1 (0  )  i2 (0  )  0;
uc (0  )  R2  i (0  )  L
di
 E;
dt t 0
R1i1 (0  )  uc (0  )  0.
Учтём независимые начальные условия (п.2) и получим:
di
di E
26
L
 E, т.е
 
 2,36  103 .
3
dt t 0
dt L 11  10
Теперь продифференцируем выражение полного тока (п. 5):
di
 1105  Ae 1105t Sin (410t   )  410  Ae 1105t Cos(410t   ).
dt
Запишем его для t = 0+:
di
 1105  ASin  410 ACos
dt t 0
и приравняем к ранее рассчитанному значению:
-1105 А·Sin φ+410А·Сosφ = 2,36·103

Получим второе уравнение для расчёта постоянных интегрирования.
Решаем систему:
А·Sinφ = - 2,36;
-1105А·Sinφ + 410 А·Cosφ = 2,36·103
2,36
.
Sin
 2,36 
 2,36 
  Sin  410 
  Cos  2,36 103.
 1105   
 Sin 
 Sin 
A
2607,8 – 967,6 сtgφ = 2360.
ctgφ = 0,257.
φ = 75,36о или φ = 1,32 рад.
2,36
А
 2,44.
Sin 75,630
тогда ток будет равен
i = 2,36 – 2,44 е-1105t Sin(410t + 1,32), А.
13
(2)
6) По условию задачи требуется найти напряжение u R2 .
u R2  R2  i
uR2  9(2,36  2,44е1105t Sin(410t  1,32)), В =>
=> 21,24 – 21,95е-1105t Sin (410t + 1,32) В
или
u R2 = 21,24 – 21,95е-1105t Sin (410t + 75,63о), В
Операторный метод решения.
1) Изобразим операторную схему замещения для режима после коммутации:
R1
I1(p)
I(p)
E
р
u c (0  )
p
1/pC
I2(p)
R2
L•i(0+)
pL
Запишем для неё систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной
форме:
 I ( p)  I1 ( p)  I 2 ( p)  0;
u (0 )
1
E
R2  I ( p)  pL  I ( p) 
 I 2 ( p )   L  i (0  )  c  ;
p C
p
p
u (0 )
1
R1  I1 ( p) 
I 2 ( p)  c  .
p C
p
2) Решаем её относительно тока I(р).
 I ( p)  I1 ( p)  I 2 ( p)  0;
u (0 )
1
E
 I 2 ( p )   L  i (0  )  c  ;
p C
p
p
u (0 )
1
R1  I1 ( p) 
I 2 ( p)  c  .
p C
p
( R2  pL) I ( p) 
Из третьего уравнения:
1  I ( p ) u c (0  ) 

I1 ( p)   2

R1  p  C
p 
Подставляем в первое уравнение:
I ( p ) u c (0  )
 I ( p)  2

 I 2 ( p)  0.
R1C  p
R1 p
14
Получим:
I 2 ( p) 
I ( p )  R1C  p  C  uc (0  )
.
1  R1C  p
Подставляем во второе уравнение:
R2  pL I ( p)  I ( p)  R1C  p  C  uc (0  )  E  L  i(0  )  uc (0  ) .
p  C (1  R1C  p)
p
p
Преобразуем его и получим:
E  C (1  R1C  p)  L  i (0  )C  p(1  R1C  p)  uc (0  )C (1  R1C  p)
I ( p) 
.
R1C 2 Lp 3  R1 R2C 2 p 2  CLp 2  R1C  p  R2C  p
Учтём независимые начальные условия, которые были рассчитаны в первой
части (классический метод).
i(0+) = 0 и uc(0+) = 0.
Тогда:
I ( p) 
E(1  R1C  p)
.
R1CLp  ( R1 R2C  L) p 2  ( R1  R2 ) p
3
По условию задачи требуется определить
u R2 , т.е. U R ( p ) .
2
Это напряжение равно:
U R2 ( p)  R2  I 2 ( p) .
U R2 ( p ) 
R2  E(1  R1C  p )
.
R1CLp  ( R1 R2C  L) p 2  ( R1  R2 ) p
3
Подставим числовые значения:
9  26(2  360  10 6 p  1)
U R2 ( p ) 

2  360  10 6  11  10 3 p 3  (2  9  360  10 6  11  10 3 ) p 2  (2  9) p
0,168 p  234

.
6 3
7,92  10 p  17,48  10 3 p 2  11 p
3) По полученному изображению U R2 ( p ) найдём оригинал u R (t ) .
2
Применим теорему разложения.
Перепишем U R2 ( p ) в виде:
0,168 p  234
F ( p)
U R2 ( p) 
 1
.
6 2
3
p(7,92  10 p  17,48  10 p  11) p  F3 ( p)
Найдём корни уравнения : F3(p) = 0, т.е.
7,92·10-6p2 + 17,48·10-3p + 11 = 0.
Получаем:
15
p1,2 = (-1105 ± j410). 1/c.
F3| ( p)  15,84 10 6 p  17,48 10 3.
F3| ( p1 )  15,84  10 6 (1105  j 410)  17,48  10 3  j 6,49  10 3.
F1 ( p1 )  0,168(1105  j 410)  234  185,64  j 68,88  234  48,36  j 68,88  84,16e j 54,93 .
o
F1(0) = 234.
F3(0) = 11.
По теореме разложения:
 84,16  e j 54,93  e( 1105 j 410)t 
 F1 ( p1 ) p1t  234
F1 (0)

u R2 (t ) 
 2 Re 
e  
 2 Re 
|
3 

F3 (0)
 p1  F3 ( p1 )
 11
 (1105  j 410)  j 6,49 10 
0
 84,16  e j 54,93  e 1105t  e j 410t

0
  21,27  Re( 22  e j ( 410t 194, 71 ) )e 1105t 
21,27  2 Re 
0
0
 1178,61  e j159, 64  6,49 103  e j 90 


21,27  e 1105t  22Cos(410t  194,710 )  21,27  22  e 1105t Sin (410t  75,290 ), В.
0
Ответ:
u R (t )  21,27  22  e 1105t Sin(410t  75,290 ), В.
Ответ практически совпадает с результатом расчёта классическим методом.
ПРИМЕР 3
Дано:
I = 2 A;
R1 = 80 Ом;
R2 = 220 Ом;
L = 1 Гн;
С = 100 мкФ
Найти:
i1(t)
Классический метод расчета.
1) Система уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации:
i  I ;
i  i  i  0;
1 2

di
 R1i1  uc  R2i2  L 2  0;
dt


duc
i1  C
dt

16
Сначала определим uс.
2) Независимые начальные условия.
uc(0+) и i2(0+).
До коммутации источник тока был замкнут и токи в параллельные ветви не
поступали.
До коммутации
uc(0-) = 0 и i2(0-) = 0.
Согласно законам коммутации:
uc(0-) = uc(0+) = 0;
i2(0-) = i2(0+) = 0.
3) Расчет принужденного режима.
Принужденный (установившийся) режим при постоянном источнике будет
соответствовать схеме:
i1пр = 0.
i2пр = i1пр = I.
ucпр  i2пр  R  2  220  440В .
ucпр  440В
4) Определение корней характеристического уравнения.
Для определения корней изобразим схему:
Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:
1
Z ( p)  R1 
 R2  pL.
p C
Приравниваем его к нулю:
1
R1  R2 
 pL  0.
p C
17
Решаем:
СLp2  ( R1  R2 )C  p  1  0.
Подставим числовые значения:
100·10-6·1р2+(80+220) ·100·10-6+1=0.
10-4р2+3·10-2р+1=0.
р1,2=-150± 150 2  10 4 .
р1=-261,8 1/с;
р2=-38,2 1/с.
Корни характеристического уравнения вещественные и различные,
следовательно, переходный процесс будет апериодическим.
Свободная составляющая напряжения uc cв будет иметь вид:
uс.св  A1e 261,8t  A2 e 38, 2t .
5) Полное напряжение:
uc  440  A1e 261,8t  A2 e 38, 2t .
6) Определение постоянных интегрирования А1 и А2.
Первое уравнение для определения А1 и А2 получаем, используя значения п.2.
Для этого выразим:
uc (0 )  440  A1  A2 .
Учтем независимые начальные условия:
440+А1+А2 = 0.
(1)
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений п.1 в момент
времени t = 0+:

i1 (0  )  i2 (0  )  I ;

di2

t  0   0;
 R1  i1 (0  )  u c (0  )  R2 i2 (0  )  L
dt

du

i1 (0  )  C c t  0 .

dt

Подставим в неё независимые начальные условия:

i (0 )  I ;
1 

di2
 R1  i1 (0 )  L t  0  0;
dt


du
i1 (0 )  C c t  0
dt

Отсюда:
duc
dt

t 0 
I
2

 2 10 4.
C 100 10 6
Теперь продифференцируем выражение uc, полученное в п.5:
du c
 261,8  A1e  261,8t  38,2 A2 e 38, 2t .
dt
18
Выразим его для t = 0+:
du c
dt
 261,8 A1  38,2 A2 .
t 0 
Учтем, что
du c
t  0   2  10 4 и получим второе уравнение для расчета А1 и А2:
dt
-261,8А1-38,2А2 = 20000.
Решаем систему уравнений:
 A1  A2  440;

 261,8 A1  38,2 A2  20000.
Получаем:
А1 = -14,27;
А2 = -425,72.
Для напряжения uc получим окончательно:
u c  440  14,27e 261,8t  425,72e 38, 2t .
7) По условию требуется определить ток i1.
Воспользуемся последним уравнением системы из п.1.
du
d
i1  C c  C (440  14,27e 261,8t  425,72e 38, 2t ) 
dt
dt
6
100 10 (3735,89e 261,8t  16262,50e 38, 2t )  0,374e 261,8t  1,63e 38, 2t .
Ответ: i1  0,374e 261,8t  1,63e 38, 2t , A.
Операторный метод расчета.
1) Изобразим операторную схему замещения цепи для режима после
коммутации:
Запишем для неё систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной
форме:

 I ( p )  I ( p )  I ( p )  0;
1
2



u (0 )
1 
  I 2 ( p )R2 pL    c   L  i2 (0  );
 I1 ( p ) R1 
p C 
p



I
I ( p) 
p

19
2) Решаем её относительно I1(p).
I 2 ( p)  I ( p)  I1 ( p).

u (0 )
1 
  ( I ( p)  I1 ( p))( R2  pL)   c   L  i2 (0  ).
I1 ( p) R1
p
 p C 
u (0 )
 c   L  i2 (0  )  ( R2  pL)CI
p
I1 ( p ) 
.
CLp 2  ( R1  R2 )C  p  1
Учтем независимые начальные условия, которые были рассчитаны в первой
части примера (классический метод):
i2 (0  )  0; u c (0  )  0.
Тогда:
I1 ( p ) 
( R2  pL)C  I
.
CLp  ( R1  R2 )C  p  1
2
Подставим числовые значения:
(220  p)100  10 6  2
2  10 4 p  440  10 4
I 1 ( p) 

.
100  10 6  1  p 2  (80  220)  100  10 6 p  1 10  4 p 2  3  10  2 p  1
3) По полученному изображению I1(p) найдем оригинал функции i1(t).
Применим теорему разложения:
F ( p)
2  10 4 p  440  10 4
I 1 ( p)   4 2
 1
.
2
10 p  3  10 p  1 F2 ( p)
Найдем корни уравнения:
F2(p)=0.
104 p 2  3 102 p  1  0;
p 2  300 p  10000  0.
p1  261,8 1 ; p1  38,2 1 .
c
c
F2 ( p)  2  10 4 p  3  10 2.
По теореме разложения:
F1 ( p1 ) p1t F1 ( p 2 ) p2t 2  10 4  261,8  440  10 4  261,8t
i1 (t ) 
e 
e 
е

F2( p1 )
F2( p 2 )
2  10  4  261,8  3  10  2
2  10  4  38,2  440  10  4 38.2t

е
 0,374e  261,8t  1,626e 38, 2t
4
2
2  10  38,2  3  10
261,8t
 1,626e38, 2t , А.
Ответ: i1 (t )  0,374e
Результаты расчетов классическим и операторным методом практически
совпадают.
20
ЛИТЕРАТУРА
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники.
Электрические цепи. – М.: Высш. шк., 1996. – 638 с.
2. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. – М.:
Высш. шк. 1987. – 512 с.
3. Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин,
А.В. Нетушил, В.Н. Страхов. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
4. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных
цепей/ Под ред. П.А. Ионкина. – М. Высш. шк., 1976. – 544 с.
5. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/
Под ред. проф. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат. 1982. – 786 с.
6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических
цепей. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.
21
Составитель: Николаева Светлана Ивановна
Расчет переходных режимов в линейных электрических
цепях
Задания и методические указания к выполнению семестровой работы
Редактор
Темплан 2005 г.
Поз № 159
Подписано в печать
Формат 60 (84) 1/16
Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. Печ. Л. 1. Уч.-из л.
Тираж 200 экз. Заказ 562
Волгоградский государственный технический университет (ВолгГТУ)
400131 Волгоград, проспект Ленина, 28
РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического
университета
400131 Волгоград, ул. Советская,35
22