Решения задач на олимпиаде по математике

Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
Решение
7 класс
1.
Пусть а и b данные числа. Тогда
a  b  3a  b
a  b  3a  3b
4b  2a
a  2b
Ответ: в два раза.
2.
Длина диаметра окружности, расположенной на данном звене равна длине звена
деленного на количество окружностей. Суммарная длина всех окружностей, расположенных на
звене, равна длине одной окружности, умножено на их количество. Следовательно, сумма длин
окружностей, расположенных на каждом звене не зависит от диаметра и равна 120 .
Ответ: 120 .
3.
Пусть секцию по фигурному катанию посещают х бабушек, тогда секцию по
современным танцам посещают 2х бабушек. Общее количество бабушек, посещающих обе
секции 3х-3 и оно кратно трем, значит, 20 бабушек быть не может. Ответ: нет.
4.
На момент возвращения домой первого, второй друг прошел четверть пути, и до встречи
осталась еще четверть, а первому половина. Так как встретились они ровно на середине пути, то
получается, что скорость первого в два раза больше скорости второго и если бы он не забыл
дома книгу, то второй до встречи прошел бы треть всего пути.
5.
1 способ: Пусть начальное положение фишки описывается координатами (x,y). При
указанном способе передвижения суммарное изменение координат происходит на две единицы
или более, но кратно двум. При передвижении на соседнюю клетку суммарное изменение
координат составляет одну единицу, поэтому оно невозможно.
2 способ: Раскрасим доску в шахматном порядке. При разрешенных ходах фишка никогда не
поменяет цвет поля, на котором находится, а у соседней справа клетки другой цвет.
Ответ: нет.
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
8 класс
1. Отношения между количествами продукции, изготовленной в 1-й, во 2-й и в 3-й дни можно
изобразить отрезками.
1-й день
2-й день
3-й день
Всего частей 9. На одну часть приходится 2016: 9 = 224 тонн продукции.
В первый день изготовили 224 × 3 = 672 детали.
Во второй день изготовили 224 × 2 = 448 деталей.
В третий день изготовили 224 × 4 = 896 деталей.
2. Пусть секцию по фигурному катанию посещают 𝑥 бабушек, то танцы 2𝑥 бабушек, хоровое
𝑥
пение 4𝑥 бабушек, ровно по две секции посещают 2 бабушек. Пусть все три секции
посещают 𝑛 бабушек. Тогда получаем уравнение:
𝑥
𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 − − 2𝑛 = 100
2
13𝑥−200
Выражаем из этого уравнения 𝑛 =
.
4
Наименьшее значение𝑛 получается при 𝑥 = 16. Получаем 𝑛 = 2.
Для оценки наибольшего значения 𝑛 заметим, что 4𝑥 < 100 и 𝑛 < 𝑥.
Наибольшее значение𝑛 получается при 𝑥 = 20. Получаем 𝑛 = 15.
Ответ: 𝑛 = 2, 𝑛 = 15.
3. Оценкой получаем 21 уголок 64 = 21 × 3 + 1. Пример разрезания показан на рисунке.
4. Количество конфеток с каждым таким шагом либо не изменяется, либо уменьшается на 2. В
начале конфеток 2016. Значит, количество конфеток всегда было четным. Поэтому остался
орех.
Ответ: орех.
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
5. Так как фигура - трапеция, то прямые𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 и 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 параллельны. Значит, 𝑎 = 𝑐.
y  ax  b
y
y  ax  d
b
d

b
a

d
a
o
x
y  ax  b
y
b

b
a
o
d
a
x
-d
Площадь трапеций выражаем из площадей прямоугольных треугольников, а площадь
прямоугольного треугольника можем найти как половину площади прямоугольника.
Площадь трапеции на первом рисунке:
Площадь трапеции на втором рисунке:
𝑏−𝑑
𝑏 2 −𝑑2
.
2𝑎
(𝑏+𝑑)2
2𝑎
𝑏+𝑑
.
Отношение этих площадей: |𝑏+𝑑|или |𝑏−𝑑|.
Отношения взяты по модулю, так как значение площади - положительное число.
𝑏−𝑑
𝑏+𝑑
Ответ: |𝑏+𝑑|или |𝑏−𝑑|.
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
1.
9 класс
Т.к. (х +1) ≠0, разделим обе части на это выражение:
2
2
2
 х2  6х  1 
х2  6х  1
х2  6х  1

2

5

2

0
.
Введем
обозначение:
 у,
2

х2  1
х2  1
 х 1 
тогда 2у2+5у+2=0, D=25-16=9, y1= -1/2, y2= - 2.
Подставим полученные значения у
2
2
х2  6х  1
1 2 х  12 х2  2  х  1  0;
 ;
х 1
х2  1
2
2
х  4 х  1  0,
х1  2  3;
или
2
2
х2  6х  1
 2 х  6 х  1  2 х  2  0;
2
2
х 1
х 1
.
х 2  2 х  1  0;
3х 2  12 х  3
0
х2  1
х2  2  3
3х 2  6 х  3  0
х  12  0; х  1
Ответ: -2±√3; -1.
𝐷 = 1 − 4𝑎 > 0
𝑓(𝑎)
= 𝑎2 + 2𝑎 > 0
2. Обозначим f (x) = x + x + a . Решение задачи сводится к системе: {
1
𝑥в = − 2 > 𝑎
2
а
хв
Ответ: (0;0,25)
3. Найдем общее количество вариантов распределения премий. Упорядочим троих
сотрудников: один из них - первый, другой - второй, оставшийся - третий.Обозначим премии
палочками и разложим их как счетные палочки. Помещая в любые два промежутка между
палочками по разделительному знаку (по плюсу), получаем каждый из вариантов
распределения премий.
Например, вариант на рисунке соответствует распределению: первому - 10 тыс. руб.,
второму - 5 тыс. руб., третьему - 10 тыс. руб.
Таким образом, количество вариантов распределения премий равно количеству вариантов
выбрать два промежутка из четырех для постановки плюсов. Перебором находим, что таких
вариантов 6.
Далее найдем количество случаев, в которых Иван Сергеевич получит менее 10 тыс.
рублей, то есть 5 тыс. рублей.
Закрепим эти 5 тыс. рублей за Иваном Сергеевичем, а остальные 20 тыс. будем
распределять между оставшимися двумя сотрудниками. Всего способов распределения 3:
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
5+15,
10+10,
15+5.
Значит, количество вариантов, в которых Иван Сергеевич получит не менее 10 тыс.
рублей, тоже равно трем.
Поскольку все варианты распределения премий равновозможные, то согласно
3
классическому определению вероятности искомая вероятность равна 6 = 0,5.
Ответ: 0,5
4.Количество ржаных зерен каждый раз либо не меняется, либо уменьшается на два. Поэтому,
если в начале ржаных зерен было четное количество, то осталось пшеничное зерно. Если в
начале количество ржаных зерен было нечетным, то осталось ржаное зерно.
5.
Время
Производительность
Работа
1 бригада
1/x
x
1
2 бригада
1/y
y
1
3 бригада
1/z
z
1
1+2
≤9
x+y
1
2+3
≥18
y+z
1
1+3
12
x+z
1
В соответствии с условием задачи составим систему неравенств и уравнения:
 1
1

х  у  9
x  y  9


1
 1

Вычитая почленно из 1 неравенства уравнение получим:

18


y  z 
у

z
18


1
 1

x

z


12


12
x  z
y – z ≥ 1/36 (*). Умножим обе части второго неравенства на – 1 получим -y - z ≥-1/18 (**), сложим
почленно неравенства одинакового смысла (*) и (**). Получим - 2z ≥-1/36, т.е. z ≤1/72. По условию
задачи z принимает максимально возможное значение (третья бригада всегда работает с максимально
возможной для неё производительностью труда), следовательноz=1/72. Тогда
y ≥1/36+1/72, y
≥1/24 и y ≤1/18-1/72, y ≤1/24, т.е. у=1/24
Ответ: 24 дня.
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
10 класс
1. По условию задачи 100а+в=3ав, значит в кратно а. Пусть в=ma, причем m≤9.
Тогда100а+ma=3a2mили 100+m=3am, значит 100+mкратно трем. Следовательно, возможны
три значения m: 2; 5; 8.
Если m=2, тоа=17; в=34.
Если m=5, тоа=7 не удовлетворяет условию задачи.
Если m=8, тоа=4,5не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а=17; в=34.
2. Область определения данной функции удовлетворяет соотношениям cosx≠0и sinx≠0. На этой
области функция принимает вид y=16sinx+1,множество ее значений [-15;17]. Здесь 33
целочисленных значения, но три из них не подходят в силу области определения исходной
функции sinx≠0,sinx≠1,sinx≠-1. Следовательно остается только 30 значений.
Ответ: 30.
3. Парабола 𝑦 = 𝑥 2 высекает на указанных прямых отрезки 𝑎 = 3√2, 𝑏 = 5√2, 𝑐 = 7√2 . Для
этих отрезков выполняется неравенство треугольника, поэтому треугольник существует. По
теореме косинусов cosC= -0,5, значит угол С=1200
4. 1 способ: Суммарное количество долларов и евро с каждой такой операцией либо
уменьшается на 6, либо уменьшается на 3, то есть на число, кратное трем. В начале сумма
долларов и евро 2015+2017 делится на 3. Значит, она всегда будет делиться на 3. Поэтому
ситуации 1 доллар, 0 рублей, 0 евро или ситуации 0 долларов, 0 рублей и 1 евро получиться
не может. Значит, остался 1 рубль.
Ответ: 1 рубль.
2 способ: Пусть операция -4доллара+5рублей-2евро выполнялась 𝑛 раз.
Операция -1доллар-9рублей-2евро выполнялась 𝑚 раз.
Операция -2доллара+2367рублей -1евро выполнялась 𝑘 раз.
Далее покажем, что система уравнений имеет решение на множестве натуральных чисел вместе с нулем.
−4𝑛 − 𝑚 − 2𝑘 = −2015
{5𝑛 − 9𝑚 + 2367𝑘 = −2015
−2𝑛 − 2𝑚 − 𝑘 = −2017
𝑛 = 335, 𝑚 = 673, 𝑘 = 1
То есть, остался один рубль.
5.
Проведем диагональ АС четырехугольника ABCD и соединим точку Сс точкой B1 . В
треугольнике АСВ1 ВС – медиана, поэтому он делит его на два равновеликих треугольника.В1С
– медиана треугольника ВВ1С1, следовательно, он также делит треугольник ВВ1С1 на два
равновеликих треугольника. Таким образом, площадь треугольника ABC равна площади
треугольника ВСВ1 и равна площади треугольника СС1В1. Таким образом, площадь
треугольника ВВ1С1 равна удвоенной площади треугольника ABC. Проведя медиана AD1 в
треугольнике DD1A1, убеждаемся, что площадь треугольника DD1A1 равна удвоенной площади
треугольника ACD. Складывая площади треугольников ВВ1С1 и DD1A1 получаем две площади
четырехугольника ABCD. Аналогично, проводя диагональ DB четырехугольника ABCD,
убеждаемся, что сумма площадей треугольника D1CC1и треугольника АА1В1 равна удвоенной
площади четырехугольника ABCD. Ч.т.д.
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
11 класс
1.
Выполним равносильные преобразования:
𝑐𝑜𝑠(𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0
𝜋
𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
𝜋 𝜋𝑘
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 =
+
2𝑛
𝑛
Поскольку 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 принимает значения от 0 до 𝜋, то
𝜋 𝜋𝑘
+
∈ [0, 𝜋]
2𝑛
𝑛
Поэтому 𝑘 = 0, 1, 2, … (𝑛 − 1), то есть 𝑛 значений.
Таким образом, доказали, что уравнение имеет 𝑛 различных корней.
То, что все они принадлежат отрезку [−1, 1], следует из того, что область определения 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
есть отрезок [−1, 1].
2.
Данное уравнение можно преобразовать к виду
 x  a    y  3
2
2
 b2
Все точки фигуры симметричны относительно начала координат. Следовательно сумма их
координат равна нулю при любых значениях а и b.
3.
Фигура представляет собой тетраэдр, 𝑆 = 0,5 + 0,5 +
√2
2
+
√2
2
= 1 + √2.
4.
Время
Производительность
Работа
1 бригада
1/x
x
1
2 бригада
1/y
y
1
3 бригада
1/z
z
1
1+2
≤9
x+y
1
2+3
≥18
y+z
1
1+3
12
x+z
1
В соответствии с условием задачи составим систему неравенств и уравнения:
Муниципальный этап, 2015-2016 учебный год
 1
1

х  у  9
x  y  9


1
 1

Вычитая почленно из 1 неравенства уравнение получим:

18


y  z 
у

z
18


1
 1

x

z


12


12
x  z
y – z ≥ 1/36 (*). Умножим обе части второго неравенства на – 1 получим -y - z ≥-1/18 (**), сложим
почленно неравенства одинакового смысла (*) и (**). Получим - 2z ≥-1/36, т.е. z ≤1/72. По условию
задачи z принимает максимально возможное значение (третья бригада всегда работает с максимально
возможной для неё производительностью труда), следовательноz=1/72. Тогда
y ≥1/36+1/72, y
≥1/24 и y ≤1/18-1/72, y ≤1/24, т.е. у=1/24
Ответ: 24 дня.
5.
Найдем общее количество вариантов распределения премий.
Упорядочим троих сотрудников: один из них - первый, другой - второй, оставшийся - третий.
Обозначим премии палочками и разложим их как счетные палочки. Помещая в любые два
промежутка между палочками по разделительному знаку (по плюсу), получаем каждый из
вариантов распределения премий.
Например, вариант на рисунке соответствует распределению: первому - 15 тыс. руб., второму 10 тыс. руб., третьему - 20 тыс. руб.
Таким образом, количество вариантов распределения премий равно количеству вариантов
выбрать два промежутка из восьми для постановки плюсов. Перебором находим, что таких
вариантов 28.
Далее найдем количество случаев, в которых Иван Сергеевич получит менее 10 тыс. рублей, то
есть 5 тыс. рублей.
Закрепим эти 5 тыс. рублей за Иваном Сергеевичем, а остальные 40 тыс. будем распределять
между оставшимися двумя сотрудниками. Всего способов распределения 7:
5+35,
10+30,
15+25,
20+20,
25+15,
30+10,
35+5.
Значит, количество вариантов, в которых Иван Сергеевич получит не менее 10 тыс. рублей,
равно 28-7=21.
Поскольку все варианты распределения премий равновозможные, то согласно классическому
21
определению вероятности искомая вероятность равна 28 = 0,75.
Ответ: 0,75