Акимов А.А._Нелинейные задачи математической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Башкирский государственный университет»
.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ФАКУЛЬТАТИВНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (ФД.А.07)
Нелинейные задачи математической физики
наименование дисциплины по учебному плану подготовки аспиранта
модуль основной образовательной программы послевузовского профессионального
образования подготовки аспирантов (ООП ППО)
по специальности научных работников
Дифференциальные уравнения, динамические системы и
01.01.02
оптимальное управление
Шифр
наименование научной специальности
1
Оглавление
1. Общие положения ............................................................................................. 3
2. Цели изучения дисциплины ............................................................................. 3
3. Результаты освоения дисциплины .................................................................. 4
4.1.Объем дисциплины и количество учебных часов ......................................... 5
5. Содержание дисциплины ................................................................................... 5
5.1
5.2
Содержание лекционных занятий ...............................................................................5
Самостоятельная работа аспиранта ........................................................................6
6. Перечень контрольных мероприятий и вопросы к экзаменам кандидатского
минимума ................................................................................................................. 7
7. Образовательные технологии ............................................................................ 8
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины .......... 9
8.1 Основная литература (год издания не должен быть более 5 лет): ...............................9
8.2 Дополнительная литература .............................................................................................9
8.3 Программное обеспечение и Интернет-ресурсы ...........................................................10
9. Материально-техническое обеспечение ......................................................... 10
2
1.
1.1
Общие положения
Настоящая Рабочая программа дисциплины по выбору «Нелинейные
задачи математической физики» - модуль основной образовательной
программы послевузовского профессионального образования (ООП ППО)
разработана на основании законодательства Российской Федерации в системе
послевузовского профессионального образования, в том числе: Федерального
закона РФ от 22.08.1996 № 125-ФЗ «О высшем и послевузовском
профессиональном
педагогических
образовании»,
и
научных
Положения
кадров
в
о
подготовке
системе
научно-
послевузовского
профессионального образования в Российской Федерации, утвержденного
приказом Министерства общего и профессионального образования РФ от
27.03.1998 № 814 (в действующей редакции); составлена в соответствии с
федеральными государственными требованиями к разработке, на основании
Приказа Минобрнауки России №1365 от 16.03.2011г. «Об утверждении
федеральных
государственных
профессиональной
требований
образовательной
к
структуре
программы
основной
послевузовского
профессионального образования (аспирантура)» и инструктивного письма
Минобрнауки России от 22.06.2011 г. № ИБ-733/12.
2.
Цель
изучения
Цели изучения дисциплины
дисциплины
углубленных профессиональных знаний
-
формирование
у
аспирантов
о закономерностях, присущих
нелинейным уравнениям, о методах построения и исследования моделей
нелинейных систем, и в конечном итоге формирование у студента
целостного представления о сложных процессах и явлениях.
Задачи дисциплины :
3
 Изучить примеры нелинейных систем и явлений и иметь
представление об особенностях, отличающих нелинейные системы
от линейных.
 Изучить основные виды нелинейных уравнений, описывающих
различные явления.
 Освоить методику решения и исследования нелинейных задач
математической физики.
 Подготовить аспирантов к применению полученных знаний для
решения задач естествознания.
3.
Результаты освоения дисциплины
Аспирант или соискатель должен:
- знать: основную терминологию по теме дисциплины, основные понятия и
определения, основные нелинейные уравнения математической физики и
классические задачи для них.
- уметь: решать задачи по дисциплине изученными методами и проводить
анализ полученного решения; доказывать свойства нелинейных уравнений
математической физики.
- демонстрировать: способность и заинтересованность использования в
практической
деятельности
методов
решения
задач
нелинейной
математической физики для решения конкретных физических и технических
задач.
Самостоятельно изучать и понимать специальную (отраслевую)
научную
и
методическую
литературу,
связанную
с
исследуемыми
проблемами.
Курс
предполагает
математического
анализа,
наличие
теории
у
аспирантов
знаний
обыкновенных
по
теории
дифференциальных
уравнений; функционального анализа; курса алгебры; теории функций
комплексного переменного.
Знания и навыки, полученные аспирантами при изучении данного
курса,
необходимы
при
подготовке
и
написании
диссертации
по
4
специальности 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические
системы и оптимальное управление.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Нелинейные задачи
математической физики»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы 72 часа.
4.1.Объем дисциплины и количество учебных часов
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
Лекции (минимальный объем теоретических знаний)
Семинар
Практические занятия
Другие виды учебной работы
Внеаудиторные занятия:
Самостоятельная работа аспиранта
ИТОГО
Вид итогового контроля
Кол-во зачетных
единиц*/уч.часов
1/36
0
0
0
1/36
2/72
Составляющая
экзамена
кандидатского
минимума
5. Содержание дисциплины
5.1
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Содержание лекционных занятий
Содержание
Классификация квазилинейных уравнений. Метод приведения
квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому виду
Нелинейное уравнение теплопроводности. Задачи с внешней и
внутренней нелинейностью.
Свойства
автомодельности.
Автомодельные
переменные
и
автомодельные решения нелинейных уравнений. Распространение
тепла в среде с фазовым переходом. Задача Стефана о фазовом
переходе.
Понятие о тепловой волне. Пространственная локализация теплового
возмущения. Понятие о режимах с обострением.
Распределенные системы с обратной связью. Положительная и
отрицательная обратная связь. Понятие об активаторе и ингибиторе.
Диссипативные структуры и самоорганизация в активных средах.
Модель двухкомпонентной системы типа «реакция - диффузия», с
активатором и –ингибитором.
Кол-во
уч.часов
2
2
2
2
2
2
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Стационарное состояние и его устойчивость. Критерии устойчивости
стационарного состояния в двухкомпонентной системе.
Обзор известных моделей типа «реакция - диффузия». Модель
Гирера-Майнхарда. Модель «брюсселятор».
Волновые движения и их классы. Гиперболические волны. Волны в
среде с дисперсией.
Волновое уравнение первого порядка. Решение уравнения методом
характеристик. Понятие об ударной волне. Слабые ударные волны
Обратная задача рассеяния в квантовой механике. Задача рассеяния
для одномерного уравнения Шредингера. Непрерывный спектр.
Дискретный спектр в задаче рассеяния. Уравнения ГельфандаЛевитана-Марченко и решение обратной задачи рассеяния. Формула
для потенциала.
Понятие об (L-A) –паре Лакса для нелинейного уравнения. Свойства
нелинейного уравнения, обладающего (L-A) –парой.
Пара Лакса для уравнения Кортевега – де Фриза. Эволюция данных
рассеяния.
Схема метода обратной задачи рассеяния для интегрирования
нелинейного уравнения Кортевега – де Фриза
Безотражательные потенциалы и солитонные решения.
Общий вид N-солитонного решения уравнения Кортевега - де Фриза.
Односолитонное решение и его свойства.
5.2
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Всего:
Самостоятельная работа аспиранта
Виды самостоятельной работы
Повторение лекционного материала по теме 1
Повторение лекционного материала по теме 2
Повторение лекционного материала по теме 3
Повторение лекционного материала по теме 4
Повторение лекционного материала по теме 5
Повторение лекционного материала по теме 6
Повторение лекционного материала по теме 7
Повторение лекционного материала по теме 8
Повторение лекционного материала по теме 9
Повторение лекционного материала по теме 10
Повторение лекционного материала по теме 11
Повторение лекционного материала по теме 12
Повторение лекционного материала по теме 13
Повторение лекционного материала по теме 14
Повторение лекционного материала по теме 15
Повторение лекционного материала по теме 16
Повторение лекционного материала по теме 17
Повторение лекционного материала по теме 18
Всего:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
Кол-во
уч.часов
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
6
Изучение учебного материала, перенесенного с аудиторных занятий на
самостоятельную проработку.
Выявление информационных ресурсов в научных библиотеках и сети Internet
по следующим направлениям:
Библиография по теории нелинейных задач математической физики.
Публикации (в том числе электронные) по теории нелинейных задач
математической физики.
Научно-исследовательская литература по теории нелинейных задач
математической физики.
6. Перечень контрольных мероприятий и вопросы к экзаменам
кандидатского минимума
Итоговая
аттестация
аспиранта
включает
сдачу
кандидатских
экзаменов и представление диссертации в Диссертационный совет. Порядок
проведения кандидатских экзаменов включает в кандидатский экзамен по
научной
специальности
дополнительные
разделы,
обусловленные
спецификой научной специальности. Билеты кандидатского экзамена по
специальной дисциплине в соответствии с темой диссертации на соискание
ученой степени кандидата наук должны охватывать разделы Специальной
дисциплины отрасли науки и научной специальности (ОД.А.) и Дисциплины
научной специальности по выбору аспиранта (ОДН.А.).
Перечень вопросов к экзаменам кандидатского минимума:
1. Классификация квазилинейного уравнения II порядка с двумя
независимыми переменными. Формулы преобразования коэффициентов
при вторых производных. Типы уравнения II порядка.
2. Задача Стефана о фазовом переходе.
3. Задачи с внутренней нелинейностью. Задача о распространении тепла в
среде с коэффициентом теплопроводности, степенным образом
зависящим от температуры.
7
4. Вывод уравнения движения фронта тепловой волны в среде со степенной
зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры.
5. Система уравнений типа «реакция-диффузия ». Понятие об активаторе и
ингибиторе. Постановка задачи об образовании диссипативных структур.
6. Условия неустойчивости для осциллирующих флуктуаций. Условии, при
которых в среде всегда возникает осциллирующие во времени
флуктуации.
7. Условия возникновения апериодических во времени флуктуаций.
8. Стационарное решение и условия неустойчивости в модели ГирераМайнхарда.
9. Стационарное решение в модели брюсселятора. Критическое значение
управляющего параметра и малого параметра.
10. Определение гиперболической и диспергирующей волн. Решение
уравнения ut  c(u)ux  0 методом характеристик.
11. Явление опрокидывания фронта волны, распространяющейся в
нелинейной среде. Условие опрокидывания фронта волны.
12. Постановка задачи о рассеянии на потенциале ux  для одномерного
квантовомеханического уравнения Шредингера.
13. Постановка обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения
Шредингера в квантовой механике.
14. Понятие о данных рассеяния. Вывод уравнений Гельфанда-ЛевитанаМарченко.
15. Уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ).
16. Понятие об (L-A)-паре для нелинейного уравнения. (L-A)-пара для
уравнения КдФ.
17. Понятие об эволюции данных рассеяния для потенциала ux, t  ,
удовлетворяющего уравнению КдФ. Уравнения Гарднера-ГринаКрускала-Миуры.
18. Схема интегрирования уравнения КдФ методом обратной задачи
рассеяния.
19. Понятие о безотражательном потенциале в обратной задаче рассеяния.
Решения уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко для
безотражательного потенциала.
20. N-солитонное решение уравнения КдФ. Односолитонное решение.
7. Образовательные технологии
В процессе обучения применяются следующие образовательные
технологии:
1. Сопровождение лекций показом визуального материала.
8
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Учебная, учебно-методическая и иные библиотечно – информационные
ресурсы обеспечивают учебный процесс и гарантирует возможность
качественного освоения аспирантом образовательной программы. Кафедра
располагает библиотекой, включающей научно-техническую литературу по
дифференциальным уравнениям, динамическим системам и оптимальному
управлению, научные журналы и труды конференций.
8.1 Основная литература (год издания не должен быть более 5 лет):
№
Наименование
п/п учебной литературы
1
2
3
Автор, место
издания,
издательство год
Количество
Число
экземпляров обучающихся,
в
воспитанников,
библиотеке одновременно
СГПА им.
изучающих
Зайнаб
дисциплину
Биишевой
Дифференциальные
Мартинсон Л.К.,
уравнения
Малов Ю.И
математической
Изд-во МГТУ им.
физики
Н.Э. Баумана, 1996.
Методы решения
Полянин А. Д.,
нелинейных
Зайцев В. Ф., Журов
уравнений
А. И. М.:
математической
Физматлит, 2005.
физики и механики
Математическое
Ред. Акад. А.А.
моделирование.
Самарский, чл.Нелинейные
корр. С.П.
дифференциальные
Курдюмов, В.И.
уравнения
Мажукин. М.:
математической
Наука, 1987.
физики
8.2 Дополнительная литература
9
№
Наименование
п/п учебной литературы
Автор, место
издания,
издательство год
Справочник по
нелинейным
уравнениям
математической
физики.
Додд Р., Эйлбек Дж.,
Гиббон Дж., Моррис
Х.
Полянин А. Д.,
Зайцев В. Ф., М.:
Физматлит, 2005.
1
2
3
Кудряшов Н. А.
Количество
Число
экземпляров обучающихся,
в
воспитанников,
библиотеке одновременно
СГПА им.
изучающих
Зайнаб
дисциплину
Биишевой
4
5
Солитоны и
нелинейные
волновые
уравнения. М.: Мир,
1988.
Аналитическая
теория нелинейных
дифференциальных
уравнений. МоскваИжевск: Институт
компьютерных
исследований, 2004.
8.3 Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
№
Наименование
п/п учебной литературы
1
2
Автор, место
издания,
издательство год
3
Количество
Число
экземпляров обучающихся,
в
воспитанников,
библиотеке одновременно
СГПА им.
изучающих
Зайнаб
дисциплину
Биишевой
4
5
9. Материально-техническое обеспечение
Кафедра/научное
подразделение
располагает
материально-
технической базой, соответствующей действующим санитарно-техническим
нормам и обеспечивающей проведение всех видов теоретической и
10
практической подготовки, предусмотренных учебным планом аспиранта, а
также эффективное выполнение диссертационной работы.
N Название дисциплины
п/п
1
Нелинейные задачи
математической
физики
Наименование
оборудованных учебных
кабинетов, объектов для
проведения практических
занятий с перечнем
основного оборудования
Методический кабинет
кафедры математического
анализа, библиотечный
фонд, 3 компьютера с
выходом в интернет
Фактический адрес
учебных кабинетов
и объектов
301 каб. ФМиЕН
11