Курс вычислительной математики для ФАКИ и ФФКЭ

УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
Ю.А. Самарский
14 декабря 2005 г.
ПРОГРАММА
по курсу: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
по направлению 511600
факультет ФАКИ, ФФКЭ
кафедра вычислительной математики
курс III
семестр 6
лекции – 32 часа
Экзамен – нет
практические (семинарские)
Диф. зачет – 6 семестр
занятия – нет
лабораторные
занятия – 32 часа
Самостоятельная работа –
2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ 64
Программу составил
д.ф.-м..н., проф. В.В. Демченко
Программа обсуждена на заседании
кафедры вычислительной математики
31 августа 2005 г.
Заведующий кафедрой
А.С. Холодов
IX.
X.
XI.
XII.
XIII.
XIV.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
Жесткие уравнения и системы. А – устойчивые схемы. Функции и области устойчивости наиболее употребительных разностных схем.
ОДУ. Краевые задачи. Численные методы решения:
1) редукции к задаче Коши;
2) прогонки;
3) стрельбы;
4) вариационные методы:
а) Ритца:
б) Галеркина;
в) интегро-интерполяционный.
Задачи на собственные значения. Численные методы
решения задачи Штурма–Лиувилля.
Разностные схемы для уравнений с частными производными. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Методы построения аппроксимирующих разностных схем. Спектральный признак устойчивости
разностной задачи Коши. Принцип замороженных
коэффициентов.
Уравнения и системы уравнений с частными производными гиперболического типа. Характеристические свойства уравнений. Численные методы решений уравнений переноса, волнового уравнения и систем уравнений акустики, газодинамики. Корректная
постановка начальных и краевых условий.
Численные методы решения эллиптических уравнений с частными производными. Метод установления
решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Конечные ряды Фурье. Условия сходимости. Чебышевский
набор
параметров.
Попеременнотреугольный метод. Метод конечных элементов.
2
XV.
Многомерные уравнения с частными производными
параболического типа. Линейные и квазилинейные
уравнения. Явные и неявные разностные схемы, особенности их алгоритмической реализации. Экономичные методы. Метод дробных шагов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику.
— М.: Наука–Физматлит, 1994. —335 с.
2. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. — М.:
Наука, 1977.
3. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике.
Вводный курс. — М.: Изд-во МФТИ, 1995. — 175 с.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные
методы. — М.: Наука, 1987.
5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. —
М.:Наука, 1980. — 608 с.
6. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционносеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука,
1977. — 656 с.
8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных
уравнений. — М.: Наука, 1978. — 591 с.
9. Демченко В.В. Уравнения и системы уравнений с частными
производными первого порядка. — М.: МФТИ, 2001. —
116 с.
10. Сборник задач для упражнений по курсу вычислительной
математики / Под ред. Рябенького В.С. — М.: МФТИ,
1986.
11. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциальноалгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. — 685 с.
3
Номера задач в заданиях указаны по Сборнику задач для
упражнений по курсу «Основы вычислительной математики» под редакцией В.С. Рябенького.
ЗАДАНИЕ 1
IX. ОДУ. Жесткие уравнения и системы.
Решите следующие задачи как явными, так и неявными
разностными методами.
Задача № 1
dy
 10 y  100 e10 x  sin 100 x  0 ,
dx
y (0)  1,
0  x 1.
Задача № 2
dy
 10 y  100 e 10 x  sin 100 x  0 ,
dx
y ( 0)  1 ,
0  x  1.
Задача № 3
dy
 25 y  100 e  25 x  sin 100 x  0,
dx
y (0)  0,8,
0  x  1.
4
Задача № 4
dy
 50 y  100 e 50 x  sin 100 x  0,
dx
y ( 0 )  0,5 ,
0  x  1.
X. ОДУ. Краевые задачи — задачи (VII.7), (VII.12), (VII.13).
Задача № 8
Дана дифференциальная задача
d 2u
 cu  f ( x ) ; x 0,1 ,
d x2
u ( 0 )  u (1)  0.
При каких с для решения этой задачи применим метод
Ритца?
Задача № 9
Дана дифференциальная задача
d 2u
du
 2 a
 c u 1 ; c  0,
dx
dx
u (0)  u (1) 1 ; x 0,1 .
Построить разностную схему с помощью метода Галеркина, используя базисные функции:
5
1
0
x i 1
xi
x i 1
Задача № 10
Построить аппроксимацию второго порядка по двум
точкам правого краевого условия u  3u  1 , заданного при
х = 1, для уравнения u  cos x  1 .
Задача № 11
Построить разностную схему с помощью метода Ритца
для задачи

du 
d 
 k ( x)
 1 x  0 ,1,
dx
d x 
 3 , 0  x  ,

4
u (0)  u (1)  0 ; k ( x)   2

 x 1 ,
 2,
4

взяв в качестве базисных функций
1
0
x i 1
xi
x i 1
XI. Задачи на собственные значения – (VII.9 а, б,).
6
Задача № 14
Найти все λ, для которых разностная задача
y k 1  2 y k  y k 1
 y k ; y 0  y N  0;
h2
1
h  ; k  1 N 1
N
имеет нетривиальные решения.
Задача № 15
Найти все решения задачи на собственные значения
y k 1  2 y k  y k 1
 y k ; y 0  0; y N  y N 1 ;
h2
1
h  ; k  1 N 1.
N
ЗАДАНИЕ 2
XII. Разностные схемы для уравнений с частными производными — задачи (VIII.1 а – з), (VIII.2), (VIII.4).
XIII. Гиперболические уравнения и системы – задачи
(VIII.5a, б).
Задача № 13
Для решения смешанной задачи уравнения переноса в
единичном квадрате  0  t  1 ; 0  x  1  предложить разностную схему для задачи
u u t

e ,
t  x
u
t 0
 x 1 ; u
x 0
 et  t .
7
Задачи № 14, 15
Для решения смешанной задачи в единичном квадрате
 0  t  1 ; 0  x  1  предложить разностную схему второго
порядка аппроксимации и для коэффициента переноса, равного 1, исследовать на спектральную устойчивость:
u t u
e
t ,
t
x
u
u
 e x
 x,
t
x
14) u
t 0
 ( x 1) 2
u
x 0
 e 2t  0,5 t 2 .
15)
u
t 0
 e 2 x  ( x 1) e x ,
u
x 0
 t (t  2) .
Задача № 16
Предложить для решения задачи разностную схему и проверить сходимость:
u
w
 x 11
 u 0  x1  1,
 x2
 x1
w
u
 x 11
 w 0  x 2  1,
 x2
 x1
u
x1  0
w
x1 1
u
x2  0
w
x2  0

e

 e x2 e sin x2  e cos x2 ,
 e x2
e
sin( x2  0 , 5 )
sin( 0 , 5 x12 )
e

 e cos( x2 0,5) ,
cos ( 0 , 5 x12 )
,
 e sin( 0,5 x1 )  e cos ( 0,5 x1 ) .
2
2
Задача № 17
Предложить для решения задачи разностную схему и проверить сходимость:
8
u
u
 x2
u 2 ,
x
 x2
w
u  w
  x 2 1 

 u 2  e ( u  w) ,
 x1
 x2  x2
u
x1  0
 x2 ; w
x1  0
 x 2  ln x 2 ; w
x2 1

 e x1  x1

1
.
XIV. Эллиптические уравнения – задачи (IX.1a), (IX. 3a,б),
(II.9a,б).
XV. Параболические уравнения – задачи (VIII.6), (VIII.7),
(VIII.8).
Задание для практического решения на ЭВМ даётся преподавателем и состоит из трёх задач:
1) по первому заданию одна задача – решение краевой
задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения;
2) по второму заданию две задачи:
а) разностное решение гиперболической задачи, исследование аппроксимации, устойчивости, сходимости;
б) численное решение квазилинейного уравнения
теплопроводности.
Сроки сдачи: первого задания – 2-я неделя марта,
второго задания – 2-я неделя мая.
Усл. п. л. 0,6.
Тираж 210 экз.
9