Изучение процентов в курсе средней школы

Министерство Образования и молодежной
политики ЧР
Чувашский республиканский институт образования
Кафедра естественных дисциплин
Курсовая работа
«Изучение процентов в курсе средней
школы»
Выполнил учитель математики
МОУ «СОШ №47»
г. Чебоксары
Огинова Татьяна Васильевна.
Чебоксары 2009
1
Оглавление
Введение-----------------------------------------------------------------------------------------Основное содержание разработки-------------------------------------------
1
2
1. Ознакомление с понятием « процента» и методами решения простейших
задач по разным учебникам--------------------------------------------------------------- 2
2. Изучение темы « задачи на проценты» в 6 классе.----------------------------------2
2.1. Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.--------------- 2
2.2. Решение задач на изменение величины в процентах с помощью пропорций.- 4
2.3. Решение более сложных задач.--------------------------------------------------------4
2.4. Контрольный тест.-------------------------------------------------------------------------4
3. Изучение процентов в 9 классе.---------------------------------------------------------Элективный курс по алгебре для 9 класса «Все о процентах»---------------------- 5
4. Заключение.----------------------------------------------------------------------------------- 16
Приложения-------------------------------------------------------------------------------------
17
Тест на тему «Проценты»------------------------------------------------------------------- 7
Тренировочный тест №1 по теме «Проценты»------------------------------------------------- 20
Список литературы---------------------------------------------------------------------Рецензия.-----------------------------------------------------------------------------------------
16
24
2
Введение
Актуальность
В тестах ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на проценты. Так как %
изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие
выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло,
нужно провести элективный курс по решению задач на проценты в 9 классе и
организовать повторение по этой же теме в 11 классе. Появилась необходимость
разработки методики обучения решению задач на проценты разного уровня сложности в
старших классах, когда у ребят имеются достаточный опыт и знания для решения более
сложных задач.
Практическая значимость
Практическую значимость обучения решению задач на проценты трудно
переоценить. Невозможно представить современного человека, не понимающего, что
такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты.
Проценты нас сопровождают везде - в экономике, на производстве, в средствах массовой
информации. Без этих знаний человек не может выполнять необходимые ему
элементарные вычисления даже в быту - в магазине, в банке и т. п. Умение решать задачи
на проценты необходимо каждому человеку, независимо от того, в какой бы области он
ни трудился.
В данной разработке приводятся различные методы и приемы обучения,
направленные на усвоение каждым учеником умения решать задачи на проценты.
Предмет исследования
Систематизация имеющегося материала, изучение опыта работы других учителей,
рассмотрение методов и приемов обучения по разным учебникам по данной теме,
описание нового приема при объяснении способа решения указанных задач, разработка
методики обучения в 5,6 и 9 классах.
Новизна исследования
В работе предложен новый подход к решению задач на проценты, отличающийся
от способов решения , данных в учебнике, который дает лучшие результаты. Разработан
элективный курс по решению сложных задач на проценты в 9 классе.
Цели и задачи
o - научить каждого ученика свободно оперировать понятием процента
o -сформировать умение и навыки решения задач на проценты
o -выработка умения самостоятельно приобретать и применять полученные знания в
различных жизненных ситуациях
o -указать на практическую значимость полученных знаний и умений в жизни
человека
o -способствовать развитию интереса и положительной мотивации к изучению
математики.
Результаты апробации
3
В результате применения описанной методики обучения учащиеся лучше
осваивают решение указанных задач, на текущих контрольных работах и тестах
получают хорошие оценки, выпускники справляются с задачами на проценты на ЕГЭ.
Основное содержание разработки.
Составление тематической разработки указанной темы в 5, 6 и 9 классах основной
школы, составление планов уроков, подбор форм, приемов и технологии обучения по
данной теме, организация текущего и итогового контроля, изготовление наглядного и
раздаточного материала.
1.Ознакомление с понятием «процента» и методами решения простейших
задач по разным учебникам.
С понятием процента ученики впервые знакомятся в 5 классе. По программе этому
важному понятию отводится всего 5 часов, включая контрольную работу. За 4 урока
нужно дать определение процента как одну сотую часть целого, научить записывать
проценты в виде обыкновенных и десятичных дробей, наглядно представить число
процентов на рисунке как часть целого, научить решать простейшие задачи на проценты.
В учебнике «Математика для 5 класса Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С. Чесноков,
С.И. Шварцбурд» рассматриваются 3 типа простейших задач: 1) вычисление процента от
числа, 2) вычисления числа по его процентам, 3) какой процент составляет одно число от
другого. Все эти задачи решаются нахождением числа, соответствующего 1%, затем
умножением или делением на число процентов. На этом этапе большинство ребят хорошо
справляются с поставленной задачей.
В учебнике «Математика для 5 класса. Э.Р. Нурк, А.Э.Тельгмаа» рассматриваются
задачи только первого типа, которую решают тем же способом – нахождением числа,
соответствующего 1% и умножением на число процентов. А по учебнику под редакцией
Г.В,Дорофеева и И.Ф. Шарыгина в 5 классе проценты не изучаются.
В 6 классе на решение задач с процентами отводится 3 часа. После изучения темы
«Нахождение дроби от числа» рассматривается задача нахождения % от числа по новому
правилу: процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь и умножается на
число.
После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» рассматривается задача на
нахождение числа по данному значению его процентов, которая решается переводом
процентов в обыкновенную или десятичную дробь и делением числа на полученную
дробь.
В теме «Отношения» рассматривается задача 3 типа – частное двух чисел
умножается на 100%. При этом получаем, какой процент первое число составляет от
второго.
Здесь уже слабые ученики начинают путать способы решения задач на проценты. В
связи с этим я возвращаюсь к задачам на проценты после изучения темы «Пропорция».
Теперь у учащихся есть новый «инструмент» для решения задач с процентами –
составление и умение решать пропорции.
2.Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.
Сначала необходимо напомнить ученикам, что означает запись – 1%, что означает
100%, и, например, 80%.
Рассмотрим решение «ключевых задач» на проценты, используя аналогию с
задачами на дроби. Пусть
4
20 учеников – 1,
20 учеников – 100%
4
16 учеников - ,
16 учеников – 80%
5
Принимая некоторые числа за неизвестные, составим 6 задач, которые решаем с помощью
пропорции.
1) Нахождение дроби от числа.
20уч. – 1,
В классе 20 учащихся,
х уч. -
4
5
4
5
из них занимаются в кружках.
Сколько учеников занимаются в кружках?
Составим пропорцию :
20
4
=1: ;
x
5
х ∙ 1 = 20 ∙
4
5
х = 16.
Ответ: 16
2) Нахождение числа по его дроби.
х уч. – 1,
16 уч. -
4
5
16 учащихся занимаются в кружках, что составляет
4
всех учащихся
5
класса. Сколько учеников в классе?
Составим пропорцию :
x
4
=1:
16
5
4
х ∙ = 16 ∙ 1
5
х = 20.
Ответ: 20
3) Какую часть одно число составляет от другого?
20 уч. – 1,
16 уч. – х.
В классе 20 учащихся, 16 из них занимаются в кружках. Какую часть
составляют учащиеся, занимающиеся в кружках?
20
1
Составим пропорцию :
=
16
x
20 ∙ х = 1 ∙ 16
4
4
х=
Ответ:
5
5
4) Нахождение процентов от данного числа.
20 уч. – 100%,
х уч. – 80%.
Составим пропорцию:
В классе 20 учащихся, 80% из них занимаются в кружках.
Сколько учеников занимается в кружках?
20 100
=
x
80
100х = 20∙80
х = 16
Ответ: 16
5) Нахождение числа по его проценту.
5
х уч. – 100%
16 уч. – 80 %
16 учеников класса занимаются в кружках, что составляет 80%
всех учащихся. Сколько учащихся в классе?
x 100
Составим пропорцию:
=
16 80
80х = 16∙100
х = 20
Ответ: 20
6) Какой процент одно число составляет от другого?
20 уч. – 100%,
16 уч. – х %.
Составим пропорцию:
В классе 20 учащихся,16 из них занимаются в кружках.
Сколько процентов учащихся занимается в кружках?
20 100
=
16
x
20х = 16∙100
х = 80
Ответ: 80%
3. Решение задач на изменение величины в процентах с помощью пропорций.
До снижения цен рубашка стоила 250 р.,
а после снижения 230 р.
На сколько процентов
Снизилась стоимость рубашки?
1) 250 – 230 = 20(р)
2) 250 р. – 100%,
20 р. - х %
Составим пропорцию:
250 100
=
x
20
250 х = 20 ∙ 100
х=8
Ответ: 8%
4. Решение более сложных задач.
1
новой электропроводки и еще 21 км, то осталось проложить 20%
3
всей линии. Вычисли длину всей электролинии.
Решение:
1
1) ? км ,
2)
х км - 1
3
7
21 км?
21 км 15
? км
20% = 0,2
Составим пропорцию:
x
7
=1:
15
21
1
7
1-( +0,2) =
х = 45
Ответ:45 км
3
15
2). Сплав меди и алюминия весит 10 кг и содержит 15% меди. Сколько алюминия в этом
сплаве.
Решение:
10 100
10  15

Сплав 10 кг - 100%
1) Составим пропорцию:
,
х=
=1,5(кг)
x
15
100
Медь х кг - 15%
2) 10-1,5 =8,5(кг).
Ответ: 8,5 кг
1).Когда проложили
6
3.) К 10 л 5% -ого раствора соли добавили добавили 5 л воды. Определите процентное
1
содержание соли в новом растворе.
Ответ: 3 %
3
Контрольный тест
Тест на тему « Проценты»
Вариант 1
1 уровень
1. Нарисуйте квадрат со стороной 10 клеток. Заштрихуйте любые 20 клеток. Какой
процент квадрата заштрихован?
А. 5%
Б.2 %
В. 20%
Г.25%.
2. Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей
обыкновенной дробью:
25%
40%
65%
70%
7
1
1
2
13
10
4
5
5
20
3. На круговой диаграмме показано, какой транспорт предпочитают жители города.
Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент жителей города
предпочитает трамвай?
Ответ:
1
4. Сравните 30% всех учащихся школы и всех учащихся этой школы.
4
1
5. А. 30% меньше всех учащихся школы
4
1
Б. 30% больше всех учащихся школы
4
1
В. 30% равны всех учащихся школы
4
Г. Сравнить нельзя
5. Найдите 20% от 120 рублей.
А. 6р.
Б. 24р.
В. 60р.
6. Укажите верные утверждения:
I. 1 см составляет 1% от 1 м
II. 1 дм составляет 1% от 1 м
III. 1м
2
составляет 1% от 1 км
Г. 100р.
2
7
IV. 1мм
2
А.I и II
составляет 1% от 1 см
Б. II и IV
2
В. II и III
Г. I и IV
7. Из 30 учащихся класса 24 занимаются в спортивных секциях. Какая часть класса
занимается спортом? Ответ выразите в процентах.
Ответ:
8. Ковер стоил 2400 р. После снижения цен он стал стоить 1800 р
На сколько процентов снижена цена этого ковра?
А. на 75%
Б. На 70%
В. На 33%
Г. На 25%
9. Что больше: 33% от 25 р. или 25% от 33р.?
А.33% от 25р. Б.25% от 33р. В.Сравнить нельзя. Г.Одинаковые
10. В библиотеке 500 учебников, что составляет 5% всех книг. Сколько книг в
библиотеке?
Ответ:
2 уровень
11. В киоск привезли 400 газет и 200 журналов. До обеда продали 20% всех газет и
80% всех журналов. Чего продано больше: газет или журналов? Во сколько раз?
Ответ:
12. В киоск привезли 400 газет. До обеда продали 30% всех газет, а после обеда – 45%.
На сколько больше продано газет после обеда?
А. 15
Б. 60
В. 120 Г. 180
13. Укажите ту часть массы, которая больше других.
А. 15% от 20 кг Б. 22% от15 кг В.15% от 24 кг Г. 26% от 15 кг
14. Цены на летние спортивные товары зимой снижены на 75%. Во сколько раз зимние
цены ниже по сравнению с летними?
4
А. В 3 раза
Б. В 4 раза
В. В 3 раза Г. В 5 раз
Вариант 2
1 уровень
1. Нарисуйте квадрат со стороной 10 клеток. Заштрихуйте любые 25 клеток. Какой
процент площади квадрата заштрихован?
А.40%
Б.4%
В.75%
Г.25%
2. Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей
обыкновенной дробью:
20%
50%
35%
90%
8
1
9
7
1
1
4
10
20
5
2
3. На круговой диаграмме показано, какой вид транспорта выбирают жители города
для поездки за город. Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент
жителей города предпочитают электричку?
электричка
автомобиль
автобус
Ответ:
1
4. Сравните 25% всех учащихся школы и всех учащихся этой школы.
4
1
1
А. 25% больше всех учащихся школы
Б. 25% меньше
всех учащихся школы
4
4
1
В. 25% равны всех учащихся школы
Г. Сравнить нельзя
4
5. Найдите 20% от 140 рублей.
А. 7р.
Б.14р.
В. 28р.
Г. 120р.
6. Укажите верные утверждения:
I. 1г составляет 1% от 1 кг.
II. 10 кг составляет 1% от 1 т.
III.1кг составляет 1% от 1 ц.
IV.1ц составляет 1% от 1 т.
А.I и II Б.II и IV
В.II и III
Г.III и IV
7. Из 36 учащихся класса 27 человек занимаются в спортивных секциях. Какая часть
класса занимается спортом? Ответ выразите в процентах.
Ответ:
8. Газонокосилка стоила 1500 р. После снижения цен она стала стоить 1200 р. На
сколько процентов снижена цена этой газонокосилки?
А. на 80%
Б. на 20%
В. на 75%
Г. на 25%
9. Что больше: 22% от 33 р. или 32% от 22 р.?
А.22% от 33 р. Б.32% от 22 р.
В.Сравнить нельзя. Г.Одинаковые
10. В библиотеке 550 учебников, что составляет 10% всех книг. Сколько книг в
библиотеке?
Ответ:
2 уровень
11. В киоск привезли 600 газет. До обеда продали 20% всех газет, а после обеда - 50%
всех газет. На сколько больше продано газет после обеда?
А. 120
Б. 300
В.30
Г.180
12. В киоск привезли 600 газет и 200 журналов. До обеда продали 15% всех газет и
90% всех журналов. Чего продано меньше: газет или журналов? Во сколько раз?
Ответ:
13. Укажите ту часть массы, которая меньше других.
А. 15% от 20 кг
Б. 22% от15 кг
В.15% от 24 кг
Г. 26% от 15 кг
9
14. Цены на летние спортивные товары зимой снижены на 80 %. Во сколько раз
зимние цены ниже по сравнению с летними?
А. В 3 раза
Б. В 4 раза
5
В. В 4 раза Г. В 5 раз
Введение
Актуальность
В тестах ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на проценты. Так как %
изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие
выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло,
нужно ввести элективный курс по решению задач на проценты в 9 классе и организовать
повторение по этой же теме и в 11 классе. Возникает необходимость разработки методики
обучения решению задач на проценты разного уровня сложности в старших классах, когда
у ребят имеются достаточный опыт и знания для решения более сложных задач.
Практическая значимость
Практическую значимость обучения решению задач на проценты трудно
переоценить. Невозможно представить современного человека, не понимающего, что
такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты.
Проценты нас сопровождают везде - в экономике, на производстве, в средствах массовой
информации. Без этих знаний человек не может выполнять необходимые ему
элементарные вычисления даже в быту - в магазине, в банке и т. д. Умение решать задачи
на проценты необходимо каждому человеку, независимо от того, в какой бы области он
ни трудился.
Поэтому задача средней школы - научить каждого ученика свободно оперировать
понятием процента, решать различные задачи на проценты.
В данной разработке приводятся различные методы и приемы обучения,
направленные на усвоение каждым учеником умения решать задачи на проценты.
Предмет исследования
Систематизация имеющегося материала, изучение опыта работы других учителей,
рассмотрение методики обучения по разным учебникам по данной теме, описание нового
приема при объяснении способа решения указанных задач, составление элективного
курса для 9 класса.
Новизна исследования
В работе предложен новый подход к решению задач на проценты, отличающийся
от способов решения , данных в учебнике, который дает лучшие результаты. Разработан
элективный курс по решению сложных задач на проценты в 9 классе.
Цели и задачи
Составление тематической разработки указанной темы в 5, 6 и 9 классах основной
школы, составление планов уроков, подбор форм, приемов и технологии обучения по
данной теме, организация текущего и итогового контроля, изготовление наглядного и
раздаточного материала.
10
Результаты апробации
Результате применения описанной методики обучения учащиеся лучше осваивают
решение указанных задач, на текущих контрольных работах и тестах получают хорошие
оценки, выпускники справляются с задачами на проценты на ЕГЭ.
Основное содержание разработки.
1.Ознакомление с понятием «процента» и методами решения простейших
задач по разным учебникам.
С понятием процента ученики впервые знакомятся в 5 классе. По программе этому
важному понятию отводится всего 5 часов, включая контрольную работу. За 4 урока
нужно дать определение процента как одну сотую часть целого, научить записывать
проценты в виде обыкновенных и десятичных дробей, наглядно представить число
процентов на рисунке как часть целого, научить решать простейшие задачи на проценты.
В учебнике «Математика для 5 класса Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С. Чесноков,
С.И. Шварцбурд» рассматриваются 3 типа простейших задач: 1) вычисление процента от
числа, 2) вычисления числа по его процентам, 3) какой процент составляет одно число от
другого. Все эти задачи решаются нахождением числа, соответствующего 1%, затем
умножением или делением на число процентов. На этом этапе большинство ребят хорошо
справляются с поставленной задачей.
В учебнике «Математика для 5 класса. Э.Р. Нурк, А.Э.Тельгмаа» рассматриваются
задачи только первого типа, которую решают тем же способом – нахождением числа,
соответствующего 1% и умножением на число процентов. А по учебнику под редакцией
Г.В,Дорофеева и И.Ф. Шарыгина в 5 классе проценты не изучаются.
В 6 классе на решение задач с процентами отводится 3 часа. После изучения темы
«Нахождение дроби от числа» рассматривается задача нахождения % от числа по новому
правилу: процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь и умножается на
число.
После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» рассматривается задача на
нахождение числа по данному значению его процентов, которая решается переводом
процентов в обыкновенную или десятичную дробь и делением числа на полученную
дробь.
В теме «Отношения» рассматривается задача 3 типа – частное двух чисел
умножается на 100%. При этом получаем, какой процент первое число составляет от
второго.
Здесь уже слабые ученики начинают путать способы решения задач на проценты. В
связи с этим я возвращаюсь к задачам на проценты после изучения темы «Пропорция».
Теперь у учащихся есть новый «инструмент» для решения задач с процентами –
составление и умение решать пропорции.
2. Изучение темы « Задачи на проценты» в 6 классе.
3 часа.
2.1.Решение «ключевых задач» на проценты с помощью пропорций.
Сначала необходимо напомнить ученикам, что означает запись – 1%, что означает
100%, и, например, 80%.
Рассмотрим решение «ключевых задач» на проценты, используя аналогию с
задачами на дроби. Пусть
11
20 учеников – 1,
20 учеников – 100%
4
16 учеников - ,
16 учеников – 80%
5
Принимая некоторые числа за неизвестные, составим 6 задач, которые решаем с помощью
пропорции.
2) Нахождение дроби от числа.
20уч. – 1,
В классе 20 учащихся,
х уч. -
4
5
4
5
из них занимаются в кружках.
Сколько учеников занимаются в кружках?
Составим пропорцию :
20
4
=1: ;
x
5
х ∙ 1 = 20 ∙
4
5
х = 16.
Ответ: 16
2) Нахождение числа по его дроби.
х уч. – 1,
16 уч. -
4
5
16 учащихся занимаются в кружках, что составляет
4
всех учащихся
5
класса. Сколько учеников в классе?
Составим пропорцию :
x
4
=1:
16
5
4
х ∙ = 16 ∙ 1
5
х = 20.
Ответ: 20
3) Какую часть одно число составляет от другого?
20 уч. – 1,
16 уч. – х.
В классе 20 учащихся, 16 из них занимаются в кружках. Какую часть
составляют учащиеся, занимающиеся в кружках?
20
1
Составим пропорцию :
=
16
x
20 ∙ х = 1 ∙ 16
4
4
х=
Ответ:
5
5
4) Нахождение процентов от данного числа.
20 уч. – 100%,
х уч. – 80%.
Составим пропорцию:
В классе 20 учащихся, 80% из них занимаются в кружках.
Сколько учеников занимается в кружках?
20 100
=
x
80
100х = 20∙80
х = 16
Ответ: 16
5) Нахождение числа по его проценту.
12
х уч. – 100%
16 уч. – 80 %
16 учеников класса занимаются в кружках, что составляет 80%
всех учащихся. Сколько учащихся в классе?
x 100
Составим пропорцию:
=
16 80
80х = 16∙100
х = 20
Ответ: 20
6) Какой процент одно число составляет от другого?
20 уч. – 100%,
16 уч. – х %.
Составим пропорцию:
В классе 20 учащихся,16 из них занимаются в кружках.
Сколько процентов учащихся занимается в кружках?
20 100
=
16
x
20х = 16∙100
х = 80
Ответ: 80%
2.2. Решение задач на изменение величины в процентах с помощью пропорций.
До снижения цен рубашка стоила 250 р.,
а после снижения 230 р.
На сколько процентов
Снизилась стоимость рубашки?
1) 250 – 230 = 20(р)
2) 250 р. – 100%,
20 р. - х %
Составим пропорцию:
250 100
=
x
20
250 х = 20 ∙ 100
х=8
Ответ: 8%
2.3. Решение более сложных задач.
1
новой электропроводки и еще 21 км, то осталось проложить 20%
3
всей линии. Вычисли длину всей электролинии.
Решение:
1
1) ? км ,
2)
х км - 1
3
7
21 км?
21 км 15
? км
20% = 0,2
Составим пропорцию:
x
7
=1:
15
21
1
7
1-( +0,2) =
х = 45
Ответ:45 км
3
15
2). Сплав меди и алюминия весит 10 кг и содержит 15% меди. Сколько алюминия в этом
сплаве.
Решение:
10 100
10  15

Сплав 10 кг - 100%
1) Составим пропорцию:
,
х=
=1,5(кг)
x
15
100
Медь х кг - 15%
2) 10-1,5 =8,5(кг).
Ответ: 8,5 кг
1).Когда проложили
13
3.) К 10 л 5% -ого раствора соли добавили добавили 5 л воды. Определите процентное
1
содержание соли в новом растворе.
Ответ: 3 %
3
2.4.Контрольный тест( см. в приложениях)
3. Изучение процентов в 9 классе
К задачам на проценты необходимо вернуться в 9 классе. Элективный курс
рассчитан на 14 часов.
14
Элективный курс по алгебре
для 9 класса.
Все о процентах.
Составил учитель математики
МОУ «СОШ № 47»
Огинова Татьяна Васильевна
Чебоксары
2009
15
Пояснительная записка
Данный курс рассчитан для учащихся 9 классов, программа курса составлена на
основе обязательного минимума содержания математического образования.
Данный курс дополняет базовую программу, не нарушая ее целостности. Умения и
навыки, полученные ребятами, помогут им при подготовке к экзаменам за основную
школу.
Целью данного курса является формирование у девятиклассников умений и
навыков решения задач на проценты.
Задачи курса:
- расширение представлений учащихся о методах решения простейших задач 3 типов на
проценты
-развитие интеллектуальных и практических умений в области решения более сложных
задач
- научить решать задачи на процентное содержание и концентрацию вещества
- рассмотреть задачи на проценты с экономическим содержанием.
- формирование навыков решения задач с использованием пропорций
-выработка умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных
ситуациях;
-указать на практическую значимость полученных знаний и умений в жизни человека
-способствовать развитию интереса к изучению математики.
В результате изучения курса учащиеся должны
знать:
- что такое процент
- алгоритм решения задач на проценты составлением уравнения
- формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста
- что такое концентрация, процентное содержание
уметь:
- решать задачи на проценты любой сложности;
- вычислять процентное содержание и концентрацию вещества;
- уметь решать задачи с экономическим содержанием на проценты.
Тематическое планирование:
№
1
2
3
4
5
6
7
Тема занятия
Понятие процента. Нахождение процента от числа, числа по
его проценту, составление процентного отношения.
Решение типовых задач на проценты.
Алгоритм решения задач методом составления уравнений
Решение более сложных задач на проценты.
Контрольный тест
Правило начисления «сложных процентов»
Решение задач на применение формул «сложного
процента», простого процентного роста.
Задачи на сплавы, смеси, растворы
Проверочная работа.
Всего:
Кол-во
часов
Примечание.
1
2
2
2
2
4
1
14 часов
16
Методические рекомендации по изучению курса
Тема 1. Понятие процента. Нахождение процента от числа, числа по его
проценту, составление процентного отношения.
Начать занятие следует с краткого изложения содержания элективного курса.
Акцентировать внимание на том, что учащимся предстоит изучить проценты более
глубоко, указать на практическую направленность курса.
Начать нужно с повторения основных соотношений, с нахождения процента от
числа, числа по его проценту, составления процентного отношения и т. д.
Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Так как
проценты изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не
возвращаемся, многие выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы
этого не произошло, необходимо напомнить учащимся, что им уже известно и показать
более сложные задачи на проценты.
Теоретическая часть
Итак, что такое процент? Процент- это сотая часть величины или числа.
1%=1\100=0,01. Значит, сама величина составляет 100%.
Верна запись
35%=35\100=0,35.
Чтобы перевести проценты в дробь, надо число % разделить на 100. И, наоборот,
десятичные дроби в проценты переводятся умножением на 100%.
Например:
0,15=0,15*100%=15%
.
0,51 =0,51*100%=51%
0,2 =0,2 *100%=20%
0,123=0,123*100%=12,3%
Чтобы перевести обыкновенные дроби в %, дробь умножаем на 100%:
3\4=3\4*100%=75%; ;
2\3=2\3*100%=200\3%=66 2\3%.
Практическая часть
Решение простейших задач на проценты
Задача 1. Найти 15% от числа 200.
Решение: переводим 15% в десятичную дробь и умножим на данное число 200.
0.15*200=30.
Задача 2.Найти 20% от 3\4.
Решение: переводим 20% в десятичную дробь и умножим на число 3\4.
0,2*3\4=0,15.
Задача 3.Найти число, если 25% его составляют 80.
Решение: переводим 25% в десятичную дробь и данное число делим на полученную
дробь.
80:0,25 =320
Задача 4.После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 рублей. Найти
первоначальную стоимость прибора.
Решение: после снижения стоимость прибора в процентах составляет
100%-20%=80%
Надо найти число, 80% которого составляет 160.
60:0,8=200.
Задача 5. Сколько процентов числа 50 составляет число 40?
17
Решение: разделим число 40 на 50 и полученную дробь переводим в проценты.
40:50=0,8=80%
Задача 6.Сколько процентов от числа 40 составляет число 50?
Решение: разделим число 50 на число 40 и полученную дробь переводим в проценты.
50:40=1,25=125%.
Задача 7. На сколько процентов число 50 больше 40?
Решение: число 40 составляет 100%.Чтобы найти, сколько % составляет число 50 от40
разделим 50 на число 40 и умножим на 100:
50:40*100%=125%
125%-100%=25%
Задача 8. На сколько % 40 меньше 50?
Решение: Число 50 составляет 100%.Чтобы найти, сколько % составляет число 40 от 50,
разделим 40 на число 50 и умножим на 100.
40:50*100%=80%
100%-80%=20%
Задача 9. Изделие стоило 500 рублей. Цену уменьшили на 10%. Сколько теперь стоит
изделие?
Решение: найдем стоимость изделия в процентах:
найдем 90% от 500:
500*0,9=450(руб.)
100%-10%=90%
Контроль знаний
Тренировочный тест№1 по теме «Проценты».
3
1. Запишите 1 % в виде десятичной дроби
8
а) 0,1375
б) 137,5
в)1,375
г)0,01375
2. Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 750 г сахара и 1250г
воды?
а) 40%
б) 37,5%
в) 60%
г) 62,5%
3. Мотоциклист ехал из города А в город В. Проехав 42% пути, он оказался в 20,3 км
от города В. Каково расстояние между А и В?
а) 483 км
б) другой ответ
в) 35 км
г)48,3 км
4. Из 200 квартир нового дома 65,5% -двухкомнатные, а остальные –трехкомнатные.
Сколько трехкомнатных квартир в этом доме?
а) 69
б) 131
в) 34
г) 19
5. Сумма двух чисел составляет 180% первого слагаемого. На сколько % первое
слагаемое больше второго?
1
а) на 25%
б) на 20%
в) на 33 % г) другой ответ
3
6. Найдите число, 12% которого равны 240
18
а)28,8
б) 2000
в) 320
г) другой ответ
7. Первое число 40, а второе 30. Какой % составляет первое число от разности этих
чисел?
1
а) 40%
б) 400%
в) 133 %
г) другой ответ
3
Тема 2. Решение типовых задач на проценты.
Алгоритм решения задач методом составления
уравнений
Теоретическая часть
Урок можно начать с постановки проблемы: что произойдет с ценой товара, если
сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%. Ответить на вопрос, не производя
вычислений. Чаще всего ученики дают неверный ответ: «Не изменится.»
Необходимо обратить внимание учащихся на момент, когда приходится
определять, от какого числа следует искать процент. Подвести учащихся к правильной и
естественной схеме решения этой задачи нужно на примерах, а потом сформулировать
правило:
за 100% следует принимать то число, с которым происходит сравнение,
причем слова «больше на р %» или «меньше на р%» не имеют значения
Практическая часть
Задача10
На сколько процентов a больше b , если b меньше, чем a на 20%?
Решение: по условию b меньше, чем а на 20%. Значит, приняв а за 100%, для b получаем:
20  a
b=a. Пусть теперь а больше на х %, тогда, приняв за 100% число b, найдем
100
x b
20  a
x
20  a
а = b+
. Из этих двух равенств следует такое: а = (а)+
·( а ).
100
100
100
100
Решая это уравнение относительно х, получим: х = 25%.
Ответ: 25%
Задача 11. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания по сравнению с
ноябрем увеличилась на 24,7% и составила 3913 руб. Сколько стоила « продовольственная
корзина» в ноябре?
Решение. Обозначив искомую цену за х, составим уравнение по условию задачи:
3913  x
3913  100
 100  24,7. x 
Ответ: 3138 руб.
 3138
x
124,7
Задача 12. Магазин купил книгу со скидкой 10% от номинала, а продал с
наценкой10% от закупочной цены. Продажная цена будет больше или меньше номинала?
На сколько? Какой % продажная цена составит от номинала?
Задача 13. Книгу купили со скидкой 10% от номинала. Больше или меньше 10%
должна быть наценка на закупочную цену, чтобы книга продавалась по номинальной
цене?
Задачи для самостоятельного решения
Задача 14. Себестоимость продукции повысилась сначала на 10%, а затем
понизилась на 20%. На сколько % понизилась себестоимость продукции.
19
Задача 15. на сколько % увеличится произведение двух чисел, если одно из них
увеличилось на 20%, а другое – на 40%?
Задача 16. в течение года завод трижды уменьшал выпуск продукции на одно и то
же число %. Найдите это число, если известно, что общий % снижения после трех
изменений составил 65,7%.
Тема 3. Решение более сложных задач на проценты
Задача 17. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре
– еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение:
стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 р., то есть 360·0,85=306(р.). второе
снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать
90% от 306 р., то есть 306·0,9 = 275,4 (р.).
Ответ: 275 р. 40 к.
Задача 18. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны
лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при
транспортировке – до 10%.сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой
план?
Решение:
просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может
остаться 0,85х т , и на ярмарку будет доставлено 0,9·0,85х т. Составим уравнение:
0,9·0,85х = 1, откуда х ≈ 1,3 т.
Ответ: не менее 1,3 т.
Задача 19. Букинистический магазин при продаже книги по номиналу
запланировал определенный процент прибыли. Продал же со скидкой 10% от
номинальной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько % прибыли первоначально
предполагал получить магазин?
В конце изучения этой темы следует провести контрольный тест №2 (см. в
приложении).
Тема 4. Правило начисления «сложных процентов»
Теоретическая часть
Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезно решить несколько
задач, аналогичных следующим:
Задача 20. В сбербанк положили 1000 рублей. Подсчитайте, какую сумму должны
получить через 2 года, если по истечению каждого года банк начисляет 3% дохода?
Решение: 3%=0,03.
1000*0,03=30(руб.)
1000+30=1030(руб.) – за 1 год.
1030*0,03=30.9(руб.)
1030+30.9=1060,9(руб.)-за 2 год.
Ответ: 1060, 9 руб.
Задача 21. В банк положен вклад из расчета 3% годовых .Какой доход в % принесет
вклад через 4 года?
Решение: обозначим сумму первоначального вклада за х, тогда через 1 год сумма вклада
составит х +0,03х=1,03х, через 2 года 1,03х+1,03х*0,03=1,03 х, через 3 года -.(1,03) х и
Через 4 года (1,03) х=1,12550881х
1б12550881х-х=0,12550881х.
Через 4 года вклад принесет доход 12,550881%.
Ответ: 12, 550881%
20
Задача 22. В сберкассу положили 200р., на которые начисляют 3% годовых.
Сколько денег будет в конце первого года хранения?
Решение полезно провести на конкретных числах и в общем виде.
Начальный капитал,
р.
Процент прибыли, %
Прибыль, р.
200∙0,03
200
а
3
р
a p
100
Конечный капитал
200+200∙0,03=
p
к = а∙( 1+
)
=200·(1+0,03)│
100
В итоге получилась формула зависимости
p
к = а∙( 1+
), дающая возможность решить три типа задач на денежные расчеты: на
100
нахождение одного из параметров, зная два других.
Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?
2
p
Отвечая на него, получим: к = а∙( 1+
) (1) . А третьего? А п-го? В итоге
100
п
p
получается формула к = а∙( 1+
) , где а- начальный капитал, р - процент прибыли за
100
один промежуток времени; п - число промежутков. Эта формула называется формулой
«сложных процентов».
Полученная формула показывает, что значение величины к растет как
геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии
p
1+
. Формула (1 ) является исходной формулой при решении многих задач на
100
проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и
pn
применять простого процентного роста: к = а∙( 1+
),
(2)
где а ,р и п имеют тот
100
же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в
этом случае процент каждый раз берется от одного и того же числа а).
Следует уделять много внимания решению таких задач.
Тема 5. Решение задач на применение формул «сложного процента»,
простого процентного роста.
Практическая часть
Задача 23. Сумма в 1000 р. уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев
эта сумма сократится а) до 750 р.; б)500 р.;
в)250 р.;
г)50 р.?
Решение. Это задача на простой процентный рост.
pn
а рп
а рп
(к  а)  100
к = а∙( 1+
), к = а +
, к-а=
,
а·р·п = (к-а)∙100,
п=
100
100
100
а р
(1000  750)  100
(1000  500)  100
а) п =
=5(мес.); б)п =
=10(мес.);
1000  5
1000  5
(1000  250)  100
(1000  50)  100
в)п=
=15(мес.); г) п =
=19(мес).
1000  5
1000  5
21
Задача 24. Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000 р.
под 30% годовых?
п
р
Решение. Это задача на сложный процентный рост: к = а·(1+
) ,
100
4
30
к = 2000·(1+
) =5712,2 (р.).
100
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 25. На сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк,
начисляющий 20% годовых?
Задача 26. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик
положил на счет 5000 рублей и решил в течение 5 лет не снимать со счета деньги и не
брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через 2
года? Через 5 лет?
Задача 27. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р.
уценили на 40% , а через неделю – еще на 5%. В другом магазине шарф такой же
стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф?
Тема 6. Задачи на сплавы, смеси, растворы
Теоретическая часть
Приступая к решению задач ,связанных с понятиями «концентрация» и «процентное
содержание», необходимо объяснить учащимся, что обычно в условиях таких задач речь
идет о составлении сплавов, растворов, смесей из двух или нескольких веществ. При
решении таких задач принимаются следующие основные допущения:
 Все получающиеся сплавы или смеси однородны;
 При слиянии двух растворов, имеющих объемы V 1 и V 2 и , получается смесь ,

объем которой равен V =V 1 +V 2 ;
При слиянии двух растворов масса смеси равняется сумме масс, составляющих ее
компонентов.
Объемной концентрацией компонента А называется отношение объема чистого
компонента (V A ) в растворе ко всему объему смеси(V O ):
V
,
(1)
V O  C A V O  CB V O  CC V O .
V
Объемным процентным содержанием компонента А называется величина

PA C A 100% , то есть концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
Аналогично определяются массовая концентрация и процентное содержание:
отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. Под процентным
содержанием вещества понимается часть, которую составляет вес этого вещества от веса
всего соединения.
Например: имеется сплав из 10кг олова и 15кг цинка. Вес сплава 10=15=25(кг).
Олово составляет 10\25=0,4 часть, а в процентах – 40%.Цинк 15\25=0,6 часть, а в
процентах - 60%.
Обратите внимание, что 0,4+0,6=1 или 40%+60%=100%
Для решения задач на смеси и сплавы удобно ввести в рассмотрение объем или
массу каждой смеси, а также концентрации составляющих их компонентов. С помощью
концентрации нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, как это
сделано в формуле (1), а затем указанным в условии задачи способом составить новую
смесь. При этом легко посчитать, какой объем (массу) этой смеси. После этого
определяются концентрации компонентов в новой смеси.
C =V =
A
A
O
A
V A V B V C
22
Концентрация-это число, показывающее сколько процентов от всей смеси
составляет растворимое вещество. Если масса m кг, масса растворимого вещества а кг,
p
a
 . Работу
концентрация р%, то между этими величинами существует зависимость:
100 m
с этой формулой можно оформить в виде таблицы:
Масса смеси m,
кг
Масса растворимого
вещества а, кг
1
=10%
10
10
1
5
2
4
0,5
m
c
Концентрация р, %
m
b
2
= 0, 4 = 40%
5
0,5
 0,125 =12,5%
4
m
m
b
=k
a
Например: если в сплаве весом 300г концентрация серебра составляет 87%,то в этом
сплаве 0,87*300=261(г) чистого серебра.
Иногда в задачах на сплавы необходимо, чтобы учащиеся знали понятие пробы.
Проба - это число, показывающее сколько граммов чистого драгоценного металла
содержится в одном кг сплава. Введенные понятия закрепляются при решении задач.
Задача 28. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75г и 864-й пробы 150 г.
Определите пробу сплава.
Ответ: 776-й пробы.
Практическая часть
Задача 29. К 10 кг 5% раствора соли добавили 5 л воды. Определите %
содержание соли в новом растворе.
Решение: определим, сколько соли в растворе.
5%=0,05
10*0,05=0,5(кг) соли.
Найдем массу нового раствора : 10+5=15(кг)
Р=0,5\15*100%=10\3%=3 1\3%
Ответ: 3 1\3%
Задача 30.Сколько г воды надо добавить к 100 г 30% -й соляной кислоты, чтобы
получить 10% -ю кислоту.
Решение: пусть нужно добавить х г воды.В 100 г 30% раствора 0,3*100=30(г) соли.
(100+х)г-масса нового раствора.
0,1*(100+х)=30
10+0,1х=30
0,1х=20
х=200
Ответ:200г
Задача 31.Смешали 40% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600 г
15%раствора
Сколько г каждого раствора было взято?
Решение: пусть х г взято 40% раствора, у=10% раствора.
х+у=600
0,4х+0,1у=0,15*600
-0,4х-0,4у=-240
0,4+0,1у=90
у=500, х=600-500=100.
Ответ: 100г 40% раствора, 500г 10% раствора.
23
Задача 32. Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй - 55%
азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 л
50% -го раствора азотной кислоты?
Оформим решение в виде таблицы. В условии указаны два раствора и их смесь.
Величины, входящие в задачу: объем раствора V p , концентрация к %, объем кислотыV k .
формула зависимости:
Раствор
1-й раствор
2-й раствор
смесь
V k V p
Объем раствора, л
х
100-х
100
k
Концентрация, %
30%=0,3
55%=0,55
50%=0,5
Объем кислоты, л
х·0,3
(100-х)·0,55
100·0,5
Поскольку объем кислоты смеси равен сумме объемов кислоты в растворах, то
можно составить уравнение 0,3х+0,55(100-х)=50, решив которое получим, что х=20.
Проверка:6+44=50. Ответ:20 л, 80 л.
Задача 33. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В
результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным на
30%. Найти первоначальную массу сплава.
Решение. Сплавов в задаче два: первоначальный сплав и второй сплав с
добавлением 15 кг цинка. Величины: масса сплава mc кг, масса меди mM кг, процент
содержания меди а %. Формула зависимости: m  m  a , mM
M
c
100
m
c

a .
100
Пусть х кг – масса первоначального сплава, тогда (х-5) кг – масса меди в нем, а
x5
 100% - процент ее содержания в сплаве. Далее, (х+15)кг – масса сплава после
x
х5
 100% прибавления 15 кг цинка. При этом масса меди осталась та же. Отсюда
х  15
процентное содержание меди в новом сплаве.
x5
x5
 100% больше
 100% на 30%. Составляем
Известно, что
x
x  15
x5
x5
 100 
 100 =30. после преобразований оно приводится к виду
уравнение:
x
x  15
2
x  35x  250  0 , откуда x1  25, x2  10.
Ответ:25 кг или 10 кг.
Задача 34. Смешали 30% раствора соляной кислоты с 10%-ым и получили 600 г
15% -го раствора. Сколько г каждого раствора было взято?
Решение. Пусть 30%-го взято х г, а 10% -го у г. Тогда х+у=600, аналогично, в у г
10% -го раствора содержится 0,1у г кислоты. В полученной смеси по условию задачи
содержится 600·0,15=90 г кислоты, откуда 0,3х+0,1у=90. Составим систему уравнений:
{х +у =600,
{0,3х+0,1у=90, решив систему, получим х=150, у=450.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 35. Имеется кусок сплава меди с оловом с общей массой 12 кг, содержащий
45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы
получившийся новый сплав содержал 40% меди.
Ответ:
1,5 кг
Задача 36. Имелось 2 сплава меди с разным процентным содержанием меди в
каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве на 40 меньше
числа, выражающее в процентах содержание меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава
24
сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Определить процентное
содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, что в первом сплаве меди
было 6 кг, а во втором 12 кг.
Ответ:
20% и 60%
Задача 37. Кусок сплава меди и цинка, массой 36 кг содержит 45% меди. Какую
массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60%
меди.
Ответ:13,5 кг
Задача 38. Имеется лом стали 2 сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько
нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием
30% никеля.
Ответ: 40т и 100 т.
Итоговый контроль знаний.
Проверочная работа (см. в приложениях).
4. Заключение.
В данной разработке рассмотрены всевозможные задачи на проценты с разным уровнем
сложности, которые позволяют учителю лучше подготовить учащихся к сдаче экзаменов
в форме ЕГЭ в выпускных классах, составлена тематическая разработка указанной темы в
5, 6 и 9 классах основной школы, составлены планы уроков, описаны приемы и
технологии обучения по данной теме, составлен материал для текущего и итогового
контроля, изготовлены наглядные и раздаточные материалы.
25
Литература:
Дорофеев Г. В., Седова Е.А. Процентные вычисления: Учебное- методическое пособие.
–М.: Дрофа, 2003.
Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990
Журналы «Математика в школе» №5-95, 8-02, 1-92
М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л. И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.М.: « Просвещение» 1994
С.С. Минаева. 20 тестов по математике для 5-6 классов. -М., «Экзамен» 2008
Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. Математика. Учебники для
5 и 6 класса. М., «Просвещение» 2008.
Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. Учебник для 5 и 6 классов. М., «Просвещение»
2007.
Г. В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Математика. Учебник для 5 класса. М., «Просвещение».
26
Приложения.
Тест на тему « Проценты»
Вариант 1
1 уровень
6. Нарисуйте квадрат со стороной 10 клеток. Заштрихуйте любые 20 клеток. Какой
процент квадрата заштрихован?
А. 5%
Б.2 %
В. 20%
Г.25%.
7. Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей
обыкновенной дробью:
25%
40%
65%
70%
7
1
1
2
13
10
4
5
5
20
8. На круговой диаграмме показано, какой транспорт предпочитают жители города.
Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент жителей города
предпочитает трамвай?
Ответ:
9. Сравните 30% всех учащихся школы и
10. А. 30% меньше
1
всех учащихся этой школы.
4
1
всех учащихся школы
4
1
всех учащихся школы
4
1
В. 30% равны всех учащихся школы
4
Г. Сравнить нельзя
5. Найдите 20% от 120 рублей.
А. 6р.
Б. 24р.
В. 60р.
6. Укажите верные утверждения:
I. 1 см составляет 1% от 1 м
II. 1 дм составляет 1% от 1 м
Б. 30% больше
III. 1м
2
IV. 1мм
А.I и II
составляет 1% от 1 км
2
Г. 100р.
2
составляет 1% от 1 см
Б. II и IV
В. II и III
2
Г. I и IV
27
7. Из 30 учащихся класса 24 занимаются в спортивных секциях. Какая часть класса
занимается спортом? Ответ выразите в процентах.
Ответ:
8. Ковер стоил 2400 р. После снижения цен он стал стоить 1800 р
На сколько процентов снижена цена этого ковра?
А. на 75%
Б. На 70%
В. На 33%
Г. На 25%
9. Что больше: 33% от 25 р. или 25% от 33р.?
А.33% от 25р. Б.25% от 33р. В.Сравнить нельзя. Г.Одинаковые
10. В библиотеке 500 учебников, что составляет 5% всех книг. Сколько книг в
библиотеке?
Ответ:
2 уровень
11. В киоск привезли 400 газет и 200 журналов. До обеда продали 20% всех газет и
80% всех журналов. Чего продано больше: газет или журналов? Во сколько раз?
Ответ:
12. В киоск привезли 400 газет. До обеда продали 30% всех газет, а после обеда – 45%.
На сколько больше продано газет после обеда?
А. 15
Б. 60
В. 120 Г. 180
13. Укажите ту часть массы, которая больше других.
А. 15% от 20 кг Б. 22% от15 кг В.15% от 24 кг Г. 26% от 15 кг
14. Цены на летние спортивные товары зимой снижены на 75%. Во сколько раз зимние
цены ниже по сравнению с летними?
А. В 3 раза
Б. В 4 раза
4
В. В 3 раза Г. В 5 раз
Вариант 2
1 уровень
1. Нарисуйте квадрат со стороной 10 клеток. Заштрихуйте любые 25 клеток. Какой
процент площади квадрата заштрихован?
А.40%
Б.4%
В.75%
Г.25%
2. Часть величины, заданную в процентах, соотнесите с соответствующей
обыкновенной дробью:
20%
50%
35%
90%
1
9
7
1
1
4
10
20
5
2
4. На круговой диаграмме показано, какой вид транспорта выбирают жители города
для поездки за город. Используя диаграмму, ответьте на вопрос: какой процент
жителей города предпочитают электричку?
28
электричка
автомобиль
автобус
Ответ:
1
5. Сравните 25% всех учащихся школы и всех учащихся этой школы.
4
1
1
А. 25% больше всех учащихся школы
Б. 25% меньше
всех учащихся школы
4
4
1
В. 25% равны всех учащихся школы
Г. Сравнить нельзя
4
5. Найдите 20% от 140 рублей.
А. 7р.
Б.14р.
В. 28р.
Г. 120р.
6. Укажите верные утверждения:
I. 1г составляет 1% от 1 кг.
II. 10 кг составляет 1% от 1 т.
III.1кг составляет 1% от 1 ц.
IV.1ц составляет 1% от 1 т.
А.I и II Б.II и IV
В.II и III
Г.III и IV
7. Из 36 учащихся класса 27 человек занимаются в спортивных секциях. Какая часть
класса занимается спортом? Ответ выразите в процентах.
Ответ:
8. Газонокосилка стоила 1500 р. После снижения цен она стала стоить 1200 р. На
сколько процентов снижена цена этой газонокосилки?
А. на 80%
Б. на 20%
В. на 75%
Г. на 25%
9. Что больше: 22% от 33 р. или 32% от 22 р.?
А.22% от 33 р. Б.32% от 22 р.
В.Сравнить нельзя. Г.Одинаковые
10. В библиотеке 550 учебников, что составляет 10% всех книг. Сколько книг в
библиотеке?
Ответ:
2 уровень
11. В киоск привезли 600 газет. До обеда продали 20% всех газет, а после обеда - 50%
всех газет. На сколько больше продано газет после обеда?
А. 120
Б. 300
В.30
Г.180
12. В киоск привезли 600 газет и 200 журналов. До обеда продали 15% всех газет и
90% всех журналов. Чего продано меньше: газет или журналов? Во сколько раз?
Ответ:
13. Укажите ту часть массы, которая меньше других.
А. 15% от 20 кг
Б. 22% от15 кг
В.15% от 24 кг
Г. 26% от 15 кг
14. Цены на летние спортивные товары зимой снижены на 80 %. Во сколько раз
зимние цены ниже по сравнению с летними?
29
Тренировочный тест№1 по теме «Проценты».
3
2. Запишите 1 % в виде десятичной дроби
8
а) 0,1375
б) 137,5
в)1,375
г)0,01375
2. Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 750 г сахара и 1250г
воды?
а) 40%
б) 37,5%
в) 60%
г) 62,5%
3. Мотоциклист ехал из города А в город В. Проехав 42% пути, он оказался в 20,3 км
от города В. Каково расстояние между А и В?
а) 483 км
б) другой ответ
в) 35 км
г)48,3 км
4. Из 200 квартир нового дома 65,5% -двухкомнатные, а остальные –трехкомнатные.
Сколько трехкомнатных квартир в этом доме?
а) 69
б) 131
в) 34
г) 19
5. Сумма двух чисел составляет 180% первого слагаемого. На сколько % первое
слагаемое больше второго?
1
а) на 25%
б) на 20%
в) на 33 % г) другой ответ
3
6. Найдите число, 12% которого равны 240
а)28,8
б) 2000
в) 320
г) другой ответ
7. Первое число 40, а второе 30. Какой % составляет первое число от разности этих
чисел?
1
а) 40%
б) 400%
в) 133 %
г) другой ответ
3
Проверочная работа.
Вариант 1.
1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому
составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6
лет?
Ответ: 2240 р.; 2508 р.80 к.; 3947 р.65 к.
2. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент
уменьшилась со 125 до 80 руб. на сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Ответ: 20%
3. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся
в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого
товара, если второй до повышения цены стоил 1,25 тыс.руб.?
Ответ: 1 тыс. руб.
4. К 15л 10%- ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8 %-ный
раствор. Сколько литров 5%-ного раствора добавили?
5. В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди. Каково процентное
содержание составных частей сплава?
30
Вариант 2
1. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 3000 р. на вклад, годовой доход по которому
составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6
лет?
Ответ: 3360 р.; 3763р. 20к.; 5921 р.48 к.
2. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент
уменьшилась со 250 до 160 руб. на сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Ответ: 20%
3. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся
в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого
товара, если второй до повышения цены стоил 3,75 тыс.руб.?
Ответ: 3 тыс. руб.
4. К 15л 10%- ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8 %-ный
раствор. Сколько литров 5%-ного раствора добавили?
5. В сплаве содержится 15 кг цинка, 8 кг олова и 27 кг меди. Каково процентное
содержание составных частей сплава?
Контрольный тест № 2
Вариант 1
Уровень 1
1. Выразите 3,5% десятичной дробью
А. 3,5 Б. 0,35
В. 0,035
Г.0,0035
2. Найдите 0,8% от 500 мг.
А. 40 мг
Б. 4мг
В. 0,4 мг
Г. 0,04 мг
3. Какое из утверждений неверное?
1
1
А. урожая больше 33% этого урожая Б. урожая составляет 25% этого урожая
3
4
1
1
В.
урожая больше 17% этого урожая Г.
урожая меньше 20% этого урожая
6
20
4. В конце года сотрудникам фирмы была выплачена премия в размере 150%
ежемесячной зарплаты. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого была 5000
р.?
Ответ:
5. Майский тираж нового ежемесячного журнала составил 300 экземпляров. В июне его
тираж увеличился на 20%, а в июле – еще на 110%. Каким стал тираж журнала в июле?
А. 756 экз. Б.450 экз.
В. 396 экз. Г. 360 экз.
6. В начале года в хоре занимались 16 ребят. К концу года их число увеличилось на
200%. Во сколько раз увеличилось число ребят, занимающихся в хоре?
А. В 2 раза Б. В 3 раза В. В 4 раза Г. Определить нельзя
7. При оформлении витрины магазина использовались 64 синих и 16 красных ламп.
Сколько % всех ламп составляют лампы красного цвета?
А.80%.
Б.75%.
В. 25%
Г.20%
8. Из 40 учащихся класса 30% занимаются в спортивных секциях, причем 25% из них – в
шахматной. Сколько учащихся в шахматной секции?
А. 12 уч.
Б. 10 уч.
В.7 уч.
Г. 3уч.
Уровень 2.
9. Определите , на сколько примерно процентов снижены цены при распродаже мебели?
Цена
Стол
Стул
кресло
Старая
1999р.
750р.
1500р.
Новая
1600р.
600р.
1189р.
А. На 20 %
Б. На 25 %
В. На 30 %
Г.Определить нельзя.
31
10. В начале года тариф на электроэнергию составлял 2 р. за 1 кВт/ч. В середине года
он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Какое утверждение верно?
А. Тариф увеличился на 100%
Б. Тариф увеличился меньше, чем на 100%.
В. Тариф увеличился больше, чем на 100%
11. Когда 60 пассажиров заняли в автобусе свои места, остались свободными 20% всех
мест. Сколько сидячих мест в автобусе?
А. 72
Б. 120.
В. 85
Г. 75
12. Летние каникулы 60% всех учащихся школы проводят в спортивных лагерях, 25%
оставшихся учащихся – на дачах, остальные – в городе. На какой из диаграмм правильно
показано распределение числа учащихся школы?
А
Б
В
Г
1
2
3
Спортивный лагерь
На даче
1
1
2
2
3
3
1
2
3
В городе
Вариант 2
Уровень 1
1. Выразите 0,8% десятичной дробью
А. 0,08
Б. 0,008
В. 8
Г. 80
2. Найдите 3,5% от 140 мг.
А. 40 мг
Б. 4мг
В. 49 мг
Г. 4,9 мг
3. Какое из утверждений неверное?
1
1
А.
урожая меньше 20% этого урожая. Б. урожая меньше 17% этого урожая
20
6
1
1
В. урожая больше 33% этого урожая. Г. урожая больше 25% этого урожая
3
4
4. В конце года сотрудникам фирмы была выплачена премия в размере 125% ежемесячной
зарплаты. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого была 8000 р.?
Ответ:
5. Январский тираж нового ежемесячного журнала составил 200 экземпляров. В феврале
его тираж увеличился на 50%, а в марте – еще на 120%. Каким стал тираж журнала в
марте?
А. 300 экз. Б.360 экз.
В. 600 экз. Г. 660 экз.
6. В четверг на экскурсию записались 18 ребят. В пятницу число записавшихся
увеличилось на 300%. Во сколько раз увеличилось число ребят, записавшихся на
экскурсию?
А. В 2 раза Б. В 3 раза В. В 4 раза. Г. Определить нельзя
7. При оформлении витрины магазина использовались 64 синих и 16 красных ламп.
Сколько % всех ламп составляют лампы синего цвета?
А. 80%.
Б. 75%.
В. 25%
Г. 20%
8. Из 40 учащихся класса 75% занимаются в спортивных секциях, причем 30% из них – в
шахматной. Сколько учащихся в шахматной секции?
А. 30 уч.
Б. 10 уч.
В.9 уч.
Г. 3 уч.
32
Уровень 2.
9. Определите, на сколько примерно процентов снижены цены при распродаже мебели.
Цена
Старая
Новая
шкаф
3999р.
3000р.
кровать
1200р.
899р.
стол
1000р.
750р.
На 20 %
Б. На 30 % В. На 25 % Г.Определить нельзя.
10. Летом рюкзак стоил 608 р. Осенью цены на рюкзаки снижены на 25%, а зимой еще на
25%. Какое утверждение верно?
А. Цена рюкзака снизилась на 50%
Б. Цена рюкзака снизилась меньше, чем на 50%
В. Цена рюкзака снизилась больше, чем на 50%
11. После повышения цен на 20% альбом стал стоить 96 р. Сколько стоил альбом до
повышения цен?
12. При озеленении территория парка 25% его площади отвели под посадку кленов, 50%
оставшейся площади – под посадку рябин, остальную – под газоны. На какой из диаграмм
правильно показано распределение посадок?
А
клены
Б
В
Г
1
1
1
2
2
2
3
3
3
рябины
1
2
3
газоны
33