РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С

Государственное учреждение высшего профессионального образования
«Белорусско-Российский университет»
Кафедра «Автоматизированные системы управления»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим работам по дисциплине "Экономико-математические методы и модели"
для специальности 1-25 01 04 «Финансы и кредит»
Составили: ст. преподаватель Дробышевская Е.Л., ассистент Галинская И.Г.
Методические указания содержат описание, порядок выполнения и представления
практических работ к защите. Предназначены для студентов 3 курса специальности «Финансы
и кредит»
1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО РОГРАММИРОВАНИЯ
2. ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
3.
ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. АНАЛИЗ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
4. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
5. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИГРОВЫХ МОДЕЛЕЙ В ПРИНЯТИИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ
8. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
10. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель работы:
1) Ознакомиться с моделью общей задачи линейного
программирования.
2) Научиться составлять экономико-математические модели
линейных задач.
3) Ознакомиться с технологией решения задач линейного
программирования с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЙ в среде EXCEL.
1.Общие сведения
В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных
вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация
выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому
соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции).
Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирования (ЗЛП).
1 Задача о размещении средств
Пусть собственные средства банка вместе с депозитами в сумме составляют 100 млн долл.
Часть этих средств, но не менее 35 млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты
являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в
наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.
Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент
продать, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому
существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной
пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность
кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять
не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.
Обозначим через Х1 средства (млн долл.), размещенные в кредитах, через Х2 - средства,
вложенные в ценные бумаги. Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную
прибыль от кредитов и ценных бумаг:
F(х) = С1 Х1+ С2 Х2, где С1| - доходность кредитов, Сг - доходность ценных бумаг.
Целевая функция - это выражение, которое необходимо максимизировать:
F(х) = 9 Х1+ 6 Х2,
Имеем следующую систему линейных ограничений:
1. Х1+ Х2 ≤ 100 - балансовое ограничение;
2. Х1 ≥ 35 - кредитное ограничение;
3. Х2 ≥ 0,3(Х1+ Х2) - ликвидное ограничение;
4. Х1 ≥ 0, Х2 ≥ 0.
2 Задача оптимального использования ресурсов
Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу,
деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, например, ресурсы
трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование - имеются в количестве соответственно 80
(чел./дней), 480 (кг) и 130 (станко/ч). Фабрика может выпускать ковры четырех видов.
Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного
ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров,
приведена в таблице.
Нормы расхода ресурсов
Наличие
на единицу изделия
Ресурсы
Труд
Сырьё
Оборудование
Цена (тыс.руб.)
ковер
ковер
ковер
ковер
«Лужайка» «Силуэт» «Детский» «Дымка
»
7
2
2
6
5
2
3
8
4
4
4
1
3
ресурсов
3
8
1
80
480
130
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет максимальной общая
стоимость продукции.
Обозначим через X1, Х2, Х3, X4 количество ковров каждого типа.
.Экономико-математическая модель задачи.
Целевая функция - это выражение, которое необходимо максимизировать:
F(х) = ЗХ1 + 4Х2 + ЗХ3 + X4.
Ограничения по ресурсам:
7Х1 + 2Х2 + 2Х3 + 6X4 ≤ 80,
5Х1 + 8Х2 + 4Х3 + 3X4 ≤ 480,
2Х1 + 4Х2 + Х3 + 8X4 ≤ 130,
Х1 , Х2 ,Х3 ,X4 ≥ 0,
3 Задача о размещении производственных заказов
Необходимо в планируемом периоде обеспечить производство 300 тыс. однородных новых
изделий, которые могут выпускаться на четырех филиалах предприятия. Для освоения этого
нового вида изделий нужны определенные капитальные вложения. Разработанные для каждого
филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризуются величинами
удельных капитальных вложений и себестоимостью единицы продукции в соответствии с
таблицей.
Показатель
1
Филиал предприятия
2
3
4
Себестоимость производства
изделия, руб.
83
89
95
98
Удельные капиталовложения, руб.
120
80
50
40
Себестоимость производства и удельные капиталовложения для каждого из филиалов
условно приняты постоянными, т.е. потребность в капитальных вложениях и общие издержки
будут изменяться пропорционально изменению объемов производства изделий.
Предположим, что на все филиалы предприятие для освоения 300 тыс. новых изделий
может выделить 18 млн руб. Необходимо найти такой вариант распределения объемов
производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная
стоимость изделий будет минимальной.
Модель задачи.
Введем следующие обозначения:
i - номер филиала (i = 1,..., п; п = 4);
Xi, - объем выпускаемой продукции на ;i-м филиале предприятия;
Т- суммарная потребность в изделиях (Т= 300 тыс. шт.);
К - выделяемые капиталовложения (К = 18 млн руб.);
Сi, - себестоимость производства продукции на (i-м филиале ) -предприятия;
ki- удельные капитальные вложения на единицу продукции на i-м филиале.
Экономико-математическая модель задачи в символах будет иметь вид:
n
F ( x)   C i X i  min;
i 1
n
X
i 1
 T;
i
n
k X
i 1
i
i
 K;
X i  0; i  1,..., n
С учетом имеющихся данных модель задачи примет вид:
F(х) = 8ЗХ1 + 89Х2 + 95Х3 + 98X4 →min
ограничения
Х1 + Х2 + Х3 + X4.≥300 (тыс. шт.),
120Х1 + 80Х2 + 50Х3 + 40X4.≤18 (млн руб.),
Х1 , Х2 ,Х3 ,X4 ≥ 0,
ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДА Ч ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОИСКА РЕШЕНИЙ
Поиск решения - это надстройка ЕХCEL, которая позволяет решать оптимизационные
задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить
эту надстройку. Выберите команду Сервис→ Надстройки и активизируйте надстройку Поиск
решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо
обратиться к панели управления Windows щелкнуть на пиктограмме Установка и удаление
программ и с помощью программы-установки ЕХSEL (или Оffice) установить надстройку
Поиск решения. Для решения задачи необходимо:
1. Создать форму для ввода условий задачи.
2. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).
3. Ввести исходные данные.
4. Ввести зависимость для целевой функции.
5. Ввести зависимости для ограничений.
6. Указать назначение целевой функции (установить целевую ячейку).
7. Ввести ограничения.
8. Ввести параметры для решения ЗЛП.
Рассмотрим на примере задачи 2 технологию решения Задачи оптимального использования
ресурсов.
1. Для задачи 2 подготовим форму для ввода условий (см. рис. 2.2.1).
2. В нашей задаче оптимальные значения вектора Х = (X1, Х2, Х3, Х4) будут помещены в
ячейках ВЗ:ЕЗ, оптимальное значение целевой функции - в ячейке F4.
3. Введем исходные данные в созданную форму. Получим результат, показанный на рис. 1
Рис. 1
Рис. 2 Данные введены.
4. Введем зависимость для целевой функции:
• Курсор в F4.
• Курсор на кнопку Мастер функций.
• М1. На экране диалоговое окно Мастер функций шаг 1 из 2.
• Курсор в окно Категория на категорию Математические.
• М1.
• Курсор в окно Функции на СУММПРОИЗВ.
• М1.
• В массив 1 ввести В$3:Е$3.
• В массив 2 ввести В6:Е6.
• Готово. На экране: в F4 введена функция, как показано на рис. 3.
5. Введем зависимость для левых частей ограничений:
Курсор в F4.
• Копировать в буфер.
• Курсор в F7.
• Вставить из буфера.
• Курсор в F8.
• Вставить из буфера.
• Курсор в F9.
• Вставить из буфера.
На этом ввод зависимостей закончен.
Рис. 3. Вводится функция для вычисления целевой функции.
Запуск Поиска решения
После выбора команд Сервис =>Поиск решения появится диалоговоеокно Поиск решения.
В диалоговом окне Поиск решения есть три основных параметра:
• Установить целевую ячейку
• Изменяя ячейки
• Ограничения
Сначала нужно заполнить поле «Установить целевую ячейку». Во всех задачах для средства
Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка
связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения
использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных
решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки
или же установить конкретное значение.
Второй важный параметр средства Поиск решения - это параметр Изменяя ячейки.
Изменяемые ячейки - это те ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы
оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200
изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования: они не
должны содержать формул, и изменение их значений должно отражаться на изменении
результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек.
Третий параметр, который нужно вводить для Поиска решения -это Ограничения.
6. Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).
• Курсор в поле «Установить целевую ячейку».
• Ввести адрес $F$4.
• Ввести направление целевой функции: Максимальному значению. Ввести адреса
искомых переменных:
• Курсор в поле «Изменяя ячейки».
• Ввести адреса В$3:Е$3.
7. Ввод ограничений.
• Курсор в поле «Добавить». Появится диалоговое окно Добавление ограничения (рис.4)
• В поле «Ссылка на ячейку» ввести адрес $F$7.
• Ввести знак ограничения ≤.
• Курсор в правое окно.
• Ввести адрес $Н$7.
• Добавить. На экране опять диалоговое окно Добавление ограничения.
• Ввести остальные ограничения.
• После ввода последнего ограничения ввести ОК. На экране появится диалоговое окно
Поиск решения с введенными условиями (рис. 5).
8. Ввод параметров для решения ЗЛП (рис. 6).
• Открыть окно Параметры поиска решения.
• Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода.
• Установить флажок Неотрицательные значения.
Рис. 4. Ввод правых и левых частей ограничений.
Рис. 5. Введены все условия для решения задачи.
• ОК. (На экране диалоговое окно Поиска решения).
• Выполнить. (На экране диалоговое окно Результаты поиска решения - рис. 7)
Рис 6 Ввод параметров
Рис 7 Решение найдено
Полученное решение означает, что максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может
получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы
труд и оборудование будут использованы полностью, а из 480 кг пряжи (ресурс сырье) будет
использовано 280 кг.
Создание отчета по результатам поиска решения
ЕХСЕL позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета. Существует три
типа таких отчетов:
Результаты (Answer). В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и
влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.
Устойчивость (Sensitivity). Отчет, содержащий сведения о чувствительности решения к
малым изменениям в изменяемых ячейках или в формулах ограничений.
Пределы (Limits). Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек в
отчет включаются верхние и нижние границы значений, которые могут принимать влияющие
ячейки при соблюдении ограничений.
В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных Х1, Х2, Х3, Х4,
которые соответственно равны 0, 30, 10, 0, значение целевой функции - 150, а также левые
части ограничений.
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Составить экономико-математические модели задач (по указанию преподавателя)
2.3.Решить задачи, используя надстройку Excel Поиск решений.
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3.Экономико-математические модели задач.
3.4. Результаты решения задач с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЙ в среде EXCEL.
3.5.Выводы по работе.
Список задач
1
На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 20
тыс. ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 72 м 2.
Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машины типа А
стоимостью 5 тыс. ден. ед., требующие производственные площади 6 м2 (с учетом проходов) и
дающие 8 тыс. ед. продукции за смену, и менее мощные машины типа Б стоимостью 2 тыс. ден.
ед., занимающие площадь 12 м2 и дающие за смену 6 тыс. ед. продукции. Машин типа А можно
заказать не более 3 ед. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования,
обеспечивающий максимум общей производительности нового участка. Ответ: (2;5)
2
Три типа самолетов следует распределить между двумя авиалиниями. В таблице заданы
количество самолетов каждого типа, месячный объём перевозок каждым самолетом на каждой
авиалинии и соответствующие эксплутационные расходы. Требуется распределить самолёты по
авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по
каждой из них соответственно не менее 300 и 200 ед. груза.
Тип
самолета
1
2
3
Число
самолетов
50
20
30
Месячный объём
перевозок
одним самолетом
по авиалиниям
Эксплуатационные расходы
на один самолёт
по авиалиниям
I
II
I
II
15
30
25
10
25
50
15
70
40
20
28
70
Ответ: (2510)
3
Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л. алкилата,
250 тыс. л. крекинг-бензина, 450 тыс. л. бензина прямой перегонки и 200 тыс. л. изопентона. В
результате смешения этих четырех компонентов в отношении 2:3:5:2 образуется бензин А
стоимостью 120 ден. ед. за 1 тыс. л.; в отношении 3:1:2:1 - бензин Б стоимостью 100 ден. ед. за
1 тыс. л.; в отношении 2:2:1:3 - бензин В стоимостью 150 ден. ед. за 1 тыс. л. Составить план,
при котором стоимость всей выпущенной продукции будет максимальной. Ответ:
(600;700;0;0;0;0;0)
4
Фирма производит и продает столы и шкафы из древесины хвойных и лиственных
пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в таблице.
Расход древесины, м3
хвойные
лиственные
0,15
0,2
0,3
0,1
Стол
Шкаф
Запасы древесины
80
Цена изделия,
тыс. руб.
0,8
1,5
40
Определить оптимальное количество столов и шкафов, которое следует поставлять на
продажу для получения максимального дохода фирмы.
5
2. Брокеру биржи клиент поручил разместить 100000 долл. США на фондовом рынке,
сформировать портфель с ценными бумагами, чтобы получить максимальные годовые
проценты с вложенного капитала. Выбор ограничен четырьмя возможными объектами
инвестиций-акций А, В, С, Д, которые позволяют получить доход в размерах соответственно
6%, 8%, 10% и 9% годовых от вложенной суммы. При этом клиент поручил не менее половины
инвестиций вложить в акции А и В. С целью обеспечения ликвидности не менее 25% общей
суммы капитала нужно поместить в акции Д. Учитывая прогноз на изменение ситуации в
будущем, в акции С можно вложить не более 20% капитала. Специфика налогообложения
указывает на необходимость вложения в акции А не менее 30% капитала.
Определите распределение инвестиций капитала, обеспечивающего максимальный
годовой процентный доход.
6
1 Для изготовления обуви четырёх моделей на фабрике используются два сорта кожи.
Ресурсы рабочей силы и материала, затраты труда и материала для изготовления каждой пары
обуви, а также прибыль от реализации единицы продукции приведены в табл. Составить план
выпуска обуви по ассортименту, максимизирующий прибыль.
Ресурсы
Рабочее время, чел.-ч.
Кожа 1-го сорта
Кожа 2-го сорта
Прибыль, ден. ед.
Запас
ресурса
1000
500
1200
Затраты ресурсов на одну
пару обуви по моделям
№1
№2
№3
№4
1
2
0
2
1
1
2
0
4
1
0
1
2
40
10
15
7
Торговое предприятие реализует товары Т1, Т2 и Т3, используя при этом площади
торговых залов и время обслуживающего персонала. Затраты указанных ресурсов на продажу
одной партии товара каждого вида, их объемы и прибыль, получаемая от реализации каждой
партии товара, приведены в таблице. Найти оптимальную структуру товарооборота,
обеспечивающую предприятию максимальную прибыль.
Ресурсы
Время, чел.-ч
Площадь, м2
Запас
ресурса
370
90
Затраты ресурсов по товарам
Т1
Т2
Т3
0,5
0,7
0,6
0,1
0,3
0,2
Прибыль, ден. ед.
5
8
6
8
Сельскохозяйственное предприятие может приобрести тракторы марок М1 и М2 для
выполнения работ Р1, Р2 и Р3. Производительность тракторов при выполнении указанных
работ, общий объём работ и стоимость каждого трактора приведены в таблице. Найти
оптимальный вариант приобретения тракторов, обеспечивающий выполнение всего комплекса
работ при минимальных денежных затратах на технику.
Вид работ
Объём работ, га
Р1
60
Р2
40
Р3
30
Стоимость трактора, ден. ед.
Производительность
трактора марки
М1
М2
4
3
8
1
1
3
7
2
9
Имеющийся фонд материалов Мi нужно распределить между изготовителями
продукции Пj так, чтобы получить максимальную прибыль от реализации всей продукции,
произведенной из имеющихся материалов. Нормы расхода на единицу продукции, запас
материалов и прибыль, получаемая от реализации единицы готовой продукции, приведены в
таблице.
Материал
М1
М2
М3
Фонд
материалов
50000
28000
40000
Прибыль
Продукция
П1
0,7
1,4
0,5
5
П2
0,9
0,3
2,1
7
П3
1,5
0,7
1,8
6
П4
2,3
2,5
0,7
9
П5
1,8
2,0
2,0
8
10
Из листов стального проката размером 6 x 13 м необходимо выкроить 800 заготовок А
размером 4 x 5 м и 400 заготовок Б размером 2 x 3 м. Раскрой можно производить четырьмя
способами. В таблице указано количество заготовок каждого типа, получаемых при раскрое
одного листа различными способами. Составить такой план раскроя, чтобы расход материала
был минимальным.
Заготовка
Количество заготовок при способе раскроя
I
II
III
IV
А
Б
3
1
2
6
1
9
0
13
11
Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка «Колокольчик» и
«Буратино». Для производства 1л «Колокольчика» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для
«Буратино» - 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1
л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч
работы оборудования. Доход от продажи 1 л «Колокольчика» составляет 0,25 руб., а
«Буратино» - 0,35 руб. Определить ежедневный план производства напитков каждого вида,
обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
12
Имеются два проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их
запас и полезная площадь дома каждого проекта приведены в табл. 3.44. Определить, сколько
домов первого и второго проекта следует построить, чтобы полезная площадь была
наибольшей.
Стройматериалы
Расход стройматериалов (м3)
на один дом
I проекта
Кирпич силикатный
Кирпич красный
Пиломатериалы
Полезная площадь, м2
7
б
1
60
II проекта
проекта
3
3
2
50
Запас
стройматериалов, м3
1365
1245
650
ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
Цель работы:
1) Ознакомиться с теорией векторной оптимизации.
2) Научиться решать задачи различными методами.
1.Общие сведения
Основные методы:
методы, основанные на свертывании критериев в единый;
методы, использующие ограничения на критерии;
методы целевого программирования;
методы, основанные на отыскании компромиссного решения;
методы, в основе которых лежат человеко-машинные процедуры принятия решений
(интерактивное программирование).
В методах, основанных на свертывании критериев, из локальных критериев формируется
один. Наиболее распространенным является метод линейной комбинации частных критериев.
Пусть задан вектор весовых коэффициентов критериев а = {a l ,...,a k }, характеризующих
важность соответствующего критерия,
K
a
k 1
k
 1, a k  0 (k  1, K ). Линейная скаляризованная
функция представляет собой сумму частных критериев, умноженных на весовые коэффициенты.
Задача математического программирования становится однокритериальной и имеет вид
K
F O   ak f k ( X ) (max),
k 1
qi ( X )  bi (i  1, M ),
X 0
Критерии в свертке могут быть нормированы. Решение, полученное в результате
оптимизации скаляризованного критерия эффективно.
К недостаткам метода можно отнести то, что малым приращениям коэффициентов
соответствуют большие приращения функции, т. е. решение задачи неустойчиво, а также
необходимость определения весовых коэффициентов.
Направление методов, использующих ограничения на критерии включает два подхода:
1) метод ведущего критерия;
2) методы последовательного применения критериев (метод последовательных уступок, метод
ограничений).
В методе ведущего критерия все целевые функции кроме одной переводятся в разряд
ограничений. Пусть   ( 2 ,  3 ,,  k 1 ) - вектор, компоненты которого представляют собой
нижние границы соответствующих критериев. Задача будет иметь вид
F  f 1 (max),
f k   k (k  2, K ),
q i ( X )  bi (i  1, M ),
X  0.
Полученное этим методом решение может не быть эффективным, поэтому необходимо
проверить его принадлежность области компромиссов.
Метод ведущего критерия применяется в таких задачах, как минимизация полных затрат
при условии выполнения плана по производству различных видов продукции, максимизация
выпуска комплектных наборов при ограничении на потребляемые ресурсы.
Алгоритм метода последовательных уступок:
1. Критерии нумеруются в порядке убывания важности.
2. Определяется значение f1 . Лицом, принимающим решение, устанавливается
величина уступки 1 по этому критерию.
3. Решается задача по критерию f 2 с дополнительным ограничением f1 ( X )  f1  1
Далее пункты 2 и 3 повторяются для критерия f 2 , ... , f K . Полученное решение не всегда
принадлежит области компромиссов.
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Решить задачи разными методами (по указанию преподавателя)
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3.Ход решения, результаты.
3.4.Выводы по работе.
Список задач
1. Решить задачу
F(X) = {f1 = x1 + 3x2, f2 = 40x1 + 10х2} (max),
2x1+x2≤90,
x1+x2≤60,
x2≤50,
x1,x2≥0.
методом последовательных уступок, если уступка по первому критерию составляет 10% от
его оптимального значения.
2.
Найти
компромиссное
решение
задачи,
считая
второй
критерий
наиболее
предпочтительным. Его отклонение от минимального значения 20%:
f1=2x1+4x2 (max)
f2= x1 + x2 (min)
4x1+4x2≤20;
12x1+3x2≥24;
x1
≤3;
x2≤3
x1,x2≥0.
3. Решить задачи методом равных и наименьших отклонений:
f1  4 x1  2 x 2
а) f 2  x1  2 x 2
(max);
(max);
2 x1  x 2  8;
 x  2 x  4;
 1
2

 x1  x 2  2;
 x1  0; x 2  0.
f1  2 x1  3 x 2
(max);
б) f 2  x1  2 x 2  x3
(min);
 1;
 x1  x 2
 x  2 x  x  8;
2
3
 1
 x  3 x
 3;
2
 1
 x j  0 ( j  1 , 3 ).

f1  2 x1  4 x 2
(max);
f 2  2 x1  3 x 2  x3
f 3  x1  x 2  x3
(max);
(min);
 5;
в)  x1  x 2
2 x  x  x  17;
2
3
 1

x
 4;
2

 x j  0 ( j  1 , 3 ).

4 Предприятие планирует к производству два вида продукции. Для производства продукции
используются оборудование, материалы и финансовые средства. Данные о расходе ресурсов и
их наличии на планируемый период представлены в табл.
Ресурсы
Расход ресурсов
на единицу продукции
I
II
Наличие
ресурсов
Оборудование
7
12
84
Материалы
11
7
77
Финансы
8
8
64
Предприятие должно изготовить не менее 1 единицы продукции первого вида и 2 единицы
продукции второго вида. Требуется найти компромиссное решение методом равных и
наименьших относительных отклонений по трем критерия: прибыли, затратам трудовых
ресурсов и стоимости. Численные значения этих показателей для первого и второго видов
продукции следующие; прибыль –(1,5;2,8), трудовые затраты – (4;4), стоимость – (8;3).)
5 Для производства трех видов продукции предприятие использует три вида ресурсов.
Данные о расходе ресурсов и их наличии на планируемый период представлены в таблице.
Единица продукции каждого вида характеризуется следующими показателями,
представленными векторами: прибылью Р(22;12;14), оптовой ценой С (24;16;30) и
трудоемкостью T(20;10;15). Третьего вида продукции должно быть произведено не менее 30
единиц.
Ресурсы
Расход ресурсов
на единицу продукции
II
Наличие
ресурсов
I
II
Ресурс 1
2
4
4
400
Ресурс 2
3
2
2
300
Ресурс 3
4
5
3
500
I
Требуется найти решение задачи по векторному критерию:
5.1 Методом последовательных уступок при следующей важности критериев: прибыль,
оптовая цена, трудоёмкость. Уступка по прибыли 580 и оптовой цене 1090. Объёмы
производства должны быть выражены в целых числах.
5.2 Методом ведущего критерия, приняв в качестве самого важного – прибыль. Нижняя
граница оптовой цены составляет 2400, а трудоемкость не должна превышать 1600.
Двойственность в задачах линейного программи рования.
Анализ решения задач линейного программирования
Цель работы:
1) Ознакомиться с теорией двойственности в задачах линейного
программирования.
2) Изучить анализ полученного оптимального решения исходной
задачи с помощью двойственных оценок.
1.Общие сведения
Двойственность в задачах линейного программирования
С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача,
называемая двойственной; первоначальная задача называется исходной, или прямой.
Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение
одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.
Хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования
позволяет не только получать с помощью эффективных вычислительных процедур
оптимальный план, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на
свойствах задачи, двойственной к исходной ЗЛП. Переменные двойственной задачи уi называют
объективно обусловленными оценками, или двойственными оценками, или «ценами» ресурсов,
или теневыми ценами.
Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей
линейного программирования и может быть решена независимо от другой.
Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим
правилам:
1. Целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целевая функция
двойственной задачи - на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в
функциональных ограничениях имеют вид ≤, в задаче на минимум - вид ≥.
2. Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений
исходной задачи, и аналогичная матрица АТ в двойственной задаче получаются друг из друга
транспонированием.
3. Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений
исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи - числу переменных в
исходной задаче.
4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи
являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в
ограничениях двойственной задачи -коэффициенты при неизвестных в целевой функции
исходной задачи.
5. Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер
переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде
неравенства ≤, соответствует переменная, связанная с условием неотрицательности. Если
функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая
переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные
значения.
Модель исходной (прямой) задачи в общем виде может быть записана следующим
образом:
n
f x    C j X j  max
j 1
n
a
j 1
ij
X j  bi ,
X j  0.
Модель двойственной задачи имеет вид:
m
g  y    bi Yi  min
i 1
m
a Y
i 1
ij i
 Cj,
Yi  0.
Рассмотрим экономическую интерпретацию двойственной задачи на примере задачи
оптимального использования ресурсов.
Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи к следующей
задаче
Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую
силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, например,
ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование - имеются в количестве
соответственно 80 (чел./дней), 480 (кг) и 130 (станко/ч). Фабрика может выпускать ковры
четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для
производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы
каждого вида товаров, приведена в таблице.
Нормы расхода ресурсов
Наличие
на единицу изделия
Ресурсы
ковер
«Лужайка»
ковер
«Силуэт»
ковер
ковер
«Детский» «Дымка»
ресурсов
Труд
7
2
2
6
80
Сырьё
5
8
4
3
480
Оборудование
2
4
1
8
130
Цена (тыс.руб.)
3
4
3
1
Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором будет максимальной общая
стоимость продукции.
Количество неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных
ограничений в исходной задаче. В исходной задаче три ограничения: по труду, по сырью и по
оборудованию. Следовательно, в двойственной задаче - три неизвестных:
Y1 - двойственная оценка ресурса труд, или «цена» труда;
Y2 - двойственная оценка ресурса сырье, или «цена» сырья;
Y3 - двойственная оценка ресурса оборудование, или «цена» оборудования.
Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами
при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе
ограничений исходной задачи.
g ( y)  80  Y1  480  Y2  130  Y3  min
Необходимо найти такие «цены» на ресурсы (Yi), чтобы общая стоимость
используемых ресурсов была минимальной.
Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу
переменных в исходной задаче. В исходной задаче четыре переменных, следовательно, в
двойственной задаче четыре ограничения. Правыми частями в ограничениях двойственной
задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая
часть ограничения определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы
продукции. Каждое ограничение соответствует определенному виду продукции.
7Y1  5Y2  2Y3  3,
2Y1  8Y2  4Y3  4
2Y1  4Y2  1Y3  3
6Y1  3Y2  8Y3  1
Y1 , Y2 , Y3  0.
Решение двойственной задачи можно найти в отчете Поиска решений - отчете по
устойчивости. Теневые цены ресурсов труд, сырье и оборудование соответственно равны 4/3, 0,
1/3 или в десятичных дробях: 1,3333; 0; 0,3333.
Проведем анализ полученного оптимального решения исходной задачи с помощью
двойственных оценок.
1. Анализ использования ресурсов в оптимальном плане выполняется с помощью
соотношений 2-й теоремы двойственности:
если Yi  0, то
n
a
j 1
ij
X j  bi , i  1,..., m;
n
если  aij Xj  bi , то Yi  0, i  1,..., m
j 1
Ресурсы труд и оборудование имеют отличные от нуля оценки 4/3 и 1/3 - эти ресурсы
полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными, сдерживающими рост
целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:
7 X 1  2 X 2  2 X 3  6 X 4  80,
2 X 1  4 X 2  X 3  8 X 4  130,
7  0  2  30  2  10  6  0  80  80
2  0  4  30  1  10  8  0  130  130.
Ресурс «сырье» используется не полностью (280 < 480), поэтому имеет нулевую
двойственную оценку (Y2 = 0).
5 X 1  8 X 2  4 X 3  3 X 4  480,
5  0  8  30  4  10  3  0  280  480.
Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.
Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 30 ковров второго вида и 10
ковров третьего вида составит 150 тыс. руб.

g y  80  Y1  480  Y2  130  Y3  80  4 / 3  480  0  130  1 / 3  150 тыс. руб.
Экономическое истолкование оценок есть интерпретация их общих экономикоматематических свойств, применительно к конкретному содержанию задачи. Не
использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая
оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Ресурс недефицитен не из-за его
неограниченных запасов (они ограничены величиной bi), а из-за невозможности его полного
использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса
меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не
препятствует и дальше максимизировать целевую функцию f X .
 
Заметим, что ценность видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными
ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере,
имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только
относительно полученного оптимального решения.
Анализ эффективности отдельных вариантов плана
Если изделие вошло в оптимальный план (Xj, > 0), то в двойственных оценках оно не
убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его
цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности.
В нашей задаче это ковры второго и третьего видов.
Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его
цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в
план выпуска не вошли ковры первого и четвертого видов, потому что затраты по ним
превышают цену на 7(10 - 3) тыс. руб. и 9.666(10.666 - 1) тыс. руб. соответственно. Это можно
подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y.
7  4 / 3  5  0  2  1 / 3  30 / 3  10  3,
2  4 / 3  8  0  4  1 / 3  12 / 3  4  4,
2  4 / 3  4  0  1  1 / 3  9 / 3  3  3,
6  4 / 3  3  0  8  1 / 3  32 / 3  10.666  1.
Разницу между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи можно
найти в Отчете по устойчивости в столбце «Нормируемая стоимость».
Анализ влияния изменения правых частей ограничений на значения целевой функции
(чувствительность решения к изменению запасов сырья)
Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 ед. т.е. теперь он
составляет 80+12=92 ед. Известно, что колебание величины bi, приводит к увеличению или
уменьшению f(X). Оно определяется величиной уi в случае, когда при изменении величин bi
значения переменных уi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются
неизменными. В нашей задаче увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению
значения целевой функции на 16 тыс. руб. (f ( x)  b1  y1  12  4 / 3  16). Для двойственных
оценок оптимального плана весьма существенное значение имеет их предельный характер.
Точной мерой влияния ограничений на функционал оценки являются лишь при малом
приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется
набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивности этих векторов
(значения неизвестных) в плане могут меняться.
Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каждого из свободных членов
системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в
которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Эту информацию можно
получить из Отчета по устойчивости. В нашей задаче в нижеприведенном фрагменте отчета
видно, что запасы дефицитных ресурсов «труд» и «оборудование» могут быть как уменьшены,
так и увеличены, увеличение запаса ресурса «сырье» не повлияет на план выпуска продукции.
Ограничение
правая часть
80
480
130
Допустимое
увеличение
150
1Е+30
30
Допустимое
уменьшение
15
200
90
После увеличения запаса ресурса «труд» до 92 чел./ч было получено новое решение
задачи. Изменение запасов ресурсов в пределах интервалов устойчивости двойственных оценок
привело не только к изменению значения целевой функции на 16 тыс. руб., но и к изменению
плана выпуска. При этом структура плана не изменилась - изделия, которые были убыточны, не
вошли и в новый план выпуска, так как цены на ресурсы не изменились. Новый план выпуска
составляет 28 ковров второго вида и 18 ковров третьего вида. Изменение общей стоимости
продукции на 16 тыс. руб. (24 - 8 = 16) получено за счет уменьшения на 2 ед. ковров второго
вида по цене 4 тыс. руб.
(4 тыс. руб. х (28 - 30) = -8 тыс. руб.) и увеличения на 8 ед. ковров третьего вида по цене
3 тыс. руб. (3 тыс. руб. х (18-10) = 24 тыс. руб.).
Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции исходной задачи.
В первой части Отчета по устойчивости содержится информация о допустимом
увеличении и уменьшении коэффициентов целевой функции, при которых не меняется
оптимальный план исходной задачи.
Целевой
коэффициент
3
4
3
1
Допустимое
увеличение
7
8
1
9.6667
Допустимое
Уменьшение
1Е+30
1
1.75
1Е+30
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Составить экономико-математические модели исходной и двойственной задач
(задание по указанию преподавателя).
2.3.Решить исходную и двойственную задачи, используя надстройку Excel Поиск
решений. Представить результаты поиска решений исходной задачи в форме отчетов.
2.4. Провести анализ полученного оптимального решения исходной задачи
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3.Экономико-математические модели исходной и двойственной задач.
3.4. Результаты решения задач с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЙ в среде EXCEL.
3.5.Результаты анализа полученного оптимального решения исходной задачи с помощью
двойственных оценок.
3.6.Выводы по работе.
Список задач
Исходя из общего правила, составить задачи, двойственные к задачам 1-3:
f  2 x1  10 x 2  2 x3 (max);
1.
x1  2 x 2  x3  1;


2 x1  2 x 2  2 x3  3;
x j  0 ( j  1,3).
f  3 x1  4 x 2  2 x3 (min);
2 x1  x 2  x3  7; 

2. 3 x1  2 x 2  3 x3  9;
x1  2 x 2  x3  5; 
x j  0 ( j  1,3).
f  x1  x 2  2 x3
(max);
3 x1  4 x 2  x3  4;

3. x1  x 2  2 x3  6; 
2 x1
 x3  5; 
x j  0 ( j  1,3).
4. Для изготовления четырёх видов продукции (А, Б, В и Г) используются три вида ресурсов
(I, II, III). Наличие ресурсов, нормы их расхода на единицу продукции и получаемая прибыль
от единицы продукции заданы в таблице. Необходимо: а) найти оптимальные решения прямой
и двойственной задач; б) определить изменение максимальной прибыли при изменении
ресурсов: I вида – на -10 ед., II – на +60, III – на +30 ед., оценить раздельное и суммарное
влияние этих изменений на величину максимальной прибыли; в) оценить целесообразность
введения в план пятого вида продукции Д, нормы затрат ресурсов на единицу которого равны
соответственно 2, 4, 2, а прибыль – 15; г) оценить целесообразность закупки 100 ед. ресурса III
вида по цене с3=0,5.
Вид
Норма расхода на единицу продукции
ресурса
Запас
ресурса
А
Б
В
Г
I
240
2
1
1
3
II
60
1
0
2
1
III
300
1
2
1
0
4
2
3
5
Прибыль
Решение транспортной задачи линейного программирования
Цель работы:
1) Познакомиться с моделью транспортной задачи линейного
программирования.
2) Научиться составлять экономико-математические модели
транспортных задач и решать задачи с помощью ПОИСКА
РЕШЕНИЙ с среде EXSEL.
Объем работы 2 часа
1.Общие сведения
Сущность транспортной задачи линейного программирования состоит в
наивыгоднейшем прикреплении поставщиков однородного продукта ко многим потребителям
этого продукта. На практике постоянно возникает необходимость решения таких задач,
особенно когда количество пунктов отправления и получения грузов увеличивается.
Условие транспортной задачи обычно записывается в виде матрицы, в которой
потребители однородного груза размещаются по столбцам, а поставщики - по строкам. В
последнем столбце матрицы проставляют запас груза, имеющийся у каждого поставщика, а в
последней строке - потребность в нем потребителей. На пересечении строк со столбцами (в
клетках матрицы) записывают размер поставки, а также расстояние пробега по всем
возможным маршрутам время доставки груза или затраты на перевозку единицы груза по этим
маршрутам.
Математически транспортная задача по критерию стоимости формируется следующим
образом. Имеется п потребителей и т поставщиков однородного груза. Мощность i-гo
поставщика (i = 1,m) обозначим аi, спрос j-го потребителя (j = 1,п) bj. Затраты на перевозку
одной тонны груза от i-гo поставщика до j-го потребителя обозначим сij. Размер поставки
продукции поставщиком i потребителю j обозначим хij ; общую сумму затрат на перевозку
груза обозначим через F.
Запишем математическую модель задачи:
1) объем поставок i-гo поставщика должен равняться количеству имеющегося у него
груза:
n
x
j 1
ij
 ai i  1, m;
2) объем поставок j-му потребителю должен быть равен его спросу:
m
x
i 1
ij
 b j  j  1, n ;
3) запас груза у поставщиков должен равняться суммарному спросу потребителей:
m
n
i 1
j 1
 a i  b j ;
4) размер поставок должен выражаться неотрицательным числом:
xij  0
5) общая сумма затрат на перевозку груза должна быть минимальной:
m
n
F   cij xij  min
i 1 j 1
Поставленная в задаче цель может быть достигнута различными методами, например,
распределительным методом или методом потенциалов.
Модель транспортной задачи линейного программирования может использоваться для
планирования ряда операций, не связанных с перевозкой грузов. Так, с ее помощью решаются
задачи по оптимизации размещения производства, топливно-энергетического баланса, планов
загрузки оборудования распределения сельскохозяйственных культур по участкам различного
плодородия
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Составить экономико-математические модели задач (по указанию преподавателя)
2.3.Решить задачи, используя надстройку Exsel Поиск решений.
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3.Экономико-математические модели задач.
3.4. Результаты решения задач с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЙ в среде EXSEL.
3.5.Выводы по работе.
Список задач
1
На три базы А1, А2, А3 поступил однородный груз в количествах, соответственно
равных 6, 8, 10 ед. Этот груз требуется перевезти в четыре магазина В1, В2, В3 и В4
соответственно в количествах 4, 6, 8, 8 ед. Стоимость доставки единицы груза из каждого
пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана таблицей тарифов (тыс. руб.
за ед. груза):
В1 В2 В3 В4
1
2
4
3
А1
А2
А3
4
2
3
7
8
6
5
3
Надо составить план перевозок однородного груза с минимальными транспортными
издержками. Ответ:(78)
2
Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице,
при дополнительных условиях: из А1 а В1 должно быть перевезено не менее 50 ед. груза, из А3
в В5 – не менее 60 ед., а из А2 в В4 – не более 40 ед. груза.
Таблица
Пункты
отправления
А1
А2
А3
В1
5
7
8
Потребности
90
Пункты назначения
В2 В3 В4
3
2
4
6
5
3
9
4
5
60
80
70
В5
8
1
2
90
Запасы
160
90
140
390
Ответ: (1350)
3
Пять автопарков (АП) города с ежемесячной потребностью в бензине соответственно в
40, 30, 80, 60 и 50 т снабжаются четырьмя бензохранилищами (БХ) вместимостью 55, 70, 35 и
100 т соответственно. Доставка горючего из бензохранилищ осуществляется автотранспортом.
Средние транспортные издержки в расчете на 1т приведены в таблице. Требуется составить
план перевозки горючего, обеспечивающий минимальные суммарные транспортные затраты
при следующих условиях: из бензохранилища БХ2 весь запас бензина поставляется в автопарк
АП3; потребность автопарка АП1 удовлетворяется полностью; в бензохранилище БХ3 остаётся
резервный запас в 20 т бензина для чрезвычайных нужд.
Бензохранилища
БХ1
БХ2
БХ3
БХ4
Автопарк
АП1
6
10
12
10
АП2
5
11
8
7
АП3
9
8
7
12
АП4
7
3
9
3
АП5
4
2
6
5
(Ответ: 1350)
4
Заводы З1, З2 и З3 выпускают однородную продукцию в количествах 40, 20 и 50 ед.
себестоимостью 1, 3 и 7 ден. ед. соответственно. Продукция поставляется в пункты А, Б и В в
количествах соответственно 30, 25 и 45 ед. с тарифами, приведенными в матрице
7
6
13
1
7
6
4
3
2
Пятнадцать единиц продукции завода З3 предназначено для пункта Б. Продукцию
завода, где себестоимость ее наименьшая, распределить полностью. Составить наиболее
экономный план удовлетворения потребностей в продукции, учитывающий затраты на ее
производство и доставку.
5
Составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой, можно
найти план посева зерновых культур на участках различного плодородия, максимизирующий
прибыль. Все необходимые данные приведены в таблице.
I
35
II
25
III
20
IV
15
2400
6,5
Затраты
средств по
участкам на 1 га,
ден. ед
I
II III IV
50 40 40 40
60
40
30
50
1700
5,0
90
90
70
65
30
20
15
15
350
4,3
50
40
40
45
Рожь
25
30
20
15
250
7,0
50
50
45
40
Просо
Площадь
участка,
га
40
20
15
10
100
7,2
60
50
50
50
300
500
4800
Зерновая
культура
Пшеница
Кукуруза на
зерно
Ячмень
Урожайность (ц/га)
по участкам
3000 1000
Посевная
площадь,
га
Закупочные
цены,
ден. ед.
Модели управления однономенклатурными и
многономенклатурными запасами
Цель работы:
1) Ознакомиться с экономико-математическими моделями
управления запасами
2) Научиться определять оптимальную партию поставки, и
оптимальные параметры системы.
1.Общие сведения
Модели управления однономенклатурными запасами
Под запасом понимается все то, на что имеется спрос и что выключено временно из
потребления. Запасы подразделяются на запасы средств производства, предназначенные для
производственного потребления (сбытовые, производственные, государственные резервы и
незавершенное производство), и запасы предметов потребления, предназначенные для
использования в непроизводственной социально-экономической сфере и для удовлетворения
потребностей людей (товарные, запасы предметов коллективного и индивидуального
потребления и государственные резервы).
Простейшая модель оптимального размера партии поставки.
Эта модель позволяет определить такой размер заказываемой партии, который
минимизирует расходы на организацию заказа и содержание его на складе. Экономичная
партия поставки вычисляется при следующих допущениях. Уровень запасов снижается
равномерно с интенсивностью v (спрос). В момент, когда все запасы исчерпаны, подается заказ
на поставку новой партии размером q ед. Заказ выполняется мгновенно, то есть время доставки
заказа пренебрежимо мало и уровень запасов восстанавливается до максимального значения,
равного q. Накладные расходы, связанные с размещением заказа и поставкой партии, не зависят
от объема партии и равны постоянной величине К. Издержки содержания единицы товара на
складе в единицу времени равны 8. Срыв поставок недопустим. Процесс изменения уровня
запасов показан на рис.
Пусть τ — интервал времени между поставками. Очевидно τ = q/v. Так как расходование
запаса происходит с постоянной интенсивностью v, то средний уровень запаса за интервал τ
равен q / 2, а общие затраты, связанные с хранением и заказыванием товара, равны
Lц  K  s
qq
.
2v
Разделив это выражение на длину цикла τ, получим общие затраты в единицу времени
LK
v
q
s .
q
2
Чтобы вычислить оптимальный размер партии поставки, нужно приравнять к нулю
dL
Kv s
  2   0.
первую производную по q, то есть решить уравнение
dq
2
q
2Kv
.
s
Оптимальный размер партии заказа q * 
Эту формулу называют формулой размера партии, экономичной величиной заказа,
формулой квадратного корня, формулой Уилсона и т.д.
Оптимальный интервал между поставками  * 
q*

v
2K
.
sv
Наименьшие суммарные затраты по формированию поставок и содержанию запасов в
единицу времени L*  2 Ksv  sq * .
Модель с конечной интенсивностью поступления заказа λ.
Длина цикла τ = τ1 + τ2
Максимальный наличный запас I max  q(1  v )

Общие затраты в единицу времени L  K
Величина оптимальной партии q
*

v
q
v
 s (1  ).
q
2

2 Kv
1

s
1 v
Оптимальный период возобновления заказа  * 
2
*
.

2K
1
.
sv
1 v
его составляющие

q*
2K
*
v
 

 1
 1 
sv
Минимальные издержки в единицу времени L*  2 Ksv  1  v .

2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Решить задачи (по указанию преподавателя)
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3. Результаты решения задач.
3.4.Выводы по работе.
Список задач
1. Потребность станко-сборочного цеха в заготовках некоторого типа составляет 32
тыс. шт. в год. Издержки размещения заказа — 50 ден. ед., издержки содержания одной
заготовки в год равны 5 ден. ед. Среднее время реализации заказа — 10 дней.
Определить оптимальную партию поставки, периодичность возобновления поставок,
точку размещения заказа, минимальный начальный запас и моменты повторения заказов.
2. Компания поставляет заказчику принтеры. Средняя потребность в них — 49 шт. в
год. Стоимость размещения одного заказа — 30 ден. ед., издержки содержания составляют 15
ден. ед. в год. Определить оптимальную партию поставки.
3. На склад поступают материалы, годовой объем поставок которых равен 810 шт.
Издержки завоза одной партии составляют 40 ден. ед., издержки хранения единицы запаса в
сутки — 0,20 ден. ед., время доставки партии — 2 дня. Найти оптимальный размер партии,
периодичность поставок, минимальный начальный запас, точку заказа, моменты подачи заказа.
4. Фабрика выпускает партиями пять различных полуфабрикатов. Интенсивность
потребления каждого вида составляет 76 т в месяц. При переходе от выпуска одного вида
полуфабриката к другому нужно проводить переналадки оборудования, что связанно с
затратами в 81 ден. ед. независимо от выпускаемых полуфабрикатов. Содержание 1 т
полуфабрикатов обходится в 38 ден. ед. в месяц. Производительность фабрики — 400 т в месяц.
Время реализации заказа (от подачи заявки до выхода готовой продукции) составляет 3 дня.
Определить оптимальный размер партии выпуска каждого вида полуфабрикатов,
периодичность повторения заказов, точку их размещения и среднемесячные издержки,
связанные с переналадками и содержанием готовой продукции, если дефицит не допускается.
5. Спрос на продукцию инструментального цеха составляет 6200 ед. в год. Стоимость
хранения, включая потери, связанные с моральным старением, составляет 496 ден. ед. за
единицу в год. Издержки размещения заказа равны 1296 ден. ед. Неудовлетворенные
требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют 3600 ден. ед. за нехватку
единицы продукции в течение года.
Найти оптимальную партию поставки, максимальную величину задолженного спроса,
интервал возобновления поставки, точку размещения заказа (время доставки — 0,5 месяца) и
годовые потери функционирования системы.
6. Годовая потребность торгового центра в пылесосах составляет 600 шт., затраты на
хранение 1 пылесоса — 3 ден. ед. в год. Затраты же на подготовительно-заключительные
операции, не зависящие от величины поставляемой партии и связанные с каждой поставкой,
равны 36 ден. ед.
Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальный интервал между
поставками, средний уровень текущего запаса, число поставок и среднегодовые затраты,
связанные с работой системы.
7. Годовая потребность магазина в телевизорах — 900 шт. Затраты, связанные с
содержанием одного телевизора, составляют 40 ден. ед. в год, а затраты, связанные с
оформлением каждого заказа, — 500 ден. ед. Согласно торговому договору завод должен
заказанные магазином телевизоры поставлять по частям с интенсивностью 150 шт. в месяц,
пока не реализуется вся партия. Если в момент обращения покупателя в магазине нет нужного
товара, то требование ставится на учет и удовлетворяется по мере новых поступлений.
Издержки дефицита, включающие затраты, связанные г- учетом неудовлетворенных
требований, составляют в год 40 ден. ед./шт. Определить оптимальную партию поставки,
оптимальный интервал возобновления заказа и среднегодовые издержки.
8. Магазин радиотоваров реализует музыкальные центры. Средняя потребность в них
— 3 шт. в месяц. Стоимость организации заказа — 28 ден. ед. Содержание его в течение
месяца обходится в 14 ден. ед. Определить оптимальную партию поставки и среднемесячные
издержки размещения и содержания запасов
9. Годовая потребность фирмы в деревоматериалах составляет 4000 м 3, затраты на
хранение 1 м3 в год — 4 ден. ед. Затраты на подготовительно-заключительные операции, не
зависящие от величины поставляемой партии и связанные с каждой поставкой, равны 80 ден.
ед.
Требуется:
1)
найти:
а)
оптимальный размер партии поставки;
б)
оптимальный интервал между поставками;
в)
средний уровень текущего запаса;
г)
число поставок;
д)
годовые затраты, связанные с работой данной системы;
2)
сравнить
полученные
затраты
с
затратами
в
случае
откло
нений от оптимальной партии в любом направлении в два раза.
Решение задач сетевого планирования
Цель работы:
ознакомиться с оптимизацией проекта по времени, по стоимости и по
ресурсам
1.Общие сведения
Оптимизация проекта по времени
Сокращение времени завершения проекта, как правило, связано с привлечением
дополнительных средств (количество рабочих, сверхурочное время). Рассмотрим два
примера постановки задачи оптимизации проекта по времени с привлечением
дополнительных средств.
Постановка задачи 1. Для сокращения времени выполнения проекта выделяется

некоторая сумма дополнительных средствB. Задан сетевой график G  ( E , e ) выполнения
проекта, где Е — множество событий, а e— множество работ. Продолжительность каждой
работы равна tij. Известно, что вложение дополнительных средств xij в работу (i, j) сокращает
время ее выполнения от tij до t'ij, причем эта зависимость выражается как
t ij  f ij ( xij )  t ij (fij — известные функции).
Для каждой работы существует минимально возможное время ее выполнения dij.
Требуется определить время начала £нij и окончания t°ij выполнения работ, а также
количество дополнительных средств xij, которые необходимо вложить в работы (i, j), чтобы
общее время выполнения проекта было минимальным, сумма вложенных дополнительных
средств не превышала величины B, время выполнения каждой работы было не меньше
минимально возможного времени dij.
Математически условия задачи можно записать следующим образом:
  t o n 1,n (min);
t кр
x
ij
 B;
(1)
( 2)
(i , j )

t o ij  t н ij  d ij , (i, j )  e ; (3)

t o ij  t н ij  f ij ( xij ), (i, j )  e ; (4)
t н rj  t o ir , длявсех i, j , r  E ; (5)

t н ij  0, t o ij  0, (i, j )  e . (6)
Ограничение (2) определяет сумму вложенных дополнительных средств: она не
должна превышать величины B. Ограничения (3) показывают, что продолжительность
каждой работы должна быть не менее минимально возможной ее продолжительности.
Ограничения-равенства (4) показывают зависимость продолжительности каждой работы от
вложенных в нее дополнительных средств. Ограничения (5) обеспечивают выполнение условий
предшествования работ в соответствии с топологией сети: время начала выполнения каждой
работы должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующих ей работ.
(6) — условие неотрицательности.
Если в последнее событие сети п входят сразу несколько работ, то необходимо добавить
фиктивную работу (n, n+1), время выполнения которой равно нулю (ton,n+1-tнn,n+1=0 добавить в
ограничение (4)). Тогда целевая функция запишется так
tкр=ton,n+1(min)
Постановка задачи 2. Пусть задан срок выполнения проекта to, а расчетное tкр > to. В
этом случае оптимизация комплекса работ сводится к сокращению продолжительности
критического пути. Задача заключается в определении величины дополнительных вложений
xij в отдельные работы проекта, с тем чтобы общий срок его выполнения не превышал
заданной величины to, а суммарный расход дополнительных средств был минимальным.
Время выполнения каждой работы должно быть не меньше минимально возможного
времени dij.
Математическая запись этой задачи:
F ( x) 
x

( i , j )e
t o in  t o;
ij
(min);

(i, j )  e ;

t o ij  t н ij  d ij , (i, j )  e ;

t o ij  t н ij  f ij ( xij ), (i, j )  e ;
t н rj  t o ir , длявсех i, j , r  E ;

t н rj  0, t o ij  0, xij  0, (i, j )  e .
Смысл ограничений аналогичен соответствующим ограничениям постановки задачи
1 (1) — (6).
Приведенные постановки задачи относятся к классу задач математического
программирования и могут быть решены известными методами в зависимости от вида
функций fij (хij). Если предположить, что продолжительность выполнения работ линейно
зависит от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением
t ij  t ij  k ij xij ,
где kij — технологические коэффициенты использования дополнительных средств, то
будем иметь задачу линейного программирования.
Оптимизация проекта по стоимости
В общем случае стоимость выполнения работы зависит от ее продолжительности.
Продолжительность каждой работы может изменяться между двумя границами dij и Dij,
определяемыми техническими или экономическими соображениями. Если Dij — нормальная
продолжительность, ей соответствует минимальная стоимость cij выполнения работы (i, j);
если dij — минимально возможная (экстренная) продолжительность работы, при этом
стоимость работы будет максимальной Сij;. Если при планировании проекта для каждой
работы будет взята ее нормальная (наибольшая) длительность Dij, то стоимость проекта будет
минимальной. Если для каждой работы взять ее ускоренную, минимально возможную
продолжительность dij, мы получим срочный план. Стоимость выполнения проекта в этом
случае будет максимальной.
Зависимость стоимости от продолжительности работы нелинейна, но для упрощения
оптимизационных расчетов предполагают, что уменьшение продолжительности работы
пропорционально возрастанию ее стоимости. Тогда в расчете на единицу времени
hij 
Cij  cij
Dij  d ij
.
дополнительные затраты на сокращение продолжительности работы будут равны
Рассмотрим оптимизацию комплекса работ по стоимости при фиксированном сроке
выполнения.
Предполагается, что все работы выполняются в срочном режиме и исходная
стоимость проекта
Co 
C

( i , j )e
ij
максимальна. Необходимо минимизировать стоимость проекта при
фиксированном сроке его завершения to за счет увеличения времени выполнения отдельных
работ.
Увеличение продолжительности работы (i,j) по сравнению с минимальным сроком
выполнения на (t°ij - t нij - dij) вызовет экономию средств на величину hij (t°ij -tнij - dij), a
стоимость выполнения работы станет равна
С = C ij - h ij (t o ij - t н ij - d ij).
Если to = tкр, то оптимизация осуществляется за счет увеличения продолжительности
некритических работ; если tкр < tо, — то за счет всех работ комплекса.
C
 C

( i , j )e
ij

 hij (tijo  tijн  d ij ) (min),
d ij  t o ij  tijн  Dij ,
t o rj  t н rj ,

(i, j )  e ;
i, j , r  E ;
tino  to , i  1, n  1,

t н ij  0, t o ij  0, (i, j )  e
t н1 j  0,
j  2, n.
Математическая запись задачи:
Здесь 1 — номер исходного события, п — номер завершающего события.
Рассмотрим оптимизацию комплекса работ по стоимости при нефиксированном сроке
выполнения.
Пусть задан сетевой график проекта и известны продолжительность каждой работы
и стоимость ее выполнения в нормальном (Dij, cij) и срочном (dij;, Cij) режиме работы. Если
все работы выполняются в нормальном режиме, то критический срок будет наибольшим, а
стоимость выполнения — наименьшей. Время выполнения проекта может быть уменьшено
путем увеличения стоимости. Необходимо сократить критический срок до некоторого
минимально возможного значения при наименьшем возрастании стоимости выполнения
проекта.
Оптимизация проекта по ресурсам
Пусть проект задан сетевым графиком. Для выполнения проекта выделено R единиц
ресурса. Каждая работа характеризуется продолжительностью выполнения tij и
интенсивностью потребления ресурса rij. Под интенсивностью потребления будем понимать
требуемое количество ресурса для выполнения работы (i, j) в единицу времени. Для
простоты допустим, что интенсивности постоянные.
Под оптимальным распределением ресурса понимается такое размещение работ во
времени, при котором в любой момент времени потребность в ресурсах не превышает
имеющегося в наличии количества ресурса, а время выполнения проекта минимально.
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Решить задачи
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3.Ход решения, результаты.
3.4.Выводы по работе.
Список задач
1. Для сокращения срока реализации проекта, представленного сетевым графиком
(рис.1), заказчик выделил 14 ед. дополнительных средств. Продолжительность
выполнения работ линейно зависит от дополнительно вложенных средств и выражается
соотношением t'ij = tij - kij xij. Известно, что kl2 = 0,1; k13 = 0,2; k23 = 0,5; k24 = 0,3; k35 = 0,6; k45 =
0,1. Над каждой работой поставлена ее продолжительность tij и минимально возможное время
выполнения dij.
рис. 1
Требуется оптимизировать сетевой график по времени, то есть найти такие tнij, tоij , xij
чтобы:
а)
время выполнения всего проекта было минимальным;
б)
сумма дополнительно вложенных средств не превышала 14 ед.;
в)
продолжительность выполнения каждой работы была не меньше заданной
величины dij.
2 - 3. Проект представлен сетевым графиком(рис.2 ) Продолжительность работ tij и
минимальное время их выполнения dij, а также технологические коэффициенты использования
дополнительных средств kij приведены в таблице.
Необходимо определить, сколько дополнительных средств xij нужно вложить в каждую
работу, чтобы время выполнения проекта не превосходило to , а сума дополнительно
вложенных средств была минимальной.
3
1
4
2
Рис. 2
Номер
задачи
2
3
Работа
Параметры
(1,2)
(1,3)
(2,3)
(2,4)
(3,4)
tij
dij
kij
tij
dij
kij
10
7
0,05
10
7
0,05
20
10
0,3
20
10
0,3
15
9
0,4
0
0
0
10
5
0,1
10
5
0,1
25
14
0,2
25
14
0,2
Срок
выполнения
проекта to
35
30
4 - 5. При фиксированном сроке t0 завершения проекта найти такое время начала и
окончания работ, при котором стоимость выполнения проекта, представленного сетевым
графиком (рис. 3), будет наименьшей. Исходные данные приведены в таблице. Определить
критические работы оптимизированного проекта и величину экономии средств.
4
2
1
3
5
6
Рис. 3
Номер
задачи
4
5
Параметры
Dij
dij
Cij
hij
Dij
dij
Cij
hij
(1,2)
10
8
180
13
8
4
100
10
(1,3)
15
9
200
5
20
15
150
5
(2,3)
0
0
0
M
0
0
0
M
Работа
(3,4)
7
4
90
6
25
10
190
4
(3,5)
6
2
80
10
14
7
300
19
(4,5)
5
3
60
4
10
6
80
7
(5,6)
11
6
130
8
12
6
140
11
Tо
28
40
МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Цель работы:
1) Ознакомиться с моделью межотраслевого баланса (МОБ).
2)
Научиться
рассчитать
межотраслевой
баланс,
анализировать полученные результаты
1.Общие сведения
Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает
требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной
потребностью в этой продукции.
Важнейшими видами балансовых моделей являются: частные материальные, трудовые и
финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей; межотраслевые
балансы; матричные техпромфинпланы предприятий и фирм.
Балансовые модели относятся к типу матричных экономико-математических моделей. В
матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение.
В модели межотраслевого баланса все народное хозяйство представляется в виде
совокупности п отраслей (промышленность, сельское хозяйство и т.д.), каждая из которых
рассматривается как производящая и как потребляющая. При построении балансовых моделей
используется понятие чистой (или технологической) отрасли, то есть условной отрасли,
объединяющей все производство данного продукта, независимо от ведомственной
(административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм.
Обозначения: xij — межотраслевые потоки продукции, где i и j — соответственно номера
отраслей производящих и потребляющих; xi; — валовой выпуск продукции i-й отрасли; yi —
конечная продукция i-й отрасли, i = 1,…,n, j = 1…,,п.
Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса (МОБ) составляет
технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы
продукции
А=(аij)n.n
где a y 
xy
xj
, i  1,..., n; j  1,..., n (1)
Коэффициент прямых затрат aij показывает, какое количество продукции 1-й отрасли
необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й
отрасли. Коэффициент прямых затрат является довольно стабильной величиной во времени.
Систему уравнений баланса можно записать в виде
n
xi   aij x j  yi , i  1,..., n (2)
j 1
или в матричной форме Х = AX + Y, (3)
где Х — вектор-столбец валовой продукции и У — вектор-столбец конечной продукции.
Система уравнений (2) или (3) называется экономико-математической моделью
межотраслевого баланса (модель «затраты—выпуск»). С помощью балансовой модели можно
выполнять три варианта расчетов:
- задавая в модели величины валовой продукции каждой отрасли (xi;), можно определить
объем конечной продукции каждой отрасли (уi)
У = (Е-А)Х;
(4)
• задавая величины конечной продукции всех отраслей(yi), можно определить величины
валовой продукции каждой отрасли (xi)
X=(E-A)-1•Y;
(5)
• для ряда отраслей — задавая величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей
— объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей
и объемы валовой продукции вторых, в этом случае удобнее пользоваться системой уравнений
(2).
В формулах (4) и (5) Е — единичная матрица размерности n-n, а (Е-А)-1 — матрица,
обратная матрице (Е-А). Обозначив обратную матрицу через В, модель (5) можно записать в
виде
Х = BY.
(6)
Матрица В = (bij)n.n есть матрица коэффициентов полных затрат. Коэффициенты полных
затрат bij показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в
сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.
Коэффициенты полных затрат можно применять тогда, когда необходимо определить, как
скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной
продукции всех отраслей:
n
X i   bij Y j
(7)
j 1
;-i
где ΔХi, и ΔУj — изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции
соответственно.
Модели МОБ используются при прогнозировании цен. Прогноз цен на период t
осуществляется на основе данных МОБ периода (t-1). Если рост цен в отраслях экономики
характеризуется индексом роста цен в i-й отрасли рi, однако при этом структура затрат в
сопоставимых ценах осталась неизменной, то модель прогнозирования цен имеет вид
n
m
 xij pi   vij p j  x j p j , j  1,..., n
(8)
i 1
где т — число элементов валовой добавленной стоимости.
Инструкция по решению задачи на ПЭВМ средствами Excel
1. Заносим исходные данные баланса в электронную таблицу Excel:
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Yотч
I
II
III
IV
V
VI
Zотч
Xотч
Xотч
Элементы столбца Xотч рассчитываем по формуле
n
xi   xij yi , i  1,...,6
j 1
Для этого курсор помещаем в ячейку для x1, используем функцию СУММ, где в качестве
аргумента берем элементы первой строки, затем копируем эту формулу в остальные ячейки
столбца Xотч. Переписываем полученные значения в строчку Xотч внизу, для этого используем
формулы, то есть x1 стр = (адрес x1 столб) и т. д.
2. Строим матрицу А.
Строим таблицу для матрицы размером 6 • 6. В первой клетке записываем формулу
a ij 
xij
xj
,
например, для x11 == В22/В$9, (где В$9 — адрес х1 в столбце).
Чтобы дальше эту формулу скопировать, в знаменателе перед цифрой в адресе ставим знак
$. Далее эту формулу копируем по матрице.
3. Строим матрицу E. Для этого в свободном пространстве размещаем по диагонали 6
единиц, остальные клетки оставляем свободными.
4. Строим матрицу (Е-А). Рассчитываем первый элемент ( = е11 – a11), а дальше формулу
копируем.
5. Строим матрицу В, используя функцию МОБР:
а) выделяем массив 6 • 6 под матрицу В;
б) вызываем функцию МОБР;
в) вводим в поле Массив диапазон, в котором размещена матрица (Е - А);
г) нажимаем одновременно Ctrl-Shift и ОК.
В результате в выделенном массиве появится матрица В.
6. Строим результирующую таблицу:
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Zпл
Xпл
I
II
Баланс на планируемый период
III
IV
V
VI
Yпл
Xпл
В столбец Yпл вписываем значения Yпл из условия. Столбец Xпл рассчитываем с помощью
функции МУМНОЖ:
а) выделяем массив (столбец Xпл);
б) вызываем функцию МУМНОЖ;
в) вносим данные: Массив 1 — матрица В, Массив 2 —вектор Yпл;
г) нажимаем Ctrl-Shift-OK одновременно.
7. Переписываем значение Xпл вниз в строку (используя формулы).
8. Рассчитываем элементы таблицы xij = aij xj, (например, xij == В9*В$28). Опять в адресе xj
перед цифрой ставим $ и затем копируем формулу в нужные клетки таблицы.
9. Рассчитываем валовую добавленную стоимость j-х отраслей:
z j  x j  СУММ ( xij ).
10. Проверяем, выполняется ли балансовое соотношение  z j   y i
j
i
11. Рассчитываем балансовое соотношение и заносим в правую нижнюю клетку
 x j   xi
j
i
12. Анализируем полученные результаты.
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2.Решить задачи (по указанию преподавателя)
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3. Результаты решения задач.
3.4.Выводы по работе.
Список задач
1. По условным данным двух отраслей — межотраслевым потокам и вектору конечной
продукции
 25 20 
 55 
, Y    :
xij  
14 6 
 30 
1) определить в плановом периоде вектор конечного использования при валовом
выпуске
120 
;
X пл  
 60 
2) привести схему МОБ на плановый период.
2. По условным данным трех отраслей на плановый период — матрицы коэффициентов
прямых затрат А и вектора конечной продукции У пл — рассчитать межотраслевой баланс,
привести числовую схему баланса и проанализировать полученные результаты.
Условные данные
 0,05 0,24 0,13 
150 




а)
A   0,10 0,11 0,08 , Yпл  110 ;
 0,08 0,20 0,08 
140 




б)
в)
 0,10 0,20 0,10 
100 




A   0,20 0,30 0,06 , Yпл   300 ;
 0,10 0,25 0,20 
100 




 0,16 0,14 0,16 
100 




A   0,12 0,15 0,07 , Yпл   200 ;
 0,10 0,08 0,05 
 300 




3. Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, за отчетный период известны
данные о межотраслевых потоках xij и векторе объемов конечного использования Yотч Требуется:
1)
рассчитать
а)
коэффициенты прямых затрат aij (и дать их экономическую характеристику);
б)
коэффициенты полных затрат bij (и дать их экономическую характеристику);
2)
определить, каким должен быть валовой выпуск продукции в планируемом году Хпл ,
чтобы обеспечить плановые объёмы конечного использования продукции Yпл;
3)
полученные результаты представить в виде балансовой таблицы.
а)
Отрасль
I
II
III
Межотраслевые потоки xij
I
II
III
10
15
20
20
45
20
25
15
40
Yотч
25
75
50
Межотраслевые потоки xij
I
II
III
90
40
50
70
60
40
50
60
20
Yотч
100
90
40
Межотраслевые потоки xij
I
II
III
10
20
15
5
15
30
35
40
20
Yотч
50
65
55
100 


Yпл   300 ;
 200 


б)
Отрасль
I
II
III
 90 
 
Yпл   90 ;
 50 
 
в)
Отрасль
I
II
III
 55 
 
Yпл   80 ;
 45 
 
г)
Отрасль
I
II
III
Межотраслевые потоки xij
I
II
III
33
30
16
22
20
12
11
10
32
Yотч
31
46
27
 75 
 
Yпл   65 .
 25 
 
Варианты заданий для решения на ПЭВМ
Для шести отраслей за отчетный период известны межотраслевые потоки хij и вектор
объемов конечного использования Уотч. Предполагаем, что в плановом периоде технология
производства не изменится.
Требуется:
1) рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановом периоде известен
покупательский спрос Упл;
2) привести числовую схему баланса;
3) проанализировать полученные результаты.
Вариант 1
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Yпл 
 66 
 
 88 
 45 
  .
 37 
 66 
 
 49 
 
I
36
47
17
33
35
45
II
42
38
19
46
36
47
III
27
45
30
17
25
35
IV
37
56
20
36
27
46
V
19
37
15
15
29
32
VI
16
59
16
45
37
25
Yотч
110
70
90
70
88
56
Вариант 2
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Yпл 
III
76
56
76
43
38
57
IV
57
37
78
68
72
46
V
65
46
59
54
29
32
VI
46
65
19
45
47
25
Yотч
97
56
66
98
102
63
I
20
40
17
37
44
45
II
10
30
19
42
37
47
III
20
40
30
10
38
35
IV
30
50
20
33
72
46
V
15
30
15
10
29
32
VI
30
50
16
45
45
25
Yотч
90
60
80
90
80
50
I
35
10
17
20
35
45
II
10
30
19
20
36
40
III
20
10
30
10
25
35
IV
30
25
20
40
27
40
V
15
25
15
10
29
30
VI
25
40
16
20
30
20
Yотч
50
70
30
70
80
40
 70 
 
 80 
 40 
  .
 30 
 60 
 
 40 
 
Вариант 4
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Yпл 
II
95
46
68
46
37
47
 87 
 
 65 
 57 
  .
 38 
 54 
 
 89 
 
Вариант 3
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Yпл 
I
87
86
89
35
44
54
 80 
 
 90 
 50 
  .
 50 
 60 
 
 50 
 
Вариант 5
Отрасль
I
II
III
IV
V
VI
Yпл 
 66 
 
 88 
 45 
  .
 37 
 66 
 
 49 
 
I
65
56
13
35
44
54
II
73
32
23
46
37
47
III
86
46
66
24
23
35
IV
46
58
87
68
72
46
V
92
38
46
54
29
32
VI
23
65
19
45
47
25
Yотч
99
87
88
112
95
56
Использование игровых моделей в принятии управленческих решений
Цель работы:
1) Ознакомление с теорией игрового моделирования;
2) Изучение критериев принятия решений в условиях
неопределённости.
Объем работы 2 часа
1.Общие сведения
Нередко при решении экономических задач возникает необходимость выбора
оптимального решения в условиях неопределенности и риска. Особенностью таких условий
является неясность исходов, последствий выбора решений одной стороной под влиянием
случайных факторов и неизвестность поведения противоположной стороны. Такие ситуации
называются играми с природой (иногда статистическими играми). Они решаются с помощью
методов теории статистических решений. Термин «природа» характеризует некоторую
объективную действительность, которая выступает как не имеющий конкретной цели и
случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре. Природа безразлична к
выигрышу.
Сторона, принимающая решение (игрок А или статистик), имеет т стратегий: А1, А2,
…, Аm. Природа может реализовать n возможных состояний: П1 П2, …, Пn. Поскольку природа
не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно
оценить с помощью выигрышей a ij игрока А для каждой пары стратегий Аi, и Пj. Все
показатели игры записываются в виде платежной матрицы.
A  aij
mn
Часто построение платежной матрицы является наиболее трудоемким этапом
подготовки принятия решения.
При анализе игры с природой вводится также показатель, позволяющий оценить,
насколько то или иное состояние природы влияет на исход ситуации. Этот показатель
называется риском.
Риском rij статистика, когда он пользуется чистой стратегией Аi; при состоянии Пj
природы, называется разность между максимальным выигрышем max aij , который он мог бы
i
получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем
выигрышем a ij , который он получит, используя стратегию Аi, не зная, какое из состояний Пj
природа действительно реализует. То есть элементы матрицы рисков определяются по
формуле.
rij  max aij  aij  0
i
Решение статистической игры может находиться либо в смешанных стратегиях, либо в
чистых стратегиях.
Учитывая специфику статистических игр, при поиске оптимальных решений
обращаются к различным критериям, дающим некоторую логическую схему принятия
решения. Поскольку критерии формулируются на основе здравого смысла, интуиции и
практической целесообразности, то они помогают оценить принимаемое решение с различных
позиций, что позволяет избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
Применяется две группы критериев — использующих и не использующих априорные
вероятности q ij состояний природы. К первой группе относятся критерии Байеса и Лапласа. В
качестве оптимальной по критерию Байеса принимается чистая стратегия А;, при которой
максимизируется средний выигрыш статистика
n
ai   aij q j , i  1, m,
j 1
то есть обеспечивается
n
max ai  max  aij q j .
i
i
j 1
Если статистику представляются в равной мере правдоподобными все состояния Пj
природы, то
q1    q n 
1
n
и оптимальной по критерию Лапласа считается чистая стратегия Аi, обеспечивающая
n
1
max  aij .
n i j 1
max a i 
i
Ко второй группе критериев, применяемых при неизвестных априорных вероятностях
состояний природы, относятся критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Оптимальной по
критерию Вальда считается чистая стратегия Аi, при которой наименьший выигрыш
статистика будет максимальным, то есть ему обеспечивается
a  max min aij .
j
i
Для смешанных стратегий критерий Вальда формулируется так: оптимальной
считается та смешанная стратегия, при которой минимальный средний выигрыш статистика
m
min
i
a
i 1
ij
p i , будет максимальным, то есть стратегия p*, найденная из условия
m
max min
p
j
a
i 1
ij
pi .
Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия Аi при которой
минимизируется величина ri максимального риска, то есть обеспечивается min max rij .
i
j
Для смешанных стратегий критерий Сэвиджа формулируется так: оптимальной
считается та смешанная стратегия, при которой максимальный средний риск статистика
m
m
max  rij pi минимизируется, то есть стратегия р*, найденная из условия min max  rij pi
j
p
i 1
j
i 1
Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия AI , найденная из
условия
max   min aij  1    max aij  ,
j
i 
j

где γ принадлежит интервалу (0; 1) и выбирается из субъективных соображений.
При γ = 1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего пессимизма Вальда, а
при γ = 0 — в критерий крайнего оптимизма.
Надо отметить, что анализ практических ситуаций следует проводить по нескольким
критериям, что позволит глубже вникнуть в суть явления и выбрать обоснованное решение.
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2 Решить задачи (по указанию преподавателя), в Exsel создать формулы для
определения оптимальной стратегии.
3. Содержание отчета:
3.1.Цель работы
3.2.Краткие теоретические сведения
3.3.Условия задач
3.4. Решения задач; результаты.
3.6.Выводы по работе.
Список задач
1. Предприятие может выпускать три вида продукции: А, Б и В. Объемы реализации
продукции зависят от спроса, который может находиться в одном из состояний — С1, С2, и Сз.
Значения величины прибыли, которую получит предприятие при выпуске единицы i-го вида
продукции при j-м состоянии спроса, заданы матрицей
A
Б
B
C1
50
50
60
C2
60
40
50
C3
40
50
40
Определить оптимальные пропорции объемов выпуска продукции, гарантирующие
максимальную среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса. Вероятности
наступления различных величин спроса неизвестны.
2. Коммерческая фирма занимается реализацией новогодних игрушек. Спрос на
елочные гирлянды может составить 200, 250, 300 или 350 шт. с вероятностями 0,3; 0,1; 0,2; 0,4
соответственно. Фирма закупает гирлянды по 2 ден. ед. за 1 шт., а реализует по 3 ден. ед.
Непроданные к Новому году гирлянды реализуются оптом по сниженной цене 1,8 ден. ед. за 1
шт. Определить оптимальную стратегию поведения фирмы.
3. Кафетерий «Мечта» реализует кондитерские изделия собственного изготовления.
Спрос на пирожные может составить 100, 120, 140 или 160 шт. с вероятностью 0,2; 0,3; 0,4; 0,1
соответственно. Затраты на производство одного пирожного составляют 70 ден. ед., а цена
реализации — 100 ден. ед. Если пирожные не продаются в течение 36 ч, они портятся и
магазин несет убытки. Какое количество пирожных следует выпекать?
4. Небольшая частная фирма производит молочную продукцию. Один из ее продуктов
— творожная масса. Необходимо решить, какое количество творожной массы следует
производить в течение месяца, если вероятность того, что спрос составит 100, 150 или 200 кг
равна соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Затраты на производство 1 кг равны 1 тыс. ден. ед. Фирма
продает массу по цене 1 тыс. 200 ден. ед. за 1 кг. Если масса не продается в течение месяца, то
она снимается с реализации и фирма не получает дохода. Дать рекомендации, сколько
творожной массы производить фирме.
5. Туристская фирма «Топ тур» берет на реализацию у фирмы «Смок» туристские
путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в
пределах от 6 до 9 ед. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то можно заказать
недостающее количество. При этом возникнут дополнительные расходы в размере 4 ден. ед. за
каждую новую путевку. А если количество путевок превышает спрос, то потери за
невостребованные путевки составят 3 ден. ед. Прибыль от реализации одной путевки
составляет 10 ден. ед. Определить, какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.
6. Затраты фабрики в течение апреля - мая на производство единицы продукции
таковы: по платьям — 8 ден. ед., по костюмам — 28 ден. ед. Цена реализации соответственно
16 и 48 ден. ед. Из опыта работы следует, что фабрика может реализовать в течение этих
месяцев при теплой погоде 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной — 625 платьев и
1000 костюмов. Определить, какое количество платьев и костюмов предприятие должно
выпустить, чтобы получить максимальную прибыль.
7. Объем реализации товара Т за рассматриваемый период колеблется в зависимости от
покупательского спроса в пределах от 4 до 6 ед. Прибыль торгового предприятия от единицы
реализованного товара Т равна 2 ден. ед. Если запасенный товар полностью реализовать не
удастся, то расходы на содержание и хранение остатка составят 3 ден. ед. за единицу товара.
Используя игровой подход, определить оптимальный уровень запаса товара Т,
обеспечивающий торговому предприятию наивысшую эффективность работы.
8. Для обеспечения однократной зимовки небольшой экспедиции требуется доставить
к месту зимовки вместе с другими грузами запас топлива. В случае нормальной зимы
достаточно 16 т, но при мягкой или суровой зиме эти цифры составляют 11 и 20 т. Если
осуществить заброску топлива летом, то она будет стоить по 12 ден. ед. за тонну. Если
придется доставлять топливо зимой дополнительно, то это обойдется в нормальную и суровую
зиму соответственно на 1 и 4 ден. ед. за тонну дороже, чем летом. Обратная транспортировка
неизрасходованного топлива по окончании зимовки обходится в 1 ден. ед. за тонну, а его
стоимость не возмещается. Какова оптимальная стратегия руководителя экспедиции. (Если он
использует критерий Байеса (q1=0,5; q2=0,2; q3= 0,3)?
9. Небольшая фирма производит гигиенические средства для младенцев. В течение
месяца реализуется 13, 14, 15 или 16 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма
получает 75 ден. ед. прибыли. Продукция имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка
не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной
упаковки обходится в 115 ден. ед., потери фирмы составляют 115 ден. ед., если упаковка не
продана к концу месяца. Вероятности продать 13, 14, 15 или 16 упаковок за месяц составляют
соответственно 0,20; 0,35; 0,1 и 0,35. Дать рекомендации по количеству производимой
продукции.
10. Торговым предприятием планируется продажа сезонных товаров с учетом
возможных вариантов покупательского спроса (П1, П2, П3, П4). Предприятием разработано три
хозяйственных стратегии продажи товаров (А1, А2, А3). Найти оптимальное поведение
торгового предприятия, пользуясь критериями Сэвиджа и Гурвица при γ = 0,6; если
товарооборот, зависящий от стратегий и покупательского спроса, представлен в виде
платежной матрицы:
П1
П2
П3
П4
А1
40
20
30
35
А2
60
80
20
35
А3
35
45
50
70
11. Пятилетний срок эксплуатации производственного оборудования предприятия
(цеха, участка цеха) может привести его в состояние, требующее а) замены отдельных деталей
оборудования, б) капремонта оборудования, в) замены оборудования. Вероятности указанных
состояний составляют 0,4; 0,5; 0,1. Руководитель предприятия может принять одно из трех
решений для восстановления оборудования, которые соответственно потребуют следующих
затрат:
1-е решение 5, 7, 12;
2-е решение 6, 8, 10;
3-е решение 12, 14, 9.
Проанализировав ситуацию, необходимо высказать соображения по принятию
решения.
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Цель работы:
1) Ознакомиться с теорией СМО.
2) Научиться определять характеристики СМО и проводить
анализ её работы.
1.Общие сведения
Многоканальная СМО с ожиданием. Пусть в n-канальную систему массового
обслуживания поступает простейший поток требований с интенсивностью λ; число мест в
очереди ограничено и равно т. Время обслуживания требований (для одного канала)
экспоненциальное, со средним значением tобс
Размеченный граф состояний системы представлен на рисунке.
Используем общепринятое обозначение относительной нагрузки на систему
  
Предельные вероятности состояний системы имеют вид
1

  (  ) m 1 
  2

n n
n
P0  1  


 n
 ,

1
!
2
!
n
!
n
!


1


n
Pk 
k
n!
Pn  r 
отказа
P0 (1  k  n),
 nr
n r  n!
P0 (1  r  m)
Требование получает отказ в том случае, когда система занята, то есть вероятность
Pотк  Pn  m 
 nm
n m  n!
P0 .
Относительная пропускная способность или вероятность того, что поступившее в
систему требование будет принято к обслуживанию, дополняет вероятность отказа до
единицы
q  1  Pотк  1 
 nm
n m  n!
P0 .
В систему поступает λ требований в единицу времени, а доля требований, принятых к
обслуживанию, равна q. Следовательно, абсолютная пропускная способность
A  q   (1 
 nm
n m  n!
P 0 ).
Каждый канал, если он занят, обслуживает в единицу времени λ требований, а вся
система —А требований. Таким образом, среднее число занятых каналов
Nз 
A

  (1 
 nm
n m  n!
P 0 ).
Среднее число требований, находящихся в очереди, вычислим как математическое
ожидание числа требований, находящихся в очереди:
r  1 Pn1  2  Pn 2    m  Pn m.
Подставив значения Рn+r(r=1, m) и выполнив преобразования, окончательно получим
r  P0 

n 1
n!n


1  ( ) m (m  1  m )
n
n

(1 

n
)2
Учитывая, что среднее число требований, находящихся под обслуживанием,
совпадает со средним числом занятых каналов, среднее число требований, находящихся в
системе, равно k  N з  r
Среднее время пребывания требований в очереди


1  ( ) m (m  1  m )

n
n r
 P0 


n  n! 

(1  ) 2
n
n
t ож
Среднее время пребывания требования в системе получим, если к среднему времени
ожидания в очереди прибавим среднее время обслуживания, умноженное на относительную
пропускную способность q
tсист  tож 
1

q  tож  q  tоб
Многоканальная СМО с неограниченной длиной очереди. Так как длина очереди не
ограничена, то граф состояний в этом случае является бесконечным
Установившийся режим работы системы существует при

n
 1 , а при

n
 1 очередь

 1 . Формулы для расчета характеристик
n
СМО с неограниченной очередью. Предельные вероятности состояний:
будет расти неограниченно. Полагаем, что
1
  2
n
 n 1 
P0  1  


 ,
n! n!(n   ) 
 1! 2!
Pk 
k
k!
Pn  r 
P0 (1  k  n),
 nr
n r  n!
P0 (r  1)
Так как число мест в очереди не ограничено, то все требования, поступившие в
систему, рано или поздно будут обслужены. Следовательно
A  q  
Pотк  0, q  I ,
Среднее число занятых каналов
Nз 
A





Среднее число требований, находящихся в очереди
 n 1  P0

r
n!n  (1 
n
.
)
2
Среднее число требований, находящихся в системе k  N з  r
Среднее время пребывания требования в очереди t ож 
 n  P0
n  n!(1 

n

)2
r

Среднее время пребывания требования в системе t сист  t ож  t обсл .
Многоканальная СМО с отказами. Если требование поступает в систему в момент,
когда все п каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систему не обслуженным).
Если же в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный канал, то оно
принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. Размеченный граф состояний
системы с отказами представлен на рисунке.
Предельные
вероятности
рассматриваемой СМО имеют вид
состояний
системы
(формулы
1
  2
k
n 
P0  1  


 ,
1
!
2
!
k
!
n
!


Pk 
k
k!
P0
(1  k  n)
Вероятность отказа Pотк  Pn 
n
n!
P0 .
Относительная пропускная способность q  1  Pотк .
Абсолютная пропускная способность A=λq
Среднее число занятых каналов N з 
A


q
 q.

2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
Эрланга)
для
2.2.Решить задачи (по указанию преподавателя)
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3. Результаты решения задач.
3.4.Выводы по работе.
Список задач
1. Информационно-справочное бюро имеет два телефона, по которым дает справки о
наличии товаров в магазинах. В среднем за 1 мин поступает 3 запроса, время обслуживания
каждого требования в среднем составляет 40 с.
Определить важнейшие характеристики СМО, считая все потоки простейшими.
2. В таксопарке 3 диспетчера принимают заказы на вызов машин и обеспечивают
своевременное обслуживание клиентов. В среднем за каждый час поступает 120 заявок,
длительность регистрации заявки равна в среднем 1 мин.
Определить важнейшие параметры данной СМО.
3. В справочное бюро аэропорта поступает в среднем 8 запросов за 1 мин. Обслуживают 2
телефонистки. Средняя длительность разговора — 0,5 мин.
Установить все характеристики СМО.
4. Входной поток клиентов в парикмахерскую подчиняется закону Пуассона, его
интенсивность — 12 чел /ч. Обслуживают посетителей 3 мастера, в среднем за 1 ч мастер
обслуживает 2 чел., максимальная очередь — 5 чел.
Рассчитать важнейшие характеристики СМО с ожиданием.
5. В магазине самообслуживания установлено 3 кассовых аппарата. В течение часа магазин
посещают 96 чел., наибольшая очередь к кассе — 8 чел., среднее время обслуживания клиента — 2,5
мин.
Считая поток покупателей простейшим, определить основные характеристики СМО с
ожиданием.
6. В билетной кассе работают 3 кассира, каждый из которых может обслужить 3
пассажиров за 10 мин. Поток пассажиров простейший с интенсивностью 15 чел /ч. Время
обслуживания подчинено показательному закону распределения.
Определить основные характеристики функционирования СМО.
7. Автосервис решил нанять нового механика, для того что бы он менял старые покрышки
на новые. На это место есть 2 кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть
нанят за 7 ден. ед /ч. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать 3 клиентов в час.
Другой механик более опытен, он в состоянии обслуживать 4 клиентов в час, но его можно
нанять на работу за 10 ден. ед /ч. Клиенты прибывают со скоростью 2 чел /ч.
Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное
распределение продолжительности времени обслуживания, определить:
1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;
2) среднюю длину очереди;
3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
4) среднее число клиентов в системе обслуживания;
5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии
найма одного или другого механика.
Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 15 ден. ед /ч.
Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки?
Каковы минимальные совокупные издержки?
8. Фирма «Уют» предлагает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В
нормальном режиме за каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный
консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он
тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин.
Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное
распределение продолжительности обслуживания, определить:
1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;
2) среднюю длину очереди;
3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
4) среднее число клиентов в системе обслуживания;
5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.
Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин.
Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо
предпринять? Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он
проводит с клиентом, до 8 мин. Какой станет средняя скорость обслуживания? Будет ли
достигнута желаемая цель?
9. Торговая фирма планирует принимать заказы клиентов по телефону. Для этой цели
необходимо выделить и подготовить персонал, а также выбрать соответствующую мини-АТС с
несколькими телефонными аппаратами. Порядок обслуживания должен быть следующим:
если заказ поступает, когда все линии заняты, то абонент получает отказ. Если же в момент
поступления заказа
Решение задач динамического программирования
Цель работы:
Ознакомиться
программирования.
с
теорией
динамического
1.Общие сведения
В основе динамического программирования лежит принцип оптимальности,
указывающий на процедуру построения оптимального управления. Так как
оптимальной стратегией может быть только та, которая одновременно
оптимальна и для любого количества оставшихся шагов, ее можно строить по
частям: сначала для последнего этапа, затем для двух последних, для трех и т. д.,
пока не придем к первому шагу. Отсюда принцип оптимальности связан со
вторым принципом — погружения, согласно которому при решении исходной
задачи ее как бы погружают в семейство подобных ей и решают для одного
последнего этапа, для двух последних и т. д., пока не получат решение исходной
задачи.
Будем считать, что начальное Х0 и конечное ХТ состояния системы заданы.
Обозначим через Z1(Хо,u1) значение функции цели на первом этапе при
начальном состоянии системы Х0 и при управлении и1, через Z2(Х1, и2) —
соответствующее значение функции цели на втором этапе, ..., через ZN(XN-1,uN) —
на N-м этапе.
Тогда значение целевой функции для всего процесса:
N
Z   Z i ( X i 1 , ui ) .
i 1
Надо найти оптимальное управление u*=(и*1; и*2, ...; и*N), такое, что
доставляет экстремум целевой функции.
Для решения этой задачи погружаем ее в семейство подобных. Введем
обозначения. Пусть DN, DN-1,N,.. — соответственно области определения для
подобных задач на последнем этапе, двух последних и т. д. D — область
определения исходной задачи.
Обозначим через F1(XN-1), F2(XN-2)... FN(X0) соответственно условнооптимальные значения функции цели на последнем этапе, двух последних и т.д.
на всех N этапах.
Начинаем с последнего этапа. Пусть XN-1 — возможные состояния системы
на начало N-гo этапа. Условно-оптимальные значения целевой функции:
Для последнего этапа:
F1 ( X N 1 )  max(min) Z N ( X N 1 , u N ).
u N  DN
Для двух последних этапов:
F2 ( X N 2 )  max(min) ( Z N 1 ( X N 2 , u N 1 )  F1 ( X N 1 ))
u N 1  DN , N 1
.
Аналогично:
FN ( X 0 )  max(min) ( Z1 ( X 0 , u1 )  FN 1 ( X 1 ))
u1  D
.
Последнее выражение представляет собой математическую запись
принципа оптимальности. Все выражения называются функциональными
уравнениями Беллмана. Отчетливо просматривается их рекуррентный
(возвратный) характер, т.е. для нахождения оптимального управления на N шагах
нужно знать условно-оптимальное управление на предшествующих N—1 этапах и
т. д. Поэтому функциональные уравнения часто называют рекуррентными
(возвратными) соотношениями Беллмана.
В основе динамического программирования лежит принцип оптимальности,
указывающий на процедуру построения оптимального управления. Так как
оптимальной стратегией может быть только та, которая одновременно
оптимальна и для любого количества оставшихся шагов, ее можно строить по
частям: сначала для последнего этапа, затем для двух последних, для трех и т. д.,
пока не придем к первому шагу. Отсюда принцип оптимальности связан со
вторым принципом — погружения, согласно которому при решении исходной
задачи ее как бы погружают в семейство подобных ей и решают для одного
последнего этапа, для двух последних и т. д., пока не получат решение исходной
задачи.
Будем считать, что начальное Х0 и конечное ХТ состояния системы заданы.
Обозначим через Z1(Хо,u1) значение функции цели на первом этапе при
начальном состоянии системы Х0 и при управлении и1, через Z2(Х1, и2) —
соответствующее значение функции цели на втором этапе, ..., через ZN(XN-1,uN) —
на N-м этапе.
Тогда значение целевой функции для всего процесса:
N
Z   Z i ( X i 1 , ui ) .
i 1
Надо найти оптимальное управление u*=(и*1; и*2, ...; и*N), такое, что
доставляет экстремум целевой функции.
Для решения этой задачи погружаем ее в семейство подобных. Введем
обозначения. Пусть DN, DN-1,N,.. — соответственно области определения для
подобных задач на последнем этапе, двух последних и т. д. D — область
определения исходной задачи.
Обозначим через F1(XN-1), F2(XN-2)... FN(X0) соответственно условнооптимальные значения функции цели на последнем этапе, двух последних и т.д.
на всех N этапах.
Начинаем с последнего этапа. Пусть XN-1 — возможные состояния системы
на начало N-гo этапа. Условно-оптимальные значения целевой функции:
Для последнего этапа:
F1 ( X N 1 )  max(min) Z N ( X N 1 , u N ).
u N  DN
Для двух последних этапов:
F2 ( X N 2 )  max(min) ( Z N 1 ( X N 2 , u N 1 )  F1 ( X N 1 ))
u N 1  DN , N 1
.
Аналогично:
FN ( X 0 )  max(min) ( Z1 ( X 0 , u1 )  FN 1 ( X 1 ))
u1  D
.
Последнее выражение представляет собой математическую запись
принципа оптимальности. Все выражения называются функциональными
уравнениями Беллмана. Отчетливо просматривается их рекуррентный
(возвратный) характер, т.е. для нахождения оптимального управления на N шагах
нужно знать условно-оптимальное управление на предшествующих N—1 этапах и
т. д. Поэтому функциональные уравнения часто называют рекуррентными
(возвратными) соотношениями Беллмана.
2. Порядок выполнения работы
2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;
2.2. Решить задачи (по указанию преподавателя)
3. Содержание отчета:
3.1.Тема и цель работы
3.2.Условия задач
3.3. Результаты решения.
3.4.Выводы по работе.
Список задач
1. Производственному объединению из четырех предприятий выделяется банковский
кредит в сумме 60 млн. ден. ед. для реконструкции и модернизации производства с целью
увеличения выпуска продукции. Значения gi (xi ) (i = 1,4) дополнительного дохода,
получаемого на предприятиях объединения в зависимости от выделенной суммы, приведены в
таблице. Распределить выделенный кредит между предприятиями так, чтобы дополнительный
доход объединения был максимальным.
Предприятие
№1
№2
№3
№4
Получаемый доход, млн. ден. ед.
Выделенные
средства xi
млн. ден. ед.
g1(xi)
g2(xi)
g3(xi)
g4(xi)
9
18
24
11
19
30
16
32
40
13
27
44
20
40
60
2. Решить задачу для производственного объединения из трех предприятий по
данным, приведенным в табл. 2
Таблица 2
Выделенные
средства хi,
млн ден. ед.
20
40
60
Предприятие
№1
№2
№3
Получаемый доход, млн.
ден. ед.
g1(xi)
g2(xi)
g3(xi)
9
17
29
11
34
46
13
28
37
3. На данной сети дорог имеется несколько маршрутов, по которым можно доставлять
груз из пункта 1 в пункт 10. Известны стоимости перевозки единицы груза между пунктами
сети. Требуется: найти на сети наиболее экономичный маршрут доставки груза из пункта 1 в
пункт 10 и соответствующие ему затраты.
4. Пусть имеется груз, состоящий из неделимых предметов различных типов, который
нужно погрузить в самолет грузоподъёмностью Р. стоимость и масса каждого предмета
известны. Требуется определить, сколько предметов каждого типа надо загрузить в самолет,
чтобы суммарная стоимость груза была наибольшей, а масса не превышала грузоподъёмности
самолета.
5. В начале планового периода из N лет имеется оборудование возраста не более t лет.
Для каждого года планового периода известны стоимость r(t) произведенной с использованием
этого оборудования продукции и затраты u(t), связанные с его эксплуатацией. Известны также
остаточная стоимость s оборудования и цена р единицы нового оборудования (сюда же
включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется
разработать оптимальную стратегию в отношении имеющегося оборудования, т.е. в начале
каждого года планового периода установить, сохранять в этом году оборудование или продать
его по остаточной стоимости и купить новое, с тем чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла
максимального значения. Задачу решить при следующих числовых данных:
а) N = 8, s = 2, р = 6, значения r(t) и u(t) см. в табл.
t
0
1
2
3
r(t)
46
46
45
45
u(t)
15
15
17
18
4
45
18
5
43
19
Пользуясь составленной матрицей максимальных прибылей для оборудования не
старше 5 лет, сформировать оптимальную стратегию по отношению к оборудованию,
использовавшемуся до начала планового периода в течение: 4 лет; 1 года;
б) N = 10, 5 = 4, р = 18, значения r(t) и u(t) см. в табл.
t
0
1
2
3
r(t)
31
30
28
28
u(t)
8
9
9
10
9
4
5
6
7
8
9
10
27
26
26
25
24
24
23
10
10
11
12
14
16
18
На основе матрицы максимальных прибылей, составленной для оборудования не старше
10 лет, сформировать оптимальную стратегию для оборудования возраста: 7 лет; 3 года; 9 лет.