конференцию_Чжан_Фанцэx - Томский политехнический

РАСЧЕТ ДВУХКОНТУРНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УСИЛИТЕЛЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА
Чжан Фанцэ
Томский политехнический университет
Научный руководитель: Харлова Александра Николаевна
Операционное исчисление является эффективным средством расчета
электрических цепей, что достаточно подробно рассматривается в теоретических
основах электротехники.
Рассмотрим применение операционного исчисления к расчету электрических
цепей на примере.
Расчета схемы двухконтурного параметрического усилителя.
Рис.1
Рассмотрим схему (рис.1), состоящую из двух контуров, связанных переменной
емкостью c3 . В одном из контуров действует переменная ЭДС ( в случае усилителя
синусоидальная), которую обозначим через e . При известных соотношениях между
собственными частотами контуров и частотой изменения емкости c3 может быть
получен эффект усиления колебаний. На этом и основывается действие применяемых в
радиотехнике параметрических усилителей. Обозначим напряжение на конденсаторе
c3 через U . Основываясь на законе Кирхгофа и учитывая , что ток i3 (t ) и напряжение
dU
составим систему из четырех уравнений
U связаны соотношением i3  c3
dt
интегро-дифференциальных уравнений:
di2
 di1
 L1 dt  r1i1  u  L2 dt  r2i2  e,

t
1
 di1
L

r
i

 1 dt 1 1 c  (i1  i3 )dt  e,

1 0

t
 L di2  r i  1 (i  i )dt ,
 2 dt 2 2 c  3 2
2 0

dU

i3  c3 dt
с нулевыми начальными условиями i1 (0)  0, i2 (0)  0, i3 (0)  0 , что соответствует
задаче включения. В приведенной выше системе уравнений L1 , L2 , r1 , r2 , c1 , c2 , c3 и e
являются постоянными величинами. Решение этой системы уравнений обычными
методами является довольно затруднительным. Поэтому для нахождения решения
воспользуемся методами операционного исчисления.
Введем изображения токов i1 (t )  I1 ( p) ,
i2 (t )  I 2 ( p) и i3 (t )  I 3 ( p) . Токи
I1 ( p), I 2 ( p), I 3 ( p ) называются операторными токами. Изображение напряжения U
обозначим через U ( p )
Используя теорему об дифференцировании оригинала
найдем изображения
dx
 x(t )  pX ( p )  x(0)
dt
di1
di
и 2 учитывая начальные условия :
dt
dt
di1
 pI1 ( p )  i1 (0)  pI1 ( p )
dt
di2
 pI 2 ( p )  i2 (0)  pI 2 ( p ) .
dt
Аналогично находим изображение для
t

0
dU dU
 pU ( p )  u (0)
:
dt
dt
Используя свойство линейности и теорему об интегрировании оригинала
t
t
F ( p)
f ( )d 
найдем изображения  (i1  i3 )dt и  (i3  i2 )dt :
p
0
0
t
t
t
 (i  i )dt   i dt   i dt 
1
3
1
3
0
0
0
t
t
t
0
0
0
 (i1  i3 )dt   i1dt   i3dt 
I1 ( p) I 3 ( p)

,
p
p
I1 ( p) I 3 ( p)

p
p
Запишем теперь систему уравнений в операторном виде:
e

 L1 pI1 ( p )  r1 I1 ( p )  U ( p )  L2 pI 2 ( p )  r2 I 2 ( p )  p ,

1 I1 ( p) 1 I 3 ( p) e

 
 ,
 L1 pI1 ( p )  r1 I1 ( p )  
c
p
c
p
p
.

1
1

1 I ( p) 1 I 2 ( p)
 L2 pI 2 ( p )  r2 I 2 ( p )   3
 
c2
p
c2
p

 I ( p )  c pU ( p)  c u (0)
3
3
 3
Преобразуем эту систему к виду
e

( L1 p  r1 ) I1 ( p)  U ( p)  ( L2 p  r2 ) I 2 ( p )  p ,

I1 ( p)  I 3 ( p) e

 ,
( L1 p  r1 ) I1 ( p) 
c1 p
p


I ( p)  I 3 ( p)
( L2 p  r2 ) I 2 ( p)  2
 0,
c2 p

 I ( p)  c pU ( p)  c u (0)
3
3
 3
Рассмотрим сначала второе и третье уравнения системы отдельно:
I1 ( p)  I 3 ( p) e

 ,
( L1 p  r1 ) I1 ( p) 
c1 p
p


( L p  r ) I ( p )  I 2 ( p )  I 3 ( p )  0
2
2
 2
c2 p
Из первого уравнения системы найдем I1 ( p ) :
I1 ( p ) 
ec1  I 3 ( p )
( L1 p  r1 )c1 p  1
Из второго уравнения системы найдем I 2 ( p) :
I 2 ( p) 
I3 ( p)
.
( L2 p  r2 )c2 p  1
Подставим полученные значения I1 ( p ) и I 2 ( p) в первое уравнение системы.
Получим
( L1 p  r1 )
ec1  I 3 ( p)
I 3 ( p)
e
 U ( p)  ( L2 p  r2 )
 .
( L1 p  r1 )c1 p  1
( L2 p  r2 )c2 p  1 p
С учетом последнего уравнения системы I3 ( p)  c3 pU ( p)  c3u(0) будем иметь
( L1 p  r1 )
ec1  c3 pU ( p )  c3u (0)
c pU ( p )  c3u (0) e
 U ( p)  ( L2 p  r2 ) 3
 .
( L1 p  r1 )c1 p  1
( L2 p  r2 )c2 p  1 p
Получили линейное уравнение относительно напряжения U ( p ) .
Выразим из последнего уравнения U ( p ) :
e
c3u (0)
ec1  c3u (0) 
U ( p)    ( L2 p  r2 )
 ( L1 p  r1 )

( L2 p  r2 )c2 p  1
( L1 p  r1 )c1 p  1
p

c p( L2 p  r2 )
c p( L1 p  r1 ) 
 1  3
 3

 ( L2 p  r2 )c2 p  1 ( L1 p  r1 )c1 p  1
Введем обозначения 1 
r1
r
1
1
2
2
2


,  2  2 , 0,1
, 0,2
, 12  0,1
 12 ,
2 L2
2 L1
L1c1
L2 c2
2
22  0,2
 22
Заметим, что величины  i 
ri
1
, 0,2 i 
и i2  i2,0  i2 имеют следующий
2 Li
Li ci
физический смысл:
 i  коэффициент затухания контура,
0,i  круговая частота, которую имел бы контур, лишенный сопротивления,
i2  круговая частота контура.
Кроме того отметим, что условие  i  0,i
рассматриваемый контур был колебательным.
выражает требование, чтобы
С учетом обозначений выражение для операторного напряжения U ( p ) примет
вид:
e
c u (0)( p  2 2 )
(ec1  c3u (0))( p  21 ) 

U ( p)    3

2
2
c1 ( p  1 )2  12  
 p c2 ( p   2 )  2 

c3 p( p  2 2 )
c3 p( p  21 ) 
.
 1 

2
2
2
2
 c2 ( p   2 )  2  c1 ( p  1 )  1  
Изменяя значения параметров  i , i2 , а также емкости конденсаторов можно
изучать эффект колебаний в рассматриваемом контуре.
Список литературы
1. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. Конторович
М.И., М: «Советское радио», 1975
2. Операционное исчисление. Римский-Корсаков Б.С., М.: Высшая школа, 1960
3. Функции комплексного переменного, операционное исчисление и теория
устойчивости. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., М.: «Наука», 1981