Геометрия 11-й класс. УЧЕБНИК:

Геометрия 11-й класс.
УЧЕБНИК:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кичелева Л.С., Позняк Э.Г.
“Геометрия 10 - 11”
(М.: Просвещение, 1992 и последующие издания)
Примерное поурочное планирование
(2 часа в неделю, всего 68 часов)
Тема
Кол- Примечание (изменения,
во
которые планирует
часов
учитель)
Координаты, точки и координаты вектора (7 ч)
Прямоугольная система координат в пространстве
1
Координаты вектора. Самостоятельная работа на 10
2
мин
Связь между координатами векторов и координатами
1
точек
Простейшие задачи в координатах. Контрольная
3
работа № 1 на 20 мин
Скалярное произведение векторов (4 ч)
Угол между векторами. Скалярное произведение
2
векторов
Вычисление углов между прямыми и плоскостями
1
Решение задач. Самостоятельная работа
1
Движения (4 ч)
Центральная симметрия. Осевая симметрия.
1
Зеркальная симметрия. Параллельный перенос
Решение задач
1
Контрольная работа № 2
1
Зачет № 1
1
Цилиндр (3 ч)
Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра
1
Решение задач. Самостоятельная работа на 15—18
2
мин
Конус (3 ч)
Понятие конуса. Площадь поверхности конуса
1
Усеченный конус
1
Решение задач
1
Сфера (11 ч)
Сфера и шар. Уравнение сферы
1
Взаимное расположение сферы и плоскости
1
Касательная плоскость к сфере
1
Площадь сферы
1
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и
3
шар
Контрольная работа № 3
1
Зачет № 2
1
Решение задач, повторение ведущих вопросов курса
2
геометрии за I полугодие
Объем прямоугольного параллелепипеда (3 ч)
Понятие объема. Объем прямоугольного па1
раллелепипеда
Объем прямой призмы, основанием которой является
1
прямоугольный треугольник
Решение задач. Самостоятельная работа
1
Объем прямой призмы и цилиндра (3 ч)
Теорема об объеме прямой призмы
1
Теорема об объеме цилиндра
1
Решение задач
1
Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса (8 ч)
Вычисление объемов тел с помощью определенного
1
интеграла. Объем наклонной призмы
Решение задач
1
Объем пирамиды
1
Решение задач
1
Формула объема усеченной пирамиды. Самостоя1
тельная работа
Объем конуса
2
Контрольная работа № 4
1
Объем шара и площадь сферы (8 ч)
Формула объема шара
1
Решение задач
1
Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового
2
сектора
Площадь сферы
1
Решение задач
1
Контрольная работа № 5
1
Зачет № 3
1
Заключительное повторение курса геометрии (14 ч)
КОНТРОЛЬНЫЕ, САМОСТЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ И ЗАЧЕТЫ
ГЕОМЕТРИЯ
11-й КЛАСС
Глава V. Метод координат в пространстве
Самостоятельная работа
I вариант
1. Даны векторы a {2; - 4; 3} и b {-3; 1/2; 1}. Найдите координаты вектора c  a  b .
2. Даны векторы a {1; -2; 0}, b {3; -6; 0} и c {0; - 3; 4}. Найдите координаты вектора
1
p  2a  b  c .
3
3. Найдите значения m,при которых векторы a {6; n;1}, b {m; 16; 2} коллинеарны.
II вариант
1. Даны векторы a {1; -3; -1} и b {-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора c  a  b .
2. Даны векторы a {2; 4; -6}, b {- 3; 1; 0} и c {3; 0; - 1}. Найдите координаты вектора
1
p   a  2b  c .
2
3. Найдите значения т и п, при которых векторы a {- 4; т; 2} и b {m; - 6; 2} коллинеарны.
Контрольная работа № 1
I вариант
1. Найдите координаты вектора AB , если A(5; - 1; 3), В(2; -2; 4).
2. Даны векторы b {3; 1; -2} и c {1; 4; -3}. Найдите | 2b  c | .
3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку A(1; - 2; - 4). Найдите расстояния
от этой точки до координатных плоскостей.
II вариант
1. Найдите координаты вектора CD , если С(6; 3; -2), D(2; 4; -5).
2. Даны векторы a {5; - 1; 2} и b {3; 2; -4}. Найдите | a  2b |.
3. Изобразите систему координат Охуг и постройте точку B(-2; -3; 4). Найдите расстояния
от этой точки до координатных плоскостей.
Самостоятельная работа
I вариант
1. Даны векторы a  2i  3 j  k и b  4i  2k . Вычислите a  b .
2. Вычислите угол между прямыми AB и CD, если A( 3 ; 1; 0), В(0; 0; 2 2 ), С(0; 2; 0),
D( 3 ; 1; 2 2 ).
II вариант
1. Даны векторы a  5i  2 j  4k и b  3 j  2k . Вычислите a  b .
2. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если A(6; -4; 8), B(8; -2; 4), С(12; -6; 4),
D(14; -6; 2).
Контрольная работа № 2
I вариант
1. Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m  a  2b  c ,
n  2a  b, | a | = 2, | b | = 3, (a ^ b) = 60o, c  a, c  b .
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и ВМ, где M — середина
ребра DD1.
3. Задача № 518 (а) из учебника.
II вариант
1. Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m  2a  b  c, n  a  2b ,
| a |  3, | b |  2, (a^ b) = 60°, c  a, c  b .
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми АС и DC1.
3. Задача № 518 (б) из учебника.
Зачет № 1
Карточка 1
1. Расскажите о прямоугольной системе координат в пространстве, о координатах вектора.
2. Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника
через координаты его вершин.
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1, M— центр грани AA1D1D. Вычислите угол между векторами
ВМ и B1C.
Карточка 2
1. Расскажите о связи между координатами векторов и координатами точек.
2. Выведите формулы, выражающие координаты середины отрезка через координаты его
концов.
3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если A(1; 1; 0), B(3; -1; 0), С(4; -1; 2), D(0; 1;
0).
Карточка 3
1. Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов. Сформулируйте
условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с помощью скалярного
произведения.
2. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.
3. Даны точки А(0; 4; 0), B(2; 0; 0), С(4; 0; 4), D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD — ромб.
Карточка 4
1. Сформулируйте основные свойства скалярного произведения векторов. Докажите
некоторые из этих свойств.
2. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными
координатами.
3. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD: А(-6; -4; 0), B(6; -6; 2), С(10; 0;
4). Найдите координаты точки D и угол между векторами и AC и BD .
Карточка 5
1. Докажите, что центральная и осевая симметрии являются движениями.
2. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными
координатами.
3. Даны векторы a {1; 2; -1}, b {-3; 1; 4}, c {3; 4; -2} и d {2; -1; 3}. Вычислите скалярное
произведение a  2b c  d .

 
Карточка 6
1. Докажите, что зеркальная симметрия и параллельный перенос являются движениями.
2. Расскажите, как вычислить угол между двумя прямыми в пространстве с помощью
направляющих векторов этих прямых.
3. Даны координаты вершин тетраэдра МАВС: М(2; 5; 7), A(1; -3; 2), B(2; 3; 7), С(3; 6; 0).
Найдите расстояние от точки М до точки О пересечения медиан треугольника AВС.
Глава VI. Цилиндр, конус и шар
Самостоятельная работа
I вариант
1. Развертка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого
равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°.
Высота цилиндра равна 5 см, радиус цилиндра 2 3 см. Найдите площадь сечения.
II вариант
1. Развертка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ
которого равна 8 см, а угол между диагоналями 30°. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Секущая плоскость
отсекает от окружности основания дугу в 90°. Радиус основания цилиндра равен 4 см.
Найдите площадь сечения.
Контрольная работа № 3
I вариант
1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь основания цилиндра равна 16  см2.
Найдите площадь поверхности цилиндра.
2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между
которыми 30°;
б) площадь боковой поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к
нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.
II вариант
1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь
поверхности цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания
под углом 30°. Найдите:
а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между
которыми 60°;
б) площадь боковой поверхности конуса.
3. Диаметр шара равен 4m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к
нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Зачет № 2
Карточки к зачету
Карточка 1
1. Объясните, какое тело называется цилиндром. Выведите формулу площади
поверхности цилиндра.
2. Высота конуса равна 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом
30°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие,
угол между которыми 60°.
3. Радиус шара равен R. Найдите площадь поверхности вписанного в шар куба.
Карточка 2
1. Объясните, какое тело называется конусом. Выведите формулу площади поверхности
конуса.
2. Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость
под углом 45° к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
3. Куб с ребром а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Карточка 3
1. Объясните, какое тело называется усеченным конусом. Выведите формулу площади
поверхности усеченного конуса.
2. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания
дугу в 90°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 6 см, а расстояние
между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 3 см.
3. Около шара радиуса R описан правильный тетраэдр. Найдите площадь поверхности
тетраэдра.
Карточка 4
1. Объясните, какая поверхность называется сферой и какое тело называется шаром.
Выведите уравнение сферы.
2. Радиус кругового сектора равен 6 см, а его угол равен 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите площадь поверхности конуса.
3. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная
пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16
см. Найдите высоту пирамиды.
Карточка 5
1. Перечислите возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.
Докажите, что сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 12 см. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.
3. В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого
сечения равен 60°. Найдите площадь сферы.
Карточка 6
1. Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере. Докажите теоремы о касательной плоскости (свойство и признак касательной плоскости).
2. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16  см2. Найдите площадь сферы.
3. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 см и наклонена к плоскости
основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в
эту призму.
Глава VII. Объемы тел
Самостоятельная работа
I вариант
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см и 5 см. Найдите ребро
куба, объем которого в два раза больше объема данного параллелепипеда.
2. Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если  АСВ = 90°,  ВАС = 30°, АВ = а,
СВ = BB1.
II вариант
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 6 см и 6 см. Найдите ребро
куба, объем которого в три раза больше объема данного параллелепипеда.
2. Найдите объем прямой призмы ABCA1B1C1, если  AСВ = 90°, АВ = BB1 = а, АС = CB.
Самостоятельная работа
I вариант
Задание № 686 (а) для l = 10 см,  = 30°.
II вариант
Задание № 688 (а) для H =10 см,  = 60°.
Контрольная работа № 4
I вариант
1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при
основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник,
катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани
призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.
II вариант
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с
плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.
2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды,
проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите
объем конуса.
Контрольная работа № 5
I вариант
1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью
основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.
2. Объем цилиндра равен 96  см3, площадь его осевого сечения 48 см 2. Найдите площадь
сферы, описанной около цилиндра.
II вариант
1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите
отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите
отношение объемов шара и цилиндра.
Зачет №3
Карточка 1
1. Расскажите, как вводится понятие объема тел. Сформулируйте основные свойства
объемов. Запишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда. Докажите теорему
об объеме прямой призмы.
2. Каждое ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите объемы тетраэдра и вписанного
в него конуса. (Можно решить задачу для а = 6)
Карточка 2
1. Докажите теорему об объеме цилиндра.
2. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине
равен  . Найдите объемы пирамиды и описанного около пирамиды конуса. (Можно
решить задачу для а = 3,  = 60°.)
Карточка 3
1. Докажите теорему об объеме наклонной призмы.
2. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при основании
равен  . Найдите объемы пирамиды и вписанного в пирамиду шара. (Можно решить
задачу для h = 3,  = 60°.)
Карточка 4
1. Докажите теорему об объеме пирамиды.
2. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной а. Найдите объемы
конуса и описанного около него шара. (Можно решить задачу для а = 6.)
Карточка 5
1. Докажите теорему об объеме конуса.
2. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и составляет с плоскостью
боковой грани угол  . Найдите объемы призмы и описанного около нее цилиндра.
(Можно решить задачу для а = 4,  = 30°.)
Карточка 6
1. Докажите теорему об объеме шара.
2. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно а и составляет с плоскостью
основания угол  . Найдите объемы пирамиды и вписанного в пирамиду конуса. (Можно
решить задачу для а = 2,  = 60°.)
Устные упражнения по геометрии 11-й класс.
Сентябрь
1. Вычислите радиус описанного круга, около прямоугольного треугольника,
катеты которого равны 6 и 8 см.
5 см
2. Можно ли построить треугольник со сторонами 9, 5 и 4 см?
Нет
3. Назовите геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных
плоскостей.
Параллельная плоскость
4. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны
5, 4 и 2 см.
40 см3
3
5. Объем куба равен 64 см . Вычислите его поверхность.
96 см2
6. Сколько можно провести плоскостей через четыре точки, не лежащие в одной
плоскости, если три точки из этих принадлежат плоскости?
4
3
7. В треугольнике sinA =
. Вычислите угол A.
60° или 120O
2
8. Наклонная равна 10 см и образует с плоскостью угол 60°. Вычислите
проекцию наклонной.
5 см
9. Точка М взята внутри двугранного угла в 60° и удалена от граней на
расстоянии 4 см. Вычислите расстояние от точки до ребра.
8 см
10. Существует ли призма, имеющая 20 ребер?
Нет; 3n  20
11. На какой угол нужно повернуть правильный треугольник вокруг его центра,
чтобы он совместился сам с собой?
120°
12. Напишите формулу суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. 180o(n - 2)
13. На каком расстоянии на плоскости находятся точки А(1; 1) и B(7; I)?
6 ед.
14. Площадь круга равна 25  . Вычислите диаметр крута.
10 см
15. Вычислите площадь прямоугольника, если диагональ его равна 17 см, а
основание — 15 см.
120 см2
16. Параллельные ли прямые 2х + у = 1 и 4х + у = 2?
Нет
17. Сторона ромба равна 10 см, а утол 135°. Вычислите площадь ромба.
50 2 см2
18. В равнобедренной трапеции углы относятся как 2 : 3. Вычислите углы
трапеции.
72° и 108°
19. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, а одна сторона его
равна 8 см. Вычислите остальные стороны треугольника.
4 и 8 см или по 6 см
20. Отрезок 12 см образует с плоскрстью угол 450 . Вычислите проекцию
отрезка на плоскость.
6 2 см
21. Какое наименьшее число многогранных углов может иметь многогрпнник. 4
22. Можно ли составить трехгранный угол с такими плоскими углами 40, 60 и
100°?
Нет
23. Сколько диагоналей у правильного пятиугольника?
5
24. Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если сумма внутренних
углов равна 720°?
6
25. Призма имеет n граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?
n–2
угольник
26. Диагонали ромба равны 16 и 12 см. Вычислите сторону ромба.
10 см
27. Какой угол образует прямая y = 3 x – 2 c осью абсцисс?
600
28. Существует ли призма, у которой только одна грань перпендикулярна к
основанию?
Да
29. Сколько ребер у октаэдра?
12
30. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна
12 дм2. Вычислите высоту призмы.
2дм
Октябрь
1. Площадь квадрата 100 см2. Вычислите его периметр.
40 см
2. Как изменится окружность, если радиусы удлинить на 5 см?
Увеличится на 10  см
3. Назовите геометрическое место точек, равноудаленных от граней
двухгранного угла.
Полуплоскость-биссектриса
4. Можно ли окружность вписать в четырехугольник, стороны которого
относятся 1:3:5:7?
Нет
5. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
6
6. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Вычислите
диагональ параллелепипеда.
6 см
7. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость и концы его удалены от
плоскости на расстоянии 2 и 3 см. Вычислите угол, который образует
отрезок с плоскостью.
300
8. Можно ли составить трехгранный угол с плоскими углами 100, 140 и 120°?
Нет
9. Дан трехгранный угол, где все плоские углы прямые. Внутри угла наводится
точка А, которая удалена от плоскостей на расстояния 1, 2 и 2 см. Вычислите
расстояние от точки до вершины угла.
3 см
10. Поверхность куба 24 см2. Вычислите его объем.
8 см 3
11. Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны
2, 3 и 4 см, а боковая поверхность — 36 см2. Вычислите боковое ребро.
4 см
12. Сколько диагоналей у выпуклого шестиугольника?
9
13. Сколько диагоналей в пятиугольной призме?
10
14. В какой n-угольной призме число диагональных сечений равно числу
боковых граней?
n=5
16. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма?
7
16. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна 20 см. На
каком расстоянии находится точка пересечения диагоналей параллелепипеда
от боковых ребер?
10 см
17. Чему равна сумма всех двугранных углов при боковых ребрах n-угольной
призмы?
180o2(n - 2)
18. У какой призмы боковые ребра равны ее высоте?
У правильной и прямой
19. Сколько сторон у выпуклого многоугольника, если сумма внутренних
углов равна 5400?
5
20. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 3 и 2 см. Вычислите
диагональ параллелепипеда.
7 см
21. В какой правильной призме все диагональные сечения равны?
При n = 4; 5
22. Вычислите боковую поверхность правильной треугольной призмы, если
каждое ребро ее равно 5 см.
75 см2
23. Вычислите боковую поверхность правильной четырехугольной призмы,
если сторона основания равна 4 см, а высота 10 см.
160 см2
24. Площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной
призмы равна 20 см2. Вычислите боковую поверхность призмы.
60 см2
25. Ребро куба равно а. Вычислите площадь диагонального сечения.
а2 2
26. Вычислите площадь равностороннего треугольника, если сторона его
равна 4 дм.
4 3 дм2
27. Высота прямой призмы равна 10 см, а в основании - параллелограмм,
стороны которого равны 5 и 6 см, а угол уежду ними 300. Вычислите
поверхность призмы.
250 см2
28. Координаты точек на плоскости А(1; 5) и B(3; 1). Найдите координаты
середины отрезка AB.
(2; 3)
29. Найдите на плоскости множество точек |у| = 2.
Прямые у = 2 и у = - 2
30. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; 2; 1)
перпендикулярно вектору n (2; 3; 4).
2x + 3у + 4z - 16 = 0
Ноябрь
1. Выразите площадь 6 га 5 соток в квадратных метрах.
60500 м2
2. Проекцией тела на вертикальную плоскость является треугольник, а на
горизонтальную - квадрат с диагоналями. Определите вид тела.
Пирамида
3. Вычислите поверхность куба, если его диагональ равна 6 см.
72 см2
4. Пирамида имеет 10 многогранных углов. Сколько она имеет ребер?
18
5. Диагональ куба равна 4 3 дм. Вычислите объем куба.
64 дм3
6. Координаты точек на плоскости А(- 3; - 1) и В(5; 2). Найдите координаты
вектора AB .
(8; 3)
2
7. Площадь параллелограмма равна 50 см , а его основание равно 10 см.
Вычислите высоту его на основание.
5 см
8. Определите вид треугольника в зависимости от углов, если его стороны
равны 4 см, 5 см и 7 см.
Тупоугольный
9. В четырехугольной правильной призме стороны основания равны 4 см, а
высота 2 см. Вычислите диагональ призмы.
6 см
10. Принадлежит ли точка Р(2; 1; 1) плоскости x - 3у + 2z – 1 = 0?
Да
11. Стороны параллелограмма равны 4 и 6 см, а угол между ними 45°.
Вычислите площадь параллелограмма.
12 3 см2
12. АBCD – параллелолгамм, O – точка пересечения его диагоналей. Найдите
значение х, если OB = x BD .
1/2
13. На тело действуют силы F 1 = 9 Н и F 2 = 12 Н под прямым углом. Вычислите
равнодействующую силу.
15 Н
14. Диаметр окружности равен 10 см. Вычислите длину окружности.
10  см
15. Поверхность правильной четырехугольной призмы равна 40 м2, а боковая
поверхность 32 м2. Вычислите высоту призмы.
4м
16. В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины, равны 5, 4
и 3 см. Вычислите сумму всех ребер.
48 см
17. У правильной пирамиды все ребра равны по 4 см. Вычислите поверхность
пирамиды.
16 3 см2
18. Из точки окружности проведены диаметр и хорда, равная половине диаметра.
Вычислите угол, образованный диаметром и хордой.
60°
19. Существует ли пирамида, у которой 18 плоских углов?
Нет
20. Вычислите площадь равностороннего треугольника, если сторона его равна
6 см.
9 3 см2
21. Дано уравнение прямой у = 2х - 5. Определите координаты точки
пересечения прямой с осью абсцисс.
(2,5; 0)
22. Площадь треугольника равна 24 см2. Вычислите площадь подобного ему
треугольника, стороны которого вдвое меньше.
6 см2
23. Концы отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на расстояния
7 и 13 см. На каком расстоянии от плоскости находится середина отрезка?
10 см
24. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 4) и параллельной
оси ординат.
х-3=0
25. Основания трапеции равны 3 и 7 см, а высота 6 см. Вычислите площадь
трапеции.
26. Перпендикулярны ли векторы a (4; - 1; 5) и b (3; 2; - 2)?
27. Сторона квадрата равна 8 см. Вычислите радиус вписанной окружности.
28. Длина отрезка равна 12 см, а его проекция на поверхность равна 6 2 см.
Под каким углом пересекает отрезок плоскость?
29. Длины векторов | a | = 6 см, | b | = 5 см, а угол между ними 60°. Вычислите
скалярное произведение векторов.
30. Отрезок пересекает плоскость, причем концы его удалены от плоскости
на расстояния 2 и 6 см. На каком расстоянии находится середина отрезка
от плоскости?
30 см2
Да
4 см
45°
15
2 см
Декабрь
1. Какие фигуры получатся при построении диагонального сечения усеченной
пирамиды?
Трапеция
2. Высота уcеченной пирамиды равна 6 см, а сходственные стороны основания
относятся, как 1 : 3. Вычислите высоту полной пирамиды.
9 см
3. Сколько осей симметрии у цилиндра?
Бесчисленное множество
4. Вычислите диагональ куба с ребром а.
a 3
5. Вычислите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 5 см, а
угол между ними равен 60°.
15 3 см2
6. Вписанный угол опирается на диаметр окружности. Вычислите величину
угла.
900
7. В правильной n-угольной пирамиде все ребра равны. При каких значениях n
это возможно?
n = 3; 4; 5
8. Периметр параллелограмма равен 44 см, а одна его сторона больше другой
на 2 см. Вычислите стороны параллелограмма.
10 и 12 см
9. Координаты точкиА(- 2; 3). Назовите координаты точки В, которая
симметрична ей относительно начала координат.
В(2; - 3)
2
10. В треугольнике sin A =
. Вычислите угол А.
45 или 135°
2
11. Вычислите сумму внутренних углов выпуклого семиугольника.
900°
12. ABCD - параллелограмм. Найдите значение х, если AC = х • AO , где О
— точка пересечения диагоналей.
2
13. Принадлежит ли точка М(1; 1; 1) плоскости 3х - 2у + z - 2 = 0?
Да
14. Коллинеарны ли векторы a (8; 2; 4) и b (4; 1; 2)?
Да
15. Сторона равностороннего треугольника равна 10 см. Вычислите его
высоту.
5 3 см
16. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения равны 2 дм, 2 дм и 1 дм.
3дм
17. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите радиус описанного круга.
2 2 см
18. Радиус окружности вписанной в правильный треугольник равен 2 3 см.
Вычислите сторону треугольника.
12 см
19. Стороны параллелограмма равны 6 и 8 см, а его площадь 24 см2.
Вычислите углы параллелограмма.
30 и 150°
20. Площадь основания пирамиды равна 100 см2. Вычислите площадь сечения
пирамиды, проведенного через середину высоты.
25 см 2
21. Коллинеарны ли векторы a (6; 4; 2) и b (3; 2; 1)?
Да
22. Принадлежит ли точка М(1; 3; - 2) плоскости 3x - у + z + 2 = 0?
Да
23. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся, как 2 : 2 : 1, а
боковая поверхность равна 32 дм 2. Вычислите диагональ параллелепипеда. 6 дм
24. Сторона ромба равна 6 см, а угол равен 120 0. Вычислите площадь ромба. 18 3 см2
25. Периметр треугольника равен 12 см. Вычислите периметр подобного ему
треугольника, стороны которого втрое больше.
36 см
26. В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 5 см, а
боковое ребро 4 см. Вычислите поверхность призмы.
36 + 4,5 3 см2
27. Координаты точки М(- 12; 9; 0). Вычислите расстояние этой точки до
начала координат.
15 единиц
28. Запишите уравнение шара с центром в начале координат и радиусом
2 см.
х2 + у2 + z2  4
29. В треугольнике AВС сторона АВ равна 10 см, а АС равна 12 см. В каком
отношении делит биссектриса угла А третью сторону ВС?
5:6
30. Вычислите расстояние между точками А(0; - 1; 1) и В(6; 2; 3).
7 единиц
Январь
1. Можно ли вписать цилиндр в прямую чстырехугольную призму, если
площади ее боковых граней относятся, как 3 : 5 : 9 : 7?
Да
2. Куб с ребром 15 см разрезали на кубики с ребром 3 см. Сколько кубиков
получилось?
125
3. Отрезок в 12 см образует с плоскостью угол 60°. Вычислите проекцию
отрезка на плоскость.
6 см
4. Сколько диагоналей у параллелепипеда?
4
5. Вычислите объем прямоугольного параллепипеда, если измерения его
равны 6, 3 и 2 дм.
36 дм 3
2
6. Площадь трапеции равна 30 дм , а высота 5 дм. Вычислите среднюю
линию трапеции.
6 дм
7. Радиус шара 12 см. На касательной плоскости лежит точка А, которая
удалена от точки касания на 5 см. На каком расстоянии находится точка
К от поверхности шара?
1 см
8. Вычислите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения равны 6, 3 и 2 см.
7 см
9. Вершины прямоуголыюго треугольника лежат на сфере. Вычислите
расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если гипотенуза
его равна 24 см, а радиус сферы 13 см.
5 см
10. В окружность вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см.
Вычислите длину окружности.
13  см
11. В параллелепипеде длины ребер, исходящих из одной вершины, равны
2, 3 и 5 см. Вычислите сумму длин всех ребер.
40 см
12. Секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние 8 см, а радиус
шара равен 10 см. Вычислите площадь сечения шара.
36  см 2
13. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 5, 3 и 2 см. Вычислите
поверхность параллелепипеда.
62 см 2
14. Образующая конуса равна 10 см, а диаметр основания 12 см. Вычислите
площадь осевого сечения конуса.
48 см 2
15. Высота цилиндра равна 10 см, а радиус его 5 см. Плоскость пересекает
цилиндр параллельно его оси и удалена от нее на 4 см. Вычислите площадь
сечения.
60 см 2
16. Координаты точки А(- 3; 4). Укажите координаты точки В, которая
симметрична точке А относительно оси ординат.
B(3; -4)
17. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(4; 2) и
параллельно оси абсцисс,
у-2=0
18. В пространстве расположен параллелограмм. Чем является его параллельная
проекция на плоскость?
Параллелограмм или отрезок
19. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения
уменьшить в 2 раза?
Уменьшится в 8 раз
20. В прямом параллелепипеде высота равна 10 см. В основании лежит
параллелограмм, стороны которого равны 4 и 3 cм, a угол между ними 30 0.
Вычислите объем параллелограмма.
60 см 3
21. Радиус основания конуса равен 6 см, а высота 8 см. Вычислите его
образующую.
10 см
22. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к основанию под углом 30°.
Вычислите высоту конуса.
6 см
23. Радиус шара равен 6 см. Через конец радиуса под углом 60° проведено
сечение шара плоскостью. Вычислите площадь сечения.
9  см 2
24. Радиус шара равен 12 см. К нему проведена касательная плоскость. От
точки касания на расстоянии 9 см находится точка М в этой плоскости.
На каком расстоянии находится от поверхности шара точка M?
3 см
25. При каком условии гомотетичные фигуры равны?
При k = ± 1
26. Назовите четырехугольники, которые имеют одну ось симметрии.
[Равнобедренная трапеция и дельтоид]
27. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Вычислите радиус
вписанной окружности.
2 3 см
28. Будут ли параллельные прямые на плоскости у = 2х + 3 и у = 2х - 3
параллельны?
Да
29. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна
12 м2. Вычислите объем призмы.
2 3 м3
30. В треугольнике АВС стороны АВ, АС и ВС соответственно равны 9 см,
15 см и 8 см. На какие отрезки биссектриса угла A делит стороку ВС?
3 и 5 см
Февраль
1. Определите форму тела, если его проекциями в горизонтальной и
вертикальной плоскости являются круги.
Шар
2. Сечение насыпи имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями
14 и 10 м, а высотой 2 м. Сколько кубов земли надо завезти, чтобы возвести
насыпь длиной 10 м?
240 м3
3. Отрезок не пересекает плоскость, Концы его удалены от плоскости на
расстояния 12 и 8 см. На каком расстоянии находится середина отреака от
плоскости?
10 см
4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1)
перпендикулярно вектору n (3; 2; 1).
3x + 2у + z - 6 = 0
5. Из точки А, лежащей на окружности, проведены диаметрАВ длиной 13 см
и хорда АС длиной 12 см. Вычислите длину хорды ВС.
5 см
6. При каком условии шаровой сегмент можно назвать шаровым сектором?
Полушар
7. Даны координаты точек А( - 1; 2) и В(4; 3). Вычислите координаты вектора
(5; 1)
AB .
8. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна 6 см,
а ее боковое ребро 5 см. Вычислите объем призмы.
55 см 3
9. Вычислите координаты точек пересечения прямых у = 3x - 5 и у = -3х + 13. (3; 4)
10. В основании призмы - параллелограмм, стороны которого равны 4 и 5 см,
а угол между ними 300. Высота призмы равна 10 см. Вычислите объем
призмы.
100 см3
11. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 см, а ее высота
2 см. Вычислите сторону основания.
4 см
12. В прямоугольном параллелепипеде через концы трех ребер, выходящих
из одной вершины, провели сечение. Какую часть от объема параллелепипеда
составляет объем отсеченной пирамиды?
1/6
13. Высота прямой призмы равна 10 см. В основании призмы - параллелограмм,
стороны которого равны 3 см и 4 см, а угол между ними 150°. Вычислите
объем призмы.
60 см3
14. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся, как 5 : 3 : 2, а
объем его равен 240 см3. Вычислите измерения.
10, 6 и 4 см
2
15. Площадь основания наклонного параллелепипеда равна 12 см . Его боковое
ребро равно 10 см и наклонено к основанию под углом 45°. Вычислите
объем параллелепипеда.
60 2 см3
16. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а
ее высота 6 см. Вычислите объем пирамиды.
50 см 3
17. Пирамида имеет 9 многогранных углов. Сколько она имеет ребер?
16
18. Высота прямой призмы равна 10 см. В основании призмы - ромб, диагонали
которого равны 3 и 4 см. Вычислите объем призмы.
60 см3
19. Запишите множество точек пространства, которые не принадлежат шару с
центром в начале координат и радиусом 3.
х2 + у2 + z2 > 9
20. Сколько диагоналей можно провести в четырехугольной усеченной
пирамиде?
4
21. В основании призмы лежит трапеция с основаниями 8 и 12 дм, а высота
трапеции 10 дм. Вычислите объем призмы, если ее высота равна 10 дм.
1000 дм3
22. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковыми сторонами по
5 см вращается вокруг высоты, проведенной к основанию. Вычислите объем
тела вращения.
16  см3
23. Образующая конуса равна 7 см, а его высота 6 см. Вычислите объем конуса. 26  см3
24. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 6 м, а измерения
относятся, как 2 : 2 : 1. Вычислите объем призмы.
32 м3
25. Какая взаимосвязь существует между гомотетией и центральной
симметрией?
При k = -1 они одинаковы
26. Найдите множество точек на плоскости, заданное уравнением 4xy = 0. Оси координат
27. Могут ли две плоскости иметь одну общую точку?
Нет
28. Стороны треугольника равны 8 и 5 см и заключают угол 60°. Вычислите
третью сторону треугольника.
7 см
29. Площадь треугольника равна 30 см2. Вычислите площадь проекции,
треугольника на эту плоскость, если она образует с плоскостью
треугольника двугранный угол 60°.
15 см2
30. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а ее боковое
ребро 5 см. Вычислите объем пирамиды.
24 см3
Март
1. Проекцией тела в горизонтальной плоскости является круг, а в вертикальной
плоскости - равнобедренный треугольник. Определите форму тела.
Конус
2. В основании пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 и 8 см, а каждое
боковое ребро равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
12 см
3. В цилиндрическую банку с жидкостью опустили деталь. Вычислите объем
детали, если диаметр основание банки равен 10 см, а высота жидкости в банке
поднялась на 4 см.
100  см3
4. Радиус цилиндра увеличили в два раза, а высоту уменьшили в два раза. Как
изменится объем цилиндра?
Увеличится в 2 раза
5. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если высоту
увеличить в четыре раза, а ширину и длину уменьшить в два раза?
Не изменится
6. Уравнение окружности х2 + у2 = 36. На каком расстоянии находятся точки
окружности от начала координат?
6 единиц
7. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. В основании
пирамиды - квадрат со стороной а. Вычислите боковую поверхность пирамиды. 2a2
8. Параллельны ли плоскости 2x + 3y + z – 2 = 0 и 4х + 6у + 2z - 1 = 0?
Нет
9. Около какой пирамиды можно описать конус?
[Около пирамиды, боковые грани которой равны]
10. Высота прямой призмы равна 8 см. В основании призмы - треугольник,
стороны которого равны 4 и 5 см и образуют угол 30°. Вычислите объем
призмы.
40 см2
11. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 3 см, а высота
призмы 4 см. Вычислите поверхность призмы.
66 см2
12. Хорда, перпендикулярная диаметру, разбивает его на отрезки 1 и 9 см.
Вычислите длину хорды.
6 см
13. Отрезок АВ равен 14 см и пересекает плоскость а. Проекция отрезка на эту
плоскость равна 7 2 . Под каким углом проекция отрезка пересекает
плоскость?
45°
14. Прямоугольник со сторонами 6 и 4 см вращается сначала вокруг большей
стороны, а затем - меньшей. Одинаковы ли объемы тел вращения?
Нет
15. Около квадрата описана окружность радиуса 3 2 см. Вычислите площадь
квадрата.
36 см2
16. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Вычислите боковую поверхность
цилиндра.
S
17. У пирамиды и призмы высоты и основания равны. Во сколько раз объем
призмы больше объема пирамиды?
В 3 раза
18. В наклонном параллелепипеде провели диагональное сечение. В каком
отношении оно делит объем параллелепипеда?
Пополам
2
19. Стороны параллелограмма равны 12 и 10 см, а его площадь 60 см .
Вычислите углы параллелограмма.
30° и 150°
20. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 дм, а боковое
ребро 5 дм. Вычислите объем пирамиды.
32 дм3
21. Сколько диаметров можно провести через точку, произвольно взятую
внутри шара?
1
22. Высота конуса равна 3 дм, а его образующая 5 дм. Вычислите объем конуса. 16  дм3
23. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 10 см и наклонена
к основанию под углом 60°. Вычислите боковую поверхность пирамиды.
200 см2
24. Существует ли пирамида, у которой 30 плоских углов?
Нет
25. Прямоугольник со сторонами 5 и 4 см вращается вокруг большей стороны.
Вычислите объем тела вращения.
80  см3
26. Сторона правильного треугольника равна 6 дм. Вычислите радиус
3 дм
вписанного круга.
27. Прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5 см вращается вокруг
большего катета. Вычислите боковую поверхность тела вращения.
65  см2
28. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 3 3
см. Вычислите его сторону.
18 см
29. Высота равностороннего цилиндра равна 10 см. Вычислите его объем.
250  см3
30. Боковые ребра треугольной пирамиды равны 2, 3 и 4 см и взаимно
перпендикулярны. Вычислите ее объем.
4 см3
Апрель
1. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2, 4 и
4 см, описана сфера. вычислите ее поверхность.
36  см2
2. Как называется отрезок, который получается в результате пересечения двух
больших кругов шара?
Диаметр
3. Сколько общих точек имеет прямая с шаровой поверхностью?
1 или 2
4. Поверхности двух шаров относятся, как 4 : 9. Как относятся их диаметры?
2:3
5. Радиус шара равен 3 см, а высота шарового сектора 4 см. Вычислите объем
шарового сектора .
24  см3
6. Радиус шара равен 5 см. Вычислите поверхность шара.
100  см2
7. Радиус основания и высота цилиндра равны по 4 см. Вычислите его объем.
64  см3
8. Как изменится объем шара, если его радиус увеличить в 2 раза?
Увеличится в 8 раз
9. Образующая конуса наклонена к основанию под углом 60°. Радиус основания
конуса r. Вычислите его боковую поверхносвь.
2  r2
10. В пространстве множество точек задано уравнением х2 + у2 + z2 = 9. На
каком расстоянии от начала координат находятся эти точки?
3
11. Радиус конуса равен 4 см, а его образующая 6 см. Вычислите боковую
поверхность конуса.
24  см2
4
 м3
12. Радиус шара равен 1 м. Вычислите объем шара.
3
13. Образующая конуса равна 4 дм и наклонена к основанию под углом 60°.
Вычислите боковую поверхность конуса.
8  дм2
14. Из точки, лежащей вне круга, проведены касательная и секущая. Длина
секущей равна 9 см, а внешний ее отрезок равен 4 см. Вычислите длину
касательной.
6 см
15. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. Вычислите боковую поверхность
цилиндра.
36  см2
16. В равностороннем треугольнике сторона равна 6 дм. Вычислите его высоту. 3 3 дм
17. Сторона квадрата равна 6 см. Вычислите радиус описанного круга.
3 2 см
18. Как изменится поверхность шара, если его радиус увеличить в 3 раза?
[Увеличится в 9 раз]
2
19. Поверхность шара равна 64  см . Вычислите его радиус.
4 см
20. В шар вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6, 3 и 2 см.
Вычислите радиус шара.
3,5 см
21. Вычислите боковую поверхность усеченного конуса, если радиусы его равны
2 и 4 см, а образующая 5 см.
30  см2
22. Радиус шара равен 5 см. На расстоянии 3 см от центра проведено сечение
шара. Вычислите площадь сечения.
16  см2
23. На каком расстоянии находится точка М(5; - 12) от начала координат?
13 см
24. Параллельны ли плоскости 3х - 2у + z – 4 = 0 и 6х - 4у + 2z + 1 = 0?
Да
25. Дуга содержит 150°. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда?
105°
26. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см,
боковые грани с основанием образуют угол 60°. Вычислите боковую
поверхность пирамиды.
72 см2
27. На окраску шара диаметром 2 дм требуется 20 г краски. Сколько краски
потребуется для окраски шара диаметром 6 дм?
180 г
28. Диаметр цилиндра равен 6 см, а высота 10 см. Вычислите его боковую
поверхность.
60  см2
29. Вершины треугольника, вписанного в окружность, разбивают ее на части
3 : 4 : 5. Вычислите углы треугольника.
45°, 60°, 75°
30. Стороны треугольника, равные 8 и 7 см, образуют угол 120°. Вычислите
третью сторону треугольника.
13 см
Май
1. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения
прямой. Вычислите объем конуса.
9  см3
2. Радиус шара 3 см. Вычислите его объем.
36  см3
3. Какую часть пирамиды отсекает ее среднее сечение?
1/8
4. Около прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1, 2 и 2 дм описана
сфера. Вычислите ее радиус.
1,5 дм
5. Вершина угла находится внутри круга, а дуги между сторонами угла и
продолжением сторон равны 120° и 60°. Вычислите угол.
90°
6. Две хорды пересекаются. Первая делится точкой пересечения на отрезки 2
и 10 см. Один из отрезков второй хорды равен 5 см. Вычислите длину второй
хорды.
9 см
7. Высота конуса равна 4 см, а диаметр основания 6 см. Вычислите боковую
поверхность конуса.
15  см2
8. Напишите уравнение сферы, точки которой находятся на расстоянии 2 см от
начала координат.
х2 + у2 + z2 = 4
9. В равностороннем треугольнике радиус описанного круга равен 2 3 см.
Чему равна сторона треугольника?
6 см
10. Поверхность шара равна 36  см2. Вычислите его радиус.
3 см
11. Из концов дуги в 100° проведены касательные до взаимного пересечения.
Вычислите угол, образованный касательными.
80°
12. Сторона АВ треугольника АВС равна 12 см, а сторона АС равна 15 см. В
каком отношении биссектриса угла А делит третью сторону ВС?
4:5
13. Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их
пересечения?
Хорда
14. Из точки А, лежащей на окружности, проведены диаметр АВ длиной 15 см и
хорда АС длиной 9 см. Вычислите длину хорды ВС.
12 см
15. Вычислите угол, образованный двумя смежными сторонами правильного
шестиугольника.
120°
16. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны
3, 4 и 5 см. Вычислите объем пирамиды.
10 см3
17. Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше осевого сечения?
В  раз
18. Сторона ромба равна 6 см, а его угол paвен 60°. Вычислите диагонали ромба.
6 и 6 3 см
19. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковые стороны
- по 5 см. Вычислите площадь треугольника.
12 см2
2
20. Боковая поверхность равностороннего цилиндра равна 20 см . Вычислите
площадь его основания.
10 см2
21. Радиус шара 2 см. Вычислите его поверхность.
16  см2
22. Площадь сечения шара равна 9  см2. Сечение удалено от центра на
расстояние 4 см. Вычислите радиус шара.
5 см
23. Радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, равен 10 см,
а один из его катетов 12 см. Вычислите периметр треугольника.
48 см
24. В осевом сечении конуса - равносторонний треугольник со стороной, равной
а. Вычислите боковую поверхность конуса.
0,5  а2
2
25. Вычислите угол, вписанный в дугу, которая составляет
окружности.
140°
9
26. Перпендикулярны ли плоскости 2х + 5у + 2z - 3 = 0 и 4х - 2у + z - 1 = 0?
Да
27. Даны координаты векторов a (3; - 2; 1) и b (2; 3; - 1). Вычислите координаты
вектора c  a  b .
(5; 1; 0)
2
28. В треугольнике АВС cos А = . Вычислите угол А.
135°
2
29. Образующая конуса равна 10см, а его высота 8 см. Вычислите объем конуса. 96  см3
30. Объем шара равен 36  см3. Вычислите его поверхность.
36  см2
Билеты
для устного экзамена по геометрии в XI классе
Укажем номера пунктов учебника по вопросам теории, включенным в
экзаменационные билеты. Содержание билетов соответствует учебнику: Атанасян Л.С. и
др. "Геометрия 10 - 11".
Номер билета — номера пунктов:
№ 1 — п. 6; № 2 — п. 7, 9; № 3 — п. 10; № 4 — п. 16, 17; № 5 — п. 20; № 6 — п.
23;
№ 7 — п. 27; № 8—п. 28, 29; № 9 — п. 34, 35, 36, 38; № 10 — п. 45, 6; № 11 —
п. 47;
№ 12 — п. 53, 54; № 13 — п. 55, 56; № 14— п. 58, 59, 60; № 15 — п. 65, 68; №
16— п. 66; № 17—п. 69; № 18—п. 70; № 19— п. 71; № 20 — п. 62, 73.
Билет 1
1. Параллельность прямой и плоскости (определение). Признак параллельности прямой и
плоскости.
2. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
3. Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, AС
и AM.
б) Найдите площадь сечения.
Билет 2
1. Скрещивающиеся прямые (определение). Признак скрещивающихся прямых. Угол
между скрещивающимися прямыми.
2. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16 см2. Найдите
площадь сферы.
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, A1, М, где М —
середина ребра DC.
б) Найдите площадь сечения.
Билет 3
1. Параллельность двух плоскостей (определение). Признак параллельности двух плоскостей.
2. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 6 см. Найдите объем
конуса.
3. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды MABCD равны а.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания
АС перпендикулярно боковому ребру MD.
б) Найдите угол между секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
Билет 4
1. Перпендикулярность прямой и плоскости (определение). Признак перпендикулярности
прямой и плоскости.
2. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 2 см, образующая наклонена к
основанию под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
3. Основанием наклонной треугольной призмы ABCA1B1C1 служит правильный
треугольник ее стороной а. Боковое ребро AA1 равно b и составляет со сторонами
основания АВ и АС равные углы по 60°.
а) Докажите, что грань BCC1B1 — прямоугольник.
б) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Билет 5
1. Теорема о трех перпендикулярах.
2. Площадь основания цилиндра равна 16  см2 площадь его сечения равна 24 см2.
Найдите объем цилиндра.
3. Основанием пирамиды МАВС служит равносторонний треугольник АВС со стороной а.
Боковое ребро МA перпендикулярно к плоскости основания, МA = а / 2.
а) Найдите угол между плоскостями MAC и МАВ.
б) Докажите, что угол между плоскостями МВС и AВС равен 30°.
Билет 6
1. Перпендикулярность двух плоскостей (определение). Признак перпендикулярности
двух плоскостей.
2. Радиус ОА шара с центром О равен 2 см. Найдите площадь сечения шара плоскостью,
проходящей через точку А под углом 45° к радиусу ОА.
3. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной а. Боковое ребро MD
перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно b.
а) Докажите, что грань МАВ — прямоугольный треугольник.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Билет 7
1. Понятие призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы.
2. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной 4 см вокруг одной из его сторон.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
3. Основанием пирамиды МАВС служит правильный треугольник АВС со стороной а.
Грань MAC — также правильный треугольник, плоскость которого перпендикулярна к
плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что высотой пирамиды служит высота треугольника MAC, проведенная из
вершины М.
б) Найдите объем пирамиды.
Билет 8
1. Понятие пирамиды, правильной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды.
2. Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен 60°,
диагональ равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
3. Образующая конуса равна b и наклонена к основанию под углом  . Найдите:
а) радиус вписанного шара;
б) объем шара.
Билет 9
1. Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора
на число.
2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны
12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью
основания.
3. В усеченный конус, радиусы основания которого равны r и 2r, вписана сфера. Найдите:
а) радиус сферы;
б) отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
Билет 10
1. Вычисление длины вектора в пространстве по его координатам.
2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при
основании равен 30°. Найдите объем пирамиды.
3. В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с
образующей цилиндра угол  . Найдите:
а) радиус основания цилиндра;
б) объем цилиндра.
Билет 11
1. Скалярное произведение векторов в пространстве.
2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12 см, а плоский угол при
вершине равен 60°. Найдите площадь полкой поверхности пирамиды.
3. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с
гипотенузой 2т. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом
 . Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) объем конуса.
Билет 12
1. Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра.
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М— центр грани ВВ1С1С. Найдите угол между векторами
AA1 и MD .
3. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды равен 60°. В
пирамиду вписан шар радиуса r. Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) апофему пирамиды.
Билет 13
1. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса.
2. Цистерна имеет форму цилиндра, к одному из оснований которого присоединен
полушар. Радиус основания цилиндра равен 3 м. Какой длины должна быть образующая
цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 36  м3?
3. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1, сторона основания которой
равна 2 дм, высота — 4 дм. Найдите угол между векторами:
а) BC и C1 A1 ;
б) BC1 и DB1 .
Билет 14
1. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.
2. Длины векторов a и b равны соответственно 6 и 4, угол между ними равен 120°.
Найдите скалярное произведение a  b  a
3. Высота конуса равна h. Через вершину конуса под углом 45° к плоскости основания
проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Найдите:
а) радиус основания конуса;
 
б) площадь сечения конуса этой плоскостью.
Билет 15
1. Объем прямой призмы. Объем наклонной призмы.
2. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45°,
вращается вокруг катета. Найдите объем полученного тела вращения.
3. В шар вписан конус, высота которого равна радиусу r основания. Найдите:
а) образующую конуса;
б) объем шара.
Билет 16
1. Объем цилиндра.
2. Радиус основания конуса равен 6 см, а высота равна 4 см. Через середину высоты
конуса проведена плоскость, параллельная основанию конуса. Найдите объем отсеченного
конуса.
3. Дан тетраэдр МАВС, MA  a , MB  b , MC  c . Медианы треугольника ABС пересекаются в точке О, точка К — середина отрезка МО. Выразите через векторы a , b , c
векторы MO и AK .
Билет 17
1. Объем пирамиды.
2. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой
поверхности является полукруг.
3. Диаметр шара равен высоте конуса, осевое сечение которого — равносторонний
треугольник со стороной а. Найдите:
а) радиус шара;
б) отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.
Билет 18
1. Объем конуса.
2. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 10 см и составляет угол в 30° с
плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности призмы.
3. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями, из которых одна проходит через
центр сферы, имеют длины 12  и 6  3 . Найдите:
а) площадь меньшего сечения сферы;
б) расстояние между секущими плоскостями.
Билет 19
1. Объем шара.
2. Основанием прямой призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник,
катет которого равен 4 см. Плоскость, проведенная через один из катетов нижнего
основания и противоположную вершину верхнего основания, составляет с плоскостью
основания призмы угол в 45°. Найдите объем призмы.
3. Около куба ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а, описан цилиндр. Найдите:
а) площадь осевого сечения цилиндра;
б) расстояние между прямыми A1D и BC1.
Билет 20
1. Площадь сферы.
2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной 8 см и углом 60°.
Высота параллелепипеда равна меньшей диагонали ромба. Найдите объем
параллелепипеда.
3. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 см и 6 см,
двугранный угол при основании равен 60°. Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) площадь боковой поверхности пирамиды.