ЗАДАЧИ олимпиады ННГУ по МАТЕМАТИКЕ, 2009 год, 14 марта. Группа А

ЗАДАЧИ олимпиады ННГУ
по МАТЕМАТИКЕ, 2009 год, 14 марта.
Группа А
1. Представьте плоскость в виде объединения двух непересекающихся равных
множеств (множества считаем равными, если первое множество можно
совместить со вторым множеством или его отражением).
2. Пусть f :[ 0,1 [0,1 - функция, которая сопоставляет числу
х = 0,х1... хп… число f(х), полученное из х заменой всех цифр 3 на цифру 5 и
наоборот (всех цифр 5 на цифру 3). В каких точках из [0,1) функция f будет
непрерывной?
3. Найдите все функции f, удовлетворяющие условию
f(xy) = ( f(x) + f (y) ) / (x+y) при всех xR, не равных 0.
4. Найдите все решения дифференциального уравнения
y ' '− 2 1−
1
y'
x
1−
2
=0.
x
5. Проведите через прямую { x + y + z = 3; 2x – y + 3z = 4}
плоскость, паллельную линии пересечения плоскостей x - y - 2z = -1 и
3x + 2y - 4z = 9.
6. Вычислите предел функции
2
7. Вычислите интеграл
∫
0
tg x
sinx
− sin x
x4
tg x
при x 0 .
cos x
dx .
ex e
8. Исследуйте сходимость ряда 2 2− 2 2− 2 2 2− 2 2 2 ... .
9. При заданном натуральном n приведите пример таких матриц А и В размера
пхп, чтобы только скалярные матрицы Х удовлетворяли паре соотношений
АХ=ХА, ВХ=ХВ (скалярными называются матрицы, пропорциональные
единичной).
10.Значение многочлена Р с целыми коэффициентами в четырех различных
целых точках равно 3. Докажите, что многочлен Р не имеет целых корней.
11.Решите уравнение в целых числах: 3 5 − 7 = 1 .
12.Пусть f - дважды дифференцируемая функция на [-1;1], такая что
f(-1) = f(0) = f(1) = 0. Докажите, что существует такая точка c(-1;1), что
числа f(c), f '(c), f ''(c) образуют арифметическую прогрессию.
a
b
c
9
13.Последовательность {xn} задана рекуррентно: x1 = 1, при n x n = 6 x n− 1 .
Докажите, что она имеет предел и вычислите его.
m
14.Вычислите сумму ∑ cos
2
k =1
2k− 1
4m
, где т — натуральное число.