«Центр дополнительного образования для детей» Государственное бюджетное

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центр дополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:[email protected]
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 7 класс
ответы и критерии оценки заданий
к работе № 2, 2014-2015 учебный год
Задача 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального
забега на 5-ти беговых дорожках?
Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.
Задача 2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?
Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из
трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок расположения цифр
в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря,
нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа
размещений находим:
А
3
9

9!
9!
6!*7 * 8 * 9


 7 * 8 * 9  504
(9  3)!
6!
6!
Задача 3: Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3
человек?
Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все
возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое
число способов равно
С
3

7!
7!
4!*5 * 6 * 7 210



 35
(7  3)!*3! 4!*3! 4!*1 * 2 * 3
6
7
Задача 4. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для
работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,
трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора
учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из
первой совокупности (С72) может сочетаться с каждым вариантом выбора из
второй (С93) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С81) по правилу
умножения получаем:
ССС
2
3
*
7
1

*
9
6 * 7 7 *8*9 8
*
*  14112
1* 2 1* 2 * 3 1
8
Ответ: 14 112 способов.
Задача 5. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13
девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний
, поскольку
множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.
Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать
двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на
верный путь решения:
способами
можно
выбрать
2-х
юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно
выбрать:
способами.
Ответ: 123
Задача 6. Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:
В разряд тысяч можно записать любую из
цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль
не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр:
.
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на
5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует:
трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
При этом произведение
расшифровывается так: «9 способами можно выбрать
цифру в разряд тысяч и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в
разряд единиц»
Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде тысяч комбинируется с каждой из 10ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».
Ответ: 180
Задача 7. У Васи дома живут 4 кота.
а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б)
сколькими
способами
можно
отпустить
гулять
котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного на левую, другого –
на правую)?
Решаем: а)
способами можно рассадить котов по углам комнаты.
б) Считаем все возможные комбинации:
способами
можно
отпустить
гулять
одного
кота
(любого
из
4-х);
способами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите
самостоятельно);
способами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из 4-х сидит дома);
способом можно выпустить всех котов.
Полученные
значения
следует
просуммировать:
способами можно отпустить гулять котов.
в) Ситуация предполагает не только выбор 2-х животных, но и их размещение по рукам:
способами можно взять на руки 2-х котов.
Второй
вариант
решения:
способами
можно
выбрать
двух
котов
и
способами разместить каждую пару на руках:
Ответ: а) 24, б) 15, в) 12
Задача 8. В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики.
Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?
Решение: Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые
пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой
вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 +
ватрушки + 2 пончика и т.д.
Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не
имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.
Используем формулу
количества сочетаний с повторениями:
способом можно приобрести 5 пирожков.
Ответ: 21
Задача 9. Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Решение:
способами
можно
выбрать
первую
цифру
пин-кода
и
способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и
столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций,
четырёхзначный пин-код можно составить:
способами.
А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из
цифр, из
которого выбираются
цифры и располагаются в определенном порядке, при этом
цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно
пользоваться произвольное количество раз). По формуле
количества
размещений с повторениями:
Ответ: 10000
Задача 10. Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак
состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы
выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы
кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).
Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?
Решение:
автомобильного
номера,
способами можно составить цифровую комбинацию
при этом одну из них (000) следует исключить:
.
способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного
номера.
По
правилу
умножения
комбинаций,
всего
можно
составить:
автомобильных
номера
(каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ: 1726272
Критерии оценки заданий:
0 - баллов – задание выполнено, но неверно;
1 - балл –правильный ответ, отсутствует решение;
2-3 - балла - выполнено 50% задания и зависит от его сложности;
4 - балла – задание выполнено, но имеются недочеты
5 - баллов– баллов задание выполнено правильно
Максимальное количество - 50 баллов.