Решения 11 вариант Задача 1. При каких значениях b корни уравнения x 2 bx 2 0, если каждый из них уменьшить на единицу, становятся корнями уравнения x 2 b 2 x b 1 0 ? Решение. Пусть x1 , x2 - корни первого уравнения. По теореме Виета x1 x2 2 , x1 x2 b . Тогда x1 1 x2 1 - сумма корней второго уравнения. Из второго уравнения по теореме Виета b 2 b 2 , откуда получаем ответ. Ответ: b 1; b 2 Задача 2. Решить уравнение: Решение. Пусть t 1 1 26 . x 2 x 4 2 25 x x4 , тогда x t 2 и уравнение примет вид 2 2 2 2 26 25 t 2 t 2 26 t 4 t 2 2 t 2 2 25 t 2 t 3 13t 4 129t 2 108 0 t 12 . t 2 13 1 1 Таким образом, получим четыре решения: x 5; x 1; x 2 2 12 12 ;x 2 . 13 13 Ответ: 1;2 Задача 3. Найдите область определения функции y 12 ; 5. 13 x2 5 . 2 3 x 14 x2 5 0 решим обобщенным методом интервалов. Ко2 3 x 14 рень числителя: x 27 . Корень знаменателя: x 22 . Отметив их на числовой оси, получаем решение. Решение. Неравенство Ответ: 22, 27 Задача 4. Найти sin 3 12 , если ctg , . 5 2 2 2 Решение. Заметим, что ctg 0 , поэтому уточним условие для угла : 1 . Так как . Воспользуемся тождеством 1 tg 2 cos 2 2 4 2 2 5 12 1 и cos 2 . tg ctg 1 , то tg 2 , откуда получим cos 13 12 5 1 12 С помощью формулы понижения степени найдём: sin 2 1 cos 1 12 5 sin . 1 sin 2 2 2 2 13 2 26 Ответ: log 2 4 x Задача 5. Решите уравнение 4log x 5 10 5 5 . 26 16 0 . Решение. ОДЗ. x 0, x 1 . Нетрудно видеть, что 2log x 5 5log x 2 . (Доказывается логарифмированием по основанию x ). Поэтому, введя новую переменную t 2log x 5 , получим t 2 10t 16 0 . Откуда 2log x 5 2 или 2log x 5 8 . Поэтому log x 5 1 x 5 или log x 5 3 x 3 5 . Ответ: 5; 3 5 Задача 6. В квадрат ABCD со стороной 15 вписана окружность. Найти длину вектора n NA NB NC ND , где N - произвольная точка окружности. Решение. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке пересечения диагоналей квадрата и с осями координат, параллельными сторонам квадрата. Положим длину стороны квадрата равной a . Без ограничения общности будем считать, что точка A лежит в первой координатной четверти, а точки B , C и D , соответственно, во второй, третьей и четвертой. В выбранной систеa a a a a a a a ме точки имеют следующие координаты: A , , B , , C , , D , Пусть N 2 2 2 2 2 2 2 2 - произвольная точка вписанной окружности с координатами N x, y . Тогда входящие в условия задачи векторы имеют вид a a a a a a a a NA x, y , NB x, y , NC x, y , ND x, y . 2 2 2 2 2 2 2 2 их, получаем вектор n 4 x, 4 y . Его длина равна n 4 x 4 x 2 2 Суммируя 4 x 2 y 2 2a (по- скольку в выбранной системе координат вписанная в квадрат окружность описывается уравнением 2 a x y ). В нашем случае a 15 , поэтому имеем: n 30 . 2 2 2 Ответ: 30. 4 2 9 x 16 y 5 y Задача 7. Решить систему уравнений . 2 2 y 6 y x 1 Решение. Вычтем второе уравнение из первого. Перепишем систему в виде 9 x 16 y 4 5 y 2 . 4 2 2 9 x 16 y 5 y 2 y 6 y x 1 0 Выделим во втором уравнении полные квадраты и получим: 4 y 2 1 y 3 x 2 2 2 1 y 4 0 x y 3 1 x 36 . 1 y 2 Непосредственной проверкой убеждаемся, что полученное решение удовлетворяет обоим уравнениям. 1 x 36 Ответ: . 1 y 2 Задача 8. Найти множество значений функции y 12sin x cos x sin 2 x 4cos2 x. Решение. Воспользуемся формулами кратных аргументов и понижения степени sin 2 2sin cos , 1 cos 2 , 2 1 cos 2 sin 2 . 2 cos 2 Тогда будем иметь: y 6sin 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x 4 y 6sin 2 x 2,5cos 2 x 1,5 . 2 2 Далее по формуле введения дополнительного аргумента преобразуем функцию к виду y 62 2,5 sin 2 x cos cos 2 x sin 1,5 y 6,5sin 2 x 1,5 ,где 2 arctg 8;5 . 5 . Так как 1 sin x 1 , то множество значений нашей функции –отрезок 12 Ответ: 8;5 . Задача 9. Второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 14 больше суммы всех последующих членов прогрессии, а сумма членов с четными номерами равна 12,5. Найдите знаменатель прогрессии. b1q 2 q b1q 1 14 b1q 14 1 q 1 q Решение. Запишем систему . Разделив первое уравb1q b1q 12,5 12,5 1 q 2 1 q 2 28 нение на второе, получим уравнение относительно q : 1 2q 1 q или 25 3 2q 2 q 0 . Откуда получаем ответ. 25 Ответ: q 0,3 или q 0, 2 Задача 10. Пусть x1 - точка минимума, а x2 - точка максимума функции y 2ax3 3 a 3 x2 18x 3a 2 1. Найти все значения параметра a , при которых выполняется усло- вие x1 : x2 3: 2 . Решение. Найдем производную данной функции: y 6ax2 6 a 3 x 18 . Используя теорему Виета, получим условия, которым удовлетворяют корни уравнения y 0 : a3 3 и x1 x2 . Объединяя эти условия с условием, данным в задаче, получим систему a a a3 x1 x2 a 3 уравнений x1 x2 . a 3 x1 2 x2 x1 x2 1 1 1 Система имеет два решения a 18, x1 , x2 и a , x1 3, x2 2 . 2 3 2 В обоих случаях производная в своем меньшем корне меняет знак с минуса на плюс и в большем корне – с плюса на минус, т.е. меньший корень является точкой минимума, а больший корень производной – точкой максимума функции. Этому условию удовлетворяет только первое решение системы. Ответ: -18.