МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ государственное профессиональное образовательное автономное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
государственное профессиональное образовательное
автономное учреждение
«Райчихинский индустриальный техникум»
Методические рекомендации
по выполнению самостоятельных работ
по дисциплине «Математика» (на базе 9 классов)
для студентов специальностей
13. 02. 06 Релейная защита и автоматизация
электроэнергетических систем
21. 02. 15 Открытые горные работы
г. Райчихинск
2015 г.
Рассмотрено
Одобрено
на заседании ЦК
методическим советом
Протокол № ____________
Протокол № ____________
От «____» _________ 2015г.
От «____» _________ 2015г.
Председатель цикловой комиссии
_____________________________
Автор:
Ершова Е. В.,
преподаватель
2
Пояснительная записка
Цель преподавания математики в техникуме – ознакомить студентов с
основами
математического
теоретических
самостоятельно
и
аппарата,
практических
изучать
учебную
необходимого
задач;
привить
литературу
для
решения
студентам
по
умение
математике
и
ее
приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень
математической
культуры;
выработать
навыки
математического
исследования прикладных вопросов математики и умение перевести задачу
на математический язык.
Изучая литературу, студент усваивает чужие мысли; решая задачу, он
думает сам. Это принцип положен в основу самостоятельной работы по
математике.
Главной
целью
самостоятельной
работы
является
не
только
закрепление, расширение и углубление получаемых знаний, умений и
навыков, но и самостоятельное изучение нового материала без посторонней
помощи.
Общие рекомендации
Лекции и практические занятия, проводимые в течение всего семестра,
дают необходимый материал для выполнения самостоятельной работы.
Кроме того, для выполнения самостоятельной работы необходимо
пользоваться рекомендуемой литературой и Интернет - ресурсами.
Все самостоятельные работы по математике выполняются в рабочей
тетради.
Программой
дисциплины
«Математика»
для
специальностей
«Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем»
и
«Открытые горные работы» предусмотрено 156 часов.
3
Виды самостоятельной работы
№
Виды самостоятельной работы
Кол-во
п/п
1
часов
Работа со справочной литературой по теме «Признаки
делимости чисел».
2
6
Подготовка сообщения по темам:
4
1. О происхождении терминов и обозначений.
2. Из истории логарифмов.
3
Решение тестовых заданий по теме: «Логарифмы».
4
Решение задач и упражнений по образцу по
4
теме:
8
«Показательные уравнения и неравенства».
5
Графическая
работа
«Построение
сечения
куба
6
плоскостью».
6
Решение задач и упражнений по образцу по
теме:
6
«Действия над векторами».
7
Решение
тестовых
заданий
по
теме:
4
«Тригонометрические формулы».
8
Графическая
работа
по
теме:
«Графики
6
тригонометрических функций».
9
Изучить материал, систематизировать его и подготовить
презентацию по теме: «Описание различных зависимостей
10
с помощью функций и их графиков».
10
Подготовить сообщение по теме: «Развитие понятия
4
функции».
11
Решение задач по теме «Функции и графики».
4
4
12
Подготовить сообщение на темы: «Параллелепипед и его
основные
элементы»
и
«Тетраэдр
и
его
основные
4
элементы»
13
Изготовление модели многогранника.
14
Изучить материал, систематизировать его и подготовить
4
презентацию по темам: «Симметрия в природе, технике,
10
архитектуре».
15
16
Изготовление модели цилиндра по заданным размерам.
Выполнение тестовых заданий по теме «Цилиндр. Конус.
4
4
Шар».
17
Составление кроссворда по теме «Круглые тела».
18
Решение
тестовых
производных
заданий
функций, на
на
6
вычисление
нахождение
значений
4
производной в точках.
19
Решение
задач
по
образцу по
теме: «Нахождение
4
производной функции».
20
Решение задач и упражнений по образцу по теме:
6
«Применение производной к исследованию функций».
21
Графическая работа по теме: «Вычисление площадей
6
фигур с помощью интеграла».
22
Решение задач по образцу по теме: «Элементы теории
4
вероятностей»
23
Решение уравнений по образцу.
6
24
Решение неравенств по образцу.
6
25
Решение задач по подготовке к итоговой аттестации.
26
Всего:
156
5
Критерии оценивания задач и графической работы:
Оценка «5» ставится, если:
 работа выполнена полностью и в отведенные сроки;
 правильно выбран способ решения;
 решение сопровождается необходимыми объяснениями;

верно выполнены нужные вычисления и преобразования;
 аккуратная запись решения;
Оценка «4» ставится, если:
 работа выполнена полностью;
 решение не сопровождается необходимыми объяснениями;
 допущена одна-две ошибки (в зависимости от количества решаемых
задач);
Оценка «3» ставится, если:
 работа выполнена не полностью;
 решение не сопровождается необходимыми объяснениями;
 допущены более двух ошибок (в зависимости от количества решаемых
задач).
Требования к оформлению презентаций:


количество слайдов не более 10
первый слайд должен содержать Ф.И.О. студента, дисциплина,
тема, Ф.И.О. преподавателя;

фон презентаций нейтральный, не яркий;

текст на слайде не должен занимать много места (максимум 3 - 4
предложения);

фотографии и иллюстрации четкие, ясные, соответствующие теме
презентации.
Конспект –
способ изложения содержания книги или статьи в
логической последовательности.
6
Методические рекомендации по составлению конспекта
1. Внимательно прочитайте текст.
2. Выделите главное, составьте план.
3. Кратко
сформулируйте
основные
положения
текста,
отметьте
аргументацию автора.
4. Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При
конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи
следует вести четко, ясно. Записи должны распределяться в определенной
последовательности, отвечающей логической структуре произведения.
5. Используйте один из следующих видов конспектов: плановый
(создается на основе составленного плана первоисточника, состоит из
пунктов и подпунктов; каждый заголовок дополняется коротким текстом, а в
итоге
получается
небольшой
план-конспект),
схематически-плановый
(пункты плана – вопросы, на которые даются краткие ответы), текстуальный
(составляется из цитат источника, для этого нужно уметь правильно
выделять основные мысли текста), тематический (при составлении конспекта
на определенную тему используется несколько источников), свободный
(комбинирует остальные типы).
Сообщение – это вид изложения материала, краткое выступление по
определенной теме. Отражает основные моменты данной темы. Главная цель
которого - обнародовать новые факты, предварительные результаты,
представленные в доступной форме. Найдите информацию по определенной
теме с разных источников: интернет - ресурсы, энциклопедии, практические
пособия, изучите ее и систематизируйте в сообщение.
Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.
Правила составления кроссвордов
1) В общем случае определение должно состоять из одного предложения.
7
2) Определения должны быть по возможности краткими. Следует
избегать
перечислений,
не
злоупотреблять
причастными
и
деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными.
Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью
и содержательностью.
3) Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых
слов, даже с различными определениями.
4) В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом
работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.
5) Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола,
деепричастия.
6) Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.
7) Не
используются
слова,
пишущиеся
через
тире
и
имеющие
уменьшительно-ласкательную окраску.
8
Самостоятельная работа № 1
Тема: Работа со справочной литературой по теме «Признаки
делимости чисел».
Цель: повторить признаки делимости чисел и законспектировать в
рабочую тетрадь.
Основные моменты:
1. Сформулируйте признак делимости на 2.
2. Сформулируйте признак делимости на 3.
3. Сформулируйте признак делимости на 5.
4. Сформулируйте признак делимости на 10.
5. Сформулируйте признак делимости на 9.
Самостоятельная работа № 2
Тема: Подготовка сообщения по темам:
1) О происхождении терминов и обозначений.
2) Из истории логарифмов.
Цель: Подготовить сообщение по теме: «О происхождении терминов
и обозначений» или «Из истории логарифмов».
Информация из сети интернет.
Самостоятельная работа № 3
Тема: Решение тестовых заданий по теме: «Логарифмы».
Цель: закрепить понятие логарифма и свойства логарифма.
Тест по теме «Логарифмы»
A1. Найдите значение логарифма: log5 125
а) 25; б) 5; в) 3; г) 8
A2. Найдите значение логарифма: log7 49
а) 0,5; б) 2; в) 7; г) 3
A3. Найдите значение логарифма: log4 1
а) 0; б) 1; в) 4; г) 3
9
A4. Найдите значение логарифма: log 1 9
3
а) 0,5; б) - 2; в) 2; г)- 3
A5. Найдите значение логарифма: log4 64
а) 0; б) 1; в) 4; г) 3
A6. Найдите значение логарифма:log 3
1
243
а) 0,5; б) 7; в) - 7; г) 3
A7. Найдите значение логарифма: log0,2 0,008
а) 0,5; б) 2; в) 7; г) 3
A8. Найдите значение логарифма: log 1 1
3
а) 0,5; б) 0; в) 1; г) - 3
C1 Найдите значение выражения: log8 64 − log3 81
C2 Найдите значение выражения: log2 32 + log5 125
C3 Найдите значение выражения: log3 9 − log7 343
C4 Найдите значение выражения: log5 625 + log0,1 0,01
Самостоятельная работа № 4
Тема: Решение задач и упражнений по образцу по
теме:
«Показательные уравнения и неравенства».
Цель: Научиться решать различными способами показательные
уравнений и неравенства.
Методы решения показательных уравнений:
 метод уравнивания показателей;
 метод введения новой переменной;
 метод вынесения общего множителя за скобки;
 метод почленного деления;
 метод группировки.
10
Неравенства вида 𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥)
Образец решения уравнений:
1) 5𝑥 = 625
2) 0,2𝑥−0,5 ∙ 0,20,5 = 0,2−1 ∙ 0,22(𝑥−1)
5 𝑥 = 54
0,2𝑥 = 0,22𝑥−3
𝑥=4
𝑥 = 2𝑥 − 3
Ответ: 𝑥 = 4.
−𝑥 = −3
𝑥=3
Ответ: 𝑥 = 3.
3) 9𝑥 − 5 ∙ 3𝑥 + 4 = 0
32𝑥 − 5 ∙ 3𝑥 + 4 = 0
введем замену 3𝑥 = 𝑡, получим
4) 7𝑥+2 + 4 ∙ 7𝑥+1 = 539
7𝑥 ∙ 49 + 28 ∙ 7𝑥 = 539
7𝑥 ∙ (49 + 28) = 539
𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0
7𝑥 ∙ 77 = 539
𝐷 = 25 − 16 = 9, √𝐷 = 3
7𝑥 =
𝑡1 = 4,
𝑥
𝑡2 = 1
3 = 4,
⇒
𝑥1 = log 3 4
3𝑥 = 1,
⇒ 𝑥2 = 30 ⇒ 𝑥2 = 0
Ответ: 𝑥1 = log 3 4, 𝑥2 = 0
539
77
7𝑥 = 7
𝑥=1
Ответ: 𝑥 = 1.
11
Образец решения неравенств:
1)
2)
3)
Задания для самостоятельной работы:
1. 43−2𝑥 = 42−𝑥 ;
2.
22𝑥
3
=
27
8
;
3. 22𝑥 + 2𝑥 − 2 = 0;
4. 16𝑥 + 4 ∙ 4𝑥 − 5 = 0;
5. 3𝑥+2 + 4 ∙ 3𝑥+1 = 21;
6. 4𝑥 − 2𝑥+1 − 24 < 0;
7. 2𝑥 < 6;
12
8. 0,42𝑥+1 ≥ 0,16;
9. 5𝑥
2 −2𝑥−1
< 25.
Самостоятельная работа № 5
Тема: Графическая работа «Построение сечения куба плоскостью».
Цель: закрепить умения построения сечения куба плоскостью.
Критерии оценки:
«5» - выполнены 2 задания с полным обоснованием построения
(пошаговым описанием);
«4» -
выполнено
только второе задание с полным обоснованием
построения (пошаговым описанием);
«3» - выполнено первое задание, и построено только одно сечения без
описания;
«2» - ни сделано ничего.
Задание для графической работы:
Вариант 1:
Задание
1.
Постройте
сечения,
проходящие через указанные точки.
Задание 2. Самостоятельно отметьте точки на кубе и постройте сечение
(расположение точек должно отличаться от расположения точек в задании
№1).
Вариант 2:
13
Задание
1.
Постройте
сечения,
проходящие через указанные точки.
Задание 2. Самостоятельно отметьте точки на кубе и постройте сечение
(расположение точек должно отличаться от расположения точек в задании
№1).
Самостоятельная работа № 6
Тема: Решение задач и упражнений по образцу по теме: «Действия
над векторами».
Цель: Знать правила действия над векторами и уметь их применять при
вычислениях.
Теоретический материал
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат.
Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим
⃗⃗ векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их
𝑖⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑗, 𝑘
длины равны единице, а направления совпадают с направлениями
соответствующих
осей
координат.
Будем
изображать
эти
векторы,
отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.
14
Теорема. Вектор 𝑎⃗
имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда,
⃗⃗ .
когда он представим в виде 𝑎⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘
№п/п
1
Название операции
Найти
Формулы
координаты
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ (𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1; 𝑧2 − 𝑧1 )
вектора
2
Найти
сумму 𝑎
⃗⃗⃗ + ⃗𝑏⃗ = (𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦1 + 𝑦2 ; 𝑧1 + 𝑧2 )
векторов
3
Найти
разность
⃗⃗⃗ − ⃗𝑏⃗ = (𝑥1 − 𝑥2 ; 𝑦1 − 𝑦2 ; 𝑧1 − 𝑧2 )
𝑎
векторов
4
Найти произведение
𝑘𝑎⃗ = (𝑘𝑥; 𝑘𝑦 ; 𝑘𝑧)
вектора на число
5
Найти длину вектора
6
Вычислить
координаты
середины отрезка
⃗⃗⃗| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
|𝑎
𝑥1 + 𝑥2
,
2
𝑧 + 𝑧2
𝑧𝑀 = 1
2
𝑥𝑀 =
𝑦𝑀 =
𝑦1 + 𝑦2
,
2
Задания для самостоятельной работы:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
Даны координаты точек. Определите координаты векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
длины векторов 𝐴𝐵
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 4 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
сумму и разность векторов 3𝐴𝐵
координаты середины отрезка ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 .
Вариант 1
Вариант 2
А(3; 2; –1), В(–2; 2; 8), С(–4; 1; –1), А(–3; 2; 1), В(2; –3; 8), С(–4; –1; 2),
Д(0; 5; 1)
Д(1; –3; 0)
Образец решения задания:
Даны координаты точек А (-3; 4; –5), В(2; -4; 8), С(4; 2; 1), Д (-2; 6; 0)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
1. Определим координаты векторов 𝐴𝐵
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
15
По формуле ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ = (𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1; 𝑧2 − 𝑧1 ) получим:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (2 − (−3); −4 − 4; 8 − (−5)) = (5; −8; 13)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = (−2 − (−3); 6 − 4; 0 − (−5)) = (1; 2; 5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4 − (−3); 2 − 4; 1 − (−5)) = (7; −2; 6).
𝐴С
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. Определим длины векторов 𝐴𝐵
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 получим:
По формуле |𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √52 + (−8)2 + 132 = √25 + 64 + 169 = √258
|𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √12 + 22 + 52 = √1 + 4 + 25 = √30
|𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √72 + (−2)2 + 62 = √49 + 4 + 36 = √89.
|𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3. Определим сумму и разность векторов 3𝐴𝐵
𝐴𝐶.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(5; −8; 13) + 4(7; −2; 6) = (15; −24; 39) + (28; −8; 24)
3𝐴𝐵
= (43; −32; 63)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 4 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(5; −8; 13) − 4(7; −2; 6) = (15; −24; 39) − (28; −8; 24) =
3𝐴𝐵
= (−13; −16; 15).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
4. Определим координаты середины отрезка 𝐵𝐶
По формулам 𝑥𝑀 =
𝑥𝑀 =
2+4
2
= 3; 𝑦𝑀 =
−4+2
2
𝑥1 +𝑥2
2
,
𝑦𝑀 =
= −1; 𝑧𝑀 =
𝑦1 +𝑦2
8+1
2
2
, 𝑧𝑀 =
𝑧1 +𝑧2
2
получим:
= 4,5
Точка 𝑀(3; −1; 4,5)
Самостоятельная работа № 7
Тема: Решение тестовых заданий по теме: «Тригонометрические
формулы».
Цель: закрепить знания тригонометрических формул.
Тест по теме «Тригонометрические формулы»
I вариант
А 1. Упростить выражение
а) sin α ;
1  сos 2
 ctg
sin 2
б) -1; в) 1; г) - cos α .
16
А 2. Найдите значение выражения 96 sin 330° cos 120°.
а) 20; б) -1; в) 24; г) 96.
1 tg 2
 sin  , если    ,   
6
3
2  ctg 2
А 3. Найдите значение выражения
а) 0,5; б) -1; в) 0,3; г) 6.
𝑠𝑖𝑛4 𝛼−𝑐𝑜𝑠 4 𝛼
А 4. Упростите выражение
sin 𝛼 cos 𝛼
.
а) 2𝑡𝑔2𝛼; б) −2𝑐𝑡𝑔2𝛼 ; в) 2𝑐𝑡𝑔2𝛼; г) −2𝑡𝑔2𝛼.
А 5. Найти значение sin 2α , если cos α - sin α = 0,5
а) 0,75;
б) 0,15;
в) -0,75;
г) -0,15.
А 6. Найти значение выражения -1,5sin(π +α) –1,3cos( 3 +α), если sin α = -0,1
2
а) 0,02;
б) -0,02;
в) 0,28;
г) -0,28
11
;
15

 
2
В 1. Найти значение выражения
15 sin α, если cos α = -
В 2. Найти значение выражения
3sin2 α - 7 cos2 α , если cos α = -0,1
В 3. Найти значение выражения sin(  +α) – 4cos (π - α),
2
если cos α = -0,4
В 4. Найти значение выражения 13tg(π - α) - 8ctg (  +α), если tg α = -1,1.
2
II вариант
А 1. Упростить выражение
1  sin 2  cos 2
1  sin 2  cos 2
а) sin α ; б) tg α; в) ctg α; г) - cos α
А 2. Найдите значение выражения 54√2 sin 315° cos 300°.
а) 54; б) -27; в) 27; г) 96.
А 3. Найдите значение выражения

,
1tg 2
 cos  
2

3 ctg 2
если    ,    .
6
3
а) 0,5; б) 0,7; в) 0,3; г) 1.
17
А 4. Упростите выражение
1−(sin 𝛼−cos 𝛼)2
1−𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
.
а) −𝑡𝑔2𝛼; б) 𝑡𝑔2𝛼 ; в) −𝑐𝑡𝑔2𝛼; г) с𝑡𝑔2𝛼.
А 5. Найти значение cos 2α , если sin α = 0,6
а) 0,64;
б) 0,08;
в) 0,28;
г) 0,36.
А 6. Найти значение выражения 13cos(2π - α) – 4sin(α + 3 ), если cos α = 0,1
2
а) 1,7;
б)0,17
в) 0,9
г) -0,9 .
3
;
19
В 1. Найти значение выражения
19 sin α, если cos α = -
В 2. Найти значение выражения
2sin2 α + 6 cos2 α , если sin α = -0,2
В 3. Найти значение выражения 4sin(  +α) – cos (π - α),
2
  
3
2
если cos α = -0,9
В 4. Найти значение выражения 6,5 сtg( 3 - α) - 0,3tg (π + α), если tg α = 10.
2
Самостоятельная работа № 8
Тема: Графическая работа по теме: «Графики тригонометрических
функций».
Цель: Построить графики тригонометрических функций.
Задание:
в
одной
системе
координат
построить
графики
тригонометрических функций.
Вариант 1
Вариант 2
1. 𝑦 = sin 𝑥
1. 𝑦 = cos 𝑥
2. 𝑦 = sin 2𝑥
2. 𝑦 = cos 3𝑥
3. 𝑦 = 4 sin 2𝑥
3. 𝑦 = 3 cos 4𝑥
18
Самостоятельная работа № 9
Тема: Описание различных зависимостей с помощью функций и их
графиков.
Цель:
Изучить материал, систематизировать его и подготовить
презентацию по данной теме.
Задание:
С помощью графиков функций представьте следующие пословицы:
1. Выше меры конь не скачет.
2. Чем дальше в лес, тем больше дров.
3. Кашу маслом не испортишь.
4. Недосол на столе – пересол на спине.
5. Сорока никогда соловьиные песни не поёт.
6. Где много слов, там мало дела.
7. Пересев хуже недосева.
Самостоятельная работа № 10
Тема: Развитие понятия функции.
Цель: Подготовить сообщение по теме: «Развитие понятия функции».
Информация из сети интернет.
Самостоятельная работа № 11
Тема: Решение задач по теме «Функции и графики».
Цель: закрепить умения осуществлять преобразование графиков
функций.
Задание: Постройте в одной системе координат графики следующих
функций:
1. 𝑦 = 𝑥 2
2. 𝑦 = 0,5𝑥 2
3. 𝑦 = −𝑥 2 − 6
19
4. 𝑦 = (𝑥 + 4)2
5. 𝑦 = (𝑥 − 3)2 + 5
Самостоятельная работа № 12
Тема: Параллелепипед и его основные элементы. Тетраэдр и его
основные элементы.
Цель: Подготовить сообщение по данным темам.
Информация из сети интернет.
Самостоятельная работа № 13
Тема: Изготовление модели многогранника.
Цель:
Закрепить
понятие
правильных
многогранников,
при
изготовлении моделей, используя развертки.
Одним из способов изготовления правильных многогранников является
способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого
нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель
можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она
превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник
называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели
многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При
этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели
многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой
будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного
цвета.
20
Самостоятельная работа № 14
Тема: Симметрия в природе, технике, архитектуре.
Цель: Изучить материал, систематизировать его и подготовить
презентацию по теме.
Информация из сети интернет.
Самостоятельная работа № 15
Тема: Изготовление модели цилиндра по заданным размерам.
Цель: Закрепить понятие цилиндра, при изготовлении моделей,
используя развертки.
Задание:
Изготовить из бумаги модель цилиндра по следующим
размерам: радиус основания равен 2 см, высота 5 см.
Самостоятельная работа № 16
Тема: Выполнение тестовых заданий по теме «Цилиндр. Конус. Шар».
Цели:
− систематизировать теоретический материал по темам «Цилиндр,
«Конус», «Сфера», «Шар»;
21
− совершенствовать навыки решения задач по изученным темам.
Тест по теме «Цилиндр. Конус. Шар»
Вариант 1
1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна
36 см. Найдите радиус основания цилиндра.
а) 9 см; б) 8 см; в) 8 √3 см; г) 9√2 см.
2. Площадь осевого сечения цилиндра 12√𝜋 дм2, а площадь основания
равна 64 дм2. Найдите высоту цилиндра.
𝜋
5𝜋
2
6
а) дм; б) 0,75𝜋 дм; в)
дм; г) 3 дм.
3. Высота конуса равна 12 см, а радиус основания равен 9 см. Найдите
образующую конуса.
а) 15 см; б) 17 см; в) 13 см; г) 13√3 см.
4. Найдите площадь полной поверхности конуса, если радиус
основания конуса равен 6 см, а высота √45 см.
а) 75π см2; б) 93π см2; в) 90π см2; г) 65π см2.
5. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см.
а) 144𝜋 см2; б) 25 √3𝜋 см2; в) 360𝜋 см2; г) 100𝜋 см2.
Вариант 2
1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна
20 см. Найдите радиус основания цилиндра.
а) 5√2 см; б) 8√2 см; в) 10 см; г) 10√2 см.
2. Площадь осевого сечения цилиндра 6√𝜋 дм2, а площадь основания
равна 25 дм2. Найдите высоту цилиндра.
а)
3𝜋
2
𝜋
дм; б) дм; в) 0,6𝜋 дм; г) 2 дм.
2
3. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите
образующую конуса.
а) 19 см; б) 17 см; в) 13 см; г) 13√3 см.
22
4. Найдите площадь полной поверхности конуса, если радиус
основания конуса равен 5 см, а высота √39 см.
а) 75π см2; б) 63π см2; в)19π см2; г) 65π см2.
5. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 5 см.
а) 144𝜋 см2; б) 25 √3𝜋 см2; в) 360𝜋 см2; г) 100𝜋 см2.
Самостоятельная работа № 17
Тема: Составление кроссворда по теме «Круглые тела».
Цель:
Развитие
интереса
к
предмету,
интуиции,
логического
мышления.
Кроссворд состоит из 10 – 12 слов.
Самостоятельная работа № 18
Тема: Решение тестовых заданий
на вычисление производных
функций, на нахождение значений производной в точках.
Цель:
проверить
умения
находить
производные
элементарных
функций.
Тест по теме: «Нахождение производных функций»
1. Найдите производную функции: f(x) = 4x-5
a) 4; б) 9; в) -5.
2. Найдите производную функции: f(x)=6x4-3x3-2x2-8
а) 6х3-3х2-2х;
б) 24х3-9х2-2х2-8; в) 24х3-9х2-4х.
3.Найдите производную функции: f(x)=5x3-4 x
а) 15 x 2  4 ; б) 15x 2 
2
x
;
в) 15x 2 
4.Найдите производную функции: f x  
а)
22
;
(2 x  5) 2
б)
4
x
.
4x  1
2x  5
18
16 x
; в)
2x  5
(2 x  5) 2 .
23
5. Найдите производную функции: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ cos 𝑥
а) cos 𝑥 + 𝑥 ∙ sin 𝑥; б) sin 𝑥 + 𝑥 ∙ cos 𝑥;
в) cos 𝑥 − 𝑥 ∙ sin 𝑥 .

6. Найдите производную функции: f x   sin  5 x  

𝜋
3
𝜋
а) 5 cos 5𝑥; б) 5 sin (𝑥 − ); в) 5 cos (5𝑥 − ) .
3
3
7. Найдите производную функции: f(x)=(1+3x)20
а) (1+3x)19 ; б) 20(1+3х)19 ; в) 60(1+3х)19.
8. Дана функция 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥. Найдите значение производной в точке
х=4.
а) 12; б) 4; в) 8.

9. Найдите f ( ), если f(x)=3cosx.
4
а)
3
2
2;
б)
3
2
3;
в)
3
2
2.
Самостоятельная работа № 19
Тема: Решение
задач
по
образцу по
теме: «Нахождение
производной функции».
Цель: проверить умения находить производные функций.
Образец решения уравнений:
1) 𝑦 =
𝑥5
5−𝑥 2
(𝑥 5 )′ ∙ (5 − 𝑥 2 ) − (𝑥 5 ) ∙ (5 − 𝑥 2 )′ 5𝑥 4 ∙ (5 − 𝑥 2 ) − (𝑥 5 ) ∙ (−2𝑥)
𝑦 =
=
=
(5 − 𝑥 2 )2
(5 − 𝑥 2 )2
′
25𝑥 4 − 5𝑥 6 + 2𝑥 6 25𝑥 4 − 3𝑥 6
=
=
(5 − 𝑥 2 )2
(5 − 𝑥 2 )2
2) 𝑦 = (𝑥 4 + 8𝑥 − 3)9
𝑦 ′ = 9(𝑥 4 + 8𝑥 − 3)8 ∙ (𝑥 4 + 8𝑥 − 3)′ = 9(𝑥 4 + 8𝑥 − 3)8 ∙ (4𝑥 3 + 8)
24
3) 𝑦 = 8𝑥
7 −2𝑥+19
𝑦 ′ = 8𝑥
7 −2𝑥+19
∙ 𝑙𝑛8 ∙ (𝑥 7 − 2𝑥 + 19)′ = 8𝑥
7 −2𝑥+19
∙ 𝑙𝑛8 ∙ (7𝑥 6 − 2)
4) 𝑦 = sin(9𝑥 + 4) + 𝑡𝑔2 𝑥
𝑦 ′ = 9 cos(9𝑥 + 4) + 2𝑡𝑔𝑥 ∙
1
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
5) 𝑦 = 𝑙𝑛 cos 2𝑥
𝑦′ =
1
−2 sin 2𝑥
∙ (− sin 2𝑥) ∙ 2 =
= −2𝑡𝑔2𝑥
cos 2𝑥
cos 2𝑥
Задания для самостоятельной работы:
x3
1) y  2
;
x 1
2) y  2 x  x 2  ;
3
3) y  ln sin x  x 3 ;
4) y  tgx2  sin 2 3x;
5) y  sin 2 3x  ln x 2 ;
6) у  3 x 1 ;
2
7) у  x cos x  1;
8) y 
cos x
.
1  sin 2 x
Самостоятельная работа № 20
Тема: Решение задач и упражнений по образцу по теме: «Применение
производной к исследованию функций».
Цель: научить студентов применять производную при исследовании
функций.
Теоретический материал
Общая схема исследования функций с помощью производной
1. Нахождение области определения функции.
25
2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной, периодической
или эта функция – функция общего вида.
3. Определение точек пересечения с осями координат.
4. Нахождение критических точек (точек, в которых производная равна
нулю или не существует).
5. Определение промежутков знакопостоянства функции.
6. Определение
(промежутков,
промежутков
на
возрастания
которых
и
производная
убывания
функции
положительна
или
отрицательна).
7. Определение экстремумов функции.
8. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек
перегиба (исследование проводится по второй производной функции).
9. Нахождение асимптот функции.
10. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное
уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем
недостаточна).
Данную схему можно варьировать в зависимости от конкретных
особенностей функции, переставлять отдельные этапы, некоторые из них
опускать, какие-то, наоборот, добавлять.
Образец решения:
Исследовать функцию 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 и построить её график.
26
на промежутках (−∞; 0)и (2; ∞) функция убывает;
на промежутке [0;2] функция возрастает.
5) y(0) = 0 - минимум функции. Е(0;0);
y(2) = 4 - максимум функции. F(2;4).
Постоим график функции:
Задания для самостоятельной работы:
Вариант 1
Вариант 2
Исследуйте функцию с помощью
Исследуйте функцию с помощью
производной и постройте ее
производной и постройте ее график:
график: f(x) = 3x – x3
f(x) = x3 – 12x
27
Самостоятельная работа № 21
Тема: Графическая работа по теме: «Вычисление площадей фигур
с помощью интеграла».
Цель: закрепить навыки применения определенного интеграла к
вычислению площадей плоских фигур.
Задания для самостоятельной работы:
Вариант 1
1.
Найти
Вариант 2
площадь
фигуры 1.
Найти
площадь
ограниченной линиями у= - х2,
ограниченной линиями
у=х - 2,у=0
у= х2 - 2 ,у=х
2. Найти площадь
фигуры,
2.
ограниченной
графиками
функций y=x2-2x+3, y=3x-1.
Найти
площадь
фигуры,
фигуры,
ограниченной графиками функций
y=4/x2, x=1,y=x-1.
Самостоятельная работа № 22
Тема: Решение задач по образцу по теме: «Элементы теории
вероятностей».
Цель: закрепить умения решать задачи по теории вероятностей.
28
Образец решения:
Задача 1: Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных,
проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова
вероятность, что он проверит ровно две детали?
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает,
что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая –
стандартная. Значит, A  A1 A2 , где A1 ={первая деталь оказалась нестандартной
} и A2 ={вторая деталь – стандартная}. Очевидно, что вероятность события А1
равна P( A1 )  3 /10, кроме того, P( A2 | A1 )  7 / 9 , так как перед взятием второй
детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7
стандартных. По теореме умножения
P( A)  P( A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 | A1 ) 
3 7
  7 / 30.
10 9
Задача 2: В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике –
6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного
ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному
шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар}
можно представить в виде суммы A  A1  A2 , где события A1 и A2 означают
появление белого шара из первого и второго ящика соответственно.
Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна P( A1 )  3 / 8 , а
вероятность вытащить белый шар из второго ящика P( A2 )  6 /10 . Кроме того,
3 6
9

. По
8 10 40
в силу независимости A1 и A2 имеем: P( A1 A2 )  P( A1 ) P( A2 )  
теореме сложения получаем:
P( A)  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 A2 )  3 / 8  6 / 10  9 / 40  3 / 4 .
Задача 3:
Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому
предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов,
второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов
производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов
29
к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у
первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего —
70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст
экзамен.
Решение. Обозначим через H1 , H 2 , H 3 гипотезы, состоящие в том, что
слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему
экзаменатору соответственно. По условию задачи
P( H1 )  6 / 30  0,2 , P( H 2 )  3 / 30  0,1, P( H 3 )  21 / 30  0,7 .
Пусть событие A={слабо подготовившийся студент сдал экзамен}.
Тогда снова в силу условия задачи
P( A | H1 )  0,4 ,
P( A | H 2 )  0,1 ,
P( A | H 3 )  0,7 .
По формуле полной вероятности получаем:
P( A)  0,4  0,2  0,1  0,1  0,7  0,7  0,58 .
Задания для самостоятельной работы:
Задача 1. Из корзины, в которой находятся 9 красных, 8 желтых и 7
зеленых шаров, наудачу вынимается один. Найти вероятность того, что
вынутый шар окажется: а) красным, б) желтым; в) черным; г) зеленым.
Задача 2. В корзине находятся 30 белых и 20 черных шаров. Наугад
вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону.
Наугад вынимают еще один шар, который оказался черным, и откладывают
его в сторону. После этого берут еще один шар. Найти вероятность того, что
этот шар окажется белым.
Задача 3. В корзине 4 белых и 3 черных
шаров. Из корзины
последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что второй шар
окажется черным при условии, что первый шар был черным.
Задача 4. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти
вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей ровно 5 стандартных?
30
Самостоятельная работа № 23
Тема: Решение уравнений по образцу.
Цель: закрепить навык решения уравнений.
Образец решения:
1. Решите рациональное уравнение:
3х-3+4х = 5х
7х-5х = 3
2х = 3
х = 3:2
х = 1,5
Ответ: 1,5.
2. Решить иррациональное уравнение  2 х  1 = х 2  36
 2х  1 =
х 2  36
 х  5
 2 х  1  х 2  36
 х 2  2 х  35  0



  х  7
 2 х  1  0
2 х  1
 х  0,5

 х = - 7.
Ответ: - 7.
3. Решить иррациональное уравнение 22  2 х = х + 1
 х  1
х  1  0
 х  1


 2
  х  3
2
22  2 х  ( х  1)
 х  4 х  21  0
 х  7

 х =3.
Ответ: 3.
31
4. Решить показательное уравнение: 0,4 x1  6,256 x5 .
Учтем, что
2
вид:  
5
Ответ:
x 1
12 x 10
5
 
2
x
0,4 

2
5
, 6,25  , тогда первоначальное уравнение примет
5
2
2
 
5
x 1
2
 
5
12 x 10
 x  1  10  12 x 
x
11
.
13
11
.
13
5. Решить логарифмическое уравнение: lg( 2 x  5) 2  0 .
Исходное уравнение равносильно уравнению lg( 2 x  5) 2  lg 1, которое в
свою очередь равносильно квадратному уравнению (2 x  5) 2  1 .
Находим корни этого уравнения : х1=3, х2=2.
Ответ: х1=3, х2=2.
6. Решить логарифмическое уравнение:
x4
 log 2 x 2  5;
x
( x  4) x 2
log 2
 log 2 32;
x
log 2
ОДЗ:
x4
 0 , т.е. x   ;4  0;
x
(x+4)х=32;
х2 + 4х – 32 = 0;
D= 16+128=144;
D>0, значит, уравнение имеет два различных действительных корня.
х1=- 8 и x2= 4. Согласуем полученное решение с ОДЗ.
Ответ: - 8 и 4.
Задания для самостоятельной работы:
32
4.
х  2  х2  8  0
5.
у  10  2  у
2
6. log 3 x  log 3
x
3
x6
.
Самостоятельная работа № 24
Тема: Решение неравенств по образцу.
Цель: закрепить навык решения неравенств.
Образец решения:
1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
(2𝑥 − 6)2 ∙ (𝑥 + 2)
≤0
2𝑥 − 1
Решим неравенство методом интервалов.
Отметим на числовой прямой точки 𝑥1 = 0,5 ; 𝑥2 = −2; 𝑥3 = 3 и
определим знаки.
+
-2
+
0,5
+
3
𝑥 ∈ [−2; 0,5]. Следовательно, неравенство имеет целочисленные решения:
-2, - 1, 0. Таких решений 3.
Ответ: 3.
2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
1 2𝑥
( )
7
2 −3𝑥
2
1 2𝑥 −3𝑥
(7)
≥
1
49
1 2
1 𝑡
≥ ( ) , так как функция 𝑦 = ( ) убывающая, то
7
7
2𝑥 2 − 3𝑥 ≤ 2
2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 ≤ 0
33
Введем функцию 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 и приравняем ее к нулю, получим
2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = 0
𝐷 = 9 + 16 = 25;
√𝐷 = 5
−𝑏 ± √𝐷
2𝑎
3±5
=
⇒ 𝑥1 = 2, 𝑥2 = −0,5
4
Отметим точки на числовой оси и решим методом интервалов, получим
𝑥1,2 =
𝑥1,2
𝑥 ∈ [−0,5; 2]. Следовательно, неравенство имеет целочисленные решения: 0,
1, 2. Таких решений 3.
Ответ: 3.
3. Решить логарифмическое неравенство:
log 0, 25 ( x  1)  log 0, 25 ( x  1)  log 0, 25 3
 х  1  0;  x  1;
т.е. x  1;

 x  1  0;  x  1.
ОДЗ: 
log 0, 25 ( x  1)( x  1)  log 0, 25 3; так как функция у = log0,25t убывающая и
большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то
приходим к неравенству:
х2 -1 ≤ 3;
х2 -4 ≤ 0;
( х – 2 )( х + 2 ) ≤ 0
x   2;2 .
Согласуем полученное решение с ОДЗ
(1; 2] – решение данного
неравенства.
Ответ: 𝑥 ∈ (1; 2].
34
Задания для самостоятельной работы:
1.
1 𝑥
( )
3
Сколько
2 −𝑥
≥
целочисленных
решений
имеет
неравенство?
1
9
2. Решите логарифмическое неравенство log 7 (2𝑥 + 3) ≥ log 7 (4 − 3𝑥).
3. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
(𝑥 − 4)2 ∙ (𝑥 + 3)
≥0
3 − 2ч
Самостоятельная работа № 25
Тема: Решение задач по подготовке к итоговой аттестации.
Цель: подготовиться к итоговой аттестации.
Выполнение заданий с сайтов:
РЕШУ ЕГЭ - http://reshuege.ru/;
Открытый банк заданий ФИПИ - http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bankzadaniy-ege.
35
Литература
1. Апанасов Т. П. , Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учеб.
Пособие для техникумов. – М.: Высш. Шк. , 1987. – 303 с,: ил.
2. Башмаков М. И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред.
проф. образования / М. И. Башмаков. – 7-е изд., стер. – М.:
Издательский центр «Академия», 2013. – 256 с.
3. Башмаков М. И.
Математика:
учебник / М. И. Башмаков. – М.:
КНОРУС, 2013. – 400 с. – (Начальное и среднее профессиональное
образование).
4. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для образоват.
учреждений нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков. – 2-е
изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 416с.
5. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике – М:
Высшая школа, 1989.
36