Описание дисциплины Математика

Описание дисциплины
МАТЕМАТТИКА
1, 2,3 ,4 семестры
1. ЕН.01
2. Дисциплина базируется на знании школьного курса математики и
может являться пререквизитом к изучению ряда специальных дисциплин.
3. Кредитная стоимость дисциплины ?????
4. Цели дисциплины: Современный научный сотрудник или инженер, в достаточной
мере, должен владеть математическими методами исследования и логической
культурой мышления. Высшая математика является одной из фундаментальных
дисциплин для студентов технических специальностей, которая позволит
сформировать у студента навыки решения задач физического профиля с
использованием математического аппарата дисциплины. Целью
изучения
дисциплины студентами является приобретение знаний, предусмотренных
программой, формированием умения и навыков применять полученные знания при
решении конкретных задач.
5. Результаты обучения
Студент, изучив дисциплину «Математика» должен:
иметь представление:
 о математике, как особом способе познания мира и образе мышления,
общности её понятий и представлений;
 о связи курса с другими дисциплинами;
уметь:
 использовать основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической
геометрии;
 использовать основные понятия и методы дифференциального исчисления
функции одной и нескольких независимых переменных;
 использовать основные понятия и методы интегрального исчисления
функции одной и нескольких независимых переменных;
 использовать математические модели для конкретных процессов и
проводить необходимые расчёты в рамках построенных моделей;
 использовать полученные знания при усвоении учебного материала
последующих дисциплин.
Знать и иметь опыт:
 употребления математической символики для выражения количественных и
качественных отношений объектов;
 применения математических методов и элементов научных исследований в
прикладных задачах и оценивания пределов применимости полученных
результатов.
Задачи дисциплины:
В результате изучении дисциплины «Математика» студент обязан:

Иметь представление:
o о математике, как особом способе познания мира и образе мышления,
общности её понятий и представлений;
o о логической символике, используемой в данной и последующих
дисциплинах;
o о методе сечений;
o о канонических уравнениях поверхностей второго порядка, (сфера,
эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндры, конусы).

o о множествах и операциях над ними;
o о функциональной связи переменных и её свойствах
o классах интегрируемых функций;
o о применении интегрального исчисления к изучению векторных
полей;
o о “неберущихся” интегралах;
o о классификации дифференциальных уравнений;
o об общем и частном решении дифференциального уравнения;
o об особых решениях уравнений;
o методах решения дифференциальных уравнений;
o линейных неоднородных дифференциальных уравнениях высших
порядков и способах их решения;
o методах решения систем дифференциальных уравнений;
o числовых и функциональных рядах и условиях их сходимости;
o рядах Фурье;
o функциях комплексного переменного и их свойствах;
o рядах Лорана, особых точках, вычетах;
o основных свойствах преобразования Лапласа;
o решении линейных дифференциальных уравнений и систем
операционным методом.
Уметь:
o вычислять определители n – го порядка различными способами;
o вычислять ранг матрицы различными способами;
o пользуясь понятием ранга матрицы, находить базис линейного
пространства, исследовать систему линейных уравнений на
совместность;
3
2
o производить действия над векторами в пространствах R , R и
находить разложение произвольного вектора по любому базису;
o определять размерность пространства, подпространства;
o исследовать систему n линейных алгебраических уравнений с m
неизвестными; решать систему методами Крамера, Гаусса, с помощью
обратной матрицы;
o находить фундаментальную систему решений однородной системы
уравнений;
o геометрически и аналитически представлять прямую и плоскость в
3
пространстве R ;
o использовать аппарат векторной алгебры для анализа взаимного
положения прямых и плоскостей;
o приводить общие уравнения прямой в пространстве к каноническому
виду;
o выводить канонические уравнения кривых второго порядка
(окружность, эллипс, гипербола, парабола);
o приводить общее уравнение кривой второго порядка к каноническому
виду;
o применять методы дифференциального исчисления функций одной и
нескольких переменных к отысканию физических и геометрических
характеристик процессов
o применять методы интегрального исчисления функций одной и
нескольких переменных к отысканию физических и геометрических
характеристик процессов;

o определять тип дифференциального уравнения и выбирать метод его
решения;
o выбрать метод решения системы дифференциальных уравнений;
o составить дифференциальное уравнение, описывающее конкретный
физический процесс;
o выбирать критерии сходимости числовых рядов;
o находить интервалы сходимости степенных рядов;
o разлагать функции в ряд Фурье;
o применять вычеты к вычислению интегралов;
o самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями,
опираясь на опыт, приобретенный в процессе изучения курса
«Математика»;
o использовать полученные знания при освоении учебного материала
последующих дисциплин.
Знать и иметь опыт:
o место дисциплины «Математика» среди других, изучаемых студентом
дисциплин и её значение при изучении последующих курсов;
o работы с учебной и справочной литературой,
o определение матрицы, основные типы матриц, алгебру матриц, основные
характеристики матриц: определение и свойства определителей n – го
порядка;
o определение ранга матрицы, его свойства;
o определение вектора как элемента точечно-векторного пространства,
принципы построения алгебры векторов;
o способы задания прямой на плоскости и в пространстве;
n
o определение линейного пространства R и его основные свойства;
o геометрические определения кривых второго порядка (окружность,
эллипс, гипербола, парабола);
o нахождения производных от функций одной и нескольких переменных,
o исследование функций на экстремум и монотонность;
o нахождение пределов;
o применение методов дифференциального и интегрального исчисления к
решению физических задач;
o вычисления неопределенных интегралов;
o вычисления или оценки определенных интегралов;
o вычисления основных характеристик векторных полей;
o определять тип дифференциального уравнения и выбирать метод его
решения;
o составить дифференциальное уравнение, описывающее конкретный
физический процесс;
o критерии сходимости числовых рядов;
o ряды Тейлора и Маклорена и условия разложения функций;
o опрелеления интервала сходимости степенного ряда;
o ряды Фурье и условия Дирихле;
o условия аналитичности ФКП;
o вычет ФКП в изолированной особой точке
6. Содержание дисциплины:
Содержание теоретической части дисциплины
ПЕРВЫЙ
С Е М Е С Т Р (лекц. - 46 час., пр. зан. - 80 час., сам. раб. 96 час.)
I. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРЫ (14)
1.1. Матрицы , определители., системы линейных уравнений. (8)
Определители, их свойства и вычисление. Матрицы и действия над ними. Линейные
операции над матрицами. Умножение матриц. Ранг матрицы. Обратная матрица.
Решение матричных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений. Методы
матричный, Крамера, Гаусса. Однородные системы, тривиальное и нетривиальные
решения. Фундаментальная система решений. Собственные значения и собственные
векторы матрицы.
1.2. Векторная алгебра (6)
Основные понятия векторной алгебры.
Линейные операции над векторами в
геометрической форме. Линейная зависимость и линейная независимость системы
векторов. Понятие базиса векторного пространства, размерность векторного
пространства. Декартовый базис, координаты вектора. Проекция вектора, орт вектора,
направляющие косинусы вектора. Простейшие задачи векторной алгебры. Скалярное,
векторное и смешанное произведения векторов. Определение, свойства, запись в
координатной форме, приложения. Некоторые физические приложения векторной
алгебры.
II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (8)
2.1. Геометрия на плоскости(4)
Прямая линия на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Взаимной
расположение прямых на плоскости. Нахождение расстояния от точки до прямой.
Кривые второго порядка. Основные типы кривых и их канонические уравнения.
Построение кривых по каноническим уравнениям. Приведение уравнений кривых
второго порядка к каноническому виду. Построение линий в полярной системе
координат и линий, заданных параметрически.
2.2. Геометрия в пространстве(4)
Плоскость. Основные уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. На
хождение расстояния от точки до плоскости. Прямая линия в пространстве. Общие,
канонические и параметрические уравнения прямых. Взаимное расположение прямых в
пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Совместное
расположение прямой и плоскости в пространстве. Поверхности второго порядка. Типы
поверхностей и их канонические уравнения. Построение поверхностей.
III ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И
НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (24).
3.1. Предел и непрерывность функции (6 ).
Предмет анализа. Функция, способы задания. Основные элементарные функции, их
графики и области определения. Гиперболические функции. Понятие сложной и обратной
функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции, его
геометрический смысл. Предел последовательности. Теоремы о пределах. Замечательные
пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые
величины, основные соотношения эквивалентности. Неопределенности и методы их
раскрытия. Односторонние пределы.
Непрерывность в точке и на интервале.
Классификация точек разрыва. Теоремы о непрерывных функциях.
3.2. Производная функции одной переменной (6 ).
Задача о касательной.
Средняя и мгновенная скорость. Приращение аргумента и
приращение функции. Понятие производной функции. Физический и геометрический
смысл производной. Связь непрерывности и дифференцируемости функции. Правила
дифференцирования.
Таблица
производных.
Метод
логарифмического
дифференцирования.
Дифференцирование
показательно-степенной,
неявной
и
параметрически заданной функции. Дифференциал функции, его математический,
геометрический и физический смысл. Свойства дифференциала, инвариантность его
формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Производные и
дифференциалы высших порядков. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.
3.3. Приложения производной (6 ).
Возрастание и
убывание функции на интервале. Экстремумы.
Необходимое и
достаточные условия существования экстремума функции. Наименьшее и наибольшее
значения на отрезке. Задачи смыслового содержания. Выпуклость, вогнутость кривой,
точки перегиба, необходимое и достаточное условия. Асимптоты, понятие, виды
асимптот. Схема отыскания вертикальных асимптот. Нахождение параметров наклонных
асимптот. Полное исследование функции и построение графиков. Касательная и нормаль
к кривой. Геометрические и физические приложения.
3.4. Функции нескольких переменных (6).
Понятие функции нескольких независимых переменных. Область определения. Предел и
непрерывность. Частные производные, их геометрический смысл. Частные и полный
дифференциалы. Производная сложной функции. Полная и частная производные.
Неявные функции и их дифференцирование. Производные и дифференциалы высших
порядков. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл
полного дифференциала функции двух переменных. Приложение дифференциала к
приближенным вычислениям. Экстремум функции двух независимых переменных,
понятие, необходимые и достаточные условия. Седловые
точки. Наибольшее и
наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности. Векторная функция скалярного аргумента. Понятие,
дифференцирование, касательная к пространственной кривой. Метод наименьших
квадратов.
В Т О Р О Й С Е М Е С Т Р (лекц. - 40 час., пр. зан. - 62 час., сам. Раб. - 96 час.)
IV ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ (18)
4.1. Неопределенный интеграл (8 )
Первообразная. Неопределенный интеграл, его геометрический смысл. Инвариантность
формы. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное
интегрирование, метод подведения под знак дифференциала, метод подстановки, метод
интегрирования по частям. Циклические интегралы. Интегрирование
некоторых
классов функций: содержащих квадратный трехчлен в знаменателе дроби, рациональных
дробей, простейших иррациональных функций, дифференциальных биномов.
Не
берущиеся интегралы.
4.2. Определенный интеграл (7 )
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл,
существование, свойства. Геометрический смысл. Теорема о среднем значении функции
в интервале, геометрический смысл теоремы. Оценка интеграла. Интеграл с переменным
верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница. Связь между неопределенным и
определенным интегралами. Методы вычисления определенного интеграла: подстановка
и интегрирование по частям. Общая схема применения определенного интеграла в
решении задач геометрии и физики. Площадь плоской фигуры в прямоугольных и
полярных координатах. Вычисление объема по площади поперечного сечения, объем тела
вращения. Вычисление длины дуги кривой в прямоугольных и полярных координатах.
Вычисление площади поверхности вращения. Приложения определенного интеграла к
решению задач физики, механики и др.
4.3.Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра (3)
Несобственные
интегралы
по бесконечному промежутку (I -го рода)
и
от
неограниченной функции (II-го рода). Исследование на сходимость. Абсолютная и
условная сходимость. Вычисление
в
смысле
главного значения. Интегралы,
зависящие от параметра. Интегрирование и дифференцирование интеграла по параметру.
Эйлеровы интегралы первого рода (Бета-функция). Эйлеровы интегралы второго рода
(Гамма-функция). (иметь представление)
V ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ . ТЕОРИЯ ПОЛЯ. (22)
5.1. Кратные интегралы. (10)
Двойной интеграл. Понятие, свойства. Геометрический и физический смысл. Сведение к
повторным. Изменение порядка интегрирования. Замена переменных. Якобиан перехода.
Двойной интеграл в полярных, обобщенных полярных и произвольных криволинейных
координатах. Тройной интеграл. Понятие, свойства. Замены переменных в тройном
интеграле. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов: масса
пластины или тела переменной плотности, площадь плоской фигуры, объем тела,
моменты инерции и т.д.
5.2. Криволинейные и поверхностные интегралы. (6 )
Криволинейный интеграл
I-го рода (по дуге кривой). Определение, свойства,
геометрический смысл. Сведение к определенному интегралу. Задача о работе силового
поля по криволинейной траектории.
Криволинейный интеграл II-го рода (по
координатам). Методы вычисления. Формула Грина в координатной форме. Случаи
независимости от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному
дифференциалу. Приложения к задачам механики и физики: работа в поле тяжести, работа
электрического поля по перемещению точечного заряда. Поверхностные интегралы I-го
рода (по площади поверхности). Определение, свойства, геометрический смысл,
вычисление, приложения. Поверхностные интегралы II-го рода (по координатам).
Определение, свойства, вычисление. Ориентированные поверхности. Формулы Стокса и
Остроградского-Гаусса в координатной форме.
5.3. Элементы теории поля. (6 )
Скалярные поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Векторградиент, его свойства. Физический смысл вектора-градиента. Связь градиента и
производной по направлению. Векторные поля. Векторные линии. Поток, дивергенция,
циркуляция, ротор, их гидродинамический смысл. Формулы Остроградского-Гаусса и
Стокса в векторной форме, их смысл. Простейшие векторные поля. Потенциальное поле,
свойства, нахождение потенциала. Соленоидальное поле, его свойства, понятие векторной
трубки. Гармоническое поле, его свойства.
Гармоническая функция. Векторные
дифференциальные операции 1-го и 2-го порядка. Оператор Гамильтона. Оператор
Лапласа.
Дифференциальные векторные операции первого и второго порядка в
криволинейных координатах.
Т Р Е Т И Й С Е М Е С Т Р (лекц. - 46 час., практ. зан. - 80 час., сам. Раб. - 130 час.)
VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ. (26)
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. (8)
Понятие дифференциальных уравнений. Общее и частное решения, их геометрический
смысл. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные
уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Уравнения в
полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные
относительно производной. Уравнения Клеро и Лагранжа. Особые решения.
6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. (8)
Общие понятия. Задача Коши. Геометрический смысл общего и частного решения
дифференциального уравнения 2-го порядка. Случаи понижения порядка. Общая теория
линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Линейные
уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов и
метод вариации постоянных. Уравнения Эйлера.
6.3. Системы линейных дифференциальных уравнений . (4)
Нормальные системы дифференциальных уравнений. Общая теория систем линейных
дифференциальных уравнений. Системы линейных однородных и неоднородных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Решение систем
методом исключения. Метод Эйлера (метод характеристических уравнений).
6.4. Элементы теории устойчивости . (2)
Определения
понятия
устойчивости
решения
дифференциального
уравнения.
Асимптотическая устойчивость. Точки покоя автономной системы. Фазовые траектории
(иметь представление).
6.5. Уравнения в частных производных . (4 )
Линейные уравнения в частных производных первого порядка, задача Коши. Линейные
уравнения в частных производных второго порядка, классификация уравнений,
приведение уравнений к каноническому виду.
VII ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (20 )
7.1. Числовые ряды. (6)
Понятие числового ряда, сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Достаточные
признаки
сходимости
знакоположительных
рядов.
Знакопеременные
и
знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
7.2. Ряды Тейлора . (6 )
Понятие функционального ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак
Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Ряды
Тейлора и Маклорена. Представление элементарных функций степенными рядами.
Использование степенных рядов в приближенных вычислениях.
7.3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. (8 )
Задача о гармоническом анализе сигнала. Понятие о рядах Фурье. Теорема Дирихле.
Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда по методу Фурье. Разложение в
ряд Фурье четной и нечетной функции. Разложение в ряд Фурье непериодических
функций и функций с произвольным
Фурье.
ЧЕТВЕРТЫЙ
часа)
VIII
периодом. Представление функции интегралом
С Е М Е С Т Р (лекц. - 34 час, практ. зан. -50 час., сам. раб. - 64
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (16 )
8.1. Комплексные числа и функции комплексного переменного. (4)
Понятие комплексного числа. Модуль и аргумент числа. Формы записи комплексных
чисел. Действия над комплексными числами. Элементарные функции комплексной
переменной. Области на комплексной плоскости. Алгебраические уравнения. Предел и
непрерывность функций комплексной переменной.
8.2. Дифференцирование и интегрирование функции. (4)
Производная функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Условия
Коши - Римана.
Понятие и свойства аналитической
функции. Определение
аналитической функции по вещественной или мнимой части. Гармонические функции.
Определение интеграла по комплексной переменной и его свойства. Интегрирование
аналитических функций. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
8.3. Особые точки. Ряды Лорана (4 )
Ряды. Комплексных чисел. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Особые точки функции. Ряд Лорана.
8.4. Вычеты и их приложения (4)
Правильная и главная части. Ряд Лорана. Кольца сходимости. Понятие вычета
аналитической функции относительно изолированной особой точки. Нахождение
вычетов относительно простых и кратных полюсов, существенно особой и бесконечно
удаленной точки. Основная теорема теории вычетов. Вычисление с помощью вычетов
контурных интегралов от функций комплексного переменного. Использование вычетов
для нахождения некоторых определенных и несобственных интегралов.
IX ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (6)
9.1. Преобразование Лапласа (4 )
Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и его изображение. Нахождение
изображения непрерывных и кусочно-непрерывных оригиналов. Свертка функций и ее
изображение. Восстановление оригинала по его изображению.
9.2. Операционный метод решения дифференциальных уравнений (2)
Решение линейных дифференциальных уравнений и линейных систем операционным
методом. Формула Дюамеля
X
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СТАТИСТИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
(12)
10.1. Случайные события. (4 )
Виды случайных событий. Классическое, статистическое и геометрическое
определение вероятности случайного события. Теоремы сложения и умножения
вероятностей. Полная вероятность. Вероятность гипотезы (формула Байеса).
Повторные независимые испытания, формулы Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона.
10.2. Случайные величины. (4)
Дискретные и непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная
(плотность вероятности) функции распределения случайных величин. Числовые
характеристики распределения случайной величины: математическое ожидание,
дисперсия, начальные и центральные моменты. Функция случайного аргумента, закон
ее распределения. Примеры распределений (равномерное, Пуассона, нормальное,
экспоненциальное, Рэлея, Максвелла). Закон больших чисел. Неравенство и теорема
Чебышева. Теорема Бернулли.
10.3. Элементы математической статистики. (4)
Случайная выборка, полигон, гистограмма. Точечная и интервальная оценка
среднего значения и дисперсии величины. Проверка гипотез о законе распределения
случайной величины, Критерий Пирсона.
Содержание практических занятий.
ПЕРВЫЙ
С Е М Е С Т Р ( ауд. - 80 часов, внеауд. - 96 часов)
I ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРЫ ( 22)
1.1. Матрицы , определители., системы линейных уравнений. (14 час.)
Вычисление определителей.
Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Ранг матрицы. Обратная
матрица. Решение матричных уравнений.
Методы матричный и Крамера решения определенных квадратных систем линейных
уравнений 3-го порядка.
Метод Гаусса. Решение определенных и неопределенных систем.
Однородные системы, тривиальное и нетривиальные решения. Фундаментальная система
решений.
Собственные значения и собственные векторы матриц.
Контрольная работа «Линейная алгебра.»
1.2. Векторная алгебра (8 час.)
Линейные операции над векторами в геометрической и координатной формах.
Скалярное и векторное произведения векторов.
Смешанное произведение векторов.
Контрольная работа «Векторная алгебра»
II АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (16 )
2.1. Геометрия на плоскости (8 час.)
Прямая линия на плоскости. Нахождение расстояния от точки до прямой.
Построение кривых по каноническим уравнениям. Приведение уравнений кривых
второго порядка к каноническому виду.
Построение линий в полярных координатах и линий, заданных параметрически.
Контрольная работа «Аналитическая геометрия на плоскости» .
2.2. Геометрия в пространстве(8 час.)
Плоскость и прямая в пространстве (4 часа).
Поверхности второго порядка.
Контрольная работа «Аналитическая геометрия в пространстве» .
III ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И
НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (42 ).
3.1. Предел и непрерывность функции (10 час.)
Предел функции.
Предел последовательности.
Эквивалентные бесконечно малые величины.
Непрерывность функции.
Контрольная работа «Предел и непрерывность функции»
3.2. Производная функции одной переменной (10 час.)
Понятие производной функции. Физический и геометрический смысл производной.
Дифференцирование сложных, неявных, параметрически заданных функций.
Дифференциал функции.
Высшие производные.
Контрольная работа «Производная» .
3.3. Приложения производной (12 час.)
Правило Лопиталя
Экстремумы. Наименьшее и наибольшее значения на отрезке. Геометрический смысл
производной. Задачи смыслового содержания.
Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба.
Асимптоты.
Полное исследование функции и построение графиков
Контрольная работа «Приложение производной»
3.4. Функции нескольких переменных (10 час.)
Область определения функции. Частные производные.
Частные производные. Полное приращение и
дифференциал. Производные и
дифференциалы высших порядков.
Экстремум функции . Критические точки и их характер.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению, градиент.
Контрольная работа «Функции нескольких переменных» .
ВТОРОЙ
С Е М Е С Т Р (ауд. – 62 часа, самост. - 92 часа)
IV ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (28)
4.1. Неопределенный интеграл (14 час.)
Табличное интегрирование. Интегрирование «подведением под знак дифференциала»
Интегрирование «по частям».
Метод подстановки.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций.
Контрольная работа «Неопределенный интеграл» .
4.2. Определенный и несобственные интегралы (14 час.)
Вычисление определенных интегралов. Оценка интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление объемов тел
Вычисление длин дуг, площадей поверхностей вращения.
Несобственные интегралы, их вычисление и оценка.
Физические приложения интеграла.
Контрольная работа «Определенный и несобственные интегралы» .
V ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. (34)
5.1. Кратные интегралы. (14 час.)
Двойной интеграл и его вычисление в прямоугольных координатах.
Двойной интеграл. в полярных координатах и других криволинейных координатах.
Приложение двойных интегралов.
Тройной интеграл в прямоугольных координатах.
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Приложение тройных интегралов.
Контрольная работа «Кратные интегралы» .
5.2. Криволинейные и поверхностные интегралы. (8 час.)
Криволинейный интеграл I-го рода (по дуге кривой).
Поверхностные интегралы 1-го рода.
Криволинейные и поверхностные интегралы 2-го рода.
Формулы Грина, Стокса, Остроградского - Гаусса.
5.3. Элементы теории поля. (12 час.)
Векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Физические примеры.
Поток векторного поля
Циркуляция векторного поля. Простейшие векторные поля.
Потенциал векторного поля и его нахождение. Гармонические функции.
Дифференциальные векторные операции 1-го и 2-го порядков, операторы Гамильтона и
Лапласа.
Контрольная работа «Теория поля».
Т Р Е Т И Й С Е М Е С Т Р (ауд. -80 часов, самост. - 126 часов)
VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ. (46)
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. (14 час.)
Уравнения с разделяющимися переменными. Задача Коши.
Однородные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения и уравнения типа Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Уравнения, не разрешенные относительно производной, уравнения Лагранжа и Клеро.
Численное решение уравнений 1-го порядка методом Эйлера. Представление частных
решений уравнения степенными рядами.
Контрольная работа «Дифференциальные уравнения 1-го порядка» .
6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. (14 час.)
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации.
Метод неопределенных коэффициентов решения линейных неоднородных
уравнений с правой частью специального вида.
Уравнения Эйлера.
Уравнения высших порядков, не разрешенные относительно производной.
Контрольная работа "Линейные дифференциальные уравнения" .
6.3. Системы линейных дифференциальных уравнений . (8 час.)
Решение систем однородных линейных уравнений методами исключения и Эйлера.
Неоднородные линейные дифференциальные системы.
Устойчивость точек покоя автономных систем, фазовые траектории.
Контрольная работа "Линейные дифференциальные системы»"
6.4. Дифференциальные уравнения с частными производными . (10 час.)
Линейные
решения.
уравнения в частных производных первого порядка. Нахождение общего
Задача Коши для линейного уравнения первого порядка в частных производных..
Линейные уравнения второго порядка в частных производных, классификация уравнений,
приведение к каноническому виду.
Нахождение общего решения уравнений второго порядка в частных производных.
Контрольная работа "Уравнения в частных производных" .
VII ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ( 34)
7.1. Числовые ряды. (10 час)
Знакомство с числовыми рядами. Сходимость числовых рядов.
Нахождение сумм некоторых числовых рядов.
Исследование на сходимость знакоположительных рядов.
Знакочередующиеся ряды. Нахождение суммы ряда и оценка ее точности.
Контрольная работа «Числовые ряды»
7.2. Функциональные ряды. Ряды Тейлора. (12 час.)
Функциональные ряды, интервал сходимости
Равномерная и абсолютная сходимость.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Представление элементарных функций степенными рядами.
Приложение рядов Тейлора к приближенным вычислениям.
Контрольная работа "Функциональные ряды, ряды Тейлора" .
7.3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. (12 час.)
Разложение в ряд Фурье периодических функций. Амплитудно-частотная характеристика
бесконечного периодического сигнала.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Разложение функции в ряд Фурье по ортогональной системе функций.
Представление функции интегралом Фурье.
Контрольная работа "Ряды Фурье" .
ЧЕТВЕРТЫЙ
С Е М Е С Т Р (ауд. -50 часов, самост. - 64 часа)
VIII ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (24)
8.1. Комплексные числа и функции комплексного переменного. (10 час.)
Комплексные числа и действия над ними.
Элементарные функции комплексного переменного. Вычисление значений функций,
решение уравнений. Линии и области на комплексной плоскости.
Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Коши - Римана.
Геометрический смысл производной. Отображения элементарными функциями.
Интегрирование функций комплексного переменного.
Контрольная работа «Комплексные числа и функции .
8.2. Ряды Лорана. Вычеты и их приложения (14 час.)
Ряды комплексных чисел. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды.
Ряд Тейлора. Особые точки аналитических функций и их классификация. Бесконечно
удаленные
точки и их классификация. Разложение функций в ряд Лорана в окрестности изолиро
ванной особой и окрестности бесконечно удаленной точки.
Вычет функции относительно особой точки. Нахождение вычетов относительно простых
и кратных полюсов, существенно особой и бесконечно удаленной точки.
Основная теорема теории вычетов. Вычисление с помощью вычетов контурных
интегралов от функций комплексного переменного.
Использование вычетов для нахождения некоторых определенных и несобственных
интегралов.
Контрольная работа "Ряды Лорана и вычеты" .
IX ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (6)
9.1. Преобразование Лапласа (4 )
Нахождение изображения функции по Лапласу. Нахождение изображения непрерывных и
кусочно-непрерывных оригиналов.
Свертка функций и ее изображение. Восстановление оригинала по его изображению.
9.2. Операционный метод решения дифференциальных уравнений (2)
Решение линейных дифференциальных уравнений и линейных систем операционным
методом. Решение линейных уравнений с использованием формулы Дюамеля
Контрольная работа
X ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
(18)
10.1. Случайные события. (6 час.)
Случайные события. Классическая и геометрическая вероятности.Теоремы сложения и
умножения вероятностей.
Полная вероятность события. Переоценка вероятностей гипотез при свершившихся
событиях. Формула Байеса.
Повторные независимые испытания, схема Бернулли. Формулы Муавра - Лапласа и
Пуассона.
10.2. Случайные величины. (8 час.)
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения. Математическое
ожидание и дисперсия случайной величины.
Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Распределение Пуассона.
Примеры. Нормальное распределение и распределения, связанные с нормальным (Рэлея,
Максвелла и т.д.). Примеры.
Контрольная работа: «Теория вероятностей" .
10.3.Элементы математической статистики. (4)
Случайная выборка, полигон, гистограмма. Точечная и интервальная оценка
среднего значения и дисперсии величины.
Проверка гипотез о законе распределения случайной величины, Критерий Пирсона.
7. Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука,
1976, 1980, 1984, …,2000 гг.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
3. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А.
Сборник
задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. - М. Наука, 1987,1989 гг
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Физматгиз,
1966,…,1984гг.
5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1982.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. М.: Наука, 1980,…,2003гг.
7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1998.
8. П.С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Наука,
1979 – 512с.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление (в 2-х томах) - М.
Наука, Математический анализ:1967, 1978, 1985, 1986 гг. – 1031 с. - 2710 экз.
10. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 3-х томах).- М. Наука, 1970,
1981, 1988 гг. – 1639 с. Никольский С.М. Курс математического анализа (в 2-х
томах).- М. Наука, 1975, 1983, 1990 гг. - 822 с. - 360 экз.
11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.
Наука, 1980,1984,1988 гг. -432 с. - 268 экз.
12. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. - М. Наука, 1981,1985,1988,1989 гг. -448 с.
13. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.
Наука , 1973 г. –720с.
14. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М. Наука, 1972,
1975, 1977, 1985 гг. - 416 с. - 1422 экз.
15. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. - М. Высшая школа, 1980, 1986 гг. - 718 с. - 2790 экз.
16. Задачи и упражнения по математическому анализу (Под ред. Демидовича Б.П.) М. Наука, 1972, 1978, 1990 гг. - 479 с. - 436 экз.
17. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М. Наука, 1969, 1978,
1987 гг. - 352 с.
18. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М:
Наука, 1974
19. Араманович И.Г., Лунц Л.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости. . – М: Наука, 1965
20. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Т.Н. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Упражнения и задачи. - М: Наука, 1981.
21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. — М.: Наука, 1973.
22. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. - М. Высшая школа, 1962.
23. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М. Физматгиз, 1962.
24. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. Высшая
школа, 1999.
25. Гмурман В.Е.
Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. — М. Высшая школа, 1999.
Дополнительная литература (учебные пособия и методические указания)
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1962.
2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.
3. Терёхина Л.И., Фикс И.И.
Сборник индивидуальных заданий, «Высшая
математика», части 1, 2.
4. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука,
1966.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (в 2-х томах).- М. Наука,
1960, 1968 гг. - 903 с.
6. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.
Наука , 1973 г. –720с.
7. ЗапорожецГ.Н. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.
Высшая школа, 1966 г. –460 с.
8. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. – М. Наука, 1983г. -175 с.
Сборник задач по математике для втузов (под ред. Ефимова А.В.) - М. Наука,
1981, 1986 гг. - 836 с.
9. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая
математика для технических университетов. V. Дифференциальные уравнения.Томск: Изд. ТПУ, 2007
10. Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н,, Трифонов А.Ю. Методы математической
физики: Основы комплексного анализа. Элементы вариационного исчисления и
теории обобщенных функций. – Томск: Изд-во НТЛ, 2002
11. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая
математика для технических университетов. IV. Ряды.- Томск: Изд. ТПУ, 2006
12. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика, ч.1. — Томск, Изд. Дельтаплан,
2008, - 224 с.
13. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика, ч.2. — Томск, Изд. Дельтаплан,
2009, - 192 с.
14. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика, ч.3. — Томск, Изд. Дельтаплан,
2008, - 252 с.
15. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика, ч.4. — Томск, Изд. Дельтаплан,
2009, - 268 с.
16. Терехина Л.И., Фикс И.И. Вероятность. Элементы статистики. — Томск, Изд.
Дельтаплан, 2008, - 124 с.
8. Использование компьютера: нет
9. Перечень индивидуальных домашних заданий:
1.
2.
3.
4.
5.
ИДЗ 1 «Линейная алгебра».
ИДЗ 2 «Векторная алгебра».
ИДЗ 3 «Аналитическая геометрия на плоскости» .
ИДЗ 4 «Аналитическая геометрия в пространстве» .
ИДЗ 5 «Предел. Непрерывность».
6. ИДЗ 6 «Производная».
7. ИДЗ 7 «Приложение производной».
8. ИДЗ 8 «Функции нескольких переменных».
9. ИДЗ 9 «Неопределенный интеграл» .
10. ИДЗ 10 «Определенный интеграл» .
11. ИДЗ 11 «Кратные интегралы».
12. ИДЗ 12 «Криволинейные и поверхностные интегралы».
13. ИДЗ 13 «Скалярные и векторные поля» .
14. ИДЗ 14 «Дифференциальные уравнения и системы»
15. ИДЗ « Уравнения в частных производных» .
16. ИДЗ 15 «Числовые и функциональные ряды».
17. ИДЗ 15-2 «Ряды Фурье. Интеграл Фурье».
18. ИДЗ 16 «Комплексные числа и функции»
19. ИДЗ 16- 2 «Вычеты и их приложения» .
20. ИДЗ 17 «Операционный метод» .
21. ИДЗ 18 «Теория вероятностей и математическая статистика».
10. Координатор:
Фикс И.И., доцент каф. ВММФ, 418-913.
Богданов О.В. ст. преп. каф. ВММФ, 418-913.
11. Лабораторные работы и проекты: нет
Преподаватель:
Дата_________________
Богданов О.В.