Министерство образования и науки Российской Федерации Муниципальное образовательное учреждение
реклама
Министерство образования и науки Российской Федерации Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 37 РЕФЕРАТ по математике «Луночки Гиппократа» Выполнила: Учащаяся 8а класса Шарапова Мария Дмитриевна Научный руководитель: Форсова Ольга Борисовна Тверь, 2012 г 1 Содержание: 1. Актуальность выбранной темы 3 стр. 2. Глава 1. Кто такой Гиппократ? 5 стр. 2.1 Гиппократ в медицине. 5 стр. 2.2 Гиппократ в астрономии 6 стр. 2.3 Гиппократ в геометрии 7 стр. 3. Глава 2 Квадратура круга 7 стр. 4. Глава 3 Луночки Гиппократа 13 стр. 5. Вывод 18 стр. 6. Использованная литература. 19 стр. 2 Актуальность: Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоении площади круга. Я считаю эту тему актуальной, потому что очень полезно изучать методы решений данных задач древними учёными, так как большинство методов и способов решений различных задач сохранились и до наших дней и используются в современной математике. Я хотела больше узнать о возможных способах решения этих задач древними учёными, которые могли использовать только подручные материалы для решения такого рода задач.Тема квадратуры круга была актуальна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. В то время у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу. Однако решение не поддавалось их усилиям. Известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.) первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Мне стало интересно: «Как же построить круг равновеликий квадрату?» и я решила исследовать метод Гиппократа, то есть построить круг, площадь которого пропорциональна квадрату диаметра. 3 Цель реферата: Познакомиться с биографией Гиппократа и изучить историю задачи о квадратуре круга и свойства «Луночек Гиппократа» Задачи реферата: 1.Изучить литературу и источники Интернет по данной теме. 2. Ознакомиться с биографией Гиппократа и его открытиями в области медицины, астрономии, геометрии. 3. Изучить задачу о квадратуре круга 4.Изучить свойства «Луночек Гиппократа» 4 Глава 1 Кто такой Гиппократ Гиппократ Хиосский ( Ίπποκράτης), вторая половина V века до н. э. Древнегреческий геометр, автор первого систематического сочинения по геометрии (не дошедшего до нас), которое, вероятно, охватывало материал первых четырех книг «Начал» Евклида. В поисках решения квадратуры круга Гиппократ Хиосский нашел квадратуры трех так называемых «гиппократовых луночек». Гиппократ также был и врачом… Гиппократ в медицине. В трудах Гиппократа, ставших основой дальнейшего развития клинической медицины, отражены представление о целостности организма; индивидуальный подход к больному и его лечению; понятие об анамнезе; учения об этиологии, прогнозе, темпераментах. С именем Гиппократа связано представление о высоком моральном облике и образце этического поведения врача. Гиппократу приписывается текст этического кодекса древнегреческих врачей («Клятва Гиппократа»), который стал основой обязательств, принимавшихся впоследствии врачами во многих странах. Гиппократ родился на острове Кос (архипелаг Южные Спорады, юго-восток Эгейского моря) в семье потомственных врачевателей, возводивших свою родословную к Асклепию — богу медицины. В течение своей жизни Гиппократ много путешествовал, объездил Грецию, Малую Азию, побывал в Ливии и Тавриде, основал на родине медицинскую школу. Гиппократ признан родоначальником медицинской науки. Ему принадлежат сочинения «О воздухе, воде и местности», «Прогностика», «Диета в острых болезнях», «Эпидемии» в двух томах, «Афоризмы», «Вправление сочленений», «Переломы», «Раны головы». В отличие от своих предшественников Гиппократ полагал, что болезни не ниспосланы богами, а обусловлены вполне объяснимыми причинами, например, воздействием окружающей среды. В книге «О природе человека» 5 Гиппократ выдвинул гипотезу о том, что здоровье основывается на балансе четырех телесных соков: крови, мокроты, желтой и черной желчи. Нарушение этого баланса вызывает болезнь. Задачу врача Гиппократ видел в изучении индивидуальных особенностей больного, в обеспечении мобилизации сил организма для восстановления здоровья. В медицинской этике Гиппократ, выдвинул четыре принципа лечения: не вредить больному; противоположное лечить противоположным; помогать природе; щадить больного. Гиппократ установил стадии развития болезней, заложил основы античной хирургии, разработал способы применения повязок, лечения переломов и вывихов, ввел в медицину понятия анамнеза, прогноза, этиологии; разделил людей по темпераментам (сангвиники, холерики, флегматики, меланхолики). Его учение оказало большое влияние на представления медиков последующих эпох. Главные принципы современной врачебной морали основываются на разработанной еще в античности «клятве Гиппократа». Гиппократ в астрономии. Сохранились также размышления Гиппократа о природе Млечного пути и комет. Представление Гиппократа и его ученика Эсхила о кометах, переданные Аристотелем, является замечательным образцом научного прозрения: «хвост не принадлежит самой комете, но она иногда приобретает его, блуждая в пространстве, потому, что наш зрительный луч, отражаясь от влаги, увлекаемой за кометой, достигает Солнца. Комета в отличие от других звезд появляется через очень большие промежутки времени, потому, дескать, что она отстает [от Солнца] чрезвычайно медленно, так что, когда она появляется вновь в том же самом месте, ею проделан уже полный оборот». В этом высказывании утверждается в противоположность представлениям самого Аристотеля космическая природа комет, периодичность ее движения и даже физическая природа кометного хвоста, который, как показали 6 исследования с помощью космических аппаратов, действительно в значительной степени состоит из газообразной воды. Гиппократ в геометрии. Основная научная заслуга Гиппократа — составление первого полного свода геометрических знаний. Он назвал его Начала, основав тем самым традицию, которой позже следовали Евклид и многие другие учёные. Ван дер Варден предполагает, что Гиппократовы Начала охватывали материал примерно в объёме I—IV книг Начал Евклида. Несколько отрывков этого труда дошли до наших дней в комментариях Симпликия (VI век н. э.) к Аристотелю. Здесь исследуются так называемые Гиппократовы луночки — серповидные фигуры, ограниченные двумя дугами окружностей. С помощью таких луночек Гиппократ пытался решить проблему квадратуры круга. Он нашёл три вида луночек, для которых можно построить равновеликий квадрат, но решить задачу в общем виде ему не удалось. В XIX веке было доказано, что с помощью циркуля и линейки квадрировать круг невозможно. Гиппократ занимался также другой знаменитой задачей древности — удвоением куба. Он свёл её к задаче на вставку между двумя данными отрезками двух средних в непрерывной пропорции. Глава 2 Задача о квадратуре круга Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга, т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. 7 Если обозначить радиус круга через r, то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна πr2, а сторона равна r . Теперь известно, что число π - отношение окружности к своему диаметру – число иррациональное. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926… и было, между прочим, вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим. Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и других или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение π (и корня квадратного из π), удовлетворяющее тем или иным практическим потребностям. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки. Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые 8 в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении «О изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова: Возьму линейку, проведу прямую, И мигом круг квадратом обернётся, Посередине рынок мы устроим, А от него уж улицы пойдут – Ну, как на Солнце! Хоть оно само И круглое, а ведь лучи прямые!.. Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и так далее, пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом. Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V века до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало 9 сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром BC вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC (BА=AC). На AB и AC, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками. По теореме Пифагора: BC 2 =AB 2 +AC 2 =2AC 2 . (1) Рис 1. Отношение S1 площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, S2 как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров BC 2 2 , которые в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора OAC AC равна площади полукруга, построенного на диаметре AC. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь сегмента ACE, то и получим, что площадь треугольника AOC равна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника BCA. Гиппократ нашёл и другие луночки, допускающие квадратуру, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось. Различные другие попытки, продолжавшиеся в течение тысячелетий, найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19века 10 было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще и другие средства построения. Так, еще в 4веке до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в 5веке до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи сначала чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом , и содействовала развитию новых понятий и идей в математике. Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усилия были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих попыток её решить. Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Эта задача является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (например, гиппократовы луночки). Попытки решения задачи о квадратуре круга, продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 года Парижская Академия наук, а затем и другие академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных квадратуре круга. В 19 11 веке было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость квадратуры круга с помощью циркуля и линейки. Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого уравнения: линейки квадрата, , откуда: можно выполнить то задача сводится к решению .Как известно, с помощью циркуля и все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности числа , которая была доказана в 1882 году Линдеманом. Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства. Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи. Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания и высотой , намажем его чернилами и прокатим по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью . Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат. 12 Глава 3 Луночки Гиппократа. Гиппократовы луночки, три фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, каждая из которых ограничена дугами двух окружностей и для каждой из которых с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие прямолинейные фигуры. Построение одной из гиппократовых луночек ясно из рисунка. Площадь заштрихованной гиппократовой луночки равна площади равнобедренного треугольника АВС. Другие гиппократовы луночки получаются более сложным путём. В поисках решения квадратуры круга Гиппократ Хиосский нашёл квадратуры трёх так называемых гиппократовых луночек, которые мы рассмотрим в реферате. Прежде всего, задача о квадратуре круга представляется совершенно естественной с точки зрения логики математического мышления. В самом деле, с одной стороны, имели круг как первую фигуру, с которой приходиться сталкиваться, когда получаешь в руки циркуль. С другой стороны, есть ещё одна совершенно естественная фигура – квадрат. Каждая из этих фигур имеет вполне определенную площадь. Но, тогда, ни одного математика не надо, очевидно, убеждать в том, что между двумя такими фигурами с одинаковыми площадями можно совершенно естественно протянуть мостик – преобразовать одну из них в другую. Поскольку же преобразовывать можно было только с помощью циркуля и линейки, то возникла задача о том, чтобы с помощью данных инструментов построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Но это и есть задача о квадратуре круга. 13 Гиппократ заметил, что суммарная площадь зеленых луночек равна площади квадрата, окрашенного здесь в красный цвет. Действительно, сумма площадей полукругов, построенных на сторонах этого квадрата, равна площади круга, в который вписан квадрат. Если из полукругов удалить окрашенные в черный цвет сегменты, то останутся четыре луночки; если же удалить их Гиппократ из получил “Математических большого три круга, квадрируемые упражнениях” указал то останется луночки. условие, Д. квадрат. Бернулли которому в должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку. Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре круга вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах XX в. И. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновым доказано, что существует пять видов квадрируемые луночек, но они не квадрируемы вместе с кругом. Построим на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, а на катетах, как на диаметрах, построим полуокружности во внешнюю от треугольника сторону. Тогда сумма площадей двух получившихся луночек равна площади треугольника АВС. 14 Здесь интересен еще и следующий факт - луночки являются равноширинными. Диаметры наибольших вписанных в них окружностей равны одной и той же величине, а именно половине разности между суммой катетов и гипотенузой треугольника. Вот еще один интересный факт, являющийся частным случаем задачи о трех арбелонах. (Арбелон, секирка, так наз. у Архимеда фигура, ограниченная полуокружностью и 2-мя меньшими полуокружностями: площадь. А=площади круга, диаметр которого среднее геометрическое диаметров малых кругов.). На сторонах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, построены три окружности. Они образуют две луночки (выделены оранжевым) и арбелон (выделен серым), а также дуговой двуугольник, обозначенный буквой Т. Оказывается, что сумма площадей луночек и арбелона без площади криволинейного двуугольника. Т равна удвоенной площади треугольника 15 АВС. Следующий рисунок иллюстрирует еще одну теорему Гиппократа. Пусть нижнее основание трапеции является диаметром описанной около нее окружности, АВ=ВС=CD и на боковых сторонах и верхнем основании, как на диаметрах построены полуокружности. При этом образуются три равные луночки (выделены серым). Оказывается, площадь трапеции равна сумме площадей этих луночек и полукруга (полукруг равен тем полукругам, из которых образованы луночки). Задача. Дано: АВСД - квадрат, АВ=4 см, АВ - диаметр круга, 4 малых круга равны. Доказать: равна суммарная площадь зелёных луночек площади квадрата. 16 Доказательство: S АВСД = 4х4=16 см^2, треугольник АСД: АД=СД, угол рассмотрим прямоугольный АДС=90 градусов, по теореме Пифагора(квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) можно узнать длину отрезка АС : АД=ДС=4 cм => 4^2х2=х^2, х = √32 ~ 5,65 cм. АС диаметр круга(чёрного)=> R = 5,65/2 = 2,825=> S круга = ПR^2 ~25 см^2 АВ диаметр круга => R = 4/2=2 см => S круга = ПR^2 = 2х3,14 = 6,28 см^2 Узнаём суммарную площадь зелёных луночек: Общая S полукругов~25 cм^2 25-16=9 см^2(суммарная площадь чёрных полукругов)=> 25-9=16 cм^2 Суммарная площадь луночек = площади квадрата. 17 Вывод. Итак, выполнив эту работу, я узнала много нового и интересного об одной из знаменитых классических задач древности, о людях, посвятивших себя решению данной задачи, познакомилась с историей возникновения задачи, методами ее решения. К своему удивлению , что великий врач Гиппократ, посвятил большую часть своей жизни открытию интереснейших геометрических фактов. Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий, попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Но, несмотря на это, интерес к этой знаменитой задаче не пропадает и сегодня. Многие современные математики пытаются решить ее. Мне было интересно узнать, что при попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Я думаю, что задача о квадратуре круга будет волновать умы современных и будущих поколений ученых. 18 Использованная литература. 1. В.Н.Березин «Луночки Гиппократа» ( журнал Квант 1971, №5) 2. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1997, с.271. 3. Я познаю мир: детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: под общ. ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО «Издательство АСТ-ЛТД», 1997. 4. Гиппократ Хиосский Википедия. 5. Квадратура Круга Википедия. 19
