математика, 9 класс

ХКЗФМШ – 2011/12
МАТЕМАТИКА, 9 КЛАСС
Кармакова Тамара Сергеевна, Табачук Наталья Петровна, ДВГГУ
Задачи на графиках в курсе математики основной школы
Тема «Задачи на графиках» выбрана не случайно: в соответствии с
контрольными измерительными материалами по итоговой аттестации за курс
основной школы задания по теме «Функции и графики» направлены на проверку
следующих умений:
- строить графики изученных функций и отвечать на вопросы, связанные с их
исследованием;
- на основе графиков изученных функций строить более сложные графики
(кусочно-заданные, с «выбитыми» точками и т.п.);
- использовать графические представления и свойства функций для решения
математических задач из других разделов курса (например, для исследования
уравнений, неравенств и систем уравнений).
В этой статье представлены пять классов задач: словесно-графические,
графическо-словесные;
аналитико-графические,
графическо-аналитические,
графическо-графические. В основу классификации взяты языки, описывающие
условие задачи и полученный ответ, причем одним из них является язык графических
изображений.
Под словесно-графическими задачами (С-Г) будем понимать задачи, в
которых даны свойства функции и требуется найти из заданных графиков тот,
который обладает этими свойствами.
Решить словесно-графическую задачу значит перейти от словесного способа
задания функции к графическому.
Эти задачи направлены на отработку умений по заданным свойствам функции
находить ее график. Рассмотрим пример решения такой задачи.
Задача 1. Даны свойства функции:
а) Область определения функции есть промежуток [-3;5];
б) Значения функции составляют промежуток [-4;3];
в) Наибольшее значение функции равно 3;
г) Отрицательные значения функция принимает в промежутке (-3;1).
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
Укажите график функции, обладающей данными свойствами.
1)
2)
3)
4)
Рассмотрим решение по шагам:
Шаг 1: Укажем график функции, область определения которого лежит в промежутке
[-3;5]. Зная ООФ, сделаем вывод, что каждой точке области определения должна
соответствовать единственная точка графика, а за пределами области определения не
должно быть точек графика. Этим требованиям удовлетворяют графики №2и №3.
Шаг 2: Укажем график функции, множество значений которого лежит в промежутке
[-4;3]. Зная множество значений функции, можно сделать вывод, что этому
требованию удовлетворяют графики №2 и №4.
Шаг 3: Укажем график функции, наибольшее значение которой равно 3. Данному
условию удовлетворяет график №1, №2 и №4.
Шаг 4: Функция задана на промежутке [-3;5]. Зная промежутки, на которых функция
отрицательна, можно сделать вывод, что на данных промежутках график функции
должен располагаться ниже оси Ох. Видим, что данному условию удовлетворяет
график №2 и №3.
Обобщая полученные результаты, можем сделать вывод, что всеми четырьмя
свойствами обладает график функции, изображенный на рисунке №2.
Под графическо-словесными задачами (Г-С) будем понимать задачи, в
которых задан график функции, и требуется описать его свойства.
Решить Г-С задачу значит перейти от графического способа задания функции
к словесному.
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Эти задачи направлены на отработку умений читать графики.
Рассмотрим пример решения такой задачи.
Задача 2. Функция y=f(x) задана графиком:
Найдите по графику:
1) область определения функции;
2) множество значений функции;
3) определите четность, нечетность функции;
4) промежутки возрастания и убывания функции;
5) нули функции;
6) наибольшее и наименьшее значения функции;
7) промежутки знакопостоянства.
Решение:
1.Воспользуемся алгоритмом нахождения ООФ:
1) Спроектируем график на ось Ох;
2)Сделаем вывод: х  ___.
2.Воспользуемся алгоритмом нахождения МЗФ:
1)Спроектируем заданный график на ось ординат;
2)Сделаем вывод: у  ___.
3.Воспользуемся алгоритмом определения четности:
1)Из графика функции видим, что график функции не обладает никакой
симметрией;
2)Делаем вывод, что функция является ________________________.
4.Воспользуемся алгоритмом нахождения промежутков возрастания и убывания
функции:
1)Разобьем заданный график на участки «подъема» и участки «спуска»;
2)Делаем
вывод:
на
промежутках
___________________-
возрастает;
_______________________ - функция убывает.
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
5.Воспользуемся алгоритмом для определения нулей функции:
1)Анализируем расположение графика относительно оси Ох;
2)Делаем вывод: график пересекает ось Ох в точках х1=____, х2=____.
6. Воспользуемся алгоритмом для определения наибольшего и наименьшего значений
функции:
1)Анализируя график, находим множество значений функции у  [-5;3]. 2)Делаем
вывод: унаиб= ___, унаим=___.
7. Воспользуемся алгоритмом для нахождения промежутков знакопостоянства:
1) Спроектируем на ось Ох те участки графика, которые расположены над осью
абсцисс: х  ____________________;
2) Спроектируем на ось Ох те участки графика, которые расположены под осью
абсцисс: х  ____________________;
3) Запишем ответ:
y>0, если х  ___________________
y<0, если х  ___________________.
Сравните полученные вами ответы с представленными в таблице.
№
задания
ответ
1
2
3
[-6;5]
[-5;3]
Ни
четная,
ни
нечетная
4
5
[-6;-4] и
х1=1;
[2;2] и [3;5]- х2=3
возрастает;
[-4;-2] и [2;3]убывает
6
7
унаиб=3
унаим=-5
y>0,
x  (-6;1)
y<0,
x  (1;5)
Под аналитико-графическими задачами (А-Г) будем понимать задачи, в
которых дана формула (или формулы) и
требуется найти соответствующий
график.
Решить аналитико-графическую задачу значит перейти от аналитического
задания функции к графическому.
Аналитико-графические задачи направлены на отработку умений находить
соответствующие графики основных элементарных функций по заданной формуле
(или формулам); кусочно-заданных функций; функций, область определения которых
содержит «выбитые» точки и функций, полученных в результате последовательной
деформации формулы некоторой исходной элементарной функции.
Рассмотрим примеры аналитико-графических задач и способы их решения.
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Задача 3. Функция задана формулой у=х2–3х+4. По заданной формуле выбрать
график из числа представленных вариантов ответа.
1)
2)
3)
4)
Решение: 1. Исходя из заданной формулы, можно сделать вывод, что ветви параболы
направлены вверх. Этому условию удовлетворяют графики под №1, №3, №4.
3 7
2 4
Вершина параболы находится в точке ( ; ), этому условию удовлетворяет только
график №1.
2. Проверим правильность выбора, построив несколько точек: x1=0, f(0)=4;
x2=3, f(3)=4; x3=1, f(1)=2; x4=2, f(2)=2. Следовательно, ответ №1.
1
 , х  1;
Задача 4. Укажите график функции, заданной формулами у=  х
 х 2 , х  1.

1)
2)
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
3)
4)
Решение: 1) Анализируя формулу можно сделать вывод, что ответом может быть
график, состоящий из графиков двух функций, одна из которых гипербола на
промежутке х  1, другая – парабола на промежутке х<1. Данным требованиям
удовлетворяет график №4.
2) Проверим правильность выбора контрольными точками (1;1) и (0;0).
3) Записываем ответ: №4.
Задача 5. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.
1) у=-х+1;
2) у=х-1;
а)
b)
3) у=х2-1
c)
Решение: 1) Проанализировав содержание задачи, можно сделать вывод о том, что эта
задача
на
соотнесение,
т.е.
для
каждой
формулы
должен
быть
найден
соответствующий график;
2) Анализируя формулы, можно сделать вывод, графиками формул №1 и №2 должны
быть прямые, этому требованию удовлетворяют графики а) и b), следовательно,
формуле №3 соответствует график с). Поскольку в формуле №1 коэффициент при х
равен -1, то график функции должен убывать. Этому требованию
удовлетворяет
только график №2, следовательно, формуле №2 соответствует график а).
3) Запишем ответ: №1b, №2a, №3c.
Под графическо-аналитическими задачами (Г-А) будем понимать задачи, в
которых дан график, и требуется найти его аналитическое выражение (формулу).
Решить графическо-аналитическую задачу значит перейти от графического
задания функции к аналитическому.
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Графическо-аналитические задачи направлены на отработку умений по
заданному графику (графикам) находить соответствующую формулу (формулы)
функций как основных элементарных, так и кусочно-заданных или полученных в
результате последовательной деформации исходной элементарной.
Задача 6. По заданному графику выбрать формулу кусочно-заданной функции из
числа представленных вариантов ответов.
( х  2) 2 , х  2;
1) f(x)= 
 ( х  1) 2  1, х  2.
;
 ( x  2) 2 , x  2;
2) g(x)= 
;
( х  1) 2  1, x  2.
 х 2  2, х  2;
3) h(x)= 
;
( х  1) 2  1, x  2.
 х 2 , х  0;
4) p(x)= 
.
 ( х  1) 2  1, x  0.
Решение: 1) Анализируя заданный график, заметим, что он представляет график
кусочно-заданной функции, судя по всему это графики двух парабол, одна из которых
задана на промежутке x  2, другая на промежутке x<2.
2) При x<2 видим, что ветви параболы y1=а1(x-x0)2+y0 направлены вниз,
следовательно, a1<0. Используя график, можно заметить, что вершина параболы
находится в точке (1;1), следовательно, х0=1, у0=1, а=-1, т.е. у1=-(х-1)2+1.
3) Аналогично, рассуждая, при х  2, отметим, что ветви параболы y2=а2(xx0)2+y0 направлены вверх, следовательно, a2>0, а вершина параболы находится в точке
(2;0), отсюда следует, что х0=2, у0=0, а2=1. Тогда у2=(х-2)2.
( х  2) 2 , х  0;
Тогда y= 
. Следовательно, ответ №1.
 ( х  1) 2  1, х  2.
Задача 7. Задайте аналитически функцию, график которой изображен на рисунке.
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
Решение: 1) Анализируя заданный график, замечаем, что он представляет
совокупность двух лучей, т.е. состоит из графиков двух линейных функций, причем
одна задана на промежутке х<3, другая на промежутке х  3.
2) При х<3, линейная функция y=k1x+b1 возрастает, значит k1>0, причем b1=2, т.е.
y=k1x+2. Найдем k1 c помощью какой-нибудь контрольной точки графика, например,
2
3
(-3;0). Получаем 0= k1 (-3)+2  k1= .
3) Аналогично, рассуждая, отметим, что y=k2x+b2 убывает  k2<0, кроме того,
0  k 2  5  b2
. Отсюда следует, что k2=-2,
4  k 2  3  b2
графику принадлежат точки (5;0) и (3;4)  
b=10.
2
 х  2, х  3;
Ответ: f(x)=  3
 2 x  10, x  3.
Под графическо-графической задачей будем понимать задачу, в которой дан
график функции и требуется построить на его основе график некоторой другой
функции.
Будем считать, что решить графическо-графическую задачу значит перейти
от графика данной функции к графику другой функции с помощью некоторых
преобразований.
Задача 8. Зная график функции у=х2, постройте график функции у=(х-2)2+3.
Решение:
1.Построим график исходной функции у=х2;
2.Выполним перенос осей координат в точку O’ (2;3);
3.В новой системе координат построим график функции y'=(x’)2.
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Задача 9. На рисунке изображен график функции y=f(x).
Постройте: а) у=f(x)+2; б) y=-2f(x); в) y=f(2x); г) y=f(0,5x-1)+2,
Решение:
а)
Осуществили перенос начала координат в точку O'(0;2) и построили в системе x'O'y'
график функции y'=f(x’), который будет искомым.
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
б)
Осуществили растяжение данного графика вдоль оси ординат в 2 раза и зеркальное
отображение вдоль оси Оу.
в)
Cжали данный график в 2 раза вдоль оси Ох.
г) Построим график по следующим шагам:
1)y=f(0,5x)
растяжением
графика функции y=f(x) в 2
раза вдоль оси Ох;
2)Построенный
график
перенесем параллельно оси
абсцисс
на
2
единицы
вправо и вверх вдоль оси
Оу на 2 единицы (или
перенесем
начало
координат в точку О'(2;2)).
Другие задачи на графиках
Решение уравнений
Будем рассматривать графическое решение уравнений двух видов f(x)=0…(1) и
g(x)=h(x)…(2)
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Решить уравнение f(x)=0 – это значит найти такие значения х, при которых
функция y=f(x) принимает нулевые значения. Следовательно, чтобы решить
уравнение f(x)=0 графически, необходимо:
1) построить график функции y=f(x);
2) найти абсциссы точек пересечения графика функции y=f(x) с осью Ох или точек
касания графика с осью Ох;
3) записать ответ.
Решить уравнение вида g(x)=h(x) графически, это значит найти такие значения
х, при которых значения функции y=g(x) и y=h(x) совпадают. Следовательно, чтобы
решить уравнение g(x)=h(x), необходимо:
1) построить графики функций y=f(x) и y=g(x) в одной системе координат;
2) найти абсциссы точек пересечения этих графиков;
3) записать ответ.
Задача 10. Используя графики функций у= х 3 и у=2х+4, решите
уравнение
х3-2х-4=0.
Решение:
1)Используя графики функций у= х 3 и у=2х+4, видим, что
графики пересекаются в одной точке с координатами (2;8).
Абсцисса точки пересечения х=2;
2)Запишем ответ: х=2.
Решение систем уравнений
Будем рассматривать графическое решение системы уравнений.
Решить систему уравнений с двумя переменными, это значит построить в
одной системе координат графики уравнений и найти координаты точек пересечения
этих графиков.
Выделим два типа задач:
I Пользуясь рисунком, решите систему уравнений;
II На рисунке изображены графики функций, укажите систему уравнений, которая
имеет решение (не имеет решение, одно решение, два решения и т.д.).
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
Задача 11. На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему
уравнений, которая не имеет решений.
у  х2 1
;
х  у  3
1) 
у  х2 1
;
х

5

0

2) 
у  х2 1
3) 
;
у  6
4) Все три указанные системы уравнений.
Решение:
1)Анализируя задание, можно сделать вывод, что графики функций не пересекаются;
2)Пользуясь рисунком, видим, что данному условию удовлетворяет система №1.
3)Запишем ответ: №1
Задача 12. Решить неравенство
1
1
х  3>
графически.
2
х 1
Решение:
1
2
1)Построим графики функций у= х  3 и у=
1
в
х 1
одной системе координат.
2)Найдем промежутки на оси абсцисс, где график
1
2
функции у= х  3 лежит выше графика функции
у=
1
. Видим, что х  (-6,2;-1)  (  0,6; ).
х 1
3)Запишем ответ: (-6,2;-1)  (  0,6; ).
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для учащихся 9
классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и
информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,9 кл.,
математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон
(домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики
Петрова М.И.)
М 9.1.1 Даны свойства функции:
а) Область определения функции есть промежуток [-2;7];
б) Значения функции составляют промежуток [-4;4];
в) f(x)<0 в интервалах (0;2)  (2;5);
г) Нули функции равны 0, 2, 5;
д) Наименьшее значение функции равно -4.
Укажите график функции, обладающей данными свойствами.
1)
2)
3)
4)
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
М 9.1.2 Выполните задания с изображенными на рисунке графиками функций и
номер соответствующего ответу графика зафиксируйте в таблице:
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№ ответа
1)
2)
3)
4)
Задание 1: Укажите рисунок, на котором нулем функции является х=0, а область
определения функции – промежуток [0;+∞).
Задание 2: Укажите рисунок, на котором множеством значений функции является
промежуток (-∞;+∞), и изображен график нечетной функции.
Задание 3: Укажите рисунок, на котором функция возрастает на промежутке
[0;+ ∞), и изображен график функции, которая является ни четной, ни нечетной.
Задание 4: Укажите рисунок, на котором областью определения функции является
промежуток (-∞;+∞), и функция возрастает на промежутке (-∞;+∞).
Задание 5: На каком рисунке изображен график функции, обладающей свойствами:
f(0)=3, функция принимает положительные значения в промежутке (-3;3).
Задание 6: На каком рисунке изображен график функции, обладающей свойствами:
функция является нечетной и нулем функции является х=0.
Задание 7: На каком рисунке изображен график функции, обладающей свойствами:
f(1)<f(4) и функция принимает положительные значения в промежутке (0;+∞).
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.
ХКЗФМШ – 2011/12
Задание 8: Укажите рисунок, на котором областью определения функции является
промежуток (-∞;+∞), а наибольшее значение функции равно 3.
Задание 9: На каком рисунке изображен график функции, обладающей свойствами: f(1)>f(-2) и f(2)=0.
Задание 10: Укажите рисунок, на котором нулем функции является х=0, а функция
возрастает на промежутке [0;+∞).
М 9.1.3 На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите
соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.
a) k>0, b<0;
1)
b) k<0, b>0;
2)
c) k<0, b<0;
3)
d) k>0, b>0.
4)
М 9.1.4 Выберите функцию, график которой изображен на рисунке.
1 1 2
  х , | x | 1
1) f(x)=  2 2
;
2
 x  1, | x | 1

 х 2  1, | x | 1

2) f(x)=  1 2 1
;
x

,
|
x
|

1

2
2
 1 2 1
 х  , | x | 1
3) f(x)=  2
;
2
 x 2  1, | x | 1

 2 1
 х  , | x | 1
4) f(x)= 
.
2
 x 2  1, | x | 1

М 9.1.5 На рисунке изображены пары графиков. В каждой паре один из графиков
принадлежит функции y=f(x). Задайте вторую функцию.
Хабаровск - 2011
Математика – 9: Задачи на графиках в курсе математики основной школы
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Кармакова Т.С., Табачук Н.П.