указания к выполнению практической работы

Практическая работа 6
Тема: Вычисление производных сложных функций
Цель: закрепить навыки вычисления производных сложных функций
Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к
выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления,
характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел
отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в
некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Таблица производных
Производные степенных
функций
Производные
тригонометрических функций
Производные обратных
тригонометрических функций
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой
операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с
«функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно
вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x),
g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила
дифференцирования:







…(g ≠ 0)
(g ≠ 0)
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица производных элементарных функций;
микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. Ответить на контрольные вопросы:
а) Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложных функций.
б) Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.
2. По образцу выполнить тренировочные задания.
3. Изучить условие заданий для практической работы.
4. Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
3
ПРИМЕР 1. Заданы функции f x   2  6 x , g x   tgx . Задайте формулой сложную функцию h, если: а)
hx  g  f x ; б) hx  f g x .
РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции hx  g  f x таким образом:


hx   g  f x   tg 2  6 x 3 .
б) Функцию h можно представить в виде сложной функции hx   f g x  таким образом:
hx   f g x   2  6tg 3 x .
ПРИМЕР 2. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция
hx  g  f x : а) hx   4 x  97 ; б) tgx .
РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции hx  g  f x , где
g  y   y 7 , y  f x   4 x  9 .
б) Функцию h можно представить в виде сложной функции hx  g  f x , где g  y  
y , y  f x  tgx .
ПРИМЕР 3. Найдите производные сложных функций: а) hx   9  x 2 ; б) h x   sin  3 


x
.
2
РЕШЕНИЕ. а) Так как hx   g  f x  , где g  y  
и y   f x  2x ,
откуда h  x  
б)
1
 y 
2 y
Так
как
 2x
2 9x
2
x

9x
hx  g  f x ,
2
y , y  f x   9  x 2 , то g  y  
1
2 y
.
где
1

y   f x    , откуда h x   cos y  y   cos 3 
2

g  y   sin y , y  f x   3 
x 
  
2 
1
1

   cos 3 
2
2

x
.
2
x
,
2
то
g  y   cos y
и
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.
1. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция
hx  g  f x , если hx  
1
sin 5 x
.
2. Найдите производную сложной функции hx  
4
x2
1 .
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислите производные сложных функций:
а) f x   4 1  x 2 ; б) f  x   5 2 x ; в) f x   sin 3x ; г) f x  
ln x
; д) f  x   2tg 3 4 x .
x
e e
x
Вариант 2.
Вычислите производные сложных функций:
а) f x  
1
2 x  1
2


; б) f  x   e 3 x ; в) f x   cos 5x ; г) f x   3x  4  log 5 x  1  x 2 ;
д) f  x   4ctg 3 2 x .
Вариант 3.
Вычислите производные сложных функций:


а) f x   3  x  ; б) f x   2 log 3 2 x ; в) f  x   3tg  2 x 
4


д) f  x   2 sin 3 4 x .
Вариант 4.
Вычислите производные сложных функций:
а) f  x   5 x 
x ; б) f x  lg 3x ; в) f  x   3 cos
2
x
; г) f  x   x  2 3 x  x ;
3
д) f x   log 32 2 x  1.
Вариант 5.
Вычислите производные сложных функций:

а) f  x   3  2 x 3

;
5


2
б) f  x   0 ,33 x 7 x  2 ; в) f  x   cos x 2  4 x  12 ;

2
г) f  x   3 x  5 x 2  x 3  4 x ; д) f  x   3 sin 2 5 x .

2
x
;
 ; г) f  x   x  4  e
4
2
Вариант 6.
Вычислите производные сложных функций:
а) f  x  
x
1
2
5

3
; б) f x   e 4 x ; в) f  x   tgx 3 ; г) f  x  
5x
6
; д) f x   ln2 x  1 .
sin 6 x
Вариант7.
Вычислите производные сложных функций:
2
2
а) f  x   x 2  e x 3 x ; б) f  x   tg 2 2 x ; в) f x   sin 5  x  ; г) f  x   2 5 x  x ;


д) f  x   3 x 3  x 7 ;
5
Вариант 8.
а) f  x  
2 x  1 ; б) f  x   e  x ; в) f x   tg x ; г) f  x  
3
sin 5 x
; д) f x   3 ln1  x  .
x
Литература:
1 Ю.М.Колягин Математика в 2-х книгах, учебник для СПО, 2008, книга 2 2 И.Л.Соловейчик
Сборник задач по математике для техникумов, -М, 2003 3 В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова
Математика. Учебное пособие для студен-тов образовательных учреждений среднего
профессионального образования, г.Ростов-на-Дону, «Феникс», 2012