ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ одной из форм самостоятельной работы студента.

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАНИЯ И ЕГО ОБЪЕМ
Контрольная работа по дисциплине «Дискретная математика» является
одной из форм самостоятельной работы студента.
Цель контрольной работы – углубить или закрепить практические знания
студентов по вопросам элементов теории множеств, комбинаторики,
математической логики и элементов теории графов.
Контрольная работа состоит из восьми заданий и выполняется по
вариантам.
Вариант контрольной работы соответствует последней цифре в номере
зачетной книжки студента. Выбор варианта должен осуществляться строго в
соответствии с этим правилом, в противном случае работа считается не
зачтенной и возвращается студенту на переработку.
Общие требования к написанию и оформлению контрольной работы
При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже
правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и
возвращается студенту для переработки.
1. Решение задач следует располагать в порядке номеров, указанных в
заданиях, сохраняя номера задач.
2. Каждое новое задание начинается с новой страницы.
3. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие
4. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку,
следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из
соответствующего номера.
5. Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все
действия. В конце решения следует записать ответ.
Требования к оформлению контрольной работы
При выполнении контрольной работы следует соблюдать указанные ниже
правила. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и
возвращается студенту для переработки.
На титульном листе контрольной работы должны быть указаны название
дисциплины, фамилия, имя, отчество, группа, специальность, номер зачётной
книжки студента, дата сдачи контрольной работы.
Контрольную работу следует выполнять в тетради пастой любого цвета,
кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
Студент обязан предоставить контрольную работу на проверку в
соответствии с календарным планом. Если у преподавателя нет претензий к
работе, то студент допускается к защите. Если в работе имеются недостатки, то
после получения прорецензированной работы студент должен исправить в ней
все отмеченные преподавателем ошибки и недочеты.
Защита контрольной работы осуществляется на последнем практическом
занятии по дисциплине. По результатам защиты студенту выставляется оценка.
Без зачета по контрольной работе студент не может быть допущен к зачету или
экзамену по данной дисциплине.
Задания контрольной работы
Задание № 1
вариант
задача
1
Задать различными способами множество N всех натуральных
чисел: 1, 2, 3,...
2
3
Задать различными способами множество М всех четных чисел
2,4,6,..., не превышающих 100.
Пусть U = { а , b , с } . Определить в явном виде (перечислением
своих элементов) булеан β(U) - множество всех подмножеств,
состоящих из элементов множества U . Какова мощность
множества β(U)?
4
Какие из приведенных определений множеств А ,В ,
являются корректными:
а ) А = {1,2, 3},
в) С= {x: х ∈А } ,
б) В ={5, 6,6, 7},
г ) D = { А, С}?
Принадлежит ли число 1 множеству D?
5
Пусть универсальное множество U - множество всех сотрудников
некоторой фирмы; А - множество всех сотрудников данной
организации старше 35 лет; В - множество сотрудников, имеющих
стаж работы более 10 лет; С - множество менеджеров фирмы.
Каков содержательный смысл (характеристическое свойство)
каждого из следующих множеств:
𝑎) 𝐵
б) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
в) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)
г) В\С
д) С\В?
С,
D
6
Задать множества 𝑀 , 𝑁 , если:
М - множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100;
N- множество натуральных чисел.
7
Осуществить операции над множествами
А = {а , b , с , d ) и В = {с , d , e , f , g , h } .
8
9
10
Пусть U= {1,2, 3,4}, A = {1,3,4}, В= {2,3}, С={1,4}.
Найти:
а)𝐴 ∪ 𝐵,
б)𝐴 ∩ 𝐵,
в)𝐴 ∩ 𝐵,
г)(𝐵\𝐴) ∪ 𝐶
Представить множество 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) диаграммой Венна.
Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью
диаграммы Венна справедливость соотношения
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
Задание № 2
вариант
задача
1
Пусть M= {1 ,2 ,3 ,4 , 5,6}. Задать в явном виде (списком) и
матрицей отношение 𝑅 ⊆ 𝑀 × 𝑀, если R означает - "быть строго
меньше".
2
Пусть M= {1 ,2 , 3 ,4 , 5,6}. Составить матрицы отношения
𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 ⊆ 𝑀 × 𝑀, если:
1) R1 - "быть делителем";
2) R2- "иметь общий делитель, отличный от единицы";
3) R3- "иметь один и тот же остаток от деления на 3".
3
Составить матрицы отношений, заданных на системе множеств
β(M),М= { а , b ,с }:
1)
R1 - "пересекаться с" (иметь непустое пересечение);
2)
R2- "являться строгим включением.
4
Пусть отношение R - "быть отцом", определенное на множестве
людей М = { а , b , с , d , e , f , g , h }, представлено схемой:
Задать списком отношение R. Определить
(назвать) родственные отношения между
следующими парами: ( a , b ), ( a , d ) , (b , с),
(b,d ) , ( b , h ) , ( с d ) .
5
Пусть некоторая программа читает два числа из множества М=
{1 ,2 , 3 ,4 , 5}, обозначаемых х и у , и, если х < у , печатает число
z (также из М) такое, что х ≤ z < у . В любом случае программа
останавливается после считывания всех чисел на множестве М.
Чему равны области определения и значений отношения?
6
Пусть бинарное отношение R на M задано в виде диаграммы,
состоящей из узлов и стрелок так, что узлам взаимно однозначно
соответствуют элементы множества М, а стрелкам, соединяющим
пару а и b в направлении от а к b , - наличие отношения a Rb .
Определить графические особенности диаграммы в зависимости от
характера свойств отношения R .
7
Проиллюстрировать диаграммой Венна следующие разбиения
множества U:
а) { A , А};
б ) { A ∩ В , A ∩ В, А ∩ В , А ∩ В } ;
в){ А \ В , А ∩В , В \ А } .
8
Пусть отношение R - "быть руководителем", определенное на
множестве сотрудников организации М. Назовите отношения: 𝑅,
R - 1 , R°, R*. Каковы свойства отношений?
9
Пусть на множестве М = {2, 4, 6} определено отношение R - "быть
меньше". Задать характеристическим свойством и списком
отношение R, обратное отношение R-1 и дополнение 𝑅 . Сравнить
отношения. Определить их свойства.
10
Пусть G - множество всех пар действительных чисел ( х , у),
удовлетворяющих соотношению (х-3)2+(у-2)2 ≤1. Графически такое
соответствие G представляет собой круг радиуса 1 с центром в
точке (3, 2). Таким образом, круг G задает соответствие между R и
R (осью абсцисс и осью ординат, см. рисунок).
Определить, чему равны:
а) образы и прообразы чисел 2, 3, 4;
б) образы и прообразы отрезков [2, 3], [2, 4].
Каковы свойства соответствия G?
Задание № 3
вариант
задача
1
Записать
логическими
формулами
следующие
сложные
высказывания:
1.
"Если допоздна работаешь с компьютером и при этом пьешь
много кофе, то утром просыпаешься в дурном расположении духа
или с головной болью".
2.
"Если социологические исследования показывают, что
потребитель отдает предпочтение удобству и многообразию
выбора, то фирме следует сделать упор на усовершенствование
товара или увеличение многообразия новых форм".
Сравнить логические формулы и сделать выводы.
2
Представить логической формулой следующий текст (составное
высказывание):
«Если фирма продолжает выпуск существующего продукта и
ориентирована на существующий рынок, то для нее целесообразна
стратегия "'малого корабля", или экономии издержек. Такая
стратегия привлекательна, если интенсивный маркетинг стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона
организации.
Если
интенсивный
маркетинг
является
стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной
фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата новых
рынков для существующего продукта.»
3
К каким схемам относятся следующие рассуждения:
1.
"Если рабочий отсутствовал на работе, он не выполнил
задания. Он не выполнил задания. Следовательно, он отсутствовал
на работе".
2.
"Этот человек студент или предприниматель. Он студент.
Следовательно, не предприниматель".
3.
"Этот человек постоянно живет в Москве или в СанктПетербурге. Он живет в Москве. Следовательно, он не живет в
Санкт-Петербурге."
4.
"Сегодня понедельник или вторник. Сегодня вторник.
Следовательно сегодня не понедельник".
Являются ли данные рассуждения логически правильными?
4
Записать логической формулой следующее умозаключение:
"Если фирма приглашает на работу крупного специалиста в
области новейшей технологии, то она считает ее привлекательной и
разворачивает работы по изменению технологии производства
своего традиционного продукта или начинает разработку нового
продукта. Конкурирующая фирма пригласила на работу крупного
специалиста в области новейшей технологии. Следовательно, она
разворачивает работы по изменению технологии производства
выпускаемого продукта или разработке нового продукта."
Уточнить справедливость данного умозаключения.
5
Составить таблицу истинности функции трех переменных,
заданной формулой:
6
Доказать эквивалентность (равносильность) формул:
7
Логическую функцию трех переменных
представить булевой формулой - в виде СДНФ.
8
Доказать справедливость обобщенного склеивания методом
эквивалентных
преобразований
(используя
основные
эквивалентные соотношения).
9
Получить СДНФ функции, используя эквивалентные соотношения:
10
Упростить булевы формулы:
Задание № 4
вариант
задача
1
Каким отношениям и функциям соответствуют следующие
предикаты, определенные на множестве натуральных чисел:
2
Записать
формулой
логики
предикатов
предложение,
отражающее транзитивное свойство делимости целых чисел.
3
Дать
словесные
формулировки
высказываний (предложений):
4
Пусть Р(х) - предикат "х - четное число1', определенный на
множестве М. Дать словесную формулировку высказыванию
∃х Р( х ) , определить его истинность.
5
Пусть N ( x ) - предикат "х - натуральное число". Рассмотреть
варианты
навешивания
кванторов.
Проинтерпретировать
полученные высказывания и определить их истинность.
6
Записать предикатной формулой предложение "Любой человек
имеет отца".
7
Пусть предикат Р ( х , у ) описывает отношение "х любит у" на
множестве людей. Рассмотреть все варианты навешивания
кванторов на обе переменные. Дать словесную интерпретацию
полученных высказываний.
следующих
составных
8
Пусть Q(x, у) - предикат порядка "х≤у". Рассмотреть различные
варианты квантификации его переменных. Определить
истинность получаемых выражений для разных случаев
интерпретации области определения М предиката, х,у ∈ М.
9
Рассмотреть все возможные варианты навешивания кванторов на
предикат D(х,у) - "х делится на у", определенный на множестве
натуральных чисел (без нуля) N. Дать словесные формулировки
полученных высказываний и определить их истинность.
10
Какой смысл имеют предикатные формулы:
где П ,Е - предикаты произведения и равенства, определенные на
N? Истинны ли эти формулы? Привести примеры наборов
переменных,
иллюстрирующие
заключение
относительно
истинности или ложности формул.
Задание № 5
вариант
задача
1
Сколько различных прямых можно провести через 8 точек,
расположенных так, что между ними нет трех, лежащих на одной
прямой.
2
Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог
переводить непосредственно с любого из четырех языков –
русского, английского, немецкого, французского – на любой другой
из этих языков.
3
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8,
если каждую цифру в любом числе использовать не более 1 раза?
4
Нужно послать 6 писем. Сколькими способами это можно
сделать, если для доставки писем имеются три курьера?
5
10 кресел поставлены в ряд. Сколькими способами на них
могут сесть два человека? Сколькими способами эти два человека
могут сесть рядом?
6
В автомашине 7 мест. Сколькими способами 7 человек могут
усесться в эту машину, если занять место водителя могут только
трое из них?
7
Компания из 20 мужчин разделяется на 3 группы. В первую входят
три человека, во вторую – 5, в третью – 12. Сколькими способами
они могут это сделать?
8
Сколькими способами из пяти супружеских пар можно отобрать
четырех человек, если в число отобранных должны входить двое
мужчин и две женщины?
9
Из двенадцати кандидатов тренер отбирает 5 и составляет из них
баскетбольную
команду.
Два
кандидата
могут
играть
центровыми, четверо – только в защите, а остальные – только в
нападении. Предполагается, что баскетбольная команда состоит из
одного центрового, двух защитников и двух нападающих.
Сколькими способами тренер может составить команду?
10
В группе 9 человек. Сколько можно образовать
подгрупп, если в подгруппу входит не менее двух человек?
разных
Задание № 6
вариант
задача
1
Найти число перестановок, образованных из всех цифр числа
2233344455.
2
Предприятие
может
предоставить
работу
по
одной
специальности четырем женщинам, по другой – пяти мужчинам,
по третьей – трем работникам, независимо от их пола. Сколькими
способами можно заполнить эти вакансии, если имеются 18
претендентов – 8 женщин и 10 мужчин?
3
Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно
образовать из букв, составляющих слово «гипотенуза», равно
числу всех возможных перестановок букв, составляющих слово
«призма».
4
Сколько слов, состоящих из двух гласных и двух согласных, можно
образовать из слова «функция»?
5
Сколько перестановок можно образовать из слова «экономика»?
6
Сколькими способами можно расставить на полке 7 книг, если
две определенные книги всегда должны стоять рядом?
7
Из 40 человек нужно выбрать двух делегатов на конференцию.
Сколькими способами это можно сделать?
8
В комиссию избрали 6 человек. Из них надо выбрать председателя и
его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
9
В турнире участвовали шесть шахматистов. Сколько было сыграно
партий, если каждый из них сыграл с каждым остальным по одной
партий?
10
Сколько существует способов набирания кода, состоящего из
четырех различных цифр?
Задание № 7
вариант
задача
Задать
граф
G
,
представленный
на рисунке, через множества вер1
1
шин V1и ребер Е1.
2
На
рисунке
изображены графы G1G12
с
четырьмя
вершинами в каждом.
Сравнить графы.
3
Чему равны степени вершин графов G1 и G3 на рисунке:
4
Задать матрицами инцидентности и смежности, а также списком
ребер графы G1 и G3:
5
На рисунке изображен сетевой граф (сетевая модель) выполнения
комплекса операций (работ) некоторой программы. В нем стрелки
обозначают операции, вершины события, характеризующие окончание
одних работ и начало других.
Направленность стрелок отражает
последовательность наступления этих
событий.
Задать сетевой
граф
различными способами.
6
Определить, изоморфны ли графы G1 G2 изображенные на рисунке:
7
Задать различными способами графы G, и G2, представленные на
рисунках.
8
Какими особенностями отличается граф G, взаимно однозначно
соответствующий бинарному отношению R, если R:
а) симметрично;
в) рефлексивно;
б) антисимметрично;
г) антирефлексивно;
д) транзитивно.
9
Пусть ориентированный граф G на рисунке задает отношение
R:G(R). Каковы свойства отношения?
10
Каким операциям над графами
операции над отношениями?
соответствуют
основные
Задание № 8
вариант
задача
Для
вершин
v
и
v
графа
G
привести
примеры маршрута, цепи,
1
6
1
простой цепи.
2
3
4
Имеют ли пятиугольник и пятигранник-пирамида с петлями в
некоторых вершинах эйлеров цикл (цепь)?
Имеет ли граф на рисунке гамильтонов цикл, цепь?
Пусть граф типа дерева - G7. Сколько вершин максимального типа
имеется в данном графе? Каково цикломатическое число графа?
5
Определить в графе циклический маршрут, цикл, простой
цикл, приняв вершину v1 за их начало и конец.
6
Для четырех графов определить расстояния между вершинами.
Какие вершины являются центрами графов? Чему равны радиусы
графов?
7
Имеет ли граф на рисунке гамильтонов цикл, цепь?
8
Пусть граф типа дерева - G7. Чему
равно цикломатическое число графа G',
являющегося лесом и представленного
двумя одинаковыми деревьями G7?
Построить ориентированное дерево с
корнем v0, являющимся вершиной
максимального типа.
9
Для вершин v1 и v6 графа G привести примеры маршрута, цепи,
простой цепи; определить в графе циклический маршрут,
цикл, простой цикл, приняв вершину v1 за их начало и конец.
10
Какими свойствами обладает отношение связанности вершин
н-графа? Чему равно число связных компонент графа G?