12 ЭЗ

Контрольная работа №2
по дисциплине «Теория вероятностей и математисческая статистика»
для группы 12 ЭЗ, преподаватель Колодкина Н.Н.
1. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны
возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности p этих значений).
Найти: 1) математическое ожидание M(X);
2) дисперсию D(X);
3) среднее квадратичное отклонение  ( Х ) .
Вариант
Задание
Вариант
Задание
1
x
8
4
6
5
6
x
15 11 13 12
p
0,2
0,5 0,2 0,1
p 0,1 0,3 0,2 0,4
7
x
52 54 57 51
2
x 23 25 27 29
p
0,1
0,4 0,3 0,2
p 0,2 0,1 0,3 0,4
8
x
21 20 22 26
3
x 10 8
6
9
p 0,5 0,2 0,2 0,1
p 0,4 0,1 0,3 0,2
9
x
34 30 32 36
4
x 32 40 37 35
p 0,2 0,4 0,3 0,1
p 0,1 0,3 0,4 0,2
10
x
50 48 51 53
5
x 42 41 43 45
p 0,3 0,2 0,2 0,3
p 0,3 0,3 0,2 0,2
2. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F ( x ) .
Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f ( x ) ;
2) математическое ожидание М ( Х ) ;
3) дисперсию D ( X ) .
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
Задание
0 при 𝑥 < 0,
𝐹(𝑥) = { 𝑥 2 при 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,
1 при 𝑥 > 1.
0 при 𝑥 < 0,
𝑥2
𝐹(𝑥) = {
при 0 ≤ 𝑥 ≤ 4,
16
1 при 𝑥 > 4.
0 при 𝑥 < 2,
𝐹(𝑥) = {𝑥 − 2 при 2 ≤ 𝑥 ≤ 3,
1 при 𝑥 > 3.
0 при 𝑥 < 0,
𝑥2
𝐹(𝑥) = { при 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,
4
1 при 𝑥 > 2.
0 при 𝑥 < 4,
𝐹(𝑥) = {𝑥 − 4 при 4 ≤ 𝑥 ≤ 5,
1 при 𝑥 > 5.
0 при 𝑥 < 0,
𝑥8
𝐹(𝑥) = { при 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,
8
1 при 𝑥 > 2.
0 при 𝑥 < 0,
𝑥2
𝐹(𝑥) = { при 0 ≤ 𝑥 ≤ 3,
9
1 при 𝑥 > 3.
0 при 𝑥 < 1,
𝐹(𝑥) = {𝑥 − 1 при 1 ≤ 𝑥 ≤ 2,
1 при 𝑥 > 2.
0 при 𝑥 < 0,
𝐹(𝑥) = {𝑥 при 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,
1 при 𝑥 > 1.
0 при 𝑥 < 0,
𝑥3
𝐹(𝑥) = {
при 0 ≤ 𝑥 ≤ 3,
27
1 при 𝑥 > 3.
8
9
10
3. Дана выборка значений нормально распределенного признака X (в первой строке указаны
значения признака 𝑥𝑖 , во второй - соответствующие им частоты 𝑛𝑖 ).
Найти: 1) выборочную среднюю х В и исправленное среднее квадратическое отклонение s 2 ;
2) доверительный интервал, для оценки математического ожидания.
3) доверительный интервал, для оценки среднего квадратичного отклонения (надежность оценки
во всех вариантах счтитать равной γ =0,95).
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
𝑥𝑖
𝑛𝑖
21
7
27
5
40
5
65
3
20
5
12
4
36
4
12
2
7
3
9
4
26
11
30
15
45
5
70
7
30
10
22
16
42
16
18
16
12
7
15
10
Задание
31 36
12 60
33 36
25 40
50 55
10 35
75 80
10 40
40 50
24 31
32 42
25 40
48 54
20 40
24 30
12 50
17 22
10 40
21 27
25 30
41
5
39
7
60
25
85
20
60
15
52
7
60
12
36
15
27
20
33
16
46
3
42
5
65
12
90
12
70
10
62
5
66
5
42
3
32
12
39
10
51
2
45
3
70
8
95
8
80
5
72
3
72
3
48
2
37
8
45
5
4. Решите задачу, применив функцию Лапласа.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Задание
Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально.
Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое
отклонение равно 0,25 мм. Стандатными считаются детали, размер которых заключен
между 199,5 мм и 200,5 мм. Найти процент стандартных деталей.
Средний диаметр стволов деревьев на некотором участке равен 25 см, среднее
квадратическое отклонение равно 5 см. Считая диаметр ствола случайной величиной,
распределенной нормально, найти процент деревьев, имеющих диаметр свыше 20 см.
Процент всхожести семян равен 90%. Оценить вероятность того, что из 1 000
посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.
Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины
равно 0,5. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.
Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с
математическим ожиданием 150 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм.
Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05 г.
Определить вероятность того, что вес наудачу взятого зерна окажется в пределах от
0,16 г до 0,22 г.
Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га
колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг.
Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией
0,95.
Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально.
Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое
отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых
заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность
изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим
отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?
Масса яблока, средняя величина которой равна 150 г, является нормально
распределенной случайной величиной со средним квадратическим отклонением 20 г.
Найти вероятность того, что масса наугад взятого яблока будет заключена в пределах
от 130 г до 180 г.
Устройство состоит из 20 однотипных независимо работающих элементов.
Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оценить
вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших
элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.
5. На основании полученных измерений величины Х и Y найти выборочное уравнение линейной
регрессии Y на Х и выборочный коэффициент корреляции.
Вариант
1
2
3
4
5
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
4
5
3
14
10
5
5
6
10
60
Задание
6
8
8
7
5
7
10
9
20
25
8
7
7
9
9
8
15
20
35
20
10
9
9
9
28
12
11
10
25
20
12
14
10
5
30
14
13
15
30
15
Вариант
6
7
8
9
10
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
4
13
9
5
5
7
10
6
3
15
Задание
6
8
9
8
18
23
8
7
7
9
10
9
20
25
9
10
5
7
11
10
10
8
26
12
11
12
28
13
9
8
12
4
28
14
13
14
30
15
10
6