Текстовые задачи в заданиях единого государственного экзамена

Текстовые задачи в заданиях единого государственного экзамена
Задание В1
ТРЕБОВАНИЯ: Анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические
расчеты по формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах
СОДЕРЖАНИЕ: Целые числа, дроби, проценты, рациональные числа; применение
математических методов для решения содержательных задач из различных областей
науки и практики; интерпретация результата, учет реальных ограничений
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:
БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 5 мин
ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки: 2 мин
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ
Прототипы задач типа В1 из открытого банка заданий ЕГЭ
Задание В1.
1.Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное
предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок).
Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?
2.Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое
наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?
3. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15
школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
4. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На
сколько процентов была снижена цена на футболку?
5. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей.
Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
6. В городе N живет
жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди
взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых
жителей работает?
7.Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина 20 рублей. Средний
расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на
бензин за этот месяц?
8. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит,
внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю
сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк
ежемесячно?
9. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере
166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на
5 дней?
10. В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45
пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?
11. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 200 г клубники. Сколько
рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?
12. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны
стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа
тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
13.В магазине "Четверочка" проходит рекламная акция: заплатив за четыре шоколадки,
покупатель получает пять (одну в подарок). До проведения акции, чтобы купить 20
шоколадок, нужно было иметь не менее 200 рублей. Сколько шоколадок можно получить
на 200 рублей во время акции?
Задание В4
ТРЕБОВАНИЯ: Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между
величинами и интерпретировать их графики, извлекать информацию, представленную в
таблицах, на диаграммах, графиках; решать прикладные задачи, в том числе социальноэкономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на
нахождение скорости и ускорения
СОДЕРЖАНИЕ: Преобразования выражений, включающих арифметические операции;
применение математических методов для решения содержательных задач из различных
областей науки и практики, интерпретация результата, учет реальных ограничений;
табличное и графическое представление данных
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:
БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 15 мин
ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки: 7 мин
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ
Приведем прототипы задач В5 из открытого банка заданий ЕГЭ
Задание B4 (№ 5383)
Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно использовать одного из трех
перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого
перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую
перевозку за один рейс?
Перевозчик
Стоимость перевозки одним
автомобилем
Грузоподъемность автомобилей
(тонн)
(руб. на 100 км)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
Задание B4 (№ 5393)
Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет)
предлагает три тарифных плана.
Тарифный план Абонентская плата
Плата за трафик
1. План "0"
Нет
2,5 руб. за 1 Mb.
2. План "500"
550 руб. за 500 Мb трафика в месяц 2 руб. за 1 Mb сверх 500 Mb.
3. План "800"
700 руб. за 800 Mb трафика в месяц 1,5 руб. за 1 Mb сверх 800 Mb.
Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Mb в месяц и, исходя из этого,
выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за
месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb?
Задание B4 (№ 5403)
Для изготовления книжных полок требуется заказать 48 одинаковых стекол в одной из
трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25
. В таблице приведены цены на стекло, а
также на резку стекол и шлифовку края. Сколько рублей будет стоить самый дешевый
заказ?
Фирма
Цена стекла Резка и шлифовка
(руб. за 1
) (руб. за одно стекло)
A
420
75
Б
440
65
В
470
55
Задание B4 (№ 5409)
Для остекления веранды требуется заказать 28 одинаковых стекол в одной из трех фирм.
Площадь каждого стекла 0,25
. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол.
Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?
Цена стекла Резка стекла
Фирма (руб. за 1
(руб. за одно
стекло)
)
A
300
17
Дополнительные условия
Б
320
13
В
340
8
При заказе на сумму больше 2500 руб. резка
бесплатно.
Задание B4 (№ 5413)
Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В
таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо
аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в
рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?
Автомобиль Топливо
Расход топлива (л на
100 км)
Арендная плата (руб. за
1 сутки)
1.
Дизельное 7
3700
2.
Бензин
10
3200
3.
Газ
14
3200
Цена дизельного топлива 19 руб. за литр, бензина 22 руб. за литр, газа 14 руб. за литр.
Задание B4 (№ 5419)
Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный план
Абонентская плата
Плата за 1 минуту разговора
1. Повременный
135 руб. в месяц
0,3 руб.
2.
Комбинированный
255 руб. за 450 минут в
месяц
0,28 руб. за 1 минуту сверх 450 минут в
месяц
3. Безлимитный
380 руб.
0 руб.
Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая
длительность телефонных разговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он
должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце
действительно будет равна 700 минут? Ответ дайте в рублях.
Задание B4 (№ 5423)
Семья из трех человек едет из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а
можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей.
Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе
равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая
дешевая поездка для этой семьи?
Задание B4 (№ 5457)
Для остекления веранды требуется заказать 40 одинаковых стекол в одной из трех фирм.
Площадь каждого стекла 0,15 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол.
Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ?
Резка стекла
Цена стекла (руб. за
Фирма
(руб. за одно
1 м2 ).
стекло)
A
310
20
Б
300
25
В
370
15
Дополнительные условия
При заказе на сумму больше 2000 руб.
резка бесплатно.
Задание B4 (№ 5477)
Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из
трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)?
Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик
Цена бруса (руб. Стоимость
за м3)
доставки (руб.)
A
4200
10200
Б
4800
8200
При заказе на сумму больше 150000
руб. доставка бесплатно
В
4300
8200
При заказе на сумму больше 200000
руб. доставка бесплатно
Дополнительные условия
Задание B4 (№ 5493)
Строительной фирме нужно приобрести 80 кубометров пенобетона у одного из трех
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется
заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?
Стоимость
Поставщик пенобетона (руб. за
м3)
Стоимость
доставки (руб.)
A
2950
4700
Б
3000
5700
При заказе на сумму больше 150000
руб. доставка бесплатно
В
2980
3700
При заказе более 85 м3 доставка
бесплатно
Задание B4 (№ 5503)
Дополнительные условия
Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный
или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 5 кубометров
пеноблоков и 2 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 4 тонны щебня и
40 мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит 2400 рублей, щебень стоит 680 рублей за
тонну, а мешок цемента стоит 240 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если
выбрать наиболее дешевый вариант?
Задание B4 (№ 5513)
При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента:
каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного
камня и 9 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50
мешков цемента. Тонна камня стоит 1600 рублей, щебень стоит 780 рублей за тонну, а
мешок цемента стоит 230 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента,
если выбрать наиболее дешевый вариант?
Задание B4 (№ 5583)
От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на маршрутном такси. В
таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое
наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в часах.
1. Автобусом
1
2
3
От дома до автобусной
станции — 20 мин.
Автобус в пути: 2 ч От остановки автобуса до
5 мин.
дачи пешком 10 мин.
От дома до станции
2. Электричка железной дороги — 15
мин.
Электричка в пути: От станции до дачи
1 ч 20 мин.
пешком 55 мин.
От дома до остановки
3. Маршрутное
маршрутного такси —
такси
20 мин.
Маршрутное такси
в дороге 1 ч 5 мин.
От остановки
маршрутного такси до
дачи пешком 75 минут
Задание B4 (№ 5605)
Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней
скоростью 40 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 49 км/ч. Третья
дорога — без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со
средней скоростью 52 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между
пунктами по дорогам.
Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой автомобиль добрался до D позже
других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
Задание B4 (№ 18287)
Для перевозки 5 т груза на 150 км можно воспользоваться услугами одной из трех
транспортных компаний. Каждая компания предлагает один вид автомобилей. Сколько
рублей будет стоить наиболее дешевый вариант перевозки?
Компанияперевозчик
Стоимость перевозки (руб. за 10
км)
Грузоподъемность автомобилей
(т)
А
90
1,8
Б
120
2,4
В
180
3,6
Приведем ответы к заданиям В4
Задание B4 (№ 5383)
Задание B4(№ 5393)
Задание B4 (№ 5403)
Задание B4 (№ 5409)
Задание B4 (№ 5413)
Задание B4 (№ 5419)
Задание B4 (№ 5423)
Задание B4 (№ 5457)
Задание B4 (№ 5477)
Задание B4 (№ 5493)
Задание B4(№ 5503)
Задание B4 (№ 5513)
Задание B4 (№ 5583)
Задание B4 (№ 5605)
Задание B4(№ 18287)
479700
700
8280
2576
4180
325
1092
2220
178200
240000
12320
16470
2,5
2,75
4050
Задание В12
ТРЕБОВАНИЯ: Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между
величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в
таблицах, на диаграммах, графиках; решать прикладные задачи, в том числе социальноэкономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на
нахождение скорости и ускорения
СОДЕРЖАНИЕ: Уравнения, неравенства
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:
БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 22 мин
ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки: 10 мин
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ
Примеры решения задач данного типа с комментариями к решению содержатся в
книге авторов Д.Д.Гущина, А.В.Малышева «ЕГЭ 2010.Математика.Задача В10.Рабочая
тетрадь /Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко.-М.:МЦНМО, 2010», электронная версия
которой прикреплена к курсу. Предлагаем ознакомиться с содержанием и методикой
обучения школьников решению данного типа практико-ориентированных задач.
Примечание: В КИМ ЕГЭ - 2013 года задача В10 находится под номером В12.
Задание В13
ТРЕБОВАНИЯ: Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры
СОДЕРЖАНИЕ: Уравнения, неравенства
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:
БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 22 мин
ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки : 10 мин
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ
При подготовке школьников к выполнениюзадания данного типа целесообразно
проведение диагностической контрольной работы с целью выявления хорошо усвоенного
материала по теме и проблемных вопросов для последующей отработки. Ниже приведен
текст такой работы.
Диагностическая работа
1. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60
км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В
выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А
автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
2. Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же
места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго.
Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
3. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и
через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один крут. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
4. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению
реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч,
стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после
отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
5. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть — со
скоростью 16 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю
скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
6. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый
длиной 120 метров, второй —длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от
первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа
второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый
сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа
первого равно 600 метрам. На сколько километров в час 2 скорость первого сухогруза
меньше скорости второго?
7. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов.
Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему
присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе.
Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
8. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак объемом 360 литров она
заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба?
9. Пять рубашек дешевле куртки на 25 %. На сколько процентов семь рубашек дороже
куртки?
10. Виноград содержит 9 1% влаги, а изюм — 7%. Сколько килограммов винограда
требуется для получения 21 килограмма изюма?
11. Том Сойер и Гекльберри Финн красят забор длиной 100 метров. Каждый следующий
день они красят больше, чем в предыдущий, на одно и то же число метров. Известно, что
за первый и последний день в сумме они покрасили 20 метров забора. За сколько дней
был покрашен весь забор?
12. У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в
некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял
вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 2 0 % на
сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом
банке ещё один вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял этот вклад
на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44 % на сумму вклада. Через сколько лет после
рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не
изымаются?
После анализа результатов работы для тренировки школьников можно
использовать книгу С.А.Шестакова,Д.Д.Гущина «ЕГЭ 2010.Математика.Задача В12.
Рабочая тетрадь /Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко.-М.:МЦНМО, 2010», электронная
версия которой прикреплена к курсу.
Примечание: В КИМ ЕГЭ - 2013 года задача В12 находится под номером под
номером В13.
В ситуации затруднения в методическом плане рекомендуем изучить материал из
опыта работы Савченко Е.М., учителя МОУ гимназия №1 г. Полярные Зори Мурманской
области. Презентация разработанного учителем дистанционного элективного курса по
теме «Текстовые задачи по математике» для 9 класса также прикреплена к курсу. В
разработке обратите внимание на особенности методики обучения школьников решению
задач с использованием таблицы при анализе условия задачи, установления зависимости
между величинами и поиске способа решения задачи.
Представляет интерес опыт организации обобщения знаний и умений
школьников по решению текстовых задач на этапе повторения материала и
подготовки к экзаменам с использованием ресурса урока в разновозрастных группах.
Рассмотрите пример урока, работанного
И.Ю.Буйловой, С.Н.Новиковой, учителями
математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №12" г.Череповца, конспект
которого также прикреплен к курсу.