mnogestva - Всероссийский фестиваль педагогического

Профессиональный конкурс работников образования
ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ - КОНКУРС
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
«ШАХТИНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
Номинация конкурса:
Педагогические идеи и технологии: профессиональное
образование
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ИЗУЧЕНИИ
МАТЕМАТИКИ
(Учебное пособие)
Составитель: Рудь Елена Владимировна, преподаватель
математики
Место выполнения работы: ГБОУ СПО РО «ШПК»,
346500, Ростовская область, г. Шахты, ул. Шевченко, 151.
г. Шахты
2013год
Содержание
Введение…………………………………………………………………………..3
1.Теоретические сведения некоторых разделов теории множеств
1.1. Основные понятия и определения…………………………………………..5
1.2. Способы задания множеств………………………………………….............6
1.3. Понятие подмножества………………………………………………………7
1.4. Отношения между множествами……………………………………………8
1.5. Операции над множествами ………………………………………..............9
1.6. Число элементов множества………………………………………………..11
1.7. Декартово произведение множеств………………………………………..13
1.8. Изображение декартова произведения двух числовых множеств
на координатной плоскости……………………………………………..15
1.9. Понятие отношения…………………………………………………...........17
1.10. Способы задания отношений………………………………………..........20
1.11. Свойства отношений………………………………………………………20
1.12. Понятие соответствия………………………………………………..........25
1.13. Соответствие, обратное данному…………………………………………27
1.14. Взаимно однозначные соответствия……………………………………..29
2. Практические задания к некоторым главам теории множеств
2.1. Практические упражнения по теме «Способы задания множеств.
Операции над множествами»…………………………………………….30
2.2. Практические упражнения по теме «Декартово произведение
множеств. Графическое изображение декартова произведения»……...32
2.3. Практические упражнения по теме «Отношения между элементами
множества. Способы задания отношений»……………………………...34
2.4. Практические упражнения по теме «Свойства отношений»…………...35
2.5. Практические упражнения по теме «Соответствия.
Взаимно однозначные соответствия»……………………………….......36
Литература………………………………………………………………………..37
ВВЕДЕНИЕ
Математика играет важную роль в общей системе образования. Для
продуктивной
деятельности в современном информационном мире
требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка.
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время
все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более
внедряется в традиционно далекие от нее области.
Интенсивная математизация различных областей человеческой
деятельности особенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ.
Математическая грамотность человека требуется буквально на каждом
рабочем месте. Это предполагает конкретные математические знания.
Математика вносит свой вклад в формирование общей культуры
человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию
красоты и изящества математических рассуждений; развивает воображение,
пространственные представления. История развития математических знаний
дает возможность пополнить запас историко-научных знаний, сформировать
у них представление о математике как части общечеловеческой культуры.
В данной работе
излагаются элементы интуитивной теории
множеств, что необходимо для понимания любого раздела математики,
поскольку каждый из них основан на интуитивной теории множеств и
предполагает свободное владение понятиями бинарного отношения и
соответствия.
Предлагаемое пособие может быть использовано как для работы под
руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения
элементов теории множеств.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ ТЕОРИИ
МНОЖЕСТВ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В русском языке для обозначения тех или иных совокупностей обычно
используются различные слова. Например, говорят: стадо коров, табун
лошадей, букет цветов, команда спортсменов, набор инструментов,
коллекция марок и т.д. В математике стремятся к единообразию, и для
обозначения совокупностей употребляется, как правило, единый термин –
множество. Таким образом, множество рассматривается как совокупность
предметов реального мира (или объектов нашей интуиции), обладающих
общим свойством. Другими словами, множество – это совокупность
предметов, сама рассматриваемая как один предмет. Дать определение
множеству нельзя, можно лишь пояснить его.
Понятие множества является одним из основных понятий математики и
поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах.
Так, можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о
множестве натуральных чисел, о множестве треугольников, множестве
корней уравнения и т.д.
В разговорной речи термин «множество» всегда связывается с
большим числом предметов. В теории множеств это не обязательно. Будем
рассматривать и бесконечные множества, и множества, содержащие любое
конечное число предметов, и даже множество, не содержащее ни одного
предмета, - пустое множество (обозначают знаком ∅).
Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.
Произвольные множества обозначают заглавными буквами латинского
алфавита: A, B, C, D, …, Z, A1, A2, …, An. Элементы множества обозначают
строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d,…, z, a1, a2,…, an.
Отношение между элементами и множеством выражают словами:
«является элементом» или «принадлежит». Предложение «Элемент a
принадлежит множеству A» обозначают a  A . Если же a не является
элементом множества A, то пишут a  A .
Множества, элементами которых являются числа, называются
числовыми. Для числовых множеств используют общепринятые
обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.
1.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ
Множество можно считать заданным, если о любом объекте можно
сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать непосредственным перечислением всех его
элементов в произвольном порядке. В этом случае названия всех элементов
множества записывают в строку, отделяют запятыми и заключают в
фигурные скобки. Каждый элемент записывают только один раз. Порядок
перечисления его элементов не существенен.
Например, множество А, состоящее из всех цифр, можно записать так:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0};
Множество P букв, которые используют для записи слова «математика»,
записывают следующим образом:
P = {м, а, т, е, и, к}.
{1, 3, 7} и {3, 7, 1} - это одно и то же множество.
Перечислением элементов можно задать только конечное множество с
небольшим числом элементов. Когда задать множество перечислением его
элементов трудно или невозможно (в случае бесконечных множеств), то
применяется другой способ задания множества через указание
характеристического свойства его элементов.
Характеристическим
свойством,
определяющим
множество,
называется такое свойство, которым обладает каждый элемент,
принадлежащий данному множеству, и не обладает ни один элемент, ему не
принадлежащий.
Например, запись B = {x | x Z, -2< x < 3} означает, что множество В
состоит из целых чисел, больших -2 и меньших 3.
Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные, и
бесконечные множества.
Часто одно и то же множество задано и первым, и вторым способами.
Очень важно умение переходить от одного способа задания к другому.
Например, множество D натуральных чисел, меньших 7, заданное
посредством указания характеристического свойства его элементов, можно
задать и так: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, т.е. перечислив все его элементы.
В начальном курсе математики понятия множества и элементов
множества в явном виде не изучаются, но в силу их большой общности они,
по существу, пронизывают всю начальную математику. Так, при выполнении
задания «Запишите числа, которые больше 65 и меньше 75» ученики
встречаются с двумя способами задания одной и той же совокупности чисел.
Один способ – указано свойство чисел «быть больше 65 и меньше 75»,
другой – числа этой совокупности перечисляются: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72,
73, 74. Смысл упражнения – перейти от одного способа задания множества к
другому. Аналогичные задачи приходится решать школьникам на других
уроках, в частности на уроках русского языка: «Назовите все согласные
буквы русского алфавита», «Подчеркните в данном упражнении все
существительные», «Выпишите из текста все прилагательные» и т.д.
Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же
элементов. Например, множества K = {1, 2, 3, 4} и L = {x | x N, x<5} равны.
1.3. ПОНЯТИЕ ПОДМНОЖЕСТВА
Рассмотрим множество A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Выделим из
множества A те его элементы, которые являются простыми числами.
Получим множество
B = {2, 3, 5, 7}, все элементы которого являются
элементами множества A. В этом случае говорят, что B – подмножество
множества А.
Определение. Множество В называется подмножеством множества
А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.
Обозначают B  A .
Например, множество натуральных чисел есть подмножество множества
целых чисел.
Пустое множество считается подмножеством любого множества.
Подмножество данного множества может и совпадать с данным множеством.
Это непосредственно следует из определения подмножества данного
множества.
Само множество и пустое множество называют несобственными
подмножествами данного множества. Все остальные подмножества данного
множества называют собственными.
Например. Составить все возможные подмножества множества K = {2, 3, 5}.
Несобственные: A = {5, 3, 2}, B = ∅.
Собственные: C = {5; 2}, D = {5; 3}, E = {2, 3}, F = {5}, M = {3}, P = {2}.
Для наглядного изображения множества английский математик Джон
Венн (1834 – 1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости
(круги, овалы и др.). Немного раньше Леонард Эйлер (1707 – 1783) для
изображения отношений между множествами использовал круги. Точки
внутри круга считаются элементами множества. Позднее такие изображения
получили названия диаграмм Эйлера – Венна. Мы в дальнейшем схемы для
иллюстрации отношений между множествами будем называть короче –
кругами Эйлера.
А
.b
.а
a  A, x  A
b  A, y  A
.х
.y
1.4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ
Об отношениях между множествами судят по количеству общих
элементов этих множеств.
Отметим две возможности.
I.
Множества А и В не имеют общих элементов. На
диаграммах Эйлера-Венна нет точек (элементов), которые принадлежали бы
одновременно А и В (рисунок 1).
А
В
Рисунок 1
А
В
Рисунок 2
II.
Множества А и В имеют общие элементы, т.е. существуют
элементы, которые одновременно принадлежат и множеству А, и множеству
В. При этом возможны три случая.
1. Не все элементы множества А принадлежат множеству В, и не все
элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае
говорят, что множества А и В находятся в отношении пересечения.
Кругами Эйлера это отношение изображается так, как показано на
рисунке 2.
2. Все элементы множества В принадлежат множеству А, но
множество А может содержать элементы, не принадлежащие множеству
В. Множество В является подмножеством множества А. В этом случае
говорят, что множества В и А находятся в отношении включения.
Кругами Эйлера такое отношение изображено на рисунке 3.
А
А
В
В
Рисунок 3
Рисунок 4
3. Все элементы множества А принадлежат множеству В, и все
элементы множества В принадлежат множеству А. В этом случае
множества равны или совпадают (рисунок 4).
1.5. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
1.
Объединение множеств
Пусть даны два множества: A = {15, 30, 45 60, 75} – множество
двузначных чисел, кратных 15; B = {18, 36, 54, 72, 90} –множество
двузначных чисел, кратных 18.
Образуем новое множество, состоящее из элементов этих множеств.
Полученное множество {15, 18, 30, 36, 45, 60, 72, 75, 90} называется
объединением множеств А и В. Число 90 записали один раз, поскольку в
записи множеств элементы не должны повторяться.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество,
состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному их этих
множеств.
Объединение множеств А и В обозначается символом A B .
Аналогично определяется объединение трех и более множеств.
Определение объединения множеств А и В можно записать в виде:
A B
= { x | x  A или x  B }.
На рисунке изображено объединение множеств А и В с помощью кругов
Эйлера. Вся заштрихованная область – это множество А  В.
А
А
В
В
б)
a)
А
В
в)
2. Пересечение множеств
Пусть даны два множества:
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – множество натуральных делителей числа 12;
B = {1,3, 6, 9, 18} – множество натуральных делителей числа 18.
Образуем множество, состоящее из общих элементов этих множеств.
Полученное множество {1, 3, 6} называют пересечением множеств А и В.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество,
состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству А и
множеству В одновременно.
Пересечение множеств А и В обозначают символом A  B .
Аналогично определяется пересечение трех и более множеств.
Определение пересечения множеств можно записать в виде:
A  B = { x | x  A и x  B }.
Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то пересечению
будет соответствовать заштрихованная часть.
А
A
B
В
а)
б)
А
В
в)
3. Разность двух множеств
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех
элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают символом А В.
Определение разности можно записать в таком виде:
A\B = { x | x  A и x  B }.
Если множества А и В изобразить кругами Эйлера, то разности
множеств соответствует заштрихованная часть.
А
В
А
а)
В
б)
А
В
в)
Если множество В является подмножеством множества А, то разность
множеств А и В называется дополнением множества В до множества А.
1.6. ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА
Если А – конечное множества, то в ряде случаев можем подсчитать число
элементов, которые составляют множество А.
Это число обозначают так: n(A).
A = {12, 25, 47, 84}, n(A) = 4, т.е. множество А содержит 4 элемента.
Если заданы конечные множества А и В, не имеющие общих элементов,
то число элементов в их объединении определяют по формуле:
n
(
A

B
)

n
(
A
)

n
(
B
)

a

b
Если заданы конечные множества А и В, имеющие общие элементы, то
число элементов в их объединении подсчитывают по формуле:
n
(
A

B
)

n
(
A
)

n
(
B
)

n
(
A

B
)
Формула для числа элементов объединения трех множеств выглядит
несколько сложнее:
n
(
A

B

C
)

n
(
A
)

n
(
B
)

n
(
C
)

n
(
AB
)

n
(
A

C
)

n
(
B

C
)

n
(
A

B

C
)
Используя эту формулу, можно проще решить некоторые задачи.
Пример. В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20
человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или
нескольким из трех видов спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике.
Известно, что 12 из них имеют спортивные разряды по легкой атлетике, 10 –
по гимнастике и 5 – по плаванию. Сколько школьников из этой команды
имеют разряды по всем видам спорта, если по легкой атлетике и гимнастике
разряды имеют 4 человека, по легкой атлетике и плаванию – 2 человека, по
плаванию и гимнастике – 2 человека?
Пусть А – множество учащихся, имеющих разряды по легкой атлетике, В
– множество учащихся, имеющих разряды по гимнастике, и С – множество
школьников, имеющих разряды по плаванию.
По условию задачи имеем:
n
(
A

B

C
)

20
,
n
(
A
)

12
,
n
(
B
)

10
,
n
(
C
)

5
,
n
(
A

B
)

4
,
n
(
A

C
)

2
,
n
(
B

C
)

2
n(AB
C
)
Надо найти
.
По формуле для числа элементов в объединении трех множеств имеем:
n
(
A

B

C
)

n
(
A

B

C
)

n
(
A
)

n
(
B
)

n
(
C
)

n
(
A

B
)

n
(
A

C
)

n
(
C

B
)


20

12

10

5

4

2

2

28

27

1
Таким образом, из 20 школьников, участвующих в спортивных
соревнованиях, имеет разряды по всем видам спорта только один человек.
Рассмотрим следующий пример.
В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47знают
английский язык, 35— немецкий язык и 23 — оба языка. Сколько человек в
институте не знают ни английского, ни немецкого языков?
Для решения этой задачи надо разбить весь коллектив сотрудников
института на части, не имеющие общих элементов. Первую из них составят
те, кто знает только английский язык, вторую — те, кто знает только
немецкий язык, третью — те, кто знает оба языка, и четвертую — те, кто не
знает ни одного, ни другого языка. Нам дано, что третья часть состоит из 23
человек. Но так как английский язык знают 47 человек, то только английским
языком владеют 47-23=24 человека. Точно так же только немецким языком
владеют 35-23=12 человек. Отсюда следует, что общее число людей,
владеющих одним из этих языков, равно 23+24+12=59 человек. А так как
всего в институте работают 67 человек, то на долю последней части
приходится 67-59=8 человек. Итак, 8 человек не знают ни английского, ни
немецкого языка.
Полученный ответ можно записать в виде
8 = 67-(23 + 24+12).
Но 24 мы получили, вычитая 23 из 47, а 12 — вычитая 23 из 35. Поэтому
8 = 67-23-(47-23)-(35-23) = 67-47-35+23.
Теперь видна закономерность — из общего числа сотрудников вычитается
число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий язык. При
этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются
«вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка.
Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих
языков.
Теперь видна закономерность: из общего числа сотрудников
вычитается число знающих английских язык 24 и число знающих немецкий
язык. При этом некоторые сотрудники попадают в оба списка и оказываются
«вычтенными» дважды. Это как раз те полиглоты, которые знают оба языка.
Прибавляя их число, мы получаем число лиц, не знающих ни одного из этих
языков.
1.7. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре числа:
35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних
и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок
следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах
элементов. В рассмотренных примерах мы имели дело с упорядоченными
парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов a и b, принято
записывать, используя круглые скобки: (a; b). Элемент a называют первой
координатой (компонентой) пары, а элемент b - второй координатой
(компонентой) пары.
Пары (a; b) и (c; d) равны в том случае, если a = c и b = d.
В упорядоченной паре (a; b) может быть, что a = b. Так запись чисел 33
и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).
Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного
множества, так и из элементов двух множеств. Пусть A = {1, 2, 3}; B = {3; 5}.
Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала
множеству А, а вторая – множеству В. Если мы перечислим все такие пары,
то получим множество: {(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.
Видим, что имея два множества А и В, получили новое множество,
элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество
называют декартовым произведением множеств А и В.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называют
множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а
вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А×В. Используя
это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:
A×B = {(x; y) | x  A и y  B }.
Пример.
Найти декартово произведение множеств А и В, если
A = {m; n}, B = {t, f, k}.
Решение. по определению декартова произведения, образуем все пары,
первая компонента которых выбирается из множества А, вторая – из В:
A×B = {(m; t), (m; f), (m; k), (n; t), (n; f), (n; k)}.
В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные
пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов.
Упорядоченные наборы называют кортежами и различают по длине.
Длина кортежа – это число элементов, из которых он состоит.
Например, (3; 6; 7) – это кортеж длины 3; (8; 9; 2; 6; 3; 5; 7) – кортеж
длины 7.
Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и
вообще n множеств.
Определение. Декартовым произведением множеств А1, А2,…, Аn
называют множество всех кортежей длины n, первая компонента которых
принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2,…, n-я – множеству Аn.
Пример. Даны множества A = {2; 3}, B = {3; 4; 5}, C = {6; 7}.
Найти A×B×C.
Решение. Элементами множества А×В×С будут кортежи длины 3 такие,
что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – множеству В,
третья – множеству С.
A×B×C = {( 2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 6), (2, 5, 7), (3, 3, 6),
(3, 3, 7), (3, 4, 6), (3, 4, 7), (3, 5, 6), (3, 5, 7)}.
Если в множестве А содержится a элементов, а в множестве В – b
элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится ab
элементов, т.е.
n(A×B) = n(A) ∙ n(B) = ab.
Правило распространяется на случай k множеств, т.е.
n(A1×A2×…×Ak) = n(A1) ∙ n(A2) ∙ … ∙ n(Ak).
Например, если в множестве А содержится 3 элемента, в множестве И –
4 элемента, в множестве С – 5 элементов, то в их декартовом произведении
будет содержаться 3 4 5 = 60 упорядоченных наборов из трех элементов.
Полученные формулы можно применять при решении задач.
Задача 1. У Маши 3 различных юбки и 4 различных кофты. Сколько
различных комплектов, состоящих из юбки и кофты, она может составить?
Решение. Пусть А – множество юбок у Маши, В – множество кофт у нее.
По условию задачи n(A) = 3, n(B) = 4. Требуется найти число возможных пар,
образованных из элементов множеств А и В, т.е. n(A×B). Но согласно
правилу n(A×B) = n(A) ∙ n(B) = 3 ∙ 4 = 12. Таким образом, из 3 юбок и 4 кофт
Маша может составить 12 различных комплектов.
Задача 2. Сколько различных двузначных чисел можно записать,
используя цифры 5; 4 и 7?
Решение. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и
представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары
образуются из элементов множества A = {5; 4; 7}. В задаче требуется узнать
число таких пар, т.е. число элементов в декартовом произведении A×A.
Согласно правилу n(A×A) = n(A) ∙ n(A) = 3 ∙ 3 = 9. Значит, двузначных чисел,
записанных с помощью цифр 5, 4 и 7 будет 9.
Часто при решении задач требуется не только ответить на вопрос о том,
сколько существует возможных вариантов ее решения, но и осуществить
перебор этих вариантов. Например, в задаче 2 можно предложить записать
все двузначные числа, используя цифры 5, 4 и 7:
55, 54, 57, 45, 44, 47, 75, 74, 77.
1.8.
ИЗОБРАЖЕНИЕ
ДЕКАРТОВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ДВУХ
ЧИСЛОВЫХ
МНОЖЕСТВ
НА
КООРДИНАТНОЙ
ПЛОСКОСТИ
Когда множества A и B конечны и содержат небольшое число элементов,
найти их декартово произведение несложно. А если множества бесконечны?
В математике нашли выход из этой ситуации. Наглядное изображение
декартова произведения двух числовых множеств можно получить при
помощи координатной плоскости. Прямоугольная система координат
позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие единственную
пару действительных чисел – координаты этой точки. Понятие координат
точек на прямой и на плоскости было впервые введено в геометрию
французским ученым и философом Рене Декартом в XVII веке. Это событие
явилось началом новой эры в математике – эры рождения и развития понятий
функции и геометрического преобразования. По имени Рене Декарта
прямоугольные координаты на плоскости называют еще декартовыми.
Но как связано с именем Декарта, жившего в XVII веке, понятие
декартова произведения множеств, введенное в математику в конце XIXвека?
Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала, как используют
прямоугольную систему координат для наглядного представления декартова
произведения двух числовых множеств.
Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова
произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив
каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру,
которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А
и В.
Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств
А и В, если:
1)
А = {1, 2, 3},
B = {3, 5};
2)
A = {1, 2, 3},
B = [3, 5];
3)
A = [1, 3],
B = [3, 5];
4)
A = R,
B = [3, 5];
5)
A = R,
B = R.
В случае 1 данные множества конечны и содержат небольшое число
элементов, поэтому можно перечислить все элементы их декартова
произведения: А × В = {(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.
Построим оси координат и на оси Ox отметим элементы множества А, а
на оси - элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел из
множества А × В точкой на координатной плоскости. Полученная фигура из
шести точек и будет наглядно представлять декартово произведение
множеств А и В (рис. 1).
В случае 2 перечислить все элементы декартова произведения множеств
невозможно, поскольку множество В бесконечное. Но можно представить
процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая
компонента либо 1, либо 2, либо 3, а вторая компонента – действительное
число из промежутка [3; 5]. Все пары, первая компонента которых есть
число 1, а вторая пробегает значения от 3 до 5 включительно, изображаются
точками первого отрезка. Аналогично строятся два других отрезка (рис. 2).
у
у
5
5
3
3
1
2
3
х
1
2
3
х
у
5
5
3
3
1
2
3
х
х
Случай 3 отличается от рассмотренного случая 2 тем, что здесь
бесконечно не только множество В, но и множество А. Это приводит к
тому, что первой компонентой пары, принадлежащей множеству А × В,
могут быть не только концы промежутка [1; 3], но и любое число этого
промежутка. Поэтому точки, изображающие элементы декартова
произведения множеств А и В, образуют квадрат (рис. 3). Чтобы
подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются
точками квадрата, его можно заштриховать.
Случай 4 отличается от предыдущего тоем, что множество А
состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих
элементы множества А × В, пробегает все действительные значения, в то
время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких
точек образует полосу (рис. 4).
Декартово произведение R×R (случай 5) состоит из всевозможных пар
действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь
заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово
произведение R×R содержит столько же элементов, сколько множество
точек координатной плоскости.
Рассмотренные примеры показывают, что название «декартово
произведение множеств» не случайно: в нем отражена тесная связь между
множеством упорядоченных пар чисел и его представлением в декартовой
прямоугольной системе координат.
1.9. ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ
В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры,
величины), но и связи, отношения между ними. Так, усвоение понятия
натурального числа происходит благодаря изучению различных
взаимосвязей между числами. Например, выясняется, что:
число 5 больше числа 2;
число 10 больше числа 8 на 2;
число 7 следует за числом 6, т.е. числа связаны различными
отношениями: «больше», «больше на», «следует за» и другими.
В геометрии изучают параллельность и перпендикулярность
прямых, равенство и подобие фигур, т.е. различные отношения между
геометрическими объектами.
Сравнивая множества, мы говорим, что они пересекаются, или
равны, или одно включено в другое, т.е. устанавливаем отношения между
множествами.
В математике чаще всего рассматривают отношения между двумя
объектами. Их называют бинарными.
Перед нами стоит задача: имея представление о конкретных
отношениях между числами, геометрическими фигурами, множествами и
другими объектами, установить, что общего у этих отношений, каким
образом можно классифицировать такое огромное число самых
разнообразных отношений. Знание этого материала нужно, чтобы изучая
конкретные отношения, понимать их общность, взаимосвязи, роль в
усвоении тех или иных понятий.
Рассмотрим множество чисел X = {3, 4, 5, 6, 8}. Между числами этого
множества существует отношение «больше»: 4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4,
6>5, 8>5, 8>6.
Можно рассмотреть для данных чисел и отношение «больше на 1»:
«4 больше 3 на 1», «5 больше 4 на 1», «6 больше 5 на 1».
Числа данного множества связаны также отношением «меньше в 2
раза»: «3 меньше 6 в два раза», «4 меньше 8 в два раза».
Можно указать и другие отношения между числами 3, 4, 5, 6, 8.
Обратим внимание на следующее: рассматривая то или иное
отношение, мы каждый раз оперировали упорядоченными парами,
образованными из чисел данного множества. Для отношения «больше» было
множество {(4, 3), (5, 3), (6, 3), (8, 3), (5, 4), (6, 4), (8, 4), (6, 5), (8, 5), (8, 6)};
для отношения «больше на 1» - {(4, 3), (5, 4), (6, 5)}, а для отношения
«меньше в два раза» - множество, содержащее две пары: {(3, 6), (4, 8)}.
Таким образом, можно сказать, что каждое из рассматриваемых отношений
определяется множеством пар чисел, образованных из элементов множества
X = {3, 4, 5, 6, 8}.
Известно, что упорядоченные пары
- это элементы декартова
произведения множеств или его подмножеств. Те множества пар, которые
определяют отношения «больше», « больше на 1» и меньше в два раза»,
являются подмножествами декартова произведения X × X = {(3, 3), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (3, 8), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 8), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(5, 8), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 8), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 8)}.
Итак, каждое
из рассматриваемых отношений определяется
множеством пар, которое в свою очередь является подмножеством декартова
произведения X × X. Само это множество пар называют отношением между
элементами множества Х.
Определение. Отношением между элементами множества Х или
отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова
произведения X × X.
Отношения обозначают прописными буквами латинского алфавита: P,
Q, R, S и др. Следовательно, если R - отношение между элементами
множества Х, то R X × X.
Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно
при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками.
Такие чертежи называют графами.
Построим граф отношения «больше» между элементами множества
X = {2, 4, 6, 8, 12} Для этого элементы данного множества изобразим
точками и соединим стрелками те точки, которые изображают числа,
находящиеся в отношении «больше». Поскольку 4>2, то проводим стрелку от
4 к 2; так как 6>4, то проводим стрелку от 6 к 4 и т.д., пока не переберем все
пары чисел, связанных заданным отношением.
2∙
∙4
∙6
12 ∙
∙8
В результате получаем граф отношения «больше» для элементов
множества X = {2, 4, 6, 8, 12}.
Рассмотрим теперь на том же множестве X = {2, 4, 6, 8, 12} отношение
«кратно» и построим его граф.
Аналогично изобразим элементы множества Х точками и соединим
стрелками те, которые изображают числа, находящиеся в отношении
«кратно»: 12 кратно2, 12 кратно 4, 12 кратно 6 и т.д. Так как любое число из
множества Х кратно самому себе, то граф данного отношения будет иметь
стрелки, начало и конец которых совпадут. Такие стрелки на графе
называют петлями.
1.10.СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЙ
По определению отношение R между элементами множества Х есть
всякое подмножество декартова произведения X × X, т.е. множество,
элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы
задания отношений такие же, как и способы задания множеств.
1.Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары
элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.
Формы записи при этом могут быть различными.
Например, некоторое отношение R на множестве X = {4, 5, 6, 7, 9} можно
задать, записав множество пар: {(5, 4), (6, 4), (6, 5), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (9, 4),
(9, 5), (9, 6), (9, 7)}. Это же отношение можно задать при помощи графа.
2. Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое
свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство
формулируется в виде предложения с двумя переменными, хотя обозначения
переменных иногда опускаются.
Например, среди отношений на множестве N натуральных чисел могут
быть такие: «число х больше у»; «число х – делитель числа у», «число х
меньше числа у в 3 раза» и другие.
В математике многие предложения с двумя переменными записывают,
используя символы. Например, отношение «больше» для чисел может быть
задано в виде неравенства x > y, а отношение «число х меньше числа y в 3
раза» - в виде равенства y = 3x.
Для записи отношения параллельности, перпендикулярности прямых,
подобия треугольников в геометрии используют особые символы: , , ~
Обобщением приведенных записей является запись xRy, которая
означает, что элемент x находится в отношении R с элементом y.
1.11. СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ
Рассмотрим на множестве отрезков {a, b, c, d, e} отношения
параллельности (при этом прямые будем считать параллельными, если они
лежат в одной плоскости, не имеют общих точек или совпадают),
перпендикулярности, равенства и «длиннее». После построения графов этих
отношений выясним их особенности.
I. Графы отношений параллельности и равенства имеют петли, которые
говорят о том, что, какой бы отрезок из множества Х мы ни взяли, о нем
можно сказать, что он параллелен самому себе или что он равен самому себе.
Про отношения параллельности и равенства говорят, что они обладают
свойством рефлексивности или, просто, что они рефлексивны.
Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным,
если о любом элементе множества Х можно сказать, что он находится в
отношении R с самим собой.
Данное определение можно записать короче:
R рефлексивно на Х ↔ xRx для любого х Х
Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется
петля. Справедливо и обратное: граф, каждая вершина которого содержит
петлю, представляет собой граф некоторого рефлексивного отношения.
Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не
обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности: нет
ни одного отрезка , о котором можно сказать, что он перпендикулярен
самому себе.
II .Особенность графов отношений параллельности, перпендикулярности
и равенства заключается в том, что если есть одна стрелка, соединяющая
пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы,
но идущая в противоположном направлении. Эти стрелки говорят о том, что:
1) если первый отрезок параллелен второму отрезку, то и второй отрезок
параллелен первому; 2) если первый отрезок перпендикулярен второму, то и
второй отрезок перпендикулярен первому; 3) если первый отрезок равен
второму отрезку, то и второй отрезок равен первому.
Про отношения параллельности, перпендикулярности и равенства
говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто,
симметричны.
Определение. Отношение R
на множестве Х называется
симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с
элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении
R с
элементом х.
Короче: R симметрично на X ↔ xRy → yRx
Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с
каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х.
Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с каждой
стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом
симметричного отношения.
III. Существуют отношения, которые свойством симметричности не
обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» для отрезков.
Рассмотрим граф этого отношения. Его особенностью является то, что
если стрелка соединяет две вершины, то она только одна. Про отношение
«длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или,
просто, антисимметрично.
Определение. Отношение R на множестве Х называется
антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х из
того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что
элемент у в отношении R с элементом х не находится.
____
Короче: R антисимметрично на X ↔ xRy и x ≠ y → yRx
Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две
вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.
Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены
только одной стрелкой, является графом антисимметричного отношения.
Не следует думать, что все отношения делятся на симметричные и
антисимметричные. Встречаются отношения, которые не обладают ни
свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
IV. Обратим внимание еще на одну особенность графов отношений
параллельности, равенства и «длиннее»: если стрелка идет от первого
элемента ко второму и от второго – к третьему, то обязательно есть стрелка,
идущая от первого элемента к третьему. Эта особенность графов отражает
свойство данных отношений, называемое свойством транзитивности.
Определение. Отношение R на множестве Х называется
транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с
элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует,
что элемент х находится в отношении R с элементом z.
Короче: R транзитивно на X ↔ xRy и yRz → xRz
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к
у и от у к z, содержит и стрелку, идущую от х к z . Справедливо и обратное
утверждение.
Существуют отношения, которые свойством транзитивности не
обладают., например, отношение перпендикулярности отрезков.
V. Рассмотрим еще одно отношение.
На множестве дробей { ½; 1/3; ¼; 2/4; 2/6; 3/6} задано отношение
равенства.
Какими свойствами обладает данное отношение?
1) Оно рефлексивно, так как любая дробь равна сама себе.
2) Оно симметрично, так как из того, что дробь х равна дроби у
следует, что и дробь у равна дроби х.
3) Оно транзитивно, так как из того, что дробь х равна дроби у и дробь
у равна дроби z, следует, что дробь х равна дроби z.
Таким образом, отношение равенства дробей рефлексивно,
симметрично и транзитивно. Говорят, что оно является отношением
эквивалентности.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением
эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношениями эквивалентности являются, например, отношение
параллельности прямых, отношение равенства фигур.
Если внимательно посмотреть на графы отношения равенства дробей,
отношения параллельности и равенства отрезков, то можно заметить, что они
отличаются от графов других отношений тем, что на них видно, как
множество, на котором задано отношение, разбивается на несколько
подмножеств. Так, на графе отношения равенства дробей выделяются три
подмножества: {1/2, 2/4, 3/6}, {1/3, 2/6}, {1/4}. Эти подмножества не
пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем
разбиение множества Х на попарно непересекающиеся подмножества.
Аналогичную картину имеем для отношений параллельности и равенства
отрезков.
Вообще, если на множестве Х задано отношение эквивалентности,
то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся
подмножества – классы эквивалентности.
Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное
на множестве Х, определило разбиение этого множества на классы, то это
отношение эквивалентности.
Если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее
название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задать
отношение равенства, то множество отрезков разобьется на классы равных
отрезков. Множество треугольников отношением подобия разобьется на
классы подобных треугольников.
Рассмотрим, например, на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает
разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении
которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй – числа,
при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7, 10), и в
третий – все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это
числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и
их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение
«иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х,
является отношением эквивалентности.
Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы
можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот:
сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение
эквивалентности, считая, что два элемента эквивалентны тогда, когда они
принадлежат одному классу рассматриваемого разбиения.
В чем важность такого разбиения на классы? В каждом классе
эквивалентности оказываются эквивалентные элементы, т.е. элементы,
неразличимые с точки зрения некоторого отношения. Поэтому считают, что
класс эквивалентности (множество) определяется любым (одним) своим
представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс
равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому
классу.
Определение класса эквивалентности по одному представителю
позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных
представителей из классов эквивалентности.
VI. Рассмотрим еще одно отношение – отношение порядка.
Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни, так и
на занятиях по математике. Мы говорим о порядке поступления на работу, о
порядке слов в предложении; на уроках математики обсуждаем порядок
выполнения действий, порядок записи решения уравнения и т.д.
Что же такое порядок? Обратимся к нескольким примерам.
1)Чтобы установить порядок в множестве учащихся класса, достаточно
выстроить их по росту. На практике эта процедура сводится к сравнению пар
учащихся, т.е. на множестве учащихся рассматривается отношение «быть
выше». Это отношение антисимметрично и транзитивно.
2)Множество учащихся класса можно было упорядочить и по возрасту,
т.е. задав отношение «быть старше». Это отношение также антисимметрично
и транзитивно.
3)Порядок следования букв в русском алфавите обеспечивает
отношение «следует», обладающее свойством антисимметричности и
транзитивности.
Замеченные свойства отношений, устанавливающих некоторый
порядок в множестве, легли в основу определения отношения порядка.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением
порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Множество Х с
заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным
множеством.
1.12. ПОНЯТИЕ СООТВЕТСТВИЯ
Кроме отношений на множестве, часто приходится рассматривать
отношения между элементами двух множеств. Такие отношения называют
соответствиями.
По своей сути соответствие между элементами двух множеств Х и Y,
так же как и отношение на множестве, представляет собой множество пар и
является подмножеством декартова произведения множеств X и Y.
Соответствия
между
конечными
множествами
наглядно
представляются при помощи графов. Построим граф соответствия «больше»
между элементами множеств X = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Для этого
обозначим элементы данных множеств точками и проведем стрелки от точек,
изображающих элементы множества Х, к точкам, изображающим элементы
множества Y, при этом должно выполняться соответствие «больше». Так,
стрелка должна идти от точки 5 к точке 4, поскольку 5 больше 4; должны
быть стрелки, идущие от точки 7 к точкам 4 и 6, и т.д. В результате получаем
граф соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y.
X
Y
3
4
5
7
6
9
Соответствия между элементами числовых множеств Х и Y
представляют при помощи графика на координатной плоскости. Для этого
изображают все пары чисел, находящихся в соответствии R, точками на
координатной плоскости. Получившаяся при этом фигура и будет графиком
соответствия R. Обратно: любое подмножество точек координатной
плоскости считают графиком некоторого соответствия.
Построим график соответствия «больше» между элементами множеств
Х = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Запишем пары чисел, находящихся в заданном
отношении: (5, 4), (7, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6). Изобразив элементы множества Х
на оси Ох, элементы множества Y на оси Oy, а каждую из получившихся пар
точкой на координатной плоскости, получим график соответствия «больше»
между элементами множеств Х и Y.
y
6
4
1
3
5
7
9
х
Такое представление соответствия позволяет наглядно изображать их в
тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное
множество пар чисел.
Рассмотрим, например, соответствие «больше» между элементами
множеств X = R и Y = {4, 6} и построим его график.
В данном случае элементы множества Х сплошь заполняют ось
абсцисс, а множество Y состоит из двух элементов: 4 и 6. Так как для
элементов множеств Х и Y задано отношение «больше», установим, какие
числа из множества Х больше 4.
Все числа, большие 4, располагаются на оси Ох вправо от точки,
изображающей число 4. Значит, все точки, для которых абсцисса выбирается
из промежутка (4, ), а ордината равна 4, образуют луч. Этот луч не имеет
начала, поскольку точка (4, 4) графику данного соответствия не
принадлежит. Аналогично все точки, для которых абсцисса выбирается из
промежутка (6, ), а ордината равна 6, также образуют луч.
y
6
4
4
6
х
1.13. СООТВЕТСТВИЕ, ОБРАТНОЕ ДАННОМУ
Пусть R – соответствие «больше» между элементами множеств X = {3, 5, 7}
и Y = {4, 6}. Тогда R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} и граф этого отношения будет
таким, как на рисунке а). Заменим направление стрелок этого графа на
обратное. Получим граф нового соответствия «меньше» (рисунок б), которое
рассматривается между множествами Y и X и определяется множеством пар
{(4, 5), (4, 7), (6, 7)}.
X
Y
Рис. а)
X
Рис. б)
Соответствие, граф которого изображен на рисунке б), называется
соответствием, обратным данному соответствию R, и обозначается символом
R-1
В общем виде соответствие, обратное данному соответствию R
определяют так.
Определение. Пусть R – соответствие между элементами множеств Х и Y.
Соответствие R-1 между элементами множеств Y и X называется обратным
данному, если yR-1x тогда и только тогда, когда xRy.
Соответствия R и R-1 называют взаимно обратными.
Выясним, каковы особенности графиков взаимно обратных
соответствий.
Построим график соответствия R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} (рис. в).
При построении графика соответствия R-1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} мы должны
первую компоненту выбрать из множества Y, а вторую – из множества X. В
результате график соответствия R-1 совпадает с графиком соответствия R, а
это не очень удобно. Чтобы различать графики соответствий R и R-1 ,
условились первую компоненту пары соответствия R-1 считать абсциссой, а
вторую – ординатой. Точки с координатами (х, у) и (у, х) симметричны
относительно биссектрисы 1-го и 3-его координатных углов.
Следовательно, график соответствия R-1, обратного соответствию R,
состоит из точек, симметричных точкам графика соответствия
R
относительно биссектрисы 1-го и 3-его координатных углов.
Поэтому графиком соответствия R-1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} будет
множество точек, изображенных на рисунке г).
y
y
6
6
4
4
3
Рис.в)
5
7
х
3
5
7
х
Рис. г)
1.14. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
Из всевозможных соответствий, которые можно установить между
элементами двух множеств Х и Y, нас будут интересовать такие, при
которых каждому элементу множества Х соответствует единственный
элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только
одному элементу из множества Х. Такие соответствия называют взаимно
однозначными.
Рассмотрим примеры таких соответствий.
1. Пусть А = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}. Соответствие между элементами этих
множеств установлено при помощи графа.
A
B
a
1
b
2
c
3
d
4
Так как каждому элементу множества А (из каждой точки,
изображающей элементы множества А, выходит стрелка) соответствует
единственное число из множества В и каждое число из множества В
соответствует только одному элементу множества А, то данное соответствие
между множествами А и В взаимно однозначное.
2.
Пусть Х – множество точек координатной прямой, а Y = R. Так как с
введением координат на прямой каждой точке сопоставляется единственное
число (координата этой точки) и каждое действительное число
сопоставляется единственной точке этой прямой(имеющей это число своей
координатой), то установленное соответствие взаимно однозначное.
3.
Пусть Х – множество точек координатной плоскости, а Y – множество
пар действительных чисел. Если каждой точке плоскости сопоставляется
единственная пара действительных чисел (координаты этой точки) и каждая
пара действительных чисел сопоставляется единственной точке плоскости
(имеющей эту пару чисел своими координатами), то соответствие между
множествами точек координатной плоскости и множеством пар
действительных чисел взаимно однозначное.
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К НЕКОТОРЫМ ГЛАВАМ
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
2.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «СПОСОБЫ
ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ»
1. Записать путем перечисления элементов:
а) множество простых чисел первого десятка;
б) множество букв в слове «грамматика»;
в) множество цифр в числе 222222222;
г) множество правильных несократимых дробей со знаменателем 9;
д) множество несократимых дробей с однозначным знаменателем,
заключенных между числами 0 и ½;
е) множество десятичных дробей, при записи которых используется цифра
2 три раза, а цифра 5 один раз.
2. Пусть М – множество букв в слове «платок». Является ли подмножеством
множества М множество букв в словах: толпа, каток, парта, потолок?
3.Дано множество К = {70, 106, 223, 304}. Составить подмножества
множества К из чисел, у которых:
а) цифры десятков четные;
б) цифры десятков являются нечетными;
в) сумма цифр числа равны 7;
г) сумма цифр числа отлична от 7.
4. Какие элементы входят в пересечение и объединение множеств букв в
словах:
а) «математика» и «грамматика»;
б) «насос» и «сосна»;
в) «логово» и «голова»;
г) «мода» и «круг».
5. В классе 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19
человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Четыре
человека имеют «тройки» только по русскому языку, 4 – только по
математике и 11 человек – только по физике. Семь человек имеют «тройки»
по математике и физике. Пять человек имеют «тройки» по всем трем
предметам. Сколько человек учатся без «троек»? Сколько человек имеют
«тройки» по двум из трех предметов? (Решить с помощью кругов Эйлера)
6. Выясните, является ли конечным или бесконечным множество К, и
укажите, если возможно, его наименьший и наибольший элементы, зная что:
а) К - множество трехзначных четных чисел;
б) К – множество простых чисел, меньших 30;
в) К – множество натуральных делителей числа 505;
г) К – множество корней уравнения
(х – 2) (х + 11) (х – 12) (х + 13) (х – 14) = 0;
д) К – множество целых чисел, удовлетворяющих условию -4,5 < x < 5,5;
е) К
ж) К
з) К
и) К
к) К
л) К
м) К
– множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству |x| < 6;
– множество решений неравенства x > 15;
– множество решений неравенства x < 12;
– множество трехзначных чисел, кратных 3;
– множество четырехзначных чисел, кратных 5;
– множество составных чисел, меньших 30;
– множество двузначных чисел, кратных 3.
7.Найдите n(A), если:
а) A = {0, 2, 5, 7, 17, 25};
б) А – множество натуральных делителей числа 28;
в) А – множество трехзначных чисел;
г) А – множество букв в слове «кошка».
8. С – множество цифр в числе 2347. Является ли множество цифр в числе х
подмножеством множества С, если:
х = 32; х = 47; х = 43443; х = 27433; х = 43572?
9.А – множество двузначных чисел. Составьте подмножество множества А, в
котором каждый элемент – число:
а) оканчивающееся цифрой 9;
б) записанное одинаковыми цифрами.
10.Записать пересечение, объединение, разность множеств X и Y
изобразить кругами Эйлера:
а) X = {62; 31; 74; 7; 17; 20}
Y = {4; 5; 17; 8; 62; 3; 7}
б) X = {31, 19, 14}
Y = {3; 19; 2; 21; 31; 17; 14}
в) X = {16; 14; 7; 35}
Y = {10; 8; 53; 41}.
и
2.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ
«ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ.
ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ДЕКАРТОВА
ПРОИЗВЕДЕНИЯ»
1.
Какую фигуру образуют на координатной плоскости точки,
изображающие пары чисел (-1; 0), (-1; 4), (3; 0), (3; 4)?
2. Отметьте штриховкой множество точек координатной плоскости,
абсциссы которых отрицательны, а ординаты положительны.
3.
Какую фигуру образуют точки, если их абсциссы принадлежат
множеству [-2; 2], а ординаты - множеству [-3; 3]?
4.
Изобразите декартово произведение
в прямоугольной системе
координат, если А = {0, 2, 4, 6}, а B = {1, 3, 5}. Принадлежат ли построенной
фигуре точки (2; 3), (3; 0)?
5.
Определить,
декартово
изображено на рисунке?
произведение
каких
множеств
y
4
y
2
1
2
1
-2
2
3
4
х
-1
у
у
5
5
2
2
3
х
х
-2
3
х
6. Изобразить в прямоугольной системе координат множество
если
1) А = [-2; 2],
B = {2, 3, 4};
2) A = [-2; 2],
B = [2; 4];
3) A = R,
B = [2; 4].
А × В,
7. Покажите графически, что декартово умножение множеств А = {3, 2, 1}
B = {4, 4, 6} не обладает переместительным свойством.
8. Составить декартово произведение множеств M, P и K, если
M = {f, p, k}; P = {m, s}; K = {c; r; h}.
2.3.
ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ «ОТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ МНОЖЕСТВА. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ
ОТНОШЕНИЙ»
1.Приведите примеры отношений, существующих между:
а) натуральными числами;
б) прямыми на плоскости;
в) треугольниками;
г) множествами.
2. Из элементов множества X = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} образуйте
всевозможные пары чисел так, чтобы компоненты пары (х; у) были связаны
отношением:
А) «х больше у в 3 раза»;
б) «х больше у на 3»;
в) «х кратно у»
Постройте графы данных отношений.
3.Какое из следующих множеств является отношением между элементами
множества A = {0, 3, 6, 9, 12}:
а) P = {(6, 3), (9, 3), (12, 3), (12, 6), (3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12)};
б) T = {(3, 3), (3, 6), (3, 9), (3, 12), (6, 6), (9, 9), (12, 12)};
в) M = {(3, 6), (6, 12), (9, 18)}?
4.На множестве Х = {0, 2, 4, 6, 8} заданы отношения P, Q, S. Составить
отношения и постройте их графы, если:
P – отношение «меньше»;
Q – отношение «меньше в два раза»;
S – отношение «меньше на 2».
5. Множество М членов семьи Волковых состоит из отца Михаила
Петровича, матери Веры Ивановны и детей: Толи, Кати, Пети и Оли. Между
членами семьи существуют различные отношения родства. Постройте графы
отношений: 1) «быть дочерью; 2) «быть братом; 3) «быть матерью».
6. Задайте различными способами какое-либо отношение между элементами
множества А = {3, 6, 9, 18, 27}.
7. Запишите в виде равенства предложения:
1) число х больше числа у на 5;
2) число х меньше числа у на 7;
3) число х больше числа у в 5 раз;
4) число х меньше числа у в 5 раз.
8. Задайте в виде неравенства с двумя переменными отношения:
1) «меньше»; 2) «меньше или равно».
9. Постройте граф отношения «больше или равно», заданного на множестве
{0, 1, 2, 3, 4}. Как задать это отношение при помощи неравенства с двумя
переменными?
2.4. ПРАКТИЧЕСКИЕ
ОТНОШЕНИЙ »
УПРАЖНЕНИЯ
ПО
ТЕМЕ
«СВОЙСТВА
1. На множестве Х = {1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «х кратно у».
Постройте его граф и сформулируйте свойства данного отношения.
2. Чем отличается граф отношения «х –делитель у», заданный на
множестве Х (см. упр. 1), от графа отношения «х кратно у»? Есть ли
отличия в свойствах этих отношений?
3. Обладает ли свойством рефлексивности отношение «кратно», заданное
на множестве В = {0, 2, 4}?
4. На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} заданы отношения «больше» и
«больше или равно». Постройте графы и сформулируйте свойства
данных отношений. Какое из них обладает свойством рефлексивности
и почему?.
5. Каковы свойства отношений «больше в 2 раза» и «больше на 2»,
заданных на множестве Y = {2, 4, 6, 8, 12}? В чем сходство графов
данных отношений?
6. Построили граф отношения R, и оказалось, что он имеет стрелку,
идущую от элемента a к элементу b и от элемента b к элементу c, а
стрелки, идущей от a к c, нет. Может ли отношение
быть
транзитивным? Почему?
7. Х – множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений
является отношением эквивалентности на этом множестве: 1) «х
параллельна у»; 2) «х перпендикулярна у»; 3) «х пересекает у»?
8. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь
один и тот же остаток при делении на 4». Сколько классов
эквивалентности определит данное отношение? Запишите эти классы,
назовите по одному представителю каждого класса.
9. Объясните, почему отношение равенства отрезков является
отношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.
10. На множестве Х = {213, 37, 21, 87, 82} задано отношение Р – «иметь в
записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением
эквивалентности?
11.Отношение Т – «иметь одно и то же число делителей» задано на
множестве {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Покажите, что Т – отношение
эквивалентности, запишите все классы эквивалентности.
12.На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отношение Р – «иметь в
записи одно и то же число цифр». Покажите, что Р – отношение
эквивалентности. На сколько классов оно разбивает данное множество
чисел? Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса
разбиения.
13.Сколько классов эквивалентности определяет на множестве
натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой»?
Назовите по одному представителю каждого класса.
14. Х – множество отрезков. Какие из следующих отношений являются
отношениями порядка на этом множестве: 1) «х равно у»; 2) «х длиннее
у»; 3) «х короче у на 2см»; 4) «х длиннее у в 3 раза». Упорядочивает ли
множество Х отношение «меньше или равно»? Постройте граф этого
отношения.
15. Упорядочивает ли множество натуральных чисел отношение
«следовать за»? А отношение «непосредственно следовать за»?
16. М – множество окружностей на плоскости, R – отношение
«окружность х лежит внутри окружности у». Упорядочивает ли данное
отношение множество М?
2.5.ПРАКТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕМЕ
«СООТВЕТСТВИЯ. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ»
1. На рисунке изображен граф соответствия Р. Запишите все пары чисел,
находящихся в этом отношении. Установите между данными множествами А
и В два других соответствия.
x
y
10
20
30
50
5
15
3
2. Даны множества: М = {-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4} и N – множество
натуральных чисел. Соответствие R между элементами этих множеств –
«квадрат числа m равен числу n», причем m M, n N.
3. Соответствие «меньше» задано между элементами множеств А={1, 2, 4,
6} и B = {5, 7}. Постройте график этого соответствия. Каким будет
график соответствия «меньше на 1» между элементами тех же множеств?
4. Даны множества X = {2, 5} и Y = {3, 6}. Перечислите все элементы
декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества
полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: 1)
«больше»; 2) «меньше»; 3) «больше или равно»?
5. Множество Р = {(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1), (6, 1)} представляет собой
соответствие между элементами множеств X = {1, 3, 4, 6} и Y = {0, 1}.
Задайте соответствие Р-1, обратное соответствию Р, и постройте в одной
системе координат графики соответствий Р и Р-1.
5. На множестве Х = {0, 2, 4, 6, 8, 10} задано отношение Т – «число х
меньше числа у на 2». Задайте отношение Т-1 и постройте его график на
координатной плоскости.
6. Даны множества Х = {k, l, m, n, p} и Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Установите три
различных взаимно однозначных соответствия между данными
множествами. Сколько всего таких соответствий можно установить
между множествами Х и Y?
7. Даны два множества А = {1, 2, 5} и B = {3, 7}. Найдите множества А В и
В
А. Можно ли каким-либо образом установить взаимно однозначное
соответствие между ними?
8. N - множество натуральных чисел, Y – множество квадратов натуральных
чисел. Покажите, что между множествами N и Y можно установить взаимно
однозначное соответствие.
ЛИТЕРАТУРА.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Аматова Г.М., Аматов М.А. Математика. М., Московский психологосоциальный институт, 1999.
Богомолов Н.В.Практические занятия по математике. М., Высшая
школа, 2001.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. Среднее
профессиональное образование. М., Дрофа, 2002.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. М., Наука, 1994.
Гресс П.В. Математика для гуманитариев. М., Юрайт, 2000.
Куликов Л.Я. Алгебра и теории чисел. М., Высшая школа, 1997.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. М., Высшая школа, 1998.
Лунгу К. Н., Норин В. П. и др. Сборник задач по высшей математике.
М., Айрис-пресс, 2004.
И. Д. Пехлецкий. Математика. М., Академия, 2011
Стойлова Л.П. Математика. М., Издательский центр «Академия», 2011.
Филимонова Е.В. Математика (для средних специальных учебных
заведений). Ростов-на-Дону, Феникс, 2008.