Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«Государственный университет – Высшая школа экономики»
Отделение прикладной математики и информатики
факультета бизнес-информатики
Программа дисциплины
Математический анализ
Для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра
(2010 – 2011 учебный год)
Автор программы: к.ф.-м.н. А.Ю. Напеденина
Рекомендована секцией УМС
по бизнес-информатике
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Председатель Ю.В. Таратухина
________________________
«_____» _________________ 2010 г.
Зав. кафедрой Ф.Т. Алескеров
_____» _____________ 2010 г.
Утверждена Ученым Советом
Факультета бизнес-информатики
Ученый секретарь В.А. Фомичев
_________________________
« ____» __________________ 2010 г.
Москва 2010
1
Пояснительная записка
Автор программы:
к.ф.-м.н. А.Ю.Напеденина
Общие сведения об учебном курсе.
Курс читается студентам бакалавриата отделения прикладной математики
и информатики факультета бизнес-информатики ГУ ВШЭ. Он входит в состав
вузовского компонента блока общих математических и естественно-научных
дисциплин, определяющих специализацию «Прикладная математика и информатика». Курс читается в 1 – 4 модулях первых двух лет обучения. Продолжительность курса составляет 288 аудиторных учебных часа (72 недели), в том
числе 144 часа лекций, 144 часа семинарских занятий, и 340 часов самостоятельной работы. Рубежный контроль включает 3 домашних задания и 3 контрольные работы, зачет по окончании 3 модуля и экзамен по окончании 1 и 4
модуля на первом курсе, экзамен по окончании 2 и 4 модуля на втором курсе.
Требования к студентам.
Освоение курса не предполагает никакой предварительной подготовки
кроме школьного курса алгебры и начал анализа, и доступно всем студентам,
принятым на 1 курс,
Учебная задача курса.
Развить математический кругозор студентов. Обучить студентов важнейшим теоретическим положениям математического анализа, аналитическим
методам, выработать у них навыки решения конкретных задач, требующих исследования функций и вычисления связанных с ними величин.
В результате изучения курса студенты должны:
 знать точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их
на простых модельных примерах;
 знать основные теоремы о пределах и непрерывности функций одной и нескольких переменных, уметь вычислять пределы, доказывать существование
предела или его отсутствие;
 знать основные понятия и теоремы дифференциального исчисления функций
одной и нескольких переменных, уметь вычислять производные, частные
производные и дифференциалы функций, исследовать свойства функций и
строить графики, находить наибольшие и наименьшие значения дифференцируемых функций;
 знать основные понятия интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных, важнейшие теоремы, уметь вычислять неопределенные и определенные интегралы, доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов, вычислять геометрические и другие величины при
помощи определенных и кратных интегралов; вычислять криволинейные и
поверхностные интегралы;
2
 знать основные понятия интегрального исчисления функций, зависящих от
параметра; важнейшие теоремы, уметь доказывать сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра; вычислять интегралы Эйлера;
 знать теорию числовых и функциональных рядов, основные теоремы о рядах,
уметь исследовать числовые ряды на сходимость и функциональные ряды на
равномерную сходимость.
Аннотация.
Курс соответствует государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров
010500.62 «Прикладная математика и информатика». Он включает основные
разделы математического анализа, необходимые как для изучения других математических и естественно-научных дисциплин, так и для профессиональной деятельности бакалавра по направлению подготовки 010500.62 «Прикладная математика и информатика».
Тематический план учебной дисциплины
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
лекции
сем. и
практ. занятия
Самостоятельная работа
1курс, 1 модуль
Элементы теории множеств
и функций.
1
2
3
4
5
6
7
8
Теория пределов и непрерывных функций одной переменной.
1 курс, 2 модуль
Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
1 курс, 3 модуль
Дифференциальное исчисление для функций многих переменных.
1 курс, 4модуль
Интегральное исчисление
для функций одной переменной.
Итого на первом курсе
2курс, 1 модуль
Числовые и функциональные
ряды. Степенные ряды.
2 курс, 2 модуль
Интегралы, зависящие от параметра.
2 курс, 3 модуль
Интегральное исчисление
для функций многих пере-
16
16
16
16
20
20
20
20
72
72
16
16
16
16
20
20
3
9
менных.
2 курс, 4 модуль
Элементы векторного анализа.
Ряды и интегралы Фурье.
Преобразование Фурье.
Итого на втором курсе
20
20
72
72
Формы рубежного контроля и правила вывода оценок
зачета и экзамена
Предусмотрены 3 контрольные работы (в первом, втором и третьем модулях) и 3 домашних задания. В первом и четвертом модулях первого курса
проводится экзамен, в третьем модуле первого курса – зачет; во втором и четвертом модулях второго курса проводится экзамен.
Оценки выводятся по следующим формулам.
Оценка за зачет «ОЗач» = 0,3 «ОКр» + 0,1 «ОДз» + 0,6 «ОЗач.раб.»,
оценка за экзамен «ОЭкз» = 0,2« ОКр» + 0,1 «ОДз» + 0,7 «ОЭкз.раб.» по десятибалльной шкале.
Оценки выставляются в ведомость и зачетную книжку. В экзаменационную ведомость и зачетную книжку студента выставляется также и оценка по данной
дисциплине по пятибалльной шкале, получаемая из оценки по десятибалльной шкале в соответствии с таблицей соответствия (см. Приложение № 2 к приказу Ректора ГУ-ВШЭ № 1002 от 17.06.2002).
Таблица соответствия оценок по десятибалльной
и пятибалльной системам
По десятибалльной шкале
1  неудовлетворительно
2  очень плохо
3  плохо
4  удовлетворительно
5  весьма удовлетворительно
6  хорошо
7  очень хорошо
8  почти отлично
9  отлично
10 блестяще
По пятибалльной шкале
неудовлетворительно  2
удовлетворительно  3
хорошо  4
отлично  5
Образцы типовых задач приводятся после программы.
4
Содержание программы
1. Введение. Элементы теории множеств и функций. ([1], т.1, гл. 1, §§ 1, 2,
[3], гл. 1, §§ 1 – 4)
Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение, дополнение. Отображения множеств (функции). Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции.
Понятие действительного (вещественного) числа. Сравнение действительных чисел. Примеры множеств действительных чисел. Промежутки. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные множества действительных чисел.
Верхние и нижние и точные верхние и нижние грани множеств действительных
чисел. Максимальный и минимальный элемент множества. Теорема о существовании точных граней у ограниченного множества. Лемма о вложенных отрезках.
Элементы общей топологии. Понятие топологического пространства.
Примеры. Системы окрестностей. Проколотые окрестности точки. Предельные
точки. Граничные точки. Внутренние точки. Открытые и замкнутые подмножества.
2. Теория пределов и непрерывных функций одной переменной. ([1], т.1, гл.
1, §§ 3 - 8, [3], гл. 1, §§ 5 – 9)
Числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о вынужденном пределе. Теорема о сходимости монотонных
ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые
последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные
пределы. Неопределенности. Определение подпоследовательности. Теорема о
пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема
Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности.
Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности
этих определений. Односторонние пределы, их связь с двусторонними. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имеющих
пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные
пределы. Сравнение функций, о-символика, главная часть функции, порядок
малости и порядок роста функции. Критерий Коши существования конечного
предела функции.
5
Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки
разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций.
Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности
сложной функции. Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных
на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши). Критерий
непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования
и непрерывности обратной функции на промежутке. Понятие равномерной непрерывности функции на множестве. Теорема Кантора.
3. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1,
гл. 1, §§ 9 – 14 , [3], гл. 1, §§ 10 – 15)
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости, необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, графики которых заданы параметрически. Понятие дифференциала (первого) функции в
точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого
дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции
одной переменной в точке.
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум. Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема
Ферма). Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теорема
Ролля, формулы Лагранжа и Коши). Многочлен Тейлора и формула Тейлора
для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Правило Лопиталя. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные
условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения.
4. Дифференциальное исчисление для функций многих переменных. ([1],
т.1, гл. 2, [3], гл. 2)
Понятие евклидовой метрики пространства R n . Окрестности точек, предельные и внутренние точки, открытые и замкнутые множества. Прямые, лучи,
отрезки и кривые в пространстве R n . Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые множества. Компакт, область.
6
Понятие последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве
и ее предела. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве. Теорема БольцаноВейерштрасса.
Понятие функции многих переменных, множеств (линий) уровня. Примеры.
Определение предела функции многих переменных. Арифметические
свойства пределов.
Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной
функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема
Коши о промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции.
Определение частных производных функции многих переменных в точке.
Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие
дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в
точке. Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке.
Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Производная по направлению для функций двух
и трех переменных. Градиент функций двух и трех переменных в точке. Многочлен Тейлора для функции многих переменных. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их существования и дифференцируемости. Системы уравнений для частных производных неявных функций. Понятие отображения области n-мерного пространства и его матрицы Якоби. Матрица Якоби
композиции отображений. Условия обратимости отображения. Якобиан.
Экстремумы функций многих переменных (локальный, глобальный,
условный). Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие
локального экстремума. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи
на условный экстремум. Необходимое условие локального условного экстремума, достаточное условие. Нахождение экстремумов непрерывной функции на
компакте.
5. Интегральное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 3,
[3], гл. 3)
Понятие первообразной функции, определенной на интервале, и неопределенного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по ча7
стям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных функций. Основные
классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций.
Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним
пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и
формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных координатах, вычисление объемов.
Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов. Признаки сравнения для несобственных интегралов от положительных функций.
Эталонные интегралы. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.
6. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.
([1], том 1, гл. 4; [3], гл. 4; [5], гл. VIII, IX)
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое
условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости
числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Признаки Дирихле и Абеля. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для
условно сходящихся рядов.
Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве. ункциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной сходимости функциональных
последовательностей. Равномерная сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Признак Дирихле.
Теорема о непрерывности предела суммы функционального ряда. Теорема о
почленном интегрировании функционального ряда и о переходе к пределу под
знаком интеграла для функциональной последовательности. Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.
Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о
почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций функции в степенные ряды. Теорема о единственности представ8
ления. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и достаточное условия
сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
7. Интегралы, зависящие от параметра.
([1],т. 2, гл. 6, §§ 53, 54; [3], гл.5, §§ 49 -50; [5], гл.XV, §§ 71 - 73)
Собственные интегралы, зависящие от параметра, их непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость по параметру.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равномерной сходимости. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости по параметру. Применения для вычисления интегралов. Эйлеровы интегралы.
8. Интегральное исчисление для функций многих переменных.
([1], т.2, гл. 6, §§ 44 – 52, 3, гл.5, §§ 42 – 48, 5, гл. X - XI)
Повторение основных понятий, связанных с топологией n-мерного евклидова пространства. Понятие меры Жордана, множества, измеримые по Жордану. Критерий измеримости множества. Основные свойства меры Жордана. nмерные цилиндры. Множества меры ноль. Определение кратного интеграла
Римана. Верхние и нижние суммы Дарбу. Основные классы функций, интегрируемых по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
функции двух переменных. Основные свойства кратного интеграла. Двойные
интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в
двойных интегралах. Переход к полярным координатам в двойных интегралах.
Геометрические и физические приложения двойных интегралов. Тройные интегралы. Сведение тройного интеграла к повторному. Понятие регулярного преобразования. Замена переменных в n-кратных интегралах. Якобиан n-мерного
отображения. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройных интегралах. Сферическая система координат в n-мерном пространстве.
Геометрические и механические приложения тройных интегралов.
Несобственные кратные интегралы. Монотонно исчерпывающие последовательности. Критерий сходимости кратного несобственного интеграла от
неотрицательной функции. Общий признак сравнения. Несобственные кратные
интегралы от знакопеременной функции. Совпадение понятий абсолютной и
условной сходимости для кратных интегралов.
Элементы теории кривых на плоскости и в трехмерном пространстве.
Гладкие кривые. Понятие криволинейного интеграла первого рода по дуге
гладкой плоской кривой. Распространение на трехмерный случай. Основные
свойства криволинейного интеграла первого рода. Формула сведения криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу. Понятие криволинейного интеграла второго рода по дуге гладкой плоской кривой. Распространение на трехмерный случай. Основные свойства криволинейного интеграла
первого рода. Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу. Условия независимости криволинейного интеграла второго
рода от пути интегрирования на плоскости. Формула Грина.
9
Элементы теории поверхностей в трехмерном пространстве. Понятие
площади поверхности. Понятие поверхностного интеграла первого рода для
функции. Достаточное условие интегрируемости функции по кусочно-гладкой
поверхности. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному интегралу. Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл
второго рода по заданной стороне гладкой поверхности. Формулы для вычисления поверхностного интеграла второго рода. Формула ГауссаОстроградского. Формула Стокса. Лемма об однозначном проектировании на
все координатные плоскости.
Теория поля. Биортогональные базисы. Дивергенция и ротор линейного
оператора. Дивергенция и ротор дифференцируемого векторного поля. Производная по направлению. Дивергенция и ротор в декартовом прямоугольном базисе. Повторные операции векторного поля. Оператор Лапласа.
9. Элементы векторного анализа. Ряды Фурье. Преобразование Фурье.
([1],т. 2, гл. 7, §§ 55, 58, 56*; [3], гл.6, §§ 51,53, 54*; [5], гл.XIV, §§ 61, 64 – 66,
гл.XV, § 75)
Элементы векторного анализа. Дивергенция и ротор векторного поля. Независимость их от выбора системы декартовых координат. Потенциальные и
соленоидальные поля. Условия потенциальности и соленоидальности. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка. Оператор Лапласа, независимость
его от выбора системы декартовых координат.
Евклидово пространство, норма и метрика в нем. Ортогональные системы
функций. Ряд Фурье по ортогональной системе, коэффициенты Фурье. Ряды
Фурье по тригонометрическим системам функций. Достаточное условие поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Теорема об условиях
равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Понятие преобразования Фурье.
Литература
Основная:
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981 (имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа,
2006).
2. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1.
Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. Т. 2. Интегралы и ряды. Т.
3. Функции нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003 (или любое
другое издание).
3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.:
Изд-во Моск. ун-та, 2006.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.: «Наука», 1997.
Дополнительная:
10
5. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.:
Физматлит, 2003.
6. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1999.
7. Зорич В.А. Математический анализ. Т.I, II. − М.: Наука, 1984.
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т.II, III − М.: Наука, 1969.
Образцы задач для контрольных, зачетных и экзаменационных работ
по математическому анализу для 1 и 2 курсов
1. Вычислить пределы:
tgx  tg 2
x3  3x  12
а) lim
;
б)
.
lim
x 1
sin(ln(
x

1))
x2  x
x2
2. Вычислить производную функции:
1
а) y  log5 (arcsin 2 x) 
 cos 2 ; б) y  (cos x )ln x .
2 x
3. Найти касательную прямую и нормаль, проведенные в точке А(1,1) к графику функции, заданной неявно уравнением x 2 y 3  4 xy  y 3  x3 y  1  0 .
4. Найти дифференциал функции y  f ( x) , заданной параметрически:
5.

2t  t 2
 x  1  t 3 ,
в точке А, соответствующей значению параметра t0  1 .

2
2
t

t
y 

1  t3
Найти участки возрастания и убывания и точки экстремума функции
y  3x2  x3 . Найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на
отрезке [1,4].
x2  4 x
6. Найти асимптоты графика функции y 
.
2 x
7. Провести полное исследование и нарисовать эскиз графика функции
x
y  1  2ln
.
x2
8. Разложить функцию f ( x)  sin(3x  5) по формуле Тейлора в окрестности
точки x0  2 до o(( x  x0 )n ) .
9. Разложить по формуле Маклорена до о(хn ) функции:
1
а) f ( x)  x 25  x ;
б) f ( x) 
.
9  2x
10. Вычислить пределы с помощью формулы Маклорена:
x
ln(cos x  12 x 2 )
3
sin 4 3 x
а) lim(1  ln(1  x ))
;
б) lim
.
x 0
x 0
x(sin x  x)
11
11. Вычислить предел или доказать, что он не существует:
x  2y
tg ( xy)
а)
;
б) lim
.
lim 2
2
x 0, y 0 1  3 1  x  2 y
x0, y 0 x  y
12.
13.
14.
15.
 y3  x2
npu x 2  y 2  0,
 3
2
Выяснить, будет ли функция F ( x, y )   y  x
непре
npu x 2  y 2  0
 0
рывной в точке (0,0). Ответ обосновать.
Найти частные производные первого порядка для функций:
x3
а) f ( x, y ) 
б) f ( x, y, z )  ( x 2  2 y 2  xz )arcsin 2 x .
 x ln(sin y ) ;
2 y
1
x y
Найти первый дифференциал функции f ( x, y, z )  arctg
в точке
x
z
(1,0,1).
Найти производную функции f ( x, y, z )  2 xy 2 z  3xy  8 x 2 yz в точке
А(1,1,0) по направлению вектора MN , где М(2,4,5), N(1,2,3).
16. Исследовать на экстремум функцию z  x 4  x 2 y 2  y 4  6 x 2  9 y 2 .
17. Найти экстремумы функции f ( x, y)  8 x  4 y  1 при условии
8x2  y 2  2  0 .
18. Вычислить неопределенные интегралы:
x
1  cos x
а) 
б) 
dx .
dx ;
3
cos 2 x
( x  sin x)
19. Вычислить определенные интегралы:
0
8
x  10
xdx
dx ;
а) 
б) 
.
2
( x  4)( x  1)
x

1
1
1
n  (1) n
20. Найти сумму ряда 
.
n
3
n 1
Исследовать на сходимость числовые ряды 21 – 24:


21.

3  2(1)
n ( n 1)
2
1
 
  15
5
 n  arcsin n  .


n2

2n ( n  2)3
22. 
.
n 1 ( n  5)!

3
23. 
.
n  2 ln 3 ( n  1)
n 1
3
n 1

24.
e
n 1
n2
2 n
 2n  3 

 .
 2n  1 
3
1


1
n2
25. Исследовать на сходимость ряд   n sin  e  , используя выделение
n
n 1 

главной части.

12
26. Будет ли данный ряд

 (1)
n ( n 1)
2
n 1
а) абсолютно сходящимся;
2
):
n
б) условно сходящимся?
 (1  cos
27. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

 (1)
n 1
n 1
28. Доказать сходимость ряда

 cos
n 1
ln(2n)
.
4
n
2 n   n  1 
sin 
 , используя признак Ди7
 n 
2
рихле или Абеля.
29. Исследовать ряд на сходимость в зависимости от параметра:

 n sin  n cos n  .
1
n 1
30. Найти предельную функцию для функциональной последовательности


1
f n ( x)  n  x 2   x  на множестве E   0,   .
n


31. Найти предельную функцию и доказать равномерную сходимость функциоx
нальной последовательности f n ( x)  5 n sin 2
на множестве E  [3,3] .
n n

 x2 
32. Доказать, что ряд  arctg  3  не является равномерно сходящимся на
n 1
n 
множестве E  0,   .
33. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость ря
(5 x) n
1
да  2 3
на множестве E  [0, ] .
5
n  3x
n 1 n
34. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

nx  n
ln(1  n 1 n x) на множествах E1  (0,1) и E2  (1, ) .

n 1 n  x

nx 2
35. Найти множества всех значений x, при которых функция f ( x)   3
:
3
n 1 n  x
а) определена;
б) дифференцируема.
36. Найти области сходимости и расходимости функционального ряда
n
n

 1  x 1

1   3 .
n
n 1 
37. Найти радиус сходимости, области сходимости и расходимости степенного
n

n ( x  3)
ряда  (1) n
.
5 (n  1)
n 0
38. Разложить функцию f ( x)  ( x  1) cos2 x в ряд Тейлора в окрестности точки
x0= –1. Найти интервал сходимости этого ряда.


39. Разложить в ряд Маклорена функцию f ( x)  x x 2  4  4ln x  x 2  4 .
13
40. Найти интервал сходимости функционального ряда

 ( x  1)
n
n 1
sin


n 1  n .
41. Найти радиус сходимости, области сходимости и расходимости степенного

5n1 ( x  3)n
ряда  3
.
2
n

2(4
n

2
n

7)
n 0
42. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
0
2 y 1
1
1 y
 dy 
f ( x, y )dx .
2
43.Вычислить двойной интеграл
 cos( x
2
 y 2 )dxdy , где область D задана нера-
D
венствами x  y  4, x  0 .
2
2
44. Вычислить тройной интеграл
 ( x
2
 y 2  z 2 )dxdydz , где область E задана
E
неравенствами x  y  25, x  0, 0  z  4 .
2
2
45. Вычислить криволинейный интеграл первого рода
 y ds по кривой :
2

y  max(2 x , 2 x ), 0  x  2 .
46. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
x
 y dx 

yx
dy , где  –
x
дуга параболы y  x от точки A(2,4) до B(1,1).
47. Найти функцию U  U ( x, y ) , если
2


x
1 1
y
1 x 
dU  
   dx  
   dy .
 x2  y 2 x y 
 x2  y 2 y y 2 




48. Вычислить поверхностный интеграл первого рода  yzdS , где  - часть

конуса z  x  y , заключенная внутри цилиндра x 2  y 2  4 x .
49. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
3
3
3
 ( x  yz )dydz  ( y  xz )dzdx  ( z  xy)dxdy , где  – внешняя сторона
2
2

границы области G : x 2  y 2  z 2  16, z  0 .
14