Тема: Линейные уравнения с параметрами

В данном пособии «В помощь учителю» представлена система ключевых задач по
теме «Исследование линейных уравнений, содержащих параметр», составленная учителем
математики высшей категории МОУ лицей №17, Почётным работником общего
образования Российской Федерации Сорокиной Светланы Анатольевны, работающей на
классах углублённого изучения математики.
Задания расположены в порядке возрастания сложности, что даёт возможность
учащимся преодолевать возникшие затруднения. Так, если в заданиях 1-2 уравнения
имеют вид ах=в, то уравнения 3-5 необходимо сначала привести к этому виду, и только
потом исследовать. В заданиях 6-11 учащимся предлагается исследовать дробнорациональные уравнения,- это случай равенства двух дробей с равными знаменателями,
случай равенства дроби нулю, случаи равенства дробей с разными знаменателями.
Наконец, решения уравнений 12-16 требуют знаний свойств модуля.
Важно, что предложенный в пособии алгоритм решения является универсальным
для данного класса задач.
Задания можно использовать в 7-11 классах, в зависимости от математической
подготовки учащихся. Это могут быть урок- практикум, занятия факультатива, кружка,
элективных курсов.
Тема «Исследование линейных уравнений, содержащих параметр» является
фундаментом всей системы решения задач с параметрами и входит в содержание ЕГЭ.
Методист ГМЦ г. Костромы Борткевич Л. К.
Тема: Исследование линейных уравнений, содержащих параметр.
Справочный материал
Решение линейного уравнения a∙x=b, где a и b – параметры,
a∙x=b
а=0
а≠0
b – любое число (Почему?)
b≠0
x 
b=0
b
a
один корень
0∙x=b
0∙x=0
x – любое число
нет корней
бесконечно много корней
Для каждого значения параметра а найдите число корней уравнений (1 - 8)
1) a  x  1
2) (a  2)  x  3
3) a 2 ( x  a)  1  a  x
4) a 2  x  4  2  a  ( x  1)
5) a 2  x  2  4 x  a
6)
7)
8)
x5 a x

x7 x7
xa
0
x2
x2
0
xa
2x  b
 0 в зависимости от значений параметра b?
x2
xa a
 в зависимости от значений параметра а?
10) Сколько корней имеет уравнение
x3 2
9)
Сколько корней имеет уравнение
11) При каких значениях параметра с уравнение
xc c
 не имеет корней?
1 x 8
Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение?
12) x  a
13) x  2  x  a  0
14) x  2  a  ( x  1)  0
15) x  2  a 2 x  0
16) x 2  1  a  ( x  1)  0
Решения и ответы.
1.
a x 1
Решение
В этом уравнении на самом деле 2 переменные, но считают x – неизвестным, а a – параметром.
Требуется решить уравнение относительно переменной x при любом значении параметра a .
Если a = 0, то уравнение примет вид 0  x  1 и не будет иметь корней
Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x 
1
a
Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это важно,
когда решение разбивается на несколько случаев. При этом составление ответа – это сбор ранее
полученных результатов в отдельных частях решения. Необходимо отразить в ответе все этапы
решения.
Ответ: при a = 0 корней нет;
при a ≠ 0 x 
1
.
a
2. (a  2)  x  3
Решение
При a = 2 уравнение примет вид 0  x  3 и не будет иметь корней.
При a ≠ 2 уравнение имеет единственный корень x 
3
a2
Ответ: если a = 2, то решений нет;
если a ≠ 2, то x 
3
.
a2
3. a 2 ( x  a)  1  a  x
Решение
Приведем уравнение к виду a  x  b
a2 x  a3  1 a  x
a 2 x  ax  a 3  1
a (a  1) x  (a  1)( a 2  a  1)
При a = 0 уравнение примет вид 0  x  1 и не имеет корней.
При a = -1 получаем 0  x  0 , и очевидно x – любое.
При a ≠ 0 и a ≠ -1 имеем x 
a2  a 1
.
a
Ответ: если a = 0, то корней нет;
если a = -1, то x – любое число;
если a ≠ 0 и a ≠ -1, то x 
a2  a 1
.
a
4. a 2  x  4  2  a  ( x  1)
Решение
Приведем уравнение к виду a  x  b
a 2 x  4  2ax  2a
a(a  2) x  2(a  2)
При a = 0 уравнение примет вид 0  x  4 и не имеет корней.
При a = 2 получаем 0  x  0 , и очевидно x – любое.
При a ≠ 0 и a ≠ 2 имеем x 
2
.
a
Ответ: если a =0, то нет корней;
если a = 2, то x – любое число;
если a ≠ 0 и a ≠ 2, то x 
2
.
a
5. a 2  x  2  4 x  a
Решение
Приведем уравнение к виду a  x  b .
x(a 2  4)  2  a
x(a  2)( a  2)  2  a
При a = 2 получаем 0  x  0 , и очевидно x – любое.
При a = -2 получаем 0  x  4 , и уравнение не имеет корней.
1
При a ≠ 2 и a ≠ -2 имеем x  
.
a2
Ответ: при a = 2, x – любое число;
при a = -2, нет решений;
при a ≠ 2, a ≠ -2, x  
6.
x5 a x

(1)
x7 x7
1
.
a2
Решение
Так как знаменатель не должен быть равен нулю, то x +7≠0, x ≠ -7
Знаменатели алгебраических дробей равны, следовательно, для того, чтобы выполнилось
равенство (1), должны быть равны и числители:
x -5= a - x ; 2 x = a +5; x 
a
 2 ,5
2
Мы выразили неизвестное x через параметр a , но для x есть ограничение x ≠ -7, т.е.
a
 2 ,5≠-7 , откуда a ≠ -19
2
При a = - 19 исходное уравнение корней не имеет, так как при подстановке данного значения a в
исходное уравнение получаем для x значение -7. которое не входит в область допустимых
значений.
Ответ: при a ≠ -19 , x 
a
 2 ,5;
2
при a = -19, нет корней.
7.
xa
0
x2
Решение
Решение этого уравнения равносильно системе
Имеем
x - a =0
x +2≠0
x= a
x ≠ -2
Условие x ≠ -2 влечет за собой требование a ≠ -2
Ответ: при a ≠ -2, x = a ;
при a = -2, нет корней.
8.
x2
0
xa
Ответ: при a ≠ -2, x = 2;
при a = -2 нет корней.
9.
2x  b
0
x2
Решение
Очевидно, что x ≠ 2, а 2 x - b = 0, т.е. x 
Ответ: при b ≠4 , x 
b
b
, но x ≠2, т.е. 2≠ , b ≠4.
2
2
b
;
2
при b =4 нет корней.
xa a

10.
x3 2
Решение
Это уравнение равносильно системе
2( x - a ) = a ( x -3)
Имеем
x -3 ≠ 0
x ≠3
Система имеет единственное решение, если a -2 ≠0, a ≠ 2, x 
и x ≠3, т.е. 3≠
( a -2) x = a
a
a2
a
, a ≠ 3.
a2
Если a = 2, a = 3 корней нет.
Ответ: при a = 2, a = 3 нет корней;
при a ≠ 2, a ≠ 3 x 
a
.
a2
11. При каких значениях параметра c уравнение
Решение
Это уравнение равносильно системе
xc c
 не имеет корней?
1 x 8
8( x + c ) = c (1- x )
1- x ≠ 0
Решим уравнение системы
8( x + c ) = c (1- x )
8x  8c  c  cx
x(8  c)  c  8c
При c = -8 получим x ∙ 0 = 56, уравнение не имеет корней.
При c ≠ -8, x 
 7c
 7c
. Условие x ≠1 влечет за собой требование
≠1 , c ≠ -1
8c
8c
Ответ не имеет корней при c = -8; c = -1.
12. x  a
Ответ: a < 0 , то нет корней;
a > 0 , то x = a , x = - a ;
a = 0, то x = 0.
13. x  2  x  a  0
Решение.
Это уравнение равносильно системе
│ x -2│= 0 Имеем
│ x + a │= 0
x -2 = 0 Имеем
x =2
x+a = 0
x = -a
Ответ: если a = -2, то x = 2
если a ≠ -2, нет корней.
14. x  2  a  ( x  1)  0
Ответ: если a = 0, то x = -2;
если a ≠ 0, нет корней.
15. x  2  a 2 x  0
Решение
Это уравнение равносильно системе
│ x +2│= 0 Имеем
a x 0
2
При a =0
x = -2
Имеем
0 x  0
x = -2
x +2 = 0
a2 x  0
Имеем
x =-2
a2 x  0
Имеем x = -2
x - любое
Ответ: если a = 0, то x = -2;
если a ≠ 0, нет корней.
16. x 2  1  a  ( x  1)  0
Решение
Это уравнение равносильно системе
│ x 2 -1│= 0
Имеем
x 2 -1 = 0
│ a ∙( x -1)│= 0
a ∙( x -1) = 0
При a ≠ 0 второе уравнение системы, а значит и сама система, имеет единственный корень x = 1.
Если же a = 0, то из второго уравнения получаем x – любое.
Следовательно, в этом случае система имеет два корня: x = 1 или x = -1.
Ответ: если a ≠ 0, то x = 1;
если a = 0, то x = 1, x = -1.