Тонкая структура спектра

А. К. Кудайкулов, С.В. Сухинин, А.К. Жумадиллаева
Распространение волн в неоднородной 2х компонентной одномерно
периодической среде вода-кварц
(Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева)
Исследование особенностей распространения волн в неоднородных одномернопериодических средах является важным для прикладных задач геофизики и
неразрушающего контроля. Характерными примерами таких сред являются жидкости с
пузырьками газа, композиты, негомогенные смеси с периодическим включением
компонент, пены, пористые и зернистые структуры. Изучаемая структура (вода-кварц)
является типичным примером пористого нефтяного или заводненного пласта.
Аналогичные примеры можно привести для электромагнитных волн.
Прямые методы исследования распространения волн в неоднородных
периодических структурах невозможны из-за большого количества
неоднородностей. В связи с этим большое значение приобретают
исследования тонкой структуры спектра частот задачи, описывающей
установившиеся колебания в неоднородных одномерно-периодических
средах.
Рисунок 1. Геометрия структуры и система обозначений
Пусть неоднородная одномерно-периодическая среда состоит из двух
компонент M1  c1 , 1 и M 2  c 2 ,  2  - скорость звука и плотность в
состоянии покоя, p1 и p 2  акустическое возмущение давления
соответственно в 1й и 2й среде.
Можно считать, что в среду M1 помещена цепочка пузырьков среды M2
или в среду M2 помещена цепочка капель M1. Предполагается, что цепочка
обладает пространственной периодичностью. Пусть L - наименьший
пространственный период одномерно-периодической среды.
Использованы обозначения:
τ = ρ2 / ρ1
- отношение плотностей,
κ = c1 / c2
- отношение скоростей звука,
ω
- круговая частота колебаний,
λ = ωL/c1
- безразмерная частота колебаний.
Использованы безразмерные пространственные переменные x  x L ,
далее крышка над x опущена. В этих переменных наименьший
пространственный период среды равен единице.
Везде в работе индекс j относится к среде Mj, j  1, 2 . Часть среды,
имеющая длину, равную единице, называется фундаментальной ячейкой.
Уравнения и граничные условия
Установившиеся акустические колебания давления с круговой частотой ω
в средах M1 и M2 описываются при помощи уравнений
1
p xx
 2 p 1  0,
2 
p xx
 2  2 p  2   0
(0.1)
На границах контакта сред должны быть выполнены условия
непрерывности давления и скорости (динамические и кинематические
условия)
(0.2)
p 1  p 2  ,
  p x1  p x2 
Соотношения
(0.1) - (0.2) далее называются задачей T. Эта задача
полностью описывает распространение акустических волн в неоднородных
одномерно-периодических средах.
Свойства симметрии
Поскольку рассматриваемая цепочка является периодической, можно
использовать ее инвариантность относительно группы трансляций по
пространственной переменной. Допускаемая группа симметрий позволяет
разложить пространство решений на соответствующие этой группе
инвариантные подпространства. Так как группа трансляций коммутативна, то
любое ее представление в пространстве допускаемых решений унитарно и
одномерно, поэтому пространство решений можно разложить на одномерные
инвариантные относительно ее представления подпространства. Данные
подпространства обладают следующими свойствами:
1. Мощность множества инвариантных подпространств - континуум.
2. Если функции р(1), р(2) - решение задачи в одном периоде (ячейке) принадлежат одному из этих подпространств, то они удовлетворяют условию
(сдвига фазы колебаний)
(1.3)
p (1) x  1  p (1) x e i
p ( 2) x  1  p ( 2) x e i
  
Из второго свойства следует, что достаточно сформулировать и решить
задачу в одной ячейке, т.е. при 0<x<1, с дополнительным условием (1.3).
Решение во всей цепочке можно получить продолжением решения задачи в
одной ячейке при помощи условия (1.3). Обозначим задачу (1.1) - (1.3) –
задачей ТМ.
1.Волноводные свойства монодисперсной цепочки неоднородностей.
Пусть длина (линейная концентрация) одного связного слоя среды M 1
равна k1 , длина одного связного слоя среды M 2 (линейная концентрация)
равна k2 . Так как 1  k1  k2 - безразмерный пространственный период
структуры (рис. 1), то k2  1  k1 и для полного описания монодисперсной
цепочки неоднородностей достаточно k1 , далее k1  k . Колебания в
фундаментальной ячейке 0  x  1 описываются уравнениями (1.1), условиями
трансмиссии (1.2) и условиями сдвига фазы колебаний в соседних
фундаментальных ячейках (1.3). Условия на границах фундаментальной
ячейки
(2.1)
p 1  k 2exp i   p 2  1  k 2,p x1  k 2exp i   p x2  1  k 2
эквивалентны (1.3).
Далее (1.1), (1.2) и (1.3) называется задачей ТМ. Необходимо отметить,
что семейство задач ТМ полностью учитывает возможные взаимодействия
всех неоднородностей в одномерно-периодической цепочке.
Дисперсионные соотношения
Общий вид решения уравнения Гельмгольца в областях x:  k 2  x  k 2
и x: k 2  x  1  k 2 , занятых средами M 1 и M 2 , имеет вид
(2.2)
p (1)  a1 exp ix   b1 exp  ix 
p ( 2)  a2 exp ix   b2 exp  ix 
Поэтому задача ТМ эквивалентна линейной системе уравнений AY  0
с неизвестными a1 , b1 , a2 , b2   Y . Матрица A  этой системы уравнений
имеет вид

(2.3)
 k  
 k   
 k 
 k 


exp i
,
exp  i
,
 exp i
,
 exp  i








2 
2  
 2 


 2 


 k  
 k   
 k 
 k 
  exp   i
  exp  i
 exp   i

 


  exp  i
2 
2 
2  
 2 




A  

  k
  k
  k 



 k  
  ,
exp i
  ,
 exp i 1  ,  exp  i 1  , 
 exp i 


 2  
 2
 2
  2 


  k
  k
  k 




 k  
exp i  2   ,  exp i 2   ,  exp i 1  2 , exp  i 1  2 , 




 


 


Нетривиальное решение задачи ТМ существует, если определитель
матрицы A   равен нулю. Поэтому волноводные значения ТМ являются
нулями аналитической функции det A    .
Отсюда следует, что волноводные значения    ,  задачи ТМ дискретны
на вещественной оси и непрерывно зависят от  на множестве 0    1 и от  ,
  .
Для фиксированных  , , k уравнение det A    0 представляет собой
дисперсионные соотношения для всех волноводных мод  n   n   ,
n  1, 2,  , которые являются связными компонентами множества всех
волноводных значений задачи ТМ на плоскости  ,   .
Дисперсионные соотношения для всех волноводных мод задачи ТМ
имеют вид:
2
(2.4)
4 1  cos 2        cos k  k       cos k  k      


      cos k  k       cos k  k       0
2


2 cos   2 cos(k ) cos(k   )   2   2 sin( k ) sin( k   )  0
(2.4*)
Ползущая мода
Наиболее важным для различных приложений является исследование
распространения длинных (низкочастотных) волн по одномернопериодической цепочке неоднородностей. В этом случае длина волн
существенно превышает период структуры и размеры неоднородностей.
Волноводные значения задачи ТМ непрерывно зависят от  и   0 есть
решение (2.4)при   0 . Отсюда следует, что существует волноводное
значение 1  задачи ТМ такое, что lim *1   0 . Это значение соответствует
0
низшей частоте волноводных колебаний монодисперсной цепочки
пузырьков. Далее мода колебаний, соответствующая низшей волноводной
частоте, будет называться ползущей. Необходимо отметить, что длина волн
ползущей моды превышает размеры неоднородностей.
Если определитель матрицы (2.3) или дисперсионное соотношение (2.4)
разложить в ряд Тейлора по  в точке   0 и пренебречь слагаемыми  3 , то
можно получить приближенное выражение для низких волноводных частот
ползущей моды
(2.5)
1  ,    2 1  cos  k    k k  k 2   2 
2
Для малых  справедливо представление
1  ,    2 1  cos 
Рисунок 3
 2 k 1  k  .
На рисунке 3 приведена зависимость полосы пропускания волноводной
частоты для ползущей моды от концентрации воды для фиксированных
значений параметров двух сред слева «вода-воздух», справа «вода-кварц».
Необходимо отметить, что волноводные частоты ползущей моды
существенно зависят от линейной концентрации k , для k  0 и k  1 полоса
пропускания для ползущей моды сколь угодно расширяется. Для различных
приложений существенно то, что для «вода-воздух» и k  0,5 существует
глобальный минимум волноводной частоты как функции от линейной
концентрации. Для случая «вода-кварц» такое свойство не наблюдается, так
как значения плотностей сред близки по значению.
Из выражения (2.4) для малых τ справедливо
Утверждение:
Наименьшее значение волноводной частоты ползущей моды, как
функции от линейной концентрации k , достигается в точке k  1 2 .
Замечание:
В общем случае наименьшее значение волноводной частоты ползущей
моды, как функции от линейной концентрации k, достигается в
k
 2   2  2 2
 2   2   2  
Приближение длинных волн
Для различных практических приложений целесообразно рассмотреть
асимптотическое поведение волноводных частот и фазовых скоростей
ползущей моды при условии, что длина волны значительно больше
пространственного периода цепочки пузырьков. Длина волны Lw ползущей
волноводной моды, соответствующей волноводной частоте 1 ,k , , имеет
вид Lw  2  . Для больших значений Lw волновое число волноводной моды
близко к нулю (   0 ). Для малых  (2.5) примет вид:
1  , k ,    
k    k k  k 2   2  .
Безразмерная фазовая скорость Cph1   , k ,  распространения длинной волны
1
ползущей моды определяется, как C ph
 , k ,   1  ,k ,   и имеет вид:
(2.6)
C 1  , k ,    k    k k  k 2   2   
2
2
k    k k  k
ph
Для малых τ:




1
 , k ,     k 1  k   c2 c1   k 1  k 
C ph
Необходимо отметить, что фазовая скорость длинной волны ползущей
моды зависит только от концентрации, отношения скоростей звука и
отношения плотностей двух сред, образующих цепочку.
Рисунок 4
Зависимость
фазовой скорости
от волнового
числа для
ползущей моды
Рисунок 5
Фазовая скорость
для последующих
мод.
Из (2.6) можно получить формулу для расчета концентрации в
зависимости от скорости звука для ползущей моды:
k
1

1  1 
2 
 2C 2




(2.7)
Высшие волноводные моды
Наряду с ползущей модой цепочка пузырьков обладает более высокими
волноводными модами. Число этих мод бесконечно. Так как волноводные
частоты непрерывно зависят от параметра  , то для малых значений этого
параметра можно считать, что соответствующие волноводные частоты
локализованы в окрестности соответствующих собственных значений задач
Дирихле в областях 1 и Неймана в областях 2 для одномерного оператора
Лапласа с учетом скоростей звука.
Механика волноводных колебаний
Рисунок 6
На рисунке показан вид волноводных
мод (поле акустического давления) для
значений параметров цепочки:
  , k  k1  0,5 и волноводных значений
безразмерной частоты:
для случая вода-воздух
1  0.02981051656 ,
,
 2  1480950276
.
 3  2.962316191 ;
и для случая вода – кварц
1  2.302247701 ,
2  6.138124946,
3  12.92923376 ;
Рисунок 7
Вид поля акустического
давления для случая вода-кварц
соответственно сверху вниз. Вид
волноводных колебаний в обоих случаях
похож. Имеются отличия в амплитуде и
фазе. Так, например, на изображении для
второй моды в случае вода-кварц (рис.7 )
скорость колебаний локализована в воде.
Для случая вода-воздух (рис. 6) мы
наблюдаем то же, но в воздухе.
При колебаниях на первой моде капли
воды движутся как целое, пузырьки
воздуха действуют, как пружинки (рис.6).
В реальных средах монодисперсные структуры встречаются достаточно
редко, поэтому целесообразно исследовать распространение акустических
колебаний в полидисперсных цепочках неоднородностей. Простейшим
примером является периодическая цепочка с двумя различными пузырьками
в периоде.
2. Волноводные свойства полидисперсной цепочки неоднородностей
Рисунок 8. Полидисперсная цепочка пузырьков. Структура и
обозначения.
Пусть в одном периоде цепочки содержатся два включения среды M1 с
размерами k1 и k3  k1  k3  k  и расстояниями между - k2 и k4 (
Рисунок 8.). Волноводные моды цепочки описываются в одном
пространственном периоде соотношениями (1.1), (1.2) и условиями сдвига
фазы (1.3), которые эквивалентны системе восьми уравнений для восьми
неизвестных AP  Y  0 . Матрица AP   строится так же, как для
монодисперсной цепочки с необходимыми изменениями. Из утверждения о
дискретности множества волноводных значений следует, что волноводные
частоты колебаний цепочки будут вещественными. Наименьшая волноводная
частота колебаний полидисперсной цепочки находится прямым вычислением
при помощи уравнения det AP    0 , для малых величин  эта частота имеет
вид.

 k    kk  k
1  , k ,  2 1  cos
2

 2  ,
(3.1)
который полностью совпадает с дисперсионным соотношением для
ползущей моды (2.5).
При прочих равных параметрах существует минимум волноводной
частоты в зависимости от концентрации k для случая вода-воздух, минимум
достигается в точке k  0,5 . Необходимо сделать
Замечание:
Наименьшая волноводная частота полидисперсной цепочки пузырьков
для малых величин  не зависит от их размеров и определена только
концентрацией. Это означает, что полидисперсность цепочки пузырьков не
существенна для ползущей моды.
Общее решение
Для рассмотрения общего решения, не ограниченным приближением для
низких частот, выделим два случая, которые полностью могут описать все
возможные состояния заданной среды.
1) Положим, что фиксированы размеры вхождений среды M1 и
изменяется положение второго вхождения.
Рисунок 9
2) Зафиксируем положения центров вхождений среды M1 и будем
изменять их размер.
Рисунок 10
Рисунок 11
Среда: Водакварц
Суммарная
концентрация
воды k = 0.5. k3 –
концентрация
второго
вхождения воды
(фиксированы
центры
вхождений)
Рисунок 12
Среда: водавоздух
Суммарная
концентрация
воды k = 0.5. k3 –
концентрация
второго
вхождения воды
(фиксированы
размеры
вхождений)
Рисунок 13
Среда: вода - воздух
Функция
ширины полосы
пропускания H от
концентрации
вхождения воды.
H(k)
Рисунок 14
Среда: вода - кварц
Функция ширины
полосы пропускания
H от концентрации
вхождения воды.
H(k)
Рисунок 15
Среда: вода воздух
Фазовые скорости
для
полидисперсной
цепочки
неоднородностей
вода-воздух с
заданными
параметрами
k1=0.49, k2=0.25,
k3=0.01
Рисунок 16
Среда: вода - кварц
Фазовые скорости
для
полидисперсной
цепочки
неоднородностей
вода-кварц с
заданными
параметрами
k1=0.2,
k2=0.19, k3=0.19
Тонкая структура спектра
Дисперсионные соотношения (2.5) для монодисперсной и аналогичные
для полидисперсной цепочки позволяют определить полосы пропускания и
запирания задачи о прохождении акустических волн через одномернопериодическую цепочку неоднородностей. Существенным является то, что
полоса пропускания, соответствующая ползущей моде, в том и другом
случаях (2.5), (3.1), примыкает к нулю - полоса пропускания  1 на Рисунок9 .
Необходимо
отметить,
что
количество
полос
пропускания и запирания
бесконечно.
Тонкая
Рисунок 15. Тонкая структура спектра.
структура спектра частот
задачи, описывающей распространение акустических волн через одномерно-
периодическую цепочку неоднородностей, показана на Рисунок,  n
обозначены полосы пропускания, sn - полосы запирания n  1, 2,  .
Для изучения распространения волновых пакетов и резонансных свойств
одномерно-периодических
цепочек
неоднородностей
необходимо
n
исследование групповой скорости Cг р   , k , волноводных мод  n   n  
( n  1, 2,  ). В силу симметрии задач по волновому числу  в точках   m
( m  0,  1,  2,  ) справедливы равенства Cгnр 0, k ,   0 и Cгnр   ,k ,  0 для
соответствующих значений волноводных частот  n  0 и n    ( n  1, 2,  ).
Необходимо отметить, что значения волноводных частот  n  0 и n   
являются границами полос пропускания и запирания, значения  n  0
принадлежат полосам запирания sn , а значения n    принадлежат полосам
пропускания  n ( n  1, 2,  ).
Основные результаты
При помощи построенной в [1] модели проведены исследования
распространения волн в одномерно периодической неоднородной среде
«вода-кварц».
В работе проведены исследования собственных частот для среды
«вода-кварц».
Определены полосы пропускания и запирания.
Подсчитаны основные параметры задачи и определена концентрация в
зависимости от скорости звука.
Получен вид волноводных мод (поля акустического давления) для
первых трех мод.
Исследовано влияние полидисперсности на собственные частоты.
Проведен сравнительный анализ для сред с близкими плотностями
«вода-кварц» и когда плотность одной среды существенно превышает
плотность другой «вода-воздух».
Исследованы свойства полидисперсной цепочки неоднородностей для
сред вода-воздух, вода-кварц.
Найдены полосы пропускания и запирания.
Исследовано влияние полидисперсности на полосы запирания.
Исследовано влияние полидисперсности на фазовые скорости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сухинин С.В. Распространение волн и резонансные явления в
неоднородных средах. // Прикладная механика и техническая физика. Т.42
№3, С.32-42.
2. Сухинин.С.В. Собственные волны одномерной проницаемой
периодической цепочки. Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ АН СССР.
Сиб. Отделение, институт гидродинамики, 1992, Вып. 106, С.234-243
3. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических
структурах. М.: Издание иностранной литературы, 1959, 457 с.
Құдайқұлов А. Қ., Сухинин С. В., Жұмадиллаева А. К.
Сулы-кварц біртекті емес екі компонентті бірыңғай периодтты ортада
толқындардың таралуы
Қолданбалы геофизикалық есептер үшін бір текті емес бірыңығай –периодты ортада
толқындарды таратудың өзгешелігін зерттеу маңызды болып табылады. Мұндай орталарға
тән мысал ретінде газ көпіршіктерімен сұйықтығы, композиттер, гомогенді емес қоспалы
периодты қосылатын компонент, көпіршіктер, борқылдақ және түйіршікті құрылымдарын
айтуға болады. Зерттелетін құрылым әдеттегі борқылдақ немесе мұнай қабаттары болып
табылады. Ұқсас мысалдары ретінде электромагниттік толқындарды келтіруге болады.
Kudaykulov A.K., Sukhinin S.V., Zhumadillaeva A.K.
Propagation of waves in an inhomogeneous 2-component one-dimensional periodic
medium the water-quartz
The research of peculiarities of wave propagation in heterogeneous periodical in onedimension medium is important for such applications as geophysics and indestructible control.
The typical examples of this medium are liquids with air-cells, composites, non-homogeneous
mixtures with periodic components inclusions, foams, spongy and granular structures. The
structure studied in the work (water-quartz) is the typical example of spongy oil layer or flooded
layer. The similar examples can be given for electro-magnetic waves.